高一数学期中考试试题卷
余姚中学2023学年第一学期期中考试高一数学试题(含答案)
A. 54 cm2
B. 48 cm2
C. 27 cm2
D. 9 cm2
4.函数 f (x) | x2 1| 的大致图象为( ) x
A
B
C
D
5.已知函数 f (x) log2 (2 x) 的值域为 ,1 , 则函数 f (2 x ) 的定义域为( )
A. [0, )
B. [0, 2)
C. [0,1)
9.下列说法正确的是( )
A.
10
化成角度是
18
B.
120
化成弧度是
5 6
C. 330 与 750 的终边相同
D.
若 sin
cos
1 ，则 tan 2
cos sin
2
10.用二分法求函数 f (x) x3 x2 2x 2 的一个零点的近似值 ( 精确度为 0.1) 时，依次计算得到如下数据：
11.函数
f
(x)
x 1 | x
(x |
R)
，以下四个结论正确的是(
)
A. f (x) 的值域是 (1,1)
B.
函数 y
f (x) 的图像与函数 g(x) log2
x x
1 1
图像的交点为
x1
,
y1
,
x2
,
y2
,
x3
,
y3
,,
xm
,
ym
，则
x1 x2 x3 xm 2
C.
若规定
f1(x)
f (x) | x2 1| f (x) ， x
该函数为奇函数，故 A 错误；
当 x 0 时， f (x) | x2 1| 0 ，故 D 错误； x
2024学年福建省厦门双十中学高一上学期期中数学试题及答案
福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B= B. A B ⋂=∅C. A BD. B A2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 04. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）A. B.C. D.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20B. 21C. 22D. 237. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A a c b<< B. b c a << C. b a c << D. c b a<<8. 已知定义域为()0,∞+函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 否定是R x ∀∈，2220xx++>.的的B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f g x 为偶函数>”是“x y >”的必要条件10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A.114ab ≥ B.122a b+≥ C.2≥ D. 228a b +≥11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2ff a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 212. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．14. 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．16. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1zs xyz+=的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()22(11)1xf x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 取值范围．20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R aa f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力的的22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?22. 已知函数()()9230xx mf x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B =B. A B ⋂=∅C. A BD. B A【答案】D 【解析】【详解】根据集合相等的概念，集合交集运算法则，集合包含关系等知识点直接判断求解.【分析】因为集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，所以A B ≠，{}2,3A B ⋂=， B 是A 的真子集，所以A,B,C 错误，D 正确.故选：D2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值举反例排除即可得到答案.【详解】对于A ，若0,1a b ==-，则22＜a b ，故A 错误；对于B ，若1,1a b ==-，则11a b＞，故B 错误；对于C ，由于2x y =在R 上单调递增，所以a b >时，22a b >，故C 正确；对于D ，若0c =，则22ac bc =，故D 错误.故选：C3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数()00f =得到a 值再用定义法验证即可.【详解】因为函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，定义域为(),-∞+∞，所以()()()0210f a a =--=，解得1a =或2a =，当1a =时，()()221f x xx =-，则()()()221f x x x f x -=--≠-，不满足题意；当2a =时，()()221f x x x =+，则()()()221f x x x f x -=-+=-，满足题意.所以a 的值是2.故选：B4. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念和对数函数相关概念求解即可.【详解】由22log 2log 4x <=，解得04＜＜x ，由“04＜＜x ”是“13x <<”的必要不充分条件，所以“2log 2x <”是“13x <<”的必要不充分条件.故选：B5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）的A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数()0ay xx =≥，与()log 0a y x x =>，答案A 没有幂函数图像，答案B.()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案C ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合，答案D ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20 B. 21C. 22D. 23【答案】D 【解析】【分析】根据题意可列出方程10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，求解即可，【详解】设经过x 天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,则10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，即1.2(100000.8x=，1.20.8lg10000log 10000231.2lg3lg20.1761lg l 4443g 20.8x ∴====≈≈-,故选：D ．7. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的单调性和对数运算法则计算即可.【详解】由题意得，3227311121log 9log 322233c ===⨯=；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10.90.5111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，由于0.510.73⎛⎫=⎪⎝⎭，所以10.73b ＜＜；因为0.9x y =在R 上单调递减，所以1130.90.90.9a ==.所以c b a <<.故选：D8. 已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3【答案】C 【解析】【分析】将()()1221211x f x x f x x x ->-变为()()2121110f x f x x x ++->，结合构造函数())1(),(0f x xg x x +=>，即可判断()g x 的单调性，由此将不等式()1f x x <-可化为()(3)g x g <，结合函数单调性，即可得答案.【详解】由题意知对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，不妨设12x x <，则210x x ->，由()()1221211x f x x f x x x ->-得()()12212110x f x x f x x x -->-，即()()21122121110f x f x x x x x x x ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦>-，结合21120,0x x x x ->>得()()2121110f x f x x x ++->，即()()212111f x f x x x ++>，设())1(),(0f x xg x x +=>，则该函数在()0,∞+上单调递增，且()3(3)113f g =+=，则()1f x x <-即()11f x x+<，即()(3)g x g <，故03x <<，即不等式()1f x x <-的解集为()0,3，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++>B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f gx 为偶函数>”是“x y >”的必要条件【答案】BC 【解析】【详解】根据含有一个量词命题的否定可判断A ；判断“0m <”和“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”之间的逻辑关系可判断B ；根据函数奇偶性定义判断C ；判断>”和“x y >”的推出关系可的判断D.【分析】对于A ，命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++≥，A 错误；对于B ，当0m <时，对于220x x m -+=有440m ∆=->，即方程有两个不等实根，设为12,x x ，则120x x m =<，即12,x x 一正一负；当220x x m -+=有一正一负根时，只需满足120x x <，即0m <，即“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，B 正确；对于C ，由题意知()h x 的定义域为R ，由()(),()()f x f x g x g x -=--=可得()()()(())()h x f g x f g x h x -=-==，即函数()()()=h x f g x 为偶函数，C 正确；对于D >0x y >≥，反之，当x y >，比如0x y >>故>”是“x y >”的充分条件，D 错误，故选：BC 10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A. 114ab ≥B. 122a b +≥C. 2≥D. 228a b +≥【答案】AD【解析】【分析】运用基本不等式和特殊值法判断各个选项即可.【详解】对于A 和C ，因为0a >，0b >，所以4a b +=≥2≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故04ab ≤＜，则114ab ≥，故A 正确，C 错误；对于B ，代入2a b ==，12131222a b +=+=＜，故B 错误；对于D ，()22282a b a b++≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，故D 正确.故选：AD11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2f f a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 2【答案】BCD【解析】【分析】判断函数()2e e 122023x x f x x -+=+的奇偶性以及单调性，则由)()2f f a <+可得||2|a <+，将各选项中的数代入验证，即可得答案.【详解】由题意知()2e e 122023x x f x x -+=+的定义域为R ，()2e e 1()22)0(23x x f x f x x -+-==+-，即()f x 为偶函数，又0x >时，e 1x >，令e ,(1)x t t =>，且e x t =在(0,)+∞上单调递增，函数1y t t=+(1,)+∞上单调递增，故e e 2x xy -+=在(0,)+∞上单调递增，则()2e e 122023x x f x x -+=+在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，故由)()2f f a <+得|||2|a <+，将各选项中的数代入验证，0，1，2适合，在故选：BCD12. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -【答案】BCD【解析】【分析】化简得到()()22f x f x +=，进而求得则()5.54f =，可判定A 错误；当12m =时，作出函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，结合图象，可判定B 正确；根据题意得出函数()f x 的值域对m 进行分类讨论，可判定C 正确；由()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数可判定D 正确.【详解】当2m =时，函数()()22f x f x =-可转化为()()22f x f x +=，则()()()()()5.5 3.522 3.521.524 1.5414f f f f =+==+==⨯=，所以A 错误；当12m =时，函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，如图所示，可得函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点，所以B 正确；对于C 中，依题意，max min ()()4f x f x -<，当[]0,2x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2；当1m >时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；若6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦， ；随着x 依次取值，值域将变成[0,)+∞，不符合题意，若1m <-时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]2,0m ；max min ()()224f x f x m -³->，不符合题意，所以C 正确；对于D ，当[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，当(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；当6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦……，当(24],22x n n ∈--时，函数()f x 的值域为20,2n m-⎡⎤⎣⎦，当(22,2]x n n ∈-时，函数()f x 的值域为10,2n m -⎡⎤⎣⎦当(2,22]x n n ∈+时，函数()f x 的值域为0,2n m ⎡⎤⎣⎦，若01m <<，12222n n m m m -<<<<，由图象可知，()y f x =的图象与直线12n y m -=在区间[]0,2，(2,4]，……，],(2242n n --上均有2个交点，在(22],2n n -上有一个交点，在(2,)n +∞上无交点，所以()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】本题解题关键是准确作出函数的图象，数形结合可得判断B ,D ，利用()()22f x f x +=迭代可判断A ，对于C ，分1m >和1m <-两种情况讨论可判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】72-## 3.5-【解析】【分析】根据题意，令19x =，准确运算，即可求解.【详解】由函数)311x f x ++=-，令19x =，可得13479()1)13219f f +=+==--.故答案为：72-.14 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．【答案】{}2-【解析】【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合B ，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式234(4)(1)0x x x x --=-+>，解得1x <-或>4x ，即{|1B x x =<-或4}x >，因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}2A B =-I .故答案为：{}2-.15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．【答案】8【解析】【分析】根据指对幂运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，391log 10log 1029019==，1413181⎛⎫ =⎝=⎪⎭，3130.02710-==，66663311l 1og 2log 2log 2log 1log 2log 63+=+=+=+，所以原式110101833=+-+=.故答案为：816. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1z s xyz+=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先代换1z +，结合基本不等式求解可得答案..【详解】因为222321x y z ++=，所以()()22232111z z x y z +=-=-+；易知1z <，所以221132z zx y +=-+；所以()221321xyz z z x y s xyz ++==-，由()114z z -≤，当且仅当12z =时取等号，可得()22432s y x y x +≥=≥，当且仅当228323x y ==，即x y ==时，取到最小值.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤；（2）12a <<.【解析】【分析】(1)化简集合A ，B ，再利用交集、并集的定义直接计算得解.(2)由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件可得集合B A ，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.【小问1详解】当a =1时，{}{}|(1)(30)|13A x x x x x -<=<-=<，{|()()}{|23}320B x x x x x =≤-≤≤=-，所以{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤.【小问2详解】因为a >0，则{}|3A x a x a =<<，由(1)知，{|23}B x x =≤≤，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，于是得B A ，则有233a a <⎧⎨>⎩，解得12a <<，所以实数a 的取值范围是12a <<.18. 已知函数()22(11)1x f x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）()f x 在(1,1)-上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【小问1详解】()f x 是奇函数，理由如下：函数()22(11)1x f x x x =-<<-，则定义域关于原点对称，因为()()221x f x f x x --==--，所以()f x 是奇函数；【小问2详解】任取1211x x -<<<，则22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----，因为1211x x -<<<，所以2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<，所以12())0(f x f x ->，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-的奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()02f =，函数()()2g x f x =-是奇函数，证明见解析（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求得()02f =，利用奇函数定义和已知条件即可证明函数()()2g x f x =-奇偶性；（2）根据条件得到函数()f x 单调性，再结合题中条件将原不等式化简，将恒成立问题转化为最值问题进而求解.【小问1详解】因为函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，所以令0y =，得到()()()20f x f x f =+-，所以()02f =；函数()()2g x f x =-定义域为(),-∞+∞，因为()()()()()()()422020g x g x f x f x f x f x f +-=+--=+---=-=⎡⎤⎣⎦，所以函数()()2g x f x =-奇函数【小问2详解】因为对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即()126f x f m x ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，即()()122f x f m f x ⎛⎫+--≥⎪⎝⎭，即()12f x m f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，所以12x m x +-≥，所以12m x x≤+-对(]0,4x ∈恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以min12220m x x ⎛⎫≤+-=-= ⎪⎝⎭，即实数m 的取值范围为(],0-∞20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R a a f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）(0,1){9} 是（2）-13【解析】【分析】（1）根据指数幂的含义以及对数函数的单调性分别求得a 的取值范围，综合可得答案；（2）由题意确定a 的值，化简()f x ，由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得919()9ln 322m =+-，再由911(9ln 222f m ⎛⎫-=-- -⎪⎝⎭，两式相加即可求得答案.【小问1详解】由123a ≤可得09a ≤≤，当01a <<时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,09a a ≤∴<≤，故01a <<；当1a >时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,9a a ≥∴≥，故9a ≥；综合可得实数a 的取值范围(0,1){9} ；【小问2详解】由题意知1a >，则9a =，则()()()99ln 19ln 12f x mx x x =++---，需满足11x -<<，则()919ln 21x f x mx x+=+--，故由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭得919(9ln 322m =+-，则9119ln 3222f m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1194,1322f f ⎛⎫⎛⎫-+=-∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）2t =时有最小值，最小值为5200kJ .【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()30,0130101,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060230,016012301016400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值()()min 16400kJ Q t Q ==；②疲劳阶段()48004001200(14)Q t t t t =++<≤，则有()480040012004005200kJ Q t t t =++≥+=，当且仅当48001200t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ .22. 已知函数()()9230x x m f x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．【答案】（1）(,2]-∞；（2）()()12f x f x <；（3）1.【解析】【分析】（1）把1m =代入，结合一元二次不等式及指数函数单调性求解不等式即得.（2）利用差值比较法，结合基本不等式判断出两者的大小关系.（3）利用换元法化简()g x 的解析式，对3m 进行分类讨论，结合二次函数的性质求得m 的值.【小问1详解】当1m =时，函数123()92)633(x x x x f x +=-⋅-=⋅，不等式()27f x ≤化为2(3)63270x x -⋅-≤，即(33)(39)0x x +-≤，解得39x ≤，则2x ≤，所以不等式()27f x ≤的解集为(,2]-∞.【小问2详解】依题意，()()112212923923x x m x x mf x f x ++-⋅⋅-=-+()()()12121233332333x x x x x x m =+--⋅-()()1212333323x x x x m =-+-⋅，由210x x >>，得12330x x -<，又212x x m =，则123323x x m +>=>==⋅，因此()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <.【小问3详解】令3x t =，0t >，则()()221323,9232mm x m x f x t t f x t t--=-⋅⋅-=-⋅=-⋅，于是()()()g x f x f x =+-2213232mmt t t t =-⋅⋅+-⋅2211()23(m t t t t =+-⋅⋅+211()23()2m t t t t =+-⋅⋅+-221(3)23m m t t=+---，而12t t+≥=，当且仅当1t t =，即1t =，0x =时取等号，当32m ≤，即3log 2m ≤时，则当12t t +=时，()y g x =取得最小值313443211,log 4m m -⋅-=-=，矛盾；当32m >，即3log 2m >时，则当13m t t+=时，()y g x =取得最小值22311m --=-，解得1m =，则1m =，所以m 的值是1.【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.。
广东深圳中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高一科目：数学考试用时：120分钟 卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B 铅笔. 参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以e(e 2.71828)= 为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{3P x x =∈≥N 或0}x ≤，{}2,4Q =，则()P Q =N （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】根据补集的定义和运算可得{}1,2P =N ，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，{}1,2P =N ，{}2,4Q =，所以(){}1,2,4P Q =N ，故选：D ．2.命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+”的否定是（ ）A.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+B.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∉+C.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∈+D.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∈+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+ ”的否定是“()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+.故选：A. 3.函数()f x =的定义域是（ ） A. (,1)(1,0)−∞−∪− B. [1,)−+∞ C. [1,0)− D. [1,0)(0,)−+∞【答案】D 【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】()f x =的定义域满足1020x x +≥ ≠ ，解得[1,0)(0,)x ∈−+∞ . 故选：D4. ()f x x 1x 2=−+−的值域是 A. ()0,∞+ B. [1,)+∞C. ()2,∞+D. [2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】对x 的范围分类，把(f x 的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解．【详解】()32,1121,1223,2x x f x x x x x x −≤=−+−=<< −≥，作出函数()f x 的图像如图所以()12f x x x =−+−的值域为[)1,+∞， 故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值知识，对x 的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决5. 已知幂函数的图象经过点()8,4P ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案. 【详解】设()af x x =，则328422a a =⇔=，所以32a =，所以23a =，所以()23f x x ==，因为2013<<， 因为函数()f x 在()0,∞+上递增，且增加的速度越来越缓慢， 故该幂函数在第一象限的大致图象是B 选项. 故选：B .6. 函数31()81ln 803x f x x -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎝⎭的零点位于区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．【详解】因为函数81ln y x =与31803x y − =−−在()0,∞+上均为增函数，所以()f x 在()0,∞+上为增函数．因为()281ln 2830f =−<，()381ln 3810f =−>， 所以函数()f x 的零点位于区间()2,3内． 故选：B7. 已知不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x −<<，则不等式220x bx a −+<的解集为（ ）A. 11,2 −B. 1,12−C. 1,12D. ()2,1−【答案】A 【解析】【分析】根据不等式解集，求得参数,a b ，再求不含参数的一元二次不等式即可.【详解】根据题意方程220ax bx ++=的两根为2,1−，则221,2b a a−+=−−=，解得1,1a b =−=−， 故220x bx a −+<，即2210x x +−<，()()2110x x −+<，解得11,2x ∈−. 即不等式220x bx a −+<的解集为11,2 −. 故选：A .8. 已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x g x f x −=，则(1)(1)f g =（ ） A. 22e 1e 1+− B. 22e 1e 1−+C. 221e 1e −+D. 221e 1e +−【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数与偶函数的性质即可代入1x =和=1x −求解.【详解】因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以由()()111e g f −−−−=有()()111e g f −+=， 又()()11e g f −=，所以()121e e g −=+，()121e ef −=−， 所以()()12121e e 1e 1e e 1e f g −−−−==++．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. ()1f x x =+与21()1x g x x −=−B. ()1f t t =−与()1g x x =−C. ()ln e x f x =与()g x =D. ln ()e x f x =与()g x =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}|1x x ≠，定义域不相同，不是同一函数，A 错误； 对于B ，函数()f x 与()g x 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；对于C ，函数()()f x x x =∈R ，函数()()g x x x =∈R ，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；对于D ，()()0f x x x =>，()g x x =，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D 错误． 故选：BC10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数1y x x=+的最小值为2 B. 若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”充要条件 C. 若a ，b ，m 为正实数，a b >，则a m ab m b+<+ D. “11a b>”是“a b <”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】【详解】根据基本不等式满足的前提条件即可判定A ，根据绝对值和平方的性质可判定B ，根据不等式的性质可判断CD.【分析】对于A ，当x 取负值时显然不成立，故A 错误， 对于B ，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可知a ，b 不同时为0， 由0a b +≠，可知a ，b 不同时为0，所以“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件，故B 正确；对于C ，()()()()()0b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +−+−+−==<+++，所以a m ab m b+<+，故C 正确， 对于D ，①若11a b>，则当0a >，0b >时，则0a b <<， 当0a <，0b <时，则0a b <<， 当a ，b 异号时，0a b >>．的②若a b <，则当a ，b 同号时，则11a b >， 当a ，b 异号时，0a b <<，则11a b<， 所以“11a b>”是“a b <”的既非充分也非必要条件，D 选项错误．故选：BC11. 下列命题正确的是（ ）A. 函数212log (23)y x x =−−在区间(1,)+∞上单调递减 B. 函数e 1e 1x xy −=+在R 上单调递增C. 函数lg y x =在区间(,0)−∞上单调递减D. 函数13xy =与3log y x =−的图像关于直线y x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】A 项，由复合函数的定义域可知错误；B 项分离常数转化为()21e 1x f x =−+，逐层分析单调性可得；C 项由偶函数对称性可知；D 项，两函数互为反函数可知图象关于直线y x =对称.【详解】对于A ，由2230x x −−>，解得1x <−，或3x >， 故函数定义域为(,1)(3,)−∞−∪+∞，由复合函数的单调性可知该函数的减区间为()3,+∞，故A 错； 对于B ，()21e 1x f x =−+， 由于e 1x y =+在x ∈R 单调递增，且e 10x +>， 所以1e 1x y =+在R 上单调递减，2e 1xy =−+在R 上单调递增， 因此()f x 在R 上单调递增，B 正确；对于C ，当0x >时，lg y x =（即lg y x =）在区间()0,∞+上单调递增， 又因为lg y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 所以在区间(),0∞−上单调递减，C 正确；对于D ，由于函数13xy =与13log y x =（即3log y x =−）互为反函数．所以两函数图象关于y x =对称，D 正确． 故选：BCD.12. 德国数学家狄里克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（ ） A. ()D x 的解析式为()R 1,,0,.x Q D x x Q ∈ = ∈B. ()D x 的值域为[]0,1C. ()D x 的图像关于直线1x =对称D. (())1D D x = 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故A 正确． 对于B ，由解析式得()D x 的值域为{}0,1，故B 错误；过于C ，若x 为有理数，则2x −为有理数，则()()21D x D x =−=；若x 为无理数，则2x −为无理数．则()()20D x D x =−=；所以()D x 的图像关于直线1x =对称，即C 正确；对于D ，当x 为有理数，可得()1D x =，则()()1D D x =，当x 为无理数，可得()0D x =，则()()1D D x =，所以()()1D D x =，所以D 正确． 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.110.752356416(4)−−−++++=________．【答案】414##1104【解析】【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：11111430.752364353355426416(4)[()](2)(2)22233−−−−+=+−+++⋅ 221141821033444=−+++==． 故答案：414. 14. 已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x −+=的两个实数根，则log log a b b a +=________． 【答案】52##2.5 【解析】【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得e a =，b =，代入运算求解即可.【详解】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x −+=的两个实数根， 由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=， 则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a ba b b a b a a ba ba ba b++−⋅++=+===−=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t −+=的根为1t =或12t =， 不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +==+=．故答案为：52.15. 已知0,0x y >>且2x y xy +=，则2x y +的最小值是__________． 【答案】8 【解析】【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.为【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号.所以2x y +的最小值为8. 故答案为：8.16. 记(12)(12)T x y =−−，其中221x y +=，则T 的取值范围是________．【答案】3,32 −+ ． 【解析】【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为213222T t =−− ，t ≤≤上的范围，由二次函数的性质即可求解.【详解】()124T x y xy =−++，设x y t +=，则212t xy −=， 所以221124212t T t t t −=−+⋅=−．因为22x y xy + ≤，所以22124t t −≤．所以t ≤≤又213222T t =−− ，所以当12t =时，T 有最小值32−，当t =T 有最大值3+．故答案为：3,32 −+ 四、解答题：本题共6小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}(,)|1Ax y y x ==−，{}2(,)|B x y y mx ax m ==++．（1）若1a =−，0m =，求A B ∩；（2）若1a =，且A B ∩≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）11,22A B=−（2）[]2,1−． 【解析】【分析】（1）联立两方程，求出交点坐标，得到交集；（2）联立后得到210mx m +++=，分0m =与0m ≠两种情况，，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 若1a =，0m =，则(){},|Bx y y x ==． 由1y x y x =−=− ，得1212x y= =− ． 所以11,22A B =−． 【小问2详解】由()211x y y mx x m −==+++消去y，得210mx m +++=①． 因为A B ∩≠∅，所以方程①有解．当0m =时，方程①可化为1=−，解得x =，所以1y ， 所以0m =符合要求．当0m ≠时，要使方程①有解，必须(()2Δ410m m =−+≥，即220m m +−≤，解得21m −≤≤， 所以21m −≤≤，且0m ≠． 综上所述，m 的取值范围是[]2,1−． 18. 设不等式2514x x −≤−的解集为A ，关于x 的不等式2(2)20x a x a −++≤的解集为B ． （1）求集合A ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,4（2）[)1,4．【解析】【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，转化为B A ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B ，进而求得a 取值范围.【小问1详解】 解：由不等式2514x x −≤−，可得2511044x x x x −−−=≤−−， 即()()140x x −−≤，且4x ≠，所以14x ≤<，所以[)1,4A =．【小问2详解】解：因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以集合B 是A 的真子集，由不等式()2220x a x a −++≤，可得()()20x x a −−≤， 当2a <时，不等式的解集为2a x ≤≤，即[],2B a =，因为B A ，则12a ≤<；当2a =时，不等式为2(2)0x −≤，解得2x =，即{}2B =；B A 成立；当2a >时，不等式的解集为2x a ≤≤，即[]2,B a =，因为B A ，则24a <<，综上所述14≤<a ，即a 的取值范围是[)1,4．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（1）请将函数()f x 的图象补充完整，并求出()()f x x ∈R 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0a 上的最大值．【答案】（1）作图见解析，()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，（2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解.【小问1详解】作出函数()f x 的图象，如图所示，当0x >时，0x −<，则()()22()22f x x x x x −=−+−=−， 因为()f x 为奇函数，所以()()22f x f x x x =−−=−+， 所以()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>． 【小问2详解】易如()()200f f −==，当2a <−时，()f x 在x a =处有最大值()22f a a a =+； 当20a −≤<时，()f x 在0x =处有最大值()00f =.20. 为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用h (万元)与的隔热层厚度(cm)x 满足关系式：()()3232020h x x x k=−≤≤+．当隔热层厚度为1cm 时，每年节省费用为16万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g (万元)与隔热层厚度(cm)x 满足关系：()2g x x =．（1）求k 的值；（2）在建造厚度为(cm)x 的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为()()()=−f x h x g x ，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值.【答案】（1）1k =（2）18万元．【解析】【分析】（1）根据()116h =求解出k 值即可；（2）根据条件先表示出()f x ，然后利用基本不等式求解出最大值，注意取等条件.【小问1详解】由题知()116h =，所以3232161k −=+， 解得1k =；【小问2详解】由（1）知，()()32320201h x x x =−≤≤+， 所以()()323220201f x x x x =−−≤≤+， 所以()()()323232212342111f x x x x x −−++=−++= ++， 因为()3221161x x ++≥=+，当且仅当()32211x x =++，即3x =时取等号， 所以()341618f x ≤−=， 所以每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值为18万元．21. 已知23()21x x a f x −−=+， （1）若定义在R 上的函数()ln ()g x f x =是奇函数，求a 的值；（2）若函数()()h x f x a =+在(1,)−+∞上有两个零点，求a 的取值范围．的【答案】（1）13− （2）41,3【解析】【分析】（1）根据题意，结合()()0g x g x −+=，得出方程，进而求得实数a 的值； （2）令()0h x =，得到()23210x x a a −−++=，得到()222210x x a a −⋅+=，令2x t =，转化方程可化为2210at at −+=1,2 +∞上有两个不相等的根， 方法一：设()221p t at at =−+，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；方法二：把方程化为()211a t a −−=，求得1t =±，结合11,2 +∞，即可求解. 【小问1详解】 解：因为()g x 是奇函数，所以()()2323ln ln 02121x x x x a a g x g x −−−−−+=+=++， 可得232312121x x x x a a −−−−⋅=++，即()()2312291x x a a −++=−恒成立， 因为220x x −+≠，所以310a +=且2910a −=，所以13a =−． 【小问2详解】 解：由232()()1x x h a x f a a x −=+−=++，令()0h x =，可得23021x x a a −−+=+， 所以()23210x x a a −−++=， 两边同乘以2x 并整理，得()222210x x a a −⋅+=． 令2x t =，因为1x >−，所以12t >， 于是方程可化为2210at at −+=，（*） 问题转化为关于t 的方程（*）在1,2 +∞上有两个不相等的根，显然0a ≠， 方法一：设()221p t at at =−+，抛物线的对称轴为1t =，()01p =．若a<0，由()00p >知，()p t 必有一个零点为负数，不合题意； 若0a >，要使()p t 在1,2 +∞ 上有两个零点，由于对数轴112t =>， 故只需2102Δ440p a a > =−> ，即31044(1)0a a a −> −> ，解得413a <<． 综上可得，实数a 的取值范围是41,3． 方法二：方程（*）可化为()211a t a −=−，若0a =，则01=−，矛盾，故0a ≠，故()211a t a −−=， 所以10a a−>，即a<0或1a >，①此时，1t −=，即1t =±，其中11,2 +∞ ，则112−>12<，即114a a −<，可得340a a −<，解得403a << ② 由①②得a 的取值范围是41,3． 22. 定义在R 上函数()f x 满足如下条件：①()()()4f x y f x f y +=+−；②(2)6f =；③当0x >时，()4f x >．（1）求(0)f ，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()()ln 3e 122ln 310x f a f x a −++−−≤ 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()04f =，函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析 （2）[]1,3【解析】的【分析】（1）令2,0x y ==，求得()04f =，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数()f x 在R 上为增函数；（2）根据题意，转化为不等式()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立，由对数函数的性质，求得03a <≤，再由不等式()23e 3e 10x x a a +−−≥成立，转化为max 1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，求得1a ≥，即可求得实数a 的取值范围．【小问1详解】解：令2x =，0y =，可得()04f =．函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：设12x x <，因为()()()4f x y f x f y +−=−，令1x y x +=，2x x =，则21y x x =−，可得()()()21214f x f x f x x −=−−， 因为210x x −>，所以()214f x x −>，所以()2140f x x −−>， 所以()()210f x f x −>，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R【小问2详解】解：由条件有()()()4f x f y f x y +=++，则不等式可化为()()ln 3e 122ln 3410x f a x a −++−−+≤ ，即()()ln 3e 122ln 36x f a x a −++−−≤ ， 又由()26f =，所以()()()ln 3e 122ln 32xf a x a f −++−−≤ ， 因为函数()f x 在R 上为增函数，可得()ln 3e 122ln 32x a x a −++−−≤即()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立， 根据对数函数的性质，可得()3e 10x a −+>，30a >对于任意[)0,x ∈+∞成立，则13e 0x a a <+ >，因为0x ≥，则e 1x ≥，所以101e x <≤， 可得1334ex <+≤，所以03a <≤ ①， 又由（*）式可化为()()2ln 3e 12ln 3ln 3e x x a x a a −+≤+= ， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()23e 13e x xa a −+≤成立，即()23e 3e 10x x a a +−−≥成立， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()()3e 1e 10x x a +−≥成立， 因为3e 10x +>，所以e 10x a −≥对于任意[)0,x ∈+∞成立， 即max1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，所以1a ≥ ②． 由①②，可得13a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,3．。
高一年级第一学期期中考试数学试卷及其参考答案
高一年级第一学期期中考试数学试卷（基础模块第一章、第二章）一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列表示正确的是（）．A.{ 0 }＝∅B.｛全体实数｝＝ＲＣ.{ a }∈{ａ,ｂ,c } D.{ x∈R∣x2+1＝0 }＝∅2.已知全集U={ 0,1,2,3,4,5}，集合A={1,2,5}，B={2,3,4}，则（U C A）B＝（）．A.{2}B.{0,2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,3,4,5}3.已知A={ (x,y) | 2x-y=0 }，B={ (x,y) | 3x+2y=7 }，则A B＝（）．A.{(2,1)}B.{1,2}C.{(1,2)}D.{x=1,y=2}4．设A={ x | 0< x < 1 }，B={ x | x < a } ，若A⊆B，则a的取值范围是（）．A.[1,＋∞) B.(－∞,0]C.[0,＋∞)D.(－∞,1]5.已知集合A={ x | x2＋14= 0 }，若A∩R =∅，则实数ｍ的取值范围是（）．A.m<1B.m≥1C.0<m<1D.0≤m<16.“A⊆B”是“A B＝A”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.不等式21-+xx≤0的解集为（）．A.{ x | x≥2}B.{ x | x≥2或x<－1 }C.{ x|－1<x≤2 }D.{x| x≥2或x≤－1 }8.已知a<b<0，c>0，那么（）．A.a2<b2B.a b<1C.ca<cb D.ca>cb9.绝对值不等式| 2x－3 |<5的解集是（）．A.{ x | x<－1或x>4 }B.{ x |－1<x<4 }C.{ x | x<－1 }D.{ x | x>4 }10.与不等式－x2－2x＋3>0同解的不等式(组)是（）．A. x2＋2x－3>0B. (x＋3)(x－1)<0C.x+3>0x-1D.x+3<0x-1>0⎧⎨⎩a 、b 、c 的大小顺序是（ ）． A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b12.若实数0<a <1，则)0>1(a-x)(x-a的解集为（ ）． A.{ x |1<x<a a } B.{ x | 1<<a x a} C.{ x | 1< >x a 或x a } D.{ x | 1<a >x 或x a}二、填空题（每小题4分，共16分）13.设全集U={ 1,2,3,4,5 },A={ 2,5 }，则U C A 的所有子集的个数为 _________． 14.符合条件｛ａ｝⊆Ｍ ｛ａ，ｃ，ｄ｝的集合Ｍ的个数是 _________．15.设ａ，ｂ为实数，则“ａ2＝ｂ2”是“ａ＝ｂ”的 _________条件．(填充分或必要)16.不等式2+2m x x+n>0的解集是(11,32-)，则不等式2-nx +2x-m >0的解集是 _________．三、解答题（共74分，解答应写出文字说明及演算步骤） 17.已知U={ x |－2<x<7 ,x ∈N }，A={ 1,2,4 }，B={ 2,3,5}．求: ⑴ A U B ；⑵ A B ；⑶ B C C U U A；⑷ B C C U U A ．(12分)18.若集合A={ x | mx 2＋2x －1 = 0 , m ∈R , x ∈R }中有且仅有一个元素，那么m 的值是多少？(12分)19.设集合A={ x | x 2－3x ＋2 = 0 }，B = { x | x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0 }，若A B = { 2 }，求实数ａ的值．(12分) 20.解不等式x+23-x≤1．(12分) 21.设全集为R ，A={ x | |x-1|<3 }，B={ x | x 2－x －2≥0 },求A B ，A U B ，A CB ．(12分)22.已知集合A={ x | x 2－x －12 ≤0 }，集合B={ x | m －1≤x ≤2m ＋3 }，若A U B=A ，求实数m 的取值范围．(14分)高一年级第一学期期中考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，共16分）13、 8 14、 3 15、 必要 16、 （－2,3）三、解答题：（22题14分，17~21题每题12分，共计74分）17.解：U={ 0,1,2,3,4,5,6 }. ⑴A U B={1,2,3,4,5}.⑵A B={2}.⑶B C C U U A ={ 0,3,5,6 }U { 0,1,4,6 }={ 0,1,3,4,5,6, }. ⑷ B C C U U A={ 0,3,5,6 } { 0,1,4,6 }={ 0,6 }.18. 解：当m=0时, A=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,符合题意.当m ≠0时,要使集合A 中有且仅有一个元素,必须 方程mx 2＋2x －1 = 0有两个相等实数根, ∴ 2∆=2+4m =0, 即m=－1,综上所述,m=0或m=－1. 19. 解：A={ 1,2 }∵ A B={ 2 }, ∴ 2 B, ∴ 2是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0的根,把x=2代入此方程得2a +4a+3=0, ∴ a=-1或a=-3, 当a=-1时,B={ -2,2 }, A B={ 2 },符合题意. 当a=-3时,B={ 2 }, A B={ 2 },符合题意. 综上所述,a 的值为-1或3. 20. 解：原不等式⇔x+2-13-x ≤0⇔x+2-(3-x)3-x ≤0⇔2x-13-x≤0 ⇔2x-1x-3≥00≠⎧⇔⎨⎩x-3(2x-1)(x-3)≥012⇔x ≤或x>3, ∴ 解集为12{x |x ≤或x>3}. 21. 解：解|x-1|<3得-2<x<4, 故A=(-2,4).解x 2－x －2≥0得x ≤－1或x ≥2, 故B=(-∞,-1]∪[2,+∞).∴ A B=(-2,-1]∪[2,4),A U B=R,A C B=(-2,4) (-1,2)=(-1,2).22.解: 解x2－x－12 ≤0得－3≤x≤4, 故A=[-3,4],由A U B=A，知B A，∴⎧⎪⎨⎪⎩m-1≤2m+3,m-1≥-3,2m+3≤4,即12⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩m≥-4,m≥-2,m≤,∴ -2≤m≤12.。
河南省郑州市第一中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题
郑州一中2022～2023学年上学期期中考试高一（数学）试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分。
2．考试时间：120分钟。
3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合，，则（ ）A ．B ． C ．D ．2．已知非空数集A ，B ，命题p ：对于，都有，则p 的否定是（ ）A ．对于，都有B ．对于，都有C ．，使得D ．，使得3．函数f (x )＝2x ＋13－x－(x ＋3)0的定义域是（ ）A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) B. (－∞，－3)∪(－3，3)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，3)4.祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如果在等高处的截面积相等，则体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A ，B 的体积相等，q ：A ，B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A.充分必要条件 B ．充分不必要条件C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5.关于的不等式的解集为，则关于的不等式 的解集为 （ ）A ．B ．C ．D ．6.定义在上的偶函数满足：对任意的，有{}0,1,2,3,4,5A ={}15B x x =∈-<<N A B = {}2,3,4{}1,2,3,4{}0,1,2,3,4{}0,1,2,3,4,5x A ∀∈x B ∈x A ∀∈x B ∉x A ∀∉x B ∉0x A ∃∈0x B ∈0x A ∃∈0x B∉x 220ax bx ++>(1,2)-x 220bx ax -->(2,1)-(,2)(1,)-∞-+∞ (,1)(2,)-∞-+∞ (1,2)-R ()f x [)()12120,,x x x x ∈+∞≠，则，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．7.函数的图象大致为（ ）A ． B ． C ． D ．8．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．610C ．12D ．1210二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)．9．下列叙述正确的是( )A.若P ＝{(1，2)}，则B.{x |x >1}⊆{y |y ≥1}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}，则M ＝ND.{2，4}有3个非空子集10．若 则( )A ．B ．C ．D．11．若，则下列关系正确的是( )A ．B ．CD ．12．已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是()()21210f x f x x x -<-()2f -()2.7f()3f -()()()2.732f f f <-<-()()()2 2.73f f f -<<-()()()32 2.7f f f -<-<()()()3 2.72f f f -<<-()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c ，，S S =1=)2p a b c ++（146a b c +==，P ∅∈0a b >>22ac bc >a c b c ->-22a b>11a b <4455x y x y ---<-x y <33y x -->>133y x-⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x ()g x R ()f x ()g x偶函数，且，则下列说法正确的是( )A ．为偶函数B ．C ．为定值D ．第Ⅱ卷 （ 非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分．）13．已知集合A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{a 2，1}，若B ⊆A，则实数a 的值是 ．14．若,则的取值范围是 ．15．已知函数(且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是________．16．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x 的最大整数.例如：，.已知函数，，若，则________；不等式的解集为________．四、解答题（本题共6小题，17题10分其它题均为12分，共70分．） 17．（本小题10分）（1）求值：；（2）已知，求值：.18．（本小题12分）设集合，集合．(1)若，求和(2)设命题，命题，若是成立的必要条件，求实数的取值范围．19．（本小题12分）在①，②这两个条件中任选一个，补()()2x f x g x +=()()f g x ()00g =()()22g x f x -()()2,02,0x x x f x g x x -⎧≥+=⎨<⎩33(1)(32)a a +<-a y =0a >1a ≠[1,2]a []y x =[]x [ 2.1]3-=-[3.1]3=()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈5()2f x =x =()f x x ≤()31211203320.2521624------⨯⨯+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11223(0)a a a -+=>22111a a a a --++++{|13}A x x =-<<{|22}B x a x a =-<<+2a =A B A B:p x A ∈:q x B ∈p q a []2,2x ∀∈-[]1,3x ∃∈充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)若______，，求实数a 的取值范围．20.（本小题12分）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，设月产量为台，当不超过400台时总收入为元，当超过400台时总收入为80000元.(1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）21．（本小题12分）已知不等式的解集为.(1)求的值，(2)若，，，求的最大值.22．（本小题12分）已知函数，．(1)证明：函数在上单调递增；(2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围．0m n <<()24f x x ax =++2a =-()f x []22-,()0f x ≥x x 214002x x -x P x 5111133x +≤≤（（）[],a b a b ，0m >0n >0bm n a ++=mn m n+()2211a f x a a x+=-0a >()f x ()0,+∞,m n ()f x [,]m n a。
人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析全文
人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。
1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。
高一数学期中考试试题及答案
1.已知全集 U={0, 1 , 2, 3, 4},2.设集合M x 0 x 2 , N高一数学期中考试试题第I 卷选择题（共60 分）、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） M={0 , 1, 2} , N={2 , 3}，则(C u M )n N =A • 2,3,4B • 2C • 3D •0,1,2,3,4y 0 y 2 ,给出如下四个图形，其中能表示从集合 M 到集合N 的A.[ 4, )B. [0,5]C. [ 4,5] 25. 3log342733lg0.01 lneA. 14B. 0C. 1 6.在映射f : AB 中，A B{(x,y)|x, y 在集合B 中的像为A. ( 1, 3)B. (1,3)C. (3,1)D. [ 4,0]D. 6R}，且 f : (x, y) (x y, x y)，则 A 中的元素(1,2)D. ( 3,1)7.三个数a 0.312, b log 20.31 , c 2。
31之间的大小关系为函数关系的是3.设 f x 3x 3x 8，用二分法求方程 3x 3x 8 1,2内近似解的过程中得 f 1 0, f 1.5 0, f 1.25 0 ,则方程的根落在区间 A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C.(1.5,2) D. 不能确定 4.二次函数f （x ） x 24x (x [0,5])的值域为12.若函数f (x)为定义在R 上的奇函数，且在(0,)内是增函数，又f(2) 0,则不等式xf(x) 0的解集为-A . ( 2,0) U(2,)B. ( , 2)U(0,2) 一已知函数y f (x)在R 上为奇 函数，且当 x 0时， f(x) x 22x ，贝析式为A . f(x) x(x 2)B .f(x) x(x 2) C. f(x) x(x 2)D.f(x)x(x 2)函数y a x 与ylog a x(a 0,且a 1)在同一坐标系中的图像只可能是8. x 0时，函数f(x)的解10.设 log a 2 2 0，则9. A. 0 B. D.11.函数 f(x) 4x 5在区间［0, m ］上的最大值为5, 最小值为1，则实数m 的取值范围是A.[2,B.[2,4] C. [0,4] D.(2,4] C. ( , 2)U(2,) D. ( 2,0) (0,2)13.函数 f(X )2x 3 (x Xz2(x 2)，则f ［f( 3)］的值为2)x 0在区间 a, b 上高一数学期中考试答题卷、选择题：(本大题小共12题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四 第II 卷非选择题(共90分)、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16 分)14.计算： log 4 3 log 9 815. 二次函数y kx 24x 8在区间［5,20］上是减少的，则实数 k 的取值范围为 _____________________ 16. 给出下列四个命题：① 函数y |x|与函数y c x)2表示同一个函数；② 奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；2 2③ 函数y 3(x 1)的图像可由y 3x 的图像向右平移1个单位得到； ④若函数f (x)的定义域为［0,2］，则函数f(2x)的定义域为［0,4］； ⑤设函数f x 是在区间a,b 上图像连续的函数，且 f a f b 0 ,则方程 至少有一实根；个选项中，只有一项是符合题目要求的)其中正确命题的序号是________________ •(填上所有正确命题的序号)已知函数f(x) 2x1 2x 1 .三、解答题：(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分12分)已知全集U R，集合A XX 4,或x 1，B x 3 x 1 2，(1)求AB、(C U A) (QB)；(2)若集合M x2k 1 x 2k 1是集合A的子集，求实数k的取值范围.18. (本题满分12分)⑴判断函数f(x)的奇偶性，并证明;⑵利用函数单调性的定义证明： f (x)是其定义域上的增函数19. (本题满分12分)已知二次函数f(x) x2 2ax 1 a在区间0,1上有最大值2，求实数a的值20. (本题满分12分)函数f (x) log a(3 ax)(a 0,a 1)(1)当a 2时，求函数f (x)的定义域;(2)是否存在实数a，使函数f (x)在［1,2］递减，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由21. (本题满分13分)广州亚运会纪念章委托某专营店销售，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向广州亚组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售 400枚，而每增加一元则减少销售 100 枚，现设每枚纪念章的销售价格为X元.(1) 写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x(元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2) 当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出最大值.22. (本题满分13分)设f(X)是定义在R上的奇函数，且对任意 a、b R，当a b 0时，都有丄® 理0. a b(1)若a b，试比较f (a)与f (b)的大小关系；(2)若f(9X2 3X) f (2 9X k) 0对任意x [0,)恒成立，求实数k的取值范围题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDBCBDCAABBD• 2分 • 4分6分 10分12分 • 1分x 1 x 22x1参考答案131 13.15・(,0)(0, ] 16.8 410三、解答题： 17.(1)B x 3 x 1 2 x 2 x 3ABx1x 3 ,(C U A) (C U B) xx1,或x 3(2)由题意：2k 11 或 2k 14 ,5解得：k 1或k 5.218.(1) f (x)为奇函数.2x2， 2x1 2x20,又 2x11 0,2x210，又 f( x)2 %1 1 2x2X1 f (x)2 x 1 1 2x2X 1f (x)为奇 :函数(2) f(x) 1 22x 1任取 x 1、 x 2 R , 设x 1 X 2 ,2x 1 0, f (x)的定义域为R ， 2f(xj f(X 2)(1 J J(1 X 21)2(11)2(2x1 2x2) 0 1)(2x21)f(xj f(X 2)0， f(xjf(X 2).f (x)在其定义域R 上是增函数12分、选择题: 、填空题:③⑤19.函数f (x)的对称轴为：x a ,当a 0时，f(x)在［0,1］上递减, f (0) 2，即1 a 2, a 1 ；当0 a 1时，f(x)在［0,a ］递增，在［a,1］上递减, 与0 a 1矛盾；综上：a 1或a 2 20. ( 1 )由题意：f(x) log 2(3 2x)， 3 2x f (a)2，即 a 2a 12，解得：a12分0，即 卩 x所以函数f(x)的定义域为( (2)令 u 3 ax ，则 u 3 ax 在［1,2］上恒正, a 0, a 3 a 2 0，即卩 a (0,1) (%)又函数f(x)在［1,2］递减， u 3 ax 在［1,2］上单调递减, 1，即 又 函数f (x)在［1,2］的最大值为 1， f(1) 即 f (1) log a (3 a 1) 1，3 ax 在［1,2］上单调递减,a d,|)11分 3 3 a 2与a (1,2)矛盾，12分依题意y[2000 400(20 x)](x 7), 7 x 20, x N [2000 100(x 20)](x 7), 20 x 40, x N400[(x 2佝281],7 x20, x Ny47 21089100[(x 2)4 ], 20 x 40, x N定义域为x N 7 x 40400[(x 16)2 81], 7 x 20, x Na 不存在. ⑵•- y 2 100[(x 21. (1) •••当 0 当20 综上：当x 16时, x 20时，则x ^089], 20 x 40,x N ' 4 16 , Y max 32400 (元)47 2 ， Y max该特许专营店获得的利润最大为 x 40时，则x 27225 (元) 32400 元. 10分13分22. (1)因为a b ，所以a b 0 ,由题意得： ―0，所以 f(a) f( b) 0 , a b又f (x)是定义在R 上的奇函数,f (9x 2 3x ) f (2 9x k) 0对任意x[0, )恒成立，f (9x 2 3x )f (2 9x k) ，即 f(9x 2 3x)f(k 2 9x ),.....9分9x 2 3xk 2 9x,k x3 92 3 x对任意 x [0,)恒成立，即k 小于函数u 3 9X2 3X,x [0,)的最小值...... 11分xxx21 2 1令 t 3x，则 t [1,) u 3 9x 2 3x 3t 22t 3(t- 1, 3 3k 1..... 13 分。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2 + 5C. y = 1/xD. y = -4x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B等于（）A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}3. 若sinα=0.6，则cosα的值是（）A. 0.8B. -0.8C. -0.4D. 0.44. 函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|的最小值是（）A. 5B. 2C. 1D. 45. 不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 3]C. [1, 3]D. (-∞, 1] ∪ [3, +∞)6. 已知数列1, 3, 5, 7, ...，其第n项an等于（）A. 2n - 1B. 2n + 1C. 2nD. n + 17. 若a + b + c = 0，则a^2 + b^2 + c^2 =（）A. 0B. 2abC. 2bcD. 2ac8. 函数y = x^3 - 6x^2 + 12x - 4的极大值点是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 49. 已知tanθ = 2，求sin^2θ + cos^2θ的值是（）A. 1B. 5C. 3D. 410. 下列哪个选项是二元一次方程（）A. x^2 + y = 7B. 3x + 2y = 10C. x^2 - y = 0D. 2x/3 + y/4 = 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列的首项是5，公差是3，则其第10项是_________。
12. 若函数f(x) = x^2 - 2x在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) = ________。
13. 已知三角形ABC中，∠A = 90°，a = 3，b = 4，则c=_________。
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潮阳实验学校高中部2011-2012学年度第一学期期中考试高一数学试题卷说明：1．本试卷共有三个大题，20个小题；满分150分；时间120分钟．2．把所有的答案都写在答题卡或答题卷上，否则不得分． 一．选择题：（每小题5分，共50分）1．下列关系式正确的是——————————————————————————————（ ）AQ B ．{}{}x x x 222== C ．{}{}a b b a ,,= D ．{}2006∅∈2．下列各组函数中，表示同一函数的是———————————————————————（ ）A ．0,1x y y == B ．11,12+-=-=x x y x yC ．33,x y x y ==D ．()2,x y x y ==3．函数21)(--=x x x f 的定义域为—————————————————————————-（ ） A ．[1，2) (2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，2) D ．[1，＋∞)4．已知集合A R +=，集合B R =，:21f x x →-是从集合A 到集合B 的一个映射，则A 中的元素3在B 中对应的元素为———————————————————————————--（ ） A ．1 B ．3 C ． 5 D ．75．函数2,02,0x x x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≥=< 的图像为————————————————————————--（ ）6．函数)23(log )(231+-=x x x f 的单调递增区间为————————————————--（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，+∞）C ．（－∞，23） D ．（23，+∞） 7．已知偶函数)(x f y =有四个零点，则方程0)(=x f 的所有实数根之和为——————-（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 8．在给出的四个函数x y y x y x y x 33log ,3,,3====中，当),3(∞+∈x 时，其中增长速度最快 的函数是——————————————————————————————————-（ ）A ．x y 3=B ．x y 3=C ． 3x y = D ．x y 3log =9．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点()()()()11,1,1,2,2,1,2,2,2,2M N P Q G ⎛⎫⎪⎝⎭中，可以是“好点”的个数为———--（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是—---（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．1[,1)7D ． 11[,)73二．填空题：（每小题5分，共20分） 11．若幂函数()f x 的图象过点⎪⎭⎫⎝⎛21,2，则()9f = 12．函数21x y -=在[2，6]上的最大值为 （2分），最小值为 （3分） 13．用二分法求方程350x x --=在区间[]1,2内的实根，取区间()1,2的中点1.5，那么下一个有根区间是14．若函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+(,)x y R ∈，给出下列四个结论： ①(0)0f =； ②(3)3(1)f f =； ③11()(1)22f f =； ④()()0f x f x -⋅<。
其中正确的结论是 三．解答题：（共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（12分）不用计算器求下列各式的值：（1）()2320215.1833)6.9(412--+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛； （2）7log 23log lg25lg473+++． 16．（12分）已知集合{}|24A x x =≤<，{}|3782B x x x =-≥-，{}|M x x a =≥． （1）求A B C R )(；（2）若(A B )⊆M ，求实数a 的取值范围．17．（14分）已知函数()ln(2),()ln(2)f x x g x x =+=-．（1）求函数y ＝()()f x g x -的定义域； （2）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值范围．18．（14分）已知定义在R 上的函数1()21x f x a =-+是奇函数，其中a 为实数． （1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的值域；（3）证明：函数)(x f 在(,)-∞+∞上是增函数．19．（14分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商定购，决定当一次定购量超过100件时，每多定购一件，定购的超过部分服装单价就降低0.02元． 根据市场调查，销售商一次定购量不会超过500件． （Ⅰ）设一次定购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数)(x f P =的表达式； （Ⅱ）当销售商一次定购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂价格－成本）20．（14分）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =，对于任意x ∈R 都有()f x x ≥，且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()()()10g x f x x λλ=-->．（1）求函数()f x 的表达式；（2）求函数()g x 的单调区间；（3）探究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数．高一数学参考答案一．选择题： 1~5：CCACB 6~10：ADBCD二．填空题：11．9112． 2（2分）； 0.4（3分） 13．()1.5,2 14．① ② ③三．解答题：15．解（1）原式＝23221)23()827(1)49(--+-- =2323212)23()23(1)23(-⨯-⨯+--=22)23()23(123--+--=21……………………6分（2）原式＝2)425lg(33log 433+⨯+＝210lg 3log 2413++-＝4152241=++- ……………………6分16．解：（1）∵{}|3782B x x x =-≥-＝{}|3x x ≥-------------------------------------2分∴ }3|{<=x x B C R ------------------------------------------------------------------4分 ∴ }32|{)(<≤=x x A B C R ----------------------------------------------------6分 (2) ∵ {}|24A x x =≤<，B ={}|3x x ≥∴ A B ＝{}|2x x ≥ ---------------------------------------------------------------9分 若（A B ）⊆M ，则实数a 的取值范围是(],2-∞．------------------------12分17．解：（1）函数y=()()f x g x -＝ln(2)ln(2)x x +--由2020x x +>⎧⎨->⎩ 知22x -<< ------------------------------------------------------4分∴ 函数y=()()f x g x -的定义域为(2,2)- --------------------------------------- 6分 （1） 由 ()()f x g x ≥ 得ln(2)ln(2)x x +≥- ---------------------------------------------------------------8分∴ 202022x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+≥-⎩解得 02x ≤< ----------------------------------------12分∴使()()f x g x ≥成立的x 的取值范围是 [)0,2 -------------------------------- 14分 18．解：(1) ()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-,即112121x xa a --=-+++, 解得: 1.2a =11().221x f x ∴=-+ …………………………4分 （2）由(1)知11()221x f x =-+, 211x+> , 10121x∴<<+, 11110,()2122x f x ∴-<-<∴-<<+所以()f x 的值域为11(,).22- ……………………………………8分(3) ()f x 的定义域为R, 设12x x <,则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++＝121222(12)(12)x x x x -++,12x x < , 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>, 12()()0,f x f x ∴-< 即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上为增函数. …………………14分19．解：（Ⅰ）由题意可知：60(0()*600.02(100)(100)x P f x x N x x <⎧==∈⎨--<⎩≤100)≤500………………………6分60(0()*620.02(100)x f x x N x x <⎧∴=∈⎨-<⎩ ≤100)≤500…………………………7分（Ⅱ）∵x ＝450，∴⎩⎨⎧∈≤<=⨯-∈≤<=*),450100(5345002.062*),1000(60N x x N x x p∴100×(60－40)＋350×(53－40)＝6550 (元)…………………………………13分答：（Ⅰ）函数60(0()*620.02(100)x P f x x N x x <⎧==∈⎨-<⎩≤100)≤500；（Ⅱ）当销售商一次定购了450件服装时，该服装厂获得利润为6550元．………14分20．(1) 解：∵()00f =，∴0c =. ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立，∴0a >,且∆()210b =-≤．∵()210b -≥，∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+．……………… 4分(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减。