热点题型突破1-1

与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A
数学（理）
对于任意的两个正数 m，n，定义运算⊙：当 m、n 都为偶 m＋n 数或都为奇数时，m⊙n＝ ；当 m、n 为一奇一偶时，m⊙ 2 n＝ mn，设集合 A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，则集合 A 中的元素个数为________．
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解析：由定义运算得 X ⊕(Y⊕Z) ＝X ⊕[( ∁UY) ∪Z] ＝∁UX ∪[( ∁UY) ∪Z] ＝∁UX ∪( ∁
UY)∪Z.
答案：D
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数学（理）
1．创新集合新定义 创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合， 对集合 的知识加以深入地创新， 结合原有集合的相关知识和相应数学 知识，来解决新定义的集合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ新问题．新定义型信息题是试题 改革的一个亮点，它能有效地考查考生独立获取信息、加工信 息及继续学习的能力．
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数学（理）
对于平面上的点集 Ω，如果连接 Ω 中任意两点的线段必 定包含于 Ω，则称 Ω 为平面上的凸集，给出平面上 4 个点集 的图形如图所示(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是 ________( 写出所有凸集相应图形的序 号)．
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数学（理）
所以集合 M 的子集为“和谐集”，其元素只能从两组元 1 1 2 素：－1，2，2 与－2，3，3 中选取一组或两组，故“和谐集” 1 1 2 1 1 2 有{－1，2，2}、{－2，3，3}、{－1，2，2，－2，3，3}三个．故 选 C.
【答案】 C
数学（理）
总之，创新问题是考查考生能力、优化思维品质的极好素 材．以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义， 用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用， 尤其是综合问题的灵活应用， 以此来考查考生将知识迁移到不 同情境中的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深 度，以及进一步学习的潜能．这是创新问题的实质所在，其地 位在高考中越来越重要．
数学（理）
解析：由已知集合 M 是集合 p 的子集，设 a＝2m－1，b ＝2n－1(m，n∈N*)， ∵ a· b ＝(2m－ 1)(2n － 1) ＝ 4mn － 2(m＋n) ＋ 1 ＝ 2[2mn － (m ＋n)＋1]－1∈P， ∴M⊆P，而其它运算均不使结果属于集合 P，故选 C.
答案：C
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数学（理）
(2011 年广东)设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果∀a，b ∈S，有 ab∈S，则称 S 关于数的乘法是封闭的，若 T，V 是 Z 的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，有 abc ∈T；∀x，y，z∈V，有 xyz∈V，则下列结论恒成立的是( A．T，V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B．T，V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C．T，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．T，V 中每一个关于乘法都是封闭的 )
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数学（理）
【试一试】 1．(2013 届湖北省黄冈中学高三 11 月月考)已知集合 P＝ {正奇数}和集合 M＝{x|x＝a⊕b，a∈P，b∈P}，若 M⊆P，则 M 中的运算“⊕”是 A．加法 C．乘法 B．除法 D．减法 ( )
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(对应学生用书 P9)
探究高考中 4 种类型的集合创新问题 数学思维的创新是思维品质的最高层次，在近几年高考 中， 相继出现了一些以考查考生探究能力和创新能力为目的的 “创新题”，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为 途径， 以“发现”为目的， 为高层次思维创造了条件， 是挖掘、 提炼数学思想方法，充分展示应用数学思想方法的良好载体， 本文精选一些以集合为背景的创新题型，并分类解析，旨在探 索题型规律，供同学们参考．
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本题为集合新定义创新题型，以集合新定义为载体，通过 阅读与理解、 信息迁移， 考查考生分析问题和解决问题的能力， 以及数形结合和化归转化的能力．
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2．创新集合新运算 创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出 新的集合运算规则， 并按照此集合运算规则和要求结合相关知 识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．
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1 1 【解析】 当 x＝－2 时， ＝3∉M，故－2 不是“和谐 1－x 集”中的元素； 1 1 当 x＝－1 时， ＝2∈M， 1－x 1 1 当 x＝ 时， ＝2∈M， 2 1－x 1 当 x＝2 时， ＝－1∈M， 1－x 1 所以－1，2，2 可以作为“和谐集”中的一组元素；
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【解析】 取 T＝{x|x∈(－∞，0)，且 x∈Z}，V＝{x|x∈ (0，＋∞)，且 x∈Z}∪{0}，可得 T 关于乘法不封闭，V 关于 乘法封闭，又取 T＝{奇数}，V＝{偶数}，可得 T ，V 关于乘法 均封闭，故排除 B、C、D，故选 A.
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通过非空集合 S 中元素属性的分析， 结合题目中引入的相 应的创新性质，通过不等式的相关知识，分别确定相应命题的 正确性，通过具体代入分析，从而达到求解与判断的目的．
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4．创新集合新交汇 创新集合新交汇问题往往是综合集合与其他知识的交汇， 特别是与函数、复数、向量、不等式等内容，以集合为背景， 通过知识的交汇性创新来达到考查与应用的目的．
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【解析】 利用平面上的凸集的新定义知：连接 Ω 中任 意两点的线段必定包含于 Ω， 那么对于①中多边形最上面的两 个角上相应的两点的连线就不包含于 Ω， 而对于④中分别在两 个圆中各取一点的连线就不包含于 Ω， 对于②和③满足平面上 的凸集的新定义，故填②③.
【答案】 ②③
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a＋b 【解析】 (1)当 a、b 都为偶数或都为奇数时， 2 ＝6 ⇒a＋b＝12，即 2 ＋10＝4 ＋8＝6 ＋6＝1 ＋11＝3 ＋9＝5＋ 7＝ 12，故符合题意的点(a，b)有 2×5＋1＝11 个； (2)当 a，b 为一奇一偶时， ab＝6⇒ab＝36，即 1×36＝ 3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a，b)有 2×3＝6 个． 综合(1)(2)，集合 A 中的元素个数为 17 个．
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3．创新集合新性质 创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性 质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有 关的集合性质的问题．
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1 若 x∈A，且 ∈A，则称集合 A 为“和谐集”．已知集 1－x 1 1 2 合 M＝{－2，－1，－ 2，0,1，2，3，2,3}，则集合 M 的子集 中，“和谐集”的个数为 A．1 C．3 B．2 D．4 ( )
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1 1 2 当 x＝－2时， ＝3∈M， 1－x 2 1 当 x＝3时， ＝3∈M， 1－x 1 1 当 x＝3 时， ＝－ ∈M， 2 1－x 1 2 所以－ ， ，3 可以作为“和谐集”中的一组元素； 2 3 1 1 当 x＝0 时， ＝1∈M，但 x＝1 时， 无意义， 1－x 1－x 所以 0,1 不是“和谐集”中的元素．
【答案】 A
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“封闭”是大学教材中的内容，以此出题，旨在考查考生 接受和处理新信息的能力．作为新定义问题，如能准确理解定 义，难度并不大，但容易考虑不全．因此，在充分理解题目的 含义之后，需进行全面深入地分析，方能准确地得出结果．
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【答案】 17
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解决创新集合新运算问题常分为三步： (1)对新定义进行信 息提取， 确定化归的方向； (2)对新定义所提取的信息进行加工， 探求解决方法； (3)对定义中提出的知识进行转换， 有效地输出， 其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键， 也是解题 的难点．
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2．(2012～2013 年广东省珠海市高三摸底考试)设 U 为全 集，对集合 X、Y，定义运算“⊕”，满足 X⊕Y＝(∁UX)∪Y， 则对于任意集合 X、Y、Z，则 X⊕(Y⊕Z)＝ A．(X∪Y)∪(∁UZ) C．[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z B．(X∩Y)∪(∁UZ) D．(∁UX)∪(∁UY)∪Z ( )