1.1.2 基本不等式

2 2 a b a b 或 ab ( )2 (a 0, b 0) 2 2
例2：已知 a, b, c, d R, x, y 0，且 x 2 a 2 b2 , y 2 c 2 d 2，求证：
xy ac bd
证明：当 ac bd 0时，原不等式显然成立。 当 ac bd 0 时，
ACD ~ DCB
CD CA CB CD
由于 OD 是RtOCD的斜边，
CD ab
ab ab 故 OD DC，即 2
注：
1.a 0, b 0
2.等号成立的条件： a b
ab 3.称 为正数a, b的算术平均数， ab为正数 a, b的几何平均数。 2
4.两个正数的算数平均数不小于几何平均数。
l 可得： xy 4 l2 故矩形的面积 xy 16 当且仅当x y 时，等号成立，即当且仅当矩形是正方形时，面积
2 l xy取得最大值 16
x y xy 2
(2)在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。 证明：设矩形的长为 x，宽为 y 设矩形面积为定值 S ，即 xy S 为定值，根据基本不等式
5 2 ( x 1) 5 x 1
5 当且仅当 x 1 ，即( x 1)2 5，即 x 5 1 时，取“＝” x 1
即 a 2b2 b2c 2 c 2 a 2 ab2c abc 2 a 2bc abc(a b c )
a 4 b4 c4 a 2b2 b2c 2 c 2 a 2 abc(a b c)
总结： 1.利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项： (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性 质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其 特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。 (2)注意事项：
16 例7：已知 a b 0，求 a 的最小值。 b( a b) 解： a b 0, a b 0 可解得 a 2 2, b 2 16 16 2 2 a [(a b) b] b( a b) b( a b) 16 2 [2 b (a b)] b( a b ) 16 4b(a b) b( a b)
1 x( x 3) 的最值。 x 3 1 1 x x 3 3 解：y x 3 x 3 1 x 3, x 3 0, 0 x 3
1 y 2 ( x 3) 3 5 x 3 1 x 3，即 x 4时，有最小值 y 当且仅当 5 x 3
x y xy 2 矩形的周长 2( x y) 4 xy 4 S
当且仅当x y 时，等号成立，即当且仅当矩形是正方形时，知 x, y 都是正数，求证： (1)如果积 xy是定值 P ，那么当 x y 时，和x y有最小值 2 P ； 1 (2)如果和 x y是定值 S ，那么当 x y 时，积 xy 有最大值 S 2。 4 x y xy x, y 都是正数， 证明： 2 x y xy P P (1)积 为定值 时，有 2 x y 2 P x y 有最小值 x y 时，和 上式当x y时取“＝”号，因此，当 2 P S x y S (2)和 为定值 时，有 xy 2 1 2 xy S 4 1 2 x y 时，积 xy 有最大值 S 上式当x y时取“＝”号，因此，当 4
4.基本不等式的几何意义： 在右图中， CD是 Rt ABC 中斜边 AB上的高， OC 是斜边 AB 上的中 线， AD a, BD b。 1 1 故： OC AB (a b) 2 2 DCA A 90 , B A 90
DCA B 故 Rt DCA Rt DBC AD CD a CD 从而 ，即 CD BD CD b CD ab
ab 2 ) (a, b R) ，当且仅当a b时取等号。 (3) ab ( 2 1 (4) a 2(a 0)，当且仅当 a 1时取等号。 a 1 a 2(a 0)，当且仅当a 1时取等号。 a b a (5) 2 （a, b同号） ，当且仅当 a 1 时取等号。 a b
a 2 b2 2ab 当且仅当 a b 时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于 正方形 ABCD 与正方形 CEFG 的和，即： a 2 b2 2ab
3.定理2（基本不等式）：如果 a, b 0，那么 ab ab 2 当且仅当a b 时，等号成立。 ab 1 1 ab (a b 2 ab ) ( a b ) 2 0 证法一： 2 2 2 ab ab 2 2 当且仅当 ( a b ) 0，即 a b ，即a b时等号成立。 证法二： a b ( a )2 ( b )2 2 a b 2 ab ab ab 2 当且仅当 a b ，即a b时等号成立。
总结： 在利用基本不等式求函数最大值或最小值时，一定要满足下 列三个条件： 1. x, y为正数；
2.“和”或“积”为定值；
3.等号一定能取到。 总结成口诀：一正二定三相等。
例4：求证：(1)在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大。 证明：设矩形的长为 x，宽为 y 设矩形周长为定值 l ，即2 x 2 y l 为定值，根据基本不等式
1.a, b R
2.等号成立的条件： a b
2.定理1的几何解释： 如果把实数a , b 作为线段长度，那么可以这样来解释定理1： 以 a b 为例。如图，在正方形 ABCD 中， AB a ；在正方形CEFG 中， EF b ，则：
S正方形ABCD S正方形CEFG a2 b2
二、基本不等式的应用：
1.证明（比较）不等式：
y z x z x y x 0, y 0, z 0 ( )( )( ) 8 例1：(1)已知 ，求证： x x y y z z 证明： x 0, y 0, z 0
y z 2 yz x z 2 xz x y 2 xy 0, 0, 0 x x x y y y z z z y z x z x y 8 yz xz xy ( )( )( ) 8 x x y y z z xyz
矩形BCGH 和矩形 JCDI 的长 均为a，宽均为b ，它们面积 的和是：
S矩形BCGH S矩形JCDI 2ab
矩形 BCGH 和矩形 JCDI 的公 共部分是正方形 JCGK ，它的 边长等于 b ，其面积与正方形 CEFG 相等。所以，上述两个 矩形面积的和 2ab就等于图中阴影部分的面积，它不大于正方形 ABCD 与正方形CEFG 的面积的和，即：
例6：设 x, y 0，且 x y xy 2 ，求 x y 的最小值。
x(1 y ) 2 y 解：由x y xy 2，得： 3 2 y 2 ( y 1) 2 2 3 2 x y 1 1 y 3 当且仅当 y 1 ， 2 y y2 x 0, 0, 0, 1 y 2 y 1 1 y y 1 即y 3 1时，取“＝” y 0, 0 y 2 又 x y的最小值为： 2 y y2 y 1 3 y y y 2 32 则x y y 1 y 1 y 1 3 3 (1 ) y 1 ( y 1) 1 y 1 y 1
即a 4 b4 c 4 a 2b2 b2c 2 c 2 a 2
又a 2b2 b2c 2 2ab2c, b2c 2 c 2 a 2 2abc 2 , c 2 a 2 a 2b2 2a 2bc
2(a 2b2 b2c 2 c 2 a 2 ) 2(ab2c abc 2 a 2bc)
◆多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ◆累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使 用； ◆对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等 式模型，再使用。
2.几个重要结论：
ab a 2 b2 ab (a 0, b 0) 1 1 2 2 a b 2
证法三：如图所示，取长为 a b的线段 AB， O 为AB 的中点，在 AB 上取点 C ，使 AC a，作以 AB为直径的圆，过点C 作CD AB交 上半圆于点 D，连接 AD和BD。 O的半径 OD 是 AB是直径， D在 O 上 ab OD ADB 90 2 DC AB 当且仅当点 C 和点O重合时， ADC CBD, CAD CDB 即 a b时， OD DC成立。
x 2 y 2 (a 2 b2 )(c 2 d 2 )
a 2c 2 a 2 d 2 b2c 2 b2 d 2 a 2c 2 b2 d 2 2abcd
(ac bd )2
xy ac bd xy ac bd 成立。 综上可知，
2.求最值： 例3：求函数 y
当且仅当x y z 时等号成立
a 4 b4 c 4 a 2b2 b2c 2 c 2 a 2 abc(a b c) (2) 求证： a 4 b4 2a 2b2 , b4 c 4 2b2c 2 , c 4 a 4 2c 2 a 2 证明： 2(a 4 b4 c 4 ) 2(a 2b2 b2c 2 c 2 a 2 )
当 a b时，在 RtODC 中，斜边 CO
ab 大于直角边 CD, ab 2 当 a b时， Rt ABC 斜边 AB 上的中线 CO 和高CD重合 ab ab 2 综上所述可知，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的 中线不小于斜边上的高。
5.基本不等式的变形： (1) a 2 b2 2ab(a, b R)，当且仅当a b时取等号。 (2) a b 2 ab (a 0, b 0)，当且仅当 a b时取等号。