【附20套高考模拟试题】2020届安徽省合肥一中高考数学模拟试卷含答案
2020学年安徽省合肥市高考一模数学理
2020年安徽省合肥市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合M={x|log 2x ＜1}，集合N={x|x 2-1≤0}，则M ∩N=( ) A.{x|1≤x ＜2} B.{x|-1≤x ＜2} C.{x|-1＜x ≤1} D.{x|0＜x ≤1}解析：集合M={x|log 2x ＜1}={x|0＜x ＜2}，集合N={x|x 2-1≤0}={x|-1≤x ≤1}， 则M ∩N={x|0＜x ≤1}. 答案：D.2.已知复数z=21ii+-(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( ) A.3322i + B.1322i - C.1322i + D.3322i - 解析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 答案：B.3.要想得到函数y=sin2x+1的图象，只需将函数y=cos2x 的图象( )A.向左平移4π个单位，再向上平移1个单位 B.向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C.向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D.向右平移2π个单位，再向上平移1个单位解析：利用诱导公式化简成同名函数，在平移变换(左加右减，上加下减)即可. 答案：B.4.执行如图的程序框图，则输出的n 为( )A.9B.11C.13D.15解析：算法的功能是求满足11111352017Sn=⋅⋅⋯＜的最大的正整数n+2的值，验证S=1·3·…·13＞2017，从而确定输出的n值. 答案：C.5.已知双曲线24y-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p＞0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为( ) A.1D.4解析：求出双曲线24y-x2=1的两条渐近线方程与抛物线y2=2px(p＞0)的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由△AOB的面积为1列出方程，由此方程求出p的值.答案：B.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为( )A.4πB.8πC.9πD.36π 解析：由余弦定理化简已知等式可求c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R 的值，利用圆的面积公式即可计算得解. 答案：C.7.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由p ⇒q ，反之不成立. ∴p 是q 的充分不必要条件. 答案：A.8.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2-y=0)的点的个数的估计值为( )A.5000B.6667C.7500D.7854解析：由题意，阴影部分的面积S=()12310013|213xdx x x ⎛⎰⎫⎪⎝⎭-=-=，正方形的面积为1，利用正方形中随机投掷10000个点，即可得出结论.答案：B.9.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A.72+6πB.72+4πC.48+6πD.48+4π解析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体，由柱体表面积公式，可得答案. 答案：A.10.已知(ax+b)6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与-18，则(ax+b)6展开式所有项系数之和为( ) A.-1 B.1 C.32 D.64解析：由题意先求得a 、b 的值，再令x=1求出展开式中所有项的系数和. 答案：D.11.已知函数f(x)=(x 2-2x)sin(x-1)+x+1在[-1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M+m=( ) A.4 B.2 C.1 D.0解析：把已知函数解析式变形，可得f(x)=[(x-1)2-1]sin(x-1)+x-1+2，令g(x)=(x-1)2sin(x-1)-sin(x-1)+(x-1)，结合g(2-x)+g(x)=0，可得g(x)关于(1，0)中心对称，则f(x)在[-1，3]上关于(1，2)中心对称，从而求得M+m 的值. 答案：A.12.已知函数f(x)=221012102x x x x x ⎧+⎪⎨-+≥⎪⎩，＜，，方程f 2(x)-af(x)+b=0(b ≠0)有六个不同的实数解，则3a+b 的取值范围是( )A.[6，11]B.[3，11]C.(6，11)D.(3，11)解析：作函数f(x)=221012102x x x x x ⎧+⎪⎨-+≥⎪⎩，＜，的图象，从而利用数形结合知t 2-at+b=0有2个不同的正实数解，且其中一个为1，从而可得-1-a ＞0且-1-a ≠1；从而解得. 答案：D.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.命题：“∃x ∈R ，x 2-ax+1＜0”的否定为_____.解析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.答案：∀x ∈R ，x 2-ax+1≥0.14.已知a =(1，3)，b =(-2，k)，且(a +2b )∥(3a -b )，则实数k=_____.解析：利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出. 答案：-6.15.已知sin2α-2=2cos2α，则sin 2α+sin2α=_____.解析：利用同角三角函数的基本关系，求得cos α=0 或tan α=2，从而求得要求式子的值. 答案：1或85.16.已知直线y=b 与函数f(x)=2x+3和g(x)=ax+lnx 分别交于A ，B 两点，若|AB|的最小值为2，则a+b=_____.解析：设A(x 1，b)，B(x 2，b)，则2x 1+3=ax 2+lnx 2=b ，表示出x 1，求出|AB|，利用导数，结合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得a=1，进而得到b ，求出a+b. 答案：2.三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4=24，S 7=63. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =2n a+(-1)n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(Ⅰ)利用等差数列的求和公式及其通项公式即可得出.(Ⅱ)通过分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出. 答案：(Ⅰ)因为{a n }为等差数列，所以4117143424327627632S a d a d S a d ⎧⎪⎧⎪⇒⇒⎨⨯=+==⨯=⎪⎩+=⎨⎩⎪=a n =2n+1.(Ⅱ)∵b n =2n a+(-1)n ·a n =22n+1+(-1)n ·(2n+1)=2×4n +(-1)n·(2n+1)∴T n =2(41+42+…+4n )+[-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1)]=()8413n -+G n ，当n=2k(k ∈N *)时，G n =2×2n =n ，∴T n =()8413n -+n当n=2k-1(k ∈N *)时，G n =2×12n --(2n+1)=-n-2， ∴T n =()8413n --n-2，∴T n =()()**841238412213()()n n n n k k N n n k k N ⎧-⎪+=∈⎪⎨-⎪--=-∈⎪⎩，，.18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择. 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元. (Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解析：(Ⅰ)利用相互独立事件的概率计算公式即可得出. (Ⅱ)利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出. 答案：(Ⅰ)P(X=0)=14117552525+⨯⨯=，P(X=500)=412525⨯=，P(X=1000)=414852525⨯⨯=， 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X 的均值E(X)=500×25+1000×825=520， 若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B(3，25)，则E(ξ)=3×25=65， 抽奖所获奖金X 的均值E(X)=E(400ξ)=400E(ξ)=480，故选择方案甲较划算.19.如图所示，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，AB=AA 1=2A 1B 1=2.(Ⅰ)若M 为CD 中点，求证：AM ⊥平面AA 1B 1B ； (Ⅱ)求直线DD 1与平面A 1BD 所成角的正弦值.解析：(Ⅰ)推导出AM ⊥CD ，AM ⊥AB ，AM ⊥AA 1，由此能证明AM ⊥平面AA 1B1B .(Ⅱ)分别以AB ，AM ，AA 1为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，利用向量法能求出直线DD 1与平面A 1BD 所成角θ的正弦值. 答案：(Ⅰ)∵四边形为菱形，∠BAD=120°，连结AC ， ∴△ACD 为等边三角形，又∵M 为CD 中点，∴AM ⊥CD ， 由CD ∥AB 得，∴AM ⊥AB ，∵AA 1⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ，∴AM ⊥AA 1， 又∵AB ∩AA 1=A ，∴AM ⊥平面AA 1B 1B解：(Ⅱ)∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，AB=AA 1=2A 1B 1=2， ∴DM=1，AM=3，∠AMD=∠BAM=90°， 又∵AA 1⊥底面ABCD ，分别以AB ，AM ，AA 1为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A 1(0，0，2)、B(2，0，0)、D(-10)、D 1(-12，2，2)，∴1DD =(12，2)，BD =(-30)，1A B =(2，0，-2)， 设平面A 1BD 的一个法向量n =(x ，y ，z)，则有1·030220·0n BD x y x z n A B ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⇒==⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩，令x=1，则n =(11)，∴直线DD 1与平面A 1BD 所成角θ的正弦值：sin θ=|cos ＜n ，1DD ＞|=11||15n DD n DD ⋅=⋅.20.已知点F 为椭圆E ：2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线42x y+=1与椭圆E 有且仅有一个交点M. (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设直线42x y+=1与y 轴交于P ，过点P 的直线与椭圆E 交于两不同点A ，B ，若λ|PM|2=|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围.解析：(Ⅰ)由题意可得a ，b 与c 的关系，化椭圆方程为222243x y c c+=1，联立直线方程与椭圆方程，由判别式为0求得c ，则椭圆方程可求；(Ⅱ)由(Ⅰ)求得M 坐标，得到|PM|2，当直线l 与x 轴垂直时，直接由λ|PM|2=|PA|·|PB|求得λ值；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=kx+2，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式大于0求得k 的取值范围，再由根与系数的关系，结合λ|PM|2=|PA|·|PB|，把λ用含有k 的表达式表示，则实数λ的取值范围可求.答案：(Ⅰ)由题意，得a=2c ，，则椭圆E 为：222243x y c c+=1，联立22243142y c x x y ++⎧=⎪⎨=⎪⎪⎪⎩，得x 2-2x+4-3c 2=0，∵直线42x y+=1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴△=4-4(4-3c 2)=0，得c 2=1，∴椭圆E 的方程为2243x y +=1； (Ⅱ)由(Ⅰ)得M(1，32)， ∵直线42x y +=1与y 轴交于P(0，2)，∴|PM|2=54， 当直线l与x 轴垂直时，|PA|·， 由λ|PM|2=|PA|·|PB|，得λ=45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=kx+2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 联立22234120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，得(3+4k 2)x 2+16kx+4=0，依题意得，x 1x 2=2434k+，且△=48(4k 2-1)＞0， ∴|PA||PB|=(1+k 2)x 1x 2=(1+k 2)·2434k +=1+2134k +=54λ，∴λ=45(1+2134k +)， ∵k 2＞14，∴45＜λ＜1，综上所述，λ的取值范围是[45，1).21.已知函数f(x)=e x-12ax 2(x ＞0，e 为自然对数的底数)，f ′(x)是f(x)的导函数. (Ⅰ)当a=2时，求证f(x)＞1；(Ⅱ)是否存在正整数a ，使得f ′(x)≥x 2lnx 对一切x ＞0恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，说明理由.解析：(Ⅰ)求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；(Ⅱ)求出函数的导数，得到a ≤e ，问题转化为证明当a=2时，不等式恒成立，设g(x)=22x e x x--lnx ，根据函数的单调性证明即可.答案：(Ⅰ)证明：当a=2时，f(x)=e x -x 2，则f ′(x)=e x-2x ，令f 1(x)=f ′(x)=e x -2x ，则f ′1(x)=e x-2，令f ′1(x)=0，得x=ln2，故f ′(x)在x=ln2时取得最小值， ∵f ′(ln2)=2-2ln2＞0，∴f(x)在(0，+∞)上为增函数， ∴f(x)＞f(0)=1；(Ⅱ)f ′(x)=e x-ax ，由f ′(x)≥x 2lnx ，得e x -ax ≥x 2lnx 对一切x ＞0恒成立，当x=1时，可得a ≤e ，所以若存在，则正整数a 的值只能取1，2. 下面证明当a=2时，不等式恒成立，设g(x)=22x e x x --lnx ，则g ′(x)=()()()3232221xx x e x x e x x x x---+-=，由(Ⅰ)e x ＞x 2+1≥2x ＞x ，∴e x-x ＞0(x ＞0)，∴当0＜x ＜2时，g ′(x)＜0；当x ＞2时，g ′(x)＞0， 即g(x)在(0，2)上是减函数，在(2，+∞)上是增函数， ∴g(x)≥g(2)=14(e 2-4-4ln2)＞14(2.72-4-4ln2)＞14(3-ln16)＞0， ∴当a=2时，不等式恒成立，所以a 的最大值是2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为sin θcos 2θ=0.(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.解析：(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标互化方法，求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)将112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，代入2=0(1+12t)2=0，求出交点坐标，即可直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.答案：(Ⅰ)∵sin θρcos 2θ=0，∴ρsin θρ2cos 2θ=0，即2=0；(Ⅱ)将112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，代入=012t)2=0，即t=0，从而，交点坐标为(1， 所以，交点的一个极坐标为(2，3π).[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x-m|-|x+3m|(m ＞0). (Ⅰ)当m=1时，求不等式f(x)≥1的解集；(Ⅱ)对于任意实数x ，t ，不等式f(x)＜|2+t|+|t-1|恒成立，求m 的取值范围. 解析：(Ⅰ)将m=1的值带入，得到关于x 的不等式组，求出不等式的解集即可； (Ⅱ)问题等价于对任意的实数xf(x)＜[|2+t|+|t-1|]min 恒成立，根据绝对值的性质求出f(x)的最大值以及[|2+t|+|t-1|]min ，求出m 的范围即可.答案：(Ⅰ)f(x)=|x-m|-|x+3m|=422343m x mx m m x m m x m-≥---≤-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＜＜，当m=1时，由22131xx--≥⎧⎨-⎩＜＜或x≤-3，得到x≤-32，∴不等式f(x)≥1的解集为{x|x≤-32 }；(Ⅱ)不等式f(x)＜|2+t|+|t-1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数xf(x)＜[|2+t|+|t-1|]min恒成立，即[f(x)]max＜[|2+t|+|t-1|]min，∵f(x)=|x-m|-|x+3m|≤|(x-m)-(x+3m)|=4m，|2+t|+|t-1|≥|(2+t)-(t-1)|=3，∴4m＜3又m＞0，所以0＜m＜34.。
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|3−x≤0}，则A∪B=()A. {x|−2≤x≤3}B. {x|x≥−2}C. {x|3≤x≤5}D. {x|x≥−5}2.已知复数z=2+i2018(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是()A. 2013年以来，每年参观总人次逐年递增B. 2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C. 2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D. 2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万4.若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<b<a5.在等差数列{a n}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是()A. 32B. 39C. 46D. 786.执行如图的程序框图，如果输入的x为3，那么输出的结果是()A. 8B. 6C. 1D. −17.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f(0)=1；；．其中正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①④⑤D. ②③⑤9.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线和圆x2+y2−4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为()A. 2√33B. 43C. √2D. 210.某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a⋅0.5x+b.现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为()A. 1.75万件B. 1.7万件C. 2万件D. 1.8万件11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别为AD,AA1的中点，则以下说法错误的是()A. 平面EFC截正方体所的截面周长为2√5+3√2B. 存在BB1上一点P使得C1P⊥平面EFCC. 三棱锥B−EFC和D−FB1C体积相等D. 存在BB1上一点P使得AP//平面EFC12.若函数f(x)={ln (x+1)−x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，若a⃗//b⃗ ，则k等于______ ．14.已知直线y=x−1与抛物线y2=4x交于A，B两点，则弦AB的长为__________．15.有个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有个空座位相邻的不同坐法有_________种.(用数字作答)三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知命题1：设x i，a i=(i=1,2)均为正实数，若x1+x2=1，则a1x1+a2x2≤(√a1+√a2)2；命题2：x i，a i(i=1,2，3)均为正实数，若x1+x2+x3=1，则a1x1+a2x2+a3x3≤(√a1+√a2+√a3)2；由上述两个命题可知，设x i，a i(i=1,2，3，…，n)均为正实数，若(1)，则(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+√3bc，acosB=bcosA(1)求角A，B，C的大小；(2)若BC边上的中线AM的长为√7，求△ABC的面积．18.已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球，一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出3个球，将3个球对应的分值相加后记为该局得分，计算完得分后将球放回袋中，当出现第n局得n分(n∈N∗)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．(1)求在一局游戏中得3分的概率；(2)求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E(X)．19.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD//BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．(1)求AB的长，并证明：AD1⊥B1D；(2)求平面AA1B1与平面ACD1所成角的余弦值．20.已知F1、F2分别是椭圆C：x2+y2=1的左、右焦点．4(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−54，求点P 的坐标；(2)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，交椭圆C 于A 、B 两点，是否存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ？21. 设函数f(x)=lnx −ax 2+ax ，a 为正实数．(1)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：f(1a )≤0；(3)若函数f(x)有且只有1个零点，求a 的值．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t y =12+√3t (t 为参数)，曲线C 1：{x =2sinφy =2(1+cosφ)(φ为参数)． (1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C2：θ=π3(ρ∈R)与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，求|AB|的值．23.若a>0，b>0，且12a+b +1b+1=1，求a+2b的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A={x|−2≤x≤5}，B={x|x≥3}；∴A∪B={x|x≥−2}．故选：B．2.答案：A解析：解：∵z=2+i 20181+i =2+(i4)504⋅i21+i=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，∴z=12+12i．∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：(12,12)，位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；在D 中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D 错误．故选：C ．由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多．本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 4.答案：C解析：a >1，0<b <1，c >1，又a c =log 23log 46=log 2312log 26=2log 63=log 69>1，∴b <c <a ．5.答案：B解析：解：∵等差数列{a n }中，a 3+a 11=6，∴其前13项的和：S 13=132(a 1+a 13)=132×6=39．故选：B ．由等差数列前n 项和公式及通项公式得S 13=132(a 3+a 11)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6.答案：D解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行即可求解．解：由程序框图知：程序第一次运行x =3−2=1；第二次运行x =1−2=−1，满足x <0，∴执行y =(−1)3=−1．∴输出−1．故选：D ．7.答案：B解析：解：当x=0时，f(0)=2−11+2=13，当x=1时，f(1)=0，故排除A，由于f(x)≥0恒成立，故排除C，当x→+∞时，f(x)→1，故排除D，故选：B．利用函数值的变化趋势判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数值的变化趋势，考查计算能力．8.答案：C解析：解：由图可得：函数函数y=Asin(ωx+ϕ)的最小值−|A|=−2，令A>0，则A=2，又∵T4=7π12−π3，ω>0∴T=π，ω=2，∴y=2sin(2x+ϕ)将(7π12,−2)代入y=2sin(2x+ϕ)得sin(7π6+ϕ)=−1即7π6+ϕ=3π2+2kπ，k∈Z即ϕ=π3+2kπ，k∈Z∴f(x)=2sin(2x+π3 ).∴f(0)=2sinπ3=√3，f(x+π6)=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+2π3).f(π4)=2sin(π2+π3)=1.对称轴为直线x=kπ2+π12，一个对称中心是(5π6,0)，故②③不正确；根据f(x)=2sin(2x+π3)的图象可知，④f(12π11)<f(14π13)正确；由于f(x)=2sin(2x+π3)的图象关于点(5π6,0)中心对称，故⑤f(x)=−f(5π3−x)正确．综上所述，其中正确的是①④⑤．故选C．9.答案：D解析：本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．根据圆方程，得到圆心坐标C(2,0)，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，算出c=2a，即可得出该双曲线的离心率．解：圆x2+y2−4x+3=0可化为(x−2)2+y2=1∴圆心坐标C(2,0)∵双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为ax±by=0，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，∴C到渐近线的距离为|2a|√a2+b2=1，即c=2a因此该双曲线的离心率为e=ca=2故选：D10.答案：A解析：本题主要考查了函数模型的应用，属于基础题．将x=1，2分别带入y=a⋅0.5x+b，联立解出a，b的值，再将x=3代入方程即可求出三月份的产量．解析：解：由题意可得{1=0.5a+b1.5=0.25a+b，解得a=−2，b=2，所以y=−2×0.5x+2，将x=3代入y=−2×0.5x+2得，y=1.75，故选A．11.答案：B解析：本题考查了线面的位置关系的判断，考查了体积的运算，属于中档题．由面面垂直的判定定理结合正方体ABCD−A1B1C1D1的结构可得答案．解：若存在BB1上一点P使得平面EFC，由C1P⊂面BB1C1C，故可得平面EFC⊥面BB1C1C，然而面BB1C1C⊥面ABCD，面BB1C1C⊥面AA1B1B，面BB1C1C⊥面A1B1C1D1，面BB1C1C⊥面DCC1D1，故平面EFC不可能和面BB1C1C垂直，故可知不存在BB1上一点P使得平面EFC，故选B12.答案：C解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．解：根据函数可做出如下图像：−1，当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．13.答案：−12解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，a⃗//b⃗ ，∴2k+1=0，．解得k=−12故答案为：−12根据向量平行列方程解出k．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：8解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．解：将直线l：x−y−1=0过(1,0)即抛物线方程y2=4x的焦点坐标，联立直线与抛物线方程，消元y，可得x2−6x+1=0∴x1+x2=6，∴弦AB的长为x1+x2+p=6+2=8．故答案为8．15.答案：480解析：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，有A44=24种情况，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，有A52=20种情况，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有24×20=480种；故答案为480．16.答案：x1+x2+x3+⋯+x n=1a1 x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2解析：本题考查归纳推理的应用，属于基础题目．解：由命题①②可归纳为若x1+x2+x3+⋯+x n=1，则a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．故答案为x1+x2+x3+⋯+x n=1；a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．17.答案：解：(1)在△ABC中，∵b2+c2=a2+√3bc，∴b2+c2−a2=√3bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =√32，又A∈(0,π)，∴A=π6．∵acosB=bcosA，∴sinAcosB −sinBcosA =0， 即sin(A −B)=0， ∴A −B =0， ∴B =A =π6． ∴C =π−A −B =2π3．(2)∵A =B ， ∴BC =AC ，设CM =x ，则AC =2x ， 又AM =√7， 在△ACM 中，由余弦定理得：AM 2=CM 2+AC 2−2CM ⋅AC ⋅cos 2π3，∴7=x 2+4x 2−4x 2⋅(−12)，解得x =1． ∴AC =BC =2x =2，∴S △ABC =12AC ⋅BC ⋅sin 2π3=12×2×2×√32=√3．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．(1)根据余弦定理求出A ，利用正弦定理将边化角得出A ，B 的关系求出B ，利用内角和求出C ； (2)设CM =x ，在△ACM 中，利用余弦定理列方程解出CM ，得出AC ，BC ，代入面积公式计算面积．18.答案：解：(1)设“在一局游戏中得3分”为事件A ，则P(A)=C 21C 21C 11C 53=25．(2)X 的所有可能取值为1，2，3，4，在一局游戏中得2分的概率为C 21C 22+C 22C 11C 53=310，P(X =1)=C 22C 21C 53=15，P(X =2)=45×310=625，P(X =3)=45×(1−310)×25=28125， P(X =4)=45×(1−310)×35=42125， ∴X 的分布列为X 12 3 4P156252812542125∴E(X)=1×15+2×625+3×28125+4×42125=337125．解析：本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题． (1)根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值;(2)由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．19.答案：解：(1)由题意得AB ，AD ，AA 1两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =t ，则A(0,0，0)，B(t,0，0)，B 1(t,0，3)，C(t,1，0)，C 1(t,1，3)，D(0,3，0)，D 1(0,3，3)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,3，0)， ∵AC ⊥BD ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 2+3+0=0， 解得t =√3或t =−√3(舍去)，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,−3)， ∵AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD 1⊥B 1D . (2)由(1)得AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面ACD 1的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y +3z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,−√3,√3)， 平面AA 1B 1的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√31×√7=√217． ∴平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值为√217．解析：(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出AB 的长，并证明AD 1⊥B 1D .(2)求出平面ACD 1的一个法向量和平面AA 1B 1的法向量，利用向量法能求出平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)由椭圆方程为x 24+y 2=1，可知：a =2，b =1，c =√3，∴F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解得：{x =1y =√32,∴P(1,√32)． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=14−1516=−1116≠0，此时OA ⊥OB 不成立．②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ， 则由已知可得√k 2+1=12，即k 2+1=4m 2．由{y =kx +m x 2+4y 2=4，可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1⋅x 2=4(m 2−1)4k 2+1．要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0， 即5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2．∴k 2+1=0，此方程无实解，此时OA ⊥OB 不成立． 综上，不存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解出即可得出．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，此时OA ⊥OB 不成立． ②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，则由已知可得√k 2+1=12.直线方程与椭圆方程联立可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0，把根与系数的关系代入可得5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2.解出即可判断出结论．21.答案：(1)解：当a =2时，f(x)=lnx −2x 2+2x ，f′(x)=1x −4x +2，∴f′(1)=−1， ∵f(1)=0，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y =−x +1； (2)证明：f(1a )=−lna −1a +1(a >0)， 令g(x)=−lnx −1x +1(x >0)，则g′(x)=1−x x 2，∴0<x <1时，g′(x)>0，函数单调递增；x >1时，g′(x)<0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g(x)≤g(1)=0，∴f(1a)≤0；(3)解：由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为1，则f′(1)=0，即1−2a+a=0∴a=1．解析：(1)求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；(2)构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；(3)由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为(1,0)，则f′(1)=0，即可得出结论．本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)直线l的一般方程为√3x−2y+24=0，直线l的极坐标方程为，曲线C1的标准方程为x2+(y−2)2=4，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．(2)将θ=π3分别代入和ρ=4sinθ得ρA=16√3，ρB=2√3，所以|AB|=|ρA−ρB|=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是中档题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l和曲线C1的极坐标方程，求出A，B的极径，得|AB|=|ρA−ρB|= |16√3−2√3|=14√3．23.答案：解：设a+2b=t，则a=t−2b，因为a>0，b>0，12a+b +1b+1=1，所以12(t−2b)+b +1b+1=1，即12t−3b +1b+1=1，所以12t−3b =1−1b+1=bb+1.从而2t−3b=b+1b =1+1b，即2t=3b+1b +1⩾2√3b×1b+1=2√3+1，当且仅当b=√33时取等号，所以t⩾2√3+12.故a+2b的最小值为2√3+12．解析：本题主要考查了利用基本不等式求最值，为中档题．设a+2b=t，则a=t−2b，代入12a+b +1b+1=1，得到2t=3b+1b+1，利用基本不等式进行求解即可．。
【附加15套高考模拟试卷】安徽省合肥一中2020届高三冲刺高考最后1卷数学(理)试卷含答案
安徽省合肥一中2020届高三冲刺高考最后1卷数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数。
依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。
得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353。
则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（ ）A ．13,28B ．11,28C ．11,35 D ．12,392．下列四个命题:存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．43．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．如果复数(2)()ai i a R +∈的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-15．设i 为虚数单位,m R ∈,“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．407．已知向量44sin,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，向量()1,1b =r ，函数()f x a b =r r g ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数8．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =L ，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（ ） A ．0B ．14 C ．2 D ．229．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是（ ）A ．1-B ．12 C ．1D ．210．已知集合{}|12A x a x a =-≤≤+，{}|35B x x =<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．{}|34a a <≤B ．{}|34a a <<C ．{}|34a a ≤≤D ．∅11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为,A B ，点P 为双曲线上除,A B 外任意一点，且点P 与点,A B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A ．y x =± B ．2y x =C ．3y x =D ．2y x =±12．在区间[]0π，上随机取一个数x ，则事件2“sin cos 2x x +≥发生的概率为( ) A ．12 B ．13 C ．23 D ．712二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年安徽省合肥市高考数学模拟试卷+答案解析
2024年安徽省合肥市高考数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知复数z 满足，则()A.5B. C.13D.3.已知在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为，，，且这3个队是否完成该任务相互独立，则恰有2个队完成该任务的概率为()A.B.C.D.4.已知抛物线C ：的焦点为F ，A 为x 轴上一点，若，且抛物线C 经过线段AF的中点，则()A.8B.C.4D.5.已知向量，，，若，，则在上的投影向量为()A.B.C.D.6.在长方体中，，过作平面，使得平面，若平面，则直线l 与所成角的余弦值为()A.B. C.D.7.已知函数，若，则直线与的图象的交点个数为()A.3 B.4C.5D.68.已知椭圆的左顶点为A ，左焦点为F ，P 为该椭圆上一点且在第一象限，若射线AF 上存在一点Q ，使得，线段PQ 的垂直平分线与射线AF 交于点H ，则()A.1B.2C.aD.2a二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某校高一年级的某次月考中，甲、乙两个班前10名学生的物理成绩单位：分，满分100分如表所示，则甲班67727683858788888990乙班70777777818384899394A.甲班前10名学生物理成绩的众数是88B.乙班前10名学生物理成绩的极差是24C.甲班前10名学生物理成绩的平均数比乙班前10名学生物理成绩的平均数低D.乙班前10名学生物理成绩的第三四分位数是8410.已知函数其中，的部分图象如图所示，则()A.B.C.D.11.下列不等式中正确的是()A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数______.①定义在R上的函数不是常值函数；②；③对任意的，均存在，使得成立.13.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______.14.已知半径为的球O的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，若正四面体ABCD的棱与球O 的球面有公共点，则正四面体ABCD的棱长的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
【附20套高考模拟试题】2020届安徽省省级示范高中高考数学模拟试卷含答案
8；
……
则 x y 505 的不同整数解 (x, y) 的个数为__________．
16．若一个正四面体的棱长为 1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知椭圆 的直线 交椭圆 于 两点，
9． 已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 (, 0] 上是增函数，设
a
f (ln ), b
f
( log5 2),
c
f
(e
1 2
),
则
a,
b,
c
的大小关系是
A． b c a B． a b c C． c b a D． a c b
10．在三棱锥
中，
和
是有公共斜边的等腰直角三角形，若三棱锥
的外接球的半
径为 2，球心为 ，且三棱锥
的体积为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆 C ： x2 y2 1 上的三点 A ，B ，C ，斜率为负数的直线 BC 与 y 轴交于 M ，若原点 O 是 4
ABC 的重心，且 BMA与 CMO 的面积之比为 3 ，则直线 BC 的斜率为（ ） 2
13．已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD为正方形， PA 面 ABCD ，且满足 PA 所成角的大小为__________．
14．已知点 A(x, lg x1) ，B(x2, lg x2 ) 是函数 f x lg x 的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段 AB
同的单位长度．已知曲线 C : sin2 2a cos (a 0) ，过点 P(2, 4) 的直线 l 的参数方程为
2020年安徽合肥市高三理科数学上册一模理数试题卷及答案
又∵sin B 0 ，∴cos B 2. 2源自∵B是三角形的内角，
∴B
3 4
.
………………………………5 分
(2) 在ABM 中， BM 1, AM
5,
B
3 4
,
AB
c
，
由余弦定理得 AM 2 c2 BM 2 2c BM cos B ，∴c2 2c 4 0
P
C32
2 5
2
1 5
C32
1 5
2
2 5
18 125
.
……………………………5 分
(2) X 可能取值为 0，1，2，3.
则PX
0
C30
3 3 5
27 125
，PX
1
C31
2 3 2 5 5
6 5
.
……………………………12 分
或解：
数学试题(理科) 第 1 页（共 4 页）
∵随机变量 X 服从 X ∼
B
3 ，52
，
∴ EX
np
3
2 5
6 5
.
……………………………12 分
19.(本小题满分 12 分)
(1)连结 AC1 .
∵ AA1 AC ，四边形 AA1C1C 为菱形，∴ A1C AC1 .
设平面 ABB1 的法向量为n x
，y
，z
，则n AB，n
2020年合肥市一模数学(理科)试题及答案
合肥市2020年高三第一次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.-2 14.3π或23π 15.72 ，164n π-(第一空2分，第二空3分)三、解答题：大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)在ABC ∆中，sin sin sin a b c A B C==，且cos cos cos 0a C c A B +=， ∴sin cos sin cos cos 0A C C A B B +=，∴()sin 10B B ⋅=，又∵sin 0B ≠，∴cos 2B =. ∵B 是三角形的内角， ∴34B π=. ………………………………5分 (2) 在ABM ∆中，31,,4BM AM B AB c π====， 由余弦定理得()2222cos AM c BM c BM B =+-⋅⋅，∴240c -=∵0c >,∴c =∵在ABC ∆中，2a =，34B π=, ∴ABC ∆的面积1sin 12S ac B ==. ………………………………12分 18.(本小题满分12分)(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，这两种类型都有学校选的概率为：2222332112185555125P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……………………………5分 (2)X 可能取值为0，1，2，3.则()30332705125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3332835125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X ∴01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………12分 或解：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B∵随机变量X 服从23 5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∼，， ∴26355EX np ==⨯=. ……………………………12分 19.(本小题满分12分)(1)连结1AC .∵1AA AC =，四边形11AA C C 为菱形，∴11A C AC ⊥.∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =， BC ⊂平面ABC ，,BC AC ⊥∴BC ⊥平面11AA C C .又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AA C C ，∴111B C A C ⊥.∵1111AC B C C = ，∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ⊂平面11AB C ，∴1A C ⊥1AB . …………………………5分(2)取11A C 中点M ，连结CM .∵1AA AC =，四边形11AA C C 为菱形，160A AC ∠= ，∴11CM A C ⊥，CM AC ⊥. 又∵CM BC ⊥，∴以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠= ，∴C (0，0，0)，1A)，A (2，0，0)，B (0，1，0)，1B). 由(1)知，平面11C AB的一个法向量为(110CA = ，.设平面1ABB 的法向量为()n x y z = ，，，则1 n AB n AB ⊥⊥ ，，∴100n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ . ∵()210AB =- ，，，(131AB =-，∴2030x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令1x =，得2y z ==，12n ⎛= ⎝ ，.∴111cos ,4CA n CA n CA n ⋅<>===⋅ ， ∴二面角11C AB B --的余弦值为分 20.(本小题满分12分)(1)设椭圆的半焦距为c .2知，b c a ==，. 设圆C '的半径为r，则r ab =，2=，解得b =，∴a =，∴椭圆C 的方程为22163x y +=.……………………………5分 (2)∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥.设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.由直线和椭圆方程联立得()2226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，得12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 设()11OM x y = ，，()22OP x y = ，， ∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()222322021m k k --==+ ∴22220m k --=，2222m k =+∴圆C '的圆心O 到直线PMr ==，∴直线PM 与圆C '相切. 当直线PM 的斜率不存在时，设00(,),M x y 则00(,)N x y -，由条件可知00(,)P x y -, 且2200x y =，又2200163x y +=, ∴202x =， ∴'PM C 与相切 . 同理可得，直线PN 与圆C '也相切.∴直线PM 、PN 与圆C '相切. …………………………12分 21.(本小题满分12分)(1)由()210x x f x e-==，得1x =±，∴函数的零点01x =±. ()221xx x f x e --'=，()12f e '-=，()10f -=. 曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.()21f e'=-，()10f =， ∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()21y x e=--.………………………5分 (2)()221x x x f x e --'=.当(() 11x ∈-∞+∞ ，时，()0f x '>；当(()110x f x '∈<时，. ∴()f x的单调递增区间为(() 11-∞+∞，，，单调递减区间为(11. 又当1x <-或1x >时，()0f x <，当11x -<<时，()0f x >.下面证明：当()11x ∈-，时，()()21e x f x +>. 2(1)() (11)e x f x x +>-<< 212(1)0x x e x e-⇔++> 110 (11).2x x e x +-⇔+>-<< 易知，11()2x x g x e +-=+在[1,1]x ∈-上单调递增，而(1)0,g -= ∴()0(1,1)g x x >∀∈-对恒成立，即当()11x ∈-，时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m⎧=+⎪⎨=⎪⎩得12m x e =-.记112m x e '=-. 不妨设12x x <，则12111x x -<<<<， ∴121221212m x x x x x x x e ⎛⎫''-<-=-=-- ⎪⎝⎭.要证121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭，∴只要证2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-. 又∵2221x x m e -=，只要证222211x x x e -≤-，即()()()222110x x e x -⋅-+≤.∵()211x ∈，即证()2210x e x -+≥. 令()()()11x x x e x x e ϕϕ'=-+=-，.当()10x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为单调递减函数；当()01x ∈，时，()0x ϕ'>，()x ϕ为单调递增函数. ∴()()00x ϕϕ≥=，∴()2210x e x -+≥， ∴121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭. …………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，∴2246x y x y +=+， 即曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=. …………………………5分(2)把直线32:12x l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C得22121322⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=+>，设12t t ，为方程的两个实数根，则12t t +=，128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A （3，1）在直线l 上， ∴1212AM AN t t t t +=+=-===.…………………………10分23.(本小题满分10分) 解：(1)∵()2f x x m x =--+，∴()220f x x m x -=---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥，解得28m +=，即6m =. …………………………5分(2) ∵6m =，∴212a b c ++=，又∵a > 0，b > 0，c > 3，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-，结合212a b c ++=解得3a =，1b =，7c =时，等号成立. ∴()()()113a b c ++-的最大值为32. …………………………10分。
2020年安徽省高考理科数学仿真模拟试题(附答案)
2020年安徽省高考理科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合A= {*∈-N x x x ,0<72},则B={A y N yy ∈*∈,6|}的子集个数是（ ） A.4 个 B.8 个 C.16 个 D.32 个2. 某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是（ ）A.不拥有的人们不一定幸福B.不拥有的人们可能幸福C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福3. 已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A. 64B. 32C. 16D. 44. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i i e eππ表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差2d =，1a ，3a ，4a 成等比数列，则8S =（ ） A. -20B. -18C. -10D. -86. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.11127．直线 m,n 和平面βα, 则下列命题中，正确的是（ ）A ．m ∥n, m αβα⇒⊆⊆n ,∥βB ．m αβα⇒⊆⊥⊥n n m ,,∥β C.m ∥n,n ,β⊥m βαα⊥⇒⊆ D.m ∥n,m βαβα⊥⇒⊥⊥n , 8．已知函数()sin()(,0)4f x x x πωω=+∈>R 的最小正周期为π，为了得到函数()cos()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度9. 下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. 12B. 15C.D.10. 在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（ ）A.B.C.D.11. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ） A. 1D.312. 已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A. 5 B. 6C. 7D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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在 A 地各个国企中随机抽取了 1000 名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布 直方图，其中 a 4b .
估计被调查的员工的满意程度的中位数；（计算结果保留两位小数）若按
2，则该展开式中常数项为
A．-40 B．-20 C．20 D．40
11．关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查理实验，受其启发，
我们可以设计一个算法框图来估计 的值（如图），若电脑输出的 j 的值为 29，那么可以估计 的值约为
（）
79 A． 25
47 B． 15
0,
1 2
D．
1 4
,
1 3
8．以下说法错误的是（ ）
A．命题“若 x2 3x 2 0 ，则 x 1 ”的逆否命题为“若 x 1，则 x2 3x 2 0 ”
B．“ x 2 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件
C．若命题 P :存在 x0 R ，使得 x02 x0 1 0 ，则 p :对任意 x R ，都有 x2 x 1 0
157 C． 50
D．
P(Y
0)
C30
1 3 5
1 125
12．过双曲线 x2 a2
y2 b2
1a
0，b
0 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于
A，B 两点，OAB
的面积为 13bc ，则双曲线的离心率为（ ） 3
13
13
22
22
A． 2
B． 3
C． 2
D． 3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
则称这次试验成功.若成功一次得 2 分，失败一次得 1分，则 100 次这样的重复试验的总得分 X 的方差为
__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）如图，在三棱柱 ABC 中， CC1 平面 ABC A1B1C1 , AC BC, AC BC CC1 2 ，点 D, E, F 分别为棱 A1C1, B1C1, BB1 的中点．
照分层抽样从[50,60) ，[60,70) 中随机抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 4 人，记分数在[60,70) 的人数 为 X ，求 X 的分布列与数学期望；以频率估计概率，若该研究人员从全国国企员工中随机抽取 n 人作调 查，记成绩在[60,70) ，[90,100] 的人数为 X ，若 D( X ) 2.2 ，求 n 的最大值. 20．（12 分）如图，在四棱锥 S ABCD 中， BCD 为等边三角形，AD AB SD SB, BAD 120
f
x
x2 ln x,
x x
2, x ,
,
若方程
f
x
0 有两个不同的解，则
的取值范围__________.
16．一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数 A a1 a2 a3 a4 a5 ，其中 A 的各位数字中，
1
2
a1 1，ak（ k 2,3, 4,5 ）出现 0 的概率为 3 ，出现 1 的概率为 3 .若启动一次出现的数字为 A 10101，
斯和乌龟的距离恰好为102 米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
104 1
105 1
105 9
104 9
A． 90 B． 900 C． 90 D． 900
5．执行如图所示的程序框图，则输出 x 的值为( )
A． 2
1 C． 2 D． 3
B． 1 3
6．已知 f x 是定义域为 R 的奇函数，当 x 0 时， f x x ln x ．若函数 g x f x a有 2 个不
A． B． C． D．
2．若函数
f
x
1
x
x3 ，则
f
lg2
f
lg
1 2
f
lg5
f
lg
1 5
（
）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
3．设 a, b 是非零向量，则“存在实数 ，使得 a λb ”是“ a b a b ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．函数
f
(x)
ax2
bx 1，且 0
f (1) 1 ，2
f
(1) 0，则 z
2a b a 3b 的取值范围是__________．
14．在 ABC 中，三边长分别为 a 3,b 2 2,c 5 ,其最大角的余弦值为_________, ABC 的面积为
_______.
15．已知函数
同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 1,1
B． 1,1
C． ,1 1, D． ,1 1,
(1 2a)x ,
7．已知函数
f
x
loga x
1, 3
x x
1 1，当 x1
x2
时，
f
x1 f x2
x1 x2
0 ，则
a
的取值范围是 (
)
A．
0,
1 3
B．
1 3Βιβλιοθήκη ,1 2C．
4．公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000 米
处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000
米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米时，乌龟仍然前于他 10 米.当阿基里斯跑完 下一个 10 米时，乌龟仍然前于他 1 米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里
D．若 p 且 q 为假命题，则 p, q 均为假命题
9．已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (x 1) 为偶函数,若 f (1) 2 ,则
f (1) f (2) f (3) f (2019) （ ） A．4 B．2 C．0 D．-2
10．
x
a x
2x
1 x
5
的展开式中各项系数的和为
求证：AB / / 平面 DEF ；求证：平面 ACB1 平面 DEF ；求三棱锥 E ACB1
的体积.
18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是菱形，ABC 120 ，PA PC ，PB PD ， AC BD O .
求证： PO 平面 ABCD；若 PB BD 2 ，求点 O 到平面 PBC 的距离.
2020 届安徽省合肥一中高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．在三棱锥
中，
和
是有公共斜边的等腰直角三角形，若三棱锥
的外接球的半
径为 2，球心为 ，且三棱锥
的体积为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值是（ ）