[推荐学习]高一数学12月检测试题

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北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题数学含解析

2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

高一数学12月质检试题及答案 (1)

任城一中—高一12月质量检测数学一、选择题（本大题共12个小题，每个5分，共计60分） 1. 的值为（）A ．B ．C ．D ． 2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x|x≤1}B ．{x|x≥0}C ．{x|x≥1或x≤0}D ．{x|0≤x≤1} 3．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（）（）A ．B ．C ．D ．4．函数的定义域是（）A ．B ．C ．D ．5．已知是第二象限角, （）（）A ．B ．C ．D ．6．函数的图像的一条对称轴是（）A ．B ．C ．D ．7．若（）A. B. C. D. 8．若, , , ，则（）A ．B ．C ．D ．9. 若关于的二次函数的图象与端点为、的线段（包括端点）只有一个公共点，则不可能．．．为（）600sin 2121-2323-1y x=x y e-=21y x =-+lg ||y x =lg(1)()1x f x x +=-(1,)-+∞[1,)-+∞(1,1)(1,)-+∞[1,1)(1,)-+∞a 5sin ,cos 13a a ==则1213-513-5131213()sin()4f x x π=-4x π=4x π=-2x π=2x π=-1sin cos ,0,tan 5且则的值是αααπα+=-<<34-4343-3443-或-()1,1-∈e x x a ln =xb ln )21(=xe c ln =a b c >>c a b >>c b a >>a c b >>x 332+-=mx x y )25,21(A )5,3(B mA ．B ．C ．D ．10．函数的值域为R ，则实数的取值范围是（）A ． B. C. D.11．方程的根的个数是（） A.. 7B. 8C. 6D. 512．函数在区间上的最小值是（）A ．B ．C ．D ．0二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知，则 . 14. 若函数是偶函数，则的增区间是15．计算：= ．16．设定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③当时，，则。

高一数学12月试题含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校宁夏唐徕回民二零二零—二零二壹高一数学12月试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 1.集合{}{}21,P x xM a =≤=，假设P M P ⋃=，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(],1-∞-B.[]1,1- C.[)1,+∞D.(][),11,-∞-+∞【答案】B 【解析】【分析】先化简集合P ，再由P M P ⋃=，即M P ⊆求解.【详解】因为{}{}2111P x xx x =≤=-≤≤，{}M a = 又因为P M P ⋃=，所以MP ⊆所以11a -≤≤ 应选:B【点睛】此题主要考察集合的根本关系，属于根底题.2.假设二次函数f(x)＝4x 2－2(t －2)x －2t 2－t ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值m ，使得f(m)>0，那么实数t 的取值范围〔〕 A 3(,3)(,)2-∞-+∞ B.3(3,)2- C.(,3)-∞- D.3(,)2+∞ 【答案】B【解析】【分析】函数f 〔x 〕的图象是开口向上的抛物线，故二次函数f 〔x 〕在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m ，使得f(m)>0的否认为：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x 都有f 〔x 〕≤0，即f 〔﹣1〕，f 〔1〕均小于等0，由此可以构造一个关于t 的不等式组，解不等式组，找出其对立面即可求出实数t 的取值范围．【详解】二次函数f 〔x 〕在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m ，使f 〔m 〕＞0，该结论的否认是：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x 都有f 〔x 〕≤0，由()()2214242101424210f t t t f t t t ⎧-=+---+≤⎪⎨=-+--+≤⎪⎩，求得t≤﹣3或者t≥32． ∴二次函数在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m ，使f 〔m 〕＞0的实数t 的取值范围是：〔﹣3，32〕，应选B ．【点睛】此题考察了一元二次方程根的分布和二次函数的单调性和值域等知识，属于中档题．同学们要注意解题过程中运用反面的范围，来求参数取值范围的思路，属于中档题． 3.函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()20f =，假设对于任意x ∈R ，都有()()()44f x f x f +=+成立，那么()2020f =〔〕A.2020B.1010C.2012D.0【答案】D 【解析】【分析】根据函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()20f =，结合()()()44f x f x f +=+，推知()f x 的周期为4求解.【详解】因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()20f =，所以()2(2)0-=-=f f ，又因为()()()44f x f x f +=+，令2x =-得()()()2424-+=-+f f f ，所以()40f =，所以()()4f x f x +=，所以()f x 的周期为4，()()()20204505000=⨯+==f f f .应选：D【点睛】此题主要考察函数的周期性的应用，还考察了转化求解问题的才能，属于根底题.a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．那么〔〕A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<【答案】A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2x y =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解． 5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.假设(1)1f =-，那么满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是〔〕A.[2,2]-B.[1,1]-C.[0,4]D.[1,3]【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的性质由(1)1f =-，可以求出(1)f -的值，再利用函数的单调性结合1(2)1f x -≤-≤，可以求出x 取值范围. 【详解】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-.(1)1f =-，(1)(1)1f f ∴-=-=.故由1(2)1f x -≤-≤，得(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-.又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，121x ∴-≤-≤，13x ∴≤≤.应选：D【点睛】此题考察了利用奇函数的单调性求解不等式问题，考察了数学运算才能.6.一块石材表示的几何体的三视图如以下图，将该石材切削，打磨，加工成球，那么能得到的最大球的半径等于〔〕 A.2 B.3C.5D.6【答案】A 【解析】【分析】根据三视图知，几何体是一个底面为直角三角形，高为12的直三棱柱，假设使球最大，那么球的半径为正视图内切圆的半径求解.【详解】由三视图知，几何体是一个底面为直角三角形，高为12的直三棱柱，假设使球最大，那么球的半径为正视图内切圆的半径，即8610r r -+-=，解得：2r .所以能得到的最大球的半径等于2. 应选：A【点睛】此题主要考察三视图的应用以及组合体问题，属于根底题.7.球面上有四个点,,,P A B C ，假设,,PA PB PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===，那么球的外表积为〔〕 A.π B.3πC.2π D.22π【答案】B 【解析】【分析】根据,,PA PB PC 两两互相垂直，且1PA PB PC===，,,,P A B C 构成一个以,,PA PB PC 为邻边的正方体，再根据,,,P A B C 在球面上，得到正方体的体对角线的长为球的直径. 【详解】因为,,PA PB PC 两两互相垂直，且1PA PB PC===，所以,,,P A B C 可以构成一个以,,PA PB PC 为邻边的正方体，又因为,,,P A B C 在球面上，所以球是正方体的外接球，所以正方体的体对角线的长为球的直径，即2R=所以R ，所以球的外表积为2432ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.应选：B【点睛】此题主要考察与球有关的组合体问题，还考察了转化求解问题的才能，属于根底题. 8.正四面体的棱长为,a P 为该正四面体内任一点，那么点P 到该正四面体各个面的间隔之和为〔〕A.2a C.3a【答案】C 【解析】【分析】先求得正四面体的体积，再根据正四面体的体积等于四个小三棱锥的体积之和求解. 【详解】如以下图：AE ⊥面BCD ，223323BE BF a a ==⨯=，所以3AE a ==，21sin 6024BCD S a a a ∆=⨯⨯⨯=，所以V正四面体=231312=. 因为正四面体的体积等于四个小三棱锥的体积之和，设点P 到该正四面体各个面的间隔分别为1234,,,,h h h h四个面的面积都为：21sin 6024a a a ⨯⨯⨯=，所以正四面体的体积为：()⨯⨯+++21234134a h h h h ，所以()23123413h h h h ⨯+++=，所以12343hh h h a +++=. 应选：C【点睛】此题主要考察正四面体的体积及应用，还考察了转化思想和求解问题的才能，属于中档题. 9.某三棱锥的三视图如以下图，其侧视图为直角三角形，那么该三棱锥外接球的体积为〔〕A.3B.52πC.2D.3【答案】D 【解析】【分析】根据三视图，该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，可以补成一个以3，4，5为邻边的长方体，外接球的直径为长方体的体对角线的长.【详解】由三视图可知：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，可以补成一个以3，4，5为邻边的长方体，外接球的直径为长方体的体对角线的长，即2R==所以2R =，所以外接球的体积为3433R ππ⨯⨯=. 应选：D【点睛】此题主要考察三视图的应用以及与球有关的组合体问题，还考察了转化思想和求解问题的才能，属于中档题.10.函数()132221x xx f x +++=+的最大值为M ，最小值为N ，那么M N +=〔〕A.0B.1C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】根据()1332222121+++==+++x xxx x f x ，易知3()21=+xx g x 是奇函数，那么max min ()()0g x g x +=，再由max min max min ()()()2()2+=+++f x f x g x g x 求解.【详解】因为()1332222121+++==+++x xxx x f x ，令3()21=+xx g x ，因为()33()()2121--==-=-++xx x x g x g x ，所以()g x 是奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，所以max min max min ()()()2()24+=+=+++=f x f x M N g x g x .应选：D【点睛】此题主要考察函数奇偶性的应用，还考察了转化求解问题的才能，属于常考题. 11.用{}min,a b 表示,a b 两数中的最小值，假设函数(){}min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =对称，那么t 的值是〔〕 A.1- B.1C.2-D.2【答案】A 【解析】【分析】令(),()==+g x x h x x t，根据()min min ()(0)0,()00====g x g h x h ，得到()()min 00f x f ==，再根据函数(){}min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =对称，有(){}1min 1,10=+=f t 求解.【详解】令(),()==+g x x h x x t，因为()min min ()(0)0,()00====g x g h x h ，所有()()min 00f x f ==，因为函数(){}min ,f x x x t =+的图像关于直线12x =对称，所以(){}1min 1,10=+=f t ，所以10+=t ，解得1t=-.应选：A【点睛】此题主要考察函数对称性的应用，还考察了特殊与一般的思想方法，属于中档题.12.函数()lg 2,20,2x x g x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，假设关于x 的方程()()20g x ag x b -+=有7个不同实数解那么〔〕 A.0a>且0b = B.0a >且0b > C.0a =且0b > D.0a <且0b =【答案】A 【解析】作出函数()g x 的图象，令()g x t =，由图象可知()0g x t =>有4个不等实根，()0g x t ==时，有3个不相等的实数根，()0g x t =<时无实根.题中原方程2()()0g x ag x b -+=有且只有7个不等实根，即20t at b -+=有两个实根，一根为0，另一根大于零，那么0,0a b >=，所以选A.【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法，令()y g x =，先画出函数()g x 的图象，根据根的个数判断原方程的根应该有几个，每个根应在哪个区间？问题转化为一元二次方程的根的分布问题，利用一元二次方程的根的分布列不等式，求出参数的取值范围. 二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13.如图，ABC ∆的直观图为等腰直角'''A B C ∆，其中''2A B =，那么ABC ∆的面积为_________.【答案】【解析】【分析】先计算出直观图的面积，再利用平面图形的面积与直观图的面积比为.【详解】因为ABC ∆的直观图为等腰直角'''A B C ∆，且''2A B =所以12222A B C S '''∆=⨯⨯=，因为平面图形的面积与直观图的面积比为所以2ABCS∆=⨯=故答案为：【点睛】此题主要考察斜二测画法以及原图形与直观图的面积比，属于根底题. 14.()()()22log 4log 1log 5log 21aa a a xy xy +++=+-〔0a >且1a ≠〕，那么8log =yx_______. 【答案】13-【解析】【分析】根据对数的运算法那么，将()()()22log 4log 1log 5log 21a a a a x y xy +++=+-，转化为()()()2241521++=-xy xy ，再构造转化为()()222269440-+++-=x y xy x y xy 求解.【详解】因为()()()22log 4log 1log 5log 21a a a a xy xy +++=+-，所以()()()22log 41log 521++=-a a xy xy ，所以()()()2241521++=-xy xy ，所以()()222269440-+++-=x yxy x y xy ，即()()22320-+-=xy x y ，所以3020xy x y -=⎧⎨-=⎩，解得12y x =. 8811log log 23==-y x .故答案为：13-【点睛】此题主要考察对数运算法那么的简单应用，还考察了转化求解问题的才能，属于中档题. 15.函数()()()22ln 111f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦的值域为R ，那么实数a 的取值范围是_______.【答案】315a -<≤-【解析】【分析】令()()22111=-+-+ta x a x ，根据()()()22ln 111f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦的值域为R ，那么()()22111=-+-+t a x a x 取遍()0,∞+所有的实数，即()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=---≥⎪⎩求解. 【详解】令()()22111=-+-+t a x a x因为()()()22ln 111f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦的值域为R ，所以()()22111=-+-+ta x a x 取遍()0,∞+所有的实数所以()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=---≥⎪⎩解得315a -<≤-故答案为：315a -<≤-【点睛】此题主要考察复合函数的值域问题，还考察了转化求解问题的才能，属于中档题.2 (1)(){(1)x x f x x x ≥=<,()g x 是二次函数，假设(())f g x 的值域是[)0+∞，，那么()g x 的值域是___________. 【答案】.【解析】【详解】试题分析：的图像如以下图所示，又因为()g x 是二次函数，且(())f g x 的值域是[)0+∞，，那么()g x 的值域是.考点：函数的图像与值域. 三、解答题〔一共70分〕 17.集合{}A x x a =<，{}12B x x =≤≤，{}20C x mx =+=．〔1〕假设()AB =RR ，务实数a 的取值范围；〔2〕假设C B C =，务实数m 的取值范围．【答案】〔1〕()2,+∞〔2〕[]{}2,10--【解析】【分析】〔1〕由补集的运算求出RB ，由条件和并集的运算求出实数a 的取值范围．〔2〕由CB C =得C B ⊆，分类讨论C =∅与C ≠∅，求出实数m 的取值范围【详解】解：〔1〕{}12B x x =≤≤，{|1R C B x x ∴=<或者2}x >.又{}A x x a =<，()AB =RR ，2a ∴>，即实数a 的取值范围是()2,+∞.〔2〕C B C =，C B ∴⊆.当C =∅时，0m =符合题意. 当C≠∅时，由20mx +=得2x m =-，故212m≤-≤，当0m >时，不等式的解集为空集；当0m <时，解得21m -≤≤-. 综上可知，实数m 的取值范围为[]{}2,10--.【点睛】此题考察并、补集的混合运算，以及求参数的范围，属于根底题．18.设函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x 有()()121212222x x x x f x f x f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且()0,12f f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 〔1〕求()0f 的值；〔2〕求证()f x 是偶函数，且()()f x f x π-=-.【答案】〔1〕1〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕根据()()121212222x x x x f x f x f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，采用赋值法令12x x π==求解.〔2〕采用赋值法令12,x x x x ==-得()()()()20+-=f x f x f x f ，再利用奇偶性的定义证明.，令12,x x x x π==-得()()2222πππ-⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x f x f x f f ，再根据02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π证明. 【详解】〔1〕因为()()121212222x x x x f x f x f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令12x x π==得()()()()20πππ+=f f f f ，所以()01f =；〔2〕令12,x x x x ==-得()()()()20+-=f x f x f x f ，所以()()f x f x =-，所以()f x 是偶函数.令12,x x x x π==-得()()2222πππ-⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x f x f x f f ，因为02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 所以()()fx f x π-=-.【点睛】此题主要考察抽象函数的应用和赋值法研究函数奇偶性、对称性，还考察了探究解决问题的才能，属于中档题.19.函数()22222xxf x =+. 〔1〕求1344f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；〔2〕求1299100100100f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【答案】〔1〕1〔2〕992【解析】【分析】〔1〕根据函数()22222xxf x =+，直接代入求解. 〔2〕根据()()()()()()()21212222221212222221222222222⨯-⨯-⨯-⨯-+-=+=+++++x x x x xx x x x xf x f x 22224122224x x x=+=+⋅+令1299100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭t f f f ，再利用倒序相加法【详解】〔1〕因为函数()22222xxf x =+，所以13132222444413224413132222444422222213224422222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=+=⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭f f ，3522235222222412224+++==+++.〔2〕()()()()()()()21212222221212222221222222222⨯-⨯-⨯-⨯-+-=+=+++++x x x x xx x x x xf x f x ，22224122224x x x=+=+⋅+. 令1299100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭tf f f ，所以99981100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭tf f f ，两式相加得：299t =，所以1299991001001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f . 【点睛】此题主要考察求函数值以及倒序相加法求和，还考察了运算求解问题的才能，属于中档题. 20.正三棱锥S ABC -，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，假设正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120. 〔1〕求三棱柱的高；〔2〕求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比. 【答案】〔1〕10或者5〔2〕19或者49【解析】〔1〕设正三棱柱的高为h ，底面边长为x ，根据相似比有151512h x-=，再根据正三棱柱的侧面积为120，有3120xh =，两式联立求解.〔2〕根据面积之比等于相似比的平方，结合〔1〕的结论求解. 【详解】〔1〕设正三棱柱的高为h ，底面边长为x ，如以下图:那么151512h x-=解得()4155xh =- 又因为正三棱柱的侧面积为120. 所以3120xh = 所以40xh =解得4,10xh ==或者8,5x h ==所以三棱柱的高是10或者5.〔2〕因为面积之比等于相似比的平方，所以棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比：1112151159S A B C S ABCS h S --⎛⎫-== ⎪⎝⎭或者1112154159S A B C S ABCS h S --⎛⎫-== ⎪⎝⎭. 【点睛】此题主要考察空间几何体中的截面以及相似比、侧面积等问题，还考察了平面与空间的转化求解问题的才能，属于中档题.21.三棱锥P ABC -的三视图如以下图，90ABC ∠=︒.〔1〕求该三棱锥的外表积；〔2〕求该三棱锥内切球的体积.【答案】〔1〕48+2〕(3364343π-【解析】【分析】〔1〕根据三视图可知，此三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形ABC ，顶点P 在底面上的摄影是底面直角三角形ABC 斜边的中点，且三棱锥的高为4，要求外表积，再利用三视图，明确AB ，BC ，AC上的高即可.〔2〕根据三棱锥的体积等于以球心为顶点，三棱锥的四个面为底的小三棱锥的体积之和求解. 【详解】〔1〕如以下图：由三视图可知，此三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形ABC，且AC =，顶点P 在底面上的摄影是底面直角三角形ABC 斜边的中点，且三棱锥的高为4，在PAB ∆中，AB 边上的高为5，在PBC ∆中，边BC 上的高为5，在PAC ∆中，边AC 上的高为4，所以该三棱锥的外表积11166265448222⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+ 〔2〕设内切球的球心为O ，半径为r 那么由P ABCO ABC O PBC O PAB O PAC V V V V V -----=+++得(11166448323r ⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯解得127r -=，所以该三棱锥内切球的体积(3336443343V r ππ-==【点睛】此题主要考察三视图的应用，空间几何体的外表积，体积，组合体等，还考察了转化求解问题的才能，属于中档题. 22.函数()()221+0,1gx ax ax b a b =-+≠<在区间[]2,3上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x=. 〔1〕求,a b 的值；〔2〕不等式()220x x f k -≥在[]1,1x ∈-上恒成立，务实数k 的取值范围. 【答案】〔1〕1,0a b ==；〔2〕0k ≤.【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得1,0a b ==；(2)不等式恒成立转化为122?22xx x k +-≥，结合二次型复合函数的性质和恒成立的条件可得实数k 的取值范围是0k≤.试题解析：解：〔1〕()()2g11x a x b a =-++-，当0a >时,()gx 在[]2,3上为增函数，故()()34414121110g a b a a g a b a b ⎧=++-==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=++-==⎪⎩⎩⎩，当0a <时,()g x 在[]2,3上为减函数，故()()24411131143g a b a a g a b a b ⎧=++-==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨=++-==⎪⎩⎩⎩，1,1,0b a b <∴==.〔2〕()()2121,2gx x x f x x x =-+=+-,不等式()2?20x x f k -≥化为122?22x x x k +-≥，21112?22x x k ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，令12x t =，那么221k t t ≤-+，[]11,1,,22x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦，记()221t t t ϕ=-+，()min 0,0t k ϕ∴=∴≤.点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。

湖北省武汉市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

武汉2023级高一12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.函数()ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()4,5 B.()5,6 C.()6,7 D.()7,8【答案】C 【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数ln ,8y x y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()6ln620,7ln710f f =-<=->，所以()f x 的零点所在的区间为()6,7.故选：C .2.已知函数()()2,21,23x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则3(1log 5)f -+的值为（）A.115B.53C.15D.23【答案】A 【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】()()()3log 15333311(1log 5)1log 521log 5log 15315f f f f ⎛⎫-+=-++=+===⎪⎝⎭.故选：A ．3.已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系e kx b y +=（y 为保鲜时间，x 为储存温度），若该食品在冰箱中0C ︒的保鲜时间是144小时，在常温20C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40C ︒的保鲜时间是（）A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得20144e 1e 3b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后整体代入计算即可.【详解】由题意，得20144e 48e bk b +⎧=⎨=⎩，即20144e 1e3bk⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当40(C)x =︒时，()2240201e e e 144163k b k b y +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭（小时）.故选：A4.函数()()e e 101x xf x x -+=-的大致图象是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性证明函数()f x 为偶函数；分别求出1()0,(2)02f f <>，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}1x x ≠±，关于原点对称，e e ()()10(1)x xf x f x x -+-==-，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C ；又1122221e e e e (0,(2)0121010(1)2f f --++=<=>-，故排除AB ，D 符合题意.故选：D.5.幂函数()f x 图象过点22⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2y f x f x =+-的定义域为（）A.(0,2) B.(0,2]C.[0,2]D.(2,2)-【答案】A 【解析】【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到020x x >⎧⎨->⎩，解得答案.【详解】设幂函数为()af x x =，则()222af ==，故12a =-，()12f x x -=，则()f x 的定义域为()0,∞+，故()()2y f x f x =+-满足020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<.故选：A6.若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.x z y <<B.y x z<< C.y z x<< D.z y x<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数x y b =以及幂函数b y x =的单调性比较出,,x y z 之间的大小关系.【详解】因为x y b =在()0,+¥上单调递减，所以ab bb >，即y z >，又因为b y x =在()0,+¥上单调递增，所以b b a b <，即x z <，所以x z y <<，故选：A.【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数y x α=当0α>时在()0+∞，上单调递增.7.“2a >”是“函数()()2log 3a f x ax x a =-+在区间(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定a 的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.【详解】由题设易知0a >，且1a ≠，设23t ax x a =-+，则函数23t ax x a =-+开口向上且对称轴为32x a=，所以23t ax x a =-+在3,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，log a y t =为增函数，所以1a >．要使()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(31,,)2a ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭，即312a ≤，所以32a ≤，要使230ax x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，分离参数a 可得，23311x a x x x>=++，因为12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但(1,)x ∈+∞，所以3312x x<+所以32a ≥．综上，32a ≥．所以“2a >”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的充分不必要条件，故选：A ．8.设函数()()2321log 1f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],2-∞ C.35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，从而可得()322log g x x x =+，进而判断函数()g x 的奇偶性与单调性，从而把问题转化为()()12-≤+g ax g x 在(]1,2x ∈上恒成立，结合函数()g x 的奇偶性与单调性可得12ax x -≤+，即212--≤-≤+x ax x ，参变分离后结合最值即可求解.【详解】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，因为()()2321log 1f x x x =-+-，所以()3212log 1f x x x =-+-，所以()322log g x x x =+，定义域为R ，由()()322log g x x x g x -=-+-=，所以函数()y g x =为偶函数，因为当0x >时，()322log g x x x =+为单调递增函数，所以当0x <时，()y g x =为单调递减函数，因为()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以()()12-≤+g ax g x ，根据函数()g x 的奇偶性与单调性得，12ax x -≤+.又因为(]1,2x ∈，所以212--≤-≤+x ax x ，即1311--≤≤+a x x ，即max min1311a x x ⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以当2x =时，max 1312x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，又因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以当2x =时，max 3512⎛⎫+= ⎪⎝⎭x ，所以3522a -≤≤.故选：C.二、多选题9.下列命题中正确的是（）A.方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根B.若函数2()f x x ax b =++，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭C.如果函数1y x x=+在[,]a b 上单调递增，那么它在[,]b a --上单调递减D.若函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称，则函数()y f x a b =+-为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】分析函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上的单调性，结合零点存在定理可判断A 选项的正误；利用作差法可判断B 选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,1上为减函数，函数22y x =在区间()0,1上为增函数，所以，函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上为减函数，021002⎛⎫-> ⎪⎝⎭ ，121102⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以，函数212xy x ⎛⎫⎪⎭-⎝=在区间()0,1上有且只有1个零点，即方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根，A 选项正确；()()()22212121212112222222f x f x a x x x x x x x ax b x ax b f b +++++++++⎛⎫⎛⎫-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222221212121212220444x x x x x x x x x x +-+---===-≤，B 选项正确；对于C 选项，令()1f x x x=+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()1f x x x =+为奇函数，由于该函数在区间[],a b 为增函数，则该函数在区间[],b a --上也为增函数，C 错误；对于D 选项，由函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b ++-=，令()()g x f x a b =+-，定义域为R ，且()()()()220g x g x f x a b f x a b b b -+=-+-++-=-=，即()()g x g x -=-，所以，函数()y f x a b =+-为奇函数，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是结合函数的单调性和零点存在定理，判断函数的零点个数，从而判断方程根的个数；第二问的关键是计算整理的准确性；第三问的关键是求出函数的奇偶性，由奇函数单调性的特点进行判断；第四问的关键是由对称性写出()()2f a x f a x b ++-=.10.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A.xy 最大值为18B.224x y +的最小值为12C.()x x y +最大值为14D.22x yxy+最小值为4【答案】AB 【解析】【分析】选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解.【详解】对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确；对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.已知53a =，85b =，则（）A.a b <B.112a b+> C.11a b a b+<+ D.b aa ab b +<+【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =，∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确；35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b +>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()xg x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．12.已知函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩，若方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A.104k <<B.23e ex << C.121x x +=- D.21234e 04x x x x <<【答案】ACD 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A ；结合对数函数性质可判断B ；结合二次函数图象的性质可判断C ；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩的图像如下：要使方程()(R)f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点，由图象，得104k <<，故A 正确；当0x <时，21()4f x x x =++，则1212()12x x +=⨯-=-，故C 正确；当0e x <<时，令1()4f x =，即11ln 4x -=，解得34e x =，343e e x ∴<<，故B 错误；∵34ln 1ln 1x x -=-，34e x x <<，∴341ln ln 1x x -=-，即4334ln ln 2ln x x x x ==+，则234e x x =，又120x x <<，22121212121()()()()224x x x x x x x x --+=-⋅-<=-=，∵120x x >，∴21234e 04x x x x <<，故D 正确，故选：ACD ．【点睛】方法点睛：将方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点问题转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.三、填空题13.已知1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，7log 4b =，则a ，b 表示49log 48=______．【答案】12a b +【解析】【分析】先根据指数式与对数式的互化求出a ，再根据对数的运算性质计算即可.【详解】由1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1771log log 33a ==，则()()49777771111log 48log 48log 3log 16log 32log 42222a b ==+=+=+.故答案为：12a b +.14.函数()()22log 2log 1f x x x =-+值域为__________.【答案】(],2-∞-【解析】【分析】确定函数定义域为()0,∞+，变换()21log 12f x x x=++，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】函数()()22log 2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，()()()2222221log 2log 1log log log 112xf x x x x x x =-+==≤+++21log 24==-，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故值域为(],2-∞-.故答案为：(],2-∞-.15.已知函数())()()()2ln 4R ,ln log e 5f x x ax a f =++∈=，则()()ln ln2f 的值为__________.【答案】3【解析】【分析】根据条件，构造奇函数())()4lnG x f x x ax =-=+，根据条件，利用换底公式得(ln(ln 2))5f -=，再利用()G x 的奇偶性即可求出结果.2,00,0x x x x x x x ≥⎧+>=+=⎨<⎩0x >恒成立，又())ln 4f x x ax =++，所以())4ln f x x ax -=+，令())()4lnG x f x x ax =-=+，易知()G x 的定义域为R ，又))()22()()ln ln ln 10G x G x x ax x ax x x -+=-++=+-=，所以()G x 为奇函数，又()()21ln log e (ln())(ln(ln 2))5ln 2f f f ==-=，所以(ln(ln 2))(ln(ln 2))4541G f -=--=-=，得到(ln(ln 2))1G =-，又(ln(ln 2))(ln(ln 2))41G f =-=-，所以()()ln ln23f =，故答案为：3.16.对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得7αβ-≤，则称函数()f x 和()g x 互为“零点相伴函数”，若函数()()ln 89f x x x =-+-与()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+互为“零点相伴函数”，则实数a 的取值范围为______.【答案】151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 的单调性结合()90f =，得9α=，则可得216β≤≤，则由已知可得方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t +=+，2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，然后结合对勾函数的性质可求出结果.【详解】因为()()ln 89f x x x =-+-在(8,)+∞上单调递增，且()90f =，所以9α=，由7αβ-≤，得97β-≤，得216β≤≤，所以由题意可知()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+在区间[2,16]上存在零点，即方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，由()()222log 1log 30x a x -+⋅+=，得()22222log 331log log log x a x x x ++==+，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，根据对勾函数的性质可知函数3()h t t t =+在上递减，在4]上递增，因为19(1)4,(4)4h h h ===，所以19()4h t ≤≤，所以1914a ≤+≤，解得1514a ≤≤，即实数a的取值范围为151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于较难题.四、解答题17.（1）若11223x x -+=，求3317x x x x --+++的值.（2）求值：432lg 4lg 9log 9log 2111lg 0.36lg823++⨯++.【答案】（1）23；（2）3.【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质求得17x x -+=，依次求得2247x x -+=、33322x x -+=，即可得结果；（2）根据对数的运算性质化简求值.【详解】（1）因为11223x x -+=，所以21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，得17x x -+=.所以()2122249x xx x --+=++=，得2247x x -+=.所以()()()3312217471322x x x x x x ---+=+-+=⨯-=，所以33132223777x x x x --+==+++.（2）原式()()223232lg 169lg16lg 9log 3log 2log 3log 2lg10lg 0.6lg 2lg 100.62⨯+=+⨯=+⨯++⨯⨯223lg12log 3log 2213lg12=+⨯=+=.18.已知函数()xf x a b =+（0a >，且1a ≠）的部分图象如图示．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()120xx b m a ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()122x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）[)6,+∞．【解析】【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；（2）将问题转化为24x x m +≤在[)1,+∞有解，结合函数的单调性即可得解.【小问1详解】由图象可知函数()x f x a b =+经过点()1,0-和()0,1-，所以1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以函数()f x 的解析式是()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1）知12a=，24b -=，根据题意知240x x m +-≤，即24x x m +≤在[)1,+∞有解，设()24x x g x =+，则()min g x m ≤，因为2x y =和4x y =在[)1,+∞上都是单调递增函数，所以()g x 在[)1,+∞上是单调递增函数，故()()min 16g x g ==，所以6m ≥，实数m 的取值范围是[)6,+∞．19.已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++.（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围.【答案】19.()20,log 3；20.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）由题设()()21230x x --<，利用指数函数性质及指对数关系求解集；（2）由题设得()()212210x x a --+<，进而可得221x a <+在(),0x ∈-∞恒成立求参数范围.【小问1详解】当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；【小问2详解】因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<，当0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，而()211,2x +∈，则21a ≤，解得12a ≤，因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；20.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量M 之间的关系为225log 10M v a b -=+（其中a ，b 是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s .（1）求120202020log a b ++的值；（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位?【答案】（1）12020（2）345【解析】【分析】（1）根据题意列方程求出,a b 的值，代入120202020log a b ++中可求得结果，（2）由题意得2252log 310M v -=-+≥，解不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得,265250log 10a b -=+,化简得20a b +=①,2105251log 10a b -=+,化简得31a b +=②,联立①②,解得2,1a b =-=，所以112020202012020log 2020log 12020a b +-+=+=【小问2详解】由（1）得,2252log 10M v -=-+,根据题意可得,2252log 310M v -=-+≥,即225log 510M -≥，得253210M -≥，解得345M ≥.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于3m/s,则其耗氧量至少要345个单位.21.已知函数()()2log 416(0a f x mx x a =-+>且1)a ≠.（1）若()f x 的值域为R ，求m 的取值范围.（2）试判断是否存在R m ∈，使得()f x 在[]2,4上单调递增，且()f x 在[]2,4上的最大值为1.若存在，求m 的值（用a 表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，根据对数函数定义域和值域的关系，可得()0,D +∞⊆，讨论m 的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分0m <，0m =和0m >三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数m 的值.【小问1详解】设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，因为()f x 的值域为R ，所以()0,D +∞⊆.当0m =时，()416g x x =-+的值域为R ，符合题意.当0m ≠时，由0Δ16640m m >⎧⎨=-≥⎩，解得104m <≤.综上，m 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当0m =时，()416g x x =-+，因为()40g =，所以0m =不符合题意，舍去.当0m <时，()4160g m =<，不符合题意.下面只讨论0m >的情况.若1a >，则()g x 在[]2,4上单调递增，由22m≤，解得m 1≥，此时()()()248160,4log 161a g m f m =-+>==，得116a m =≥，即当16a ≥时，存在16a m =，符合题意，当116a <<时，不存在符合题意的m .若01a <<，则()g x 在[]2,4上单调递减，由24m ≥，解得102m <≤，此时()()()41616160,4log 161a g m f m =-+>==，得16a m =，则当1016201a a ⎧<≤⎪⎨⎪<<⎩，即01a <<时，存在16a m =，符合题意.综上，当16a ≥或01a <<时，存在16a m =，符合题意；当116a <<时，不存在符合题意的m .【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.22.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(]{}1,23,4 （2）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）化简得()1425a a x a x+=-+-，再讨论解集中恰好有一个元素，得到a 的取值范围；（2）由题得()()11f t f t -+≤，即即()2110at a t ++-≥，由二次函数的单调性可得出答案.【小问1详解】由()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦即()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭等价于()()4250101425a x a a x a a x a x⎧⎪-+->⎪⎪+>⎨⎪⎪+=-+-⎪⎩,即()()2451010a x a x a x ⎧-+--=⎪⎨+>⎪⎩当4a =时，=1x -，经检验，满足题意.当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意.当3a ≠且4a ≠时，121211,1,.4x x x x x a ==-≠-是原方程的解当且仅当110a x +>，即22;a x >是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >.于是满足题意的(]1,2a ∈.综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 .【小问2详解】当120x x <<时，2212121111,log log a a a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+>++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +.()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥.。

高一数学12月月考试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校闽侯第HY学二零二零—二零二壹高一12月月考数学试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.集合，集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合∴集合∵集合∴集合∴应选C2.表示两条不同直线，表示平面，以下说法正确的选项是〔〕A.假设，那么B.假设，那么C.假设，那么D.假设，那么【答案】B【解析】如图,,但相交,错;,但,错;,但,错;故此题选3.扇形的半径为，周长为，那么扇形的圆心角等于〔〕A.1B.3C.D.【答案】A【解析】设扇形的圆心角为，扇形的弧长为∵扇形的半径为，周长为∴扇形的弧长为∴扇形的圆心角为应选A4.执行如下列图的程序框图，假设输入的值是1，那么输出的值是〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：程序执行的数据变化如下：成立，输出考点：程序框图5.一个几何体的三视图如下列图，那么这个几何体的体积是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知几何体为直三棱柱消去一个棱锥，其直观图如图：其中，，为侧棱的中点，侧棱长为2∴几何体的体积为应选D点睛：根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表〔侧或者底〕面积或者体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状.此题中由的三视图可得：该几何体是直三棱柱消去一个棱锥，画出几何体的直观图，求出棱柱与棱锥的体积，相减可得答案.6.三棱柱中，假设三棱锥的体积为，那么四棱锥的体积为〔〕A. B. C.18D.24【答案】A【解析】根据题意三棱柱如下列图：∵∴应选A7.设是轴上的不同两点，点的横坐标为2，，假设直线的方程为，那么直线的方程是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为〔-1，0〕，由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，那么P〔2，3〕，又因为Q为A与B的中点，所以得到B〔5，0〕，所以直线PB的方程为：化简后为x+y-5=0故答案为A考点：数形结合的数学思想解决实际问题．会根据两点坐标写出直线的一般式方程．8.如图，正三角形三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的间隔为1，点是线段的中点，过点作球的截面，那么截面面积的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】设正三角形的中心为，连接，分析知经过点的球的截面，当截面与垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值.连结，因为是正三角形的中心，三点都在球面上,所以平面，结合平面，可得，因为球的半径.球心到平面的间隔为1，得，所以在中，,又因为为的中点，是等边三角形，所以，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径，可得截面面积为.应选C.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)假设球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形〞成为一个球内接长方体，利用求解．9.曲线与直线有两个不同的交点时，实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法10.从个编号中要抽取个号码入样，假设采用系统抽样方法抽取，那么分段间隔应为〔表示的整数局部)〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】从个编号中要抽取个号码入样，按照系统抽样的规那么，为整数时，分段的间隔为，不是整数时，分段的间隔为.应选C11.假设函数是上的减函数，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数是上的减函数∴∴应选D点睛：此题考察分段函数的单调性，解决此题的关键是熟悉指数函数，一次函数的单调性，确定了两端函数在区间上单调以外，仍需考虑分界点两侧的单调性，需要列出分界点出的不等关系.12.设定义域为的函数，假设关于的方程有7个不同的实数解，那么〔〕A. B. C.或者2D.【答案】B【解析】设，作出函数图象，如下列图：由图象可知：当时，函数图象有2个交点，当时，函数图象有3个交点，当时，函数图象有4个交点，当时，函数图象有两个交点，当，函数图象无交点．要使方程有7个不同的实数解，那么要求对应方程中的两个根或者，且∴∴应选B点睛：利用函数零点的情况求参数值或者取值范围的方法(1)利用零点存在的断定定理构建不等式求解；(2)别离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，那么__________．【解析】∵是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称∴，，即∴∴，即∴∴故答案为014.点，点坐标满足，求的取值范围是__________．【答案】【解析】设∵点∴∵点坐标满足∴，即把代入到∵∴∴的取值范围是故答案为15.设点是函数的图象上的任意一点，点，那么的最小值为【答案】【解析】∵函数∴，即对应的曲线为圆心在，半径为2的圆的下局部∵点∴点在直线上过圆心作直线的垂线，垂足为，如下列图：∴故答案为16.函数，其中，假设对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，__________．〔并且写出的取值范围)【答案】【解析】∵函数，其中∴当时，又∵对任意的非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立∴函数必须为连续函数，即在附近的左右两侧函数值相等∴∴由题意可知二次函数的对称轴不能在轴的左侧，那么，即∴故答案为点睛：函数的函数值时,首先应该确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应关系求值,同时,要注意各区间上端点值的取舍情况.分段函数是一种重要的函数,它不是几个函数,而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.函数.〔1〕假设，求的值；〔2)求的值.【答案】〔1〕1；〔2〕1006.【解析】试题分析：〔1〕由及函数的表达式，直接进展求值即可；〔2〕根据〔1〕的结论，即可算出的值.试题解析：〔1〕.〔2〕.18.的顶点，过点的内角平分线所在直线方程是，过点的中线所在直线的方程是.〔1〕求顶点的坐标；〔2〕求直线的方程；【答案】〔1〕.〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕设.因为B点在直线上，所以可得①.又因为A,B两点的中点在直线上，所以可得②.所以由①，②可解得的值，即可求出B点的坐标.〔2〕由于过点的内角平分线所在直线方程为.所以通过求出点A关于平分线的对称点，然后再与点B写出直线方程即为所求的直线BC的方程.试题解析：〔1〕设，那么中点，由，解得，故．6分〔2〕设点关于直线的对称点为，那么，得，即，直线经过点和点，故直线的方程．12分考点：1.直线方程的表示.2.求关于直线的点的对称点.3.线段的中点问题.19.如图是以为直径的圆上的两点，，是上的一点，且，将圆沿折起，使点在平面的射影在上，.〔1〕求证：平面〔2〕求证平面；〔3〕求三棱锥的体积.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3〕∴..所以AD⊥平面BCE.〔2〕因为，.有直角三角形的勾股定理可得.在直角三角形BCE 中，又.所以.又BD=3，.所以可得.所以AD∥FE，又因为平面CEF,(3)通过转换顶点三棱锥A-CFD的体积.因为.所以.试题解析：〔1〕证明：依题意：平面∴∴平面．4分〔2〕证明：中，，∴中，，∴．∴．∴在平面外，在平面内，∴平面．8分〔3〕解：由〔2〕知，，且平面∴．12分考点：1.线面垂直.2.线面平行.3.几何体的体积公式.4.图形的翻折问题.20.函数〔，且〕.〔1〕写出函数的定义域，判断奇偶性，并证明；〔2〕当时，解不等式.【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕由题设可得，解得，即可写出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义即可判断奇偶性；〔2〕由及，再结合单调性，可得，即可解不等式.试题解析：〔1〕由题设可得，解得，故函数定义域为从而：故为奇函数.〔2〕由题设可得，即：∵∴为上的减函数∴，解得：故不等式的解集为.21.和定点，由外一点向引切线，切点为，且满足.〔1〕务实数间满足的等量关系；〔2〕求线段长的最小值；〔3〕假设以为圆心所作的与有公一共点，试求半径取最小值时的方程.【答案】〔1〕.〔2〕.〔3〕.【解析】试题分析：〔1〕连，由勾股定理可得，化简可得实数间满足的等量关系；〔2〕由于，根据间的等量关系及二次函数的性质即可求出线段长的最小值；〔3〕解法一：设的半径为，根据题设条件可得，利用二次函数的性质求得的最小值，此时，求得，获得最小值，从而得到圆的方程；解法二：根据的轨迹设出直线，由与有公一共点，欲求半径最小，即为与外切时半径最小，然后可求出半径最小值及垂直直线的方程，即可求出此时圆心的坐标，故而求出方程.试题解析：〔1〕连∵为切点，，由勾股定理有又由，故.即：.化简得实数间满足的等量关系为：.〔2〕由，得..故当时，，即线段长的最小值为.〔3〕解法一：设的半径为∵与有公一共点，的半径为1，∴.即且.而，故当时，.此时，，.得半径取最小值时的方程为.解法二：由题意可得的轨迹方程是，设为直线与有公一共点，半径最小时为与外切〔取小者〕的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的间隔减去1，圆心为过原点与垂直的直线与的交点..又，解方程组，得，即.∴所求圆方程为.22.函数，且.〔1〕试求的值；〔2〕用定义证明函数在上单调递增；〔3〕设关于的方程的两根为，试问是否存在实数，使得不等式对任意的及恒成立？假设存在，求出的取值范围；假设不存在说明理由.【答案】(1)；〔2〕见解析；〔3.【解析】试题分析：〔1〕由，即可求出的值；〔2〕利用单调增函数的定义即可证明；〔3〕化简为，利用韦达定理可得，根据，得出的取值范围，不等式对任意的恒成立等价为在恒成立，令，根据〔2〕求出，即可求出的取值范围.试题解析：(1)∵∴∴〔2〕∵∴设，∴，∵∴∴∴又∵，∴∴∴在上单调递增.〔3〕∵∴∴又∵∴，故只需当，使得恒成立，即在恒成立，也即在恒成立，∴令，由第〔2〕问可知在上单调递增，同理可得在上单调递减.∴∴故的取值集合是.点睛：对于含有多个变量的函数的恒成立问题，解题时要注意分清哪个是主变量，哪个是参数，区分的原那么是给出了税的范围谁就是变量，求谁的范围谁就是参数.解决恒成立问题一般采用别离参数的方法转化为求函数的最值问题处理.。

021-高一数学12月考试试卷

高一年级12月学情检测数学试卷一、单选题1．函数()f x +=的定义域是（）A ．()3,-+∞B ．[)()3,11,---+∞ C ．()()3,11,---+∞ D ．R2．若“x a >”是“220x x ->”的充分不必要条件，则实数a 的取值不可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设3log 8a =， 1.12b =， 1.10.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．c b a<<4．函数3()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（）A ．(1,2)B ．(2,e)C ．1(,1)eD ．(e,3)5．已知()f x 是定义在[2,2]b -上的偶函数，且在[2,0]b -上单调递增，则(1)(1)f x f +≤-的解集为（）A ．[2,0]-B ．[3,1]-C ．[3,2][0,1]-- D ．(,2][0,)-∞-⋃+∞6．诺贝尔化学奖得主，瑞典物化学家阿伦尼乌斯提出了电离学说，并在总结大量实验结果的基础上导出了著名的反应速率公式，即阿伦尼乌斯方程：eaE RT k A -=，其中k 为温度T 时的反应速度常数，A 为阿伦尼乌斯常数，a E 为实验活化能（与温度无关的常数），T 为热力学温度（单位：开），R 为摩尔气体常数，e 为自然对数的底．已知某化学反应，若热力学温度为1T 时，反应速度常数为1k ，则当热力学温度为14T 时，反应速度常数为（）A ．12k B ．11441kAC ．341kAD ．13441k A7．已知函数()ln 1e x f x x x=--（其中e 为自然对数的底数），则函数(1)y f x =+的大致图象为（）A．B．C ．D．8．函数||1()1e x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若a x f a x f x g 3)()32()(2)(2++-=有4零点，则a 的取值范围（）A ．(1,2)B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．330,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．331,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若函数()2f x 的定义域为[02]，，则函数()f x 的定义域为[]01，B ．若函数()y f x =过定点()01，，则函数()11y f x =-+经过定点()12，C ．幂函数32-=x y 在()0-∞，是减函数D ．()212x f x x -=+图象关于点()22-，成中心对称10．以下命题正确的是（）A ．函数()2f x x =-与函数()g x B ．()0,x ∀∈+∞，使43x x>C ．若不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<，则2a c +=D ．若0x >，0y >且41x y +=，则216x y +的最小值为11．函数()()2ln e 1x f x x =+-，则（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为RC ．()f x 是偶函数D ．()f x 在区间[)0,+∞上是增函数12．已知函数()()4,0,0x x x f x x x ⎧--≥=⎨-<⎩，下列说法中正确的有（）A ．()()13f f -=B ．函数()f x 单调减区间为()(),02,-∞+∞ C ．若()3f a >，则a 的取值范围是()(),31,3-∞- D ．若方程()f x b =有三个解，则b 的取值范围是()0,4三、填空题13．计算2ln 23:lg25e 82lg2+-+=__________．14．函数()|lg(1)|f x x =+的单调减区间是__________．15．理论上，一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x .在理想情况下，对折次数n 有下列关系：82log wn x≤，根据以上信息，一张长为30cm ，厚度为0.05mm 的纸张最多能对折的次数为___________.16．已知实数a ，b 满足113log ,4333=++=+b b a a ，则3a b +=_______.四、解答题17．已知集合1|3xA x ⎧⎪⎛⎫=>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩⎭，集合{}|1B x x a =->.(1)当2a =时，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围.18．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数(1)求()f x 的解析式(2)若(1,2)x ∈时，2()20x mfx +->恒成立，求实数m 的取值范围.19．若函数()1ln 1ax f x x+=-为奇函数.(1)求a 的值；(2)判断()f x 单调性并用单调性定义证明；(3)若()1302f x f ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭求实数x 的取值范围.20．已知函数(0xy a a =>且1)a ≠在[]1,2上最大值和最小值的和为12，令()x f x =．(1)求实数a 的值，并探究()()1f x f x +-是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；(2)解不等式：()()2121f x f x -+<．21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元.(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60),130()15480,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量.22．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为()f x ，双曲余弦函数为()g x ，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为R ；②()f x 为奇函数，()g x 为偶函数；③()()e x f x g x +=（常数e 是自然对数的底数，e 2.71828= ）．利用上述性质，解决以下问题：(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式：(2)解不等式21e (())2ef f x ->；(3)已知m ∈R ，记函数2(2)4(),[0,ln 2]y mg x f x x =⋅-∈的最小值为()m ϕ，求()m ϕ．2021-2022学年度高一数学12月考试卷一、单选题1．函数()0f x +=）A ．()3,-+∞B ．[)()3,11,---+∞ C ．()()3,11,---+∞ D ．R【答案】C【详解】由题意可得1030x x +≠⎧⎨+>⎩，解得3x >-且1x ≠-，所以函数的定义域为()()3,11,---+∞ .2．若“x a >”是“220x x ->”的充分不必要条件，则实数a 的取值不可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【详解】由不等式220x x ->得，0x <或2x >，∵“x a >”是“220x x ->”的充分不必要条件，∴集合{}|x x a >是集合{|0x x <或2}x >的真子集，∴2a ≥，∴实数a 的取值不可以是1.3．设3log 8a =， 1.12b =， 1.10.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．c b a<<【答案】B【详解】解：3331log 3log 8log 92=<<= ，12a ∴<<，1.11222>= ，2b ∴>， 1.1000.80.81<<= ，01c ∴<<，c a b ∴<<.4．函数3()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（）A ．(1,2)B ．(2,e)C ．1(,1)eD ．(e,3)5．已知()f x 是定义在[2,2]b -上的偶函数，且在[2,0]b -上单调递增，则(1)(1)f x f +≤-的解集为（）A ．[2,0]-B ．[3,1]-C ．[3,2][0,1]-- D ．(,2][0,)-∞-⋃+∞6．诺贝尔化学奖得主，瑞典物化学家阿伦尼乌斯提出了电离学说，并在总结大量实验结果的基础上导出了著名的反应速率公式，即阿伦尼乌斯方程：e aE RT k A -=，其中k 为温度T 时的反应速度常数，A 为阿伦尼乌斯常数，a E 为实验活化能（与温度无关的常数），T 为热力学温度（单位：开），R 为摩尔气体常数，e 为自然对数的底．已知某化学反应，若热力学温度为1T 时，反应速度常数为1k ，则当热力学温度为14T 时，反应速度常数为（）A ．12kB ．11441k A C ．341k AD ．13441k A7．已知函数()ln 1e xf x x x=--（其中e 为自然对数的底数），则函数(1)y f x =+的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．8．函数||1()1e x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若a x f a x f x g 3)()32()(2)(2++-=有4零点，则a 的取值范围（）A ．(1,2)B ．3,22⎡⎫⎪⎢C ．330,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪D ．331,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若函数()2f x 的定义域为[02]，，则函数()f x 的定义域为[]01，B ．若函数()y f x =过定点()01，，则函数()11y f x =-+经过定点()12，C ．幂函数32-=x y 在()0-∞，是减函数D ．()212x f x x -=+图象关于点()22-，成中心对称【答案】BD10．以下命题正确的是（）A ．函数()2f x x =-与函数()g xB ．()0,x ∀∈+∞，使43x x>C ．若不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<，则2a c +=D ．若0x >，0y >且41x y +=，则216x y +的最小值为11．函数()()2ln e 1xf x x =+-，则（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为RC ．()f x 是偶函数D ．()f x 在区间[)0,+∞上是增函数12．已知函数()()4,0,0x x x f x x x ⎧--≥=⎨-<⎩，下列说法中正确的有（）A ．()()13f f -=B ．函数()f x 单调减区间为()(),02,-∞+∞ C ．若()3f a >，则a 的取值范围是()(),31,3-∞- D ．若方程()f x b =有三个解，则b 的取值范围是()0,4【答案】ACD【详解】()()()113f f f -==，A 正确；画出函数图像，根据图像知函数()f x 单调减区间为(),0∞-和()2,+∞，B 错误；当a<0时，()3f a a =->，解得3a <-；当0a ≥时，()()43f a a a =-->，解得13a <<，故()(),31,3a ∈-∞- ，C 正确；()24f =，方程()f x b =有三个解，根据图像知，04b <<，D正确.三、填空题13．计算2ln 23:lg25e 82lg2+-+=__________．【答案】0【详解】2ln 23lg25e 82lg2+-+()()23lg 25422=⨯+-2lg10022=+-2240=+-=.故答案为：0.14．函数()|lg(1)|f x x =+的单调减区间是__________．【答案】(1,0)-【详解】()()()()lg 1,0lg 1lg 1,10x x f x x x x ⎧+≥⎪=+=⎨-+-<<⎪⎩，()1t h x x ==+ 在()0,∞+上递增，在()1,0-上递增，lg y t =在()0,∞+上递增，lg y t =-在()1,0-上递减，∴复合函数的性质，可得()()lg 1f x x ∴=+单调减区间是()1,0-15．理论上，一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x .在理想情况下，对折次数n 有下列关系：82log wn x≤，根据以上信息，一张长为30cm ，厚度为0.05mm 的纸张最多能对折的次数为___________.【答案】8【详解】依题意()388830102log 2log 60002log 811.718750.05n ⨯≤⨯=⨯=⨯⨯16．已知实数a ，b 满足113log ,4333=++=+b b a a ，则3a b +=_______.【答案】3【详解】由113log 33=++b b 可得1)13(log 313=++b b ，则，b b 33)13(log 3-=+所以13333+=-b b ，则；4)33(333=-+-b b ，又43=+a a ，令()3xf x x =+，则)33()(b f a f -==4，因为函数3x y =与y x =都是单调递增函数，所以()3xf x x =+显然是单调递增函数，所以b a 33-=，因此33=+b a .四、解答题17．已知集合1|3xA x ⎧⎪⎛⎫=>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩⎭，集合{}|1B x x a =->.(1)当2a =时，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围.18．已知函数24()(0,1)2x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数(1)求()f x 的解析式(2)若(1,2)x ∈时，2()20x mf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.19．若函数()ln 1f x x+=-为奇函数.(1)求a 的值；(2)判断()f x 单调性并用单调性定义证明；(3)若()1302f x f ⎛⎫-+-< ⎪求实数x 的取值范围.20．已知函数(0xy a a =>且1)a ≠在[]1,2上最大值和最小值的和为12，令()x f x =．(1)求实数a 的值，并探究()()1f x f x +-是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；(2)解不等式：()()2121f x f x -+<．21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元.(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60),130()15480,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量.22．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为()f x ，双曲余弦函数为()g x ，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为R ；②()f x 为奇函数，()g x 为偶函数；③()()e x f x g x +=（常数e 是自然对数的底数，e 2.71828= ）．利用上述性质，解决以下问题：(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式：(2)解不等式21e (())2ef f x ->；(3)已知m ∈R ，记函数2(2)4(),[0,ln 2]y mg x f x x =⋅-∈的最小值为()m ϕ，求()m ϕ．。

高一12月月考数学试题(含答案)

高一12月月考数学试题(含答案)数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1.⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 623sin 的值等于 . 2．设α角属于第二象限，且2cos 2cos αα-=，则2α角属于第象限.3.4tan 3cos 2sin 的值的符号为 .4.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数有个.5.已知点P(θcos ，θsin )在第三象限，则角θ的终边落在第______象限．6.设k = 80cos ，则= 100tan ____________ .7.已知()sin 1f x ax b x =++，若(5)7f =，则(5)f -=8.函数y =||xx sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是 . 9.如果 αα α α cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么αtan 的值为 . 10.如果ααcos sin +=43，那么ααcos sin -的值为 .11.若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 . 12.若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤，则集合B A 为．13.函数y=2sin(2x+6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 .14.已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a ，若θ是第二象限角，则实数a 的值是________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值；16.（14分）已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．17．（15分）已知2tan =α，求下列各式的值：（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--；（2）αααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--；（3）αααα22cos 5cos sin 3sin 4--.18．（15分）已知)62sin()(π+-=x x f 求：（1）函数的最小正周期；（2）函数的单调增区间；（3）若63ππ≤≤-x ，求函数的值域。

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四川省营山县回龙中学2015-2016学年高一12月月考
数学试题
一、选择题
1．已知集合若则实数的取值范围是
A.2≤m≤3
B.m≤3
C.2<m≤3
D.m≤2
2．集合,且,则
A.0
B.
C.
D.
3．设,则的大小关系是
A. B. C. D.
4．对于区间[a,b]上有意义的两个函数与,如果对于区间中的任意数均有
,则称函数与在区间上是密切函数,称为密切区间.若m(x)＝x2－3x＋4与n(x)＝2x－3在某个区间上是“密切函数”,则它的一个密切区间可能是
A. B. C. D.
5．函数与在同一坐标系中的图象只能是
A. B. C. D.
6．已知,则使得都成立的取值范围是
A.(0,)
B.(0,)
C.(0,)
D.(0,)
7．若函数在区间上是增函数,则有
A. B. C. D.
8．设函数，则的值为
A. B. C. D.
9．已知函数是上的减函数,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
10．定义在R上的函数满足且当
时,.则等于
A. B. C. D.
11．设,函数满足,若,则的最小值为
A. B. C. D.
12．已知函数的对应关系如表,函数的图象是如图的曲线,其中,,,则的值为
A. B. C. D.
二、填空题
13．已知函数且的图象恒过定点的坐标为,将的图象向下平移1个单位,再向平移个单位,即可得到函数的图象.
14．若函数在上的最大值为4,最小值为,且函数
在上是增函数,则.
15．函数的定义域为 .
16．若函数同时满足
①对于定义域上的任意,恒有;
②对于定义域上的任意,当时,恒有,则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数中:
(1)(2)(3)
能被称为“理想函数”的有(填相应的序号).
三、解答题
17．已知条件,条件
.
(1)若,求实数的值;
(2)若,求实数的取值范围.
18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品(百台),其总成本为(万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入(万元)满足,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)求利润函数的解析式(利润=销售收入—总成本);
(2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多？
19．已知集合.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)若,求实数的取值范围.
20．(1);
(2).
21．已知.
(1)若,求函数的值域;
(2)求证:函数在区间上单调递增.
22．已知两条直线和(其中),若直线与函数的图象从左到右相交于点,直线与函数的图象从左到右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为.令.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)当变化时,求出的最小值,并指出取得最小值时对应的的值.
参考答案
1-5 BCCBC 6-10 BCAAC 11-12 AB
13.,左,2
14.
15.
16. (3)
17. 由已知得，
(1)因为,所以,所以.
(2) 因为，而或.
或,
或
18. (1)由题意得G(x)=2.8+x.
∴=R(x)-G(x)=.
(2)当x>5时,∵函数递减,∴<=3.2(万元).
当0≤x≤5时,函数=-0.4(x-4)2+3.6,
当x=4时,有最大值为3.6(万元).
所以当工厂生产4百台时,可使赢利最大为3.6万元.
19. (1)借助数轴可知：A∪B＝{x|2＜x＜10}．
C R A＝{x|x＜3或x＞7}．
∴借助数轴可知，(C R A)∩B＝{x|2＜x＜3或7＜x＜10}．
(2)∵A∩C＝A，∴A C，结合数轴可知a＞7.
20. (1)原式=－
(2)原式=
21. (1)
(2)任设,则
,故在区间上单调递增.
22.(Ⅰ)设,
则,
则
∴
(Ⅱ),令,则
考察函数在的单调性知,当时单调减,当单调增∴当时,有最小值,
此时,即时有最小值为.。

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