考研数学二模拟试题2及答案解析word版本
考研数学二(解答题)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1.1．设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=，求(1)k的值；(2)X的分布函数F(x)．正确答案：(1)由∫01xdx+∫12k(2一x)dx==1，得k=1．(2)因为F(x)=∫-∞xf(t)dt，所以当x＜0时，F(x)=0；当0≤x＜1时F(x)=∫0xf(t)dt=x2；当1≤x＜2时F(x)=∫0xf(t)dt=∫01tdt+∫1x(2-t)dt=2x一x2-1；当x≥2时，F(X)=1．期F(x)=解析：考查利用概率密度计算分布函数的方法，是基本问题．注意到f(x)是分段函数，可根据x的不同取值范围直接利用公式F(x)=∫-∞xf(t)dt计算．知识模块：概率论与数理统计2．已知齐次线性方程组同解，求a，b，c的值．正确答案：方程组(Ⅱ)的未知量个数大于方程的个数，故方程组(Ⅱ)有无穷多个解．因为方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，所以方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩小于3．由此得a=2．此时，方程组(Ⅰ)的系数矩阵可通过初等行变换化为由此得(-1，-1，1)T是方程组(Ⅰ)的一个基础解系．将x1=-1，x2=-1，x3=1代入方程组(Ⅱ)可得b=1，c=2或b=0，c=1．当b=1，x=2时，对方程组(Ⅱ)的系数矩阵施以初等行变换，有比较(1)式与(2)式右边的矩阵可知，此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．当b=0，c=1时，方程组(Ⅱ)的系数矩阵可通过初等行变换化为比较(1)与(3)右边的矩阵可知，此时方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的解不相同．综上所述，当a=2，b=1，c=2时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．涉及知识点：线性方程组3．设(Ⅰ)求f’(x)；(Ⅱ)f’(x)在点x=0处是否可导?正确答案：(Ⅰ)这是分段函数，分界点x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即x≤0，于是可得当x≤0时，f’(x)=+2cos2x，x=0处是左导数：f’-(0)=2；当x＞0时，又=f(0)，即f(x)在x=0右连续f’+(0)=2．于是f’(0)=2．因此(Ⅱ)f’(x)也是分段函数，x=0是分界点．为讨论f’(x)在x=0处的可导性，要分别求f’+(0)与f’-(0)．同前可得按定义求f’’+(0)，则有因f’’+(0)≠f’’(0)，所以f’’(0)不存在，即f’(x)在点x=0处不可导．涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算4．设向量组的秩为2，求a，b．正确答案：记A=(a3，a4，a1，a2)，并对矩阵A作初等行变换当且仅当a 一2=0且b一5=0时，向量组(a3，a4，a1，a2)的秩为2，即a=2，b=5．涉及知识点：矩阵5．设线性方程组(1)证明：若a1,a2,a3,a4两两不相等，则此线性方程组无解；(2)设a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)，且β1=(一1，1，1)T，β2=(1，1，一1)T 是该方程组的两个解，写出此方程组的通解．正确答案：(1)方程组的增广矩阵的行列式为=(a4一a3)(a4—a2)(a4—a1)(a3一a2)(a3一a1)(a2—a1)．由a1，a2，a3，a4两两不相等，故｜B｜≠0，即r(B)=4，而系数矩阵A的秩r(A)≤3，故r(A)≠r(B)．即方程组无解．(2)当a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)时方程组为解析：本题考查线性方程组的解的存在性的判定，解的结构及解的求法．知识模块：线性方程组6．设A=E+ααT，其中α=(α1,α2,α3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．正确答案：由Aα=(E+ααT)α=α+ααTα=3α，于是得A的特征值λ3=3，其对应的特征向量为k1α，k1≠0为常数．又由A=E+ααT，得A—E=ααT，两边取行列式｜A一E｜=｜ααT｜=0，由此知λ2=1是A的另一个特征值．再由矩阵A的特征值的性质，trA=λ1+λ2+λ3=4+λ3，从而λ3=trA一4=3+αTα-4=1．由于λ2=λ3=1，对应的特征矩阵为A-E，由题设条件α=(a1，a2，a3)T≠0，不妨设a1≠0，则由此得方程组(A—E)x=0的同解方程组为a1x1=一a2x2一a3x3，解得λ2=λ3=1对应的特征向量为x=k2(一a2，a1，0)T+k3(一a3，0，a1)T，其中k2，k3，是不同时为零的任意常数．解析：本题考查抽象矩阵求特征值与特征向量的方法．可用定义Ax=λx，特征方程｜λE－A｜=0，trA=λ1+λ2+λ3．求A的特征值与特征向量．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化7．设函数求f(x)的最小值．正确答案：由题意令f’(x)=0，得唯一驻点x=1．当x∈(0，1)时f’(x)＜0，函数单调递减；当x∈(1，∞)时f’(x)＞0，函数单调递增．所以函数在x=1处取得最小值f(1)=1．涉及知识点：一元函数微分学8．已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．正确答案：若α1+α2+α3是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)．又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是(λ－λ1)α1+(λ－λ2)α2+(λ－λ3)α3=0．因为α1，α2，α3线性无关，故λ－λ1=0，λ－λ2=0，λ－λ3=0．即λ1=λ2=λ3．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化9．设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．正确答案：1)先转化已知条件．由=e4知从而再用当x→0时的等价无穷小因子替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得2)用a(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n-1)(0)=0，=4，故f(n)(0)=4n!．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用10．设D是由曲线y=sin x+1与三条直线x=0，x=π，y=0所围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积．正确答案：y=π∫0π(sin x+1)2dx=。
考研数学(数学二)模拟试卷442(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷442(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在x=0的某邻域内连续，且当x→0时，f(x)与xm为同阶无穷小．又设当x→0时，F(x)=∫0xnf(t)dt与xk为同阶无穷小，其中m与n为正整数．则k= ( )A．mn+n．B．n+m．C．m+n．D．mn+n－1．正确答案：A解析：当x→0时，f(x)与xm为同阶无穷小，从而知存在常数A≠0，当x →0时，f(x)～Axm，从而，f(xn)～Axm．于是由题意可知，上式为不等于零的常数，故k=mn+n．2．设φ(x)在x=a的某邻域内有定义，f(x)=|x－a|φ(x)．则“φ(x)在x=a处连续”是“f(x)在x=a处可导”的( )A．必要条件而非充分条件．B．充分条件而非必要条件．C．充分必要条件．D．既非充分又非必要条件．正确答案：D解析：下面举两个例子说明应选D．①设φ(x)在x=0处连续，但f(x)=|x|φ(x)在x=0处不可导的例子如下：取φ(x)≡1，但f(x)=|x|在x=0处不可导．②设φ(x)在x=0的某邻域内有定义，但在x=0处不连续，而f(x)=|x|φ(x)在x=0处却可导的例子如下：设φ(x)在x=0处不连续，但=－∞＜x＜+∞．所以f(x)在x=0处可导，fˊ(0)=1．3．sin(x2+y2)dy= ( )A．(cos 2－1)．B．(－cos 2+1)．C．(cos 2+1)．D．(－cos 2－1)．正确答案：B解析：积分区域D的边界曲线为y= |x|与，其交点为(1，1)与(－1，1)．化为极坐标：4．设f(x)在x=0处存在二阶导数，且f(0)=0，fˊ(0)=0，f″(0)≠0．则( )A．B．C．D．正确答案：C解析：先作积分变量代换，令x－t=u，则由二阶导数定义，5．设下述命题成立的是( )A．f(x)在[－1，1]上存在原函数．B．gˊ(0)存在．C．g(x)在[－1，1]上存在原函数．D．F(x)=∫－1xf(t)dt在x=0处可导．正确答案：C解析：A不正确．f(x)在点x=0处具有跳跃间断点．函数在某点具有跳跃间断点．那么往包含此点的区间上．该函数必不存在原函数．B不正确．按定义容易知道gˊ(0)不存存．C正确．g(x)为[－1，1]上的连续函数，故存在原函数．D 不正确．可以具体计算出F(x)，容易看Fˊ－(0)=0．Fˊ+(0)=0．故Fˊ(0)不存在．6．设F(u，v)具有一阶连续偏导数，且z=z(x，y)由方程所确定．又设题中出现的分母不为零，则( )A．0．B．z．C．D．1．正确答案：B解析：由题意，得7．设ξ1(1，－2，3，2)T，ξ2(2，0，5，－2)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组Ax=0的解向量的是( ) A．α1=(1，－3，3，3) T．B．α2= (0，0，5，－2) T．C．α3=(－1，－6，－1，10) T．D．α4 =(1，6，1，0) T．正确答案：C解析：已知Ax=0的基础解系为ξ1，ξ2，则αi，i=1，2，3，4是Ax=0的解向量〈=〉αi可由ξ1，ξ2线性表出〈=〉非齐次线性方程组ξ1y1+ξ2y2=αi有解．逐个判别αi较麻烦，合在一起作初等行变换进行判别较方便．显然因r(ξ1，ξ2)=r(ξ1，ξ2|α3)=2，ξ1y1+ξ2y2=α3有解，故α1，α2，α3是Ax=0的解向量．8．设α=(1，2，3)T，β1=(0，1，1)T，β2= (－3，2，0) T，β3=(－2，1，1)T，β4=(－3，0，1)T，记Ai=αβiT，i=1，2，3，4．则下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是( )A．A1．B．A2．C．A3．D．A4．正确答案：D解析：因Ai=αβiT≠O，r(Ai)=r(αβiT)≤r(α)=1，i=1，2，3，4．故λ=0至少是3阶方阵Ai (i=1，2，3，4)的二重特征值．则Ai (i=1，2，3，4)的第3个特征值分别是故知A4的特征值λ1=λ2=λ3=0，是三重特征值，但A4≠O，故A4不能相似于对角矩阵．应选D．填空题9．=______．正确答案：解析：10．椭圆绕x轴旋转一周生成的旋转曲面s的面积=______．正确答案：解析：11．曲线r=a(1+cosθ)(常数a>0)在点处的曲率k=______．正确答案：解析：将极坐标方程r=a(1+cosθ)化成参数式：于是有代入由参数式表示的曲率公式：并经较复杂但初等的运算，得12．在区间[0，1]上函数f(x)=nx(1－x)n(n为正整数)的最大值记为M(n)，则=______．正确答案：e－1解析：f(x)=nx(1－x)n，fˊ(x)=n(1－x)n－n2x(1－x)n－1=n(1－x)n－1(1－x－nx)．令fˊ(x)=0，得由于f(0)=f(1)=0，f(x)>0 (x∈(0，1))．在区间(0，1)内求得唯一驻点所以f(x1)为最大值．所以13．设函数f与g可微，z=f[xy，g(xy)+1nx]，则______．正确答案：fˊ2解析：由14．设二次型f(x1，x2，x3，x4)= x12+2x1x2－x22+4x2x3－x32－2ax3x4+(a －1)2x42的规范形为y12+y22－y32；则参数a=______．正确答案：解析：f是四元二次型，由规范形知，其正惯性指数为2，负惯性指数为1，且有一项为零．故知其有特征值λ=0，故该二次型的对应矩阵A有|A|=0．因故应有a=．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学二)模拟试卷420(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷420(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(χ)二阶连续可导，g(χ)连续，且f′(χ)＝lncosχ＋∫0χg(χ－t)dt，＝－2，则( )．A．f(0)为f(χ)的极大值B．f(0)为f(χ)的极小值C．(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点D．f(0)不是f(χ)的极值，(0，f(0))也不是y＝f(χ)的拐点正确答案：C解析：显然f′(0)＝0，＝－2得g(0)＝0，g′(0)＝－2．由∫0χg(χ－t)dt∫0χg(u)du得f′(χ)＝lncosχ＋∫0χg(u)du．故(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点，选C．2．当χ＞0时，f(lnχ)＝，则∫-22χf′(χ)dχ为( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由f(lnχ)＝得f(χ)＝，故选C．3．设z＝z(χ，y)由F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0确定，其中函数F 连续可偏导且af′1－cf′2≠0，则＝( )．A．aB．bC．cD．a＋b＋c正确答案：B解析：F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0两边对χ求偏导得＝0，解得；F(az －by，bχ－cz，cy－aχ)＝0两边对y求偏导得，故，因此选B．4．设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，其导函数的图形如图所示，则f(χ)有( )．A．一个极小值点和两个极大值点B．两个极小值点和一个极大值点C．两个极小值点和两个极大值点D．三个极小值点和一个极大值点正确答案：C解析：设导函数的图形与χ轴的交点从左至右依次为A，B，C，在点A左侧f′(χ)＞0，右侧f′(χ)＜0．所以点A为f(χ)的极大值点，同理可知点B 与C都是f(χ)的极小值点．关键是点0处，在它左侧f′(χ)＞0，右侧f′(χ)＜0，而f(χ)在点O连续，所以点O也是f(χ)的极大值点(不论在χ＝0处f(χ)是否可导，见极值第一充分条件)，选C．5．设D为y＝χ，χ＝0，y＝1所围成区域，则arctanydχdy＝( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因此选B．6．设函数u＝f(χz，yz，χ)的所有二阶偏导数都连续，则＝( )．A．0B．χzf〞11＋yzf〞22＋z2f〞12C．z2f〞12＋zf〞32D．χzf〞11＋yzf〞22正确答案：C解析：因此选C．7．设矩阵B的列向量线性无关，且BA＝C，则( )．A．若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性相关B．若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的行向量线性相关C．若矩阵A的列向量线性无关，则矩阵C的列向量线性相关D．若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性无关正确答案：D解析：设B为m×n矩阵，A为n×s矩阵，则C为m×s矩阵，且r(B)＝n．因为BA＝C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．若r(C)＝s，则r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)＝s，A的列向量组线性无关，A项不对；若r(C)＝s，则r(A)＝s，所以A的行向量组的秩为s，故n≥s．若n＞s，则A的行向量组线性相关，若n＝s，则A的行向量组线性无关，B项不对；若r(A)＝s，因为r(C)≤s，所以不能断定C的列向量组线性相关还是无关，C项不对；若r(C)＝s，则r(A)＝s，故选D．8．设n阶方阵A的n个特征值全为0，则( )．A．A＝OB．A只有一个线性无关的特征向量C．A不能与对角阵相似D．当A与对角阵相似时，A＝O正确答案：D解析：若A的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝，于是A＝O，选D．填空题9．＝_______．正确答案：解析：10．设y＝f(χ)与y＝sin2χ在(0，0)处切线相同，其中f(χ)可导，则＝_______．正确答案：解析：由y＝f(χ)与y＝sin2χ在(0，0)处切线相同得f(0)＝0，f′(0)＝2．由∫0χf(χ－t)dt∫0χf(u)du11．＝_______．正确答案：10π解析：12．由方程χ＋2y＋z－2＝0所确定的函数z＝z(χ，y)在点(1，1，2)处的全微分dz＝_______．正确答案：dχ－2dy解析：χ＋2y+z－2＝0两边对χ求偏导得1＋＝0，则，z＋2y＋z －2＝0两边对y求偏导得2＋＝0，则＝－2，于是dz＝dχ－2dy．13．设函数y＝y(χ)在(0，＋∞)上满足△y＝(＋χsinχ)△χ＋o(△χ)，且，则y(χ)＝_______．正确答案：χ(1－cosχ)解析：由可微的定义，函数y＝y(χ)在(0，＋∞)内可微，且y′＝＋χsin χ或y′－＝χsinχ，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得y＝＝(－cos χ＋C)χ由得C＝1，所以y＝χ(1－cosχ)．14．设矩阵A＝不可对角化，则a＝_______．正确答案：0或4解析：由｜λE－A｜＝＝λ(λ－a)(λ－4)＝0，得λ1＝0，λ2＝，λ3＝4．因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重根，从而a＝0或a＝4．当a＝0时，由r(OE－A)＝r(A)＝2得λ1＝λ2＝0只有一个线性无关的特征向量，则A不可对角化，a＝0合题意；当a＝4时，4E－A＝，由r(4E－A)＝2得λ2＝λ3＝4只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，a ＝4合题意．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x0，y0)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学2．设有三元方程xy－zlny＋exz＝1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z＝z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y＝y(x，z)和z＝z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z＝x(y，x)和z＝z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x(y，z)和y＝y(x，2)．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学3．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学4．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(x0，y)在y＝y0处的导数等于零．B．f(x0，y)在y＝y0处的导数大于零．C．f(x0，y)在y＝y0处的导数小于零．D．f(x0，y)在y＝y0处的导数不存在．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微分学填空题5．设z＝ex－f(x－2y)，且当y＝0时，z＝x2，则＝________。
考研数学二真题及答案分析精选文档
证明：
若 ，求方程组 的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为
【解析】
（I）证明：由 可得 ，即 线性相关，
因此， ，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】
【解析】 ，令 ，则有
（16）（本题满分10分）设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（17）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（18）（本题满分10分）已知函数 由方程 确定，求 的极值
【答案】极大值为 ，极小值为
【解析】
两边求导得：【答案】 Nhomakorabea【解析】
(11) _______
【答案】1
【解析】
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则
【答案】
【解析】 故
，
因此 ，即 ，再由 ，可得
【答案】
【解析】
（13）
【答案】 .
【解析】交换积分次序：
.
（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则
【答案】-1
【解析】设 ，由题设知 ，故
故 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【解析】 在 处连续 选A.
（2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（）
【答案】B
【解析】
为偶函数时满足题设条件，此时 ，排除C,D.
取 满足条件，则 ，选B.
2024年考研数学二模拟卷
2024年考研数学二模拟卷2024年考研数学二模拟卷指的是在2024年全国硕士研究生招生考试中，用于模拟测试考生数学二科目知识掌握程度的试卷。
这种试卷通常由填空题、计算题等题型组成，涵盖了数学二所要求的知识点，难度和题型与正式考试相仿。
以下是两道示例的2024年考研数学二模拟卷的选择题和一道填空题：计算题：1.题目：已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x = 1 和 x = -1 时取极值，且 f(-2) = -4。
(1) 求 a、b 的值；(2) 求 f(x) 的单调区间。
答案：(1) a = 1，b = -3；(2) 单调递增区间为 (-∞，-1) 和 (1，+∞)，单调递减区间为 (-1，1)。
判断题：1.题目：已知函数 f(x) = x^2 + 2x + m 在区间 [-3, 3] 上的最小值为 -3。
(1) 求 m 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-3, 3] 上的最大值。
答案：(1) m = -6；(2) 最大值为 15。
填空题：1.题目：已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 在区间 [0, a] 上有最大值 4，则 a的取值范围是 ___。
答案：a > 2 或 0 < a < 1总结：2024年考研数学二模拟卷指的是在2024年全国硕士研究生招生考试中，用于模拟测试考生数学二科目知识掌握程度的试卷。
这种试卷通常由选择题、填空题、计算题等题型组成，难度和题型与正式考试相仿。
通过做模拟卷可以帮助考生熟悉考试形式和题型，检查自己的知识掌握程度，提高解题技巧和应试能力。
2022考研数学二模拟试卷二答案解析
4
解 由题意知 r( A) 1，A 对称, 从而 A* 也对称.又因为 A (1,1,,1)T 3(1,1,,1)T ，所以 A*
的特征值为 3, 0, 0,, 0 , 对称阵不同的特征值对应的特征向量正交， Ax 0 的解与特征值 3 对应
的特征向量 (1,1, ,1)T 正交， Ax 0 与 x1 x2 x3 xn 0 同解. Ax 0 的通解为 x k1(1,1, 0,, 0)T k2 (1, 0,1,, 0)T kn1(-1,0,0,,1)T，ki 为任意实数．
(9) 答案：选（A）.
解 记 A (1,2,3,4 ) ，由已知的向量表示可知
0 1 2 1
(1,2 ,3,4 )
(1,2 ,3,4 )
1 2
0 2
1 0
4 1
，
1
5
4
0
记作 A AB ，从而 A(B E) O ，故 r(A) r(B E) 4 ，又 r(B E) 3 ，故 r(A) 1.再因为
解
z x
f1
f2
，
z y
cf1
cf
2
；
2z x2
f11 2 f12
f
22
，
2z y 2
c2
f11
c2
f12
c2
f
21
c2
f
22
c2 f11
2c2
f12
c2
f
22
，
2z x2
1 c2
2z y 2
4
f12.
（14）答案：填 .
解 F(t)
f (x 2 y 2)dxdy 2 d t f (r 2)rdr 2 t f (r 2)rdr ，所以
考研数学模拟试卷(数学二)(附答案,详解)
考研数学模拟试卷（数学二）（附答案，详解）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（ ）. （A ）sin ()f x '（B ）sin ()x t f t dt ⋅⎰（C ）(sin )x f t dt ⎰（D ）[sin ()]x t f t dt +⎰2.设111e ,0,()1e 1,0,x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（ ）.（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点 3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（ ）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）()()x xf t dtg t dt <⎰⎰4.设()f x 是奇函数，除0=x 外处处连续，0=x 是其第一类间断点，则⎰xdt t f 0)(是（ ）.（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在0=x 间断的奇函数 （D ）在0=x 间断的偶函数. 5.函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点有（ ）. （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个.6.若)(),()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)('>x f ，0)(''<x f ，则()f x 在),0(+∞内 有（ ）.（A ）0)('>x f ，0)(''<x f （B ）0)('>x f ，0)(''>x f（C ）0)('<x f ，0)(''<x f （D ）0)('<x f ，0)(''>x f7. 设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=.若A 的秩为3，则A 相似于（ ）.(A) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 1110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C) 1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 8.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1P AP -=（ ）.（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100040009⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9. 设()f x 二阶可导，2)0(",1)0(',0)0(===f f f ，则2()limx f x xx→-= . 10.微分方程(e 1)1xy y -'+-=的通解为 . 11.曲线xx xx y cos 25sin 4-+=的水平渐近线为 .12. 设()f x 是连续函数，且1()2()f x x f t dt =+⎰，则()f x = .13.若0sin lim(cos )5x x xx b e a→-=-，则=a ，=b .14.设A 为n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组0Ax =的通解为 . 三、解答题（本题共9小题，满分94分。
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f
(x)
x
3 ，则(
)
(A) f (0) 1, f (0) 5 2
(B) f (0) 1, f (0) 5 2
(C) f (0) 1, f (0) 5 2
(D) f (0) 1, f (0) 5 2
4.设 I cos x2dx ， J cos xesin2 xdx ，则( )
0
0
(A) I 0, J 0
(B) I 0, J 0
(C) I 0, J 0
(D) I 0, J 0
2
x2y
5.设函数
f
(x,
y)
x4
y2
x2 y2 0 ，则 f (x, y) 在点 (0, 0) 处(
)
0
x2 y2 0
(A)连续，但偏导数不存在
(B)不连续，但偏导数存在
2
4
(2)至少存在一点 (0,1) ，使得
f (1) f (0)
f () .
4
22.(本题满分 11 分)
已知 1,2 ,3
为三个三维列向量，
A
11T
2
T 2
3
T 3
.
(1)证明存在矩阵 B 使得 A BT B ；
(2)当1,2 ,3 线性无关时，证明 R( A) 3 ；
1 2 3
(3)当 1
y
f
(x) 在点 (1,
f
(1)) 处的法
线方程为________.
10.
cos 1
x sin cos2
3x x
dx
________.
5
11.
lim(arctan
1
)
4 3
(1
3
2
3
3
3
n)
________.
n
n
12.微分方程 y 4 y 2 cos2 x 的特解形式为________.
6
13.设函数 z z(x, y) 由方程 x az (y bz) 确定，其中 可导， a, b 为常数，且 a b 0 ，则 a z b z ________.
1
2 dx
1( x1)2 1 x
f (x, y)dy
2
dx
1
1( x1)2 0
f (x, y)dy
2
2
1 y2
1
1 y2
(C) 2 dy
0
y
f (x, y)dx 2 dy 1 y 2 f (x, y)dx
2
(D)
2
2 dy
1 1 y2
f (x, y)dx
0
1 y
1
1 1 y2
x y
1 2
14.设
2
,
，对任意的正整数
n
，矩阵 (E
T)n
________.
3 0
7
15.(本题满分 10 分)
设0
x
1，证明(1)ln(1
x)
x(2x 1) (x 1)2
；(2) (1
1)x (1 x
1
x) x
4
16.(本题满分 10 分)
将 yoz 坐标面上的曲线段 y f (z) ( f (z) 0, 0 z 12) 绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面 与 xoy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为16 (m2) ，如果以 3(m3 / s) 的速度 把水注入容器内，在高度为 z(m) 的位置，水的上表面积以 3 (m2 / s) 的速度增大，求：
8.已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 2ax1x3 4x2x3 的秩为 2 ，则该二次型的正负惯性指
数分别为( )
(A) 2, 0
(B) 0, 2
(C)1,1
(D)依赖于 a 的取值
4
9.设
f
(x) 为可导的偶函数，lim x0
f
(cos x) x2
2 ，则曲线
(C)可去间断点
(D)无穷间断点
2.设 f (x) 是连续且单调增加的奇函数， F (x)
x
(2u
x)
f
(x
u)du
，则
F (x)
是(
)
0
(A)单调增加的奇函数
(B)单调减少的奇函数
(C)单调增加的偶函数
(D)单调减少的偶函数
1
3.设函数
f
(
x)
具有一阶连续导数，且
lim
x0
e
x x2
1
D
9
19.(本题满分 10 分)
设函数 y y(x) 满足 y
1 x
x o(x) ，且 y(1) 1 ，计算
2
y ( x)dx.
2x x2
1
20.(本题满分 11 分)
x t sin t
设曲线
L
的参数方程
y
1
cos
t
(0 t 2 ) ，求：
(1)曲线 L 的参数方程确定的函数 y y(x) 的定义域；
(C)连续且偏导数存在
(D)不连续且偏导数不存在
6.将极坐标系下的二次积分
3
4 d
1 f (1 r cos , r sin )rdr 转化为直角坐标系下的二
0
0
次积分为( )
0
1 x2
1
1 x2
(A) 2 dx x
f (x, y)dy dx
0
0
f (x, y)dy
2
(B)
2 dy 1 1 y 2 f (x, y)dx
2
3
1 1 1
7.设
A,
B
为三阶非零矩阵，满足
AB
O
，其中
B
2a
1 a
2a
，则(
)
a a a 2 2
(A) a 2 时，必有 R( A) 1
(B) a 2 时，必有 R( A) 2
(C) a 1 时，必有 R( A) 1
(D) a 1 时，必有 R( A) 2
z 1 (1)曲线 y f (z) 的方程；(2)若将容器内水装满，需要多少时间?
8
17.(本题满分 10 分)
已知平面上两点 A(4, 6), B(6, 4) ， C 为椭圆 x2 y2 1上的点，求 ABC 面积的最大值 5 20
和最小值.
18.(本题满分 10 分)
设区域 D : 0 x 1, 0 y 2 ，计算 I [( y 1)e x2 y1 x y ]d.
数学二模拟试题二
校区
学管师
班级
姓名
分数
一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
1.设函数
f
(x)
lim
n
x2 e(n1) x 1 enx
，则点 x
0为
f
(x) 的(
)
(A)连续点
(B)跳跃间断点
(2)曲线 L 与 x 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体体积Vy ；
(3)设曲线 L 的形心坐标为 (x, y) ，求 y.
10
21.(本题满分 11 分)
设函数 f (x) 在[0,1] 上具有二阶连续导数，且 f (0) f (1) 0 ，证明：
(1)至少存在一点 (0,1) ，使得 2 f ( 1) f (0) f (1) f () ；
2
,
2
2
,
3
4
时，求
Ax
0
的通解.
3
1
4
11
23.(本题满分 11 分)