线性系统的能控性和能观测性4
能控性与能观性
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
现代控制理论能控性、能观测性
0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
a1 a2 a3 an1
0
0
b 0
1
且：
证明： PA AP (由A PAP1 推得 )
P1A P2
P2 A P1A2 P3
Pn2 A P1 An2 Pn1 Pn1 A P1 An1 Pn
例：
. 1 1 1 求x能控1标准0型x． 1u
设线性定常连续系统状态空间表式： . x Ax Bu y Cx Du
1. 定义：对任意给定u(t)，在[t0 , t f ]
rank P1[B AB An1B]
rank[B AB An1B]
rank SC
P1 满秩矩阵
系统的能控性不变
7. 定理4：
.
设 x Ax bu
如则果必系存统在能 一控 个， 非则 奇异SC变换[BXABPA1nx1B]
可将状态方程化为能控标准型：
.
x Ax bu
其中：
A PAP1 b pb
第八章 现代控制理论能控性、能观测性
一、线性系统能控性和能观性的概念 二、线性定常系统的输出能控性 三、线性定常连续系统的能观性 四、线性定常连续系统的能观性
例1: 给定系统的状态空间描述:
.
x1
.
x 2
4 0
0 5
x1 x2
1 2u
解:展开 y 0. 6x
.
x1 4x1 u x2 5x2 2u
rank Sc =rank[Sc ScT ]nn
.
3. 定理2：若x Ax Bu ，
若Ａ为对角型，则状态完全能控的 充要条件为：
Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
线性系统的可控性和可观性
第四章 线性系统的可控性和可观性§4-1 问题的提出经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。
状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。
可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。
它们分别回答：“输入能否控制状态的变化”——可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”——可观性可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。
可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。
例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。
就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。
另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。
可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。
状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。
判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。
【例如】（1）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=202001 []x y 01=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧=+==1221122xy u x x x x 从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。
即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
线性系统的能控性与能观性 习题与解答
第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 100030013u u x x x x x x解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C显然有[]n Ab bU C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
2)由于该系统控制矩阵为100111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=342100010A则有，010******* 01112431117AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦20100111001 111724317115A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而系统的能控性矩阵为21001110111171117115C U BABA B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==--⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦有n U C ==3rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
3)由于该系统控制矩阵为110020B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100030013A则有，3101133030 00000012020AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦23103399030 00000012020A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是，系统的能控性矩阵为2113399000000202020C U BABA B ---⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可知n U C <=2rank不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。
4.4线性时变系统的能控性和能观性
n
M
N
n1
(t1
)
N0(t) C(t)
N k 1 (t )
Nk
(t ) A(t )
d dt
Nk
(t)
(k 0,1,2,L ,n 1)
第四章 线性系统的能控性与能观性
例 4.4.2.（2）已知线性时变连续系统为
x1 t 1 0 x1
x2
0
2t
0
x2
Td [0, 2], t0 0.5, t f 2
解：首先计算 0
M0 (t ) B(t ) 1
1
1
M1(t)
A(t )M0 (t )
d dt
M0 (t )
2t
t t 2
3t
M2 (t )
A(t )M1(t )
d dt
M1(t)
4t 2 2
(t 2 t )2 2t 1
进而，可以找到 t1 1，[0使,3有]
第四章 线性系统的能控性与能观性
t
t 2
第四章 线性系统的能控性与能观性
2t 0 2t
M
2
(t
)
A(t)M1(t)
d dt
M 1 (t )
t t
2 4
1
2t
t
2
1
t4 2t
M0(t) M1(t) M2(t) 秩为3，所以系统是完全能控
第四章 线性系统的能控性与能观性
推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)在时间区间
N1 ( t )
t 2 1 4t 2 3t 2 (t 2 t )2 (2t 1)
N0 (t1 )
1 1 1
于是
rank
(k 1, 2,L , n 1)
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
能控性和能观测性
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
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Wc (0, t1 ) e
0
t1
At
BB e
T AT t
dt
为非奇异。
2.秩判据 设线性定常连续系统的状态方程为 = Ax + Bu x 式中，x为n维状态向量，u为r维输入向量， A、 B分别为 n n ， n r 常数阵。 系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判 别矩阵
第四章 线性系统的能控性和能观测性
4.1 能控性和能观性的定义 4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据 4.3 连续时间线性时不变系统的能观性判据 4.4 对偶性 4.5 能控规范形和能观规范形
4.6 线性系统的结构性分解
本章小结
本章简介
本章讨论线性系统的结构性分析问题。 – 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构 性质----状态能控性和能观性； 能控性和能观性判据； 对偶性 SISO线性时不变能控规范形和能观规范形； 能控性和能观性在状态空间模型的结构分解
由定理可知，因为对应于特征值3，定理的条件 不成立，故该系统状态不完全能控。
4.对角形判据
Ax Bu 的系统矩阵A具有互 如果线性定常系统 x 不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统
经线性非奇异变换后 A阵变换成对角标准形，它的状
态方程
1 0 ˆ ˆ x ˆ Bu x 0 n
表4-1 能控性判据小结
判据
格拉姆矩阵 判据
判定方法
矩阵函数e-AtB的各行 函数线性独立
特点
需要求矩阵指数函数并判 定函数，计算复杂
1.计算简便可行。 秩判据 2.缺点为不知道状态空间中 能控性矩阵Qc=[B 哪些变量(特征值/极点)能 AB … An-1B]满秩 控 约当标准形中同一特征 1.易于分析状态空间中哪些 约当标准形 值对应的B矩阵分块的 变量(特征值/极点)能控。 判据 最后一行线性无关 2.缺点为需变换成约当标准 形 1.易于分析哪些特征值(极 对于所有特征值 , PBH 判据 点)能控。 rank[I-A B]=n 2.缺点为需求系统的特征值
2.状态与系统能达
若存在能将状态 x(t0 ) 0 转移到 x(t1 ) x1 的控制作 用 u(t ), t [t0 , t1 ] ，则称状态 x1 是 t 0 时刻能达的。 若x1对 所有时刻都是能达的，则称状态 x1为完全能达或一致 能达。 若系统对于状态空间中的每一个状态都是 t 0时刻能 达的，则称系统是 t 0时刻状态能达的，简称系统是时 刻 t 0能达的。
Qc = B AB A2 B An-1 B 满秩，即
rankQc rank B
AB
A2 B An-1B n
3.PBH 秩判据 线性定常连续系统 = Ax + u, x(0) x0 , t 0 x 系统为完全能控的充要条件是，对矩阵A的所有 特征值 i (i 1,, n), 等式 rank i I A, B n ，i 1,, n 均成立 或等价地 rank sI A, B n, s C
【例1】试判断如下系统的状态能控性。
1 3 2 2 1 x 1 1 u x 0 2 0 0 1 3 1 1
解 由方程|I-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为1,2和3。
对特征值1=1,有
0 3 2 2 1 3n rank[ 1 I-A B] rank 0 1 0 1 1 0 1 2 1 1
若系统在所有时刻状态完全能观，则称系统状态 完全能观，简称为系统能观。 若存在某个状态x(t0)不满足上述条件，称此系统 是状态不完全能观的，简称系统为状态不能观。 对上述状态能观性的定义有如下注记。
（1）对于线性定常系统，由于系统矩阵A(t)和输出 矩阵C(t)都为常数矩阵，与时间无关,
4.3 线性定常连续系统的状态能观性判据
1.格拉姆矩阵判据 设定常连续系统在输入 u(t ) 0 时的齐次状态方程和 输出方程分别为
Ax, x(0) x0 , t 0 x y Cx
式中，x为n维状态向量，y为m维输出向量，A，C 分别为 n n，m n 常数阵。
则系统状态完全能观的充分必要条件是存在一个有 限时刻t1使如下格拉姆矩阵
【例2】试判断如下系统的状态能控性。
1 1 x x 2 0 3 0 x
1 2 0 0 1 2 5 0 1 5
1 1 0
(1)
0 x1 0 x 4 u 0 2 2 3 x3
（2）在上述定义中，对输入u(t)没有加任何约束，只 要能使状态方程的解存在即可。 如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都 是t的分段连续函数，则状态方程存在唯一解。 u(t)为分段连续的条件，在工程上是很容易满足 的。 （3）在状态能控性定义中，对输入u(t)和状态x(t)所 处的空间都没有加任何约束条件。 在实际工程系统中，输入变量空间和状态空间 都不为无限制条件的线性空间，因此上述能控 性的定义对工程实际系统还需作具体的分析。
对为约旦规范形的线性定常连续系统(A,B),有: 1) 若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵, 则系统能控的充要条件为 对应A的每个约旦块的B的分块的最后一行都不 全为零;
2) 若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩 阵,则系统能控的充要条件为 对应A的每个特征值的所有约旦块的B的分 块的最后一行线性无关。
因此不必在定义中强调“在所有时刻状态完 全能观”,
而为“某一时刻状态完全能观，则系统状态 完全能观”。
（2）上述定义中的输出观测时间为[t0,t1]，并要求 t1>t0。这是因为，输出变量y(t)的维数m一般总是小 于状态变量x(t)的维数n。否则，若m=n且输出矩阵 C(t)可逆,则 x(t)=C-1(t)y(t) 即状态变量x(t)可直接由输出y(t)确定。由于m<n,为了 能唯一地求出状态变量的值,不得不依靠在一定区间 内测量得的连续(或有限几组)输出值以确定系统状态。
定义的几点解释
对上述状态能控性的定义有如下讨论: （1）控制时间[t0,t1]是系统状态由初始状态转移到 原点所需的有限时间。 对时变系统，控制时间的长短，即t1-t0的值, 与初始时刻t0有关。 对于定常系统，该控制时间与t0无关。 所以，对于线性定常系统状态能控性，可不必在定 义中强调“在所有时刻状态完全能控”，而为“某 一时刻状态完全能控，则系统状态完全能控”。
0 x1 0 x 0 2 x3 3 x4 0 2 x5 1 0 u 1 0 u2 0 1
1 2 x x 2 0 x 3 0 4 x x 5 0
能在有限时间[t0,t1]内把系统状态从初始状态x(t0)
控制到原点,即x(t1)=0,则称t0时刻的状态x(t0)能控; 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称 系统在t0时刻状态完全能控;
系统能控
若系统在所有时刻状态完全能控,则称系统状态完 全能控,简称为系统能控。 若存在某个状态x(t0)不满足上述条件,称此系统是 状态不完全能控的,简称系统为状态不能控。
满秩
即： rankQO n
3. PBH 秩判据 线性定常系统完全能观测的充要条件是，A 的所有 i 1, 2,, n 均成立 特征值 i ， i I A
或等价地表为
rank
C
n
(i 1,, n)
sI A rank n C
s C
（3）在定义中把能观性定义为对初始状态的确定， 这是因为，一旦确定初始状态,便可根据状态方程的 解表达式，由初始状态和输入，计算出系统各时刻 的状态值。
4.2 线性定常连续系统的状态能控性判别
1.格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统
= Ax + Bu, x(0) x0 , t 0 x
状态完全能控的充分必要条件是存在时刻 t1 0 ，使如下定义的格拉姆矩阵
对特征值2=2，有
1 rank[ 2 I-A B] rank 0 0 3 2 0 1 0 1 1 1 1 3n 1 1 2
1 1 1 2n 1 1 2
对特征值3=3，有
2 rank[ 3 I-A B] rank 0 0 3 2 1 1 0 0
ˆ 不包含元素全为0的行。 其中，B
5.约当标准形判据 Ax Bu 系统矩阵具有重特征 若线性定常系统的 x 值，经线性非奇异变换后，系统化为约当标准形
J1 0 ˆ x 0 0 J2 0 0 0 ˆ x ˆ Bu Jk
4 1 0 0 0 x 0 4 0 x 0 0 u 0 0 3 1 1
解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的 最后一行线性无关,
且A中特征值-3的约旦块所对应的B的分块的最 后一行不全为零,故系统状态完全能控。
4.1 能控性和能观性的定义 1.状态能控
定义4-1 若线性连续系统 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
x(t0) x2 x(t0)
对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域) 和初始状态x(t0),
存在另一有限时刻t1(t1>t0,t1T),
x(t0) 0
x1
可以找到一个控制量u(t),
【例3】试判断如下系统的状态能观性。
1 0 0 x x 0 0 1 6 11 6 y [ 4 5 1 ]x
解 由方程|I-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为-1,-2和3。对特征值1=-1,有
1 1 0 0 1 1 λ I-A 1 2n rank rank 6 11 5 C 4 5 1