微积分的案例教学策略探讨
【线下一流课程】《微积分》教学设计
定积分的几点注记
加深概念
后测
几何面积
求极限
检查学生是否掌握定积分的几何意义利用定积分探讨极限问题
解决案例提出的问题
总结
回顾课程内容
与学生一起总结:定积分的概念和思想方法,体会从量变到质变的过程
数学文化育人(思政)
作业与进一步阅读内容
积分学习辅导与习题选解第3版
(强调在小区间上任意取点)
学生讨论取点的任意性
以直代曲
简单图形逼近复杂图形
求和
学生用什么方法使误差尽量减小
结合中华传统文化理解数学思想——积微成著
取极限
学生用极限语言描述解决问题的过程
逐步逼近
收益问题
检查学生是否能将定积分的思想应用在实际问题中
学以致用
完成知识的迁移
学生得出问题共性，抽象出定积分的概念
教学知识点分析
本节课从陕北地域文化特色出发，介绍定积分解决问题的基本思想，在此基础上抽象出定积分的概念。课程教学重点为理解定积分的概念和思想，难点确立为定积分概念的深入理解，即掌握“以直代曲”和“渐进逼近”的思想形成过程。
定积分是微积分课程中重要的概念之一，“定积分的概念”是学生学习多元微积分的必由之路，其“分割、近似、求和、取极限”的思想是本节课的精髓，这一思想的理解直接关系到应用定积分思想解决经济学相关问题的能力。
《微积分》教学设计
课 题
微积分
授课类型
面授
课时
1课时
教学内容
定积分的概念
学
情
分
析
授课对象是我校管理学院2020级会计学、资源与环境经济学两个专业的88名合班学生，其中理科生占66.7%，文科生占33.3%.本班省内生源占74.7%，学生高考数学成绩居于80-120分之间的占75.9%，数学基础参差不齐，文科生普遍较弱。虽在高中阶段已接触微积分的内容，但对于微积分概念的深刻理解和应用能力有待提高。
小学教育专业微积分教学设计探讨——以《微分的概念》教学设计为例
个性化教学：根据学生的需求和特点，制定个性化的教学计划，满足不同学生的发展需求。
微分的概念及其 在小学教育中的
应用
微分的概念及意义
微分是一种数学 运算方式，用于 描述函数在某一 点附近的变化率。
微分具有线性性 质，可以近似代 替函数值，用于 近似计算。
当前小学教育专业微积分教学存在的问题
教学内容抽象化，难以理解 教学方法单一，缺乏趣味性 缺乏实际应用，与生活脱节 评价方式不合理，难以反映学生真实水平
小学教育专业微积分教学的发展趋势
注重实践与应用：通过实际案例和项目，引导学生理解和应用微积分知识，培养其解决实际问 题的能力。
强调基础与拓展：在教授基础知识点的同时，注重培养学生的数学思维和拓展能力，鼓励他们 探索更广泛的应用领域。
教师团队建设与教学资源整合
组建专业教师团队，具备 微积分教学能力和经验
开展教师培训和交流，提 高教学水平和质量
整合优质教学资源，包括 教材、课件、习题等
建立教学资源库，方便教 师和学生使用
小学教育专业微 积分教学案例分
析
《微分的概念》教学设计案例介绍
教学目标：掌握微分概念，理解其在小学教育中的应用 教学内容：微分的定义、性质、运算方法及其在小学数学中的应用 教学方法：案例分析、小组讨论、互动问答 教学评价：通过练习题和小组报告的形式，检验学生对微分概念的理解和应用能力
教学评价与反馈机制建立
评价方式：采用多种评价方式，包括考试、作业、课堂表现等，全面评估学生的学习效果。 反馈内容：及时向学生反馈评价结果，指出学生的不足之处和需要改进的地方。 机制建立：建立有效的反馈机制，确保教师能够及时了解学生的学习情况并作出相应的调整。 持续改进：根据学生的反馈和评价结果，不断优化教学内容和方法，提高教学质量。
高职建筑专业微积分教学策略研究
高 等 院校 微 积 分 课 程 的任 务 是 ：一 方 面 使 学 生进 一 步 学 习 和 掌 握 本 课 程 的基 础 知 识 和 基 本 能 力 ：另 一 方 面要 为 学 生 学 习 专 业 课 程 提 供 必需 和 够 用 的 工 具 ． 他 们 具 有 学 习 专 业 知 识 的 使 基 础 和 计 算 能 力 。然 而 。 职微 积分 课 程 的教 学 现 状 令 人 堪 忧 ． 高 具 体 表 现 为学 生学 习微 积 分 的 兴 趣 低 下 ． 有 体 会 到 微 积 分 的 没 应 用 价 值 ． 职建 筑 专 业 微 积 分 的教 学 状 况 亦 是 如 此 高
摘 要 ： 等职 业 学校 中微 积 分 课 程 教 学 状 况 令 人 堪 忧 ， 多 数 学 教 师 “ 本 主 义 ” 高 许 本 的教 学倾 向较 严 重 ， 文 结 本 合 建 筑 专 业 课 的教 学 探 讨 了微 积 分 课 程 的 教 学 策 略 。 关键词 ： 高职 ； 筑 专 业 ； 积 分教 学 ； 学 思 想 建 微 数
高 职 建 筑 专 业 微 积 分 教 学存 在 的 问题
的建 筑专 业课 。 因 此 ． 学 课 的 教 学 要 与专 业 课 衔 接 和 渗 透 起 数 来 ． 能 达 到最 优 的教 学 效 果 。 才 高 职 建 筑专 业微 积分 教 学 策 略 实 际 上 ， 象 化 、 密 化 的微 积 分 在创 立之 初 并 非 如 此 微 抽 严 积 分 是 微 分 学 和 积 分 学 的 统 称 。积 分 学 源 自 曲线 的长 度 、 域 区 的面 积 、 体 的体 积 的计 算 方 法 。 希腊 的 Ｅ ｄ ｘｓｅ的 穷竭 法 物 古 ｕ ｏｕｄ 和 Ａ ｃ ｉｅ ｅ 的 平 衡 法 ． 国 魏 晋 时 期 刘 徽 的割 圆术 和祖 冲 之 ｒｈｍ ｄ ｓ 中 的 圆周 率 计 算 以及 求 体 积 的 原理 都 涉及 积 分学 微 分 学 的起 源 比积 分 学 晚 。它 主要 源 自求 曲线 的切 线 、 动 物体 的 瞬 时速 度 、 运
微积分精讲之策略
第 ８卷
第 ４期
贵 阳学 院学 报 （ 自然 科 学版 ） （ 季刊）
Ｊ Ｏ ＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｇ ＵＩ ＹＡＮＧ Ｃ ＯＬ Ｌ Ｅ ＧＥ
Ｖ０ １ ． ８ Ｎｏ． ４
２ ０ １ ３年 １ ２月
Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ（ Ｑ ｕ ａ ｒ ｔ ｅ ｒ ｌ ｙ ）
微 积 分 精 讲 之 策 略
孙树 东， 侯 学慧
（ 新 疆警 察学 院 公安 科 技教 育部 ， 新疆 乌鲁 木 齐 ８ ３ ０ ０ １ １ ）
摘
要 ：高等院校教 学改革 与教 学水平的提 高是 ３前备 － ＇ 受社 会 关注的话题 。提 高 高等 院校基 础 学科 的建设是
非 常重要 的 ，微 积分基础课程教 学质量的提 高就是其 中之 一。文章先 分析 了高校微 积分 的教 学现 状 ，提 出 了 微积 分精讲的策略 ，并拳教 学案例 以分享。 关键词 ：微 积分 ；课程精讲 ；教 学创 新
难 度
都积极开展微积分精讲策略的研究 ， 本人结合 自己
多年 的 微积 分教 学经 验 ， 对 如何做 好微 积 分精 讲教
（ Ｘ ｉ ｎ ｇ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｐ ｏ ｌ ｉ ｃ ｅ Ａ ｃ ａ ｄ ｅ ｍ ｙ ， Ｕ ｒ ｕ ｍ ｑ ｉ Ｘ ｉ ｎ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ８ ３ ０ ０ １ １ ）
提高微积分课堂主体参与的有效性策略探讨
比的极 限 ， 记 作“ Ｕ ” 或“ ＝” ， 是一个 难点 ， 可 以利用 洛必达法则去
求解 ， 但没 正确计算 ， 可 能会 有严重 的后果 。如西游记 “ 第七 回 、 八 卦炉 中逃大圣 ， 五行 山下定 心猿 ” 中， 大 圣道 ： “ 这 如来 十分好 呆 ！我老孙～ 筋斗去 十万八千里 。他那手掌 ， 方 圆不满一尺 ， 如 何跳 不 出去 ？ ” 却最终被 佛祖翻掌一 扑 ， 唤名“ 五行 山” ， 把他压住 再也 无法起 身 。在这里 ： 大圣 心想 “ 筋斗 ” 是无穷 大 ， 例如幂 函数
１ ｎ ｖ
题 。第 三层 ： 提高题 。整个例 题以及练习要求上体现 了一定 的层 次， 难、 中、 易兼顾， 让各 个学生都能够有效 的参与进来 ， 让每个 学 生都能够有所发展 。 ４ 联 系实际挖 掘教 材提高应用能力 学 习数 学的 目的是 学会综合 运用所学 知识和方 法解 决 的实 际问题 ， 获得运 用数 学解 决问题的处理方法 。因此我们在平 时的 教学中应注意这一点 ， 充分利用教材 中的例题 ， 善于处理教材 ， 调 整教材 ， 使 之成为调动学生主体参与 的有效性 的材料 。例如课本 例题 ： 要造一个容量一定 的长方体箱子 ， 问选择怎样 的尺寸 ， 才能 使所用 的材料最少 ？首先让学 生要 掌握 判别极值存在 的条件 ， 会 利用条 件极值 的方 法解决 问题 。接下来 可 以提 问 ： “ 如果是 圆柱 体 呢？选择 怎样 的尺寸 ？ ”“ 如果 没有限制容器 的形状 ， 选 择怎样 的形状 和尺寸 ？ ” “ 如果 是一个饮 料公 司 ， 该如何综 合考虑 ？ ” 指导 学生结合本节课 所学 的知识 ， 小组讨论 、 探究 ， 编题 ， 列式 ， 解答计 算 。从 而 ， 把数学 问题 生活化 ， 把生 活中典型 的题材引入 数学 的 课堂 中 。学生通 过独立思 考 ， 大 胆编题 ， 小组讨论 ， 合 作交流 ， 发 现 了数学 的乐趣 ， 培养 了 自己的创 造性 思维 ， 提高应用 能力 。 ５ 选择好课题借助 多媒体教 学 在 中、 小学教育 中， 多媒体教学 已经较为广泛 的应用 ， 并取得 了 良好 的效果 。而在 以高度抽象 为其 特点 的微 积分 的大学数学 教学 中 ， 该如何应用好 多媒体 技术 ？教学中用直观性帮助学生更 好 地进行抽 象 ， 随着学生抽 象思维能力 的逐步提 高 ， 就应随之逐 步减少 直观性描述 。因此 ， 微 积分的教学 中完全没有必要每 堂课 都去追求用 直观性 ， 但抽象思 维活动较少的多媒体课件组织教学 工作 。所 以 ， 必须认 真选择 多媒体课件的课题 。对于学生难 以进 行 抽象思维 或空 间想 象的教学 内容 ， 例如定积分 概念 的引 入 、 空 间解析几何 等 ， 适 合多媒体 课件进行 教学 ， 以帮助学 生尽快理解 并 掌握新 知识 。同样 在人数较 多的大教 室上课或在 进行课 时内 容量 比较丰富习题课教学时 ， 这种方法还是可取 的。而在如导数 的运算 、 积分 的求解 等内容的教学 ， 用传统 的板书板 ， 更便 于让 学 生掌握解题和思考过程 。
基于OBE教育理念的《微积分》混合式教学模式探究
基于OBE教育理念的《微积分》混合式教学模式探究摘要：基于OBE教育理念对《微积分》课程线上线下混合式教学模式进行探索，并依据该模式对我院《微积分》课程的教学大纲、教学目标、教学内容、教学方法、教学模式以及最终的考核评价机制做出改革，实现了《微积分》课程教学的“被动接受式学习”向“主动参与式学习”的转变，并以学生的产出为导向，指导任课教师不断调整教学内容，改进教学方式方法，进而为学生提供更加优质的教学资源，形成良好的教与学的有效闭环。
关键词:OBE教育理念；《微积分》课程；混合式教学模式中图分类号:G750 文献标识码:A微积分是人类伟大智慧的结晶，它在经济、金融、管理、工程等各个领域都发挥着巨大的作用。
也正因为如此，微积分成为高等院校经管类学生必修的一门基础课程，它对培养学生严谨的数学思维，科学的逻辑推理能力，以及应用所学知识分析解决实际问题的能力起到至关重要的作用。
但微积分学习难度大，学时少，纯线下课堂教师只顾在课堂上传授知识而忽略对学生能力的培养。
随着互联网的发展，b站、智慧树等平台上出现了大量的教学资源，学生可以通过手机、电脑等设备进行线上学习，但这种纯线上学习模式缺少了线下课堂的真实感，没有师生之间的有效互动，导致学生对知识的学习不够深入，学习效率不高。
这就要求我们必须探索出一套新的线上线下混合的教学模式，并根据学生的学习效果反馈来不断调整教学内容改进教学方法，真正做到以学生为中心，变学生的“被动接受式学习”为“主动参与式学习”[1]，进而达到国家对高校培养高素质人才的要求。
文献[2][3]对混合式教学模式及平台设计进行探讨。
接下来基于智慧树教学平台，介绍我院微积分课程线上线下混合式教学的具体实施策略。
1.开展《微积分》混合式教学的前期准备《微积分》是《高等数学》的重要组成部分，该课程主要针对我院工商管理系、经济贸易系和会计学系的学生开设。
作为一门先修的基础课程，它将数学知识和经济管理的相关专业知识相融合，培养了学生的逻辑思维能力和应用数学知识解决实际问题的能力，可以说《微积分》是非常重要的一门课程。
高中微积分教学探究 - 华东师范大学
高中微积分教学探究张哓波（B00111623） 导师：林磊副教授【摘要】在上海的高中阶段，自上世纪90年代中期以来，已经试点了好几年微积分的内容。
但于全国而言，从2001年推广的试验本教材才第一次出现微积分，并将在2004年的高考试卷中第一次出现微积分的内容，而重庆直辖市也将使用这个版本的教材。
所以如何设计这部分的教学，特别是用怎样的视角处理，笔者认为有必要做一些探讨。
本文在回顾我国微积分教学历程及进行中西比较，分析新大纲和考试说明中微积分的具体教学要求后，就高中微积分课堂教学策略和设计进行了探讨，以期在教学过程中使学生能对微积分有较深入的理解。
【Abstract】During the stage of senior middle school in Shanghai, calculus has been taught several years since the metaphase of last century 's 90s. But as to the whole country, calculus has just appeared in the textbook which has been used in the whole country since 2001 as well as in Chongqin, and will be involved in the 2004's national entrance exam to university in the first time. Therefore, I think it is necessary to study how to make a plan of its teaching, especially which visual field should be used. After reviewing the process of the calculus education in our country , making comparison between China and the West, analyzing the teaching requirements in the new outline and the exam's instruction, I will study on the strategies and teaching plans of calculus education in senior middle school to help students understand calculus deeply.【关键字】新大纲，高中教学，微积分教学一、 引 言自上世纪80年代以来，二十年间高中数学课程内容一直相对稳定。
浅谈大学非数学专业的微积分教学
2、教师培训
针对教学师资力量不足的问题，高校可以采取以下措施： （1）加强对教师的培训，提高教师的教学水平和数学素养；
（2）鼓励教师参加微积分的研讨会和学术交流活动，以便拓展教师的视野 和知识面；
（3）聘请具有丰富教学经验的教师，通过传帮带的方式提高年轻教师的教 学能力。
3、学生教育
为了激发非数学专业学生学习微积分的兴趣和动力，可以采取以下措施：
微积分方法
微积分方法包括许多不同的原理和技术，如黎曼几何、复杂函数和幂律分布 等。黎曼几何是一种研究几何图形在无穷小尺度下的变化和性质的方法，可以用 来解决物理中的一些问题，如电磁场和光学中的几何光学问题。复杂函数是一种 描述具有多个自变量和多个因变量的函数的数学工具，可以用来研究物理中的一 些复杂系统。幂律分布是一种描述具有相似特征的物理现象的数学模型，如力学 中的弹性模量、电磁场中的电阻等。
参考内容
引言
微积分是大学物理课程中不可或缺的一部分，对于许多学生来说，这也是一 门颇具挑战性的学科。微积分在物理学中有着广泛的应用，从力学、电磁场到光 学等领域，都需要用到微积分的知识。因此，教授微积分思想和方法的策略就显 得尤为重要。本次演示将浅谈大学物理中微积分思想和方法的教学。
微积分基本概念
一、问题分析
1、学生困难
对于非数学专业的学生来说，微积分课程往往比较抽象，难以理解。一些学 生可能缺乏足够的数学基础，导致在学习微积分的过程中遇到困难。此外，一些 学生可能对数学不感兴趣，缺乏学习微积分的动力。
2、教学师资力量不足
由于微积分课程对于教师的要求较高，需要教师具备较高的数学素养和教学 能力，因此，一些高校可能会出现微积分教学师资力量不足的情况。这可能导致 教学质量下降，影响学生的学习效果。
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微积分的案例教学策略探讨
作者：蒋芬
来源：《南方企业家》2018年第03期
摘要：高等数学是高等职业教育必修的基础课，其理论基础和思想方法不仅为专业课学习提供基础，还是技能发展的支撑工具。
高等数学在高素质技能型人才的培养方面占据非常重要的地位。
微积分教学作为高等数学教学中的重要模块，其教学成效重要性不言而喻。
本文对微积分的教学进行研究，探讨微积分的案例教学如何实现。
关键词：教学成效；微分学；积分学；案例教学
高职院校以培养高素质技术型人才为主要方向的高等教育目的，其在课程设置需要依照高等职业院校学生的特点和专业需要。
高等数学的教学展开情况直接影响了技术型人才的技能素养和终身发展的需求。
发展简史
微积分的发展体现着人类认识是感性认识到理性认识的过程。
早期萌芽时期始于公元前七世纪上半页，表现为对图形的长度，面积和体积的研究，比如穷竭法，割圆术等都体现了微积分思维的雏形。
发展成型于十七世纪，此时科学的理论研究着力于速率、极值、切线等问题，特别是描述运动与变化的无限小算法等，后来，牛顿和莱布尼茨各自独立地提出微积分系统的理论，使得微积分成为一门数学学科。
自此以后，连续性、导数、无穷小以及函数收敛等得到一系列数学家的继续深化研究和改善，微积分建立在牢固的理论基础上。
初等数学无法解决的问题随着微积分理论迎刃而解，显示出微积分学的非凡魅力。
教学案例的设计
微积分的发展史也体现了人类在数学方面的认知发展过程，微积分的教学成为高职教育中非常重要的一环。
在微积分的讲解过程当中，着力于高职教育的教育目的以及高职类学生的基础特色，着重从实际案例引入微积分的教学。
极限思维培养
在微积分的讲解过程当中，极限思维的培养是非常重要的。
具有极限的思维能很好地理解函数的连续、可导，积分等微概念。
案例：在课堂探讨无限循环小数0.9与1的大小关系。
证明方式：x=0.9令，10x=9.9则有，联立方程组求解有：10x=9.9x=0.9，解得x=1。
在进一步基础上，引入初等数学问题讨论“任意的无限循环小数都可化成分数”的实现。
另外可以适当根据学生的基础情况，通过圆周率的确定，扇形面积公式等来进一步讲解极限思维的应用场景，实现与初等数学的衔接和极限思想的进一步培养。
函数以及函数的连续性
函数体现的是实数变量之间的对应关系，可引入速度、时间和路程这些量之间的关系，系统解释一元连续函数，如图1。
在连续函数的基础上，可以进一步作离散的函数图2，以作连续和离散函数的对比。
函数的可导
在函数连续的基础上，导数定量研究函数的连续性，在实际讲解过程中继续对图1所示函数进行分析：以y表示直线运动的路程，x表示运行时间，其中y=2xx-6x-8 0≤x≤10。
按照图3所示，逐点x0
另外根据需要和学生情况，在端点处x=0和x=10处探讨单侧可导性。
通过此案例的介绍，其实导数衡量的变量的改变趋势，包括改变的方向以及改变的快慢，是一种定量研究函数连续性的方法。
函数的可微
微分主要衡量自变量的改变对应引起的因变量的改变大小，本质上是导数的变形。
在此图中，s∆=y0'∆x-∆y，∆y为图3中对应的因变量的改变量，在极限状态∆x→0下s∆为零，故有∆y→y0‘∆x∆x→0，亦可记为dy=y0‘dx。
此种推导过程推广到整个区间，则有任意点x0
不定积分
从数学的角度来说，不定积分属于微积分领域积分学的范畴，其实属于导数的逆运算。
在从微分学跨越到积分学的过程当中，从离散状态的求和符号xi讲起，然后强调积分符号fxdx 本质上是一种连续状态下的求和，把连续的微小量fxdx累加起来。
通过不定积分的y'dx求解，可以得到——系列的路程——时间函数，这些函数的图象保持如图6所示的特点。
路程——时间函数呈现图6的特点，得到多条趋势一致的曲线（即路程——时间函数不唯一），这是由于速度只是决定了路程的变化趋势，但是物体运动的初始位置没有限定，故由速度反向确定路程——时间，得到的结果不唯一。
定积分及其不定积分的关系
定积分问题本质上属于微分的逆运算，也是连续状态下的求和问题。
如果以时间、速度和路程三者的关系为例子图6和图7充分反映了定积分以及不定积分的关系。
y2-y1=s1-
s2+s3=x1x2y'dx，其本质反映了在时间段x1，x2上按照速度y'运动的物体路程的累计改变量，其结果跟图6中所示的路程——时间函数具体选取哪个函数没有关系。
知识升华和总结
在具体的教学过程当中，通过路程、时间和速度三者的之间的关系讲解，最后延伸到身边的数学当中去，比如可以借助经济增长模型、传染病控制相关知识、法医鉴定人体死亡时间等相关知识来探讨微积分相关知识。
通过案例的引入，加深学生对微积分的理解，最后再从具体的案例当中抽象出来，从数学层面纯粹探讨微积分并进行讲解。
本文通过时间、路程和速度三者的关系进行实例剖析，通过实例介绍，介绍微积分从连续、可导、可微、定积分和不定积分这些概念的内在联系，为微积分的案例教学提供一定的参考。
案例講解过程中忽略理论推导而注重直观感受，比较符合高职教育的实际情况和需要。
（作者单位：广州华夏职业学院）
【参考文献】
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