高斯小学奥数含答案三年级(上)第15讲 多重周期问题

第十五讲多重周期问题- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6在之前我们已经学过了两讲周期问题，实际生活中还存在一类更加复杂的周期规律．我们已经知道周期现象无处不在，那么自然的，这些周期现象就很可能组合起来，产生更复杂的规律．多重周期再怎么复杂也是由多个单一周期问题所组成的，这带给我们两种解决的思路．第一种思路，分别根据各自的周期计算结果，最后加以组合．如要计算某年的干支，可以先计算天干，再计算地支，最后合起来就行．下面我们来看一道由多个简单的单一周期问题组成的题目．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“大灰狼”3个汉字不断重复，第二行是“坏人”2个汉字不断重复．那么，第200列从上到下依次是哪2个汉字？大灰狼大灰狼大灰狼…坏人坏人坏人坏人坏…分析：这两行各自的规律是什么？各自的周期又是什么？第200列的第一行是什么字？第二行呢？练习1如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“小鸡炖蘑菇”5个汉字不断重复，第二行是“宫保鸡丁”4个汉字不断重复，第三行则是“回锅肉”3个汉字不断重复．那么第121列从上到下依次是哪3个汉字？小鸡炖蘑菇小鸡炖蘑…宫保鸡丁宫保鸡丁宫…回锅肉回锅肉回锅肉…例题2如图，用“疯、狂、原、始、人”5个字，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环填入．求第92行92列交叉处填入的字是？7疯狂原始人…狂原始人…原始人…始人…分析：每行每列各自的规律是什么？各自的周期又是什么？第92行的第一个字是什么？92的周期规律又是什么？练习2如图，用“原、始、人”3个字，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环填入．求第88行18列交叉处填入的字是？原始人…始人…人…- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -并归纳出公共周期内的具体情况，再进行计算．比如对于数列1、二、3、一、2、三、1、二、3、一、2、三，……，你会发现有两个周期规律，第一个是数字本身的数值，规律是1、2、3、1、2、3，……，周期为3，第二个是按数字汉字来分，规律是数字、汉字、数字、汉字，……，周期为2，于是你会发现从整体上看，公共周期是6．如何寻找公共周期呢？由于公共周期必须同时是两个规律甚至更多规律的周期，所以公共周期的长度必须是这些周期长度的公倍数，一般的，要找最小的那个，称之为最小公倍数．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题31201名士兵排成一横排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从左到右1至4循环报数．那么，两次都报1的士兵有多少名？分析：试着把每个士兵两次报的数都写出来，找找看有没有周期？练习32010名同学排成一队，先从排头向排尾1至2报数，再从排头向排尾1至5报数．两次分别报了1 89和4的同学有多少人？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -对于报数问题一般有两种，第一种是两次报数都是同向的，第二种是第一次报数是从左到右，第二次报数却是从右到左的，这时可以将反向的周期转化为同向的周期问题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4303名士兵排成一排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从右到左1至2循环报数．请问：有多少名士兵两次所报数相同？分析：试着把每个士兵两次报的数都写出来，找找看有没有周期？第二次是从右到左看能不能转化为从左到右？练习4100名士兵排成一排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从右到左1至4循环报数．请问：既报2又报3的士兵有多少名？例题5观察下图中图形的规律，（1）第200个图形应该是下面A ，B ，C ，D 四个图形中的哪一个？ （2）这200个图形中出现了多少个A 图形？分析：仔细观察，这些图形的形状有什么规律？这些图形的颜色又有什么规律？试着算出第200个图形分别是什么形状和颜色？例题6有六十多人站成一行，从左到右由1开始按1，2，3，4依次循环报数，然后从右到左由1开始按1，2，3依次循环报数，最后发现刚好有12个人既报了1又报了2．请问：这一行最少有多少人？最多有多少人？分析：试着把每个人两次报的数都写出来，找找看有没有周期？…AB CD课堂内外二十四节气中国人讲究二十四节气，即：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨，立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑，立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒和大寒．远在春秋时期，中国古代先贤就定出仲春、仲夏、仲秋和仲冬等四个节气，以后不断地改进和完善，到秦汉年间，二十四节气已完全确立．农历二十四节气这一非物质文化遗产十分丰富，其中既包括相关的谚语、歌谣、传说等，又有传统生产工具、生活器具、工艺品、书画等艺术作品，还包括与节令关系密切的节日文化、生产仪式和民间风俗．二十四节气是中国古代农业文明的具体表现，具有很高的农业历史文化的研究价值．2011年6月入选第三批国家级非物质文化遗产名录．二十四节气反映了太阳的周年视运动，所以节气在现行的公历中日期基本固定，上半年在6日、21日，下半年在8日、23日，前后不差1～2天．但在农历中，节气的日期却不大好确定，再以立春为例，它最早可在上一年的农历12月15日，最晚可在正月15日．农历存在闰月，如按照正月初一至腊月除夕算作一年，则农历每一年的天数相差比很大（闰年13个月）．为了规范年的天数，农历纪年（天干地支）每年的第一天并不是正月初一，而是立春．即农历的一年是从当年的立春到次年立春的前一天．例如2008年是农历戊子年，戊子年的第一天不是公历2008年2月7日（农历正月初一），而是公历2008年2月4日．作业1.在下表中，第一行是“太阳系”3个汉字不断重复，第二行是“小行星系”4个汉字不断重复，那么第27列从上到下的两个字是什么？10112. 如图，用“高、思、学、校”4个字，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环填入．求第21行40列交叉处填入的字是？3. 108名学生排成一横排，第一次从左到右1至2循环报数，第二次从左到右1至5循环报数．那么，第一次报1而第二次报5的学生有多少名？4. 在下面2行60列的方格表中，第一行从左至右依次填“A ”、“B ”、“A ”、“B ”…… 第二行从右至左依次填“1”、“2”、“3”、“1”、“2”、“3”……那么在方格表中，有多少列同时写有“A ”和“1”？5. 500名士兵排成一列横队，第一次从左到右1至5循环报数，第二次反过来从右到左1至3循环报数．那么，两次所报数的差（大减小）等于2的有多少名？ABAB…… … … … … … … … … … … ……321321高 思 学 校 … 思 学 校 … … 学 校 … … 校 … … … …太 阳 系 太 阳 系 太 阳 系 小 行 星 系 小 行 星 系 小12第十五讲 多重周期问题1. 例题1答案：灰人详解：直接求第200列是什么，可根据每行周期分别求出第200个字是什么．第1行：2003662÷=，第200个字是“灰”．第2行：2002100÷=，第200个字是“人”．所以第200列是“灰人”．2. 例题2答案：原详解：要找到第92行、92列的字是多少，首先可找一下每行、每列的规律，接下来要像电影院找座位一样先找到第92行的第1个字925182÷=，是“狂”．那这一行是“狂原始人疯狂原始人疯……”第92个字925182÷=，是“原”．既第92行第92列的数是“原”． 3. 例题3答案：101名详解：把士兵两次报数按从左到右的顺序写到有规律为止．第1行3个一周期，第2行4个一周期，公共周期为12，1201121001÷=，一个周期里只有1名两次均报1的士兵，余数里还有1名，共1001101+=名． 4. 例题4答案：102名详解：可以把士兵两次报数按从左到右的顺序写下来，找规律．将第2行从右到左报数转化为从左到右报数，30321511÷=，所以第2行从左到右第1个数是1，即1至2循环报数，第1行3个一周期，第2行2个一周期，这里需要按列来考虑周期，通过观察发现公共周期为6，3036503÷=，1个周期里有2名士兵两次所报数相同，注意余数里还有2名，共5022102⨯+=名． 5. 例题5答案：（1）A ；（2）81详解：（1），5个一周期．，是五角星．白，黑，黑，白，黑，黑，……，3个一周期．，2003662÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 200540÷= ...... 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (1)21212121212…1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 (1)234123412341…13是黑色．那么选A ．（2）可以把这串图形按照形状和颜色分别寻找周期，找规律．第1行5个一周期，第2行3个一周期，这里需要按列来考虑周期，通过观察发现公共周期为15，20015135÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，1个周期里有6个A 图形，注意余数里还有3个，共136381⨯+=个A 图形． 6. 例题6答案：62；69详解：第一种情况如下表：人数除以3后不余，则第二次从右到左中第一个人报3；第二种情况如下表：人数除以3后余1，则第二次从右到左中第一个人报1；第三种情况如下表：人数除以3后余2，则第二次从右到左中第一个人报2．第三种情况中因为既报1又报2的靠前，所以是人数最少的情况，有5组多2人，则最少有512262⨯+=人．验证623202÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则的确第一个人报了2．第二种情况中因为既报1又报2的靠后，所以是人数最多的情况，有5组多10人，则最多有5121070⨯+=人．这是不成立的，题目中说到是六十多人！则最多的在第一种情况，是5组多6人，共有512666⨯+=人，当然还可以再多3人，69人，验证69323÷=，的确是第一个人报了3． 7. 练习1答案：小宫回简答：第1行：1215241÷=，第121个字是“小”．第2行：1214301÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第121个字是“宫”．第3行：1213401÷=，第121个字是“回”．所以第121列是“小宫回”． 8. 练习2答案：人简答：要找到第88行、18列的字是多少，首先可找一下每行、每列的规律，接下来要像电影院找座位一样先找到第88行的第1个字883291÷=，是“原”．那这一行是“原始人原始人……”第18个字1836÷=，是“人”．既第88行第18列的数是“人”．1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2132132132131 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1321321321321 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 321321321321 四 五 五 四 五 四 五 五 四 五 四 五 … 白 黑 黑 白 黑 黑 白 黑 黑 白 黑 黑 …149. 练习3答案：201名简答：把同学两次报数按从左到右的顺序写到有规律为止．第1行2个一周期，第2行5个一周期，公共周期为10，201010201÷=，一个周期里只有1名两次分别报了1和4的同学，共201名． 10. 练习4答案：18名简答：可以把士兵两次报数按从左到右的顺序写下来，找规律．将第2行从右到左报数转化为从左到右报数，100425÷=，所以第2行从左到右第1个数是4，即4至1循环报数，第1行3个一周期，第2行4个一周期，这里需要按列来考虑周期，通过观察发现公共周期为12，1001284÷=，1个周期里有2名士兵既报2又报3，注意余数里还有2名，共82218⨯+=名．11. 作业1答案：系星简答：2739÷=，最后一个字是系，27463÷=，最后一个字是星，第27列从上到下是“系星”二字． 12. 作业2答案：校简答：第21行第1列的字是21451÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则第21行的第1个字是“高”，且第21行是按“高、思、学、校、高、思、学、校……”的顺序写的，40410÷=组，则第40个字为“校”． 13. 作业3答案：11名简答：每10名学生为一个周期，周期里第5个满足条件．10810108÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，有10个完整周期还多8人．10个周期中有10个，多余8人中还有1个，共11个． 14. 作业4答案：10列简答：第一行从左至右依次填“A ”、“B ”、“A ”、“B ”，…… 因为60除以3余0，所以第二行从左至右依次填“3”、“2”、“1”、“3”、“2”、“1”…… 每6列为一个周期，每周期有一列同时写有“A ”和“1”，所以有10列同时写有“A ”和“1”． 15. 作业5答案：133名简答：第一行是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5……，第二行是2、1、3、2、1、3……，发现是3515⨯=个一周期，50015335÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，每组有4次所报数的差为2，那么有3341133⨯+=名．1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (4)32143214321…1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (1)234512345123…。