容斥原理练习习题加答案.docx

1.现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人，化学

实验做正确的有31 人，两种实验都错的有 4 人，则两种实验都做对的有()

A、27 人

B、25 人

C、19 人

D、10 人

【答案】 B

【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－ A∩ B

得 A∩ B=25，所以答案为 B。

2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中 25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100 件，其中大号白色衬衫有10 件，小号蓝色衬衫有多少件（）

A、15

B、25

C、35

D、40

【答案】 C

【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩

B，本题设小号和蓝色分别为两个事件 A 和 B，小号占 50%，蓝色占 75%，直接代入公式为： 100=50+75+10－A∩B，得： A∩ B=35。

3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有 63 人，准备参加英语六级考试的有 89 人，准备参加计算机考试的有

47 人，三种考试都准备参加的有24 人，准备只选择两种考试都参加的有46 人，

不参加其中任何一种考试的都15 人。问接受调查的学生共有多少人（）A．120

B．144

C．177

D．192

【答案】 A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数 =各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15

＝199－ { （ x+z+y）+24+24+24}+24+15

根据上述含义分析得到： x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只

选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y 的值为 46 人；得本题答案为120.

4.对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛， 38 人喜欢看戏剧， 52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有

12 人，则只喜欢看电影的有多少人（）

人人人人

【答案】 A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12，再推其

他部分数字：

根据各区域含义及应用公式得到：

总数 =各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

100＝58+38+52－ {18+16+（ 12+ x）}+12+0, 因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝ x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到 Y＝22 人。

5.某班统计考试成绩，数学得 90 分上的有 25 人 ; 语文得 90 分以上的有 21 人 ; 两科中至

少有一科在 90 分以上的有 38 人。问两科都在 90 分以上的有多少人

解：设 A={ 数学成绩90 分以上的学生 }

B={语文成绩90 分以上的学生}

那么，集合A∪B 表示两科中至少有一科在90 分以上的学生，由题意知，

∣A∣ =25，∣ B∣ =21，∣ A∪ B∣ =38

现要求两科均在90 分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

∣A∩B∣ =∣ A∣+∣ B∣ - ∣ A∪ B∣ =25+21-38=8

点评：解决本题首先要根据题意，设出集合 A， B，并且会表示 A∪ B，A∩B，再利用容斥原

理求解。

6.某班同学中有 39 人打篮球， 37 人跑步， 25 人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑

步这两项体育活动的总人数是多少

解：设 A={ 打篮球的同学};B={ 跑步的同学 }

则A∩B={既打篮球又跑步的同学 }

A∪ B={参加打篮球或跑步的同学 }

应用容斥原理∣A∪ B∣ =∣ A∣ +∣ B∣- ∣A∩B∣ =39+37-25=51( 人 )

7. 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23 人，参加语文小组的有 27 人，参加外语小组的有 18 人 ; 同时参加数学、语文两个小组的有 4 人，同时参加数学、外语小组的有7 人，同时参加语文、外语小组的有 5 人 ; 三个小组都参加的

有2 人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人

解1：设 A={ 数学小组的同学 } ，B={ 语文小组的同学 } ，C={外语小组的同学 } ，A∩B={数学、语文小组的同学 } ，A∩C={参加数学、外语小组的同学 } ，B∩C={参加语文、外语小组的

同学 } ，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}

由题意知：∣A∣ =23，∣ B∣ =27，∣ C∣ =18

∣A∩B∣ =4，∣ A∩C∣ =7，∣ B∩C∣ =5，∣ A∩B∩C∣ =2

根据容斥原理二得：

∣ A∪ B∪ C∣ =∣A∣ +∣ B∣ +∣ C∣ - ∣A∩B∣ - ∣A∩C| - ∣B∩C|+|A ∩B∩C∣

=23+27+18-(4+5+7)+2

=54( 人)

山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法

解 2：利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。

设 A、B、C 分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相

交的区域，区域Ⅶ( 即 A∩B∩C)表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2( 人 ) 。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5( 人 ) 。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学

的集合，其人数为 5-2=3( 人 ) 。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为 23-2-

2-5=14( 人) 。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，

则参加课外小组的人数为 ;

14+20+8+2+5+3+2=54( 人)