考研数学模考试卷

*
解系，证明： （1） , 1 , , n r 是方程组 Ax b 的 n r 1 个线性无关的解；
* * *
（2）方程组 Ax b 的任一解 x ，都可表示为这 n r 1 个解的线性组合，且组合系数之和为 1。
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本题得分
评 阅 人 （21） （本题满分 10 分)
（1） ( X , Y ) 的联合分布函数 F ( x, y ) ； （2）关于 X , Y 的边缘密度函数 f X ( x) 、 fY ( y ) ； （3）概率 P{ X Y 1} ； （4） Z X Y 的概率密度函数。
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本题得分
评 阅 人 （23） （本题满分 10 分)
2014 年全国硕士研究生入学统一考试 最新模拟试卷（数学一）
测试时间： 月 日 时到 时
考试注意事项 1 ．将自己的校名、姓名、学校代号、准考证号写在答题纸上．测试结束 后将试卷折叠后自己存好． 2 ．仔细阅读题目的说明． 3 ．答案写在相应的位置． 4 ．在规定时间内答完全部试题，不得拖延时间．
总得分 卷面分值 自 测 分 失 分 150 选择题 32 填空题 24 15 10 16 10 17 10 18 10 19 10 20 12 21 10 22 12 23 10
2013 年全国硕士研究生入学统一考试 最新模拟试卷（数学一）
注意：本试卷共 23 个题，满分 150 分． 本题得分 评 阅 人 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分． 每小题给出的四个 选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
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12.设 L 为 x 1 y ( 1 y 1) ，则曲线积分 ( x y ) ds
2
L

2
。
3 2 2 * * 13.已知 A 2 3 2 ， A 是 A 的伴随矩阵，则 A 的特征值是 2 2 3
。
14. 设 X 、 Y 是独立同分布的连续型随机变量，其密度 f ( x) 是连续函数，则 P{ X Y }
2
本题得分
评 阅 人 （16） （本题满分 10 分)
设 u f (r ) ， r 表达式。
x 2 y 2 满足
2u 2u 0 ，试将该方程化为 u 对 r 的微分方程，并求出 u f (r ) 的 x 2 y 2
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本题得分
评 阅 人 （17） （本题满分 10 分)
2
值为 X ，则 的无偏估计量是
2
（A）
1 n ( X i X )2 n i 1 1 n 2 Xi n i 1
评 阅 人
(B)
1 n ( X i X )2 n 1 i 1
(C)
1 n 2 (D) Xi n 1 i 1
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分． 把答案填在题中横 线上）

a
a
f ( x)dx 0 f ( x)dx 2 f ( x)dx
0 a

a
a
(C) 若 f ( x) 为非奇非偶函数，则

a
a
f ( x)dx 0
(D) 若 f ( x) 为以 T 为周期的奇函数，则 F ( x)

x
0
f (t )dt 也是以 T 为周期的函数。
【
】
4.设 an bn cn ( n 1, 2, ) 成立，则 （A）若
设 f ( x, y ) 在区域 D : 0 x 1 ， 0 y 1 上有定义， f (0, 0) 0 ，且 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微，计算
x 0
lim
x2
0
du
u
x
f (u , v)dv
ln( x 4 e 2 x ) 2 x
。
本题得分
z y 1 L: (1 y 3) 绕 y 轴旋转一周所成的曲面，其法向量正向与 y 轴正向夹角大于 。 2 x 0
本题得分
评 阅 人 （20） （本题满分 12 分）
设 是非齐次线性方程组 Ax b 的一个解， 1 ,2 ,,n r 是其对应的齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础
1 a 3 1 已知矩阵 A 1 4 3 的特征值有重根，且 A 可对角化，求可逆矩阵 P ，使 P AP 为对角阵。 1 2 5
本题得分
评 阅 人 （22） （本题满分 12 分)
2 1 x xy, 0 x 1, 0 y 2 设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) ，求 3 0 , 其它
7.设随机变量 X 与 Y 相互独立， 且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数 分布的是 （ A） X Y (B) X Y (C) max( X , Y ) (D) min( X , Y ) 【 】
8.已知总体 X 的期望 EX 0 ，方程 DX 均存在， X 1 , , X n 是来自 X 的简单随机样本，其样本均
1 x ,x e 设总体 X 的概率密度为 f ( x; , ) ，其中 0 ， x1 , x2 , , xn 是取自总体 X 的一个 0 ,x
简单随机样本，求未知参数 、 的矩估计量和最大似然估计量。
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做 题 提 示 1 ．本试题是由文登学校数学团队编写，具有较高的权威性． 2 ．自测时间安排在上午或下午，不间断地进行 180 分钟，自己做题，不 看参考书籍． 3 ．将心态调整到临战状态，与进考场无异． 4 ．自测结束后，保管好试卷，在老师点评时，认真对照，找出自己薄弱 环节，在临战之前再重点突击，争取考前消灭自己存在的问题．
1 , 2 , 3 , 4 线性相关，则
（A） 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表示 (B) (C)
4 可由 1 , 2 , 3 线性表示，但表示法不唯一 4 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法唯一
【 】
(D)以上均不正确
* *
6.已知 A 是 4 阶矩阵， A 是 A 的伴随矩阵，若 A 的特征值为 1, , 2, 4 ，则不可逆的矩阵是 （ A） A E (B) 2 A E (C) A 2 E (D) A 4 E 【 】
1.设 x 0 时， ax bx c cos x 是比 x 高阶的无穷小，则常数 a、b、c 为
2 2
1 ， b 0, c 1 2 1 （C） a ， b 0, c 1 2
（ A） a
1 1
（B ） a （ D） a
1 ， b 0, c 0 2
an 、 cn 都收敛，必有 bn 收敛
n 1 n 1 n 1 n



(B) 若

a
n 1
、
c
n 1

n
都发散，必有
b
n 1

n
发散
(C)
an
n 1
bn cn
n 1 n 1


(D)以上结论均不正确
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【
】
5. 设 矩 阵 A (1 , 2 , 3 , 4 ) 经 初 等 行 变 换 化 为 矩 阵 B ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ， 且 1 , 2 , 3 线 性 无 关 ，
【 】
1 ， b 0, c 0 2
2.在 ( , ) 内，函数 | x | 4 | x | 2 cos x （A）无零点 (B) 有且仅有一个零点 (C) 有且仅有两个零点 （D）有无数多个零点 【 】
3.设 f ( x) 在 ( , ) 连续，则下列叙述正确的是 （A）若 f ( x) 为偶函数，则 (B) 若 f ( x) 为奇函数，则
本题得分
9. lim(cos 2 x sin 3 x)
x 0
cot 5 x
=
。
10 已知 y1 cos 2 x 则该微分方程是 11.设 u e
x
1 1 xcos 2 x ， y2 sin 2 x xcos 2 x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的二个解， 4 4
。 。
x 2u 1 在点 (2, ) 处的值为 cos ，则 y xy
。
三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 本题得分 评 阅 人 （15） （本题满分 10 分) 设 y f ( x) 在 [0,1] 上是非负连续函数， （1）证明存在 x0 (0,1) ，使得在 [0, x0 ] 上以 f ( x0 ) 为高的矩形面积等于在区间 [ x0 ,1] 上以 y f ( x) 为曲 边的曲边梯形的面积。 （2）若又设 f ( x) 在 (0,1) 内可导，且 x f ( x) 单调增加，求证（1）中的 x0 是唯一的。
评 阅 人 （18） （本题满分 10 分)
证明：
1 2 3 4 3ln 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6
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本题得分
评 阅 人 （19） （本题满分 10 分)
计算 I
(4 xy x

2
)dydz (1 y 2 )dzdx ( yz z 2 )dxdy ，其中 是由曲线