选修2-3 杨辉三角与二项式定理的性质1
选修2-3第一章1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质
增减性与 最大值
n＋1 时， 二项式系数是逐渐减小的． 最大值： 当 n 为偶数时， 2
n
中间一项的二项式系数 Cn2最大，当 n 为奇数时，中间两项
n－1 n＋1
的二项式系数 Cn
2
，Cn
2
相等，且同时取得最大值
各二项式 系数的和
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
自学导引
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1， 与这两个 1 等距离的项的系 相等 ； 数 _____ (2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上” r－1 r r C ＋ C 和 n n． 两个数的 ___，即 Cn＋1＝ _________
想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同 吗？ 提示 不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三
角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行
与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
二项式系数的性质 2．
对称性
“等距离” 在(a＋b)n 展开式中， 与首末两端 _________的两个二 － n m C n 项式系数相等，即 Cm ＝ ______ n
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【课标要求】
了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题． 1．
了解二项式系数的性质并能简单应用． 2． 掌握“赋值法”并会灵活应用． 3．
【核心扫描】
1． 杨辉三角的特点．(难点) 2． 二项式系数性质的应用．(重点) “赋值法”的应用．(易错点) 3．
课前探究学习
课堂讲练互动
高中数学选修2-3优质课件：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
式系数之和，则n的值为
A.15
B.10
C.8
√D.5
解析 令x＝y＝1，得(x＋3y)n的展开式中所有项的系数和为4n，
(7a＋b)10的展开式中所有项的二项式系数之和为210，
故4n＝210，即n＝5.
12成的规律，则a所表示的数是
A.8
√B.6
C.4
D.2
解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，
解答
(3)所有奇数项系数之和. 解 令x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59， 又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
59－1 将两式相加可得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ 2 ，
59－1 即所有奇数项系数之和为 2 .
解答
类型三 二项式系数性质的应用 例3 已知f(x)＝( 3 x2 ＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和 大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；
2
，
偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
跟踪训练2 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； 解 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. 二项式系数之和为 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和； 解 各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1， 所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
解答
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
反思与感悟
跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__3_4___ 行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
解析 答案
类型二 求展开式的系数和 例2 设(2－ 3 x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值. (1)求a0； 解 令x＝0，则展开式为a0＝2100.
人教版数学高二选修2-3讲义1.3.2“杨辉三角与二项式系数的性质
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3．理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)[基础·初探]教材整理1 “杨辉三角”阅读教材P 32～P 35第三自然段，完成下列问题．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .1．如图1-3-1是一个类似杨辉三角的图形，则第n 行的首尾两个数均为________．13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9……图1-3-1【解析】 由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1.【答案】 2n －12．如图1-3-2，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1……图1-3-2【解析】 设第n 行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！， 解得n ＝34.【答案】 34教材整理2 二项式系数的性质阅读教材P 33第四自然段～P 35，完成下列问题．1．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n 2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项各式系数C n －12n与C n ＋12n 相等，且同时取得最大值．2．各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.1．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝() A．8B．9C．10 D．11【解析】由题意(1＋x)n展开式中，x5的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以n＝10.【答案】 C2．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________.【导学号：29472034】【解析】二项式系数之和为C0n＋C1n＋…＋C n n＝2n＝32，所以n＝5.【答案】 53．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．【解析】在二项式中，令x＝1，得各项系数和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.【答案】164[小组合作型]与“杨辉三角”有关的问题如图1-3-3，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．图1-3-3【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.【自主解答】S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝(2＋10)×92＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：[再练一题]1．在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3.【解析】 由题可设第n 行的第14个与第15个数的比为2∶3，即二项展开式的第14项和第15项的系数比为C 13n ∶C 14n ＝2∶3，即n ！13！(n －13)！∶n ！14！(n －14)！＝2∶3，即14n －13＝23，解得n ＝34. 【答案】 34求展开式的系数和设(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017·x 2 017(x ∈R )．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值；(3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 017|的值．【精彩点拨】 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－32 017，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 0172. (3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 017·(2x )r ， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 017|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 017＝32 017.1．解决二项式系数和问题思维流程．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[再练一题]2．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.【解】(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，①令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.[探究共研型]二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为C m n＝C n－mn，也可以从f(r)＝C r n的图象中得到．探究2计算C k nC k－1n，并说明你得到的结论．【提示】C k nC k－1n＝n－k＋1k.当k<n＋12时，C k nC k－1n>1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小．探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值．已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.【导学号：29472035】【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．【自主解答】令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.则有⎩⎨⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．[再练一题]3．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()【导学号：29472036】A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3【解析】该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．【答案】 C2．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是() A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项【解析】因为C3n＝C7n，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．【答案】 A3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．【解析】 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.【答案】 54．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.【解析】 (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5a5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.【答案】 15．(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，解得n ＝8.所以(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C k 82k ≥C k －182k －1，C k 82k ≥C k ＋182k ＋1， 解得5≤k ≤6.又因为k ∈{0,1,2，…，8}．所以k ＝5或k ＝6.所以系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.。
杨辉三角与二次项系数的性质(一)
应用实例展示
概率统计
杨辉三角在概率与统计的领域中有着广泛的应用，例如二项式分布、超几何分布等。
排列组合
在排列组合的问题中，杨辉三角也有着重要的应用，例如求组合数、排列的方案数等。
总结和结论
1 杨辉三角是一种数学三角形
它具有很多有趣的特性和应用，例如递增性、对称性、组合数、概率等。
2 杨辉三角与二次项系数相关
通过数学归纳法、二项式定理等方法，可以证明杨辉三角中任意一行的每个数等于该数 所在行的二次项系数。
3 杨辉三角及其应用十分广泛
它在概率、统计、排列组合等领域中都有着广泛的应用，是一个非常重要的数学概念。
数学公式和推导
组合公式
组合公式是求解杨辉三角的关键，它表示 从n个不同的元素选取r个元素的方案数。
杨辉三角公式
杨辉三角的通项公式可以用二项式定理的 形式表示。该公式极为重要，在一些领域 如概率、统计学等有着广泛应用
杨辉三角与二次项系数的关系
1
二项式系数定义
二项式系数也称为二次项系数，即
性质介绍
2
二项式展开后的二项系数。
杨辉三角中每个数与其邻居的和是
下一行相邻的数。这个特性及杨辉
三角的组合意义表明它们与二次项
3
具体应用
系数密切相关。
二项式系数的研究在代数、几何、
物理等领域中有着广泛的应用，如
求法泰-利特伯恩公式。
探讨二次项系数的性质
佩尔定理
佩尔定理指出，杨辉三角中任意一行的每个数 等于该数所在行的二次项系数。
杨辉三角与二次项系数的 性质(一)
杨辉三角是一种数学图形，具有很多有趣的特性和应用。本篇演示将会介绍 它们和关于二次项系数的性质的相关知识。
原创2：1.3.2 杨辉三角及二项式系数的性质
n
当n为偶数时，中间一项的二项式系数 Cn2 取得最大值；
n1 n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn 2 、Cn 2 相等， 且同时取得最大值.
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a=b=1，则：
C
0 n
C1n
C
2 n
C
n n
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系数的 和等于：2 n
14 6 4 1
第Hale Waihona Puke 行1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 70……56 28 8 1
理论迁移
例1 证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶 数项的二项式系数的和. (a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr Cnnbn 在二项式定理中，令a=1,b=-1，则：
课堂小结
对称性
(1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数的和
(2)数学思想：函数思想
单调性；
图象； 最值.
第一章 计数原理
§1.3.2“ 杨 辉 三 角 ” 与 二 项 式 系 数 的 性 质
高中数学选修2-3·精品课件
复习回顾
二项定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn (n N )
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少 个？ 探究：二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉 三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？
+++++
课件1：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
C nn 1 1
探究一
性质1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
1
C C
r
n
1
n r
n
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
1 5
10
5
1
…
… …10… …
……
…
1 C1n1 C 2n1 … C rn 1 … C nn 12 1
… C rn C rn 1 … C nn 1 1
(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
二项式系数与杨辉三角
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
这个表叫做二项
式系数表,也称
“杨辉三角”
1
3
6
10
15
1
4 1
10 5
20 15
1
6
1
《
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
杨
辉
在国外，这个表被称为帕斯卡三角。认为是法国数学家帕斯卡
+1
2
与
2
3
4
1
3
6
1
4
1
1 5
10
10
5
1
…
…
…
…
…
…
…
…
； 1 C1 C 2 … C r … C n 2
高中数学(人教A版)选修2-3之 1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一)
0 2 3 即 0 Cn Cn C1 C n n , 0 n 2 Cn 1 n 3 Cn
所以 C
0 n
1 n
C
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？二 项式系数有什么特点？
二项式系数
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 0 1 (a b) C C 1 1 1 1
n
(a b) 3 (a b) (a b) (a b)
……
5
2
1
1 3 1 4 1 5
2
6 10
1
3 10 1 4 1 5
0 5
C CC
0 2
1 2
2 2
0 1 2 3 C3 C3 C3 C3
0 1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 C4
4
1 C CC C C C
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
……
n
0 n 1 n 2 n
……
(a b)
C C C ...C ...C
r n
n 1 n
C
n n
二项式系数的特点
( a + b ) … … … … … … … … …1
研究题：求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的 项，试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大 项的方法或步骤。
小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
人教版高中数学选修2-3《1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质》
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 2.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 这就是著名的斐波那契数列 。
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
四、小结
1、杨辉三角蕴含的基本性质
2、杨辉三角蕴含的数字排列规律
悄悄的我走了，
正如我悄悄的来；
我翻一翻课本，
让我收获点什么 。
C
r r 2
C
r n 1
C
r 1 n
(n>r)
?
结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
r r r r r 1 C C C C C 即 r r 1 r 2 n 1 n (n r )
根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角 中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和 ，等于第m+1条斜线上第n个数。
杨辉三角与二项式系数的性质
杨辉三角中的一些“秘密”
杨 辉 三 角
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行
1 1 1 2 1 1 1 3 3 1 1 4 4 1 6 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 r
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C C C C n 1 n 1 … n 1 第n-1行 1 C n 1 n 1 r n 1 2 1 … … Cn Cn 第 n行 1 C n C n …… … …
第 0行 1 第 1行 1 1 第 2行 1 2 1 6=3+3 4=1+3 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 10=6+4 第 4行 1 4 4 1 20=10+10 6 15=5+10 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1
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二项式展开
(a+b)0=1 1
(a+b)1=a+b 1 1
(a+b)2=a 12+2ab+b 2 21
3 (a+b)3=a 13+3a 32b+3ab 3 2+b 1
14+4a 43b+6a 6 2b2+4ab 4 31 (a+b)4=a +b4
2+10a2b3+5ab4+b5 (a+b)5=a 15+5a 54b+10a 10 3b10 5 1
杨辉三角
《 详 解 九 章 算 法 杨 》 辉 中 记 载 的 表
杨辉，南宋杭州钱塘人，中国著名的 数学家．著作甚多，共有５部21卷，著名 的有《详解九章算法》、《日用算法》、 《乘除变通本末》等。在朝鲜、日本等国 均有译本出版，的主要性质
杨辉三角与二项式系数
C
0 n+
C C + …+ C + …+ C
1 n+
2 n
r n
n 1 n +
C =2n
n n
“杨辉三角”出现在《详解九章算法》 一书中，杨辉三角的发现要比欧洲早500多 年，我国古代数学的成就是非常值得自豪 的。
1.杨辉三角与二项式系数
0行 1行
杨辉三角的第n行中的数对应于
1 1 1 1 4 3 6 3 4 1 1
1
n展开式的系数 二项式 ( a + b ) 1 2 1 2行
3行
4行 5行 n行
5行
1 5 10 10 5 1 (3)最值：当n是偶数时,中间的一项取最大 6行 1 6 15 20 15 ,6 1 值;当n是奇数时 ,中间的两项相等 且同时取 7行 35 35 最大值1 . 7 21 …… ……21 7 1
n-1行 1 n行 1
C C C C
1 n
1 n1
2 n1
2 n
n2 … C r 1 C r … Cn 1 1 n1 n1 r n 1 … … Cn Cn 1 …… ……
n行
性质探究:
1+ C
1 n+
C
r 2 …… …… + n+ + n+ …… ……
C
C
n 1 n +
1 = 2n
例4. 设 ( x 3x ) 的展开式中，各项系数和 比它的二项式系数和大992,
2 n
2 3
270 x ⑴求展开式中二项式系数最大的项. 90x 6 ,
22 3
⑵求展开式中系数最大的项. r r （ 21 ）解：系数通项 ＝ C （ ）解：4n 2n a 992 r 1 5 3 ,设ar 1最大,则
ar 1 ar 2 C5 3 C5 3 7 9 得 r n n 即 r r r-1 r-1 2 ＝ 32 或 2 ＝－ 31 （舍去）得 n ＝ 5 a a 2 2 C 3 C 3 2 2 r 1 r 5 5 2 2 2 3 3 3 3 2
即90x6与270 x 3
2 n n r r r+1 r+1 得（2n） 2n－992 ＝ 0 ，即（ 2 32 ）（ 2 31 ）＝0
2 3 2 C ( x ) 3x 22 二项式系数最大的项为 与 C ( x ) (3 x ) 5 5 3 2 3 3 2 3 r 3,即第4项C22 ( x ) (3 x ) 270 x 5
各行数字和有何特点? 1 0行 1 2 1 1 = + 1行 杨辉三角的各行数字的和等于与 1 + 2 + 1 = 22 2行 n 之对应的(a+b) 的展开式的各个系数 3 1 3 3 1 = 3行 + + + 2 的和为2n。 1 4 6 4 1 4行 + + + + = 24 5行 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 25 6行 1 6 15 20 15 6 1 7行 1 7 21 …… 35 35 21 7 1 ……
1
C
0 n
1 5 10 10 5 ………… r n 1 1 … C n … Cn Cn
C
n n
２杨辉三角的主要性质 1 0行 (1)基本性质：杨辉三角形的两条斜边上的 1 1 1行 数字都是1，而其余各数都等于它肩上的两 r 2 r 1 1 r 1 2行 个数字之和， 即 Cn Cn1 Cn1 1 3 3 1 3行 r n r (2) 对称性： 1 4 4行 Cn Cn 6 4 1