高一数学各章节必修综合训练解析卷[编辑15页]
高中数学(必修1)-各章节测试题全套含答案
（数学1必修）第一章（上） 集合[基础训练A 组]一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CBC U I UB ．()()A B AC U I U C ．()()A B B C U I UD ．()A B C U I4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个二、填空题1．用符号“∈”或“∉”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N（2）1______,_______,______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） （3{}|,,x x a a Q b Q =∈∈2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =I ，则C 的非空子集的个数为 。
3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =U _____________．A B C4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 。
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范文模范参照高一数学综合检测题〔1〕一、选择题：5 分，共60 分，请将所选答案填在括号内〕〔每题1．会集 M{4,7,8},且 M中至多有一个偶数, 那么这样的会集共有()(A)3个(B) 4个(C) 5个(D) 6个2． S={x|x=2n,n∈ Z}, T={x|x=4k± 1,k ∈ Z}, 那么〔〕(A)S T(B) T S(C)S≠T(D)S=T3．会集 P= y | y x22,x R， Q=y| y x 2,x R ，那么PI Q 等〔〕(A) 〔 0， 2〕，〔 1， 1〕(B){〔 0，2〕，〔 1， 1〕 } (C){1， 2}(D)y | y24．不等式ax2ax40 的解集为，那么a 的取值范围是〔〕R(A)16 a 0(B)a16(C)16 a0(D) a 05. f ( x) =x5( x6)，那么 f(3)的值为〔〕f (x4)( x6)(A)2(B)5(C)4( D)36. 函数y x24x3, x[0,3]的值域为〔〕(A)[0,3](B)[-1,0](C)[-1,3](D)[0,2]7．函数 y=(2k+1)x+b 在 (- ∞,+ ∞ ) 上是减函数，那么〔〕(A)k> 1(B)k<1(C)k>1(D).k<1 22228. 假设函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间 ( ,4]内递减，那么实数 a 的取值范围为〔〕(A)a≤ -3(B)a≥ -3(C)a≤ 5(D)a≥39．函数y(2 a23a 2) a x是指数函数，那么 a 的取值范围是(A) a 0, a1(B) a 1(C)a a 1或 a1212〔〕( D)10．函数 f(x)4 a x 1的图象恒过定点p，那么点 p 的坐标是〔〕〔A〕〔 1 ，5 〕〔B〕〔 1, 4 〕〔C〕〔 0 ，4〕〔 D〕〔 4 ，0〕11.函数 y log 1 (3 x2)的定义域是〔〕2〔A〕 [1,+](B) (32 ,)(C) [32 ,1](D)(32 ,1]12.设a,b,c都是正数，且3a4b6c，那么下列正确的是〔〕(A)111(B)221(C)122(D)212 c a b C a b C a b c a b二、填空题：〔每题 4 分，共 16 分，答案填在横线上〕13．〔 x,y 〕在照射f下的象是(x-y,x+y)，那么(3,5)在f下的象是，原象是。
高一数学必修一全章节练习题(附答案解析)
第一章 集合与函数的概念1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数 解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意； 二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢． 2．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：x 1 2 3 … y 1 3 8 …则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者． 其中正确信息的序号是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①②解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确．4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x2时面积最大，此时x ＝________，面积S ＝________.解析：依题意得：S ＝(4＋x )(3－x 2)＝－12x 2＋x ＋12＝－12(x －1)2＋1212，∴当x ＝1时，S max ＝1212.答案：1 12121x 1 2 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11( )A ．指数函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩 解析：选C.y ＝10000×(1＋20%)3＝17280.3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )A ．增加7.84%B ．减少7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减 解析：选B.设该商品原价为a ，四年后价格为a (1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a . 所以(1－0.9216)a ＝0.0784a ＝7.84%a ， 即比原来减少了7.84%.4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2000)B ．y ＝0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2000)D ．y ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)解析：选D.由题意知，变速车存车数为(2000－x )辆次， 则总收入y ＝0.5x ＋(2000－x )×0.8＝0.5x ＋1600－0.8x ＝－0.3x ＋1600(0≤x ≤2000)．5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )解析：选C.设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方．故选C.6．小蜥蜴体长15 cm ，体重15 g ，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm 时，它的体重大约是( )A ．20 gB ．25 gC ．35 gD ．40 g解析：选C.假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为20 cm 的蜥蜴的体重为W 20，因此有W 20＝W 15·203153≈35.6(g)，合理的答案为35 g ．故选C.7．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1；乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．答案：甲8．一根弹簧，挂重100 N 的重物时，伸长20 cm ，当挂重150 N 的重物时，弹簧伸长________．解析：由10020＝150x，得x ＝30.答案：30 cm9．某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年中总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变． 以上说法中正确的是________．解析：观察图中单位时间内产品产量y 变化量快慢可知①④. 答案：①④10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，函数图象如图所示．(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？解：(1)由图象知，当x ＝600时，y ＝400；当x ＝700时，y ＝300，代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 400＝600k ＋b ，300＝700k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1000. 所以，y ＝－x ＋1000(500≤x ≤800)． (2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy ， 成本总价＝成本单价×销售量＝500y ， 代入求毛利润的公式，得S ＝xy －500y ＝x (－x ＋1000)－500(－x ＋1000) ＝－x 2＋1500x －500000＝－(x －750)2＋62500(500≤x ≤800)．所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件． 11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·(12)th ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？解：由题意知40－24＝(88－24)·(12)20h ，即14＝(12)20h . 解之，得h ＝10.故T －24＝(88－24)·(12)t10.当T ＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·(12)t10，即(12)t 10＝1164. 两边取对数，用计算器求得t ≈25. 因此，约需要25 min ，可降温到35 ℃.12．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x 年后，该地区的廉价住房为y 万平方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域．(2)作出函数y ＝f (x )的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解：(1)经过1年后，廉价住房面积为 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 经过2年后为200(1＋5%)2； …经过x 年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x ， ∴y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示．作直线y ＝300，与函数y ＝200(1＋5%)x的图象交于A 点，则A (x 0,300)，A 点的横坐标x 0的值就是函数值y ＝300时所经过的时间x 的值．因为8<x 0<9，则取x 0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．1．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是( ) A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k ＜5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤5}解析：选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B 中k 取负数，多了若干元素；C 中t ＝0时多了－3这个元素，只有D 是正确的．2．集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，S ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，a ∈P ，b ∈M ，设c ＝a ＋b ，则有( )A ．c ∈PB ．c ∈MC ．c ∈SD ．以上都不对解析：选B.∵a ∈P ，b ∈M ，c ＝a ＋b ， 设a ＝2k 1，k 1∈Z ，b ＝2k 2＋1，k 2∈Z ， ∴c ＝2k 1＋2k 2＋1＝2(k 1＋k 2)＋1， 又k 1＋k 2∈Z ，∴c ∈M .3．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6解析：选D.∵z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B ，∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4， 故A *B ＝{0,2,4}，∴集合A *B 的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则用列举法表示集合C ＝____________.解析：∵C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }， ∴满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 答案：D2．设集合M ＝{x ∈R |x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∉M B ．a ∈MC ．{a }∈MD ．{a |a ＝26}∈M 解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M .3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－4，该方程组有一组解(5，－4)，解集为{(5，－4)}．4．下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；(3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32＝64，|－12|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴． 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{0} B ．{y |y 2＝0} C ．{x |x ＝0} D ．{x ＝0}解析：选D.A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即“x ＝0”．6．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5－1＝19.故选C 项．7．由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里面元素最多有________个．解析：x 2＝|x |，而－3x 3＝－x ，故集合里面元素最多有2个． 答案：28．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x －3∈Z ，试用列举法表示集合A ＝________.解析：要使4x －3∈Z ，必须x －3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个，则x ＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x 应为自然数，故A ＝{1,2,4,5,7}答案：{1,2,4,5,7}9．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________． 解析：该集合是关于x 的一元二次方程的解集，则Δ＝4－4m >0，所以m <1. 答案：m <110. 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z }．11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .解：∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根， ∴a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3. 方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∴集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1.12．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围．解：①a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．②a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合①②，知a ＝0或a ≥98.1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．水浒书业的全体员工 B ．《优化方案》的所有书刊C ．2010年考入清华大学的全体学生D ．美国NBA 的篮球明星解析：选D.A 、B 、C 中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D 中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.①②正确，③④错误．3．集合A ＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．4．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素． 解析：由x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3. 由x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1. 答案：31．若以正实数x ，y ，z ，w 四个元素构成集合A ，以A 中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 答案：A2．设集合A 只含一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉A C ．a ∈A D ．a ＝A 答案：C3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有( ) ①教2011届高一的年轻教师；②你所在班中身高超过1.70米的同学； ③2010年广州亚运会的比赛项目； ④1,3,5.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合；由于②③④中的对象具备确定性、互异性，所以②③④能构成集合．4．若集合M ＝{a ，b ，c }，M 中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a ≠b ，a ≠c ，b ≠c . 5．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．②C ．③D ．以上都不对解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2.6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝13－52，y ＝3＋2π，则有( )A ．x ∈M ，y ∈MB ．x ∈M ，y ∉MC ．x ∉M ，y ∈MD ．x ∉M ，y ∉M解析：选B.∅x ＝13－52＝－341－5412，y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∉M .7．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z .其中正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π∉Q ，①②⑥正确． 答案：38．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________． 解析：当a ＝2时，6－a ＝4∈A ； 当a ＝4时，6－a ＝2∈A ； 当a ＝6时，6－a ＝0∉A ， 所以a ＝2或a ＝4. 答案：2或49．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3. 答案：310．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值． 解：∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？解：∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ，∴2＋3∈A ，即12－3∈A .12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值． 解：根据集合中元素的互异性，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.1．下列六个关系式，其中正确的有( )①{a ，b }＝{b ，a }；②{a ，b }⊆{b ，a }；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}． A ．6个 B ．5个C ．4个D ．3个及3个以下 解析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是( ) A ．对任意的a ∈A ，都有a ∉B B ．对任意的b ∈B ，都有b ∈A C ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∉B D ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定．3．设A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A B ，则a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ≤2解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A B ，则应有a ≥2. 4．集合M ＝{x |x 2－3x －a 2＋2＝0，a ∈R }的子集的个数为________．解析：∵Δ＝9－4(2－a 2)＝1＋4a 2＞0，∴M 恒有2个元素，所以子集有4个． 答案：41．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0⊆A B ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A解析：选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的．2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A ．A >B B ．ABC ．B AD ．A ⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈A ⇒x ∈B 不成立．3．定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{2,3,5}，则A －B 等于( ) A ．A B ．BC ．{2}D ．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A 中但是不能在B 中，所以只能是D. 4．以下共有6组集合．(1)A ＝{(－5,3)}，B ＝{－5,3}； (2)M ＝{1，－3}，N ＝{3，－1}； (3)M ＝∅，N ＝{0}；(4)M ＝{π}，N ＝{3.1415}；(5)M ＝{x |x 是小数}，N ＝{x |x 是实数}；(6)M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{y |y 2－3y ＋2＝0}． 其中表示相等的集合有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A *B ＝{ω|ω＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }．若集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则A *B 的子集的个数是( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ∈B D ．B ∈A解析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅， ∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故BA .答案：B A8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，则a 的值为________．解析：A ⊇B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：①若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝aca ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同， ∴c ＝1舍去，即此时无解．②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0，即a (2c 2－c －1)＝0.∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12.11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∵B A ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解． 当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13；当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．(2010年高考广东卷)若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}解析：选D.因为A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}． 2．(2010年高考湖南卷)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆MC ．M ∩N ＝{2,3}D ．M ∪N ＝{1,4} 解析：选C.∵M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}． ∴选项A 、B 显然不对．M ∪N ＝{1,2,3,4}， ∴选项D 错误．又M ∩N ＝{2,3}，故选C.3．已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，N ＝{y |x ＝y 2}，则M ∩N ＝( ) A ．{(0,0)，(1,1)} B ．{0,1} C ．{y |y ≥0} D ．{y |0≤y ≤1}解析：选C.M ＝{y |y ≥0}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M ＝{y |y ≥0}． 4．已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ∪B ＝A ，即B ⊆A ，∴m ≥2. 答案：m ≥21．下列关系Q ∩R ＝R ∩Q ；Z ∪N ＝N ；Q ∪R ＝R ∪Q ；Q ∩N ＝N 中，正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.只有Z ∪N ＝N 是错误的，应是Z ∪N ＝Z .2．(2010年高考四川卷)设集合A ＝{3,5,6,8}，集合B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B 等于( ) A ．{3,4,5,6,7,8} B ．{3,6} C ．{4,7} D ．{5,8}解析：选D.∵A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，∴A ∩B ＝{5,8}．3．(2009年高考山东卷)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D.根据元素特性，a ≠0，a ≠2，a ≠1. ∴a ＝4.4．已知集合P ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，集合Q ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则P ∩Q 等于( ) A ．{2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3}解析：选A.Q ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∴P ∩Q ＝{2}．5．(2010年高考福建卷)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |2＜x ≤3} B ．{x |x ≥1} C ．{x |2≤x ＜3} D ．{x |x ＞2}解析：选A.∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞2}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．6．设集合S ＝{x |x ＞5或x ＜－1}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．－3＜a ＜－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a ＜－3或a ＞－1 解析：选A.S ∪T ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8＞5，a ＜－1.∴－3＜a ＜－1. 7．(2010年高考湖南卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3. 答案：38．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5， ∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：49．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，且满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 解析：当a ＞2时，A ∩B ＝∅； 当a ＜2时，A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}； 当a ＝2时，A ∩B ＝{2}．综上：a ＝2. 答案：210．已知A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∪B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，求实数a ，b ，c 的值．解：∵A ∩B ＝{3}，∴由9＋3c ＋15＝0，解得c ＝－8.由x 2－8x ＋15＝0，解得B ＝{3,5}，故A ＝{3}． 又a 2－4b ＝0，解得a ＝－6，b ＝9. 综上知，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.11．已知集合A ＝{x |x －2＞3}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }，求A ∪B . 解：A ＝{x |x －2＞3}＝{x |x ＞5}， B ＝{x |2x －3＞3x －a }＝{x |x ＜a －3}． 借助数轴如图：①当a －3≤5，即a ≤8时， A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}． ②当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x |x ＞5}∪{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R }＝R .综上可知当a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}； 当a ＞8时，A ∪B ＝R .12．设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，求a 的值．解：集合A 、B 的元素都是点，A ∩B 的元素是两直线的公共点．A ∩B ＝∅，则两直线无交点，即方程组无解．列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1a 2x ＋2y ＝a ，解得(4－a 2)x ＝2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝02－a ≠0，即a ＝－2.1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则∁U A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9} 解析：选D.∁U A ＝{3,9}，故选D.2．(2010年高考陕西卷)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∵B ＝{x |x ＜1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∩∁R B ＝{x |1≤x ≤2}．3. 已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．选A.4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.解析：∵A∪∁U A＝U，∴A＝{x|1≤x＜2}．∴a＝2.答案：21．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于()A．{2} B．{5}C．{3,4} D．{2,3,4,5}解析：选C.∁U B＝{3,4,5}，∴A∩(∁U B)＝{3,4}．2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A＝()A．{0} B．{1}C．∅D．{0,1}解析：选D.∵∁U A＝{2}，∴2∉A，又U＝{0,1,2}，∴A＝{0,1}．3．(2009年高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6} B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝U D．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}．6．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：选D.U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素，故选D.7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }，∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是m ≥2. 答案：{m |m ≥2}10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∁U A )＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．解：∵B ∩(∁U A )＝{2}， ∴2∈B ，但2∉A .∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝87b ＝127.∴a ，b 的值为87，－127.12．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，求实数a 的取值范围． 解：∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∅， ∵A ∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论． ①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ， ∴a ≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a 2a －2≥2. ∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.第二章 基本初等函数1．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1.4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一． 3．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 解析：选C.A 、B 与D 对应法则都不同．6．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∅ B ．∅或{1} C ．{1} D ．∅或{2}解析：选B.由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A ＝{－1,1，2}或A ＝{－1，2，－2}或A ＝{1，－2，2}或A ＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A ＝{1，2}或A ＝{1，－2}．所以A ∩B ＝∅或{1}．7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)8．函数y ＝(x ＋1)03－2x的定义域是________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠03－2x ＞0，即x ＜32且x ≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，32)9．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________． 解析：当x 取－1,0,1,2时， y ＝－1，－2，－1,2，故函数值域为{－1，－2,2}． 答案：{－1，－2,2}10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.解：(1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12， 故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23， 故所求函数的定义域为{x |x ＞23}． 11．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值．解：(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13，又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)由(1)知g (2)＝6，∴f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)．∵ax ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－1a ，即函数的定义域为(－∞，－1a]．∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－1a]，∴－1a≥1，而a ＜0，∴－1≤a ＜0.即a 的取值范围是[－1,0)．1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( )解析：选C.结合函数的定义知，对A 、B 、D ，定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应；而对C ，对大于0的x 而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f (1x )＝11＋x，则f (x )等于( )A.11＋x(x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0)C.x 1＋x(x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 解析：选C.f (1x )＝11＋x ＝1x 1＋1x(x ≠0)，∴f (t )＝t1＋t (t ≠0且t ≠－1)，∴f (x )＝x1＋x(x ≠0且x ≠－1)．3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 4．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x 2－11．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y 1 －1B.x 奇数 0 偶数y 1 0－1 C.x 有理数 无理数 y 1 －1D.x 自然数 整数 有理数y 1 0 －1解析：选C.A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N(Z ，Q)，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4(t －1)2－1，∴f (12)＝16－1＝15. 法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B.∵g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是( )解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A 、C ，又一开始跑步，速度快，所以D 符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1 解析：选D.设f (x )＝(x －1)2＋c ， 由于点(0,0)在函数图象上， ∴f (0)＝(0－1)2＋c ＝0，∴c ＝－1，∴f (x )＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为( )A ．y ＝12x (x >0)B ．y ＝24x (x >0)C ．y ＝28x (x >0)D ．y ＝216x (x >0)解析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以y ＝22a ＝22×x 4＝28x .7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：328. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于________．解析：由题意，f (3)＝1，∴f [1f (3)]＝f (1)＝2.答案：2 9．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．解析：将函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－2的图象，再将函数y ＝x 2－2的图象向右平移1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f (x )的图象，故f (x )＝x 2－2x －1.答案：f (x )＝x 2－2x －110．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． 解：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1) ＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1.再令－b ＝x ，即得f (x )＝x 2＋x ＋1.11．已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＋1x，求f (x )．解：∵x ＋1x ＝1＋1x ，x 2＋1x 2＝1＋1x 2，且x ＋1x ≠1，∴f (x ＋1x )＝f (1＋1x )＝1＋1x 2＋1x＝(1＋1x )2－(1＋1x)＋1.∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3.∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 (x ＞10)f (f (x ＋5)) (x ≤10)，则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21 C ．18 D ．16 解析：选A.f (5)＝f (f (10))， f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21， f (5)＝f (21)＝24.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)x －1 (x <0)，再作函数图象．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ＜11x， x ＞1的值域是________．解析：当x ＜1时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34；当x ＞1时，0＜1x＜1，则所求值域为(0，＋∞)，故填(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)1．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像分别为( )A.2，0或2 B ．0,2 C ．0,0或2 D ．0,0或2 答案：C2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km 为1.6元(不足1 km ，按1 km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析：选C.由题意，当0＜x ≤3时，y ＝10； 当3＜x ≤4时，y ＝11.6； 当4＜x ≤5时，y ＝13.2； …当n －1＜x ≤n 时，y ＝10＋(n －3)×1.6，故选C.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2(0≤x ≤3)x 2＋6x (－2≤x ≤0)的值域是( )A ．RB ．[－9，＋∞)C ．[－8,1]D ．[－9,1]解析：选C.画出图象，也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( ) A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3 D.3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x 为有理数，0， x 为无理数，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， x 为有理数，1， x 为无理数，当x ∈R 时，f (g (x ))，g (f (x ))的值分别为( )A ．0,1B ．0,0C ．1,1D ．1,0解析：选D.g (x )∈Q ，f (x )∈Q ，f (g (x ))＝1，g (f (x ))＝0.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2 (x ≤－1)，2(x ＋1) (－1<x <1)，1x －1 (x ≥1)，已知f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎝⎛⎭⎫－12，12∪(1，＋∞) 解析：选C.f (a )>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1(a ＋1)2>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <12(a ＋1)>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a－1>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a <－2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1a >－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12⇔a <－2或－12<a <1.即所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1. 7．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射f ：A →B 为A中每一个字母与B 中下一个字母对应，即：a →b ，b →c ，c →d ，…，z →a ，并称A 中的字母组成的文字为明文，B 中相应的字母为密文，试破译密文“nbuj ”：________.解析：由题意可知m →n ，a →b ，t →u ，i →j ， 所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”． 答案：mati8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，f (x －2)， x ＞0，则f (4)＝________.解析：f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.答案：09．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．解析：原不等式可化为下面两个不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0x ＋(x ＋2)·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＜0x ＋(x ＋2)·(－1)≤5， 解得－2≤x ≤32或x ＜－2，即x ≤32.答案：(－∞，32]10．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－1≤x ≤1)1 (x ＞1或x ＜－1)，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地，在B 地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地．试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数．解：∵260÷52＝5(小时)，260÷65＝4(小时)，∴s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t (0≤t ≤5)，260 ⎝⎛⎭⎫5＜t ≤612，260＋65⎝⎛⎭⎫t －612 ⎝⎛⎭⎫612＜t ≤1012.12. 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. ①当点F 在BG 上时，。
专题65 高中数学必修第一册全册综合测评(一)(解析版)
专题65 必修第一册全册综合测评(一)考试时间：120分钟 满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集为R ，集合A ＝{x |2x ≥1}，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |0≤x ≤1}B ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |0≤x <1或x >2}[解析]A ＝{x |2x ≥1}＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |(x －1)(x －2)<0}＝{x |1<x <2}，则∁R B ＝{x |x ≥2或x ≤1}，则A ∩∁R B ＝{x |0≤x ≤1或x ≥2}． 2．已知命题p ：x 为自然数，命题q ：x 为整数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]若x 为自然数，则它必为整数，即p ⇒q .但x 为整数不一定是自然数，如x ＝－2，即q p .故p 是q 的充分不必要条件． 3．若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( )A.1a －b ＞1aB.1a ＞1b C ．|a |＞|b | D ．a 2＞b 2[解析]取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1a 不成立．4．函数f (x )＝x 2x 2－1＋lg(10－x )的定义域为( )A ．RB ．[1,10]C ．(－∞，－1)∪(1,10)D ．(1,10)[解析]要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，10－x >0，解得x <－1或1<x <10.故选C.5．已知f (x )＝x 2－ax 在[0,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞) [解析]函数f (x )＝x 2－ax 图象的对称轴为直线x ＝a2，根据二次函数的性质可知a 2≤0或a2≥1，解得a ≤0或a ≥2.故选D.6．已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a[解析]a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c . 7．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( ) A.225 B ．－25 C.25 D ．－225[解析] sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25.[答案] B 8．将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3的图象向左平移t (t >0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为( )A.2π3B.π3C.π2D.π6[解析]将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3＝3cos2x －sin2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移t (t >0)个单位，可得y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t ＋π6的图象．由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 则t 的最小值为π6.故选D.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．下列函数是偶函数且值域为[0，＋∞)的是( )A ．y ＝|x |；B ．y ＝x 3；C ．y ＝2|x |；D ．y ＝x 2＋|x |.[解析]对于A ，y ＝|x |是偶函数，且值域为[0，＋∞)；对于B ，y ＝x 3是奇函数；对于C ，y ＝2|x |是偶函数，但值域为[1，＋∞)；对于D ，y ＝x 2＋|x |是偶函数，且值域为[0，＋∞)，所以符合题意的有A C ，故选AC. 10．若幂函数f (x )＝x m 在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值可能为( )A ．-2B ．12C ．－1D ．2[解析] ∵幂函数f (x )＝x m 在区间(0，＋∞)上单调递减，∴m <0，由选项可知，选AC 11．已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin x cos x ，则下列结论不正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0成中心对称图形 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称图形C ．两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同[解析]①y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π4＋k π，0，k ∈Z ，对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π；②y ＝2sin 2x 图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫12k π，0，k ∈Z ，对称轴为x ＝π4＋12k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，最小正周期为π.故选ABD. 12．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，给出下列命题： A ．f (x )的最大值为2； B ．f (x )的最小正周期是2π；C ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；D ．将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位长度后，与函数y ＝f (x )的图象重合．其中正确命题是( )[解析] f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴函数f (x )的最大值为2，最小正周期为π，又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故C 正确； 由D 得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故D 正确． [答案] ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知关于实数x 的不等式2x 2－bx ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32，则b ＋c 的值为________． [解析]∵一元二次不等式2x 2－bx ＋c <0的解集是⎝⎛⎭⎫－1，32，∴－1，32是方程2x 2－bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数关系得⎩⎨⎧－1＋32＝b2，－1×32＝c2，即b ＝1，c ＝－3.∴b ＋c ＝－2.14．计算：1－cos 210°cos 800°1－cos 20°＝________.[解析]1－cos 210°cos 800°1－cos 20°＝sin 210°cos (720°＋80°)·2sin 210°＝sin 210°cos 80°·2sin 10°＝sin 210°sin10°·2sin10°＝22.15．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． [解析]当t ＝0.5时，y ＝2，所以2＝e k2，所以k ＝2ln 2，所以y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋3，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x ＜0，若方程f (f (x ))－2＝0恰有三个实数根，则实数k 的取值范围是_____．[解析]∵f (f (x ))－2＝0，∴f (f (x ))＝2，∴f (x )＝－1或f (x )＝－1k(k ≠0)．① ② ③(1)当k ＝0时，作出函数f (x )的图象如图①所示，由图象可知f (x )＝－1无解，∴k ＝0不符合题意； (2)当k ＞0时，作出函数f (x )的图象如图②所示，由图象可知f (x )＝－1无解且f (x )＝－1k 无解，即f (f (x ))－2＝0无解，不符合题意；(3)当k ＜0时，作出函数f (x )的图象如图③所示，由图象可知f (x )＝－1有1个实根， ∵f ((x ))－2＝0有3个实根，∴f (x )＝－1k 有2个实根，∴1＜－1k ≤3，解得－1＜k ≤－13.综上，k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，－13. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知集合A ＝{x |x 2－7x ＋6<0}，B ＝{x |4－t <x <t }，R 为实数集．(1)当t ＝4时，求A ∪B 及A ∩∁R B ； (2)若A ∪B ＝A ，求实数t 的取值范围．[解析] (1)解二次不等式x 2－7x ＋6<0，得1<x <6，即A ＝{x |1<x <6}． 当t ＝4时，B ＝{x |0<x <4}，∁R B ＝{x |x ≤0或x ≥4}， 所以A ∪B ＝{x |0<x <6}，A ∩∁R B ＝{4≤x <6}． (2)由A ∪B ＝A ，得B ⊆A ，①当4－t ≥t ，即t ≤2时，B ＝∅，满足题意， ②B ≠∅时，由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧4－t <t ，4－t ≥1，t ≤6，解得2<t ≤3，综合①②得，实数t 的取值范围为(－∞，3]．18．已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，其中α，β为锐角，且|AB |＝105. (1)求cos(α－β)的值； (2)若cos α＝35，求cos β的值．[解析] (1)由|AB |＝105，得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝105， ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝25，∴cos(α－β)＝45.(2)∵cos α＝35，cos(α－β)＝45，α，β为锐角，∴sin α＝45，sin(α－β)＝±35.当sin(α－β)＝35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝2425.当sin(α－β)＝－35时，cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cos β＝2425.19．已知f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－ 3. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调增区间．[解析] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3＝4cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x － 3 ＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin 2π3＝ 3. (2)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以函数的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，k π＋π12(k ∈Z )． 20．已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ∈N *，c ∈N *)满足：①f (1)＝5；②6＜f (2)＜11.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若对任意x ∈[1,2]，都有f (x )≥2mx ＋1成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)∵f (1)＝5，∴5＝a ＋c ＋2，∴c ＝3－a . 又6＜f (2)＜11，∴6＜4a ＋c ＋4＜11，∴－13＜a ＜43.又a ∈N *，∴a ＝1，c ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋2.(2)设g (x )＝f (x )－2mx －1＝x 2－2(m －1)x ＋1，x ∈[1,2]，则由已知得 当m －1≤1，即m ≤2时，g (x )min ＝g (1)＝4－2m ≥0，此时m ≤2.当1＜m －1＜2，即2＜m ＜3时，g (x )min ＝g (m －1)＝1－(m －1)2≥0，此时无解． 当m －1≥2，即m ≥3时，g (x )min ＝g (2)＝9－4m ≥0，此时无解． 综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，2]．21．某村电费收取有以下两种方案供用户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L (x )(单位：元)与用电量x (单位：度)间的函数关系； (2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？ (3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？[解析] (1)当0≤x ≤30时，L (x )＝2＋0.5x ；当x >30时，L (x )＝2＋30×0.5＋(x －30)×0.6＝0.6x －1，∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋0.5x ，0≤x ≤30，0.6x －1，x >30.(注：x 也可不取0)(2)当0≤x ≤30时，令L (x )＝2＋0.5x ＝35得x ＝66，舍去；当x >30时，由L (x )＝0.6x －1＝35得x ＝60，∴老王家该月用电60度． (3)设按方案二收费为F (x )元，则F (x )＝0.58x .当0≤x ≤30时，由L (x )<F (x )，得2＋0.5x <0.58x ，解得x >25，∴25<x ≤30； 当x >30时，由L (x )<F (x )，得0.6x －1<0.58x ，解得x <50，∴30<x <50. 综上，25<x <50.故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好． 22．已知f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R)为偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，化简得log 44－x ＋14x ＋1＝2kx ，log 44－x ＝－x ＝2kx ，则有(2k ＋1)x ＝0.对任意的x ∈R 恒成立，于是有2k ＋1＝0，k ＝－12.(2)∵f (x )＝log 4(4x ＋1)－12x ，f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，∴log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －a )，即(1－a )(2x )2＋a ·2x ＋1＝0有唯一实根．令t ＝2x ，则关于t 的方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0有唯一的正根．①当1－a ＝0即a ＝1时，方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0，则t ＋1＝0，即t ＝－1，不符合题意． ②当1－a ≠0即a ≠1时，Δ＝a 2－4(1－a )＝a 2＋4a －4＝(a ＋2)2－8. 若Δ＝0，则a ＝－2±22，此时，t ＝a2(a －1).当a ＝－2＋22时，则有t ＝a2(a －1)＜0，方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0无正根，不符合题意；当a ＝－2－22时，则有t ＝a 2(a －1)＞0，且a ·2x －a ＝a (t －1)＝a ·⎣⎡⎦⎤a 2(a －1)－1＝a (2－a )2(a －1)＞0， 方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0有两个相等的正根，符合题意．若Δ＞0，则方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0有两个不相等的实根，则只需其中有一正根即可满足题意． 于是有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，11－a ＜0，由此解得a ＞1.综上所述，a ＞1或a ＝－2－2 2.。
高一数学必修一全册练习题(解析版)
第一章集合与函数的概念1．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B中k取负数，多了若干元素；C中t＝0时多了－3这个元素，只有D是正确的．2．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，S＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c＝a＋b，则有()A．c∈P B．c∈MC．c∈S D．以上都不对解析：选B.∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，∴c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1，又k1＋k2∈Z，∴c∈M.3．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．6解析：选D.∵z＝xy，x∈A，y∈B，∴z的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B＝{0,2,4}，∴集合A*B的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则用列举法表示集合C ＝____________.解析：∵C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，∴满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示()A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合答案：D2．设集合M ＝{x ∈R |x ≤33}，a ＝26，则()A ．a ∉MB ．a ∈MC ．{a }∈MD ．{a |a ＝26}∈M解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0，故26<3 3.所以a ∈M .3＋y ＝1－y ＝9的解集是()A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D.＋y ＝1－y ＝9＝5＝－4，该方程组有一组解(5，－4)，解集为{(5，－4)}．4．下列命题正确的有()(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；(3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32＝64，|－12|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴．5．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A ．{0}B ．{y |y 2＝0}C ．{x |x ＝0}D ．{x ＝0}解析：选D.A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即“x ＝0”．6．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为()A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5－1＝19.故选C 项．7．由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里面元素最多有________个．解析：x 2＝|x |，而－3x 3＝－x ，故集合里面元素最多有2个．答案：28．已知集合A ∈N |4x －3∈A ＝________.解析：要使4x －3∈Z ，必须x －3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个，则x ＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x 应为自然数，故A ＝{1,2,4,5,7}答案：{1,2,4,5,7}9．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________．解析：该集合是关于x 的一元二次方程的解集，则Δ＝4－4m >0，所以m <1.答案：m <110.用适当的方法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)；(3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z }．11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .解：∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，∴a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∴集合A －1312．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围．解：①a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．②a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合①②，知a ＝0或a ≥98.1．下列各组对象中不能构成集合的是()A ．水浒书业的全体员工B ．《优化方案》的所有书刊C ．2010年考入清华大学的全体学生D ．美国NBA 的篮球明星解析：选D.A 、B 、C 中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D 中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是()①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.①②正确，③④错误．3．集合A ＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素()A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．4．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．解析：由x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.由x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.答案：31．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案：A2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A答案：C3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有()①教2011届高一的年轻教师；②你所在班中身高超过1.70米的同学；③2010年广州亚运会的比赛项目；④1,3,5.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合；由于②③④中的对象具备确定性、互异性，所以②③④能构成集合．4．若集合M＝{a，b，c}，M中元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a≠b，a≠c，b≠c.5．下列各组集合，表示相等集合的是()①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．A．①B．②C．③D．以上都不对解析：选B.①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.6．若所有形如a＋2b(a∈Q、b∈Q)的数组成集合M，对于x＝13－52，y＝3＋2π，则有()A．x∈M，y∈M B．x∈M，y∉MC．x∉M，y∈M D．x∉M，y∉M解析：选B.∅x＝13－52＝－341－5412，y＝3＋2π中π是无理数，而集合M中，b∈Q，得x∈M，y∉M.7．已知①5∈R；②13∈Q；③0＝{0}；④0∉N；⑤π∈Q；⑥－3∈Z.其中正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N；⑤π∉Q，①②⑥正确．答案：38．对于集合A＝{2,4,6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的取值是________．解析：当a＝2时，6－a＝4∈A；当a＝4时，6－a＝2∈A；当a＝6时，6－a＝0∉A，所以a＝2或a＝4.答案：2或49．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则|a|a＋|b|b的可能取值组成的集合中元素的个数为________．解析：当a>0，b>0时，|a|a＋|b|b＝2；当a·b<0时，|a|a＋|b|b＝0；当a<0且b<0时，|a|a＋|b|b＝－2.所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3.答案：310．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．解：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？解：∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ，∴2＋3∈A ，即12－3∈A .12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值．解：根据集合中元素的互异性，有＝2a ＝b2＝b 2＝2a，＝0＝1＝0＝0＝14＝12.再根据集合中元素的互异性，＝0＝1＝14＝12.1．下列六个关系式，其中正确的有()①{a ，b }＝{b ，a }；②{a ，b }⊆{b ，a }；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个及3个以下解析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是()A ．对任意的a ∈A ，都有a ∉B B ．对任意的b ∈B ，都有b ∈AC ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∉BD ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()A．a≥2B．a≤1C．a≥1D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A BC．B A D．A⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于() A．A B．BC．{2}D．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∅，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的集合有()A．2组B．3组C．4组D．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则A*B的子集的个数是()A．4B．8C．16D．32解析：选B.在集合A和B中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A*B＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()A．A⊆B B．B⊆AC．A∈B D．B∈A解析：选D.∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A＝{x|x⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B∈A.7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|yx＝1}，则A、B间的关系为________．解析：在A中，(0,0)∈A，而(0,0)∉B，故B A.答案：B A8．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则a的值为________．解析：A⊇B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.答案：－1或29．已知A＝{x|x＜－1或x＞5}，B＝{x|a≤x＜a＋4}，若A B，则实数a的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B，则必须a＋4≤－1或a＞5，解之得{a|a＞5或a≤－5}．答案：{a|a＞5或a≤－5}10．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．＋b＝ac＋2b＝ac2，消去b得a＋ac2－2ac＝0，即a(c2－2c＋1)＝0.当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1；当c＝1时，集合B中的三个元素也相同，∴c＝1舍去，即此时无解．＋b＝ac2＋2b＝ac，消去b得2ac2－ac－a＝0，即a(2c2－c－1)＝0.∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12.11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∵BA ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13；当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．(2010年高考广东卷)若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝()A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |0＜x ＜1}解析：选D.因为A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}．2．(2010年高考湖南卷)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}则()A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝{2,3}D ．M ∪N ＝{1,4}解析：选C.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∴选项A、B显然不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x＝y2}，则M∩N＝()A．{(0,0)，(1,1)}B．{0,1}C．{y|y≥0}D．{y|0≤y≤1}解析：选C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∴M∩N＝M＝{y|y≥0}．4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∪B＝A，即B⊆A，∴m≥2.答案：m≥21．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2．(2010年高考四川卷)设集合A＝{3,5,6,8}，集合B＝{4,5,7,8}，则A∩B等于() A．{3,4,5,6,7,8}B．{3,6}C．{4,7}D．{5,8}解析：选D.∵A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，∴A∩B＝{5,8}．3．(2009年高考山东卷)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为()A．0B．1C．2D．4解析：选D.根据元素特性，a≠0，a≠2，a≠1.∴a＝4.4．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于() A．{2}B．{1,2}C．{2,3}D．{1,2,3}解析：选A.Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∴P∩Q＝{2}．5．(2010年高考福建卷)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B等于()A．{x|2＜x≤3}B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x＞2}解析：选A.∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．6．设集合S＝{x|x＞5或x＜－1}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是()A．－3＜a＜－1B．－3≤a≤－1C．a≤－3或a≥－1D．a＜－3或a＞－1解析：选A.S∪T＝R，＋8＞5，＜－1.∴－3＜a＜－1.7．(2010年高考湖南卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.解析：∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.答案：38．满足条件{1,3}∪M＝{1,3,5}的集合M的个数是________．解析：∵{1,3}∪M＝{1,3,5}，∴M中必须含有5，∴M可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个．答案：49．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.解析：当a＞2时，A∩B＝∅；当a＜2时，A∩B＝{x|a≤x≤2}；当a＝2时，A∩B＝{2}．综上：a＝2.答案：210．已知A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求实数a，b，c的值．解：∵A∩B＝{3}，∴由9＋3c＋15＝0，解得c＝－8.由x2－8x＋15＝0，解得B＝{3,5}，故A＝{3}．又a2－4b＝0，解得a＝－6，b＝9.综上知，a＝－6，b＝9，c＝－8.11．已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B.解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴如图：①当a－3≤5，即a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}．②当a－3＞5，即a＞8时，A∪B＝{x|x＞5}∪{x|x＜a－3}＝{x|x∈R}＝R.综上可知当a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}；当a＞8时，A∪B＝R.12．设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝1，x，y∈R}，B＝{(x，y)|a2x＋2y＝a，x，y∈R}，若A∩B＝∅，求a的值．解：集合A、B的元素都是点，A∩B的元素是两直线的公共点．A∩B＝∅，则两直线无交点，即方程组无解．x＋y＝12x＋2y＝a，解得(4－a2)x＝2－a，－a2＝0－a≠0，即a＝－2.1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}解析：选D.∁U A＝{3,9}，故选D.2．(2010年高考陕西卷)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}解析：选D.∵B＝{x|x＜1}，∴∁R B＝{x|x≥1}，∴A∩∁R B＝{x|1≤x≤2}．3.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于()A．{－1,2}B．{－1,0}C．{0,1}D．{1,2}解析：选A.依题意知A＝{0,1}，(∁U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．选A.4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.解析：∵A∪∁U A＝U，∴A＝{x|1≤x＜2}．∴a＝2.答案：21．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于()A．{2}B．{5}C．{3,4}D．{2,3,4,5}解析：选C.∁U B＝{3,4,5}，∴A∩(∁U B)＝{3,4}．2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A＝()A．{0}B．{1}C．∅D．{0,1}解析：选D.∵∁U A＝{2}，∴2∉A，又U＝{0,1,2}，∴A＝{0,1}．3．(2009年高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6}B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝U D．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M ＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B.∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}．6．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：选D.U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素，故选D.7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，求实数m的取值范围为________．解析：由已知A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x＜－m}，∵B＝{x|－2＜x＜4}，(∁U A)∩B＝∅，∴－m≤－2，即m≥2，∴m的取值范围是m≥2.答案：{m|m≥2}10．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥5}，求A∩B，2(∁U B)∪P，(A∩B)∩(∁U P)．解：将集合A、B、P表示在数轴上，如图．∵A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}．∵∁U B＝{x|x≤－1或x＞3}，∴(∁U B)∪P＝{x|x≤0或x≥52 }，(A∩B)∩(∁U P)＝{x|－1＜x＜2}∩{x|0＜x＜52}＝{x|0＜x＜2}．11．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(∁U A)＝{2}，A∩(∁U B)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．解：∵B∩(∁U A)＝{2}，∴2∈B，但2∉A.∵A∩(∁U B)＝{4}，∴4∈A，但4∉B.2＋4a＋12b＝02－2a＋b＝0＝87＝127.∴a，b的值为87，－127.12．已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁R B，求实数a的取值范围．解：∁R B＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，∵A∁R B，∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.②若A≠∅a－2<a≤1a－2<aa－2≥2.∴a≤1.综上所述，a≤1或a≥2.第二章基本初等函数1．下列说法中正确的为()A．y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数B．y＝f(x)与y＝f(x＋1)不可能是同一函数C．f(x)＝1与f(x)＝x0表示同一函数D．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2B．f(x)＝|x|，g(x)＝x2C．f(x)＝|x|，g(x)＝x2xD．f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3解析：选B.A、C、D的定义域均不同．3．函数y＝1－x＋x的定义域是()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}解析：选D.－x≥0≥0，得0≤x≤1.4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a≤1时，直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a＞1或a＜－1时，直线x＝a与函数的图象没有交点．从而表示y是x的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x 的定义域是()A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是()A ．x ＝y 2＋1B ．y ＝2x 2＋1C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一．3．下列说法正确的是()A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是()A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是()A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z解析：选C.A、B与D对应法则都不同．6．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是()A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅或{2}解析：选B.由f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A＝{－1,1，－2，2}或A＝{－1,1，－2}或A＝{－1,1，2}或A＝{－1，2，－2}或A＝{1，－2，2}或A＝{－1，－2}或A＝{－1，2}或A＝{1，2}或A＝{1，－2}．所以A∩B＝∅或{1}．7．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．解析：由题意3a－1＞a，则a＞1 2 .答案：(12，＋∞)8．函数y＝x＋103－2x的定义域是________．解析：要使函数有意义，＋1≠0－2x＞0，即x＜32且x≠－1.答案：(－∞，－1)∪(－1，32)9．函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________．解析：当x取－1,0,1,2时，y＝－1，－2，－1,2，故函数值域为{－1，－2,2}．答案：{－1，－2,2}10．求下列函数的定义域：(1)y＝－x2x2－3x－2；(2)y＝34x＋83x－2.解：(1)要使y＝－x2x2－3x－2有意义，则必须x≥0，x2－3x－2≠0，解得x≤0且x≠－12，故所求函数的定义域为{x|x≤0，且x≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23，故所求函数的定义域为{x |x ＞23}．11．已知f (x )＝11＋x (x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f (g (2))的值．解：(1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13，又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)由(1)知g (2)＝6，∴f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)．∵ax ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－1a ，即函数的定义域为(－∞，－1a ]．∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－1a ]，∴－1a ≥1，而a ＜0，∴－1≤a ＜0.即a 的取值范围是[－1,0)．1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是()解析：选C.结合函数的定义知，对A 、B 、D ，定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应；而对C ，对大于0的x 而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f (1x )＝11＋x ，则f (x )等于()A.11＋x(x ≠－1) B.1＋xx(x ≠0)C.x1＋x(x ≠0且x ≠－1)D ．1＋x (x ≠－1)解析：选C.f (1x )＝11＋x ＝1x 1＋1x (x ≠0)，∴f (t )＝t1＋t(t ≠0且t ≠－1)，∴f (x )＝x1＋x(x ≠0且x ≠－1)．3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝()A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，－b ＝5＋b ＝1＝3＝－2，∴f (x )＝3x －2.4．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )－t 2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x2－11．下列表格中的x 与y 能构成函数的是()A.x非负数非正数y1－1B.x 奇数0偶数y10－1C.x 有理数无理数y1－1D.x 自然数整数有理数y10－1解析：选C.A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N(Z ，Q)，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于()A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4t －12－1，∴f (12)＝16－1＝15.法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是()A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7解析：选B.∵g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，∴g (x )＝2x －1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是()解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A 、C ，又一开始跑步，速度快，所以D 符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为()A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：选D.设f (x )＝(x －1)2＋c ，由于点(0,0)在函数图象上，∴f (0)＝(0－1)2＋c ＝0，∴c ＝－1，∴f (x )＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为()A ．y ＝12x (x >0)B ．y ＝24x (x >0)C ．y ＝28x (x >0)D ．y ＝216x (x >0)解析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以y ＝22a ＝22×x 4＝28x .7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：328.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f 3]的值等于________．解析：由题意，f (3)＝1，∴f [1f 3]＝f (1)＝2.答案：29．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．解析：将函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－2的图象，再将函数y ＝x 2－2的图象向右平移1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f (x )的图象，故f (x )＝x 2－2x －1.答案：f (x )＝x 2－2x －110．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )．解：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1)＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1.再令－b ＝x ，即得f (x )＝x 2＋x ＋1.11．已知f (x ＋1x ＝x 2＋1x2＋1x ，求f (x )．解：∵x ＋1x ＝1＋1x ，x 2＋1x 2＝1＋1x 2，且x ＋1x ≠1，∴f (x ＋1x)＝f (1＋1x )＝1＋1x 2＋1x ＝(1＋1x )2－(1＋1x )＋1.∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称．于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3.∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a ，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是()解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )＝＋3x ＞10f x ＋5x ≤10，则f (5)的值是()A ．24B ．21C ．18D ．16解析：选A.f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为()解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝＋1x >0－1x <0，再作函数图象．4．函数f (x )－x ＋1，x ＜1x ＞1的值域是________．解析：当x ＜1时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34；当x ＞1时，0＜1x ＜1，则所求值域为(0，＋∞)，故填(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)1．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像分别为()A.2，0或2B ．0,2C ．0,0或2D ．0,0或2答案：C2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3km(含3km)，以后每1km 为1.6元(不足1km ，按1km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为()解析：选C.由题意，当0＜x ≤3时，y ＝10；当3＜x ≤4时，y ＝11.6；当4＜x≤5时，y＝13.2；…当n－1＜x≤n时，y＝10＋(n－3)×1.6，故选C.3．函数f(x)x－x20≤x≤32＋6x－2≤x≤0的值域是()A．R B．[－9，＋∞)C．[－8,1]D．[－9,1]解析：选C.画出图象，也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集．4．已知f(x)＋2x≤－1，2－1＜x＜2x x≥2，若f(x)＝3，则x的值是()A．1B．1或32C．1，32或±3 D.3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)＝x2＝3，x＝±3，而－1＜x＜2，∴x＝ 3.5．已知函数f(x)，x为有理数，，x为无理数，g(x)，x为有理数，，x为无理数，当x∈R时，f(g(x))，g(f(x))的值分别为()A．0,1B．0,0C．1,1D．1,0解析：选D.g(x)∈Q，f(x)∈Q，f(g(x))＝1，g(f(x))＝0.6．设f(x)x＋12x≤－1，x＋1－1<x<1，1x≥1，已知f(a)>1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)－1 2，＋－1 2，C．(－∞，－2)－12，－12，(1，＋∞)解析：选C.f(a)>1⇔≤－1a ＋12>11<a <1a ＋1>11>1≤－1<－2或a >01<a <1>－12≥1a <12⇔a <－2或－12<a <1.即所求a 的取值范围是(－∞，－2)－12，7．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射f ：A →B 为A 中每一个字母与B 中下一个字母对应，即：a →b ，b →c ，c →d ，…，z →a ，并称A 中的字母组成的文字为明文，B 中相应的字母为密文，试破译密文“nbuj ”：________.解析：由题意可知m →n ，a →b ，t →u ，i →j ，所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”．答案：mati8．已知函数f (x )2，x ≤0，x －2，x ＞0，则f (4)＝________.解析：f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.答案：09．已知f (x )，x ≥0，1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．解析：原不等式可化为下面两个不等式组＋2≥0＋x ＋2·1≤5＋2＜0＋x ＋2·－1≤5，解得－2≤x ≤32或x ＜－2，即x ≤32.答案：(－∞，32]10．已知f (x )2－1≤x ≤1x ＞1或x ＜－1，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地，在B 地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地．试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数．解：∵260÷52＝5(小时)，260÷65＝4(小时)，∴st 0≤t ≤5，＜t＋612＜t 12.如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm 腰长为22cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝22cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2cm.又BC ＝7cm ，所以AD ＝GH ＝3cm.①当点F 在BG 上时，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；②当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；③当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合①②③，得函数解析式为y 2x ∈[0，2]－2x ∈2，5].－12x －72＋10x ∈5，7]函数图象如图所示．1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于()A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定解析：选B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x ＝－2，则m4＝－2，所以m ＝－8.2．函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有()A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )解析：选C.应用增函数的性质判断．∵a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a .又∵函数f (x )在R 上是增函数，∴f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )．∴f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )．3．下列四个函数：①y ＝x x －1；②y ＝x 2＋x ；③y ＝－(x ＋1)2；④y ＝x1－x ＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是()A ．①B ．④C ．①④D ．①②④解析：选A.①y＝xx－1＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1.其减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．②y＝x2＋x＝(x＋12)2－14，减区间为(－∞，－12)．③y＝－(x＋1)2，其减区间为(－1，＋∞)，④与①相比，可知为增函数．4．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．解析：对称轴x＝k8，则k8≤5，或k8≥8，得k≤40，或k≥64，即对称轴不能处于区间内．答案：(－∞，40]∪[64，＋∞)1．函数y＝－x2的单调减区间是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)解析：选A.根据y＝－x2的图象可得．2．若函数f(x)定义在[－1,3]上，且满足f(0)<f(1)，则函数f(x)在区间[－1,3]上的单调性是()A．单调递增B．单调递减C．先减后增D．无法判断解析：选D.函数单调性强调x1，x2∈[－1,3]，且x1，x2具有任意性，虽然f(0)<f(1)，但不能保证其他值也能满足这样的不等关系．3．已知函数y＝f(x)，x∈A，若对任意a，b∈A，当a<b时，都有f(a)<f(b)，则方程f(x)＝0的根()A．有且只有一个B．可能有两个C．至多有一个D．有两个以上解析：选C.由题意知f(x)在A上是增函数．若y＝f(x)与x轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f(x)＝0至多有一个根．4．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则()A．f(a)＞f(2a)B．f(a2)＜f(a)C．f(a2＋a)＜f(a)D．f(a2＋1)＜f(a)解析：选D.∵a2＋1－a＝(a－12)2＋34＞0，∴a2＋1＞a，∴f(a2＋1)＜f(a)，故选D.5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是()①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选C.①y ＝|x |＝－x (x ＜0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x ＝－1(x ＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x ＜0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x|x |＝x －1(x ＜0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C.6．下列说法中正确的有()①若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x④y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I 上的任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x ≤0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3＜5，而f (－3)＞f (5)；④y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．7．若函数y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：设0＜x 1＜x 2，由题意知f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝bx 1－x 2x 1·x 2＞0，∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0.∴b ＜0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．解析：∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34)．答案：f (a 2－a ＋1)≤f (34)9．y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝x 2＋3x x ＞02－3x x ≤0，作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，32]．答案：[0，32]10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．解：(1)∵f (1)＝0，f (3)＝0，＋b ＋c ＝0＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3.(2)证明：∵f (x )＝x 2－4x ＋3，∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3)＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2，∴x 1＋x 2－4＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．1≤x －1≤11≤1－3x ≤1，－1＜1－3xx≤2x≤23，＜12∴0≤x＜12.12．设函数y＝f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．解：设任意的x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2，∵f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x1＋2－ax2＋1x2＋2＝ax1＋1x2＋2－ax2＋1x1＋2x1＋2x2＋2＝x1－x22a－1x1＋2x2＋2.∵f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，∴f(x1)－f(x2)＜0.∴x1－x22a－1x1＋2x2＋2＜0，∵x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，∴2a－1＞0，∴a＞12.1．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为()A．9B．9(1－a)C．9－a D．9－a2解析：选A.x∈[0,3]时f(x)为减函数，f(x)max＝f(0)＝9.2．函数y＝x＋1－x－1的值域为()A．(－∞，2]B．(0，2]C．[2，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选B.y＝x＋1－x－1＋1≥0－1≥0，∴x≥1.∵y＝2x＋1＋x－1为[1，＋∞)上的减函数，∴f(x)max＝f(1)＝2且y＞0.3．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上取得最大值3，最小值2，则实数a 为()A ．0或1B ．1C ．2D ．以上都不对解析：选B.因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＝(x －a )2－a 2＋a ＋2,对称轴为x ＝a ，开口方向向上，所以f (x )在[0，a ]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f (x )max ＝f (0)＝a ＋2＝3，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋a ＋2＝2.故a ＝1.4．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1.则xy 的最大值为________．解析：y 4＝1－x 3，∴0＜1－x3＜1,0＜x ＜3.而xy ＝x ·4(1－x 3)＝－43(x －32)2＋3.当x ＝32，y ＝2时，xy 最大值为3.答案：31．函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最小值是()A ．1B ．0C.14D ．不存在解析：选B.由函数f (x )＝x 2在[0,1]上的图象(图略)知，f (x )＝x 2在[0,1]上单调递增，故最小值为f (0)＝0.2．函数f (x )x ＋6，x ∈[1，2]＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为()A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6.3．函数y ＝－x 2＋2x 在[1,2]上的最大值为()A ．1B ．2C ．－1D ．不存在解析：选A.因为函数y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.对称轴为x ＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以y max ＝－1＋2＝1.4．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为()A ．2B.12C.1 3D．－12解析：选B.函数y＝1x－1在[2,3]上为减函数，∴y min＝13－1＝12.5．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为() A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，∴公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.∴当x＝9或10时，L最大为120万元，故选C.6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为() A．－1B．0C．1D．2解析：选C.f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递增．又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2.f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.7．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．解析：∵x∈N*，∴x2≥1，∴y＝2x2＋2≥4，即y＝2x2＋2在x∈N*上的最小值为4，此时x＝1.答案：48．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴1<a≤3.答案：(1,3]9．函数f(x)＝xx＋2在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．。
高一数学必修综合试卷及答案.docx
高中数学试卷( 必修 1＋必修 2)一、选择题：（本大题共 10 题，每小题 5 分，共 50分）1．设全集U {1,2,3,4,5,6,7}，集合A {1,3,5}，集合B {3,5}，则（ C）A．U A B B．U(C U A) B C D A) (C U B)U A (C U B) ．U (C U2．如果函数 f (x) x22( a 1)x 2 在区间,4上是减函数，那么实数a 的取值范围是（A）A、a 3 B、 a 3 C、 a 5 D、 a53．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（ B）A．4x 2 y 5 B．4x 2 y 5C．x 2 y 5 D．x 2 y 54. 设f ( x)是( , )上的奇函数，且 f (x2) f ( x) ，当0x 1时，f ( x) x ，则 f (7.5) 等于（B）A. 0.5B.0.5C.1.5D. 1.55.下列图像表示函数图像的是（ C）ABCD6．在棱长均为 2 的正四面体A BCD 中，若以三角形 ABC 为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（C）．A．3B．26A3DC．2D．22B C7．设m、n表示直线，、表示平面，则下列命题中不正确的是．．．（B）．A．m,m，则 //B．m// ,n ，则m//n C．m, m //, 则D．m // n , m, 则n82y 22x2y 2 0 上的点到直线x y 2的距离最小值是（A）．．圆： xA．0 B．12C．2 2 2D．229．如果函数f (x) ax2ax 1 的定义域为全体实数集，那么实数aR的取值范围是（ A）．A．[0 ，4]B．[0,4)C．[4,)D．（ 0，4）10. a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的(C)A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件二、填空题：（本大题共有 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）。
高中数学必修一各章节全套练习题测试题及答案解析
1.1.1.1集合的含义双基限时练新人教A版必修1 1．下列各组对象不能构成集合的是( )A．所有直角三角形B．抛物线y＝x2上的所有点C．某中学高一年级开设的所有课程D．充分接近3的所有实数解析A、B、C中的对象具备“三性”，而D中的对象不具备确定性．答案 D2．给出下列关系：①12∈R；②2∉R；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析①③正确．答案 B3．已知集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．a＝AC．a∉A D．a∈A答案 D4．已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取( )A．1 B．－1C．－1和1 D.1或－1解析由集合元素的互异性知，a2≠1，即a≠±1.答案 C5．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是( )A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M解析从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0∉M；当x ＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.答案 B6．已知集合A中含1和a2＋a＋1两个元素，且3∈A，则a3的值为( )A．0 B．1C ．－8D ．1或－8解析 3∈A ，∴a 2＋a ＋1＝3，即a 2＋a －2＝0， 即(a ＋2)(a －1)＝0， 解得a ＝－2，或a ＝1. 当a ＝1时，a 3＝1. 当a ＝－2时，a 3＝－8. ∴a 3＝1，或a 3＝－8. 答案 D7．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析 当ab >0时，|a |a ＋|b |b ＝2或－2.当ab <0时，|a |a ＋|b |b＝0，因此集合中含有－2,0,2三个元素．答案 38．以方程x 2－5x ＋6＝0和x 2－6x ＋9＝0的解为元素的集合中所有元素之和等于________．解析 方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2，或x ＝3，方程x 2－6x ＋9＝0的解为x ＝3，∴集合中含有两个元素2和3，∴元素之和为2＋3＝5.答案 59．集合M 中的元素y 满足y ∈N ，且y ＝1－x 2，若a ∈M ，则a 的值为________． 解析 由y ＝1－x 2，且y ∈N 知，y ＝0或1，∴集合M 含0和1两个元素，又a ∈M ，∴a ＝0或1. 答案 0或110．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x .解 (1)由集合中元素的互异性可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3，x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3.解之得x ≠－1且x ≠0，且x ≠3. (2)∵－2∈A ，∴x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴x ＝－2.11．已知集合A 含有三个元素2，a ，b ，集合B 含有三个元素2,2a ，b 2，若A 与B 表示同一集合，求a ，b 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝a ，b 2＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b ，b 2＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.由集合中元素的互异性知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.12．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a1－a ∈M (a ≠±1且a ≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？解 ∵3∈M ，∴1＋31－3＝－2∈M ，∴1＋－1－－＝－13∈M ，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2343＝12∈M .又∵1＋121－12＝3∈M ，∴在M 中还有三个元素－2，－13，12.1.1.1.2集合的表示双基限时练 新人教A 版必修11．设集合M ＝{x ∈R|x≤33}，a ＝26，则( )A ．a ∉MB ．a ∈MC ．{a }∈MD ．{a }∉M解析 (26)2－(33)2＝24－27<0，故26<3 3.所以a ∈M .答案 B2．若P＝{(2,1)，(1,2)}，则集合P中元素的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析(2,1)，(1,2)为两个不同元素，共2个．答案 B3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1,2,3,4.故选B.答案B4．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1} D．{1}解析A、B、D选项表示的集合都是{1}，而C选项表示含有一个方程的集合．答案 C5．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是指( )A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第一、三象限内的点集D．第二、四象限内的点集解析xy<0表示x>0，且y<0，或x<0，且y>0.因此集合M表示第二、四象限内的点集．答案 D6．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A．3 B．6C．8 D．10解析∵x∈A，y∈A，x－y∈A，∴满足条件的(x，y)有(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(3,1)，(4,2)，(5,3)，(4,1)，(5,2)，(5,1)，共10个．答案 D7．{(x，y)|x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案 {(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}8．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A 且a ∈B ，则a 为________．解析 ∵a ∈A 且a ∈B ，∴a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y ＝x ＋3的解，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，∴a 为(2,5)．答案 (2,5)9．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________． 解析 ∵－5∈{x |x 2－ax －5＝0}， ∴－5是方程x 2－ax －5＝0的根． ∴(－5)2＋5a －5＝0，a ＝－4. ∴x 2－4x －a ＝0，即x 2－4x ＋4＝0. ∴x 1＝x 2＝2.又∵集合中的元素是互异的， ∴{x |x 2－4x －a ＝0}＝{2}． 答案 210．用另一种方法表示下列集合． (1){绝对值小于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}； (3){x |x ＝|x |，x <5，且x ∈Z }； (4){－3，－1,1,3,5}．解 (1)列举法表示为{－1,0,1}． (2)列举法表示为{3,6,9}． (3)列举法表示为{0,1,2,3,4}．(4)描述法表示为{x |x ＝2n －1，－1≤n ≤3，n ∈Z }． 11．下面三个集合： ①{x |y ＝x 2＋1}； ②{y |y ＝x 2＋1}； ③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们的各自含义是什么？ 解 (1)是互不相同的集合．(2)集合①{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，满足条件y ＝x 2＋1中的x ∈R ， ∴{x |y ＝x 2＋1}＝R ；集合②{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1. ∴{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}；集合③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的数对(x ，y )的集合；也可以认为是坐标平面内的点(x ，y )，由于这些点的坐标满足y ＝x 2＋1，∴{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{抛物线y ＝x 2＋1上的点}． 12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R . (1)若1∈A ，用列举法表示A ；(2)若A 中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合B . 解 (1)∵1∈A ，∴1是方程ax 2＋2x ＋1＝0的根． ∴a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3. ∴方程为－3x 2＋2x ＋1＝0.∴x 1＝1，x 2＝－13，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1.(2)若a ＝0，则方程化为2x ＋1＝0，x ＝－12，A 中仅有一个元素；若a ≠0，A 中仅有一个元素；当且仅当Δ＝4－4a ＝0， 即a ＝1，方程有两个相等的实根x 1＝x 2＝－1. ∴所求集合B ＝{0,1}．1.1.2集合间的基本关系双基限时练 新人教A 版必修11．已知集合A ＝{0,1}，则下列式子错误的是( ) A ．0∈A B ．{1}∈A C ．∅⊆AD ．{0,1}⊆A解析 “∈”表示元素与集合的关系，故A 正确；空集是任何集合的子集，故C 正确；因为A ＝{0,1}，所以{0,1}⊆A ，故D 正确；{1}⊆A ，故B 不正确．答案 B 2．下列命题 ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅A ，则A ≠∅.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 仅有④正确． 答案 B3．集合P ＝{x |y ＝x 2}，Q ＝{y |y ＝x 2}，则下列关系中正确的是( ) A ．P Q B ．P ＝Q C ．P ⊆QD ．P Q解析 P ＝{x |y ＝x 2}＝R ，Q ＝{y |y ＝x 2}＝{y |y ≥0}， ∴QP .即P Q .答案 D4．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最合适的关系是( )A ．A ⊆B B ．A ⊇BC ．A BD ．A B解析 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 中的元素是3的偶数倍． 答案 D 5．已知A ，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析 A ＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}． 答案 C6．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，如果Q ⊆P ，那么a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0,1或－1解析 当a ＝0时，Q ＝∅，适合题意，∴选D. 答案 D7．若A ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝1x －y －3＝0，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2＋1}，且A ⊆B ，则a ＝________.解析 A ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝1x －y －3＝0＝{(2，－1)}，∵A ⊆B ，∴－1＝a ×22＋1，∴a ＝－12.答案 －128．已知集合A ＝{x |x <3}，集合B ＝{x |x <m }，且A B ，则实数m 满足的条件是________．解析 将数集A 标在数轴上，如图所示，要满足A B ，表示数m 的点必须在表示3的点的右边，故m >3.答案 m >39．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为________．解析 因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0， ∴x ＝0时，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1. 此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意． ∴a ＝0或a ＝±1. 答案 {0,1，－1}10．右图所示的韦恩(Venn)图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A ，B ，C ，D ，E 分别是哪种图形的集合？解 由Venn 图知，B ，C ，D ，E 均为A 的子集，且E ⊆D ，D ⊆C .∵梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，∴A ＝{四边形}；梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形，∴B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}；正方形是菱形，∴D ＝{菱形}，E ＝{正方形}．11．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2＋x ＋a ＝0}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0，①当Δ＝1－4a <0，即a >14时，B ＝∅，B ⊆A 成立；②当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，B ⊆A 不成立；③当Δ＝1－4a >0，即a <14时，若B ⊆A 成立，则B ＝{－3,2}，∴a ＝－3×2＝－6. 综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6.12．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}． (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若 A ⊇B ，求m 的取值范围． 解 化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素， ∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个) (2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是： {m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．1.1.3.1并集与交集双基限时练 新人教A 版必修11．设X ＝{0,1,2,4,5,7}，Y ＝{1,4,6,8,9}，Z ＝{4,7,9}，则(X ∩Y )∪(X ∩Z )等于( ) A ．{1,4} B ．{1,7} C ．{4,7}D ．{1,4,7}解析 ∵X ∩Y ＝{1,4}，X ∩Z ＝{4,7}， ∴(X ∩Y )∪(X ∩Z )＝{1,4,7}． 答案 D2．设A ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}，则A ∩B 等于( ) A ．{x ＝1，或y ＝2}B ．{1,2}C．{(1,2)} D．(1,2)解析可用排除法，A∩B是点集，可排除A、B、D，必选C，也可用直接法．答案 C3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5，或x>－3}，则M∪N等于( )A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3，或x>5}解析如图所示．A∪B＝{x|x<－5，或x>－3}．答案 A4．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3解析由A∪B＝A得B⊆A，所以有m＝3或m＝m.由m＝m得m＝0或1，经检验，m ＝1时B＝{1,1}不符合集合元素的互异性，m＝0或3时符合．答案 B5．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影表示的集合为( )A．{2} B．{3}C．{－3,2} D．{－2,3}解析A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，由题意可知，阴影部分即为A∩B，故A∩B＝{2}．答案 A6．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( ) A．a<2 B．a>－2C．a>－1 D．－1<a≤2解析∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1.答案 C7．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析 如图，要使A ∪B ＝R ，只要a 不大于1，∴a ≤1. 答案 a ≤18．设集合A ＝{(x ，y )|a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0}，B ＝{(x ，y )|a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0}，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0的解集是________，方程(a 1x ＋b 1y ＋c 1)(a 2x ＋b 2y ＋c 2)＝0的解集是________．答案 A ∩B A ∪B9．设集合A ＝{5，a ＋1}，集合B ＝{a ，b }．若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析 ∵A ∩B ＝{2}，∴2∈A ，故a ＋1＝2，a ＝1， 即A ＝{5,2}；又2∈B ，∴b ＝2，即B ＝{1,2}， ∴A ∪B ＝{1,2,5}． 答案 {1,2,5}10．已知集合A ＝{1,3,5}，B ＝{1,2，x 2－1}，若A ∪B ＝{1,2,3,5}，求x 及A ∩B . 解 ∵B ⊆(A ∪B )，∴x 2－1∈A ∪B . ∴x 2－1＝3或x 2－1＝5. 解得x ＝±2或x ＝± 6. 若x 2－1＝3，则A ∩B ＝{1,3}． 若x 2－1＝5，则A ∩B ＝{1,5}．11．若非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，求使A ∩B ＝A 成立时a 的所有值．解 ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，由数轴知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥3，3a －5≤22，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥6，a ≥1，a ≤9.∴6≤a ≤9.12．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 取何实数时，A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立．解 B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．∵A ∩B ≠∅， ∴2或3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解． 又∵A ∩C ＝∅，∴2和－4都不是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解． ∴3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解． ∴a 2－3a －10＝0，∴a ＝－2或a ＝5. 当a ＝－2时，A ＝{－5,3}满足题意． 当a ＝5时，A ＝{2,3}，此时A ∩C ≠∅， ∴a ＝5不满足题意，舍去． 综上知a ＝－2.1.1.3.2补集及综合应用双基限时练 新人教A 版必修11．已知全集U ＝{0,1,2}，且∁U A ＝{0}，则集合A ＝( ) A ．{0,1,2} B ．{1,2} C ．UD ．∅解析 ∵U ＝{0,1,2}，且∁U A ＝{0}，∴A ＝{1,2}． 答案 B2．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＋1＞0}，则∁U A 是( ) A ．{x |x ＜－1} B ．{x |x ＋1≤0} C ．{x |x ＞－1}D ．{x |x ＋1≥0}解析 x ＋1>0⇒x >－1，∵U ＝R ，∴∁U A ＝{x |x ≤－1}， 即∁U A ＝{x |x ＋1≤0}． 答案 B3．设U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{1,3,5} B．{1,2,3,4,5}C．{7,9} D．{2,4}解析图中阴影部分表示的集合是(∁U A)∩B＝{2,4}．答案 D4．已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，则必有( )A．M⊆∁U N B．M∁U NC．∁U M＝∁U N D．M＝N解析用韦恩图表示答案 A5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}，故选B.答案 B6．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是( )A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2解析用数轴表示为：∁R B＝{x|x≤1，或x≥2}，又A∪(∁R B)＝R，∴a≥2.答案 C7．已知A＝{x|x≤1，或x>3}，B＝{x|x>2}，则(∁U A)∪B＝________.解析∁U A＝{x|1<x≤3}，∴(∁U A)∪B＝{x|x>1}．答案{x|x>1}8．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3，或x>4}，则a＝________，b＝________.答案 3 49．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析依题意得，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}．∴A∪B＝{1,3,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案{2,4,8}10．设全集U＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，∁U A＝(2，y)，求x，y的值．解∵A⊆U，∴5∈U.∴x2＋2x－3＝5，即x2＋2x－8＝0，解得x＝－4，或x＝2.∴U＝{2,3,5}，∵∁U A＝{2，y}，∴y∈U，且y∉A，∴y＝2，或y＝3.由∁U A中元素的互异性知，y≠2，∴y＝3.综上知，x＝－4或x＝2，y＝3.11．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪∁R A＝R，B∩∁R A＝{x|0<x<1或2<x<3 }，求集合B.解析∵A＝{x|1≤x≤2}，∴∁R A＝{x|x<1或x>2}．又B∪∁R A＝R，A∪∁R A＝R，可得A⊆B.而B ∩∁R A ＝{x |0<x <1或2<x <3}， ∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B . 借助于数轴可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}．12．设全集为R ，集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围． 解 ∵全集为R ，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}， ∴B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}． (1)若A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，∴－1≤a ≤2.(2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，结合数轴得a ＋3＜－1，或a ＞5，即a ＜－4，或a ＞5.1.2.1函数的概念双基限时练 新人教A 版必修11．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析 A 中一个x 对应的y 值不唯一． 答案 A2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1与g (x )＝x ＋x －B ．f (x )＝(2x －5)2与g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1D ．f (x )＝x 4x与g (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫t t 2解析 A 中，f (x )＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，g (x )＝x ＋x －的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，它们的定义域不相同，不是相等函数；B 中，f (x )＝(2x －5)2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥52，g (x )＝2x －5的定义域为R ，定义域不同，不是相等函数．C 中，f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1的对应关系不同，不是相函数等．D 中，f (x )＝x4x＝x (x >0)与g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫t t 2＝t (t >0)的定义域与对应关系都相同，它们是相等函数． 答案 D3．下列函数中，定义域不是R 的是( ) A ．y ＝ax ＋b B ．y ＝kx ＋2(k 为常数)C ．y ＝x 2＋x －1 D ．y ＝1x 2＋x ＋1答案 B4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析 y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．答案 B5．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或a ＝3B ．a ＝－1C ．a ＝3D ．a 不存在解析 因为函数f (x )的定义域和值域都为R ，所以函数f (x )是一次函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a －3≠0，所以a ＝－1.答案 B6．周长为定值a 的矩形，它的面积S 是这个矩形的一边长x 的函数，则这个函数的定义域是( )A ．(a ，＋∞)B ．(a2，＋∞)C ．(a2，a )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2 解析 根据题意知，矩形的另一边长为a －2x 2＝a2－x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，a2－x >0，得0<x <a2，故这个函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.答案 D7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 解析 由题意3a －1>a ，则a >12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．若f (x )＝x 2＋x 的定义域为{－1,0,1}，则函数的值域为________．解析 f (－1)＝(－1)2－1＝0，f (0)＝02＋0＝0，f (1)＝12＋1＝2，∴函数的值域为{0,2}．答案 {0,2} 9．若f (x )＝5xx 2＋1，且f (a )＝2，则a ＝________. 解析 由f (a )＝5a a 2＋1＝2，得2a 2－5a ＋2＝0， 解得a ＝12，或a ＝2.答案 12或210．若f (x )＝ax 2－2，且f (f (2))＝－2，求a . 解 因为f (2)＝a (2)2－2＝2a －2， 所以f (f (2))＝a (2a －2)2－2＝－2， 于是a (2a －2)2＝0,2a －2＝0或a ＝0， 所以a ＝22或a ＝0. 11．若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域． 解 由函数f (x )的定义域为－2≤x ≤1知，f (－x )的定义域为－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤2.由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，－1≤x ≤2，得－1≤x ≤1.故g (x )的定义域是[－1,1]． 12．已知函数f (x )＝x 2x 2＋1.(1)求f (2)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13；(2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x有什么关系？并证明你的发现．(3)求值：f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014.解 (1)∵f (x )＝x 2x 2＋1，∴f (2)＝2222＋1＝45；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝15.f (3)＝3232＋1＝910；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1＝110.(2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2x 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＝x 2x 2＋1＋1x 2＋1＝1.(3)由(2)知，f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，…， f (2014)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12014＝1， ∴原式＝＝2013.1.2.2.1函数的表示法双基限时练 新人教A 版必修11．y 与x 成反比例，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的解析式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝1xC ．y ＝－2xD ．y ＝－1x答案 A2．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝12x (x >0)B ．y ＝24x (x >0) C ．y ＝28x (x >0) D ．y ＝216x (x >0) 解析 正方形外接圆的直径是它的对角线，又正方形的边长为x4，由勾股定理得(2y )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42， ∴y 2＝x 232，∴y ＝28x (x >0)． 答案 C3．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点….用S 1和S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，S 为路程，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )答案 D4．若y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，x ≠1.∴g (x )的定义域为[0,1)． 答案 B5．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 2＋2C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2. 答案 B6．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：65%95%A ．100元B ．90元C ．80元D ．60元解析 100×65＝6500(元)，90×75＝6750(元)， 80×85＝6800(元)，60×95＝5700(元)． 比较结果知，每间房定价为80元收入最高． 答案 C7．已知函数的关系由下表给出：x f (x )解析 观察表可知f (x )的值比x 的值小1， 因此f (x )＝x －1.答案 f (x )＝x －18．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧f－12f －＝4，f－－12f ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f －f －＝8，f －－12f ＝－4.相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案839．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出．1 2x g (x )则f [g (1)]的值为解析 由表知，g (1)＝3，g (2)＝2. ∴f [g (1)]＝f (3)＝1.由g [f (x )]＝2，得f (x )＝2，∴x ＝1. 答案 1 110．已知f (x )为二次函数，其图象顶点为(1,3)，且过原点，求f (x )． 解 解法一：由于图象的顶点是(1,3)， 故设f (x )＝a (x －1)2＋3(a ≠0)． ∵图象过原点(0,0)， ∴a ＋3＝0，∴a ＝－3. 故f (x )＝－3(x －1)2＋3.解法二：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝1，4ac －b24a ＝3，c ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a ，b 2＝－12a ，c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6，c ＝0.∴f (x )＝－3x 2＋6x .11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：23(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝2bxax －1，a ≠0，f (1)＝1且使f (x )＝2x 成立的实数x 只有一个，求函数f (x )的表达式．解 由f (x )＝2bxax －1，f (1)＝1，得a ＝2b ＋1. 由f (x )＝2x 只有一个解，即2bxax －1＝2x ，也就是 2ax 2－2(1＋b )x ＝0(a ≠0)只有一解， ∴b ＝－1，∴a ＝－1. 故f (x )＝2x x ＋1.1.2.2.2分段函数及映射双基限时练 新人教A 版必修11．函数f (x )＝|x ＋1|的图象为( )解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ≤－1，x ＋1，x >－1，观察图象可得．答案 A2．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，3－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是(1,2)．答案 C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5x，f x ＋x(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2. 答案 A4．已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤4}，下列对应关系不能构成从集合A 到集合B 的映射的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝32xC ．y ＝x 2D ．y ＝4x －1解析 由映射的定义知，在D 中，当x ＝2时，y ＝2×4－1＝7，而7∉B ，也就是说集合A 中的元素有的在B 中无对应元素．因此，D 不能构成从A 到B 的映射．答案 D5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2 x ，2x ， 3 x的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0,3]D ．{y |0≤y ≤2，或y ＝3}解析 作出分段函数的图象易知． 答案 D6．下列各图表示的对应，构成映射的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析 从A 到B 的映射有：①，②，③.答案 A7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x，2xx ，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤2，x 20＋2＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>2，2x 0＝8.即⎩⎨⎧x 0≤2，x 0＝±6，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>2，x 0＝4.∴x 0＝－6，或x 0＝4. 答案 －6或48．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是________．解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1；f (x )＝－x .当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x <0，－x ， 0≤x ≤19．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1，2－x ，x ≥1.画函数f (x )的图象，得值域是(－∞，1]．答案 (－∞，1]10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2，(1)在直角坐标系中画出f (x )的图象； (2)若f (t )＝3，求t 的值； (3)求f (x )在(－2,1)上的值域． 解 (1)函数f (x )的图象如下图．(2)当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2，∴f (t )＝t ＋2＝3. ∴t ＝1，不符合题意舍去；当－1<x <2时，f (x )＝x 2，∴f (t )＝t 2＝3. ∴t ＝3或t ＝－3，t ＝－3不符合题意舍去． 故t ＝3；当x ≥2时，f (x )＝2x ，∴f (t )＝2t ＝3. ∴t ＝32，不符合题意舍去．∴t 的值为 3.(3)由(1)中图象知x ∈(－2,1)时，值域为[0,1]．11．如图所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )．(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求f (x )的最大值．解 (1)函数的定义域为(0,12)．当0<x ≤4时，S ＝f (x )＝12×4×x ＝2x ；当4<x ≤8时，S ＝f (x )＝12×4×4＝8；当8<x <12时，S ＝f (x )＝12×4×(12－x )＝24－2x .∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈，4]，8，x ∈，8]，24－2x ，x ∈，(2)图象如图所示．从图象可以看出f (x )max ＝8.12．某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．(1)写出乘车路程x (公里)与收费y (元)之间的函数关系式；(2)若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付车费多少元？ 解 (1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 x ，5＋x － x ，14.6＋x － x ，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 x ，1.8＋1.6xx ，2.4x －4.6x(2)∵甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8， ∴应付车费y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)． 即乘出租车从甲地到乙地共需要支付车费19.4元．1.3.1.1函数的单调性双基限时练 新人教A 版必修11．下列函数在(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝1－2x B ．y ＝－x 2＋2x C ．y ＝5D ．y ＝x －1解析 选项A 中y ＝1－2x 为减函数，C 中y ＝5为常数函数，D 中y ＝x －1的定义域为[1，＋∞)．答案 B2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )A.f x 1－f x 2x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f x 1－f x 2>0解析 由增函数的定义易知A 、B 、D 正确，故选C. 答案 C3．设f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数，则有( ) A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a >－12D ．a <12解析 ∵f (x )在R 上是减函数，故2a －1<0，即a <12.答案 D4．函数y ＝|x |－1的单调减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，－1) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析 y ＝|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，－x －1，x <0，在(－∞，0)上为减函数．答案 A5．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax的递减区间，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．0≤a ≤1D ．0<a <1解析 由二次函数及反比例函数的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，∴0<a <1. 答案 D6．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤4B ．0≤m ≤2C ．m ≤0D ．m ≤0或m ≥4解析 由f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (2)>f (0)，解得a <0.又因f (x )图象的对称轴为x ＝－－4a 2a ＝2.所以x 在[0,2]上的值域与[2,4]上的值域相同，所以满足f (m )≥f (0)的m 的取值范围是0≤m ≤4.答案 A7．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________． 解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0. 答案 m >08．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析 ∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，∴a －12≤12，即a ≤2.答案 (－∞，2]9．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是__________．解析 ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34. 答案 f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3410．判断函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明． 解 f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1， 函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1＋2x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1＝x 1－x 2x 1－x 2－，∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1－1<0，x 2－1<0.∴x 1－x2x 1－x 2－<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． ∴函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数． 11．作出函数y ＝|x －2|(x ＋1)的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间． 解 当x －2≥0，即x ≥2时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x －2<0，即x <2时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12，[2，＋∞)是函数的单调增区间；⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2是函数的单调减区间．12．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧b －x ＋b －1x ，－x 2＋－b xx，在(－∞，＋∞)上为增函数，求实数b 的取值范围．解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1>0，2－b >0，b －1≥f ，即⎩⎪⎨⎪⎧b >12，b <2，b ≥1.∴1≤b <2.即实数b 的取值范围是1≤b <2.1.3.1.2函数的最大（小）值双基限时练 新人教A 版必修11．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A.13 B ．－12C ．1 D.12解析 函数y ＝1x －1在[2,3]上是减函数，∴当x ＝3时，取最小值为12. 答案 D2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，，则函数f (x )的最大值和最小值分别为( )A ．8,6B ．8,8C ．10,6D ．10,8解析 当x ∈[1,2]时，f (x )∈[8,10]；当x [－1,1)时，f (x )∈[6,8)，∴f (x )的最大值和最小值分别为10,6.答案 C3．函数y ＝|x ＋1|＋2的最小值是( ) A ．0 B ．－1 C ．2D ．3解析 y ＝|x ＋1|＋2的图象如下：所以最小值为2. 答案 C4．函数f (x )＝x 2＋2x －1，x ∈[－3,2]的最大值、最小值分别为( ) A ．9,0 B ．7,3 C ．2，－2D ．7，－2解析 f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，∴当x ＝－1时，有最小值－2，当x ＝2时，有最大值7.答案 D5．函数f (x )＝2x －1＋x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 易知当x ≥12时，函数f (x )为增函数，故值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案 A6．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，若该公司在两地共销售15辆(销售量单位：辆)，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析 设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，则利润y ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋4814∴当x ＝9或10时，可获最大利润120万元． 答案 C7．函数y ＝1x 在[1，a ]上的最小值为14，则a ＝______.解析 ∵y ＝1x在[1，a ]上是减函数，∴最小值为f (a )＝1a ＝14，∴a ＝4.答案 4 8．函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的值域为________．解析 f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，易知f (x )在[2,5]上为减函数，∴最小值为f (5)＝54，最大值为f (2)＝2，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2 9．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是________．解析 y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，作出图象，由图象知，1≤m ≤2.答案 [1,2]10．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a ，b 的值． 解 由f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b 的对称轴为x ＝1知，无论f (x )的单调性怎样，f (x )在[2,3]上存在最值的情况有两种：⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧f＝5，f ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最值； (2)若f (x )是单调函数，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∵x ∈[－5,5]，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2的图象是抛物线，其对称轴为x ＝－a . 若函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． 是单调函数，则有－a ≤－5，或－a ≥5， ∴a ≥5，或a ≤－5.故所求实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 12．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.1.3.2.1函数的奇偶性双基限时练 新人教A 版必修11．设自变量x ∈R ，下列各函数中是奇函数的是( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－|x | C ．y ＝－2x 2D ．y ＝x 3＋x答案 D2．对于定义在R 上的任意奇函数f (x )都有( ) A ．f (x )－f (－x )>0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )≤0 D ．f (x )·f (－x )>0 解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0，故C 正确． 答案 C3．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 函数f (x )的定义域关于原点对称， 又∵f (－x )＝1－x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称． 答案 C4．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( ) A ．(a ，f (－a )) B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a ))D.⎝⎛⎭⎪⎫a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a解析 当x ＝－a 时，f (－a )＝－f (a )， ∴过点(－a ，－f (a ))． 答案 C5．偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有( )A ．f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－π)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－1)>f (－π)C ．f (－π)>f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．f (－1)>f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析 ∵y ＝f (x )为偶函数， ∴f (－1)＝f (1)，f (－π)＝f (π)．∵0<1<π3<π<4，y ＝f (x )在[0,4]上单调递减，∴f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (π)． ∴f (－1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (－π)． 答案 A6．已知x >0时，f (x )＝x －2013，且知f (x )在定义域上是奇函数，则当x <0时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝x ＋2013B ．f (x )＝－x ＋2013C ．f (x )＝－x －2013D ．f (x )＝x －2013解析 设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x －2013，又因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝x ＋2013，故选A. 答案 A 7．设函数f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，则a ＝________.解析 由f (－x )＝－f (x )，得－x ＋－x ＋a－x＝x ＋x ＋a－x，即(x －1)(x －a )＝(x ＋1)(x ＋a )(x ≠0)，∴a ＝－1. 答案 －18．已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个不同的交点，则这四个不同交点的横坐标之和为________．解析 由题意可知函数f (x )的图象关于y 轴对称．所以函数f (x )的图象与x 轴的四个不同交点关于y 轴对称，因此四个不同交点的横坐标之和为0.答案 09．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2xx g x x为奇函数，则f (g (－1))＝________.解析 当x <0时，则－x >0，由f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2x ＝x 2－2x ， 所以f (x )＝－x 2＋2x . 即g (x )＝－x 2＋2x ，因此，f (g (－1))＝f (－3)＝－9－6＝－15. 答案 －1510．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域是[a －1,2a ]，求f (x )的值域． 解 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在区间[a －1,2a ]上的偶函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＝0，b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1.∴f (x )＝13x 2＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3127. 11．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1x －1； (2)f (x )＝－3x 2＋1； (3)f (x )＝1－x ·1＋x|x ＋2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，1，x ＝0，－x ＋1，x <0.。
高中数学必修1全册章节测试题集含答案
人教A版高中数学必修1全册章节测试题目录必修一第1章第1节集合试题必修一第1章第2节函数及其表示试题必修一第1章第3节函数的基本性质试题必修一第2章基本初等函数综合试题必修一第2章第1节指数函数试题必修一第2章第2节对数函数试题必修一第2章第3节幂函数试题必修一第3章第1节方程的根与函数的零点试题必修一第3章第2节函数的应用试题必修一综合试题1必修一综合试题2集合试题一、选择题（每小题5分，计5×12=60分）1．下列集合中，结果是空集的为（ D ）（A）（B）（C）（D）2．设集合，，则（A ）（A）（B）（C）（D）3．下列表示①②③④中,正确的个数为(A )（A）1 （B）2 （C）3 （D）44．满足的集合的个数为（ A ）（A）6 （B） 7 （C） 8 （D）95．若集合、、，满足，，则与之间的关系（ C ）（A）（B）（C）（D）6．下列集合中，表示方程组的解集的是（ C）（A）（B）（C）（D）7．设，，若，则实数的取值范围是（ A ）（A）（B）（C）（D）8．已知全集合，，，那么是（ D ）（A）（B）（C）（D）9．已知集合，则等于（ D ）（A）（B）（C）（D）10．已知集合，，那么（ C ）（A）（B）（C）（D）11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ C ）（A）（B）（C）（D）12．设全集，若，，，则下列结论正确的是（ B ）（A）且（B）且（C）且（D）且二、填空题（每小题4分，计4×4=16分）13．已知集合，，则集合_.14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为_.15．设全集，，，则的值为2或8.16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分）17．（本小题满分12分）若，求实数的值。
解：或或当时，，，，适合条件；当时，，，，适合条件从而，或18．（本小题满分12分）设全集合，，，求，，，解：，19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求，解：，且，，，，20（本小题满分12分）已知集合，，且，求实数的取值范围。
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高一数学各章节必修综合训练解析卷第一章集合与函数测试题一、选择题（每小题4分，共32分）1、图中阴影部分表示的集合是 ( ) A. B C A U B. B A C U C. )(B A C UD. )(B A C U2、下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是 （ ）A. {}M π=, {3.14159}N =B. {2,3}M =, {(2,3)}N =C. {|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =D. {}M π=, {,1,|N π=3、已知集合A={x x ≤2，R x ∈}，B={x x ≥a}，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）a ≥－２ （B ）a ≤－２ （C ）a ≥２ （D ）a ≤２4、设全集{}+∈≤=N x x x U ,8|，若{}8,1)(=B C A U ，{}6,2)(=B A C U ， {}7,4)()(=B C A C U U ，则 （ ）（A ）{}{}6,2,8,1==B A （B ）{}{}6,5,3,2,8,5,3,1==B A （C ）{}{}6,5,3,2,8,1==B A （D ）{}{}6,5,2,8,3,1==B A5、设P=}|),{(},|{22x y y x Q x y x ===，则P 、Q 的关系是 （ ） （A ）P ⊆Q （B ）P ⊇Q （C ）P=Q （D ）P ⋂Q=∅6、下列四组函数，表示同一函数的是 （ ）（A ）f (x )＝2x , g (x )＝x （B ） f (x )＝x , g (x )＝xx 2（C ）f (x )＝42-x , g (x )＝22-⋅+x x （D ）f (x )＝|x ＋1|, g (x )＝⎩⎨⎧-<---≥+1111x x x x7、函数xx x y +=的图象是图中的 （ ）8、某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h 与时间t 的函数关系式是()24.914.718h t t t =-++，则炮弹在发射几秒后最高呢？ （ ）A. 1.3秒B. 1.4秒C. 1.5秒 D 1.6秒 二、填空题（每小题4分,共16分）9、已知集合{},,,A a b c =，则集合A 的非空真子集的个数是10、已知集合M={0，1，2}，N={M a a x x ∈=,2}，则集合N M = ，N M = 。
11、A={x －２＜x ＜5}，B={x x ≤3或x ≥8}，则（A C R ） （B C R ）＝12、设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝三、解答题（每大题13分，共52分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
） 13、已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.（1）当m =3时，求集合A B ，B A ； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围。
14、设集合{}04|2=+=x x x A ,{}01)1(2|22=-+++=a x a x x B（1）若B B A = ，求a 的值组成的集合C 。
（2）若B B A = ，求a 的值。
15、求下列函数的值域：⑴ 1+=x y ； ⑵ 2211xx y +-=；⑶742-+-=x x y ,x ∈{0,1,2,3,4}； ⑷ 742-+-=x x y （x ∈[0,3]）16、某市场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （元）与（2）设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系，写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？参考答案1—4：ADBB 5—8：DDCC9.6 10. {}4,2,1,0 {},2,0 11.{}32x x x >≤-或 12.13413.①[]5,4=⋂B A []5,2-=⋃B A ②3≤m14. ①11=-≤ora a ②1=a15.① [)+∞,1 ②(]1,1- ③{}3,4,7--- ④ []3,7-- 16. ①1503+-=x y②300)40(32+--=x p 当x=40时，y 有最大值300高中数学必修一第二章基本初等函数测试题一、选择题：1．已知p >q >1,0<a <1,则下列各式中正确的是（ B ）A ．q p a a >B ．a aqp >C ．q p a a -->D ．a aq p-->2、已知(10)xf x =，则(5)f = （ D ） A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg5 3．函数x y a log =当x >2 时恒有y >1，则a 的取值范围是（ A ）A ．1221≠≤≤a a 且 B ．02121≤<≤<a a 或 C ．21≤<a D ．2101≤<≥a a 或 4．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．15=1．61) ( B ) A ．10% B ．16．4% C ．16．8% D ．20% 5． 设g (x )为R 上不恒等于0的奇函数，)(111)(x g b a x f x⎪⎭⎫⎝⎛+-=(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则常数b 的值为（ C ）A ．2B ．1C ．21 D ．与a 有关的值6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是（ A ）7、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ C ）A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >>8．设f (x )=a x ，g (x )=x 31，h (x )=log a x ，a 满足log a (1－a 2)＞0，那么当x ＞1时必有 ( B ） A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．f(x )＜g (x )＜h (x ) D ．f (x )＜h (x )＜g (x )9、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（ A ）A 、减少7.84%B 、增加7.84%C 、减少9.5%D 、不增不减 10． 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ A ）A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f +D ． 无法确定二、填空题11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(xf 的定义域是 (0,1) .12．我国2000年底的人口总数为M ，要实现到2010年底我国人口总数不超过N （其中M<N ），则人口的年平均自然增长率p. 13．将函数xy 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，作出C 2关于直线y =x 对称的图象C 3，则C 3的解析式为1)1(log 2--=x y . 14．已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是a a a 3331<<.15．942--=a axy 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 5 .16．函数y=)124(log 221-+x x 的单调递增区间是)2,(--∞.17．方程log 2(2x +1)log 2(2x +1+2)=2的解为 0 三、解答题：18、判断函数)()lgf x x =的奇偶性单调性。
奇函数，函数是减函数。
解：∵),()lgx R f x x ∈-=，)()lgf x x =∴))()22()()lg lg lg 1lg10f x f x x x x x +-=+=+-== 即()()f x f x =--，∴函数)()lg f x x =是奇函数。
设1212,,x x x x R <∈，设()u x x =，则))1122()lg,()lgf x x f x x ==且))()212121()()u x u x x x x x -=-=--()222121()x x x x =-=-2211x x x x >>≥≥，∴210,0x x -<<∴21()()u x u x <，即21()()f x f x <，∴函数)()lg f x x =在定义域内是减函数。
19．已知函数xx ab y 22++=(a 、b 是常数且a>0，a ≠1)在区间[－23，0]上有y max =3， y min =25，试求a 和b 的值. 解：令u =x 2+2x =(x +1)2－1 x ∈[－23，0] ∴当x =－1时，u min =－1 当x =0时，u max =0 .233222223225310)2222531)10110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+<<⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>--b a b a b a a b a b a b a a b a b a 或综上得解得时当解得时当20．已知函数f (x )=lg (a x 2+2x +1)（1）若f (x )的定义域是R ，求实数a 的取值范围及f (x )的值域； （2）若f (x )的值域是R ，求实数a 的取值范围及f (x )的定义域. 解：（1）因为f (x )的定义域为R ，所以a x 2+2x +1>0对一切x ∈R 成立．由此得⎩⎨⎧<-=∆>,044,0a a 解得a >1. 又因为ax 2+2x +1=a (x +a 1)+1－a 1>0，所以f (x )=lg (a x 2+2x +1) ≥lg (1－a1)，所以实数a 的取值范围是(1,+ ∞) ,f (x )的值域是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,11lg a ( 2 ) 因为f (x )的值域是R ，所以u =ax 2+2x +1的值域⊇(0, +∞).当a =0时，u =2x +1的值域为R ⊇(0, +∞)；当a ≠0时，u =ax 2+2x +1的值域⊇(0, +∞)等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤->.0444,0aa a 解之得0<a ≤1. 所以实数a 的取值范围是[0.1] 当a =0时，由2x +1>0得x >－21, f (x )的定义域是(－21,+∞)； 当0<a ≤1时，由a x 2+2x +1>0 解得aa x aa x --->-+-<1111或f (x )的定义域是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞-,1111,a a a a21．（14分）某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,025,,100,2530,.t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？解：设日销售金额为y （元），则y =p ⋅Q ．2220800,1404000,t t y t t ⎧-++⎪∴=⎨-+⎪⎩ 025,,2530,.t t N t t N <<∈≤≤∈22(10)900,(70)900,t t ⎧--+⎪=⎨--⎪⎩ 025,,2530,.t t N t t N <<∈≤≤∈ 当N t t ∈<<,250，t =10时，900m ax =y (元)； 当N t t ∈≤≤,3025，t=25时，1125m ax =y （元）． 由1125>900，知y max =1125（元），且第25天，日销售额最大.22．如图，A ，B ，C 为函数x y 21log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设∆ABC 的面积为S 求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值.解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1，则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .)441(log )2(4log 232231t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1<u ≤59; S ⎥⎦⎤⎝⎛=59,1log 3在u 上是增函数，所以复合函数S=f (t ) [)+∞++=,1)441(log 23在tt 上是减函数（3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 259log 33-==第三章 函数的应用一、基本内容串讲本章主干知识是：零点与方程根，用二分法求方程的近似解，函数的模型及其应用 1．函数与方程（1）方程的根与函数的零点：如果函数)(x f y =在区间 [a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间 (a , b ) 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根。