初中数学竞赛专题培训(7)：根式及其运算
数学竞赛试题解根式方程
数学竞赛试题解根式方程
解根式方程的一般步骤如下：
1. 将根式方程化为含根的代数方程。
如果根式方程只存在一个根号，可以采用两边平方的方法将其转化为含根的代数方程。
如果根式方程存在多个根号，可以通过变量替换的方法将其转化为含根的代数方程。
2. 对含根的代数方程进行求解。
对于一次方程，可以直接求解得到解。
对于二次方程，可以使用求根公式求解。
对于高次方程，可以采用因式分解、配方法、求根方法等进行求解。
3. 验证解的可行性。
将求得的解代入原方程中进行验证，判断是否满足原方程。
需要注意的是，根式方程在求解时需要注意方程中根号的运算法则，避免出错。
同时，在根式方程的求解过程中，也要注意合理化简、排除无意义解等问题。
以一个例题为例：
将根式方程√(2x-5) = 3x - 1 进行解答。
1. 化为含根的代数方程：
两边平方得到 2x - 5 = (3x - 1)^2
2. 求解含根的代数方程：
展开方程得到 2x - 5 = 9x^2 - 6x + 1
将方程整理为一元二次方程 9x^2 - 8x + 6 = 0
使用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
得到两个根x ≈ 0.42 和x ≈ 0.44
3. 验证解的可行性：
将求得的解代入原方程中进行验证，验证结果表明两个解都满足原方程。
因此，根式方程√(2x-5) = 3x - 1 的解为x ≈ 0.42 和x ≈ 0.44。
新课标八年级数学竞赛培训第07讲：二次根式的运算
二次根式的运算
一、填空题
二、选择题
A．x≤1B．x≥2C．1≤x≤2D．x＞0
A ．x-1
B ．1-x
C ．1
D ．-1
18．有下列三个命题：（甲）若α，β是不相等的无理数，则αβ+α-β是无理数；（乙）
若α，β是不相等的无理数，则 是无理数；（丙）若α，β是不相等的无理数，
则
是无理数．其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
三、解答题
19．计算：
24．如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．
（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由．
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？。
七年级数学根式知识点
七年级数学根式知识点数学一直是学生们比较头疼的科目之一，而根式是数学中的一大难点。
对于七年级学生来说，根式的学习显得更为重要。
本文将为大家介绍一些七年级数学根式知识点。
一、根式的定义根式是一个数的非负平方根，通常用符号√表示，并把具体数值放在符号下面。
例如，√4=2，√9=3等。
二、根式的运算法则1.根式与根式相加减：同阶根式可以相加减，但阶数和被开方数必须完全相同，这就是同根。
例如：√3+√3=2√3；2√6+3√6=5√6。
2.根式与整数的加减：将根式和整数看成同一类，可以直接相加减。
例如：3+√5+2-√5=5。
3.根式与根式相乘：把根式的底数相乘，指数相加，即可得到结果。
例如：√2×√3=√6；√x×√x=x。
4.根式与根式相除：把被除数，除数同底数的根式，指数相减，即可得到结果。
例如：√4÷√2=√2；√x÷√x=1。
三、根式化简1.对于一个数a，可以把他表示为a=√k×m，其中k是一个最大的完全平方数，m不能再开平方。
例如：48=16×3；45=9×5。
2.根式化简的基本思路是找到能整除的数，然后把它提取出来。
例如：25√3=5×5√3。
四、根式的应用1.勾股定理勾股定理是一个数学定理，得名于古代中国的著名学者“勾股”。
其中最著名的公式就是a²+b²=c²。
2.海伦公式海伦公式常用于求任意三角形的面积。
其中S是三角形的面积，a、b、c是三角形的任意三边，p是三角形半周长。
公式如下：S=√p×(p-a)×(p-b)×(p-c)。
3.圆的周长和面积公式设r为圆的半径，C为圆的周长，S为圆的面积，则圆的周长公式为C=2πr，圆的面积公式为S=πr²。
综上所述，根式是数学中重要的知识点，对于七年级的学生来说，掌握根式的定义、运算法则、化简方法以及应用是必要的。
初中根式计算题型大全
初中根式计算题型大全一、初中根式基本概念回顾根式，又称根号，是数学中一种表示数值的方法。
在初中阶段，我们主要学习的是有理数、无理数和整式，而根式则是无理数的一种重要表现形式。
根式的概念来源于实数的运算，它与整式、有理数一起构成了实数的基本运算体系。
二、初中根式计算方法总结1.根式的加减法根式的加减法运算遵循“同类项相加、异类项分开”的原则。
在进行计算时，首先要将根式化为最简形式，然后根据同类项进行合并。
2.根式的乘除法根式的乘除法运算较为简单，只需将各个根式相乘或相除，但要注意化简结果。
在计算过程中，可以利用分配律、结合律等运算定律进行简化。
3.根式的乘方与开方乘方是指一个数的根式乘以自身，开方则是指一个数的根式等于另一个数。
在进行乘方和开方运算时，要注意运用公式并进行化简。
三、典型根式计算题解析1.简单根式计算题这类题目主要考察对根式基本概念和计算方法的理解。
例如，计算以下根式：2.复杂根式计算题这类题目要求运用根式的加减、乘除等运算，以及化简、合并同类项等技巧。
例如，计算以下根式：3.含有参数的根式计算题这类题目需要在计算过程中处理含有变量的根式，通常需要利用代数方法进行求解。
例如，计算以下根式：四、提高根式计算能力的策略1.熟练掌握基本概念：了解根式的定义、性质和分类，为计算打下基础。
2.巩固计算方法：通过练习掌握根式的加减、乘除等基本计算方法。
3.培养解题思路和技巧：多做一些典型题目，总结规律，培养解题思路和技巧。
五、总结与展望掌握好初中根式的计算方法，不仅有助于提高实数运算的能力，还为高中阶段的学习奠定基础。
《根式及其运算》课件
本课件将详细介绍根式及其运算，包括定义、运算规则、计算方法、简化、 应用等内容。
概述
根式是数学中常见的一种表达方式，它可以表示数字的平方根、立方根等。 学习根式的概念和性质，对于深入理解数学有着重要意义。
根式的定义
根式是用符号√来表示的数学符号，它表示某个数的平方根、立方根等。根式由被开方数和根指数组成。
2
利用乘法性质
将根式看成一个整体，利用乘法性质进行简公式进行计算，如除法公式、乘法公式等。
简化根式
化简公式
利用化简公式，将复杂的根式化 简为简单的形式。
合并同类项
将相同根指数的根式合并为一个 根式，简化计算。
提取公因数
利用公因数的性质，将根式中的 公因式提取出来，简化根式。
根式的运算规则
同底同指数
相同底数的根式可以进行加减运算，指数保持 不变。
不同底同指数
不同底数的根式无法进行运算，需要进行化简 或变形。
同底异指数
相同底数的根式可以进行乘除运算，指数相加 或相减。
不同底异指数
不同底数的根式无法进行运算，需要进行化简 或变形。
计算根式的方法
1
分解因式
将被开方数分解成完全平方数的乘积，再进行化简计算。
根式的应用
根式在数学和实际生活中都有广泛的应用，如几何中的勾股定理、物理中的速度和加速度等。理解和掌握根式 的应用，对提升问题解决能力很有帮助。
总结
本课件通过介绍根式的定义、运算规则、计算方法、简化和应用等内容，希 望能够帮助大家更好地理解和掌握根式及其运算。
根式及其运算
根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子a (a ≥0)叫二次根式。
二次根式的性质： （1）()()02≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a ,a a ,a ,a a a二次根式的运算法则：（1）c )b a (c b c a ±=± (0≥c )； （2）ab b a =⋅ (00≥≥b ,a )；（3）baba =(00>≥b ,a )； （4）()()0≥=a a a m m若0>>b a ，则b a >。
设m ,d ,c ,b ,a 是有理数,且m 不是完全平方数，则当且仅当d b ,c a ==时，m d c m b a +=+ 。
形如b a x +=，b a y -=的这两个根式互称为共轭根式。
当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 (用m 表示).【答案】m4 【解析】观察此题中13--+x x 与13-++x x 恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：()()()()413131322=--+=-++•--+x x x x x x即()433=-++•x x m ,所以mx x 413=-++. 点评：我们把形如b a +、b a -的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题二：有理化法【试题来源】2008年全国初中数学联赛第一试 【题目】已知实数x 、y 满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为( )【选项】(A)－2008 (B) 2008 (C)－1 (D)1 【答案】D 【解析】由已知()()20082008200822=----y y x x 可得：200820081200822--=--y y x x然后将等式左边分子有理化得：()()200820082008200820082222--=-+-+--y y x x x x x x()20082008200820082222--=-+--y y x x x x200820082008200822--=-+y y x x∴ 2008200822--=-+y y x x ①同理可得：2008200822-+=--y y x x ②由①、②得：x = y ∴ ()2008200822=--x x变形得： 20082008200822--=--x x x x将等式的左边分子有理化得：200820082008200822--=-+x x x x∴ 2008200822-+=--x x x x∴020082=-x ,即20082=x∴原式=120072008200720073323222=-=-=--+-x x x x x .故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式 【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】计算-++++12862231286223+---，得 .【答案】2-【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式()()32432223++++=()()32432223-----()()423223+++=()()423223----421421-++=222222-++-=2-=点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】化简：2008200820082008100435715337++⎪⎭⎫⎝⎛，得到 . 【答案】1 【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】化简：)23)(36(23346++++,最后得_________【答案】23+【解析】原式==+【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题四：换元法【试题来源】2004年全国初中数学联赛 【题目】已知8a ≥1, 则333183131831-+-+-++a a a a a a 的值是( )【选项】 (A)1 (B) 23a (C)a 8 (D)不能确定【答案】A【解析】解析：设318-=a x ,则8132+=x a ,83312+=+x a原式()3228313x x x +++=()3228313xx x +-++ 3238133+++=x x x 3238133+-+-+x x x ()3381+=x ()3381x -+2121x x -++==1 选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题五：裂项法【试题来源】2003年第十四届“希望杯”全国数学竞赛第二试 【题目】对于正整数n,有111111+-=+++n nn n n )n (，若某个正整数k 满足32111433413223121121=+++++++++k k k )k (,则k=______. 【答案】8【解析】解析：由公式111111+-=+++n nn n n )n (，因此有()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k32111=+-k 3111=+∴k 8=∴k点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种： (1)()11111+-=+n n n n .如：200820071431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 200812007131212111-++-+-= 200811-= 20082007=(2)()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111.如：2008200511071741411⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⨯=2008120051714141131 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=20081131 2008200731⨯=2008669=(3)111111+-=+++n n n n n )n (.如本题中()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k .【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】4947474917557153351331++++++++【答案】73 【解析】考虑一般情形==12==原式111113(()2217747=+++-=-=【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题六：条件转化法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】已知x ＝22＋1，则分式15119232----x x x x 的值等于__________．【答案】2【解析】由x ＝22＋1得：221=-x 两边平方得：()()22221=-x ,即722+=x x所以原式()()1511729272--+--+=x x x x x 154222---=x x ()1547222--+-=x x12--==2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x ＝22＋1，转化为有理式722+=x x .再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】设215-=a ,则=-+---+aa a a a a a 3234522 . 【答案】－2 【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【试题来源】2008年第十九届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x ，得 .【答案】12-x【解析】法一:解析：应用配方法可得：()112112+-+-=-+x x x x()2211121+•-+-=x x()211+-=x 同理可得：=--12x x ()211--x∴1212--+-+x x x x()()221111--++-=x x1111--++-=x x∵2>x∴原式12-=x .点评：配方法是化简多重根式的常用方法.其根本做法是把被开方式b a 2±配方成完全平方式()2y x ±的形式()0,0≥≥y x ,即是要设法找到两个正数x ，y(x ＞y)，使x+y=a ，xy=b ，则()y x yx xy y x b a ±=±=±+=±222,其中(x ＞y).法二: 对于上面的例子还可以进行另一种思考：由于12-+x x 与12--x x 互为有理化因式(共轭因式)，则有()()2222121212-=--=--•-+x x x x x x x ,因此原式平方后是一个有理式，所以上题还可以用平方法. 解析：设1212--+-+=x x x x y ，则y ＞0.将上式两边分别平方得：()()1212122122--+--•-++-+=x x x x x x x x y()221222--+=x x x44222+-+=x x x ()2222-+=x x222-+=x x∵2>x ，∴442-=x y ∴1244-=-=x x y点评：解答含根式的计算题，关键在于如何将无理式转化成有理式.如果原无理式直接平方后就能从无理式转化为有理式，那么我们不妨用平方法，这种方法的解题思路更加自然流畅，计算过程也更加简便易行.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】武汉市选拔赛试题 【题目】化简22)1(111+++n n，所得的结果为（ ）A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【答案】C【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．原式111n n n +=-+选（C ）【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题八：巧用乘法公式解题【试题来源】2004年第十五届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】对于任意的自然数n ，有f(n)=323232121121+-+-+++n n n n n , 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)＝ . 【答案】5【解析】注意到f(n)表达式的分母可整理成：()()2333231111-+-•+++n n n n ，形如22b ab a ++的形式，类似于立方差公式的一部份，因此考虑用立方差公式. 由立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-有()()333311--+n n()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++--+=23332333111111n n n n n n即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+=233323331111112n n n n n n∴1=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+2333233311111121n n n n n n将其代入f(n)表达式得：f(n ）=()()()()()23332323332333111111111121-+-•+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+•n n n n n n n n n n=()331121--+•n n∴f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)()()()()33333333998100021462124210221-•++-•+-•+-•=()3333333310009989984422021+-++-+-+-= 1021⨯= 5=点评：此题用常规方法无法入手进行解答，已知条件中的表达式也比较复杂，这时我们从表达式的形式上进行分析，得到22b ab a ++的形式，自然联想到立方差公式，然后运用乘法公式将条件进行转化，从而找到解决问题的捷径. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3◆专题九：活用整数、根式的性质解题【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】计算2200612008200720062005-+⨯⨯⨯的结果是__________． 【答案】2005【解析】：注意到此题中2005、2006、2007、2008是四个连续的正整数，而四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数.因此本题有了如下的简便解法：原式()()()2200612200612006200612006-++⨯+⨯⨯-==()[]()()[]2200612200612006120062006-++⨯-⨯+⨯=()()2222006122006200620062006-+-+⨯+()()22222006120062006220062006-++-+=()2222006120062006--+=222006120062006--+==2005点评：正整数具有这样的性质“四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数”，而本题恰是灵活运用了正整数的这一性质进行解答的.我们可以看到正整数的某些性质恰是解决有关正整数问题的金钥匙.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】重庆市竞赛题【题目】已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【答案】6【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、na 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题 【难度系数】3习题演练【试题来源】 【题目】计算：（1）1014152110141521+--+++；（2）3151026332185231--+-+++．【答案】（1）562- （2）233- 【解析】（1）原式=101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)+--+-+-+==++++++++(23)(32)(526)265=--=--=-（2）315102633218(31510)(1826)(332)52315231--+-+-+-+-=++++5(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231-+-+--++===-++++【知识点】根式及其运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】“希望杯”邀请赛试题 【题目】计算223810++ 【答案】24+【解析】原式222108122(2)108(12)108(12)=+++=++=++242(2)4=+==【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】湖北省孝感市“英才杯”竞赛题【题目】计算1212--+-+aaaa【答案】见解析【解析】通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式=2112aa⎧≤≤≤⎪==⎨>⎪⎩ 1，即12时，即时 【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】山东省竞赛题【题目】已知521332412---=----+ccbaba，求cba++的值．【答案】20【解析】思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：2222211]2212][(3)2339]2a c c-+--+=----+即22211)2)]3)02++=，因此有10=，得2a=；20=，得6b=30=，得12c=。
中考数学模拟试题根式的计算与应用
中考数学模拟试题根式的计算与应用根式是中考数学中的一个重要考点，掌握好根式的计算与应用对于提高数学成绩至关重要。
本文将就根式的计算及应用进行详细解析，并提供相应习题供同学们练习。
一、根式的概念及性质根式是指形如√a的表达式，其中a称为被开方数，√称为根号。
根式的值是使得该根式的平方等于被开方数的非负实数，即√a * √a = a。
在根式的运算中，有以下几个重要性质：1. 乘法性质：√a * √b = √(ab)。
这意味着我们可以将根号内的乘法拆分为两个根号相乘。
2. 除法性质：√a / √b = √(a/b)。
类似地，我们可以将根号内的除法拆分为两个根号相除。
二、根式的计算根式的计算主要涉及简化、合并同类项以及有理化等方面。
下面通过一些例题来说明。
例题1：化简根式√12解析：首先，我们要将被开方数分解成质因数的积。
12可以分解为2 * 2 * 3。
然后，我们将相同因数的根号合并，得到√(2 * 2 * 3) = √(2^2 * 3)。
根据乘法性质，我们可以将根号内的乘法拆分开来，得到2 * √3 = 2√3。
故化简后的根式为2√3。
例题2：合并同类项计算2√3 + 3√3解析：这是一道合并同类项的题目。
同类项是指被开方数相同的根式。
根据合并同类项的原则，我们可以将2√3 + 3√3合并为(2 + 3)√3 = 5√3。
例题3：有理化根式√(6/7)解析：有理化根式是指将分母中含有根号的有理数化为分母不含有根号的有理数。
对于√(6/7)，我们可以将分子分母同时乘以√7，得到√(6/7) * √7/√7 = √(42/49)。
化简后的根式为√(42/49) = √42/√49 = √42/7。
三、根式的应用根式在实际应用中有着广泛的应用，例如在计算几何中，根式可以用于计算三角形的边长、面积等。
例题4：计算等边三角形的边长解析：等边三角形的所有边长都相等。
设等边三角形的边长为a，根据等边三角形的性质，它的高等于边长的一半。
初数数学中的根式公式详解
初数数学中的根式公式详解根式是初等数学中的重要概念之一，它在数学表达中广泛应用。
本文将详细介绍根式的定义、性质和常见的根式公式，帮助读者更好地理解和应用根式。
一、根式的定义在初数数学中，根式是指形如√a的数学表达式，其中a为被开方数，√为开方号。
其中，√a表示a的平方根。
二、根式的性质1. 非负性质：对于任意实数a，当a≥0时，根式√a定义有意义且非负；当a<0时，根式√a无意义。
2. 加减性质：对于非负实数a和b，有以下运算规则：（1）√a ± √b = √(a ± b)（2）√a ∓ √b ≠ √(a ∓ b)3. 乘法性质：对于非负实数a和b，有以下运算规则：（1）√a × √b = √(ab)4. 除法性质：对于非负实数a和b，有以下运算规则：（1）√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。
5. 乘方性质：对于非负实数a和整数n，有以下运算规则：（1）(√a)^n = a^(n/2)，其中n为偶数时，右边的等式成立。
三、根式的化简对于给定的根式，可以通过化简的方法使其更加简洁。
下面举例说明：例1：化简根式√48解：首先，我们观察48的因数，可以发现48=16×3=4×4×3。
因此，√48=√(16×3)=√(4×4×3)=4√3例2：化简根式√75解：同样地，我们观察75的因数，可以发现75=25×3=5×5×3。
因此，√75=√(25×3)=√(5×5×3)=5√3通过以上例子，我们可以看出，在化简根式时，我们需要找出被开方数的完全平方数因子，从而将根号内的数化为多个因子相乘的形式。
四、常见的根式公式1. 平方差公式：(a + b) × (a - b) = a^2 - b^22. 奇数幂的根式：a^(2n+1) = (a^n) × √a3. 偶数幂的根式：a^(2n) = (a^n)^2五、根式的应用根式在实际应用中有着广泛的运用，例如在几何学中，根式可以描述图形的边长和面积关系；在物理学中，根式可以用于计算速度和加速度等物理量。
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初中数学竞赛专题培训第七讲根式及其运算
二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．
二次根式的性质：
二次根式的运算法则：
设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且
仅
当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．
例1 化简：
法是配方去掉根号，所以
因为x-2＜0，1-x＜0，所以
原式=2-x+x-1=1．
＝a-b-a+b-a+b=b-a．
说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．
例2 化简：
分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．
解法1 配方法．
配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则
解法2 待定系数法．
例4 化简：
(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．
分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2
，可以看成
解设
两边平方得
②×③×④得
(xyz)2=5×7×35=352．
因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以
xyz=35．⑤
⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以
解设原式=x，则
解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．
将方程左端因式分解有
(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．
因为
x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，
所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．
解法2
说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．
例8 化简：
解(1)
本小题也可用换元法来化简．
解用换元法．
解直接代入较繁，观察x，y的特征有
所以
3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy
＝3(x＋y)2-11xy
＝3×102-11×1＝289．
例11 求
分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．
解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a ＋b)(a-b)＝a2-b2，所以
A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1
＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1
＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1
＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1
＝22×256-1＋1＝22×256，
的值．
分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．
解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是
无限的特点，有
两边平方得
两边再平方得
x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．
观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有
(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．
解因为
练习七1．化简：
2．计算：
3
．计算：。