安徽合肥一中2009年冲刺高考最后一卷----理科数学

安徽省合肥一中2009冲刺高考最后一卷数学试题（理）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．选择题用答题卡的考生，答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2．选择题用答题卡的考生，答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷和答题卷的选择题栏中；不用答题卡的考生，在答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，填在答题卷相应的选择题栏上。

3．答题Ⅱ卷时，考生务必将自己的学校、姓名、考点、准考证号填在答题卷相应的位置；答题时，请用0．5毫米的黑色签字笔直接答在答题卷上，不要在试题卷上答题。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么棱锥的体积公式：13V sh =()()()P A B P A P B +=+如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题：（本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集{0,1,3,5,7,9},(){1},{3,5,7}U A C B B === ，那么()()u u C A C B =A ．{0，3，7}B ．{0，9}C ．φD ． {7}2．已知复数Z ，映射:f Z Zi >——，则23i +的原象是A ．32i -B ．23i -C ．32i +D ．23i +3．设函数1,1()1,01x f x x ->⎧=⎨<≤⎩，则()()()(,,0)2aa b a b f b a b a b +--≠>的值为 A ．aB ．bC ．a ，b 中较小的数D ．a ，b 中较大的数4．已知正方体1111ABCD A BC D -，过顶点1A 在空间作直线l ，使直线l 与直线AC 和1BC 所成的角都等于60°，这样的直线l 可以作A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条5．下列命题：（1）已知a b c d R ∈，，，若a c ≠，或b d ≠，则a b c d +≠+． （2）32,x N x x ∀∈+（3）若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． （4）存在一个四面体没有外接球． 其中是真命题的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．函数()ln(sin cos )f x x x =-的图象大致形状是7．若不等式|sin 2||sin 4|x x a -+->有解，则a 的取值范围是A ．4a <B ．4a ≥C ．8a <D ．8a ≤8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足O P O A λ=+⋅ ,[0,)s i n ||s i n ||A BA CB A BC A C λ⎛⎫+∈+∞⎪⎝⎭则P 的轨迹一定通过ABC ∆的A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心9．在区间[11]-上任取两个数a b ，，则关于x 的方程20x ax b -+=的两根都是负数的概率A ．112B ．148C ．136D ．12410．设12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1||OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为A B ．12CD 111．如果存在1，2，3…，n 的一个排列123,,,n a a a a ，使得(1,2,3,,)k k a k n += 都是完全平方数，就称n 为“滨湖数”．试问：在集合{11，13，15，17}中哪些是“滨湖数”A ．11，13，15B ．11，15C ．11，13，17D ．13，15，17第Ⅱ卷（非选择题 共95分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上）12．如图2009年五一晚会举办的青年歌手大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ， 13．一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是 ．14．已知数列{}n a 中，2n a n n λ=-+，且{}n a 是递减数列，求实数λ的取值范围是15．P 是ABC ∆内部一点，直线AP 、BP 、CP 分别交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，则1PD PE PFAD BE CF++=．类比这一结论，在空间四面体ABCD 中，P 为空间四面体ABCD 内部一点，直线AP 、BP 、CP 、DP 分别交面BCD 、ACD 、ABD 、ABC 于E 、F 、G 、H ，则类似的结论为： ． 16．参数方程cos (sin cos )sin (sin cos )x y θθθθθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线上的点与直线sin 2ρθ=的距离的最大值是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且83ABC AB AC S ∆⋅= （其中ABC S ∆为ABC ∆的面积）． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2,b ABC =∆的面积3ABC S ∆=，求a 的值．18．（12分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．（1）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（2）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体1111ABCD A BC D -？如何组拼？试证明你的结论；（3）在（2）的情形下，E 、F 分别是正方体1111ABCD A BC D -棱BC 、CD 上的点，且BE CF =．（Ⅰ）当E 、F 在何位置时，11B F D E ⊥； （Ⅱ）G 是正方体1111ABCD A BC D -是棱1DD 上的中点，求此时二面角1C EG C --的正弦值的取值范围．19．（12分）（1）已知a 、b 、c 是正常数，a ，b ，c 互不相等，(0,)x y z ∈+∞，，，求证：2222()a b c a b c x y z x y z++++≥++，指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结果，求函数29491()((0,))1313f x x x x x =++∈-+的最小值，并求出相应的x 的值．20．（12分）在合肥一中组织的一次优秀青年教师联谊活动中，有一个有奖竞猜的环节，主持人准备了A 、B 、C 三个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，答对问题C 可获奖金3000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题、第二题答对才能再答第三题，否则终止答题，若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 、C 的概率都12． （1）记先回答问题A 的奖金为随机变量X ，求X 的分布列及期望． （2）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金?请说明理由．21．（13分）已知抛物线24y x =上两个动点B 、C 和点(1,2)A ，且直线BC 过点(5,2)P -， （1）求证直线AC 与直线AB 垂直（2）试判断三角形ABC 的面积有无最大值，如果有求出最大值，如果没有说明理由．22．（14分）由原点O 向曲线32:3(0)C y x ax bx a =-+≠引切线，切点111(,)P x y 不同于点O ，再由1P 引曲线C 的切线，切于不同于1P 的点222(,)P x y ，如此继续作下去，……，得到点列{(,)}n n n P x y ．（1）求1x ； （2）求n x 与1n x +的关系；（3）若0a <，试比较n x 与a 的大小．合肥一中2009冲刺高考最后一卷数学（理）试题参考答案及部分解析一、选择题： 1—5 BADBA6—11 ACCBDD二、填空题： 12．84．82．1613．4i ≤？ 14．(,3)-∞ 1PE PF PG PHAE BF CG DH+++=16 17．解：（1）83ABC AB AC S ∆⋅=81cos sin 32bc A bc A ∴=⨯3tan 4A ∴= 从而21cos 213cos 211sincos 2cos 222222B C A A A A ++++=+==+223(1tan )232(1tan )25A A -=+ （6分）（2）11sin 2sin sin 322ABC S bc A c A c A ∆==⨯== 333tan sin 545sin A A c A =∴=∴==2224cos 2cos 135A a b c bc A =∴=+-=a ∴=（12分）18．解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面ABCD 是边长为6的正方形，高为16CC =，故所求体积是2166723V =⨯⨯=（3分）（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示．证明：∵面ABCD 、面11ABB A 、面11AA D D 为全等的正方形，于是1111111C ABCD C ABB A C AA D D V V V ---==，故所拼图形成立． （6分）（Ⅲ）（1）设6BE CF x ==- 如图建立直角坐标系则11(600)(0,6,0)(6,6,0)(0,0,6)(0,6,6)A C B D C ，，1(6,6,6)(0,,0)(,6,0)B F x E x11(6,6,6),(,6,6)B F x D E x ∴=---=-1166(6)360B F D E x x ∙=-+-+=11B F D E ∴⊥即无论E ，F 在何位置，只要BE CF =，从而有11B F D E ⊥（2）由题设(003)G ，， 1(,6,3)(0,6,3)(0,6,3)EG x CG C G =--=-=-设平面1C EG 的法向量为1111(,,)n x y z =平面CGE 的法向量为2222(,,)n x y z =则1111.630n EG xx y z =--+=1111.630n C G y z =--= 从而取112(,1,2)n x=--2222222.630,.630n EG xx y z n CG y z =--+==-+=从而取2(0,1,2)n =，设所求二面角度数为θ121212cos cos ,||||n n n n n n θ===(0,6]cos sin x θθ⎡⎫⎫∈∴∈∴=⎪⎪⎢⎪⎪⎣⎭⎣⎭（12分） 19．（1）,,0,,,0x y z a b c >> ，∴ 222()()a b c x y z x y z++++222222222xb ya zb yc za xc a b c y x y z x z=+++++++222a b c ≥+++ 222222a b c ab bc ac =+++++222()a b c =++当且仅当,,xb ya zb yc za xc ===即x y za b c==时，等号成立。