2020届重庆市第一中学高三下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

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2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合(){}ln 1A y y x ==-，{B y y ==，则A B =（）A ．[)0,2B ．()0,2C ．[]0,2D ．[)0,1【答案】A【解析】先分别利用对数型函数以及指数型函数求值域的方法求出集合,A B ，注意集合中的代表元素，再利用集合的交集运算求解即可. 【详解】∵(){}ln 1A y y x R ==-=，{[)0,2B y y ===，∴[)0,2AB =.故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合间的运算以及对数函数和指数函数.属于较易题.2．设a ，()0,b ∈+∞，A =，B =，则A ，B 的大小关系是（）A ．AB < B ．A B >C ．A B ≤D ．A B ≥【答案】B【解析】根据题意计算做差可得22A B >，得到答案. 【详解】由a ，()0,b ∈+∞，得0A =>，0B =>22220A B -=-=>，∴22A B >，故A B >，故选：B. 【点睛】本题考查了做差法比较大小，意在考查学生的计算能力和推断能力.3．已知直线l 是曲线2y x =的切线，则l 的方程不可能是（）A ．5210x y -+=B ．4210x y -+=C ．13690x y -+=D ．9440x y -+=【答案】B【解析】利用导数求出曲线2y x =的切线的斜率的取值范围，然后利用导数的几何意义判断各选项中的直线是否为曲线2y x =的切线，由此可得出结论.【详解】对于函数2y x =，定义域为[)0,+∞，则22y '=+>，所以，曲线2y x =的切线l 的斜率的取值范围是()2,+∞.对于A 选项，直线5210x y -+=的斜率为52，令522y '=+=，解得1x =，此时3y =，点()1,3在直线5210x y -+=上，则直线5210x y -+=与曲线2y x =相切；对于B 选项，直线4210x y -+=的斜率为2，该直线不是曲线2y x =的切线；对于C 选项，直线13690x y -+=的斜率为1326>，令1326y '=+=，解得9x =，此时21y =，点()9,21在直线13690x y -+=上，所以，直线13690x y -+=与曲线2y x=相切；对于D 选项，直线9440x y -+=的斜率为924>，令924y '==，解得4x =，此时10y =，点()4,10在直线9440x y -+=上，所以，直线9440x y -+=与曲线2y x =相切. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义验证函数的切线方程，考查计算能力，属于中等题. 4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．(35)π-B．(51)πC．51)πD．52)π【答案】A【解析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】1S与2S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S与2S所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ=，又2αβπ+=，解得(35)απ=-故选:A【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：21122S r lrα==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l是扇形的弧长．5．若函数()(),2log2,xaa x af xx x a⎧<<⎪=⎨->⎪⎩（其中0a>，1a≠）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．()1,11,32⎛⎫⋃⎪⎝⎭B．(]1,3C．()2,3D．(]2,3【答案】C【解析】根据题中所给的函数有零点，结合解析式的特征，求得函数的零点，再根据分段函数的意义再结合式子的特征求得结果.【详解】因为x a>时，()log(2)af x x=-，所以2a>，若函数若有零点，则()log 20a x -=，解得3x =，故3a >，又2a >，∴实数a 的取值范围是()2,3．故选：C. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据分段函数有零点求参数的取值范围，属于简单题目.6．已知02ω<≤，函数()sin f x x x ωω=，对任意R x ∈，都有()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ω的值为（） A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】化简函数()y f x =的解析式为()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意可知，点,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，结合02ω<≤可求得ω的值. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据()3f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，得,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，则2sin 0663f ππωπ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 063πωπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 02ω<≤，0363ππωπ∴-<-≤，所以063πωπ-=，解得2ω=.故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数值，同时也考查了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．函数()2cos sin 2f x x x =+的一个单调减区间是（）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用导数求得函数()y f x =的单调递减区间，利用赋值法可得出结果. 【详解】()2cos sin 2f x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()222sin 2cos2212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x x x '=-+=--=-+-()()2sin 12sin 1x x =-+-，1sin 1x -≤≤，可得sin 10x +≥，令()0f x '<，可得2sin 10x ->，即1sin 2x >，解得()52266k x k k Z ππππ+<<+∈. 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()52,266k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. 当0k =时，函数()y f x =的一个单调递减区间为5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 5,,4266ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对任意的k Z ∈，50,2,2666k k πππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5,2,2266k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，55,2,2666k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊄++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()y f x =的一个单调递减区间为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集是（）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项. 【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>，故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭， ∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.二、多选题9．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin sin B A C =，则角B 的值不可能是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°【答案】CD【解析】先利用正弦定理得到2b ac =，再利用余弦定理和基本不等式得到0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可判断. 【详解】∵2sin sin sin B A C =，由正弦定理得： ∴2b ac =，∴2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时取等号，又0B π<<，故0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：CD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.属于较易题. 10．下列说法正确的是（） A ．“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件B ．命题:p “若a b >，则22am bm >”的否定是真命题C ．命题“0R x ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“R x ∀∈，12x x+>” D ．将函数()cos2f x x x =+的图象向左平移4π个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的图象关于点0,4π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD【解析】解方程tan 1x =，利用集合的包含关系可判断A 选项的正误；判断命题p 的真假，可判断出该命题的否定的真假，进而可判断B 选项的正误；利用特称命题的否定可判断C 选项的正误；利用图象平移得出函数()y g x =的解析式，利用对称性的定义可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，解方程tan 1x =，可得()4x k k Z ππ=+∈，4π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，所以，“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件， A 选项正确；对于B 选项，当0m =时，22am bm =，则命题p 为假命题，它的否定为真命题，B 选项正确；对于C 选项，命题“0R x ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“R x ∀∈，12x x+<”，C 选项错误；对于D 选项，将函数()cos2f x x x =+的图象向左平移4π个单位长度，得到()cos 2sin 2444g x x x x x πππ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭， ()()sin 2sin 244g x x x x x ππ-=---+=-+，则()()2g x g x π+-=，故函数()y g x =的图象关于点0,4π⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 选项正确；故选：ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查了充分不必要条件、命题的否定的真假、特称命题的否定的判断，同时也考查了函数对称性的验证，考查推理能力，属于中等题.11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A ．()2xf x x =+B ．()23g x x x =--C ．()21,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()ln 1f x x =-【答案】BC【解析】只要解方程00()f x x =，观察它有没有实解即可得，【详解】选项A ，若()00f x x =，则020x =，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若()00g x x =，则200230x x --=，解得03x =或-1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若()00f x x =，则01x ≤，0021xx -=，或01x >，002x x -=，解得01x =，故C 中函数是：“不动点”函数；选项D ，若()00f x x =，则00ln 1x x -=，该方程无解，故D 中函数不是“不动点”函数. 故选：BC. 【点睛】本题考查新定义“不动点”，解题关键是根据新定义把问题转化为方程有无实数解． 12．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论，正确的是（） A ．()f x 的一个周期是2π B ．()f x 是非奇非偶函数C ．()f x 在(0,)π单调递减D ．()f x【答案】ABD【解析】先根据周期函数定义判断选项A ，再根据[]y x =函数的意义，转化()f x 为分段函数判断B 选项，结合三角函数的图象与性质判断C ，D 选项. 【详解】[][]()2sin co (cos in )s s f x x x f x π+=+=，()f x ∴的一个周期是2π，故A 正确；sin11,01,0,2cos1,21sin1,,2()3cos1sin1,,23cos1,,22cos1,,02x x x x f x x x x πππππππππ+=⎧⎪⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎛⎤⎪-∈ ⎪⎥=⎝⎦⎨⎪⎛⎫⎪-∈ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎛⎫⎪∈- ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x ∴是非奇非偶函数，B 正确；对于C ，(0,)2x π∈时，()1f x =，不增不减，所以C 错误；对于D ，[0,)2x π∈，()sin11sin11 1.742f x π=+>+=+>>D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题.三、填空题13．若幂函数()f x 过点()2,8,则满足不等式(3)(1)f a f a -≤-的实数a 的取值范围是______. 【答案】(,2]-∞【解析】先求得幂函数()f x 的解析式，在根据()f x 的单调性求得不等式(3)(1)f a f a -≤-的解集.【详解】设()f x x α=，代入点()2,8，得28,3αα==，所以()3f x x =，所以()f x 在R 上递增，所以(3)(1)31f a f a a a -≤-⇒-≤-，解得2a ≤，所以实数a 的取值范围是(,2]-∞.故答案为：(,2]-∞ 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，属于基础题. 14．已知1a >，1b >，则log log 216a b b a +的最小值是______. 【答案】8【解析】利用换底公式可得log log 1a b b a ⨯=，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为1a >，1b >，所以log 0,log 0b a a b >>，因为lg log lg log log 1lg log lg aa b bb b a b a a a b ⎧=⎪⎪⇒⨯=⎨⎪=⎪⎩，所以，log log 2168a b b a +≥==，当log 2a b =时取“=”. 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查指数式的运算、考查了换底公式与基本不等式的应用，属于中档题. 15．4cos50tan40-=______．【解析】【详解】4sin 40cos40sin 404cos50tan 40cos 40--=2cos10sin 30cos10sin10cos30cos 40--=,1cos10sin1022cos 40⎫-⎪⎝⎭=403cos 40==【考点】三角函数诱导公式、切割化弦思想.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，()cos25cos 3A B C ++=-，点P 是ABC 的重心，且27AP =，则c =______.【答案】4【解析】首先根据余弦二倍角公式得到1cos 2A =，设BC 边上的中线为AD ，得到7AD =，从而得到()12AD AB AC =+，再平方解方程即可得到答案. 【详解】因为()cos25cos 3A B C +-＋＝，所以22cos 5cos 20A A -+=，所以1cos 2A =或cos 2A =（舍去）. 设BC 边上的中线为AD ，如图所示：因为27AP =，所以7AD = 又因为()12AD AB AC =+，所以()222124AD AB AC AB AC =++⋅，所以()22172cos 4c b bc A =++，2211722242⎛⎫=++⨯⨯ ⎪⎝⎭c c ，化简得22240c c +-=，解得4c =或6c =-（舍去）. 故答案为：4 【点睛】本题主要平面向量数量积的应用，同时考查了余弦二倍角公式，属于简单题.四、解答题17．已知点()2,1P -在角α的终边上，且02απ≤< .（1）求值：2sin cos 4sin cos αααα-+；（2）若32ππβ<<，且sin 210αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2αβ+的值.【答案】（1）2；（2）724απβ+=. 【解析】先利用同角三角函数的基本关系得到sin ,cos ,tan ααα；（1）原式分子分母同除cos α得到正切，代入已知量即可得出结果；（2）先利用已知角的范围求得5224παπβ<-<，求出cos 2αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用22ααββα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，最后利用两角和的余弦公式求解即可得出结果. 【详解】由题意：sin α=，cos α=， 1tan 2α=-，且2παπ<<，（1）2sin cos 2tan 124sin cos 4tan 1αααααα--==++；（2）∵32ππβ<<，224παπ-<-<-，∴5224παπβ<-<，∴cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴cos cos cos cos sin sin 2222ααααββαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5521010⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎭=⎝-， ∵5242παβπ<+<， ∴724απβ+=. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式.属于中档题.18．已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）是否存在实数()2,t ∈+∞，使得()f x 在()2,t 上单调递增？若存在，求出t 的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）()[]2,3f x ∈；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；（2）求出函数的单调区间，由2在减区间内部，得结论．【详解】解：（1）∵()22sin 24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 21sin 212sin 223x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.又∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22633x πππ≤-≤，即212sin 233π⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭x ， ∴()[]2,3f x ∈；（2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈得51212k x ππππ-+≤≤+()k Z ∈，所以()f x 的递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，递减区间是511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，令0k =，函数在511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，而5112,1212ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即函数在112,12π⎛⎫⎪⎝⎭上是递减的，故不存在实数()2,t ∈+∞，使得()f x 在()2,t 上递增. 【点睛】本题考查正弦型函数的值域，考查正弦型函数的单调性，解题方法由二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解． 19．已知R a ∈，函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的最大值. 【答案】（1）函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增；（2）211e -. 【解析】（1）首先对函数求导，根据函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值，得到()110f a '=-=，求得1a =，根据导数的符号求得其单调区间；（2）将不等式转化为1ln 1x b x x +-≥，之后构造新函数()1ln 1xg x x x=+-，利用导数求得其最小值，进而求得最值，得到结果. 【详解】()11ax f x a x x-'=-=，由()110f a '=-=得1a =，()1ln =--f x x x ，（1）()1x f x x-'=，由0f x 得1x >，由0f x 得01x <<，故函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增.（2）()1ln 21x f x bx b x x≥-⇒+-≥，令()1ln 1x g x x x =+-，则()2ln 2x g x x -'=，由0g x，得2x e >，由0g x ，得20x e <<，故()g x 在()20,e上递减，在()2e ,+∞上递增，∴()()22min 1e1eg x g ==-，即211e b ≤-，故实数b 的最大值是211e-.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据极值点求参数的值，利用导数求函数的单调区间，利用导数求参数的取值范围，属于中档题目. 20．已知函数()1f x x ax =-，其中0a >. （1）求关于x 的不等式()2f x a>的解集；（2）若12a =，求[]0,x m ∈时，函数()f x 的最大值.【答案】（1）2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）2max 2,0121,1212,212m m m y m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪=≤≤+⎨⎪⎪->+⎪⎩. 【解析】（1）根据分段函数定义域解不等式可求得答案；（2）画出函数()f x 的图象，数形结合可求得()f x 的最大值【详解】（1）()()()11,11,x ax x af x x x x a α⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，(0)a >当1x a ≥时，由()2>f x a ，得(12)x ax a ->，1(2)()0ax x a-+>，20ax ->，2x a>，当1x a <时，由()2>f x a ，即(1)2x ax a ->，220ax x a -+<，令220ax x a-+=，180∆=-<，方程无解，而0a >，所以220ax x a-+<无解，综上所述，2x a >，所以不等式()2f x a >的解集为2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）12a =时()22,21212,22x x x f x x x x x x ⎧-≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩，∵()112f =，由1122x x -=得另一个根21x =，由()f x 的图像可知，当01m <<时，函数的最大值为()2122m m f m m m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当121m ≤≤+时，函数的最大值为12；当21m >+时，函数的最大值为()22m f m m =-综上所述，函数的最大值为2max2,0121,1212,212m m m y m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪=≤≤+⎨⎪⎪->+⎪⎩. 【点睛】本题考查了解分段函数不等式的问题，分段函数求最值的问题，考查了数形结合的思想. 21．重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π（即AOB ∠）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长23AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA ，OB 长度），才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？【答案】（1）43OA θ=；436OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当632OB OA ==时，OM 取最大值.【解析】（1）在OAB 中，利用正弦定理即可将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）在OMB △中，由余弦定理得出2OM 21632283πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可得出OM 的最大值，再求出,OA OB 的长度即可. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理可知sin sin 6OA ABπθ=，则OA θ=；同理由正弦定理可得sin sin 6OB ABOABπ=∠，则6OB OAB πθ⎛⎫=∠=+⎪⎝⎭，（2）∵AB =6MAB MBA π∠=∠=，∴2AM BM ==，在OMB △中，由余弦定理可知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭248sin 4cos 666πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭241cos 24233ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2823cos 228228333πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦， ∵50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴2sin 21,32πθ⎡⎫⎛⎫+=-⎪⎢⎪⎪⎝⎭⎣⎭，当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即512πθ=时， OM4=+，此时5sin cos cos sin 124646OA πππππ⎫==+=⎪⎭，5551261212OB πππππ⎛⎫⎛⎫=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即当OB OA ==OM 取最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，涉及了三角函数求值域，属于中档题. 22．已知函数()sin ln()f x x a x b =++，()g x 是()f x 的导函数.（1）若0a >，当1b =时，函数()g x 在(,4)π内有唯一的极小值，求a 的取值范围；（2）若1a =-，1e 2b π<<-，试研究()f x 的零点个数.【答案】（1）(0,25sin 4)a ∈-；（2）()f x 有3个零点. 【解析】（1）先求导得2sin )(1)(ag x x x '=--+，求出2()0(1)a g ππ'=-<+()4sin 425a g '=--，再由sin 4025a --≤和sin 4025a-->两种情况讨论求得a 的取值范围；（2）分析可知，只需研究(,)b π-时零点的个数情况，再分(,),(,)22x b x πππ∈-∈两种情形讨论即可. 【详解】解：（1）当1b =时，si ()(l )n 1n f x a x x =++，cos 1()()x x ag f x x '==++， 2sin )(1)(a g x x x '=--+()0a >在(),4π是增函数，2()0(1)ag ππ'=-<+，(4)sin 425ag '=--，当(4)sin 4025ag '=--≤时，()g x 在(,4)π是减函数，无极值；当(4)sin 4025ag '=-->时，0(,4)x π∃∈，使得00()g x '=，从而()g x 在0(,)x π单调递减，在0(,4)x 单调递增，0x 为()g x 唯一的极小值点，所以()0,25sin 4a ∈-（2）当1a =-时，()sin ln()f x x x b =-+，(1,)2b e π∈-，可知，（i ）(),x π∈+∞时，()0f x <，无零点；所以只需研究(,)b π-，1()cos f x x x b'=-+，（ii ）(,)2x ππ∈时，1()cos 0f x x x b'=-<+，可知()f x 单调递减， ()1ln()1ln()02222f b e ππππ=-+>-+-=，()0f π<，存在唯一的(,)2s ππ∈，()0f s =；（iii ）当(,)2x b π∈-，21()sin ()f x x x b ''=-++是减函数，且21(0)00f b ''=+>，21()102()2f b ππ''=-+<+ 则1(0,)2x π∃∈，1()0f x ''=，()f x '在1(,)b x -是增函数，1()2x π，是减函数，并且 lim ()0x b f x +→-'<，()1010f b'=->，1()022f b ππ'=-<+，所以2(,0)x b ∃∈-，2()0f x '=；3(0,)2x π∃∈，3()0f x '=，且知()f x()f x 在()2,b x -减，在()23,x x 增，在3(,)2x π减，又因为()lim 0x b x f +→->，()00ln 0f b =-<，()02f π>，(,0)m b ∃∈-，()0f m =， (0,)2n π∃∈，()0f n =，综上所述，由（i ）（ii ）（iii ）可知，()f x 有3个零点. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2020届重庆巴蜀中学高三适应性月考卷(二)数学(理)试题(解析版)

2020届重庆巴蜀中学高三适应性月考卷（二）数学（理）试题一、单选题1．已知α是第二象限角，且sin 45α=，则cos α＝（） A ．45B ．45-C ．35D ．35-【答案】D【解析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cos α为负值，直接代入解得答案. 【详解】∵α是第二象限角，且sin 45α=，可得3cos 5α==-, 故选：D . 【点睛】本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题.2．集合A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣7）≤0}，集合B ＝{x |x ＝2k +1，k ∈N }，则A ∩B ＝（） A ．{1，7} B ．{3，5，7}C ．{1，3，5，7}D ．{1，2，3，4，5，6，7}【答案】C【解析】先求出集合A 与B ，求出两集合的交集即可．【详解】∵集合()(){}{}|=17017|Ax x x x x ≤≤≤＝﹣﹣，集合B ={x |x =2k +1,k ∈Z }， ∴A ∩B ={1，3，5，7}，故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解.3．向量a =r （1，2），b =r （2，λ），c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r ，则实数λ＝（） A ．3 B ．﹣3C ．7D ．﹣7【答案】B【解析】向量a r ，b r ，计算可得a b +r r ，再由c r 和（a b +rr ）∥c r ，代入向量平行的性质公式计算，即可求解. 【详解】根据题意, 向量=a r（1，2），=b r（2，λ），则()=32+a b λ+，rr ，c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r ,则有()()3132+0λ⨯--=，解可得=3λ-，故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.4．已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），且P （x ≤1）＝0.1，则P （3＜X ≤5）＝（） A ．0.1 B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】D【解析】根据已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），得到正态分布曲线关于=3x 对称，又根据题目P （x ≤1）＝0.1，由对称性可得()50.1P x ≥＝，因此得到P （1≤X ≤5）的值，再乘12即为所求. 【详解】∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ2）， ∴正态分布曲线关于=3x 对称，又P （x ≤1）＝0.1， ∴()50.1P x ≥＝， ∴()()510.1235==0.422P X P X ≤≤-⨯≤1＜＝，故选：D 【点睛】本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题.5．函数πsin(2)3y x =-的图象的一条对称轴方程为（）A ．π12x =B ．π12x =-C ．π6x =D ．π6x =-【答案】B【解析】试题分析：令232x k πππ-=+，即5212k x ππ=+()k Z ∈，当1k =-时，12x π=-，故选B.【考点】1、两角差的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质.6．定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，例如：H （1.5）＝2，对x ，y ∈R ，则下列正确的是（） A ．H （﹣x ）＝﹣H （x ） B ．H （2﹣x ）＝H （x ）C ．H （x +y ）≥H （x ）+H （y ）D ．H （x ﹣y ）≥H （x ）﹣H （y ）【答案】D【解析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项. 【详解】∵定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，A 选项，令()()1.5, 1.5=11.5=2x H H =----，，显然错误， B 选项，令()()3,233x H H =-≠，显然错误，C 选项，令()()()1.5, 2.5,=4=5x y H x y H x H y ==++，，故错误，D 选项根据排除法，因此正确，故选：D . 【点睛】此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝acosB +acosC ，则A ＝（）A ．2π B ．3π C ．6π D ．23π 【答案】A【解析】由题意代入余弦定理，可得到三边a ，b ，c 的等式，化简可得222a b c =+，从而得到△ABC 为直角三角形，A 为直角. 【详解】由b +c ＝acosB +acosC ，根据余弦定理可得，22222222a c b a b c b c a a ac ab +-+-++＝，22222222a c b a b c b c c b+-+-++＝， ()()()2332a b c bc b c b c b c bc+++-++＝()()()()222=2a b c bc b c b c b bc c bc+++-+-+，进一步化简可得222a b c =+ ∴△ABC 为直角三角形，2A π＝.故选：A . 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题.8．对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（） A ．f （cosx ）＝sin 2x B ．f （sin 2x ）＝sinx C ．f （sinx ）＝sin 2x D ．f （sinx ）＝cos 2x【答案】D【解析】根据题意，对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A 选项，取x =4π,则cos x =2,sin2x =1,∴f (2)=1；取x =4π-,则cos x ,sin2x =-1,∴f )=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于B 选项，取x =0,则sin2x =0,∴f (0)=0；取x =2π,则sin2x =0,∴f (0)=1； ∴f (0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于C 选项，取x =4π,则sin x =2,sin2x =1,∴f (2)=1；取x =34π,则sin x =2,sin2x =-1,∴f (2)=-1；∴f 和-1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于D 选项， ∵22=12sin cos x x -,∴f （sinx ）＝cos 2x ＝212sin x -，即对任意x ∈R ，存在函数f （sinx ）＝cos 2x ，只有D 选项满足题意. 故选：D . 【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题.9．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且SA ＝2，AB ＝1，BC =则三棱锥S ﹣ABC 外接球的表面积为（） A ．4π B ．6πC ．8πD ．10π【答案】C【解析】由勾股定理可得AC ，求得△ABC 外接圆的半径，从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥S -ABC 的外接球的表面积．【详解】∵AB ⊥BC ，AB ＝1，BC =∴由勾股定理可得AC =2， ∴AC 是△ABC 外接圆的直径，∴△ABC 外接圆的半径为r =1， ∵SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2，设球心到平面ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得2222211(2)R d d =+=+-， ∴22=1R d =，，∴三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为248R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.10．已知AB u u u r •AC =u u u r 0，|BC |＝4，P 是三角形ABC 平面内任意一点，且满足|PA u u u r|＝1，则PB u u u r •PC uuur 的最小值是（）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1【答案】B【解析】利用已知0AB AC ⋅=u u u r u u u r，得到AB AC ⊥，|BC |＝4，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P 点满足|PA u u u r|＝1，设P 点坐标为()cos sin P θθ，，代入点坐标计算PB PC ⋅u u u r u u u r ，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得PB PC ⋅u u u r u u u r的取值范围，从而得解. 【详解】∵0AB AC ⋅=u u u r u u u r，∴AB AC ⊥，建立如图直角坐标系，设()()()0,00,,0A B y C x ，，，又|BC |＝4， ∴2224x y +=∵|PA u u u r|＝1，∴设()cos sin P θθ，， ()()cos sin cos sin B P y x P C θθθθ⋅=--⋅--，，u u u r u u u r22cos +cos sin +sin x y θθθθ=--()22+1x y θϕ=-+-()4cos +1θϕ=--,∵()1cos 1θϕ-≤-≤,35PB PC -≤⋅≤u u u r u u u r,故最小值为3-，故选：B . 【点睛】本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.11．已知f （x ）＝sin （ωx 6π+）（ω∈Z ）x ∈（0，3π]时f （x ）12=有唯一解，则满足条件的ω的个数是（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】对ω进行分类讨论，当0>ω，通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定6x πω+的范围,636ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，由f （x ）12=，得到2,233πωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，从而得到[)2,6ω∈，再根据ω∈Z ，可得ω的值；当0ω<时,同理可得ω的值.【详解】当0>ω时,0,,,,36636x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦Q 513,3666πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭， ∵()12f x =有唯一解， 2,233πωππ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，[)2,6ω∈，又,2,3,45,Z ωω∈∴=，当0ω<时,0,,,,36366x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Q117,,3666πωπππ⎡⎫∴+∈--⎪⎢⎣⎭∴42,,(6,4]33πωππω⎛⎤∈--∈-- ⎥⎝⎦, 又,5,4Z ωω∈∴=--, 综上所述, 2,3,4,5,5,4ω=-- 故选：D . 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的ω值时，利用函数图像数求出ω的范围，即可求得ω值，属于中等题.12．已知抛物线()2:20C x py p =>，直线1:l y kx t =+与抛物线C 交于,A B 两点（A点在B 点右侧），直线()2:l y kx m m t =+≠交抛物线C 于,M N 两点（M 点在N 点右侧），直线AM 与直线BN 交于点E ，交点E 的横坐标为2k ，则抛物线C 的方程为（） A ．2x y = B ．22x y =C ．23x y =D ．24x y =【答案】D【解析】联立直线1l 与抛物线C 得到2A B x x pk +=，同理2M N x x pk +=，记AB 的中点为P ，MN 的中点为Q ，根据直线PQ 过点E ，得到2E x pk k ==，得到答案. 【详解】联立直线1l 与抛物线C ：22x pyy kx t⎧=⎨=+⎩，消去y 得2220x pkx pt --=，2A B x x pk +=，同理2M N x x pk +=，记AB 的中点为P ，MN 的中点为Q ，所以P Q x x pk ==，又因为直线PQ 过点E （EP 为中线，所以EQ 也为中线，所以,,P Q E 三点共线），所以2E x pk k ==，所以2p =，从而抛物线C 的方程为24x y =. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线方程，确定直线PQ 过点E 是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题 13．设复数z 满足12zi=+2+i ，则|z |＝_____ 【答案】5【解析】复数方程的两边同乘1+2i ，然后利用多项式展开化简，即可确定z ，再进一步求得z ．【详解】复数z 满足212zi i=++，所以()()212=2245z i i i i i =++-++=，故5z = 故答案为：5. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题. 14．函数()()212log 224f x x x =--的单调递增区间是________.【答案】(),4-∞-【解析】计算定义域为()(),46,x ∈-∞-+∞U ，再根据复合函数单调性得到答案. 【详解】()()212log 224f x x x =--，函数定义域为满足22240x x -->，即()(),46,x ∈-∞-+∞U ，函数12log y u =单调递减，故只需求2224y x x =--的单调递减区间，即1x ≤.综上所述：(),4x ∈-∞-. 故答案为：(),4-∞-. 【点睛】本题考查了复合函数单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误. 15．sin 20°+2sin 20°cos 40°＝_____.【答案】2. 【解析】利用20301040301==0+︒︒︒︒︒︒-，进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解. 【详解】sin 202sin 20cos 40︒︒︒+()()()=sin 30102sin 3010cos 3010︒︒︒︒︒︒--++()()=sin 301012cos 3010︒︒︒︒⎡⎤-++⎣⎦()()sin 12sin30cos10cos3010cos30cos102sin30sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-+=-()1cos10101sin10n 2︒︒︒︒⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭-1cos1010cos102︒︒︒︒=1310sin10cos10sin1010cos10222sin ︒︒︒︒︒︒+--sin 200in 20s ︒︒︒-==【点睛】本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题. 16．已知函数f （x ）＝lnx 1x++a ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若关于x 的方程f ′（x ）1f x x -=+（）0有两个不等的根，则实数a 的取值范围是_____ 【答案】（﹣∞，14-ln 2）【解析】根据题意可得f ′（x ），代入关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0，方程有2个交点转化为y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点，则令g （x ）＝121x --lnx 1x-，求导研究g （x ）的图象从而可得a 的取值范围. 【详解】根据题意可得，f ′（x ）22111x x x x-=-=，x ＞0∵关于x 的方程关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0有两个不相等的实数根，∴221x x -=lnx 1x ++a 有两个不相等的实数根， ∴y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点；令g （x ）＝121x --lnx 1x-，∴g ′（x ）()()23233212112x x x xx x x x x -+-+=-+==-，令g ′（x ）＝0，x ＝2或﹣1（舍负）；令g ′（x ）＞0，0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，x ＞2； ∴g （x ）的最大值为g （2）＝114--ln 21124-=-ln 2； ∴a 14-＜ln 2；∴a 的取值范围为（﹣∞，14-ln 2）. 故答案为：（﹣∞，14-ln 2）. 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题．三、解答题17．已知函数f （x ）＝sinxcosx 2+cos 2x +1 （1）求f （x ）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x 的集合；（2）将f （x ）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g （x ）是偶函数，求φ的最小值.【答案】（1）最小正周期为T =π，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝k π12π+，k ∈Z }.（2）12π【解析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）＝sin （2x 3π+）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x 3π+=2k π2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值，解出x 的集合；（2）通过平移变换可得g （x ）=sin （2x +2φ3π+）+1，若函数g （x ）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令23πϕ+=2k ππ+，k ∈Z 即可，从而得到φ的最小值．【详解】（1）f （x ）＝sinxcosx 32+cos 2x +112=sin 2x 32+cos 2x +1＝sin （2x 3π+）+1，所以函数f （x ）的最小正周期为T 22π==π，当且仅当2x 3π+=2k π2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝k π12+π，k ∈Z }.（2）g （x ）＝f （x +φ）＝sin （2x +2φ3π+）+1，因为g （x ）是偶函数，所以2φ3π+=k π2π+，k ∈Z ，即φ12=k π12+π，k ∈Z ，所以φ的最小值为12π.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点.（1）若E 是SD 的中点，求证：SB ∥平面ACE ；（2）若SA ＝AB ＝AD ＝2，SC ＝2，且DE 23=DS ，求二面角S ﹣AC ﹣E 的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1919【解析】（1）由题意连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，可证OE ∥SB ，SB ∥平面ACE 得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC 与平面ACE 的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ， ∵底面ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点， ∵E 是SD 的中点，∴OE ∥SB ， ∵SB ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴SB ∥平面ACE .（2）∵SA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥AC ，在Rt △SAC 中，SA ＝2，SC ＝， ∴AC ＝2， ∵AB ＝AD ＝2，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形， ∴BD ＝以O 为原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴，过O 作AS 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系，O （0，0，0），D0，0），A （0，1，0），S （0，1，2），DS =u u u r（1，2），23DE DS ==u u u r u u u r（3-，2433，）， OE OD DE =+=u u u r u u u r u u u r 2433，，）， ∵BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量n OD ==u u u rr0，），设平面ACE 的法向量m =r（x ，y ，z ），则0240333m OA y m OE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u uv r u u u v r ，取x ＝4，得m =r （4，0，），设二面角S ﹣AC ﹣E 的平面角为θ，则cosθm n m n ⋅===⋅r r r r∴二面角S﹣AC﹣E的余弦值为419.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力，属于基础题.19．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18，14，58，任意两次射击相互独立.（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率【答案】（1）13（2）427【解析】（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率P118；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P25=216，两情形概率之和即为所求.【详解】（1）记X 表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X ＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为：P 121111133333C =⨯⨯+⨯=.（2）记A i 表示甲在第i 轮胜利，B i 表示甲在第i 轮平局，∁i 表示甲在第i 轮失败， ∴P （A i ）151151384382⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭，P （B i ）13=，P （∁i ）16=，①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，其概率P 1111112228⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P 21155666216=⨯⨯=， ∴经过3轮比赛结束的概率P 12154821627P P =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =（1）若点P （1）在椭圆E 上，求椭圆E 的标准方程；（2）若D （2，0）在椭圆内部，过点D E 于M .N 两点，|MD |＝2|ND |，求椭圆E 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）221123x y +=【解析】（1）因为2c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P（1b 2＝1，所以a 2＝4，可得椭圆方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立求解韦达定理，结合条件|MD |＝2|ND |，可得y 1＝﹣2y 2，所以解得1y =2y =b 2＝3，a 2＝12，求得椭圆E 的方程. 【详解】（1）因为c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1，2）代入方程，得b 2＝1，所以a 2＝4，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得，16y 2+12﹣12b 2＝0，所以y 1+y2=，y 1y 22334b -=①.因为|MD |＝2|ND |，即y 1＝﹣2y 2，所以1y =22y = 代入①，得b 2＝3，a 2＝12，所以椭圆E 的方程为221123x y +=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解，考查计算能力；另一种为已知弦长之间的关系求解，利用弦长关系转化得到纵坐标的关系，结合韦达定理即可求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．已知函数f （x ）＝()21211x xx e -+-（1）求f （x ）＞0的解集；（2）若x ∈R 时，2221mxxx e e +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（0，+∞）（2）[12，+∞）【解析】（1）通过对f （x ）求导，可得x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，不等式得解；（2）若x ∈R 时，2221mxxxe e+≥+恒成立，不等式转化为2e 2mx ≥e x1xe +（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mx x+-e 2x﹣1≥0成立即可，构造新的函数F （x ）＝2e 2mx x+-e 2x﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为f （x ）＝()21211x xx e -+-，则f ′（x ）＝2122x x x e-；所以x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，所以x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＜0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，∴f （x ）＞0的解集为（0，+∞）. （2）因为x ∈R 时，2e 2mxx+≥e 2x+1恒成立，等价于221mx x xxe e e+-≥恒成立，即2e 2mx ≥e x 1x e+（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mx x+-e 2x﹣1≥0成立即可，令F （x ）＝2e 2mxx+-e 2x﹣1，F （0）＝0，F ′（x ）＝2（2mx +1）e 2mxx+-2e 2x ＝2e 2x[（2mx +1）e 2mx x --1]，F ′（0）＝0，令G （x ）＝（2mx +1）e 2mxx--1，G （0）＝0，G′（x）＝2me2mx x-+（2mx+1）（2mx﹣1）e2mx x-=（4m2x2+2m﹣1）e2mx x-①当2m﹣1≥0，即m12≥时，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，G（x）≥0，即F′（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，F（x）≥0，所以m12≥时满足要求；②当m＝0，x＝1时，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m12＜且m≠0时，x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为G（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为F（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，F（x）＜0，所以m12＜且m≠0时不满足要求.综上所述，实数m的取值范围是[12，+∞）.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题，将不等式恒成立转化为构造差函数，求函数的最值是解决本题的关键，也是本题的难点，需要对导函数进一步求导和分类讨论，综合性较强，运算量较大，难度较大．22．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）.（1）求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程；（2）若P（1，0），直线C2与曲线C1相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值.【答案】（1）曲线C1：x2+y2﹣4x＝0；直线C2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3 【解析】（1）求曲线C1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C2的参数方程消去参数t即为普通方程；（2）因为P （1，0）在直线C 2上，将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入曲线C 1：x 2+y 2﹣4x ＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，根据根与系数关系可得则t 1t 2＝﹣3，故可求|PA |•|PB |＝|t 1t 2|＝3. 【详解】（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2，可得ρ2＝4ρcos θ，即为x 2+y 2﹣4x ＝0，直线C 2的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），可得xsin α﹣ycos α﹣sin α＝0；（2）因为P （1，0）在直线C 2上，将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入x 2+y 2﹣4x ＝0，可得（1+tcos α）2+（tsin α）2﹣4（1+tcos α）＝0，化为t 2﹣2tcos α﹣3＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝﹣3，可得|PA |•|PB |＝|t 1t 2|＝3. 【点睛】本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化，可利用转化关系直接求解，求弦长关系问题通常借助联立二次方程，转化为根与系数关系问题求解.23．已知函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣m | （1）当m ＝2时，求f （x ）≤9的解集；（2）若f （x ）≤2的解集不是空集，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]【解析】（1）当m ＝2时，函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣2|≤9,对x 分类讨论，分别在三个区间1122x x x --≤≤＜，，＞，去掉绝对值求解不等式即可求得解集；（2）若f （x ）≤2的解集不是空集，转化为f （x ）min ≤2成立，又根据|x +1|+|x ﹣m |≥|m +1|恒成立，f （x ）min ＝|m +1|≤2，解得﹣3≤m ≤1.【详解】（1）当m＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|332512331x xx xx x-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜.∵f（x）≤9，∴3392xx-≤⎧⎨⎩＞或5912xx-+≤⎧⎨-≤≤⎩或3391xx-+≤⎧⎨-⎩＜，∴2＜x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤4，∴不等式的解集为[﹣2，4]；（2）∵f（x）≤2的解集不是空集，∴f（x）min≤2.∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，|x﹣m|≥0，∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|，当且仅当x＝m时取等号，∴|m+1|≤2，∴﹣3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[﹣3，1].【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题，解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值，然后求解不等式即可；不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题，然后通过函数最值确定参数的取值范围，属于中等题.第 21 页共 21 页。

精品解析：重庆市第一中学校2022-2023学年高三下学期4月月考地理试题(解析版)

13.功能区和统计图曲线对应正确的一组是（）
A.类型1-产业园区-类型2-农村村落区-类型3-城市居民区-类型4-综合功能区
B.类型1-城市居民区-类型2-综合功能区-类型3-产业园区-类型4-农村村落区
C.类型1-城市居民区-类型2-产业园区-类型3-农村村落区-类型4-综合功能区
D.类型1-综合功能区-类型2-城市居民区-类型3-产业园区-类型4-农村村落区
2023年4月5日清明节，是“二十四节气”中唯一一个既是节气又是传统节日的日子，下图示意二十四节气地球在公转轨道上的位置。读图，完成下面小题。
3.与清明节期间我国各地昼夜长短状况最相似的节气是（）
A.立春B.惊蛰C.霜降D.白露
4.清明时节，以下说法最准确的是（）
A.华南梅雨纷纷B.西北沙尘严重C.东北春耕繁忙D.西南道路结冰
【15题详解】
结合所学可知，河道回归旧河道，只有是由于河道弯曲，河流凹岸侵蚀，使得河流回到原位置，B正确；北半球地转偏向力向右，河流会远离城区，D错误；风力吹拂和降水条件对河道的影响较小，AC错误。故选B。
【点睛】引起地表形态变化的作用，按其能量来源分为内力作用和外力作用。内力作用的能量主要来自于地球内部的热能，表现为地壳运动、岩浆活动和变质作用等，它使地表变得高低起伏。外力作用的能量来源主要来自于地球外部的太阳能，以及地球重力能等，表现为地表物质的风化、侵蚀、搬运和堆积等作用。
【2题详解】
根据所学知识，为应对人口老龄化，应适当鼓励生育，进一步完善养老保障体系，②④正确；老龄化和劳动力密集型产业没有必然关系，排除①；提倡晚婚晚育，少生优生不利于缓解人口老龄化，排除③。因此D正确，排除ABC。故选D。
【点睛】人口增长分为自然增长和机械增长。自然增长主要在于本地区人口自然增长率的高低，当本地出生率大于死亡率时，人口自然增长较多，反之则较少。机械增长一般指的是人口迁移，影响人口迁移的因素包括气候、文化教育、政治、经济等因素，其中，目前影响人口迁移最主要的因素在于经济因素。

：重庆市第一中学2020-2021学年八年级下学期第一次月考数学试题(解析版)

【详解】解：不等式组整理得：，
由解集为x＞7，得到2﹣a≤7，
解得ห้องสมุดไป่ตู้≥﹣5，
分式方程去分母得：ay+5﹣y+3＝﹣4，
解得：y＝，
∵y为正整数解，且y≠3，
∴a＝0，﹣1，﹣2，﹣5，﹣11，
又∵a≥﹣5，
∴a＝0，﹣1，﹣2，﹣5，
∴满足条件的整数a的和为﹣8．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
A 48B.49C.50D.51
【答案】A
【解析】
【分析】由于图②平行四边形有8个＝3+2+1+2+1﹣1，图③平行四边形有15个＝4+3+2+1+3+2+1﹣1，则第⑥个图有7+6+5+4+3+2+1+6+5+4+3+2+1﹣1个平行四边形，由此即可求出答案．
【详解】解：∵图②平行四边形有8个＝3+2+1+2+1﹣1，
①a＝22.5；
②刚出发时，小新的速度为80米/分；
③图象中线段DE表示小新和小达两人停止了运动；
④公园入口到湖心亭的距离为2250米，其中正确说法的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图像，可知公园入口和银杏林相距1800米，小新到达银杏林时，他们两人一共走了：1800+1350=3150米，小达的速度为：1800×2÷60=60（米/分），当小新到达银杏林时，小达距离银杏林1350米，进而求出a的值，由DE∥BG，可知小新变慢后的速度和小达的速度相等，即60米/分，进而即可判断④．

重庆一中2020-2021学年度初2023届第一次月考试题(图片版无答案)

或推理步骤.
27.（4 分）将 −9,1 2 , 21, 0, − π , − 22 , −3.1415,10% 填在下列集合中，
3
27
负数集合：{
...};
整数集合：{
...};
正分数集合：{
...};
非负整数集合：{
...};
28.（8 分）作图题（1）（5 分）请将下列各数表示在数轴上，并用“ < ”比较它们的大小。
.
2
14．单项式 −4x2 yz 的系数是
.
15． a,b 两数的积与 c 的 2 倍的差用代数式表示是
.
16．如果一个 n 棱柱有 12 个顶点，则这个棱柱有
条侧棱.
17．比较大小： −2 1 4
− 7 (用“>”“<”或“=”连接） 3
18．如果定义新的运算符号“#”为： a #b = a + 1 ，那么 (3# 2) # 2 =
有（） A.1 个
B.2 个
C.3 个
D．4 个
9．如图所示的运算程席中，若开始输入的 x 值为 24，我们发现第 1 次输出的结果为 12，第
2 次输出的结果为 6，.....则第 1006 次输出的结果为（
）
A.6
B.3
C.24
10．若 x、y 互为相反数，且不等于零， n 为正整数．则正确的是（ A. xn、yn 一定互为相反数
1. −4 的绝对值是（
）
A. 4
B. 1 4
C. −4
D. − 1 4
2. 用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（
A.三角形
B.正方形
C.六边形
） D. 圆

西安中学202届高三数学上学期第一次月考试题理含解析

10。设 ,且不等式恒成立，则实数的最小值等于( )
A。 0B。 4
C. －4D。－2
【答案】C
【解析】
分析】
分离参数,求齐次式的最大值。
【详解】由得，而 ( 时取等号)，
所以 ,因此要使恒成立，应有，即实数的最小值等于 .
故选： C。
【点睛】多参数不等式，先确定主元，次元唯一转化为函数问题，次元不唯一可以用基本不等式，也可以降元(分式的分子分母为齐次式是降元的主要特征)。
A。 98项B。 97项C。 96项D。 95项
【答案】B
【解析】
【分析】
由于能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故，然后由可求出的取值范围,从而可得结果
【详解】能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故 ,
由得，又，故此数列共有97项.
故选:B
【点睛】此题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用,考查计算能力,属于基础题
（1）求､的通项公式;
(2）数列中， ,且 ,求的通项公式.
【答案】（1） , ；(2）。
【解析】
【分析】
（1）由已知条件结合等差数列和等比数列的通项公式列出方程组
求出公差和公比，从而可求出､的通项公式；
(2）先求出，而，所以，然后利用累加法可求出的通项公式
【详解】(1)设的公差为，的公比为，则依题意有
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程及其应用,旨在考查运算求解能力．
二､填空题：（本大题共4小题,每小题5分)
13. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________。

2020届高考复习高中数学【理】月月考(二)：三角函数、平面向量、数列、不等式(解析版)

10．[2019·陕西摸考]对于使f(x)≤m成立的所有常数M，我们把M的最小值称为f(x)的上确界，若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－－的上确界为()
A．－ B.
C. D．－4
答案：A
解析：∵a＋b＝1，∴－－＝－－＝－－，∵a>0，b>0，∴ ＋ ≥2，当且仅当b＝2a时取等号，∴－－ ≤－－2＝－，∴－－的上确界为－，故选A.
5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3 －－ |＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图，G为BC的中点，则＋＝2 ，∵|3 －－ |＝0，
∴3 －－＝0，
∴3 ＝＋＝2 ，
∴ ＝，
∴ ＝，
又S△ABG＝ S△ABC，
∴△ABM与△ABC的面积之比等于 × ＝ .故选C.
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sinα＝，cosα＝ .
∴sin ＝－sin ＝－sin ＝－cosα＝－ .故选B.
3．若α为锐角，且3sinα＝tanα＝ tanβ，则tan2β等于()
A. B.
C．－ D．－
答案：D
解析：因为3sinα＝tanα＝，α为锐角，所以cosα＝，sinα＝＝，所以tanα＝＝2 ＝ tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝＝＝－ .
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
答案：D
解析：由题意得f(x)＝ sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin .∵函数f(x)的图象经过点，

2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题(解析版)

2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（）A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果.【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+，则复数z 的虚部为1．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．2．已知集合{}22,A xx x Z =<∈∣，则A 的真子集共有（）个A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】D【分析】写出集合{1,0,1}A =-，即可确定真子集的个数.【详解】因为{}22,{1,0,1}A xx x Z =<∈=-∣，所以其真子集个数为3217-=.故选：D.【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题.3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（）A ．10πB ．12πC ．14πD ．16π【答案】B【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．【详解】底面周长是：2×2π=4π，则侧面积是：14π48π2⨯⨯=，底面积是：π×22=4π，则全面积是：8π+4π=12π．故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算12E E ．【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg0.1E E =,∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈．故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．5．向量,a b 满足||1a = ，a 与b 的夹角为3π，则||a b - 的取值范围为（）A ．[1,)+∞B ．[0,)+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【分析】把||a b -用数量积表示后结合函数的性质得出结论．【详解】22222||()2121cos 3a b a b a a b b b b π-=-=-⋅+=-⨯⨯+ 21b b -+= 2134423b ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭- ，所以3||2a b -≥ ．1||2b = 时取得最小值．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的模，解题关键是把模用向量的数量积表示，然后结合二次函数性质得出结论．6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥面,ABC O 为ABC ∆中的一点，,PA PB PB PC ⊥⊥，PC PA ⊥，则点O 为ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，可得BC ⊥PA ，由PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，PO ⊥BC ，可得BC ⊥AE ，同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．故O 是△ABC 的垂心．【详解】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，∴BC ⊥PA ，∵PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，∴PO ⊥BC ，∴BC ⊥平面APE ，∵AE ⊂面APE ，∴BC ⊥AE ；同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．∴O 是△ABC 的垂心．故选D ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查．7．设sin5a π=，b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．c b a<<【答案】C【分析】借助中间量1和12比较大小即可.【详解】解：由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c ab <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量1和12，尤其在比较a 与c 的大小时，将c 变形得24331142c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭，进而与12比较大小是重中之核心步骤.8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且BA BC ==，2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】由题意分析知三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O P '⊥面ABC ，P 在大于半球的的球面上，根据棱锥体积公式求得||O P '，进而应用勾股定理求外接球的半径.【详解】由题意知：AC 中点O '为面ABC 外接圆圆心，若外接球球心为O ，半径为R ，三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O 在P ，O '之间，∴1||33P ABC ABC V S O P -'=⋅⋅= ，1||||32ABC S BA BC =⋅⋅= ，即||3O P '=，||||32AC O C '==，所以()22222'|||'|33O C OC OO R R =-=--=，解得2R =，故选：A【点睛】关键点点睛：理解三棱锥P ABC -体积的最大时P 的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系，结合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径.二、多选题9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（）A ．若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβB ．若,m n m α⊂⊥，则n α⊥C ．若,m n αα^Ì，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n【答案】ABD【分析】根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知选项的正误.【详解】A ：,,//m n m n αβ⊂⊂，α、β不一定平行，错误.B ：,m n m α⊂⊥，n 不一定垂直于α，错误.C ：由线面垂直的性质：,m n αα^Ì，则必有m n ⊥，正确.D ：//,,m n αβαβ⊂⊂，m 、n 不一定平行，错误.故选：ABD10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．212log y x =C ．121=+y x D ．2log sin y x=【答案】ABC【分析】根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可.【详解】A ：1(2t y =为减函数，||t x =在(0,1)上为增函数，所以||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数；B ：12log y t =为减函数，2t x =在(0,1)上为增函数，所以212log y x =为减函数；C ：1y t =为减函数，21t x =+在(0,1)上为增函数，所以121=+y x 为减函数；D ：2log y t =为增函数，sin t x =在(0,1)上为增函数，所以2log sin y x =为增函数；故选：ABC【点睛】结论点睛：对于复合函数的单调性有如下结论1、内外层函数同增或同减为增函数；2、内外层函数一增一减为减函数；11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】令1262x k πππ+=+得到对称轴，即可判断A ；根据平移变换知识可判断B ；求出其单调增区间即可判断C ；利用配角法即可判断D.【详解】对于A ，令1262x k πππ+=+()k ∈Z ，解得22()3x k k Z ππ=+∈，当1k =时，得83x π=，故A 正确；对于B ，将函数()f x 的图像向右平移3π个单位，得112sin[()]2sin 2362y x x ππ=-+=，故B 错误；对于C ，令122()2262k x k k Z πππππ-+<+<+∈4244()33k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，故C 错误；对于D ，若12sin()26x a π+=，则11cos()sin[()]23223x x πππ-=+-=1sin()262ax π+=，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π.T ω=(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴(4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+；B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+；C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <；D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<，1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=.2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.三、填空题13．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【解析】由题意，根据球的体积公式343V R π=，则343233R ππ=，解得2R =，又根据球的表面积公式24S R π=，所以该球的表面积为24216S ππ=⋅=.14．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则{12,k k λ==，所以12λ=．【解析】向量共线．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________.【答案】228【分析】由题知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，从左到右第4个数字为228．【详解】观察数据可知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，所以第21行从左到右第4个数字为228．故答案为：228.【点睛】关键点睛：本题考查合情推理、数列的前n 项和，解题关键要善于观察发现数据特征，考查了学生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．四、双空题16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为______；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立的最大正整数m =______.【答案】(1,)+∞4039【分析】根据已知求得1a 的表达式，由此求得q 的取值范围.根据12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立列不等式，化简求得m 的取值范围，从而求得最大正整数m .【详解】由已知201911201911a qa q =⇒=，结合101a <<知2019101q <<，解得1q >，故q 的取值范围为(1,)+∞.由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列.要使12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立则1212111m ma a a a a a +++≤+++ 即()111111111m m a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--，将120191a q=代入整理得：40394039m q q m ≤⇒≤故最大正整数4039m =.故答案为：(1,)+∞；4039【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.五、解答题17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,DAB AB CD DD C M ∠=︒====（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线 CM 与1DD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14.【分析】（1）易得1111//,C D MA C D MA =，则四边形11AMC D 为平行四边形，得到11//C M D A ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由//CM DA ，将异面直线CM 与1DD 成的角，转化为 DA 与1DD 相交所成的角，然后在1ADD ，利用余弦定理求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC .又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =.如图所示：连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD .（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD中，1C M =，所以111,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211111cos 24AD DD AD ADD AD DD +-∠==-⋅，所以异面直线CM 和1DD 余弦值为14.【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．18．已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n *∈N ，都有1，1,n n a a +成等差数列.（1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）由条件得121n n a a +=-，利用等比数列定义可得证.（2）选条件①得(21)2nn b n =+，选条件②得1(1)()2nn b n =+⋅利用错位相减法可得解.【详解】（1）由条件可知112n n a a ++=，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，且112a -=∴{}1n a -是以112a -=为首项，2q =为公比的等比数列，∴12nn a -=，∴()21nn a n N*=+∈（2）条件①：()1(21)(21)2nn n b a n n =-+=+，123325272(21)2nn S n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:123413222222222(21)2nn n S n +-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅- 118(12)6(21)212n n n S n -+--=++⋅--化简得()12(21)2n n S n n N +*=-+∈条件②：11(1)()12nn n n b n a +==+⋅-231111234(1)2222n nS n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 234111111234(1)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ 利用错位相减法:23411111111(1)222222n n n S n +=++++-+⋅ 1111[1()]11421(1)12212n n n S n -+-=+-+⋅-化简得()13(3)(2n n s n n N *=-+∈【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解;在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式19．已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .且122B B =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥ ，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）10x +-=，或10x -=.【分析】（1）由题干条件可得c 和b 的值，进而求出2a 的值，从而求出椭圆方程；（2）首先考虑斜率不存在的情况，不符合题意；当斜率存在时，联立方程，可得()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，又110F P FQ ⋅= ，向量坐标化可得()()()2221212111110k x x k x x k F P FQ ⋅--==++++uuu r uuu r ，代入1212,x x x x +⋅，化简，即可求出k 的取值，从而求出直线方程.【详解】解（1）由条件可知：1c =，又122B B =，所以1b =，则22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，()()1111221,,1,F P x y F Q x y =+=+ ，∵110F P FQ ⋅= ，即()()()()()22212121212111110x x y y k x x k x x k +++=+--+++=，即()()()222222221411()102121k k kk k k k -+--++=++化简得：2201172k k =+-解得217,77k k ==±.故直线l的方程为10x +-=，或10x --=.【点睛】方法点睛：（1）将向量转化为坐标的关系；（2）联立直线和椭圆，求出两根之和，两根之积；（3）将两根之和和两根之积代入坐标关系中，解出k .20．已知()cossin 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求()f B 的取值范围；（2）当4a =，433b =，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积.【答案】（1）30,12⎛+ ⎝⎦；（2）833或433【分析】（1）利用公式对函数化简，根据B 角的范围，求函数值域.（2）由（1）求出B 的大小，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果.【详解】（1）2()cossin sin cos 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,12f B ⎛∈+ ⎝⎦（2）34()11,,23333f B B B ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，,326B B πππ∴+==，由正弦定理得：4343sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=()0,,3A A ππ∈∴=，或23A π=，若3A π=，则2C π=，183sin 23ABC S ab C ==若23π=A ，则6π=C，1sin 23==ABC S ab C 【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21．在直三棱柱111ABC A B C -中，112,120,,AB AC AA BAC D D ==∠=分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交,AB AC 于点,M N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；（2）求二面角1A A M N --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）155.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明MN ⊥平面ADD 1A 1；又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴BC ⊥AD ，∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN ∥BC ，∴MN ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABC,MN ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥MN ，∵AD,AA 1⊂平面ADD 1A 1，且AD∩AA 1=A ，∴MN ⊥平面ADD 1A 1∴，又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）设AA 1=1，如图：过A 1作A 1E ∥BC ，建立以A 1为坐标原点，A 1E ，A 1D 1，A 1A 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则A 1(0，0，0)，A(0，0，1)，∵P 是AD 的中点，∴M ，N 分别为AB ，AC 的中点．则31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则131,,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,1A A =，)NM = ，设平面AA 1M 的法向量为(),,m x y z=，则100m AM m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10220x y z z ++=⎨⎪=⎩,令1x =，则y =，则()1,m =，同理设平面A 1MN 的法向量为(),,n x y z=，则100n A M n NM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得310220x y z ++=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，则1z =-，则()0,2,1n =-，则()15cos ,5m n m n m n ⋅===-⋅，∵二面角A-A 1M-N 是锐二面角，∴二面角A-A 1M-N 的余弦值是155．【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．22．已知21()(1)2xf x e ax b x =---.其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <，（ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>.【答案】（1）max ()1f x e =-；（2）（ⅰ）1b >；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题得2()4(1)x f x e x x =---，()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，由[1,2]x ∈，可得()0f x ''>，即()'f x 在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即()0f x '<，可知()f x 在[1,2]上单减，求得max ()(1)1f x f e ==-.（2）（ⅰ）利用两次求导可得(,ln )x a ∈-∞时，()'f x 单减；(ln ,)x a ∈+∞时，()'f x 单增，再由()f x 有两个极值点，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-恒成立，构造函数()ln g a a a a =-，利用导数求其最大值，可得实数b 的取值范围；（ⅱ）设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，求导可得()h x 在(,1)-∞单增，得到()(2)f x f x ''<-，可得()()112f x f x ''<-，()()122f x f x ''->，结合()'f x 在(1,)+∞上单增，可得()()122f x f x >-，得到()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-，构造22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >，再利用导数证明()2(1)M x M e >=，即可得到()()12f x f x e+>【详解】（1）由2,4a b ==得，2()4(1)x f x e x x =---，求导()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，[1,2]x ∈ ，2[,]x e e e ∴∈，20x e ∴->，即()0f x ''>()f x '∴在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即[1,2]x ∀∈，()0f x '<，()f x ∴在[1,2]上单减，max ()(1)1f x f e ∴==-.（2）（ⅰ）求导()x f x e ax b '=--，因为对任意0,()a f x >均有两个极值点12,x x ，所以()0f x '=有两个根，求二阶导()x f x e a ''=-，令()0f x ''=，得ln x a=当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，由()0f x '=有两个根12,x x ，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，求导()ln g a a '=-，令()0g a '=，得1a =，当(0,1)x ∈时，()0g a '>，()g a 单增；当(1,)x ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单减，max (()1)1g g a =∴=，1b ∴>又0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫''-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭Q ，所以实数b 的取值范围是：1b >.（ⅱ）当a e =时，()x f x e ex b '=--，()x f x e e ''=-，令()0f x ''=，得1x =当(,1)x ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，又12,x x 是()0f x '=的两根，且12x x <，121,1x x <∴>，121x ∴->设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，即22(2)2()2,(1)xxx xe ex b ee x b e e ex e x h x --⎡⎤=-=-------+<⎣⎦，则2()2220x x h x e e e e e -=+->-='()h x ∴在(,1)-∞单增，()(1)0h x h ∴<=，即()(2)f x f x ''<-又11,x <，()()112f x f x ''∴<-，()()122f x f x ''∴->又()f x ' 在(1,)+∞上单增，122x x ∴->，即1222x x x <-<，又()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x ∴>-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e-∴+>-+=+-+-令22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >则2()22x x M x e e ex e -'=--+，2()20x x M x e e e -''=+-≥()M x '∴在(1,)+∞单增，且(1)0M '=，()0M x '∴>，故()M x 在(1,)+∞单增又21x > ，()2(1)M x M e ∴>=，即()()12f x f x e+>【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明()()f x g x <，(,)x a b ∈，可以构造函数()()()F x f x g x =－，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.。

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2020届重庆市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设11z i i=++，则|z =（）A ．12B ．2C D ．2【答案】B【解析】由复数的四则运算以及模长公式求解即可.【详解】111111(1)(1)222i i i i i i i i i --+=+=+=+++-，则2z ==，故选B . 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及模长公式，属于基础题.2．已知命题 p 为真命题，命题 q 为假命题.在命题① p ∧ q ；② p ∨ q ；③p ∧ (⌝q ) ；④ (⌝p ) ∨ q 中，真命题是（）A ．① ③B ．① ④C ．② ③D ．② ④【答案】C【解析】根据题意，结合复合命题的判断原则，逐一判断即可.【详解】根据题意，p 为真命题，命题 q 为假命题，故⌝p 为假命题，⌝q 为真命题，必须满足两个均为真，且命题才能真；只要一个为真，或命题就为真.故：①假，②真，③真，④假.故选：C.【点睛】本题考查复合命题的真假性的判断，属基础题.3．已知函数 f ( x ) =231x x -- ，若在[-2，5] 上随机取一个实数 x ，则 f (x ) ≥ 1 的概率为（） A ．17 B ．37 C ．47 D ．67【答案】D【解析】解不等式，求出满足题意的区间长度，用几何概型概率计算公式进行计算即可.【详解】因为f (x ) ≥ 1，解得()()210x x --≥且1x ≠，即[)()2,,1x ∈+∞⋃-∞与[-2，5]取交集可得[)[]2,12,5x ∈-⋃ 故满足题意的概率为67P =. 故选：D.【点睛】本题考查几何概型，涉及分式不等式的求解，属基础题.4．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( )A ．2B ．lg 50C ．5D ．10 【答案】C【解析】由题意可知a 4a 7＝a 5a 6＝a 3a 8＝a 2a 9＝a 1a 10，即a 1a 2…a 9a 10＝105，所以数列{lg a n }的前10项和等于lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 9＋lg a 10＝lg a 1a 2…a 10＝lg 105＝5 选C 5．若函数()()12log 213f x a x ⎡⎤=-+⎣⎦1()2a ≠ 的定义域为R ，则下列叙述正确的是（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．f (x )在1(,)2+∞上是减函数D ．f (x ) 在[0，+∞) 上是增函数【答案】C 【解析】根据函数的定义域为R ，可求得参数a 的取值范围，根据函数的单调性和奇偶性即可判断.【详解】()()12log 213f x a x ⎡⎤=-+⎣⎦的定义域为R则()2130a x -+>要在x R ∈上恒成立，故可得12a >因为()()()12log 213f x a x f x ⎡⎤=-+=-⎣⎦故该函数为偶函数；又当[)0,x ∈+∞时，()213y a x =-+是增函数，同时12log y x =是减函数，故当[)0,x ∈+∞时，()f x 是减函数；当(),0x ∈-∞时，()f x 是增函数；故选：C.【点睛】本题考查复合函数的单调性，属函数性质基础题.6．设 F 1， F 2分别是双曲线C:2222x y a b -= 1(a > 0， b > 0) 的左右焦点，点M (a ，b ) ，∠MF 1F 2= 30︒ ，则双曲线的离心率为（）A ．4BCD ．2【答案】D【解析】根据题意，1MF 的斜率已知，利用坐标，即可求得.【详解】因为1123MF bk tan MF F a c =∠==+两边平方，结合222b c a =-整理得：()()20a c a c +-= 解得2ca =.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键步骤是利用斜率公式建立,,a b c 之间的关系.7．已知甲、乙、丙三人中，一人是公务员，一人是医生，一人是教师.若丙的年龄比教师的年龄大；甲的年龄和医生的年龄不同；医生的年龄比乙的年龄小，则下列判断正确的是（）A．甲是公务员，乙是教师，丙是医生B．甲是教师，乙是公务员，丙是医生C．甲是教师，乙是医生，丙是公务员D．甲是医生，乙是教师，丙是公务员【答案】B【解析】由题意得到丙不是教师，甲不是医生，乙不是医生，又因为丙的年龄比乙的小，比教师的年龄大，故甲是教师，乙是公务员，丙是医生故答案为B.8．一个几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E ､F 分别为PB ､PC 的中点，在此几何体中，下面结论中一定正确的是（）A．直线AE 与直线DF 平行B．直线AE 与直线DF 异面C．直线BF 和平面PAD 相交D．直线DF ⊥平面PBC【答案】C【解析】根据题意，还原几何体，根据直线与直线的位置关系，以及线面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可.【详解】根据题意，还原的几何体如下图所示：对A、B选项：因为EF//AD，且12EF AD=，故四边形AEFD为梯形，,AE DF是梯形的腰，故,AE DF一定相交，故A、B错误；对C：取PD中点为M，因为MF//AB，MF=12AB，故四边形FMAB为梯形，AM，BF是梯形的腰，故AM，BF一定相交，故BF与平面P AD一定相交，故C正确；对D：没有足够的条件证明垂直关系，故D错误；故选：C.【点睛】本题考查由平面展开图还原几何体，涉及直线的位置关系，线面垂直问题和平行问题，属综合题.9．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理､生物､政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）A．8 种B．10 种C．12 种D．14 种【答案】B【解析】根据排课的要求，结合排列组合的知识，先分类后分步即可求得.【详解】由课程表可知，物理课每节课都可以选，生物课只能在第二节和第三节，政治课只能在第一节，第三节，第四节，自习课也可以自由安排；故分为两类：第一类：生物课选在第二节，则共有1232C A ⨯种；第二类：生物课选在第三节，则共有1222C A ⨯种，故合计有1212322210C A C A ⨯+⨯=种. 故选：B.【点睛】本题考查计数原理，采用先分类后分步的原则即可求解.10．下列说法中正确的个数是（）（1）已知沙坪坝明天刮风的概率P(A )=0.5，下雨的概率()P B =0.3，则沙坪坝明天又刮风又下雨的概率 ()()()0.15P AB P A P B ==.（2）命题 p :直线ax + y +1 = 0 和3x + (a - 2) y - 3 = 0 平行；命题 q : a = 3 .则 q 是 p 的必要条件.（3）2019501+被7 除后所得的余数为5.（4）已知i 是虚数单位，,,x y R ∈复数11,34,||1Z x yi Z i Z Z =+=--=，则||Z 最小值是2.A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】根据独立事件的定义，直线位置关系，以及二项式定理，复数的运算，逐项求解，即可判断.【详解】对（1）：因为两个事件不一定独立，故()()()0.15P AB P A P B ==不正确；对（2）：两直线平行，可得()23a a -=，但是1a =-时两直线重合，所以必有3a =，故命题q 是p 的必要条件，故（2）正确；对（3）：()201920195014911+=++020191201820181201920192019201920194949491C C C C =++++L ，其余数为：2019201912C +=，故（3）错误；对（4）：()()1341z z x y i -=-++==，解得：()()22341x y -++=而z =(),x y 到原点的距离，由因为该点在()()22341x y -++=1 4.=故（4）错误.综上所述，正确的只有（2）.故选：A.【点睛】本题考查独立事件乘法公式计算概率，判断命题之间的关系，以及二项式定理的应用和复数的模长计算，属综合基础题. 11．已知,a b r r 为单位向量，则a b a b ++-r r r r 的最大值为（）A 1B ．3C ．D ．【答案】C 【解析】设t a b a b =++-r r r r ，则224242()2a b a b t a b a b ++-=++⋅-≤+⨯r r r r r r r r ，即所以22242()82t t t ≤+⨯⇒≤，即t ≤C ．点睛：解答本题的关键是借助题设条件，巧妙运用基本不等式分析求解．解答时，充分借助题设中的结构形式，先令t a b a b =++-r r r r ，再两边平方进行等价转化，再运用基本不等式将积化为和的形式，从而建立不等式22242()82t t t ≤+⨯⇒≤，通过解不等式使得问题巧妙获解．12．已知曲线 f (x ) = -x 3+ ax 2- 2x 与直线 y = kx -1相切，且满足条件的k 值有且只有 3个，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,+∞)B ．(2,+∞)C ．[3,+∞)D ．(3,+∞) 【答案】D【解析】将问题转化为过()0,1-能做()f x 的三条切线的问题，进而求解.【详解】设()f x 上任意点坐标为()00,x y ，则过该点的切线方程为：()()3220000002322y x ax x x ax x x +-+=-+-- 又因为该切线过点()0,1-故可得：3200210x ax -+=则满足条件的k 有三个，等价于上述方程有三个根.令()3221g x x ax =-+ 则问题等价于()g x 有三个零点，()()26223g x x ax x x a -='=-又()010g =>，故只需03a g ⎛⎫<⎪⎝⎭ 即3221033a a a ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得327a >故()3,a ∈+∞.故选：D.【点睛】本题考查三次方函数切线的个数问题，属基础题.二、填空题13．已知公差不为0的等差数列{a n }中，125a a a ，，依次成等比数列，则= ．【答案】9【解析】试题分析：设等差数列的公差为d ，由已知得2121511114,()(4),a a a d a a d a d a a d =+=++=⋅+，，整理得，212d a d =，由0d ≠得12d a =.所以，51111114429a a d a a a a a ++⨯===. 【考点】1.等差数列的通项公式；2.等比数列的性质.14．若椭圆2216x y m m-=+，(63)m -<<-上的点到两焦点距离之和为4，则该椭圆的短轴长为_________.【答案】【解析】根据椭圆的定义，结合题意，即可求解椭圆的,,a b c .【详解】由题可知：24,2a a ==，由63m -<<-，可知：24m a -==，故4m =-则262b m =+=，故b =则短轴长为2b =故答案为：【点睛】本题考查椭圆方程的求解，涉及椭圆的定义，属基础题.15．已知001112220012()()(1)()(1)()(1)()(1)n n n n n n n n n n g x C f x x C f x x C f x x C f x x n n n n--=-+-+-+⋅⋅⋅+-其中 f (x ) = x .若r ≥1时，有11r n n n rC nC --=成立，则 g (6) =___________.【答案】6【解析】根据题意，以及给定的公式，对问题进行合理的转化，利用二项式定理进行求解.【详解】因为()()()()()111!!!!1!11!k k n n n k k n C C n n k n k k n k ---=⨯==----- 故()()()120121111011n n n n n n n g x C x x C x x C x------=+-+-++L ()()()12001111111n n n n n n n x C x C x x C x -------=-+-+L ()1 1n x x x x -=-+=故()66g =.故答案为：6.【点睛】本题考查二项式定理的应用，主要是对问题的转化能力，属中档题. 16．如图，在四棱锥 E - ABCD 中， EC ⊥ 底面 ABCD ， FD / /EC ，底面 ABCD 为矩形， G 为线段 AB 的中点， CG ⊥ DG ，CD = DF = CE =2 ，则四棱锥 E - ABCD 与三棱锥 F - CDG 的公共部分的体积为________________ .【答案】49. 【解析】根据题意，公共部分的体积应该为两个三棱锥体积之差，据此求解.【详解】连接EF ，在四边形EFDC 中，因为FD //EC ，确定一个平面，则DE 与FC 必然相交，记其交点为M ；同理，因为EF //AB ，确定一个平面，则FG 与EA 必然相交，记其交点为N ，连接MN ，如图所示：则公共部分的体积D MNGC C FDG M FDN V V V ---=-因为,FD CG CG DG ⊥⊥，故CG ⊥平面FDG ，则11122?3263C FDG V FD DG CG -=⨯⨯⨯⨯=⨯= 在三角形EFN 和三角形ANG 中，因为EF //AG ，且12AG EF =故可得N 为FG 的三等分点，则21323GDN S FD DG =⨯⨯⨯=n 又因为M 点为FC 的中点，故M 点到平面FDN 的距离为C 点到平面FDN 距离的12故112329M FDN V -== 故公共部分的体积为：224399-=. 故答案为：49. 【点睛】本题考查棱锥体积的计算，涉及线面垂直，属综合中档题.三、解答题17．已知函数 f (x )=(42cos x -2)sin 2x + cos 4x . （1）求 f (x ) 的最小正周期及最大值；（2）设 A ， B ，C 为∆ABC 的三个内角，若cos 3B =，()12A f =-，且角 A 为钝角，求sin C 的值.【答案】(1)2π；(2)46. 【解析】（1）先化简函数解析式，再根据解析式求最值以及最小正周期；（2）由（1）及已知条件，可得A ，根据()sin sinC A B =+即可求解. 【详解】f (x )=(42cos x -2)sin 2x + cos 4x =2224cos xsin x cos x +44sin x cos x =+ 2sin 44x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故该函数的最小正周期为：242T ππ== ()2max f x =.（2）因为12A f ⎛⎫=-⎪⎝⎭故2sin 214A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭解得：52244A k πππ+=+，或722,44A k k Z πππ+=+∈ 又因为,2A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，592,444A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故解得：34A π=又cos 22B =，故可得13sinB =()2222142sin 23236sinC A B -=+=⨯-⨯=. 【点睛】本题考查三角函数的化简，涉及倍角公式的利用，以及和角公式，属三角综合基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 是PC 上一点，且BM PC ⊥.（1）求证：PC ⊥平面MBD ；（2）求直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】试题分析：（1）连接AC ，由线面垂直的性质定理可得BD PA ⊥，且BD AC ⊥，故BD ⊥平面PAC ，PC BD ⊥，又PC BM ⊥，利用线面垂直的判断定理可得PC ⊥平面MBD .（2）法1：由（1）知PC ⊥平面MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平面MBD 所成角，设1PA =，则1BC =，PC =，PB =PM sin PBM PB ∠==PB 与平面MBD 法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，结合(1)的结论可得平面MBD 得法向量()1,1,1PC =-u u u v ，而()1,0,1PB =-u u u v，据此计算可得直线PB 与平面MBD . 试题解析：（1）连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD Ø平面ABCD 得BD PA ⊥，又BD AC ⊥，PA AC A ⋂=， ∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥，又PC BM ⊥，BD BC B ⋂=， ∴PC ⊥平面MBD .（2）法1：由（1）知PC ⊥平面MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平面MBD 所成角，易证PB BC ⊥，而BM PC ⊥，不妨设1PA =，则1BC =，PC =，PB =在Rt PBC ∆中，由射影定理得22::2:1PM MC PB BC ==，可得23PM PC ==，所以PM sin PBM PB ∠==故直线PB 与平面MBD .法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，则0,0,1)P（，()1,0,0B ，()1,1,0C ，由（1）知平面MBD 得法向量()1,1,1PC =-u u u v ，而()1,0,1PB =-u u u v，∴1,0,11,1,1,23cos PB PC -⋅-=⋅u u u v u u u v63=.故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为63.19．某芯片公司对今年新开发的一批 5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了 100 颗芯片，所调查的芯片得分均在[7，19]内，将所得统计数据分为如下：[7,9)，[9,1)，[11,13)，[13,15)，[15,17),[17,19)六个小组，得到如图所示的频率分布直方图，其中0.06a b -=.（1）求这 100 颗芯片评测分数的平均数；（2）芯片公司另选 100 颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在 3个工程手机中进行初测｡若 3 个工程手机的评分都达到 13 万分，则认定该芯片合格；若 3 个工程手机中只要有 2 个评分没达到 13 万分，则认定该芯片不合格；若 3 个工程手机中仅 1 个评分没有达到 13万分，则将该芯片再分别置于另外 2 个工程手机中进行二测，二测时，2 个工程手机的评分都达到 13万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有 1 个评分没达到 13 万分，手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为 160 元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试．现手机公司测试部门预算的测试经费为 5 万元，试问预算经费是否足够测试完这 100 颗芯片?请说明理由. 【答案】(1)1?3.12；(2)不足够，理由见详解.【解析】（1）根据频率分布直方图，先求出参数,a b ，再计算其平均数；（2）先计算每颗芯片测试费用的分布列，以及数学期望，再根据题意比较是否足够. 【详解】（1）根据概率之和为1，可得：()20.0250.1250.111a a b ⨯+++++=结合0.06a b -= 可得：0.10,0.04a b ==故这 100 颗芯片评测分数的平均数为：()20.02580.1100.125120.11140.1160.041813.12⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题可知公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到13万分的概率为0.2220.140.5P =+⨯=设每颗芯片的测试费用为X 元，则X 可能取值为：320,480,640,800，()23200.50.25P X ===()3334800.50.50.50.375P X ==++=()1236400.50.50.50.1875?P X C ==⨯⨯⨯= ()1238000.50.50.50.1875P X C ==⨯⨯⨯=故每颗芯片的测试费用的数学期望为：()0.253200.3754800.18756400.1875800530E X =⨯+⨯+⨯+⨯=元，则1005305300050000⨯=>，故经费不足够测试完这100颗芯片. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的求解，以及离散型随机变量的分布列，难点是对题目的理解和把握.20．已知a ∈ R ， a ≠0，函数 f (x ) = e ax -1- ax ，其中常数e =2.71828 .（1）求 f (x ) 的最小值；（2）当a ≥1时，求证:对任意 x >0 ，都有 xf (x ) ≥ 2ln x +1- ax 2. 【答案】(1)0；(2)证明见详解.【解析】（1）求导，对函数的单调性进行讨论，从而求得最小值；（2）将不等式恒成问题，进行转换，结合（1）中的结论，构造新的函数，将问题转换为最值的问题即可. 【详解】（1）因为()1ax f x eax -=-，则()()11ax f x a e -'=-，()210ax f x a e -'=>'故()f x '为R 上的增函数，令()0f x '=，解得1x a= 故当()1,,0x f x a ⎛⎫∈-∞< '⎪⎝⎭，()f x 单调递减；当()1,,0x f x a ⎛⎫∈+∞>'⎪⎝⎭，()f x 单调递增，则()10min f x f a ⎛⎫==⎪⎝⎭故函数()f x 的最小值为0.（2）证明：要证明xf (x ) ≥ 2ln x +12ax - 等价于证明121ax xe lnx -≥+由（1）可知：10ax e ax --≥，即1ax e ax -≥ 因为0x >，故12ax xe ax -≥故等价于证明221ax lnx ≥+ 即()2210,0,ax lnx x --≥∈+∞令()221g x ax lnx =--，即证()()0,0,g x x ≥∈+∞恒成立.又())21122g x ax x x+-=-='令()0g x '=，解得x =故当(),0x g x ⎛'∈< ⎝，()g x 单调递减；当(),0x g x ⎫∈+∞>'⎪⎭，()g x 单调递增；故()2g x g lna ≥== 有因为1a ≥，故0lna ≥ 故()0g x lna ≥≥即证.即对任意 x >0 ，都有 xf (x ) ≥ 2ln x +1- ax 2. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，以及证明不等式恒成立的问题，属导数综合基础题.21．在平面直角坐标系中,已知曲线C的参数方程为2(x cos y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l过极坐标系内的两点π4A ⎫⎪⎭和π3,2B ⎛⎫⎪⎝⎭. (1)写出曲线C 的普通方程,并求直线l 的斜率; (2)设直线l 与曲线C 交于,P Q 两点,求BP BQ ⋅.【答案】（1）22143x y +=，2-；（2）12019 【解析】试题分析：利用消参法将参数方程转化成普通方程,再利用斜率公式求出斜率;写出直线l 的参数方程,代入22143x y +=,得2192405t +=,然后根据直线参数方程的几何意义解答.试题解析：(1)由题意得曲线C 的普通方程为22143x y +=,∵()()1,1,0,3A B ,∴直线l 的斜率为2-.(2)易知直线l的参数方程为(3x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数) 代入22143x y +=,得2192405t ++=,设方程2192405t +=的两个根为12,t t , 所以1212019BP BQ t t ⋅==. 点睛：本题主要是考查普通方程与参数方程的互化,极坐标与直角坐标的互化,直线参数方程的几何意义.22．已知,a b 都是实数，0a ≠，()|1||2|f x x x =-+- （1）求不等式()2f x >的解集M ；（2）求证：当R x M ∈ð时，||||||()a b a b a f x ++-≥恒成立. 【答案】(1)15 ,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)证明见详解. 【解析】（1）分类讨论，将函数写为分段函数，进行求解；（2）用分析法，结合绝对值三角不等式进行证明即可. 【详解】（1）由题可知，()23,21,1223,1x x f x x x x -≥⎧⎪=<<⎨⎪-+≤⎩故2x ≥时，()2f x >，解得52x > 当 1x ≤时，()2f x >，解得12x <故不等式的解集为：15,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U .（2）由（1）知：15,22R A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ð 要证||||||()a b a b a f x ++-≥即证12a b a bx x a++--+-≤恒成立，即证()12max a b a bx x a++--+-≤而由（1）可知：当()15,,12222maxx x x ⎡⎤∈-+-=⎢⎥⎣⎦则只需证：2a b a ba++-≥等价于证：2a b a b a ++-≥ 又2a b a b a b a b a ++-≥++-=，当且仅当()()0a b a b +-≥时取得. 故原不等式成立，即：当R x M ∈ð时，||||||()a b a b a f x ++-≥恒成立【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，属综合基础题.。