2018学年福建省宁德市福安一中高三上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
【高三数学试题精选】2018高三理科上册数学期中试卷(带答案)
所以的极大值为，极小值为…………10分
因为
所以在的三个单调区间
直线与的图象各有一个交点，当且仅当…………13分
因此，的取值范围为…………14分
20．（本小题共14分）
解（1）∵……2分
∴……………3分
∴椭圆的方程为……………4分
（2）依题意，设的方程为
由………………5分
显然
………………6分
16．（本小题共12分）
17．（本小题共12分）
解（1）设事A表示“李先生所购买的3种产品中，恰好只含一种基金”…………1分
…………3分
答李先生所购买的3种产品中恰好只含一种基金的概率为…………4分
（2）…………5分
…………9分
…………12分
18．（本小题共14分）
解（1）连结长方体中，，
则…………1分
2018高三理科上册数学期中试卷（带答案）
5 c 2018学年度高三级第一学期期中数学科（理数）考试答案
一、选择题（每题5分，共40分）
题号12345678
答案BBcAcADc
二、填空题（每题5分，共30分）
9．; 10 49 ; 11 100 ; 12；13 5
14 15 1
三、解答题（写出必要的字说明，计算或证明过程。共80分）
∴是差为，首项为的等差数列∴…………4分
（2）∵①
∴②
①-②得∴…………6分
当时，∴，满足上式∴…………8分
（3）假设存在，使
．
．．
当为正偶函数时，恒成立，
∴．
∴…………11分
当为正奇数时，恒成立．
∴
∴．∴．
综上可知，存在实数．使时，恒成立．…………14分
宁德市2018届高三第一次质量检查数学(理)
2018届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，满分150．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}223A x x x =-≤，{}21xB x =>，则A B =A ．[0,3]B ．(0,3]C ．[1,)-+∞D ．[1,1)-2．已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足12z z =-则2|2i |z +=AB ．2CD ．103．若1tan()43απ-=-，则cos 2α=A ．35B ．35-C ．45-D ．454．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为A ．10B ．lg99C ．2D ．lg1015．设,x y 满足约束条件210,10,0x y x y m --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2z x y =-的最小值大于5-，则m 的取值范围为A ．111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．113,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．[)3,2- D ．(),2-∞6．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将,,,,A B C D,E F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求,A B 必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有 A ．15种 B ．18种 C ．20种 D ．22种7．一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A ．342πB ．542πC ．522πD ．312π 8．已知20.62log 2,log 0.6,0.6a b c ===，则正视图侧视图俯视图A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 9．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过F 点且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A,B 两点，若以AB 为直径的圆过点(,2)2p-，则该抛物线的方程为 A ．x y 22= B ．x y 42= C ．x y 82= D ．x y 162=10．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：―今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？‖ 意思是：―一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？‖假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有 A ．58 B ．59 C ．60 D ．61 11．函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,,0a b ω∈>R )，满足2()()3f x f x π-+=--，且对任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤-，则以下结论正确的是A ．max ()||f x a =B ．()()f x f x -=C ．aD ．3ω=12．设函数1()e 1e ln(1)x x f x a x -=--+存在零点0x ，且01x >，则实数a 的取值范围是A ．(,1eln 2)-∞+B ．(eln 2,)-+∞C ．(,eln 2)-∞-D ．(1eln 2,)++∞2018年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答． 在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，2=a ，2=a +b =b __________．14．若双曲线C 的右焦点F 关于其中一条渐近线的对称点P 落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率e =________．15．若正三棱台ABC A B C '''-，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______．16．设函数2()|21|f x x x =--，若1a b >≥，()()f a f b =，则对任意的实数c ，22()()a c b c -++的最小值为______．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角D AC B '--，使得D B '=（Ⅰ）求证：当AF =D F BC '⊥；（Ⅱ）试求CF 的长，使得二面角A DFB '--的大小为4π．19．（本小题满分12分）如图，岛A 、C相距9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市． （Ⅰ）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=．已知速度为V 海里/小时((0,30]V ∈)的小艇每小时的总费用为 (21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市， 则至少需要多少费用？正北方向ABCD EABCDF •⇒ACD 'BF20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ．过)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于点M ,N ．当0k =时，四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若37PM PN MN ⋅=，求直线l 的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数2()ln (R)f x ax x a =+∈有最大值12-，2()2()g x x x f x =-+，且()g x '是()g x 的导数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：当12x x <，12()()30g x g x ++=时，121()2g x x '+>．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，M 为曲线1C 上异于极点的动点，点P 在射线OM 上，且,OP OM 成等比数列．（Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知(0,3)A ,B 是曲线2C 上的一点且横坐标为2，直线AB 与1C 交于,D E 两点，试求AD AE -的值．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知2()()f x x a a =+∈R ，()12g x x x =++-（Ⅰ）若4a =- ，求不等式()()f x g x ≥的解集；（Ⅱ）若[0,3]x ∈时，()()f x g x >的解集为空集，求a 的取值范围．2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． 13．2 14．2 15．20π 16．8 附部分试题解答：10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．11．2()()3f x f x π-+=--可知，函数()f x 的对称中心为(,0)3π-. 对任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤-，知对称轴是6x π=-，可知(0)0f =，故b =0．12． 令1e 1e ln(1)0x x a x ---+=，得11ln(1)x x ae e-++=，设1()ln(1)x h x x e =++，条件转化为()y h x =与1y ae -=的图象在(1,)+∞上有交点，111()01(1)x x x e x h x e x e x --'=-+=≥++ ，得()h x 在[0,)+∞上为增函数，1(1)h ae -∴<，得1eln 2a >+.16．依题意可知：2221(21)a a b b --=---，整理得2(1)(1)4a b -+-=，1a b >≥ ，∴方程表示如图一段弧AB ，22()()a c b c -++可表示弧上一点到直线y=-x 的距离的平方，22()()a c b c ∴-++的最小值是8．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．解法一：（Ⅰ）1n a = ， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分 当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分 2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 设11111(21)()[(1)](232)3333n n n n nb n An B A n B An A B -=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩1111111(21)(1)()(1)33333n n n n n nb n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅，………………………………9分12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+01121111111(12)(23)[(1)]333333n n n n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅ 113nn +=-.………………………………12分 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解:（Ⅰ）连结DF ，BF ．在矩形ABCD中，6AD CD ==,030AC CAB ∴=∠=, 060DAC ∠=．………………………………1分在ADF ∆中，∵AF =2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=，．………………………………2分∵22293DF AF DA +=+=，DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．………………………………3分 又在ABF ∆中，2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，………………………………4分 ∴在DFB'∆中，222223D F FB D B ''+=+=, BF DF '∴⊥,………………………………5分 又AC FB F = ,∴DF'⊥平面ABC ． ∴D F BC '⊥．………………………………6分 （Ⅱ）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E . 沿着对角线AC 翻折后，由（Ⅰ）可知，,,OE OC OD '两两垂直，以O 为原点，OE的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),O E (0,0,3),D B ',………………………………7分 EO ⊥ 平面AD F ',(1,0,0)OE ∴=为平面AD F '的一个法向量． ………………………………8分 设平面BD F '的法向量为(,,),x y z =n(0,,0)F t ， (3,(3,BD BF t '∴=--=--,由0,0,BD BF ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得3303(0x z x t y ⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，取3,y =则x t z t =-= , ()t t ∴=-n ．………………………………10分A COE D 'F ACDF||cos ,4||||OE OE π⋅∴= n n =t ∴=．∴当CF =A DFB '--的大小是4π． …………………12分 19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分． 解：（Ⅰ）如图，根据题意得：10CD =，CE =AC =000704030DCE ∠=-=．在CDE ∆中，由余弦定理得，DE ==10=, ………………………………2分所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）． ………………………………3分因为CD DE =，所以030DEC DCE ∠=∠=， 所以00018030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠， 整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）． ………………………………5分 所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时，小张到岛A 所用的时间至少为2t ==小时． 由于2116t t >+，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分（Ⅱ）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=,所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠=．………………………………7分所以0sin sin[180()]B BAC ACB =-∠+∠sin()BAC ACB =∠+∠sin cos cos sin BAC ACB BAC ACB =∠∠+∠∠3455==．………………………………8分 由正弦定理得，sin sin BC ACBAC B=∠,所以3BC ==,………………………………9分所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为21150()(50)1)22f V V V V V=++=++≥((0,30]V ∈),………………………………10分 当且仅当1502V V=，即10V =时，min ()f V =（元）………………………………11分所以若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需元． ………………………………12分…20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分． 解：（Ⅰ）当0k =时，直线//l x 轴， 又四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上， ∴四边形12MNF F 为矩形，且152MF =．………………………………………………………1分 ∴点M 的坐标为2(,)b c a．………………………………………………………2分又2b a =，∴b a =．………………………………………………………3分设2,a k b ==，则c k =．在12Rt MF F ∆中，232MF k =，122F F k =，∴15522MF k ==，∴1k =．∴2,a b ==………………………………………………………5分∴椭圆C 的方程为22143x y +=．………………………………………………………6分（Ⅱ）将3:2l y kx =+与椭圆方程联立得22(34)1230k x kx ++-=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，得1221234k x x k +=-+，122334x x k =-+．故1200PM PN x x ⋅--221223+3(1)=34k k x x k =++．………………………………9分 又12MN x =-==，……………………… 10分∴223+33347k k =+，即 解得k = ∴直线l 的方程为32y =+．………………………………12分 21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x'=+．………………………………1分 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；………………………………2分当0a <时，令()0f x '=，得x = 当x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，………………………………3分 max 1()2f x f ∴==-+1122∴-+-,………………………………4分 12a ∴=-．………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，21()2ln 2g x x x x =-+, 1()2g x x x '∴=+-． 12x x+≥ ，()0g x '∴≥, ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增． ………………………………6分又12x x < ，12()()3g x g x +=-且3(1)2g =-, 1201x x ∴<<<．………………………………7分22211()1x g x x x-''=-= , ∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增, 要证121()2g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-．……………………8分11x < ，121x ∴->,所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-————（*）, ……………9分设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）,11()222G x x x x '∴=-+-- 12(1)[1](2)x x x =--- 32(1)0(2)x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数, ………………………………11分()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2g x x '+>．………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=，………………………………1分 即1=20ρρ⋅，120=ρρ．………………………………2分又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，………………………………3分 ∴sin 5ρθ=，………………………………4分化为直角坐标方程为5y =．………………………………5分 （Ⅱ）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π，………………………………6分 ∴直线AB的参数方程为,3,x y ⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩………………………………7分 代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t +-=，………………………………8分故12t t +=1230t t =-<，………………………………9分∴12AD AE t t -=+=．………………………………10分23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++-，…………1分当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤-1x ≥-故1x ≤-…………2分当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤x ≥，故x ∈∅； …………3分当2x≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥故3x ≥； …………4分所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤-}3x ≥． …………5分(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． …………6分当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min 31a x ≤-=-；…………8分当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min +214a x x ≤--=-， 综上，4a ≤-．…………10分。
高三数学-2018学年度第一学期期中检测试卷(高三理) 精
2018——2018学年度第一学期期中检测试卷高三数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 设复数i z +在映射f 下的象为i z ⋅_，则i 21+-的原象为 A ．i -2 B ．2 C ．i +-2 D ．i 31+-2．设}2,1,0,1{},0)2(|1||),{(2-==-++=B y x y x A ，则A 、B 两个集合的关系是 A ．B A ⊃ B ．B A ⊂ C ．B A ∈ D ．以上都不对3．某科技小组有6名同学，现在从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目是A ．2B ．3C ．4D ．5 4．设231)(--=x xx f 与)(x g 的图象关于直线x y =对称，则)(x g = A ．321++x x B ．231--x x C ．x x 213++ D ．xx 312--5．已知A （0，0），B （a,b ），1P 是AB 的中点，12BP P 是的中点，213P P P 是的中点，……，12++n n n P P P 是的中点，则n P 的极限位置A ．)2,2(ba B ．)3,3(b a C ．)32,32(b a D ．)43,43(ba 6．函数)21(1)(2-≤+=x x x x f 的值域是A ．]47,(--∞B ．]223,(3--∞ C ．),47[+∞- D ．),223[3+∞- 7．假设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,2)(x a x x x f 在R 上处处连续，则常数a =A ．0B ．1C ．2D ．任何实数8． 4312lim 4--+→x x x 的值是A ．0B ．31 C ．32D ．不存在 9．函数)(),(x g x f 都不是常数且定义域是R ，“)(),(x g x f 同是奇函数或同是偶函数”是“)(),(x g x f 的积是偶函数”的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设函数)(),(x g x f 是大于零的可导函数，且0)()()()(//<+x g x f x g x f ，则当b x a <<时有A ．)()()()(x g b f b g x f >B ．)()()()(x g a f a g x f >C ．)()()()(b g b f x g x f >D ．)()()()(a g a f x g x f >11．已知函数))((A x x f y ∈=，若对于任意A b a ∈,，当b a <时都有)()(b f a f <，则方程0)(=x f 的根有A ．有且只有1个B ．可能有2个C ．至多有1个D ．有2个以上 12．已知定义域为),0()0,(+∞⋃-∞的函数)(x f 是偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，若0)3(=-f ，则0)(<x f x的解集是 A ．)3,0()0,3(⋃- B ．),3()3,(+∞⋃--∞ C ．)3,0()3,(⋃--∞ D ．),3()0,3(+∞⋃-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2018届高三数学上学期期中试题理(含解析)
2018届高三数学上学期期中试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试时间120分钟.满分150分.答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的性质化简集合，求出，利用交集的定义运算求出结果．【详解】，，解得，则，故选：B【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查对数不等式，属于基础题．2. 下列四个命题中真命题的个数是（）①“”是“”的充分不必要条件；②命题“”的否定是“”；③“，则为偶函数”的逆命题为真命题；④命题，命题，则为真命题A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用小范围可推出大范围判断①；利用全称量词命题的否定为存在量词命题判断②；利用正弦函数的奇偶性判断③；利用对数的性质和二次函数的图象判断④．【详解】①，即或，所以“”是“”的充分不必要条件，正确；②命题“”的否定是“”，正确；③“，则为偶函数”的逆命题为“为偶函数，则”，命题错误，当函数为偶函数时，；④，命题正确；，命题错误；则为假命题，错误；故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查充分必要条件的应用，考查全程量词命题和存在量词命题，考查三角函数的性质，属于中档题．3. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是A1B1、 CC1 的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】本题考查两条异面直线所成的角.取线段的中点，连结，则且，则四边形是矩形，故.所以即为与所成的角.设正方体的棱长为，则，所以；连结，则；则；又，所以在中，由余弦定理得故正确答案为5. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算法则直接表示即可得解.【详解】由题意作出图形，如图：则.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则的应用，属于基础题.6. 已知实数x，y满足条件，则的最小值为（）A. B. 4 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入计算，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可互为直线，当直线过点时在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．7. 在等比数列中，首项，公比，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的基本量运算可求出的值．【详解】数列为等比数列，且首项，公比，又，，故故选：A【点睛】本题考查等比数列的基本量运算，考查学生计算能力，属于基础题．8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向右平移个单位长B. 向右平移个单位长C. 向左平移个单位长D. 向左平移个单位长【答案】A【解析】【分析】化简得到，根据平移法则得到答案.【详解】.故向右平移个单位长可以得到的图像.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握情况.9. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A. 24B. 30C. 10D. 60【答案】A【解析】【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体几何体是底面为边长为的三角形，高为的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：截掉的三棱锥体积为：所以该几何体的体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10. 已知函数，，则实数a的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件判断的奇偶性和单调性，把不等式转化为进行求解即可.【详解】当时，，则，当时，，则，∴函数为偶函数，∴.又当时，函数单调递增，∴可转化为，则，∴，解得.故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11. 在△中，是上的点，平分，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过点作，延长与交于点，可证明△∽△，结合平分，可得，，从而可知.【详解】过点作，延长与交于点，则，所以△∽△，且，又因为平分，所以，故△是等腰三角形，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查角分线、相似三角形的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.12. 定义域为的函数的导函数为，满足，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，求导可判断是上的减函数，不等式可转化为，从而可求出的取值范围.【详解】令，求导得，∵，∴，则是上的减函数，又等价于，而，∴，∴.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量夹角为,,则 .【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积公式以及数量积的运算法则，求得的值，再开平方即可得结果.【详解】因为向量的夹角为,,所以,.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 14. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．【答案】4【解析】【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【详解】∵成等比数列，a1=1，∴=，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．Sn=n+×2=n2．∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案4．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15. 已知、是球的球面上两点，，球的表面积为，为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】计算出球的半径的值，并计算出的面积，进而可求得体积的最大值为，即可得解.【详解】如下图所示：设球的半径为，球的表面积为，可得，，，是边长为的等边三角形，则的面积为，当平面时，三棱锥体积取得最大值.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的计算，确定点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16. 若函数在上递增，则的取值范围___________.【答案】.【解析】【分析】根据函数，求导，由函数在上递增，则在上恒成立，令，转化为在恒成立求解.【详解】由函数，所以，因为函数在上递增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，且，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得到，再由，则，即可求得；（2）由（1）和，求得，再利用余弦定理，求得，进而得到三角形周长.【详解】（1）在中，因为由正弦定理得，，可得，即，可得，又因为，则，因此.（2）由，可得，又，故，因为，根据余弦定理，可得，所以，即，所以周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.18. 如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，.（1）证明：平面平面；（2）证明：；（3）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由，，可得平面，由此能证明平面平面；（2）先证明，可得平面，再由线面平行的性质可得；（3）过作直线，分别以FA，FE， l，为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用夹角公式可得结果.【详解】（1）因为平面为正方形，所以，又因为，所以，因为平面，平面，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）证明：∵，面，面平面平面，平面平面；（3）过作直线，∵平面平面，∴面，所以l，FA，FE两两垂直，分别以FA，FE， l为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.，，，设面的法向量，，取，求得，，，∴FA与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查面面垂直、线线平行的证明，线面角的向量法，是中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 已知数列的前项和为，，，.（1）证明：数列是等差数列，并求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；；（2）.【解析】【分析】(1)由知，当时：，两式作差化简，可证明数列是等差数列；利用等差数列的通项公式可求得；(2)由(1)求出，利用裂项相消法求和可得结果．【详解】(1)证明：由知，当时：，即，∴，对成立.又，∴是首项为1，公差为1的等差数列.∴(2)∴=【点睛】本题考查定义法证明等差数列，考查数列求和，考查数列递推关系式，属于中档题．20. 设函数.（1）若曲线在点处的切线与垂直，求函数的解析式；（2）如果对于任意的，都有成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求导，由已知得，求出得解（2）求导得到在上的最大值为转化得到在恒成立.构造函数求得的最大值为，得解【详解】（1），∵曲线在点处的切线与垂直，∴，.（2），∴，，，，∴在上递减，在上递增，∴在上的最大值为较大者，即，∵对于任意的，都有成立，∴即对任意的成立.令，，∴，，，，∴在上递增，在上递减，的最大值为，∴，.【点睛】本题考查函数导数几何意义及利用导数研究函数最值及不等式恒成立求参数范围.属于基础题.21. 如图，在多面体中，平面平面，平面，，∥，且.（1）求证：平面；（2）求证：∥平面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据平面∥平面，利用面面平行的性质定理得，再由，得到四边形为平行四边形，从而∥，然后结合平面得证.（2）连接，根据平面∥平面，利用面面平行的性质定理得∥，再由∥，且，得到四边形为平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明.（3）根据两两垂直，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量，然后由求解.【详解】（1）平面∥平面，平面平面，平面平面，∴又，四边形为平行四边形，∥面，平面（2）连接，平面∥平面，平面平面，平面平面，∴∥，∥，∴∥，，∴四边形为平行四边形，∴，又，∴∥平面.（3）由已知，两两垂直，建立如图的空间坐标系，设，则∴设平面的一个法向量为，则，令，则，而平面的一个法向量，∴，由图形可知，二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理，线面平行的判定定理以及空间向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想，逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.22. 已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）将函数求导后，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）结合（1）的结论，当时函数在定义域上递减，至多只有一个零点，不符合题意.当时，利用函数的最小值小于零，求得的取值范围，并验证此时函数有两个零点，由此求得点的取值范围.【详解】（1）若，，在上单调递减；若，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增.（2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意.若，由（1）可知，的最小值为令，，所以在上单调递增，又，当时，，至多一个零点，不符合题意，当时，又因为，结合单调性可知在有一个零点令，，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以当时，结合单调性可知有一个零点综上所述，若有两个零点，的范围是【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关零点个数的问题，考查分类讨论的思想方法，考查分析和解决问题的能力，属于中档题.在求解有关利用导数求函数单调区间的问题中，导函数往往含有参数，此时就要对参数进行分类讨论.函数零点个数问题，往往转化为函数最值来解决.2018届高三数学上学期期中试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试时间120分钟.满分150分.答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的性质化简集合，求出，利用交集的定义运算求出结果．【详解】，，解得，则，故选：B【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查对数不等式，属于基础题．2. 下列四个命题中真命题的个数是（）①“”是“”的充分不必要条件；②命题“”的否定是“”；③“，则为偶函数”的逆命题为真命题；④命题，命题，则为真命题A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用小范围可推出大范围判断①；利用全称量词命题的否定为存在量词命题判断②；利用正弦函数的奇偶性判断③；利用对数的性质和二次函数的图象判断④．【详解】①，即或，所以“”是“”的充分不必要条件，正确；②命题“”的否定是“”，正确；③“，则为偶函数”的逆命题为“为偶函数，则”，命题错误，当函数为偶函数时，；④，命题正确；，命题错误；则为假命题，错误；故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查充分必要条件的应用，考查全程量词命题和存在量词命题，考查三角函数的性质，属于中档题．3. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是A1B1、 CC1 的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】本题考查两条异面直线所成的角.取线段的中点，连结，则且，则四边形是矩形，故.所以即为与所成的角.设正方体的棱长为，则，所以；连结，则；则；又，所以在中，由余弦定理得故正确答案为5. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算法则直接表示即可得解.【详解】由题意作出图形，如图：则.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则的应用，属于基础题.6. 已知实数x，y满足条件，则的最小值为（）A. B. 4 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入计算，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可互为直线，当直线过点时在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．7. 在等比数列中，首项，公比，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的基本量运算可求出的值．【详解】数列为等比数列，且首项，公比，又，，故故选：A【点睛】本题考查等比数列的基本量运算，考查学生计算能力，属于基础题．8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向右平移个单位长B. 向右平移个单位长C. 向左平移个单位长D. 向左平移个单位长【答案】A【解析】【分析】化简得到，根据平移法则得到答案.【详解】.故向右平移个单位长可以得到的图像.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握情况. 9. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A. 24B. 30C. 10D. 60【答案】A【解析】【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体几何体是底面为边长为的三角形，高为的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：截掉的三棱锥体积为：所以该几何体的体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10. 已知函数，，则实数a的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件判断的奇偶性和单调性，把不等式转化为进行求解即可.【详解】当时，，则，当时，，则，∴函数为偶函数，∴.又当时，函数单调递增，∴可转化为，则，∴，解得.故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11. 在△中，是上的点，平分，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过点作，延长与交于点，可证明△∽△，结合平分，可得，，从而可知.【详解】过点作，延长与交于点，则，所以△∽△，且，又因为平分，所以，故△是等腰三角形，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查角分线、相似三角形的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.12. 定义域为的函数的导函数为，满足，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，求导可判断是上的减函数，不等式可转化为，从而可求出的取值范围.【详解】令，求导得，∵，∴，则是上的减函数，又等价于，而，∴，∴.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量夹角为,,则 .【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积公式以及数量积的运算法则，求得的值，再开平方即可得结果.【详解】因为向量的夹角为,,所以,.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.14. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．【答案】4【解析】【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【详解】∵成等比数列，a1=1，∴=，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．Sn=n+×2=n2．∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案4．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15. 已知、是球的球面上两点，，球的表面积为，为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】计算出球的半径的值，并计算出的面积，进而可求得体积的最大值为，即可得解.【详解】如下图所示：设球的半径为，球的表面积为，可得，，，是边长为的等边三角形，则的面积为，当平面时，三棱锥体积取得最大值.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的计算，确定点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16. 若函数在上递增，则的取值范围___________.【答案】.【解析】【分析】根据函数，求导，由函数在上递增，则在上恒成立，令，转化为在恒成立求解.【详解】由函数，所以，因为函数在上递增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，且，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得到，再由，则，即可求得；（2）由（1）和，求得，再利用余弦定理，求得，进而得到三角形周长.【详解】（1）在中，因为由正弦定理得，，可得，即，可得，又因为，则，因此.（2）由，可得，又，故，因为，根据余弦定理，可得，所以，即，所以周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余。
福建省福州市第一中学2018届高三上学期期中考试数学试题(理)(答案+解析)
福建省福州市第一中学2018届高三上学期期中考试数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，故答案为C.2. 已知命题：“，都有成立”，则命题为（）A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立【答案】D【解析】试题分析：全称量词的否定为存在量词，命题的否定只否定结论，的否定为．3. 已知直线，，且，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】当时，直线，直线，两直线不平行；当时，等价于，解得，故选B.4. 设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意，，，显然，因此有．故选A．5. 已知，若的必要条件是，则之间的关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，即，按题意，因此．故选B．6. 已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（）A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由题意可知，，，∵，∴，，∵，∴，可得：，∴将的图象先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故选A.7. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则弦长（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：如图所示∵分别为圆的切线，∴∵，，∴，又∵，在中，，故选．8. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，B函数均为单调增函数，故不符合；对于C：，令，得到，与，则其图象没有交点，即没有零点，故C不符合；对于D：，令，得到与，则其图象有两个交点，故D符合，故选D.9. 已知函数，，若，下列说法错．误．的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 关于直线对称C. 在上单调递增D. 在上单调递减【答案】C【解析】∵，，当即，解得；当，即，解得，故，故函数在上单调递减，在上单调递增，故选C.10. 已知关于的方程有唯一实数解，则实数的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】设，则函数在定义域上为偶函数，若关于的方程有唯一实数解，则等价为，即，则，得或，当时，方程等价为，即，作出函数和的图象如图，此时两个函数有3个交点，不满足条件．当时，方程等价为，即，作出函数和的图象如图，此时两个函数有1个交点，满足条件，综上，故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．11. 若函数，则与轴围成封闭图形的面积为____________.【答案】【解析】试题分析：．12. 函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】∵在定义域内为减函数，也为减函数，故要使在区间上是减函数，只需满足在内恒成立即可，即，可得，故答案为.13. 函数的图象在上至少有三个最大值点，则的最小值为______. 【答案】【解析】∵，∴，要使函数的图象在上至少有三个最大值点，由三角函数的图象可得，解得，即的最小值为，故答案为.14. 椭圆与抛物线有一个公共焦点，椭圆的另一个焦点为，且椭圆与抛物线交于两点，若三角形是直角三角形，则椭圆的离心率为______. 【答案】三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、、，已知.(1)求角C的大小；(2)若，，求△ABC的面积．解：(1)由得，根据正弦定理得，所以，整理得，所以，又因为，所以.(1)由正弦定理得，所以，因为，所以，所以角为锐角，所以，，所以..16. 已知函数（）.(1)若，求函数的极大值；(2)若时，恒有成立，求实数的取值范围．解：(1)时，，当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，所以，当时，取得极大值，.(2)当，即时，，所以单调递增，所以；当时，，所以单调递增，，，所以有唯一零点，记为，当时，，单调递减，且，即不恒成立；综上所述，的取值范围是.17. 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且与轴交点恰为中点. （1）求椭圆的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点和．求四边形的面积的最小值．解：（1）依题意，，另一焦点坐标为，，所以，，所以，所以椭圆的方程为．（2）当垂直于坐标轴时，，，，当不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，，，由，得，，，，，，同理，，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，所以.18. 已知函数，其中是实数。
福建省宁德市2018届高三第一次质量检查数学理试题含解析.docx
2018 届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科数学本试卷分第I 卷和第 II卷两部分．第I 卷 1 至 2 页，第 II卷3至5页，满分150．第 I 卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】 B【解析】集合，，则.故选 B.2.已知复数对应复平面上的点，复数满足，则A. B. C. D.【答案】 C【解析】复数对应复平面上的点，所以.由得：.，所以.故选 C.3.若，则A. B. C. D.【答案】 B【解析】由，得，解得..................................故选 B.4.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为A. B. C. D.【答案】 D【解析】执行程序：,,,,.，不成立，输出.故选 D.5.设满足约束条件若目标函数的最小值大于，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】 B【解析】作出不等式组的可行域如图所示，由图可知.平移直线至点 A 处得的最小值，得, 即，代入 z 得.由题意知，解得.综上：.故选 B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想. 需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 福建省第十六届运动会将于2018 年在宁德召开．组委会预备在会议期间将这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有A. 15种B. 18种C. 20种D. 22种【答案】 D【解析】先从两个不同的地方选出一地分配两人，有种，有三人去A,B 外的另一地点，种；有二人去A,B 外的另一地点，种.综上：共有种，故选 D.7.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A. B.C. D.【答案】 A【解析】如图所示三视图的还原图：左侧为三棱锥，右侧为半个圆锥.有：面 PBC,所以PB=PC=2,, 取 PC中点 D，则，所以.得表面积为.故选 A.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．8.已知，则A. B. C. D.【答案】 C【解析】.，且，即..所以.故选 C.9.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B 两点，若以为直径的圆过点，则该抛物线的方程为A. B. C. D.【答案】 B【解析】根据题意得：以为直径的圆过点，设的中点为C，则.由抛物线定义知：与准线垂直.设. 与抛物线联立得：.设，则，解得.所以.故选 B.10.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有A. B. C. D.【答案】 C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20 ，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5 ，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60 ．故选 C.11.函数() ，满足，且对任意，都有，则以下结论正确的是A. B. C. D.【答案】 A【解析】可知，函数的对称中心为.对任意，都有，知对称轴是，可知，故 b=0,.所以.故选 A.12.设函数存在零点，且，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】 D【解析】令，得，设，条件转化为与的图象在上有交点，，得在上为增函数，，得.故选 D.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，同时也可以转化为两个函数的图象关系.第 II卷注意事项：用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13.已知向量，的夹角为，，，则__________ ．【答案】 2【解析】向量，的夹角为，，所以，解得.故答案为： 2.14.若双曲线的右焦点关于其中一条渐近线的对称点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率=________．【答案】 2【解析】设双曲线，左焦点为( -,0) ，F c渐近线方程为，设 F 关于的对称点为(m, -) ，由题意可得,( ?)且，可得 m= c,代入( ?)可得 b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，则离心率.故答案为： 2..15.若正三棱台的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______．【答案】【解析】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心O则在线上，连接并延长交于 D，连接 C并延长交 AB于 D，1∵等边三角形的边长为cm,∴，∵等边三角形的边长为, ∴==，ABC cm C CD cm若点在线段由上，则，得，无解 .若点在线段由外，则，得，，解得.则该正三棱台的外接球的表面积为.点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16.设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为 ______．【答案】 8【解析】依题意可知：，整理得，，方程表示如图一段弧AB，可表示弧上一点到直线的距离的平方，的最小值是8．三、解答题：本大题共 6 小题，满分70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知数列的前和为，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件得，由得，当时，，两式作差得，整理得，由等差数列公式求通项即可；（Ⅱ）由，利用错位相减即可得解.试题解析：（Ⅰ），．当时，，得．当时，，，，即，．数列是等差数列，且首项为，公差为2，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，——①，——②①–②得，化简得．解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，设，解得，∴. 18.如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）试求的长，使得二面角的大小为．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理求得，进而得，所以有，即，同理可在中，得，进而得平面，从而得证；（Ⅱ）易证得两两垂直，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，进而求得面和面的法向量，利用法向量求解即可.试题解析：解 : （Ⅰ）连结，．在矩形中，,,．在中，∵,，∵，，即．又在中，，∴在中，,,又,∴平面．∴．（Ⅱ）解：在矩形中，过作于，并延长交于.沿着对角线翻折后，由（Ⅰ）可知，两两垂直，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则,平面,为平面的一个法向量．设平面的法向量为，,由得取则,．即,．当时，二面角的大小是．点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角. 建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19.如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．（Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得，．已知速度为海里/小时() 的小艇每小时的总费用为 () 元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？【答案】（Ⅰ）若小张 9 点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元 .【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，进而得客轮的航行速度，在中，由余弦定理得，分别求出客轮和小张到岛所用的时间，比较即可；（Ⅱ）根据条件求得，再由正弦定理得，，求得，进而求得总费用为，利用基本不等式求最值即可.试题解析：（Ⅰ）如图，根据题意得：，，，．在中，由余弦定理得，,所以客轮的航行速度（海里 / 小时）．因为，所以，所以．在中，由余弦定理得，，整理得：，解得或（不合舍去）．所以客轮从处到岛所用的时间小时，小张到岛所用的时间至少为小时．由于，所以若小张9 点半出发，则无法乘上这班客轮 .（Ⅱ）在中，，,所以为锐角，，．所以.由正弦定理得，,所以,所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为() ，当且仅当，即时，（元） .所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元．20.已知椭圆的左、右焦点分别为, ．过且斜率为的直线与椭圆相交于点, ．当时，四边形恰在以为直径，面积为的圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，直线轴，由圆的面积得半径，进而得，由得，设，则，进而得，利用椭圆定义即可求解；（Ⅱ）将与椭圆方程联立得，设，，进而由韦达定理代入求解即可 .试题解析：（Ⅰ）当时，直线轴，又四边形恰在以为直径，面积为的圆上，∴四边形为矩形，且．∴点的坐标为．又，∴．设，则．在中，，，∴，∴．∴，∴椭圆的方程为．。
心顺六校联盟2018屇高三上学期期中考试数学(理)试题(附答案) (1)
宁德“同心顺”2018届高三上期中联考数学(理)试题（考试时间：120分钟；满分：150分） 命卷：茂华学校 审卷：福鼎二中一、选择题（12*5=60分）1.已知复数z 满足()23z i i i -=+，则z =（ ）A B ． C ．10 D ．182.已知集合{}{}22|230,|,A x x x B y y x x R =--≤==∈,则AB =（ ）A ．∅B ．[]0,1C ．[]0,3D ．[)1,-+∞ 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差32,21d S =-=，则当n S 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．10B ．9C ．6D ．54．将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值是 （ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．56π 5．等比数列{a n }的各项均为正数，且385618a a a a +=，则3132310l og l o g l o g a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ． 32log 5+ 6． 已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）7.设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ） A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 8．若1a xdx =⎰，10sin b xdx =⎰，1(1)x c e dx =-⎰则,,a b c 的大小关系( )A ．a b c <<B ．b a c << C.c b a << D ．b c a <<9．《张丘建算经》上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A ．55 B ．52C ．39D ．2610.已知ln ()xf x x=，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A ．(2)()(3)f f e f >> B ．(3)()(2)f f e f >>C ．()(2)(3)f e f f >>D ．()(3)(2)f e f f >>11.平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ==⋅=, 点P 在边CD 上，则PA PB ⋅的取值范 围是（ ）A ．[]1,8-B ．[)1,-+∞ C.[]0,8 D ．[]1,0-12.已知实数,a b 满足225ln 0,a a b c R --=∈,）A ．12BC. D ．92 二、填空题（4*5=20分）13．在△ABC 中，若b ＝5，∠B＝π4，cos 3A =，则a ＝________.14．已知向量,a b 满足()1,2,1,3a b a b ==+=，记向量,a b 的夹角为θ，则c o s θ=__________．15.已知函数()(),1ln 1,1a x f x x x ≥=-<⎪⎩，有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.16.已知()12n n n a +=，删除数列{}n a 中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{}n b ，则52b =_________. 三、解答题（70分） 17、（本题满分12分）在在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若tan 3,cos 45A C c === （1）求角B ；（2）求ABC ∆的面积。
福安市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
福安市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥αB ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β2． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（）A. B ．483C.D ．1632033． 若某几何体的三视图 （单位：cm ） 如图所示，则此几何体的体积是（ ）cm3A ．πB ．2πC ．3πD ．4π4． 已知圆方程为，过点与圆相切的直线方程为（ ）C 222x y +=(1,1)P -C A ． B ．C ．D ．20x y -+=10x y +-=10x y -+=20x y ++=5． 阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的的值是（）S A ．39B ．21C ．81D ．102班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________6． 在ABC ∆中，若60A ∠=o，45B ∠=o，BC =，则AC =（）A ．B ． C.D 7． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ）A ．（﹣1，2]B ．（﹣2，2]C ．[﹣2，2]D ．[﹣2，﹣1）8． 已知为的三个角所对的边，若，则,,a b c ABC ∆,,A B C 3cos (13cos )b C c B =-sin :sin C A =（）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．9． 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）A ．20种B ．24种C ．26种D ．30种10．数列{a n }满足a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2016的值为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣1D ．111．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量=（m ，n ），向量=（1，﹣2），则⊥的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=2x ，则f ′（x ）=（ ）A ．2xB ．2x ln2C ．2x +ln2D ．二、填空题13．已知i是虚数单位，复数的模为 ．14．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．x﹣1045f（x）1221下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．15．若正方形P1P2P3P4的边长为1，集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：①当i=1，j=3时，x=2；②当i=3，j=1时，x=0；③当x=1时，（i，j）有4种不同取值；④当x=﹣1时，（i，j）有2种不同取值；⑤M中的元素之和为0．其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）16．（﹣）0+[（﹣2）3]= ．17．已知直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则ab的最大值是 ．18．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．三、解答题19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．20．如图所示，已知+=1（a＞＞0）点A（1，）是离心率为的椭圆C：上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值；（Ⅲ）设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ的值；否则说明理由．21．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x （cm ）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．22．已知、、是三个平面，且，，，且．求证：、αβc αβ=I a βγ=I b αγ=I a b O =I 、三线共点．23．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cos θ+sin θ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P （x ，y ）是圆C 上动点，试求x+y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．24．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，（1）求证：直线BC1∥平面D1AC；（2）求直线BC1到平面D1AC的距离．福安市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】D【解析】解：在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误；在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误；在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确．故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 2． 【答案】【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V ＝23－×2×2×1＝，故选D.132033． 【答案】B【解析】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，∴此几何体的体积==2π．故选：B ． 4． 【答案】A 【解析】试题分析：圆心，由(0,0),C r =1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=，所以切线方程为，故选A.,1d r k =∴=20x y -+=考点：直线与圆的位置关系．5． 【答案】]【解析】试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：．结束循环，2,3==n S 3,21==n S 4,102==n S 输出．故选D. 1102=S考点：算法初步．6． 【答案】B 【解析】考点：正弦定理的应用.7． 【答案】C【解析】解：由f （x ）=x 2﹣6x+7=（x ﹣3）2﹣2，x ∈（2，5]．∴当x=3时，f （x ）min =﹣2．当x=5时，．∴函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是[﹣2，2]．故选：C ． 8． 【答案】C【解析】由已知等式，得，由正弦定理，得，则3cos 3cos c b C c B =+sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，所以，故选C ．sin 3sin()3sin C B C A =+=sin :sin 3:1C A =9． 【答案】A【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，故选：A ．【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想． 10．【答案】D【解析】解：∵a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，∴，得，，a 4=3，…∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且a 1a 2a 3=﹣1，∵2016=3×672，∴A 2016 =（﹣1）672=1．故选：D ． 11．【答案】A【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m ，n ），有36种可能，而使⊥的m ，n 满足m=2n ，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能；由古典概型公式可得⊥的概率是：；故选：A．【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．12．【答案】B【解析】解：f（x）=2x，则f'（x）=2x ln2，故选：B．【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：∵复数==i﹣1的模为=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．14．【答案】 ①②⑤ ．【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．15．【答案】 ①③⑤ 【解析】解：建立直角坐标系如图：则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），∴•=1；•=1；•=1；•=1；∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，∴M中的元素之和为0，故⑤正确．综上所述，正确的序号为：①③⑤，故答案为：①③⑤．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．16．【答案】 ．【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．17．【答案】 ．【解析】解：∵直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），∴a+b﹣1=0，即a+b=1，∴ab≤=当且仅当a=b=时取等号，故ab的最大值是故答案为：【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．18．【答案】 180 【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C7r（2x）r可知r=2，所以系数为C102×4=180，故答案为：180．【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，∴这2人成绩均不低于90分的概率P==．【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵，∴a=c，∴b2=c2∴椭圆方程为+=1又点A（1，）在椭圆上，∴=1，∴c2=2∴a=2，b=，∴椭圆方程为=1 …（Ⅱ）设直线BD方程为y=x+b，D（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立，可得4x2+2bx+b2﹣4=0△=﹣8b2+64＞0，∴﹣2＜b＜2x1+x2=﹣b，x1x2=∴|BD|==，设d为点A到直线y=x+b的距离，∴d=∴△ABD面积S=≤=当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为…（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣，0）时，k1==2﹣，k2==﹣2此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立．证明如下：k1+k2=+=2+m=2﹣2=0当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件…【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．【答案】【解析】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．22．【答案】证明见解析．【解析】考点：平面的基本性质与推论．23．【答案】【解析】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…24．【答案】【解析】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB=C1D1，故ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，故直线BC1平行于平面DA1C；（2）直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离（设为h）以△ABC为底面的三棱锥D1﹣ABC的体积V，可得而△AD1C中，，故所以以△AD1C为底面的三棱锥B﹣﹣AD1C的体积，即直线BC1到平面D1AC的距离为．【点评】本题考查了线面平行的判定定理，考查线面的距离以及数形结合思想，是一道中档题． 。
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2017-2018学年福建省宁德市福安一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣9＜0}，B{x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜3}2．（5分）命题“∃x∈R使得sinx≥cosx“的否定是（）A．∀x∈R都有sinx≤cosx B．∀x∈R都有sinx＜cosxC．∃x∈R使得sinx≤cosx D．∃x∈R使得sinx＜cosx3．（5分）若，且，则向量的夹角为（）A．45°B．60°C．120° D．135°4．（5分）设s n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a5=11，则s7等于（）A．13 B．35 C．49 D．635．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若，则t的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）要得到函数y=sin（π+x）的图象，只需将函数y=cosx的图象（）A．右移个单位B．右移π个单位C．左移π个单位D．左移个单位7．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．[3，4） D．[3，4]8．（5分）已知ω∈R，则函数f（x）=sinωx的导函数的图象可能是（）A． B．C． D．9．（5分）函数y=tanωx（ω＞0）与直线y=a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数的单调增区间是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）10．（5分）三角形的角平分线定理：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，则．已知点O在AD上，满足，AC=2，BC=4，AB=3．且，利用三角形的角平分线定理可求得x+y的值为（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的f（x）满足，则f（2017）=（）A．B．C．1 D．212．（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应的函数与f （x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出了四个函数与对应的变换：（1）f（x）=ln（x+1），T将函数f（x）的图象关于y轴对称；（2）f（x）=10x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称；（3），T将函数f（x）的图象关于点（（﹣1，1））对称；（4），T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称．其中T是f（x）的同值变换的是（）A．（1），（2），（3） B．（2），（3），（4） C．（1），（3），（4） D．（1），（2），（3），（4）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若复数，则|z|=．14．（5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB=米．15．（5分）已知a＞0，函数f（x）=x3+ax2﹣15x+1在区间[﹣2，2]单调递减，则a取值范围是．16．（5分）设正整数n满足n＞1，将正整数n拆分成两个正整数的和（如5=2+3），求出这两个正整数的乘积；再将其中一个大于1的正整数拆分成两个正整数的和，出这两个正整数的乘积．如此下去，每次都任选一个大于1的正整数拆分成两个正整数的和，出这两个正整数的乘积，直到不能再拆分为止，则所有这些乘积的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设p：．（I）若a=﹣1，且满足p∨q为真，p∧q为假，求x取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）已知斜△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c．（I）证明：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；（Ⅱ）若a=3bcosC且tanB=1，a=3，求△ABC的面积．19．（12分）如图，函数y=﹣x2+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记C（x，y），梯形ABCD面积为S．（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数解析式；（Ⅱ）若0＜x≤λ，其中λ为常数且0＜λ＜3，求S的最大值．20．（12分）已知，函数．（I）若f（x）＞0，求x取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=4n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记这个等差数（Ⅱ）在a n和a n+1列的公差为d n．若b1=1，n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．22．（12分）（文）已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．（1）当k=e，b=﹣3时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（e为自然常数）（2）若A（，），求实数k，b的值．2017-2018学年福建省宁德市福安一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣9＜0}，B{x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜3}【解答】解：集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B{x|y=lg（x﹣1）}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜3}，故选：C．2．（5分）命题“∃x∈R使得sinx≥cosx“的否定是（）A．∀x∈R都有sinx≤cosx B．∀x∈R都有sinx＜cosxC．∃x∈R使得sinx≤cosx D．∃x∈R使得sinx＜cosx【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题，∴命题∃x∈R使得sinx≥cosx”的否定为∀x∈R都有sinx＜cosx；故选：B．3．（5分）若，且，则向量的夹角为（）A．45°B．60°C．120° D．135°【解答】解：设向量的夹角为θ，∵，∴•=0=﹣，化为：cosθ﹣=0，∴cosθ==，∴θ=45°．故选：A．4．（5分）设s n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a5=11，则s7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【解答】解：等差数列{a n}中，a1=3，a5=11，故公差d=2，s7=7 a1 +d=63，故选D．5．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若，则t的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，∴在（﹣∞，0）上是增函数，又f（）=0，可得f（﹣）=﹣f（）=0，∴f（x）在（﹣，0）和（，+∞）上函数值为正，∴f（）＞0转化为＞或﹣＜＜0，解得：t∈，故选：A．6．（5分）要得到函数y=sin（π+x）的图象，只需将函数y=cosx的图象（）A．右移个单位B．右移π个单位C．左移π个单位D．左移个单位【解答】解：将函数y=cosx的图象向左移个单位，可得函数y=sin（π+x）=﹣sinx=cos（x+）的图象，故选：D．7．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．[3，4） D．[3，4]【解答】解：由于函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则方程f（x）﹣m=0有三个根，故函数y=f（x）与y=m的图象有三个交点．函数，其图象如图所示，故函数f（x）的极大值为f（﹣1）=4，极小值为f（0）=3，则实数m的取值范围[3，4）．故选：C．8．（5分）已知ω∈R，则函数f（x）=sinωx的导函数的图象可能是（）A． B．C． D．【解答】解：由f（x）=sinωx，求导f′（x）=ωcosωx，故A，D错误，由B项可得函数的最大值为1，即ω=1，但T=π，则ω==2，与ω矛盾，故B 错误，故选C．9．（5分）函数y=tanωx（ω＞0）与直线y=a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数的单调增区间是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵函数y=tanωx（ω＞0）与直线y=a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π∴T=π而∴ω=1∴即为化简得：f（x）=2sin（x﹣）而正弦函数的单调增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）∴x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）解得：x∈（k∈Z）\故选B．10．（5分）三角形的角平分线定理：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，则．已知点O在AD上，满足，AC=2，BC=4，AB=3．且，利用三角形的角平分线定理可求得x+y的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵=．∴==．∴故选：D11．（5分）定义在R上的f（x）满足，则f（2017）=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵定义在R上的f（x）满足，∴当x＞0时，f（x+3）=f（x+2）﹣f（x+1）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（x+1）=﹣f（x），f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∴f（2017）=f（336×6+1）=f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=20﹣2﹣1=．故选：A．12．（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应的函数与f （x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出了四个函数与对应的变换：（1）f（x）=ln（x+1），T将函数f（x）的图象关于y轴对称；（2）f（x）=10x﹣1﹣1，T将函数f（x）的图象关于x轴对称；（3），T将函数f（x）的图象关于点（（﹣1，1））对称；（4），T将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称．其中T是f（x）的同值变换的是（）A．（1），（2），（3） B．（2），（3），（4） C．（1），（3），（4） D．（1），（2），（3），（4）【解答】解：在（1）中，图象关于y轴对称变换后，x变为它的相反数，而函数值不变，所以值域和变换前的相同，所以是同值变换；在（2）中，关于x轴对称后，x值不变，y值变为它的相反数，所以值域不同了，所以不是同值变换；在（3）中，关于点（﹣1，1）对称：设（x，y）是f（x）图象上任一点，它关于（﹣1，1）的对称点设为（x0，y0），则：，得到，∴，即，和原函数是同一函数，所以值域相同，所以是同值函数；在（4）中，关于点（﹣1，0）对称：设（x，y）是函数f（x）=sin（x﹣）上任一点，该点关于（﹣1，0）的对称点设为（x0，y0），则：，得到：，代入原函数得：﹣y0=sin（﹣x0﹣2﹣），即，该函数的值域是[﹣1，1]，原函数的值域也是[﹣1，1]，所以为同值变换；综上得：同值函数有（1），（3），（4）．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若复数，则|z|=．【解答】解：∵=，∴|z|=．故答案为：．14．（5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=米．【解答】解：∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=135°，根据正弦定理，∴BC===15，∴AB=tan∠ACB•CB=×15=15，故答案为15．15．（5分）已知a＞0，函数f（x）=x3+ax2﹣15x+1在区间[﹣2，2]单调递减，则a取值范围是．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax﹣15，若f（x）在[﹣2，2]递减，则f′（x）=3x2+2ax﹣15≤0在x∈[﹣2，2]恒成立，（a＞0）①对称轴x=﹣≤﹣2即a≥6时，f′（x）在[﹣2，2]递增，只需f′（2）=4a﹣3≤0即可，解得：a≤，不合题意，②﹣＞﹣2即0＜a＜6时，f′（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，2]递增，故只需，解得：﹣≤a≤，故答案为：．16．（5分）设正整数n满足n＞1，将正整数n拆分成两个正整数的和（如5=2+3），求出这两个正整数的乘积；再将其中一个大于1的正整数拆分成两个正整数的和，出这两个正整数的乘积．如此下去，每次都任选一个大于1的正整数拆分成两个正整数的和，出这两个正整数的乘积，直到不能再拆分为止，则所有这些乘积的和为．【解答】解：记满足条件所有这些乘积的和为y，当n=2时，2=1+1，则y=1，当n=3时，3=2+1，2=1+1，则y=3，当n=4时，4=3+1，3=2+1，2=1+1，则y=6当n=5时，5=4+1，4=3+1，3=2+1，2=1+1，则y=10，…故y=1+2+3+…+（n﹣1）=，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设p：．（I）若a=﹣1，且满足p∨q为真，p∧q为假，求x取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（I）．即p：1≤x≤2，…（1分）q：（x+1）（x﹣2）≤0，a∈R．q：﹣1≤x≤2，…（2分）因为p∨q为真，p∧q为假，所以﹣1≤x＜1．…（5分）（Ⅱ）．即p：1≤x≤2，q：（x﹣a）（x﹣a2﹣1）≤0，a∈R，q：a≤x≤a2+1，…（6分）因为若p是q的充分不必要条件，所以，…（8分）故a≤﹣1或a=1．…（10分）18．（12分）已知斜△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c．（I）证明：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；（Ⅱ）若a=3bcosC且tanB=1，a=3，求△ABC的面积．【解答】解：（I）证明：由A+B+C=π，得tan（B+C）=tan（π﹣A）=﹣tanA，…（2分）即．…（3分），﹣tanA（1﹣tanB×tanC）=tanB+tanC，…（4分）即tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC．…（5分）（II）解：因为a=3bcosC，所以sinA=3sinBcosC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）sin（B+C）=3sinBcosC，sinBcosC+cosBsinC=3sinBcosC，所以cosBsinC=2sinBcosC，﹣tanC=2tanB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为tanB=1，所以tanC=2由tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC得tanA=3．…（8分）所以，代入正弦定理可得，∴，…（10分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）如图，函数y=﹣x2+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记C（x，y），梯形ABCD面积为S．（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数解析式；（Ⅱ）若0＜x≤λ，其中λ为常数且0＜λ＜3，求S的最大值．【解答】解：（1）依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为y C=﹣x2+9，点B的横坐标x B满足方程﹣x B2+9=0，解得x B=3所以S=（|CD|+|AB|）•y C=（2x+2×3）（﹣x2+9）=（x+3）（﹣x2+9）由点C在第一象限，得0＜x＜3．所以S关于x的函数式为S=（x+3）（﹣x2+9）（0＜x＜3）；（Ⅱ）记f（x）=（x+3）（﹣x2+9），0＜x≤λ，f'（x）=﹣3x2﹣6x+9=﹣3（x﹣1）（x+3），令f'（x）=0，得x=1，①若1＜λ，即1＜λ＜3时，f′（x）与f（x）的变化情况如下：所以，当x=1时，f（x）取得最大值，且最大值为f（1）=32．②若1≥λ，即0＜λ≤1时，f′（x）＞0恒成立，所以，f（x）的最大值为f（λ）=（3+λ）（9﹣λ2）．综上，1＜λ＜3时，S的最大值为32；0＜λ≤1时，S的最大值为f（λ）=（3+λ）（9﹣λ2）．20．（12分）已知，函数．（I）若f（x）＞0，求x取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）由函数==由，即，解得：．故得不等式的解集为：．（Ⅱ）由，则，∴f（x）max=3，f（x）min=2．不等式|f（x）﹣m|＜2⇔f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，转化为：m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2，解得：1＜m＜4．故得实数m的取值范围是（1，4）．21．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=4n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记这个等差数（Ⅱ）在a n和a n+1列的公差为d n．若b1=1，n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由已知a n+a n=4n，+1所以a n+2+a n+1=4（n+1），所以a n+2﹣a n=4，即数列{a n}的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列．因为a1=1，所以a2=3，所以当n为奇数时，；所以当n为偶数时，，所以对任意n∈N*，a n=2n﹣1．（Ⅱ）因为a n=2n﹣1，a n+1=2n+1，所以所以b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n=1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1==．22．（12分）（文）已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．（1）当k=e，b=﹣3时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（e为自然常数）（2）若A（，），求实数k，b的值．【解答】解：（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ex+3（x＞0），则h（x）=﹣e当0＜x＜时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；当x＞时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数．所以函数h（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．（2）设过点A的直线l与函数f（x）=lnx切于点（x0，lnx0），则其斜率k=，故切线l：y﹣lnx0=（x﹣x0），将点A代入直线l方程得：﹣lnx0=（﹣x0），即lnx0+﹣1=0，设v（x）=lnx+﹣1，则v′（x）=（x﹣），当0＜x＜时，v′（x）＜0，函数v（x）为减函数；当x＞时，v′（x）＞0，函数v（x）为增函数．故方程v （x ）=0至多有两个实根，又v （1）=v （e ）=0，所以方程v （x ）=0的两个实根为1和e ， 故P （1，0），Q （e ，1）， 所以k=，b=为所求．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为MFEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。