【五年级容斥原理】数学练习题
小学奥数计数之容斥原理练习【三篇】
【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。
以下是为⼤家整理的《⼩学奥数计数之容斥原理练习【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】1.⼀个班有45个⼩学⽣,统计借课外书的情况是:全班学⽣都借有语⽂或数学课外书.借语⽂课外书的有39⼈,借数学课外书的有32⼈.语⽂、数学两种课外书都借的有⼈. 3.在1~100的⾃然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75⼈,既懂英语⼜懂俄语的20⼈,那么懂俄语的教师为⼈. 5.六⼀班有学⽣46⼈,其中会骑⾃⾏车的17⼈,会游泳的14⼈,既会骑车⼜会游泳的4⼈,问两样都不会的有⼈. 6.在1⾄10000中不能被5或7整除的数共有个. 7.在1⾄10000之间既不是完全平⽅数,也不是完全⽴⽅数的整数有个. 8.某班共有30名男⽣,其中20⼈参加⾜球队,12⼈参加蓝球队,10⼈参加排球队.已知没⼀个⼈同时参加3个队,且每⼈⾄少参加⼀个队,有6⼈既参加⾜球队⼜参加蓝球队,有2⼈既参加蓝球队⼜参加排球队,那么既参加⾜球队⼜参加排球队的有⼈. 9.分母是1001的最简真分数有个. 10.在100个学⽣中,⾳乐爱好者有56⼈,体育爱好者有75⼈,那么既爱好⾳乐,⼜爱好体育的⼈最少有⼈,最多有⼈.【第⼆篇】[ 例1 ] 洗好的8块⼿帕夹在绳⼦上晾⼲，同⼀个夹⼦夹住相邻的两块⼿帕的两边，这样⼀共要多少个夹⼦？ 分析：两块⼿帕有⼀边重叠，⽤3个夹⼦。
三块⼿帕有两边重叠，⽤4个夹⼦，我们发现夹⼦数总⽐⼿帕数多1，因此8块⼿帕就要⽤9个夹⼦。
[ 例2 ] 把图画每两张重叠在⼀起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？ 分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。
可以看出，图画每增加⼀张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。
1.有两块⽊板，⼀块长72厘⽶，另⼀块长56厘⽶，如果把两块⽊板重叠后钉成⼀块⽊板，重叠部分是20厘⽶。
容斥原理 小学数学 习题集
一、选择题1. 五年级有95名同学去春游，每人至少带矿泉水和水果中的一种，由图可知带水果的有( )人．A．22 B．34 C．562. 红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（）位同学报了兴趣班．A．47 B．57 C．673. 学校音乐小组中会唱歌的有28人，会乐器的有22人，两项都会的有16人，音乐小组一共有（）人。
A．50 B．34 C．184. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A．150种B．180种C．300种D．345种5. 三（1）班有45人，每人都参加了跳绳比赛或跑步比赛．跳绳比赛的有28人，跑步比赛的有24人，两种活动都参加的有（）人．A．17 B．7 C．24二、填空题6. 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
7. 三（1）班进行体育达标测试，参加的40人中每人至少有一项达标，立定跳远达标的有28人，50米跑达标的有32人。
立定跳远和50米跑都达标的有( )人。
8. 奶奶要来我家，我得准备准备，煮开水要10分钟，洗茶杯要2分钟，找茶叶1分钟，泡茶要1分钟，洗水果要2分钟，整理客厅要3分钟，最短需要_____分钟做完这些事情．9. 养牛场有2007头黄牛和水牛，其中母牛1105头，黄牛1506头，公水牛200头，那么母黄牛有____头。
10. 一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋( )元．三、解答题11. 甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？12. 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？13. 三年级有92个小朋友参加文艺会演,其中参加大合唱的有68人,参加舞蹈演出的有64人,每人至少参加一项表演,三年级既参加大合唱又参加舞蹈演出的有几人?14. 王强和李辉两人合租一套房子，客厅、厨房和厕所是两家合用的，在登记住房面积时，两家在登记表上填了如下数字（单位：平方米）：姓名客厅居室厨房厕所总面积王强18 18 10 6 52李辉18 20 10 6 54那么，他们租的这套房子共有______平方米．。
专题22 容斥原理(原卷)
2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义专题22 容斥原理专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A 、B 合并在一起，就组成了一个新的集合C 。
计算集合C 的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A 、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A 、B 两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A ＋B －AB 。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
【典例分析01】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？【思路引导】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，知识精讲典例分析比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
【典例分析02】某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？【思路引导】把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。
【典例分析03】学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
五年级下册奥数试题-容斥原理
容斥原理知识概述当两个计数部分有重复时，为了不重复计算，应从他们的和中减去重复计算的部分，这就是容斥原理。
在解决包含与排除问题时，要注意一下几个方面：灵活运用容斥原理；善于利用形象的图示帮助理解题意，利用图形的重合部分，理清数量之间的逻辑关系；在计算一个总量时，可以把总量分成几个分量来计算，先把每个分量加起来，再从几个分量的和中减去重复计算的部分。
例题精选例1、五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？练习1、 一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？练习2、 五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其C B ∩CA ∩C A ∩B ∩C B A A ∩B中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？例2、某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？练习1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。
已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？练习2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？例3、学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？练习1、五（1）班有50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人。
两科都在90分以下的有多少人？例4、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。
容斥原理例题
--------------- 名师点拨....................学科:学科：奥数一教学内容：第四讲容斥原理（二）开始学习上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。
例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。
请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图要计算阴影部分的面积，我们记AHB 为圆A与圆B公共部分的面积，BHC为圆B与圆C公共部分的面积，AHC表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-AHB-BnC-AnC+X。
请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。
解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得x=2。
答：三项都报名的有2人。
说明：在“A+B+C-AnB-BnC-AnC+X” 式中，A, B, C, AnB, Bnc, Anc, x 和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。
例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数一（既能被3整除又能被5 整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7 整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数二能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。
解答：能被3整除的自然数有多少个？1000^3=333……1有 333 个。
容斥原理
容斥原理（二）效能训练：姓名：1、13．65扩大（）倍是1365；6.8缩小（）倍是0.0682、把7.4343434343……用简便方法写出来是（），保留两位小数是（）。
3、把7.1687保留整数约是（），精确到千分位约是（）.4、4.09×0.05的积有（）小数，5.2×4.76的积有（）位小数。
5、根据13×28=364，很快地写出下面各式的积。
1.3×2.8= 0.13×0.28= 13×2.8=0.013×28= 0.13×2.8= 1.3×0.028=6、在（）里填上>、<或=163×0.8（）16336×2.8（）367、判断题（正确的打√，错误的打×）①、0.03与0.04的积是0.12。
（）②、一个数的1.65倍一定大于这个数。
（）③、53.78保留一位小数是53.8。
（）④、一个数乘小数，积一定小于这个数。
（）8、选择（把正确答案的序号填入括号里）①、一个小数的小数点右移动2位，再向左移动3位，这个小数（）。
A、扩大了10倍B、缩小10倍C、扩大100倍D、缩小1000倍②、下面各式得数小于0.85的是（）。
A、0.85×1.01B、0.85×0.99C、 0.85×19、直接写出得数。
0.6×0.83×0.9 2.5×0.4 3.6×0.412.5×8 50×0.04 80×0.3 1.1×910、脱式计算（能简算的要用简算）12.5×0.4×2.5×89.5×101 4.2×7.8+2.2×4.211、列式计算：1、 25乘4.8减5，差是多少？2、比4.7的1.5倍多3.05的数是多少？典型例题1、在参加数学竞赛的46人中，做第一题的有32人，做对第二题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有几人？开心一练：全班46名同学，仅会乒乓球的有28人，即会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？典型例题2、一个单位有70个职工，其中有的职工会打网球，有的会打乒乓球，有的两样都会，现在知道会打网球的48人，会打网球又会打乒乓球的有24人，问会打乒乓球的有多少人？典型例题3、一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？（1）两道题全对的有人。
五年级数学思维容斥原理专题训练
五年级数学思维容斥原理专题训练常规训练1.一次数学课有两道课堂练习题，全班 36 人中，做对第一道题的有28 人，做对第二道题的有 16 人，每人至少做对一道，问:两道题都做对的有几人？2.某校五年级共有六个班,除一班外共有 146名学生,除二班外共有150名学生二班的共有 60名。
问:五年级一班有多少名学生？3.全班 36名同学参加校庆，每人不是持彩旗，就是举鲜花。
现有 8名男同学持彩旗,25名举鲜花。
如果全班有 17 名女同学问她们中有多少名举鲜花？4.某班 28 名学生，星期一有 16 名学生迟到，星期二有 13 名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果在这三天中每人至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少名？5.100 亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号分别为 1，2，3，+··100。
将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下;再将编号为3 的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数有多少盏？6.某年级共有 118 人，每人至少参加了一个课外小组。
其中参加美术小组的有56 人，参加舞蹈小组的有 45 人，参加航模小组的有 88 人，同时参加美术和舞蹈两个小组的有 21人，同时参加舞蹈和航模两个小组的有 18 人，同时参加美术和航模两个小组的有 35 人，那么三个小组都参加的有多少人？7.五(1)班的全体学生进行短跑、跳高、跳远三个项目的测试，全班每人至少有一个项目达到了优秀。
其中短跑达到优秀的有 18 人、跳高达到优秀的有 16 人、跳远达到优秀的有 20 人、短跑、跳高都达到优秀的有9人、跳高跳远都达到优秀的有 8 人、短跑、跳远都达到优秀的有 10 人，三个项目都达到优秀的有6人。
请问五(1)班共有多少人？8.如图所示，三个圆纸片叠在一起，每个纸片的面积都是 60 平方厘米。
圆纸片A与 B、B与C、C与A 的重叠部分的面积分别为14 平方厘米，7平方厘米，10 平方厘米。
五年级下册数学试题 - 奥数第04讲：容斥定理 人教版(含答案)
第4讲 容斥定理内容概念：有重叠部分的若干对象的计数问题，能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重复计数问题。
典型问题：兴趣篇：1. 暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”。
他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的。
如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？【分析】“十八景”剩余了18126-=景，所以冬冬去过其中的6+5=11景。
2.在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过。
请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？【分析】至少看过一部的小朋友有：1221825+-=（人）3、 五年级一班45个学生参加期末考试。
成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人。
请问：语文成绩得满分的有多少人？【分析】两科至少有一科得满分的有：452916-=（人），只有数学得满分的有：1037-=人，语文得满分的有：1679-=（人）。
4.某餐馆有27道招牌菜。
小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的。
请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？【分析】两人都吃过的菜有：137218+-=道理，两人都没有吃过的有：27189-=（道）。
5.如图4-1，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2。
请问：（1）只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？（2）只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？【分析】（1）根据题意，有：6D G +=，则2G =,624D =-=;8F G +=,则有：826F =-=;5E G +=,则有：523E =-=;所以：()306321A =-+=;()308319B =-+=所以只被甲或者乙覆盖，却不被丙覆盖的是：2119343++=；（2）()306618C =-+=所以只被这3个圆中的某一个圆覆盖的部分的面积是：21191858++=。
五年级数学 --- 容斥原理(一)
【例 1】森林里住着 100 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃 白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的 2 倍， 而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 3 倍。它们 当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？
【例 2】有 100 位旅客，其中有 10 人既不懂英语，又不懂俄语，有 75 人懂英语，有 83 人懂俄语。那么这 100 位旅客中既懂英语又懂俄语的 有多少人。
【例 3】在7 整除的数有 个； ⑵能同时被 3，5，7 整除的有 个； ⑶能被 3 整除，但不能被 5 和 7 整除的有 ⑷能被 5 和 7 整除，但不能被 3 整除的有
个； 个。
【例 4】体育课上，60 名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左 到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是 4 的倍数的同 学向后转，接着又让所报的数是 5 的倍数的同学向后转，最后让所报 的数是 6 的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人。 【例 5】中国田径队的 40 名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男 运动员有 20 名，训练长跑的运动员有 15 名，训练竞走的女运动员有 8 名，那么训练长跑的男运动员有多少名？
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容斥原理-五年级奥数
容斥原理1、五年级（1）班有学生56人，其中45人完成数学作业，42人完成语文作业，这个班两种作业都做完的有多少人？2、某校挑选18名学生参加春季运动会，获一等奖的有12人，获二等奖的有11人，两个奖都取得的有9人，这次运动会上两个奖都没取得的有多少人？3、在1-100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？4、某学校组织同学参加足球和乒乓球比赛，参加足球比赛的有20人，参加乒乓球比赛的有18人，同时参加足球和乒乓球比赛的有13人，问参加比赛的共有多少人？5、某班有46人，其中会骑车的有17人，会游泳的有14人，既会骑车又会游泳的有5人，问两样都不会的有几人？6、某班共有45人，其中有35人会用电脑打字，这个班有男生23人，女生中有6人不会用电脑打字，那么男生中有多少人会用电脑打字？7、五（1）班有40名学生，参加围棋班的有15人，参加电脑班的有11人，参加美术班的有13人，同时参加围棋和电脑班的有4人，同时参加围棋和美术班的有5人，同时参加美术和电脑班的有5人呢，班上有3人三个班都参加了，问班级中没有参加兴趣班的有多少人？8、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线，将木棍10等分，第二种刻度线将木棍12等分，第三种刻度线将木棍15等分。
如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？创新题1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，语文、数学两种课外书都借的有多少人？2、在1-100的所有自然数中，既非3的倍数也不是4或5的倍数的数有多少个？3、80个外语老师中，懂英语的有65人，懂日语的有35人，其中必有既懂英语又懂日语的的老师，问只懂英语的老师有多少人？4、五年级某班学生进行百米跑、跳远、投掷3个项目的测试，跳远达到优秀的有28人，投掷达到优秀的有26人，百米跑达到优秀的有24人，百米跑和跳远都达优的有12人，跳远和投掷达优的有9人，百米跑和投掷都达优的有14人，3项都达优的有5人，这个班有多少位同学？单元测试题1、某班有50名学生，在第一次测验中有26人得满分，在第二次测验中有21 人得满分，如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么两次测验都活得满分的有多少人？2、第一小组的同学们都在做两道练习题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？3、问1-1000中所有不能被6,8,10整除的自然数有多少个？4、某校100个老师懂英语或法语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂法语的有20人，问懂法语的有多少人？只懂法语的有多少人？5、五年级112名同学参加语文、数学考试，没人至少有一门获优，已知语文获优者60人，数学获优者73人，求只有语文一门获优的人数.6、五一班有56名同学，只会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有16人，只会打羽毛球的有多少人？7、在1,2,3，、、、，1998这1998个数中，既不是8的倍数，又不是12的倍数的数共有多少个？。
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较复杂的容斥原理
在一个明媚的春日里，聪明美丽的公主迎来了她的二十岁生日。
国王看着自己的宝贝女儿，想：要选一个什么样的人才能配得上她，做她的驸马呢？于是，国王在公主的生日晚会上宣布，要为公主选一位驸马。
所有人都知道公主要出嫁了，各国的王子纷纷派使臣来求婚。
面对众多的求婚者，国王有些难以取舍。
宰相给他出了一个主意：驸马一定要文武双全，我们可以向求婚者提出几个要求。
宰相看了礼部的统计发现，求婚者一共有35 个国家的王子，其中有25 人胸怀治国方略，28 人精通兵法，33 人熟读诗书，30 人武艺高强。
现在国王想知道，这35 名王子中至少有多少人符合所有的要求。
同学们能告诉他吗？
解决这个问题，就要用到容斥原理。
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
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例1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
“至少有一门得满分”就是说只有语文一门得满分的、只
有数学一门得满分的、语数双百的同学都是要求的人数。
我们可以画个图来帮助理解
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有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将作有记号的地方剪断，绳子共被剪成多少段？
例2：五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其中有51人带了汽水，有48人带了可乐，有32人带了果汁，有16人带了汽水、可乐两种饮料，有11人带了可乐、果汁两种饮料，有13人带了汽水、果汁两种饮料，另外还有7人带了汽水、可乐和果汁三种饮料。
问五年级的学生有多少人？
容斥原理（1）：如果被计数的事物有A 、
B 两 类，那么，A 类或B 类元素个数= A 类元素个
数＋B 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素
个数。
容斥原理（2）：如果被计数的事物有A 、
B 、
C 三类，那么，A 类或B 类或C 类元素个数= A 类元素个数＋B 类元素个数＋C 类
元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数
—既是A 类又是C 类的元素个数—既是B
类又是C 类的元素个数＋既是A 类又是B
类而且是C 类的元素个数。
由于“每个人都带了饮料”，那么求“五年级的学生有多少人”就是求至少带了一种饮料的人数。
我们可以画个图来帮助理解
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五年级一班的学生都喜欢运动，每人至少爱好一种球。
其中爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14人，既爱好足球又爱好排球的有12人。
三种球都爱好的有8人，那么这个班有多少人？数学培训教材加盟合作
例3：六（1）班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？
某年级的课外兴趣小组共有54人，分数学、语文、外语三个小组，参加数学兴趣小组的有23人，参加语文兴趣小组的有27人，参加外语兴趣小组的有18人；其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有7人；同时参加语文、数学兴趣小组的有4人；同时参加语文、外语兴趣小组的有5人。
问其中三个小组都参加的有多少人？
朋朋正面图 把容斥原理
（二）变形即可求出。
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例4：某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
求这个班的学生共有多少人？
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有62人会骑自行车，75人会游泳。
问既会自行车又会游泳的有多少人？数学培训教材加盟合作
例5:边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正方形纸片放在桌面上，如图，它们盖住的面积是多少平方厘米？
程程正面图 先求出至少有一个优秀的人数，再加上没有达到优秀的人数。
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在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20厘米和45厘米的正方形纸，如图。
问桌面上没被纸片盖住的面积是多少？
例6：在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人要了汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了果汁。
问：只要一样的有几人？
六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。
其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人。
问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？
（接下来的题目有一定难度，如果课堂时间不够，可以留在课下思考。
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例7：在1～1000的自然数中，是3的倍数或是5的倍数共有多少个？不是3的倍数或是5的倍数共有多少个？
先求出1～1000中3的倍数有多少个，当成A类元素
的个数；再求出5的倍数有多少个，当成B类；最后
求出3和5的公倍数的个数，当成既是A类又是B
类的元素个数。
然后用容斥原理（一）即可。
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在1～1000的自然数中，不能被2、3、5中任何一个整除的数有多少个？。