第06章 离散时间信号与系统的复频域分析——z变换

2.系统幅频特性与选频滤波器
由 式 （ 6-32 ） 和 式 （ 6-33 ） ， 可 以 得 到系统在不同频率信号作用下响应的幅度 为
|Y(ejΩ)|=|X(ejΩ)||H(ejΩ)|
根据数字滤波器通带与阻带在频率轴 上占据的相对位置，它也分为低通、高通、 带通、全通等不同类型。
6.6 数 字 滤 波 器
连续系统中，利用系统函数，我们可 以分析系统的时域特性、频率特性、稳定 性。在离散系统中，我们是否也可以用系 统函数做相同的事情呢？
回答以上问题就是本章的内容。
6.1 z 变 换 的 定 义
6.1.1 抽样信号的拉氏变换
由第四章可知，对连续时间信号进行均 匀冲激取样后就得到离散时间信号。设有连 续时间信号x(t)，每隔时间T取样一次，这相 当于连续时间信号x(t)乘以冲激序列δT(t)。
6.5.2 离散系统的系统函数
1.系统函数的引出 2.线性时不变离散系统的三种描述方式
可以用以下三种方式描述：差分方程，样 值响应，系统函数，它们之间可以相互转换。
6.5.3 离散时间系统的稳定性
1.时域判别法
与连续时间系统类似，离散时间系统 的样值响应h［n］或系统函数H(z)决定了 系统的特性。
单边拉普拉斯变换的收敛域是s平面上 σ>σ0 的 右 半 平 面 ， 相 应 z 变 换 的 收 敛 域 为 r>r0的圆外。即z平面上以原点为中心，以 r0=eσ0T为半径的圆外区域（包括无穷大区 的关系
由于z=esT，则s平面的虚轴s=jω映射到 z 平 面 的 单 位 圆 |z|=e0=r=1 。 正 像 虚 轴 上 的 拉普拉斯变换对应于连续时间信号的傅里 叶变换一样，单位圆上的z变换对应于离散 时间信号的傅里叶变换。因此，若一个离 散时间信号的傅里叶变换存在，它在z平面 的收敛域应包含单位圆。
Y(ejΩ)=X(ejΩ)H(ejΩ)
H(ejΩ)一般为复数，可用幅度和相位表示为
H(ejΩ)=|H(ejΩ)|ejφ(Ω)
H(ejΩ)随频率Ω的变化称为离散时间系统的 频率响应。|H(ejΩ)|称为幅度函数，而φ(Ω) 称为相位函数。由于ejΩ为Ω的周期函数， 周期为2π，因而H(ejΩ)也是Ω的周期函数。
只有当H(z)的所有极点在单位圆内时系统才是稳定的。
6.5.4 离散系统的频域分析
1.离散系统的频率响应
如果一个离散时间LTI系统的单位样 值响应为h［n］，激励为x［n］，则根据 时域的分析方法，系统的响应为
y［n］=x［n］*h［n］
在z域的对应关系为
Y(z)=X(z)H(z)
令z=ejΩ，即当z只在单位圆上变化时，可得 到系统在频域的对应关系为
第6章 离散时间信号与系统的复 频域分析——z变换
6.1 z 变 换 的 定 义 6.2 常 用 序 列 的 z 变 换 6.3 z 变 换 的 性 质 6.4 逆 z 变 换 6.5 离散系统的z域分析 6.6 数 字 滤 波 器 6.7 用MATLAB进行z域分析
在连续时间系统中，为了把时域的微 分方程转换为代数方程，我们利用了拉氏 变换。在离散系统中，我们是否可以用类 似的变换——z变换把差分方程的问题转换 为代数方程的问题呢？
如果对任一有界输入x［n］只能产生 有界输出y［n］，则称系统在有界输入、 有界输出意义下是稳定的。根据该定义， 对所有n，当
|x［n］|<M
时（其中M为实常数），若有|y［n］|<∞， 则系统稳定。
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2. z域判别法
图 6 3 稳 定 系 统 的 极 点 分 布
3.系统函数的零极点与时域响应的关系
6.6.2 IIR滤波器
IIR滤波器特点如下。 （1）系统的单位样值响应h［n］是无 限长的；
（2）系统函数H(z)在有限z平面上有极 点存在；
（3）结构上存在输出到输入的反馈， 即结构递归。
在实际应用中，往往根据系统的技术 指标要求，首先确定出系统函数H(z)，再 选用一种框图实现H(z)，最后，根据框图 编写数据处理的算法和程序。实际算法由 一组基本运算单元组成，它们是加法器、 乘法器和延时器。
6.3.1 线性 6.3.2 移位性质 6.3.3 z域微分性质 6.3.4 时域卷积定理
6.4 逆 z 变 换
6.4.1 变换对对比法 6.4.2 幂级数展开法（长除法） 6.4.3 部分分式展开法
6.5 离散系统的z域分析
6.5.1 应用z变换求解差分方程
应用z变换求解差分方程，是根据z变 换的线性性质和移位性质，把差分方程转 化为代数方程。
6.2 常 用 序 列 的 z 变 换
许多序列的z变换可直接由z变换的定义式求出。
1. δ［n］的z变换 2. u［n］的z变换 3. anu［n］的z变换
6.3 z 变 换 的 性 质
z变换具有许多性质，这些性质在离散 时间系统研究中非常重要。利用这些性质， 可以方便的计算许多复杂信号的z变换和逆 z变换，还可以找到z域与时域的关系。
（3）系数ak(k≠0)全为零，没有输出到 输入的反馈，即结构非递归。
6.7 用MATLAB进行z域分析
6.7.1 用MATLAB求z变换
MATLAB进行符号z变换的指令为：xz =
ztrans(xn，n，z)
其中：xn为x［n］的符号表达式；n为序 号n；z为复频率z；xz为x［n］的z变换X(z)。
用结构框图方法可以表示数字滤波器 的运算结构，使我们一目了然的看到系统 运算的步骤，加法、乘法的次数，存储单 元的多少。不同的运算结构对应不同的算 法。用它表达的运算结构即可以用硬件依 靠电路设计去实现，又可以用软件依靠程 序设计去实现。
6.6.3 FIR滤波器
FIR滤波器的特点如下： （1）系统的单位样值响应h［n］在有 限个n值处不为零； （2）系统函数H(z)仅有零点和z=0处的 极点；
利用拉氏变换，我们可以把求解连续 系统零状态响应的卷积积分问题转换为乘 积计算问题，在离散时间系统中，我们是 否可以用z变换把系统零状态响应的卷积和 的问题转换为乘积问题呢？
连续系统中，利用拉氏变换我们引入 了系统函数H(s)，它是输出信号的拉氏变 换Y(s)与输入信号的拉氏变换X(s)的比值， 也是冲激响应h(t)的拉氏变换。我们是否可 以利用z变换引入离散系统的系统函数H(z) 呢？
6.1.2 z变换的定义
1.双边z变换 2.单边z变换
6.1.3 单边z变换的收敛域
1.单边z变换收敛域的定义
使序列x［n］的z变换收敛的所有z的 集合称为z变换X(z)的收敛域，简记为ROC （Region of Convergence）。
2. z变换收敛域与拉氏变换收敛域的关系
图6.2 单边z变换的收敛域
6.7.2用MATLAB求z逆变换
1.长除法 2.部分分式展开法
6.7.3 用MATLAB计算频率响应
用MATLAB计算频率响应可直接使用 如下指令：
freqz(b，a)
freqz(b，a，n)
其中 b和a分别为系统函数分子、分母的系 数向量；n为频率的计算点数，常取2的整 数次幂；绘制的频率特性的横坐标Ω的范 围为0到π。
6.6.1 数字滤波器的概念
与模拟滤波器相对应，在离散系统中 广泛应用数字滤波器。它的作用是利用离 散时间系统的特性对输入信号波形或频谱 加工处理。或者说，把输入的数字信号通 过一定的运算关系变成所需要的输出数字 信号。
数字滤波器一般可以用两种方法来实 现：一种方法是用数字硬件装配成一台专 门的设备，这种设备称为数字信号处理机； 另一种方法就是将所需要的运算编制成程 序利用计算机软件来实现。
数字滤波器可以用差分方程、单位样 值响应h［n］、系统函数H(z)或频率响应 H(ejΩ)来描述。
与模拟滤波器相比，数字滤波器具有 更高的精确度和可靠性，使用灵活、方便， 已经成为数字信号处理技术中的重要手段。
数字滤波器的分类方法很多。若按照 其幅频响应的通带特性，可分为低通滤波 器、高通滤波器、带通或带阻滤波器；若 按照数字滤波器的构成方式，可分为递归 型滤波器和非递归型滤波器；或按照其单 位样值响应的时间特性，又可以分为无限 长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响 应（FIR）滤波器。