容斥原理练习习题加答案.docx
容斥原理练习二(有答案)
1、某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。
这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
解：求出参加了美术或音乐小组的人数，用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。
根据排除法，该班至少参加了一个小组的总人数为12＋23- 5＝30(人)。
所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46-30=16(人)。
综合列式为
46- ( 12＋23- 5)＝16(人)。
2、老师统计考试成绩，数学得90分以上有25人，语文得90分以上的有21人，两科中有一科在90分以上的有38人，问：两样都得90分以上的有几人？
25+21-38=8
3.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有多少人？
32+39—x=45
X=26
4.某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人，问既会游泳又会体操的有多少人？
50-15=35
27+18-X=35
X=10。
完整版容斥原理习题加答案
1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B得A H B=25,所以答案为B。
2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25%是白色的, 75%是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A 、15B、25C 、35D40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=353. 某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜 欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。
容斥原理习题
容斥原理习题小学奥数容斥原理专题训练1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有多少人？2.某服装厂生产的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？3、一些学生接受调查，这些学生中准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语考4.六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的比参加航模小组的多3人，两组都参加的有5人，请问参加航模小组的有几人？6.7.某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?9、某次语文竞赛共有五道题(满分不是100分)，丁一只做对了(1)、(3)、(4)三题得了25分;于山只做对了(2)、(4)三题，得了16分;王水只做对了(2)、(3)、(5)三题，得了28分，张灿只做对了(1)、(5)三题，得了21分，李明五个题都对了他得了多少分?10.某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?小学奥数容斥原理专题训练（答案）1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有多少人？40+31+4-50=25（人）2.某服装厂生产的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？100×25%-10=15（件）100×50%-15=35（件）3.一些学生接受调查，这些学生中准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种都准备参加的有24人，只准备参加两种考试的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。
容斥原理练习题解析版
容斥原理练习题【练习 1】47 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分 95 分以上的 14 人， 数学得分 95 分以上的 21 人，两门都不在 95 分以上的有 22 人．问：两门都在 95 分以上的有多少人？【解析】如图，用长方形表示这47 名学生， A 圆表示语文得分95 分以上的人数，B 圆表示数学得95 分以上的人数，A 与B 重合的部分表示两门都在95 分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95 分以上的人数．由图中可以看出，全体人数是至少一门在95 分以上的人数与两门都不在95 分以 上的人数之和，则至少一门在95 分以上的人数为： 47 - 22 = 25 (人)．根据包含排除法，两门都在95 分以上的人数为：14 + 21 - 25 = 10 (人)．【练习 2】某班有 42 人，其中 26 人爱打篮球，17 人爱打排球，19 人爱踢足球， 9 人既爱打篮球又爱踢足球，4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【解析】由于全班42 人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42 人．根据包含排除法， 42 =（26 + 17 + 19）-（9 + 4 + 既爱打篮球又爱打排球的人数）+ 0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人数为： 49 - 42 = 7 (人)．95分以上的 数学95分以上的 B不在两门95分以上的 语文95分以上的 A 两门都【练习 3】四(二)班有48 名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30 人，写完数学作业的有20 人，语文数学都没写完的有6 人．（1）问语文数学都写完的有多少人？（2）只写完语文作业的有多少人？【解析】（1）由题意，有48 - 6 = 42 (人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：30 + 20 - 42 = 8 (人)．（2）只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30 - 8 = 22 (人)【练习 4】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34 人，手中有黄旗的共有26 人，手中有蓝旗的共有18 人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6 人．而手中只有红、黄两种小旗的有9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有3 人，那么这个班共有多少人？【解析】如图，用A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中有蓝旗的．如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：（34+ 26 +18）-（9+ 4 + 3）- 6 ⨯ 2 = 50 (人)．A BC。
(完整版)容斥原理习题加答案
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。
2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。
3.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。
问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。
初中数学竞赛《容斥原理》练习题及答案 (20)
初中数学竞赛《容斥原理》练习题
1.一年级共有87名学生，其中58名是三好学生，63名是少先队员，49名既是三好学生又
是少先队员．那么，不是少先队员又不是三好学生的人数是15．
【分析】先求出只是三好学生和只是少先队员的人数，用总人数减去它们与既是三好学生又是少先队员的和，即可求解．
【解答】解：只是三好学生的有：58﹣49＝9名，
只是少先队员的有：63﹣49＝14名，
既是三好学生又是少先队员的有：49名，
因此两者都不是的有：87﹣（9+14+49）＝15名．
故答案为：15．
【点评】本题考查了容斥定理，注意分别求出只是三好学生和只是少先队员的人数，然后根据容斥定理即可得出答案．。
容斥原理(二)(含答案)-
容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的++---⨯=（人）方法二：664311210答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？30人参的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多多少人？最少多少人？满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。
另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
2024小升初专项训练容斥原理练习及答案解析
第3讲容斥原理第一关两量重叠问题【知识点】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．【例1】“两会”是“全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”的简称，如果2017年“人大会议”和“政协会议”均历时11天，并且两个会议有9天同时进行．那么，2017年的“两会”将一共进行多少天？【答案】13【例2】三（1）班同学给“手拉手”小伙伴捐物品，捐衣物的有26人，捐文具的有32人，两样都捐的有18人．捐物品的同学一共有几人？【答案】40【例3】同学们去动物园游玩，每人至少参观一个馆．参观大象馆的有10人，参观猴子馆的有15人，两个馆都参加的有6人，一共有多少人去动物园？【答案】19【例4】某班老师建议学生读A、B两本课外读物，结果有25人没有读A，有19人没有读B，20人只读了1本书，11人读过2本书，那么该班共有多少人？【答案】43【例5】假期中，王老师给三（1）班同学推荐了《冰雪奇缘》和《疯狂原始人》两部动画片供大家选择观看．两部电影都看的有36人，两部电影都没看的只有2人；看了《冰雪奇缘》的有40人，看了《疯狂原始人》的有38人．三（1）班一共有多少人？【答案】44【例6】光辉小学六年级在一次语、数联赛中，语文及格的有24人，数学及格的有27人，其中语、数都及格的有14人，另外还有8人语、数都没及格，六年级共有学生多少人？【答案】45【例7】三（5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组，已知参加音乐小组的有32人，参加美术组的有30人，两个小组都参加的有10人，三（5）班共有学生多少人？【答案】52【例8】四（1）班每个同学至少参加一项兴趣小组，参加美术小组的有32人，参加书法小组的有36人，两项都参加的有15人，四（1）班有多少人？【答案】53【例9】五年级（1）班每人都至少参加一个兴趣小组，参加语文兴趣小组的有45人，参加数学兴趣小组的有37人，有20人两个小组都参加．这个班共有多少人？【答案】62【例10】一次竞赛有2题，答对第一题的有186人，答对第二题的有143人，全错的有21人，全对的51人，问参加竞赛的共有多少人？【答案】299【例11】新东方在“五一劳动节”即将发行新版积分卡．如果旧版积分卡上共出现300位老师，新版积分卡上共出现400位老师，其中有150位老师在新旧两版积分卡中都出现了，那么，在新旧两版积分卡上共出现了多少位老师？【答案】550【例12】六年级一班春游，带矿泉水的有18人，带水果的有16人，这两种至少带一种的有28人，求两种都带的有多少人？【答案】6【例13】空军突击队共有25名士兵，每个人都擅长射击和武术中的一项或者两项，如果士兵中擅长射击的有20人，擅长武术的有12人，则两项均擅长的士兵有多少人？【答案】7【例14】某天的放学路上，甲和乙交流起各自玩过的电子游戏，他们回想起了20个不同的游戏，其中甲玩过8个，乙玩过16个，那么他们都玩过的游戏有几个？【答案】4【例15】三（2）班第一小组共有8人，在一次语文和数学测验中，他们均至少有一门得了95分以上，其中语文得95分以上的有5人，数学得95分以上的有7人，语文和数学均得95分以上的有多少人？【答案】4【例16】一次考试，语文得100分的有5人，数学得100分的8人，老师发现这次考试得100分的只有10人，那么，得双100分的有多少人？【答案】3【例17】某校五年一班有40人，其中有28人参加了数学小组，30人参加了外语小组，有6人两个小组都没有参加，两个小组都参加的有多少人？【答案】24【例18】六（3）班同学有23人参加了舞蹈和击剑兴趣小组，其中参加舞蹈兴趣小组的有17人，参加击剑兴趣小组的有20人，两个兴趣小组都参加的有多少人？【答案】14【例19】五（1）班40名同学采集标本，每个同学至少要采集一种标本．采集昆虫标本的有28人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有多少人？【答案】7【例20】学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？【答案】5【例21】全班50人做2道数学题，其中第一道做对的有40人，第二道做对的有30人，两道都做错的有5人，则两道都做对的有多少人？【答案】25【例22】六（1）班有45名同学，17人参加了象棋兴趣小组，22人参加了围棋兴趣小组，13人两个小组都没有参加，两个小组都参加的有多少人，多少人只参加了象棋兴趣小组？【答案】7；10【例23】一个班有48个人，班主任在班会上问：“谁完成了语文作业？请举手！”有37人举手，又问：“谁完成了数学作业？请举手!”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没有完成？”没有人举手，求这个班语文、数学作业都完成的人数。
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1.现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人，化学
实验做正确的有31 人，两种实验都错的有 4 人，则两种实验都做对的有()
A、27 人
B、25 人
C、19 人
D、10 人
【答案】 B
【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－ A∩ B
得 A∩ B=25，所以答案为 B。
2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中 25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100 件，其中大号白色衬衫有10 件，小号蓝色衬衫有多少件（）
A、15
B、25
C、35
D、40
【答案】 C
【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩
B，本题设小号和蓝色分别为两个事件 A 和 B，小号占 50%，蓝色占 75%，直接代入公式为： 100=50+75+10－A∩B，得： A∩ B=35。
3.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有 63 人，准备参加英语六级考试的有 89 人，准备参加计算机考试的有
47 人，三种考试都准备参加的有24 人，准备只选择两种考试都参加的有46 人，
不参加其中任何一种考试的都15 人。
问接受调查的学生共有多少人（）A．120
B．144
C．177
D．192
【答案】 A
【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：
根据每个区域含义应用公式得到：
总数 =各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数
＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15
＝199－ { （ x+z+y）+24+24+24}+24+15
根据上述含义分析得到： x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只
选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y 的值为 46 人；得本题答案为120.
4.对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中 58 人喜欢看球赛， 38 人喜欢看戏剧， 52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有
12 人，则只喜欢看电影的有多少人（）
人人人人
【答案】 A
【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12，再推其
他部分数字：
根据各区域含义及应用公式得到：
总数 =各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数
100＝58+38+52－ {18+16+（ 12+ x）}+12+0, 因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。
52＝ x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到 Y＝22 人。
5.某班统计考试成绩，数学得 90 分上的有 25 人 ; 语文得 90 分以上的有 21 人 ; 两科中至
少有一科在 90 分以上的有 38 人。
问两科都在 90 分以上的有多少人
解：设 A={ 数学成绩90 分以上的学生 }
B={语文成绩90 分以上的学生}
那么，集合A∪B 表示两科中至少有一科在90 分以上的学生，由题意知，
∣A∣ =25，∣ B∣ =21，∣ A∪ B∣ =38
现要求两科均在90 分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得
∣A∩B∣ =∣ A∣+∣ B∣ - ∣ A∪ B∣ =25+21-38=8
点评：解决本题首先要根据题意，设出集合 A， B，并且会表示 A∪ B，A∩B，再利用容斥原
理求解。
6.某班同学中有 39 人打篮球， 37 人跑步， 25 人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑
步这两项体育活动的总人数是多少
解：设 A={ 打篮球的同学};B={ 跑步的同学 }
则A∩B={既打篮球又跑步的同学 }
A∪ B={参加打篮球或跑步的同学 }
应用容斥原理∣A∪ B∣ =∣ A∣ +∣ B∣- ∣A∩B∣ =39+37-25=51( 人 )
7. 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23 人，参加语文小组的有 27 人，参加外语小组的有 18 人 ; 同时参加数学、语文两个小组的有 4 人，同时参加数学、外语小组的有7 人，同时参加语文、外语小组的有 5 人 ; 三个小组都参加的
有2 人。
问：这个年级参加课外学科小组共有多少人
解1：设 A={ 数学小组的同学 } ，B={ 语文小组的同学 } ，C={外语小组的同学 } ，A∩B={数学、语文小组的同学 } ，A∩C={参加数学、外语小组的同学 } ，B∩C={参加语文、外语小组的
同学 } ，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}
由题意知：∣A∣ =23，∣ B∣ =27，∣ C∣ =18
∣A∩B∣ =4，∣ A∩C∣ =7，∣ B∩C∣ =5，∣ A∩B∩C∣ =2
根据容斥原理二得：
∣ A∪ B∪ C∣ =∣A∣ +∣ B∣ +∣ C∣ - ∣A∩B∣ - ∣A∩C| - ∣B∩C|+|A ∩B∩C∣
=23+27+18-(4+5+7)+2
=54( 人)
山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法
解 2：利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。
设 A、B、C 分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相
交的区域，区域Ⅶ( 即 A∩B∩C)表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。
区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2( 人 ) 。
区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5( 人 ) 。
区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学
的集合，其人数为 5-2=3( 人 ) 。
区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为 23-2-
2-5=14( 人) 。
同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，
则参加课外小组的人数为 ;
14+20+8+2+5+3+2=54( 人)
点评：解法 2 简单直观，不易出错。
由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来
了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。
8. 某车间有工人100 人，其中有 5 个人只能干电工工作，有77 人能干车工工作，86 人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人
解：工人总数100，只能干电工工作的人数是 5 人，除去只能干电工工作的人，这个车
间还有 95 人。
利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为 163，然后找出这一公共部分，即163-95=68
9.某次语文竞赛共有五道题 ( 满分不是 100 分 ) ，丁一只做对了 (1) 、 (2) 、 (3) 三题得了
16 分 ; 于山只做对了 (2) 、(3) 、(4) 三题，得了25 分 ; 王水只做对了(3) 、 (4) 、(5) 三题，得了 28 分，张灿只做对了(1) 、(2) 、 (5) 三题，得了21 分，李明五个题都对了他得了多少分
解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰
好是试题总分的三倍。
五人得分总和是16+25+30+28+21=120。
因此，五道题满分总和是120÷3=40。
所以李明得40 分。
10. 某大学有外语教师120 名，其中教英语的有50 名，教日语的有45 名，教法语的有
8 名既教日语又教法语，40 名，有15 名既教英语又教日语，有10 名既教英语又教法语，有有
4 名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名
解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课
的外语教师的人数。
至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。
根据容
斥原理 , 至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为 50+45+40-15-10-8+4=106( 人 ) 不教这三门课的外语教师的人数为 120-106=14( 人 )。