三角函数讲课
三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)
象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
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1．sin(－315°)的值是( )
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数的概念课件
x
x
三角函数的概念
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
那么 y sin，x cos，y tan (x 0).
x
可以看出，当 k ,k Z 时，α的终边始终在y轴上，这时P点的横
坐标x等于0，所以
y
2
tan无意义.除此之外，正切tanα与实数α是一一对应
么z1与y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
y
利用锐角三角函数概念可得：
P(x，y)
sin MP y y; cos OM x x; tan MP y
OP 1
OP 1
OM x
α
O M 1x
与按本节三角函数定义求得的结论是相同的．
三角函数的概念
【例1】求 5 的正弦、余弦和正切值．
三角函数的概念
锐角α的正弦、余弦和正切叫做角α的锐角三角函数，分别记作sinα， cosα，tanα.
sin
对边 BC
斜边 AB
B
cos
邻边 斜边
=
AC AB
α
tan
对边 BC 邻边 AC
A
C
02
新知探索
New Knowledge explore
三角函数的概念
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一 对应的关系，下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题，即研究单位 圆上点的运动．
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
S { | k 360 o, k Z}
象限角与轴线角：
把角的顶点固定在原点，角的终边始终与x轴的非负半轴重合.那么，角α的终边在第
几象限，就说这个角是第几象限的角. 如果角的终边落在坐标轴上,这个角称轴线角.
三角函数的定义 课件
命题方向3 ⇨诱导公式(一)的应用
典例 3 求下列各式的值． (1)cos235π＋tan(－145π)； (2)sin810°＋tan765°－cos360°．
[思路分析] 利用诱导公式(一)，将任意角的三角函数转化为 0～2π(或 0°～ 360°)角的三角函数．
已知角
公―诱式―导→一
找在0～2π0°～360°上 与已知角终边相同的角
[错解二] 由题意可得，|OP|＝ －3m2＋m2＝ 10m，
所以
sinα＝
－3m ＝－3 10m
1010.故填－3 1010．
[错因分析] 错解一误认为只有 m>0 的情况而得到 1100，错解二对正弦与余 弦函数定义中比的顺序颠倒而得 sinα＝－130mm＝－31010．
[正解] 由题意可得，
比值yx叫做
α
的正切，记作
tanα，即
y tanα＝__x____．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为
函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．
● [知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意 义的实数集．
三特角―殊函 ―角→数的值
结果
[解析] (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32． (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)－cos(360°＋0°)＝1＋1－1＝ 1．
分类讨论思想在化简三角函数式中的应用
②我们也可以利用角 α 终边上任意一点的坐标来定义三角函数．
设 α 是一个任意角，α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点的距
三角函数完美讲义
三角函数完美讲义
1.引言
三角函数是高中数学的重要知识点之一，也是解决几何和物理
问题的基础。
本讲义旨在提供一个完整且简明易懂的三角函数讲解，帮助学生更好地理解和应用三角函数的概念和性质。
2.基本概念
研究前提：了解直角三角形和基本三角比的概念
三角函数定义：正弦、余弦和正切的定义及图示
三角恒等式：介绍常见的三角恒等式及其证明方法
3.三角函数图像
正弦函数图像：介绍正弦函数的周期、振幅、相位和对称性
余弦函数图像：介绍余弦函数的周期、振幅、相位和对称性
正切函数图像：介绍正切函数的周期、渐近线和对称性
4.三角函数性质
基本性质：介绍正弦、余弦和正切函数的定义域、值域和奇偶性
三角函数的推导：从直角三角形的角度推导三角函数的值
5.三角函数应用
角度的测量单位：介绍弧度制和度制的转换关系
三角函数应用举例：解决实际问题时如何运用三角函数
三角函数的相关性：介绍三角函数之间的关系，如和差公式和倍角公式
6.总结
本讲义通过简明易懂的语言和清晰明了的图示，全面介绍了三角函数的基本知识和应用。
希望学生能够通过本讲义的研究，更加深入地理解和掌握三角函数，为日后的高中数学研究和实际应用打下坚实的基础。
以上是《三角函数完美讲义》的框架概述，具体内容请根据需要进行补充。
希望对您有所帮助！。
三角函数知识讲解
三角函数知识讲解一、三角函数的定义三角函数是数学中的一类函数，它们涉及到角度和三角形的边长。
具体来说，三角函数是以角度（通常用弧度表示）为自变量，角度对应的正弦、余弦、正切等值为函数值的函数。
1.1 定义给定一个角度θ，三角函数定义如下：正弦函数（sine）：sinθ余弦函数（cosine）：cosθ正切函数（tangent）：tanθ其中，正弦、余弦、正切等符号分别表示一个直角三角形中的对边、邻边和斜边的长度比。
二、三角函数的恒等变换三角函数的恒等变换是指一些在三角函数值之间进行变换的公式。
这些公式在解决三角函数问题时非常有用，可以帮助我们简化问题并找到解决方案。
2.1 恒等变换公式以下是一些常见的三角函数恒等变换公式：和差角公式：sin(θ+φ) = sinθcosφ + cosθsinφ；cos(θ+φ) = cosθcosφ - sinθsinφ；tan(θ+φ) = (tanθ+tanφ)/(1-tanθtanφ)积化和差公式：sinθcosφ = 0.5[sin(θ+φ) + sin(θ-φ)]；cosθsinφ = 0.5[sin(θ+φ) - sin(θ-φ)]；tanθcotφ = (tanθ+cotθ)/(1-tanθcotφ)倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ；cos2θ = cos²θ - sin²θ；tan2θ = (2tanθ)/(1-tan²θ)半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/2]；cos(θ/2) = ±√[(1+cosθ)/2]；tan(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/(1+cosθ)]三、三角函数的应用三角函数在许多数学问题中都有应用，包括解三角形、处理振动和波动问题、进行单位转换等。
在实际问题中，我们经常需要使用三角函数来建立数学模型，并通过求解模型来找到问题的解决方案。
三角函数的概念 完整版PPT课件
余弦函数 y cosx, x R
正切函数 y tanx, x k (k Z )
2
注意：
y
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标， 余弦就是交点的横坐标 正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(x, y)
x o
（2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当α 的终边在y 轴上时，点P 的
单位圆半径不变，点P的横、纵坐标只与α的大小有关， α确定时，p的坐标能唯一确定。
任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角， R ,它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1） y 叫做 α的正弦函数，记作 sin α 即 y = sin α
（2） x 叫做 α的余弦函数，记作 cos α 即 x = cos α
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0 , y0 )
分别过点P, P0 作 x 轴的垂线PM , P0M 0 ，垂足分别为 M , M0
则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
OMP ∽ OM0P0
于是，| P0M 0 | | PM
P c
b
O
a
M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
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你有什么一般猜想？
思考8：对于不等式 sin a < a < tan a （其中α 为锐角），你能用数形结合 思想证明吗？ y T
P
O M A x
理论迁移
例1 作出下列各角的正弦线、余弦 线、正切线： 5 （1 ） ； （2） ；
4
6
2 （3 ） 3
；
12 （4 ） . 5
成立的α 的取值范围.
思考4：规定了始点和终点，带有方向的线 段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α 为第一、三象限角时，sinα 、cosα 可分 别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα ， OM=cosα ，那么当角α 为第二、四象限角 时，你能检验这个表示正确吗？ y y
P （x ，y ）
M
O
x
M
O
P （x ，y ）
思考3：综上分析，各三角函数在各个象限 的取值符号如下表：
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
cos
sin
cos sin
+
+
－
－ +
－
+ －
cos
tan
+
+
－
－
你有什么办法记住这些信息？
思考4：如果角α 与β 的终边相同，那么 sinα 与sinβ 有什么关系？cosα 与cosβ 有 什么关系？tanα 与tanβ 有什么关系？
sin x y
2 2
tan y x
cos
x x y
2 2
O
xHale Waihona Puke P(x，y)y tan x
练习 已知角θ的终边过点P(-12,5),求角θ的三 角函数值
解: r x y
2 2
12
2
5 13
2
y 5 sin r 13 x 12 cos r 13 y 5 tan x 12
5.典型例题
5 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 3 5 解: 在直角坐标系中,作出 AOB = 3 5 3 y
sin 3 2
5 3
5 1 cos 3 2
5 tan 3 3
O
A x
1 3 B 2 , 2
练
填表:
角α 0°
角α的弧度数
sinα cosα tanα
| MP | y sin
P （x ，y ）
| OM | x cos
O
M
x
思考2：若角α 为第三象限角，其终边 与单位圆的交点为P（x，y），则 sin y ， cos x 都是负数，此时 角α 的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示？ y
| MP | y sin
P
P
sin p p p < < tan 4 4 4
O
x
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线 是一个点；当角α的终边在y轴上时，角 α的正切线不存在.
思考7：观察下列不等式：
p p p sin < < t an 4 4 4 p p p sin < < t an 3 3 3
p p p sin < < t an 6 6 6
作业：
P15 练习：1，2，5，7.
3，4，6 做在书上
1.2
任意角的三角函数
1.2.1
任意角的三角函数
第二课时
问题提出
cos x
1.设α 是一个任意角，它的终边与单位 圆交于点P（x，y），角α 的三角函数 是怎样定义的？ y sin y cos x tan ( x 0)
x
思考5：设角α 的终边与单位圆的交点 为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称 有向线段MP，OM分别为角α 的正弦线和 余弦线.当角α 的终边在坐标轴上时， 角α 的正弦线和余弦线的含义如何？ y y
P M O x P O x
P
思考6：设α 为锐角，你能根据正弦线和 余弦线说明sinα ＋cosα >1吗？
0
90°
180°
0 1 0
1 0
2
270°
3 2
0 1 0
2 1 0 1 0 0
360°
知识探究（二）：三角函数符号与公式 思考1：当角α 在某个象限时，设其终 边与单位圆交于点P（x，y），根据三 角函数定义，sinα ，cosα ，tanα 的 函数值符号是否确定？为什么？
sin y
y
P
O
M
x
MP＋OM>OP=1
知识探究（二）：正切线
思考1：如图，设角α 为第一象限角，其 终边与单位圆的交点为P（x，y），则 y tan 是正数，用哪条有向线段表示 x 角α 的正切值最合适？
y P T
y tan AT x
O
M
A x
思考2：若角α 为第四象限角，其终边 y 与单位圆的交点为P（x，y），则 tan x 是负数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？
x
2.三角函数在各象限的函数值符号分别 如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
tan( 2k ) tan
3.公式 sin( 2k ) sin ， cos( 2k ) cos ， tan( 2k ) tan ( k Z).其数学意义如何？
sin y
cos x
α 的终边 P(x，y)
O
x
y tan ( x 0) x
思考6：对于一个任意给定的角α ，按 照上述定义，对应的sinα ，cosα ， tanα 的值是否存在？是否惟一？
α 的终边
P(x，y)
y
O
x
cos x ， 思考7：对应关系 sin y ， y tan ( x 0) 都是以角为自变量，以单位圆
y
y tan AT x
A
M
O
x
P T
思考3：若角α 为第二象限角，其终边 y 与单位圆的交点为P（x，y），则 tan x 是负数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？ T
y tan AT x
y
P A
A Tx
M O
y 思考4：若角α 为第三象限角，其终边 tan x 与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角α 的正切值最合适？
.
小结作业
1.三角函数都是以角为自变量，在弧度 制中，三角函数的自变量与函数值都是 在实数范围内取值. 2.三角函数的定义是三角函数的理论基 础，三角函数的定义域、函数值符号、 公式一等，都是在此基础上推导出来的.
3.若已知角α的一个三角函数符号，则 角α所在的象限有两种可能；若已知角 α的两个三角函数符号，则角α所在的 象限就惟一确定. 4.一个任意角的三角函数只与这个角的 终边位置有关，与点P（x，y）在终边上 的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈 周期性变化，即角的终边绕原点每旋转 一周，函数值重复出现.
cos x
α 的终边 P(x，y)
y
y tan ( x 0) x
O
x
思考2：设α 是一个任意的象限角，那么 当α 在第一、二、三、四象限时，sinα 的取值符号分别如何？cosα ，tanα 的 取值符号分别如何？
sin y
cos x
y tan ( x 0) x
| MP | y sin
| OM | x cos
M
O
x
P （x ，y ）
思考3：为了简化上述表示，我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点，另 一个为终点，使得线段具有方向性，带 有正负值符号.根据实际需要，应如何 规定线段的正方向和负方向？ 规定：线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向，反向时为负方向.
y
T
y tan AT x
A M
O
T
A
x
P
思考5：根据上述分析，你能描述正切线 的几何特征吗？
y T y P O A x P O A T x
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α 的终边或其反向延长线相交于点T，则 AT=tanα .
思考6：当角α 的终边在坐标轴上时，角 α 的正切线的含义如何？ y
sin b
cos a
b tan a
o
y
1
α
P(a，b)
x
思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆 心，以单位长度为半径的圆称为单位圆. 对于角α 的终边上一点P，要使|OP|=1， 点P的位置如何确定？
α 的终边
y
P
O
x
思考5：设α 是一个任意角，它的终边 与单位圆交于点P（x，y），为了不与 当α 为锐角时的三角函数值发生矛盾， 你认为sinα ，cosα ，tanα 对应的值 应分别如何定义？ y
1.2
任意角的三角函数
1.2.1
任意角的三角函数
第一课时
复习回顾
1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
sin
a c
b c
a b
a
M
cos
tan
O
b
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y
b
M
x
知识探究（一）：任意角的三角函数
思考1：为了研究方便，我们把锐角α 放到直角坐标系中，并使角α 的顶点与 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角α 的终边上取一点P（a，b）,设点 P与原点的距离为r，那么，sinα ， cosα ，tanα 的值分别如何表示？