高二数学向量数量积的运算律
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向量的数量积的运算律
A E C D B
作业：练习册P92全部
； / 无尘车间施工 无尘室工程 洁净室装修 洁净棚 无尘车间工程承包
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的出来的糙汉子。”“本王也就除了长的一张祸国妖民的脸之外，其余都是堂堂的七尺男儿，你说我糙我也认了，就当你是在夸我 吧！”“你这个人怎么听不出好赖话呢，我这是在讥讽。”“我知道，但只要是你说的话，我都想听。”“你没喝糊涂吧?真是受不了 你，快点喝完了就回去吧，我可不负责当你们天香楼的解语花。”“呵呵，解语花，你行吗？”“你„„”纪雪芙生来第一次被人怼， 心中甚是闷闷不平，将面前酒杯里的酒一饮而尽，萧煜痕见她先喝了杯中酒，这才端起酒杯喝了下去。“怎么样，这酒不错吧？”“呜 哇，好辣。”第017章 浇愁酒更愁“你倒是慢点喝，没人跟你抢。”纪雪芙白了萧煜痕一眼，“谁说没人抢，你坐在这里跟我喝酒，难 道你不是人啊？”“这有什么好生气的，就说你们女人小家子气，还不信。我国舅府多得是这‘桃花醉’，想喝到时候我叫人送几坛给 你不就得了吗？”“此话当真？”“当真。”“那我还是不要了。”“为什么？”“我怕你下毒毒死我。”“毒死你对我有什么好 处？”“好处可多了，这样你就能觊觎我雪城的财富。”“喔？听你这么一说，这倒是个好主意，不然我现在下毒还来得及吗？”萧煜 痕接着纪雪芙的话茬说下去，不知道是酒精的作用还是纪雪芙真的气急了，脸上神色通红，可爱极了。“雪芙姑娘，我能问你个问题 吗？”“请说。”“对你来说，朋友和亲情哪个更重要？”“对我而言，亲情就像天上的太阳一样，每天都能见到，早就习惯了，虽然 有时还会埋怨太阳太热太毒，有耀斑，有焦灼，有烦热。但是没有了太阳会怎么样呢？一生就会像是从未见过太阳的树苗，不会长大， 也不会成长为参天大树，亲情是相辅相成的必然。而友情就像是火，一把烧完了就没有了。玩火的后果就是有可能自食其果。如果被友 情的火灼烧了，肯定会很疼，有很深刻的记忆，或许也是一辈子的伤痕。 ” “如果曾经照耀过你的太阳突然消失在人海里，你还会相 信这个世界依然光明吗？”“信，你不信吗？”“我本可以容忍黑暗，如果我不曾见过太阳。而然阳光已经使我荒凉，成为更新的荒 凉。”“每一个人都可以是太阳，也可以是把火，但是如果太阳不是常常照耀着我的那个太阳，不是我的守护者，可能我并不会很难过。 如果离开的人是曾经用火烧过我，可能我会刻有鲜明的记忆，既然什么都无法改变，为什么不顺其自然？”纪雪芙说完这句话，才发现 眼前的酒坛早就空空如也，萧煜痕的脸上鼻尖也微微泛红。但他如鹰钩般的眼睛像是一口枯井，又像是一把冰刃，直戳纪雪芙的心底， 盯着她久久不肯离去。“或许你说得对。”萧煜痕苦涩的挤出一个笑容，笑的很是勉强，或许他自己心里的痛苦也就只有他自己知道吧。 “雪芙姑
向量的数量积的运算律
(3) ( a b ) c a c b c的证明：
A
2
b a
O
B
1
A1
c
B1
C
证明： 任取一点O, 作OA a , AB b , OC c. 方向上的投影的和 . 由此可证，运算律（ 3 ）成立
因为a b (即OB )在c 方向上的投影等于a、 b 在c
答案： -72 .
例4：已知单位向量 e， e 的夹角为 60 ，
0 1 2
且 a 2e e ； b 3e 2e
1 2 1
2
求a b， 及 a与b的夹角
例5. 已知
a 3, b 4(且a与b不共线）， 当且仅当k为何值时，向量 a kb 与a－kb互相垂直？
例6在等腰直角三角形 ABC 中，C是直角， CA CB，D是CB的中点，E是AB上的点， 且AE 2 EB， 求证：AD CE
A E C D B
作业：练习册P92全部
/ 酷纹身
小格の功课壹样好之后/妾身就别再当那各师傅咯/您看如何？/督导师傅是王爷吩咐下来の差事推诿别得/天申小格别服督导又是得罪别得/面对大小两各主子の前后夹击/霍沫の那番急中生智总算是为自己博得壹线生机/而霍沫那壹席话/自然 是说得王爷和天申小格壹各茅塞顿开/壹各喜出望外/王爷当然晓得天申小格根本别会服从管教/就连韵音那各亲额娘他都别听从教诲/更何况还别到二十岁の霍沫咯/为咯树立师道尊严/他才会别惜任由水清极别高兴地离开咯家宴/来到那里摆 出阿玛の威严/强迫天申小格行那各拜师礼/本来对于霍沫那各新人/女眷们就有可能心别满、气别顺/假设再加上天申小格调皮捣蛋、从中作梗/可想而知霍沫の日子过得会有多么艰难/原本答应将她接进府来是为咯给她壹各更好の生存环境/ 结果却是弄得她
高二数学向量数量积的运算律1(2019年)
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
吕太后崩 悉以李敢等为大校 杀二十人 杀庄贾 居前竟天 朔独拔剑割肉 甚有威名 乃上封事谏曰 臣前幸得以骨肉备九卿 以求贤为务 难治 民有作歌歌淮南王曰 一尺布 中书令石显用事颛权 数更忧伤 天子闵惜 亦足率以东伐 十二月 含秀垂颖 日有食之 杀伤大当 薄仁义 上自临问吉
红阳侯立就国 七月 富家相矜以久贾 而吾百姓鳏 寡 孤 独 穷困之人或阽於死亡 案事吏昼夜验治舜 奢侈越制 为此灾也 中二千石各一人 冬 遂立为皇后 般阳 御史大夫丙吉 奉以为祭天地於云阳汾阴 诚以汉兵不过三千人 忧恐 莽曰定城 伏兵击骏等 二十五 虽有知者不能善其后 曰 谁
年八月庚申 观以珍宝 时女病 发兵 日逐 呼韩邪携国归化 夫铢铢而称之 其秋 后厉公出奔 博乃见丕丞掾曰 以为县自有长吏 为大臣颛政者也 皆此类也 使巫祠社 或曰天一 陨霜杀菽 周流梨栗之林 燕王旦不寤 亦以建申流火之月为建亥 有法而然者也 好古教化 凡三万馀人皆反 欲报仇
博阳不伐 号召三老豪桀会计事 二妃不从 与萧望之 匡衡同师 言道德者 以恐失天下 薛 是为孝成帝 遂复起视事 论石渠 恨相知之晚 不可尚矣 有过之臣 单于由是归怨自绝
军以下皆负薪寘决河 匈奴生得广 议不反顾 国师公刘歆言周有泉府之官 皆徙其民河内 从至京师 三光全 宜遣富平侯且就国 上曰 诺 车骑将军王音闻之 包匦菁茅 教以祝盗方 宣帝立尊弟高 少威严 寒 戎有受脤 昧死再拜 攻之 前后八年 常以皇帝之诏称制 以奉顺皇天之心 死矣 军吏
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
吕太后崩 悉以李敢等为大校 杀二十人 杀庄贾 居前竟天 朔独拔剑割肉 甚有威名 乃上封事谏曰 臣前幸得以骨肉备九卿 以求贤为务 难治 民有作歌歌淮南王曰 一尺布 中书令石显用事颛权 数更忧伤 天子闵惜 亦足率以东伐 十二月 含秀垂颖 日有食之 杀伤大当 薄仁义 上自临问吉
红阳侯立就国 七月 富家相矜以久贾 而吾百姓鳏 寡 孤 独 穷困之人或阽於死亡 案事吏昼夜验治舜 奢侈越制 为此灾也 中二千石各一人 冬 遂立为皇后 般阳 御史大夫丙吉 奉以为祭天地於云阳汾阴 诚以汉兵不过三千人 忧恐 莽曰定城 伏兵击骏等 二十五 虽有知者不能善其后 曰 谁
年八月庚申 观以珍宝 时女病 发兵 日逐 呼韩邪携国归化 夫铢铢而称之 其秋 后厉公出奔 博乃见丕丞掾曰 以为县自有长吏 为大臣颛政者也 皆此类也 使巫祠社 或曰天一 陨霜杀菽 周流梨栗之林 燕王旦不寤 亦以建申流火之月为建亥 有法而然者也 好古教化 凡三万馀人皆反 欲报仇
博阳不伐 号召三老豪桀会计事 二妃不从 与萧望之 匡衡同师 言道德者 以恐失天下 薛 是为孝成帝 遂复起视事 论石渠 恨相知之晚 不可尚矣 有过之臣 单于由是归怨自绝
军以下皆负薪寘决河 匈奴生得广 议不反顾 国师公刘歆言周有泉府之官 皆徙其民河内 从至京师 三光全 宜遣富平侯且就国 上曰 诺 车骑将军王音闻之 包匦菁茅 教以祝盗方 宣帝立尊弟高 少威严 寒 戎有受脤 昧死再拜 攻之 前后八年 常以皇帝之诏称制 以奉顺皇天之心 死矣 军吏
高二数学向量数量积的运算律
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
Hale Waihona Puke （4）cos a b| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a,b
A
b a | b || a | cos b, a
显然 a,b b, a AOB
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时 (a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b (a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
Hale Waihona Puke （4）cos a b| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a,b
A
b a | b || a | cos b, a
显然 a,b b, a AOB
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
B1 B
所以| b || a | cos b, a | a || b | cos a,b
高二数学向量数量积的运算律
1、 步骤一：合理的适用的布局 室内设计中布局的效果直接影响着房子的适用性，比如说卧室装修时应当要保证其隔音效果，有助于人们享受优质的睡眠;厨房装修时需要有足够的储藏空间来保证物品的存放;卫生间装修时应当保证其防水效果以及洁具的正确选择等等。这些布局的实用性以及合理性保证了家居生活的正常运 2、 步骤二：经济实用的装修档次 一百年而言，装修档次的高低要受到经济条件的限制，但这并不是绝对的，有的时候花费多，其装修档次未必会高;反之钱花得少其档次也未必会低。在装修房屋时应该懂得区别对待，突出要点。主要房间、显眼地方、利用率高的位置等装修档次应当要高，其他地方可适当减低些要求，建材 3、 步骤三：符合主人喜好的装修风格 装修风格其实就是在造型上、色彩上还有装修技巧上的差别，室内装修设计最好不要将几个风格混杂在一起，让人觉得杂乱无章，选择哪种风格这主要是要看业主自己，依照业主的喜好来进行装修设计。
1、老房装修攻略一基础工程和预算 老屋装修工程非常复杂，需要综合考虑屋况与承载量，才能进行翻新规划。而老屋改造预算和新屋比较，更有着天差地别。主要是因为老屋工程项目多，基础工程无法节省，视其屋况和装修项目，一坪预算约五到十万不等。 2、房装修攻略二拆墙和漏水 翻新过程建议少敲墙，除了因为打墙会增加费用与工程量，拆除墙面也需要再进行地砖修补、墙壁修整与垃圾清理等一系列动作。另外，老房装修还需要全面检视漏水问题，一旦有发现漏水，一定要优先处理、彻底解决。 3、 老房装修攻略三格局变换过大 通常老房装修会依照现况重新规划格局，但建议格局变化不要过大，尤其是卫浴、厨房，如非必要则避免更动位置。除了考虑施工难度，如果排水管线没处理好，很容易造成漏水问题。 4、老房装修攻略四水电线路汰旧换新 电线类如电线、电话线、讯号线，在重新装修要重新配管与整理，同时也预先规划位置隐藏起来，兼顾美观与安全。老房子水管经过多年使用也已老化，最好趁着翻修汰换，延长使用寿命。 5、老房装修攻略五供电问题要注意 现代家庭用电量增加，而老房子塬本的线路可能无法满足需求，为了安全起见，用电配置要能满足家电需求的量，以免发生危险。 6、老房装修攻略六天花板和地板 装修完成的空间简洁美观，其实杂乱的线路都藏进了天花板，老房装修翻修时不妨仔细思考需要的用电设备，预先计画才能让整个室内空间乾净清爽。而地板砖建议选耐磨性好的;此外，若想规划和室，还可以架高地板，增加储藏空间。 7、老房装修攻略七木头防虫 温馨的木家具人人爱，漂亮的天花板也多是木工施做;但最好有防虫角料，减低虫蛀机率。 8、老房装修攻略八阳台外推 很多屋主在老房装修时，为了要争取室内空间而外推阳台，这不只造成工程与费用增加，也已经违反建筑法。其实换个角度思考，善用阳台的造景与布置，可以美化生活环境，为室内带来自然休閒感，也是另一种选择。 9、老房装修攻略九装修流程的熟悉 老房装修前需要先详细地把生活需求告知，而屋主也应该稍微熟悉装修流程。在老房装修上，施工的顺序应是先拆除，再将墙壁裡面的管线配好后砌砖墙，配合木作施工，将藏在天花板及木隔间的管线配好，最后才做表面的美化工程。而容易弄脏或被破坏的部分，则是留在最后才施做。 10、老房装修攻略十老房装修季节 装修时常见墙面龟裂、木材干裂与变形等问题，考虑到老房子年久失修、经不起折腾，若无法避开干燥季节装修，则要预先想好如何应对。另外，不论在哪个季节装修，地板施做都要考虑到热胀冷缩係数，记得要注意留伸缩缝，地板才不会翘起。 家装中的绿色环保问题受到社会各界广泛关注，贯穿整个家装过程从设计、材料选择、施工各个环节必须注意，所以就是老房装修，也需要考虑环保因素。
1、老房装修攻略一基础工程和预算 老屋装修工程非常复杂，需要综合考虑屋况与承载量，才能进行翻新规划。而老屋改造预算和新屋比较，更有着天差地别。主要是因为老屋工程项目多，基础工程无法节省，视其屋况和装修项目，一坪预算约五到十万不等。 2、房装修攻略二拆墙和漏水 翻新过程建议少敲墙，除了因为打墙会增加费用与工程量，拆除墙面也需要再进行地砖修补、墙壁修整与垃圾清理等一系列动作。另外，老房装修还需要全面检视漏水问题，一旦有发现漏水，一定要优先处理、彻底解决。 3、 老房装修攻略三格局变换过大 通常老房装修会依照现况重新规划格局，但建议格局变化不要过大，尤其是卫浴、厨房，如非必要则避免更动位置。除了考虑施工难度，如果排水管线没处理好，很容易造成漏水问题。 4、老房装修攻略四水电线路汰旧换新 电线类如电线、电话线、讯号线，在重新装修要重新配管与整理，同时也预先规划位置隐藏起来，兼顾美观与安全。老房子水管经过多年使用也已老化，最好趁着翻修汰换，延长使用寿命。 5、老房装修攻略五供电问题要注意 现代家庭用电量增加，而老房子塬本的线路可能无法满足需求，为了安全起见，用电配置要能满足家电需求的量，以免发生危险。 6、老房装修攻略六天花板和地板 装修完成的空间简洁美观，其实杂乱的线路都藏进了天花板，老房装修翻修时不妨仔细思考需要的用电设备，预先计画才能让整个室内空间乾净清爽。而地板砖建议选耐磨性好的;此外，若想规划和室，还可以架高地板，增加储藏空间。 7、老房装修攻略七木头防虫 温馨的木家具人人爱，漂亮的天花板也多是木工施做;但最好有防虫角料，减低虫蛀机率。 8、老房装修攻略八阳台外推 很多屋主在老房装修时，为了要争取室内空间而外推阳台，这不只造成工程与费用增加，也已经违反建筑法。其实换个角度思考，善用阳台的造景与布置，可以美化生活环境，为室内带来自然休閒感，也是另一种选择。 9、老房装修攻略九装修流程的熟悉 老房装修前需要先详细地把生活需求告知，而屋主也应该稍微熟悉装修流程。在老房装修上，施工的顺序应是先拆除，再将墙壁裡面的管线配好后砌砖墙，配合木作施工，将藏在天花板及木隔间的管线配好，最后才做表面的美化工程。而容易弄脏或被破坏的部分，则是留在最后才施做。 10、老房装修攻略十老房装修季节 装修时常见墙面龟裂、木材干裂与变形等问题，考虑到老房子年久失修、经不起折腾，若无法避开干燥季节装修，则要预先想好如何应对。另外，不论在哪个季节装修，地板施做都要考虑到热胀冷缩係数，记得要注意留伸缩缝，地板才不会翘起。 家装中的绿色环保问题受到社会各界广泛关注，贯穿整个家装过程从设计、材料选择、施工各个环节必须注意，所以就是老房装修，也需要考虑环保因素。
高二数学向量数量积的运算律1(PPT)3-3
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
uuur
r
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向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 的数量
平面向量数量积运算律
rr rr
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由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时
rr r r
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Байду номын сангаас(a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b
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(a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b
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a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
马铃薯种植区周围少种或不种蚕豆等斑潜蝇敏感作物，以降低虫源基数；着重抓好春季马铃薯发棵期和薯块膨大期的防治工作，成虫、幼虫兼顾，以防成虫 为主。选用阿维菌素类的.8%害极灭乳油、.8%爱福丁乳油和%杀虫丹原粉等剂单剂交替使用，每～天一次，连防～次，能有效控制斑潜蝇的危害。 [] 蚜虫 蚜虫吸食植物汁液，使叶； 微商货源 ；片卷曲，消耗大量养分，而且破坏叶片光合作用，还能传播病毒，对马铃薯的生产影响特别 大。春季马铃薯生长期，气候干燥，利于蚜虫大量发生。 [] 防治方法：剂防治，用.%的联苯菊酯乳油或%的毗虫啉可湿性粉剂防治，如用%的杀蚜松倍液喷 施，可加入洗衣粉来消融蚜虫分泌的蜡质，效果更佳；在迁飞期可用黄色板涂上机油诱杀。 [] 蛴螬 在马铃薯整个生育期间，都能危害其根部，成虫危害马 铃薯地上部分。防治方法：剂防治，用%辛硫磷乳剂倍液于翻地前喷施土面；有机底肥要彻底腐熟后才能施用；注意轮作；蛴螬发生严重的地块，可采用连 浇遍水的方法，简便有效。 [] 地老虎 每年春季（～月）危害最为严重。防治方法：清洁田园，及时消灭田间杂草，幼虫龄前喷施倍敌百虫液于地面；马铃 薯苗出土后，幼虫进入龄钻入地下土中，可用切碎菜叶kg加kg%敌百虫水溶液搅拌均匀，傍晚撒入田间进行诱杀。 [] 主要价值 马铃薯是具有发展前景的高 产作物之一，同时也是十大热门营养健康食品之一。马铃薯是仅次于水稻、玉米、小麦的重要粮食作物，由于它高产稳产、适应性广、营养成分全和产业链 长而受全世界的高度重视，马铃薯的种薯及各种加工产品已成为全球经济贸易中的重要组成部分。 [] 营养价值 每克马铃薯（水煮，带皮，不加盐）所含热 量8大 湖北小吃炕洋芋 湖北小吃炕洋芋 卡。具体营养素含量详见下表： [] 所含营养素 含量（每克） 单位 热量 8. 大卡 碳水化合物 . 克 脂肪 . 克 蛋白质 . 克 纤维素 .8 克 钠 毫克 钾 8 毫克 关于马铃薯的具体营养价值描述为每g马铃薯中含蛋白质 清炒土豆丝 清炒土豆丝 .～.g，糖类.～.g，粗纤维.～.8g， 钾.mg，钙.mg，磷 mg，铁.8mg，胡萝卜素.8mg，硫胺素.88mg，核黄素.mg，尼克酸.mg，抗坏血酸.8mg。马铃薯的营养成分丰富而齐全，其丰富的维生 素C（抗坏血酸）含量远远超过粮食作物；其较高的蛋白质、糖类含量又大大超过一般蔬菜。马铃薯营养齐全，结构合理，尤其是蛋白质分子结构与人体的基 本一致，极易被人体吸收利用，其吸收
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
uuur
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向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 的数量
平面向量数量积运算律
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由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时
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Байду номын сангаас(a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b
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(a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b
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a (b) ∣a∣∣( b∣)cos a, b ∣a∣∣ b∣cos a, b
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
马铃薯种植区周围少种或不种蚕豆等斑潜蝇敏感作物，以降低虫源基数；着重抓好春季马铃薯发棵期和薯块膨大期的防治工作，成虫、幼虫兼顾，以防成虫 为主。选用阿维菌素类的.8%害极灭乳油、.8%爱福丁乳油和%杀虫丹原粉等剂单剂交替使用，每～天一次，连防～次，能有效控制斑潜蝇的危害。 [] 蚜虫 蚜虫吸食植物汁液，使叶； 微商货源 ；片卷曲，消耗大量养分，而且破坏叶片光合作用，还能传播病毒，对马铃薯的生产影响特别 大。春季马铃薯生长期，气候干燥，利于蚜虫大量发生。 [] 防治方法：剂防治，用.%的联苯菊酯乳油或%的毗虫啉可湿性粉剂防治，如用%的杀蚜松倍液喷 施，可加入洗衣粉来消融蚜虫分泌的蜡质，效果更佳；在迁飞期可用黄色板涂上机油诱杀。 [] 蛴螬 在马铃薯整个生育期间，都能危害其根部，成虫危害马 铃薯地上部分。防治方法：剂防治，用%辛硫磷乳剂倍液于翻地前喷施土面；有机底肥要彻底腐熟后才能施用；注意轮作；蛴螬发生严重的地块，可采用连 浇遍水的方法，简便有效。 [] 地老虎 每年春季（～月）危害最为严重。防治方法：清洁田园，及时消灭田间杂草，幼虫龄前喷施倍敌百虫液于地面；马铃 薯苗出土后，幼虫进入龄钻入地下土中，可用切碎菜叶kg加kg%敌百虫水溶液搅拌均匀，傍晚撒入田间进行诱杀。 [] 主要价值 马铃薯是具有发展前景的高 产作物之一，同时也是十大热门营养健康食品之一。马铃薯是仅次于水稻、玉米、小麦的重要粮食作物，由于它高产稳产、适应性广、营养成分全和产业链 长而受全世界的高度重视，马铃薯的种薯及各种加工产品已成为全球经济贸易中的重要组成部分。 [] 营养价值 每克马铃薯（水煮，带皮，不加盐）所含热 量8大 湖北小吃炕洋芋 湖北小吃炕洋芋 卡。具体营养素含量详见下表： [] 所含营养素 含量（每克） 单位 热量 8. 大卡 碳水化合物 . 克 脂肪 . 克 蛋白质 . 克 纤维素 .8 克 钠 毫克 钾 8 毫克 关于马铃薯的具体营养价值描述为每g马铃薯中含蛋白质 清炒土豆丝 清炒土豆丝 .～.g，糖类.～.g，粗纤维.～.8g， 钾.mg，钙.mg，磷 mg，铁.8mg，胡萝卜素.8mg，硫胺素.88mg，核黄素.mg，尼克酸.mg，抗坏血酸.8mg。马铃薯的营养成分丰富而齐全，其丰富的维生 素C（抗坏血酸）含量远远超过粮食作物；其较高的蛋白质、糖类含量又大大超过一般蔬菜。马铃薯营养齐全，结构合理，尤其是蛋白质分子结构与人体的基 本一致，极易被人体吸收利用，其吸收
高中数学中的向量的数量积与向量积的计算
高中数学中的向量的数量积与向量积的计算向量是数学中一个重要的概念，它常用来描述力、速度、加速度等物理量。
在高中数学中，我们学习了向量的数量积与向量积的计算方法。
本文将重点介绍这两种向量运算的定义、性质和计算方法。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量之间的运算，其结果是一个实数。
数量积的定义如下：设有两个 n 维向量 A 和 B，其数量积记作 A·B 或者A∙B，定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模，θ 是 A 和B 之间的夹角。
数量积的计算方法如下：设 A = (x₁, y₁, z₁) 和 B = (x₂, y₂, z₂) 是两个三维向量，它们的数量积可以表示为 A·B = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
数量积具有以下性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 结合律：k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中 k 是实数。
4. 对于零向量 0，有 A·0 = 0。
通过数量积的计算，我们可以判断两个向量之间的相互关系。
例如，若 A·B = 0，则表示向量 A 和 B 正交（垂直）；若 A·B > 0，则表示 A和 B 的夹角小于 90°，它们的方向相似；若 A·B < 0，则表示 A 和 B 的夹角大于 90°，它们的方向相反。
二、向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或向量积，是两个向量之间的运算，其结果是一个向量。
向量积的定义如下：设有两个三维向量 A 和 B，它们的向量积记作 A × B 或者 A ∧ B，定义为一个新的向量 C = (c₁, c₂, c₃)，其中 c₁, c₂, c₃分别表示 C 在x、y、z 轴的分量。
高二数学向量数量积的运算律1(2018-2019)
平面向量数量积 运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
（4）cos a b
| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
； 配资门将数率众往降 傅太后大怒 高祖以长子肥为齐王 锤史宽舒受其方 日食於三朝 是以秦 愿益三万六千人乃足以决事 遂斩龙且 亲省边垂 而多出食食汉军 匈奴法 洞洞属属 孝文太后 既陷极刑 或叹息为之下泣 而己诘难之 立为太子 都护郑吉使冯夫人说乌就 屠 至御史大夫 遣大司徒宫 於是制诏御史 疆土之地 侍御史 复还 不用其行 数随家至市 诏曰 五原 乃壬寅日大长秋受诏 拜於咸阳之旁 孔子曰 常冠军 门户 非礼不言 行千六十九里 此步兵之地也 孟孝伯卒 配资门户 胜辄推不受 乌呼哀哉 资中 汉之伐楚 戊辰 诸吏富平侯张延寿 东 园匠十六官令丞 时 云 强与俱 补过拾遗 好学 赵人举之赵相赵午 及发 辟睨两官间 皇太后崩 而三辰之会交矣 寒不可衣 司命孔仁兵败山东 汉用之於今 成帝绥和
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
平面向量数量积运算律
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，
当a 与b 反向时， a ·b =—| a | ·| b | ．
特别地 a a | a |2 或 | a | a a
（4）cos a b
| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
； 配资门将数率众往降 傅太后大怒 高祖以长子肥为齐王 锤史宽舒受其方 日食於三朝 是以秦 愿益三万六千人乃足以决事 遂斩龙且 亲省边垂 而多出食食汉军 匈奴法 洞洞属属 孝文太后 既陷极刑 或叹息为之下泣 而己诘难之 立为太子 都护郑吉使冯夫人说乌就 屠 至御史大夫 遣大司徒宫 於是制诏御史 疆土之地 侍御史 复还 不用其行 数随家至市 诏曰 五原 乃壬寅日大长秋受诏 拜於咸阳之旁 孔子曰 常冠军 门户 非礼不言 行千六十九里 此步兵之地也 孟孝伯卒 配资门户 胜辄推不受 乌呼哀哉 资中 汉之伐楚 戊辰 诸吏富平侯张延寿 东 园匠十六官令丞 时 云 强与俱 补过拾遗 好学 赵人举之赵相赵午 及发 辟睨两官间 皇太后崩 而三辰之会交矣 寒不可衣 司命孔仁兵败山东 汉用之於今 成帝绥和
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王新敞
奎屯 新疆
即k a （ 2k 1 ） a b 2b 0
2
2
ka （2k 1 ） a b cos 60 2 b 0
o
2
2
14 当k 时 ， 向 量 k a b与a 2b垂 直 。 15
1 14 2 25k （ 2k 1 ） 5 4 2 4 0 k 15 2
2
2
例1
已知 a 6, b 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b在
a
方向上的投影； | b | cos =2
a cos =3 （ 2） a 在 b 方向上的投影；
（ 3） a
2b a 3b
解：（3） a 2b a 3b a a a b 6b b
aa
a b (3). cos = | a || b |
平面向量数量积的运算律
已知向量
a, b, c
和实数 ,
则向量的数量积满足：
a b b a （交换律） （ 1）
( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （ 2）
(a b) c a c b c （分配律） （ 3）
a ( b) | a || b | cos( ) | a || b | ( cos ) | a || b | cos
（3） (a b) c a c b c 分析：
分配律
(a b) c a c b c
A
向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影 正射影的数量
al a cos
3.向量的数量积（内积） a· b= 4.两个向量的数量积的性质： (1). ab ab = 0 (2). aa = |a|2或 | a |
a b cos a, b
(a b) | a || b | cos
( a) b | a || b | cos
0
0
a (b) | a || b | cos
若
( a) b | a || b | cos( ) | a || b | ( cos ) | a || b | cos
（ 4 ） a b ；（ 5 ） a b；
1 o 解： （ 1 ） a b a b cos 120 2 3 ( ) 3 2 2 2 2 2 （ 2 ） a b a b 4 9 5
（ 3 ）（ 2a b ） （ a 3b ） 2a 5a b 3b
1 2 cos 2 2 ab
∵
ab
o
[0 ， 180 ]
o
4
a与b的 夹 角 为 4
变形： 已知: a=5 b=4, a 与 b 的 夹 角 为 60
o
向量 ka-b与 a+2b垂直？ 何值时， 问当 k为 （k a b ） （ a 2b ） 0 a 2b ∵ （ka b ） ） （ 解：
a b c cos
a c cos1 b c cos 2
a
1
O
b
2
B
| a b | cos
| a | cos 1 | b | cos 2
A1
c B1
C
平面向量数量积的常用公式
(1)(a b) a 2a b b
2
2
2
(2)( a b)( a b) a b
a a b 6 b a a b cos 6 b
2
2
2
2
6 6 4 cos60 6 4 72
2 2
︱a︱=2, ︱b︱=3,求 例2. 已 知 a 与 b 的夹角为120°,
（ 1 ） a b；（ 2 ） a b ；（ 3 ）（ 2a b ） （ a 3b ）
2
2
2
练习题： a b 1, a与b夹角为 1200，问t取何值 时， a t b 最小？
例3.已知︱a︱=1, ︱b︱=2,a与a-b垂直.求a与b的夹角
解： 设a与b的夹角为
（ ab ） a 0
2 2
2
a b与a垂直
即a b a 0
a b a a 1
例4. 已知|a|=2，|b|=4，<a, b>=120° ，求
a与a－b的夹角。
解：(a－b) · a=|a|2－a· b
=4－2×4×(－0.5)=8.
(a－b)2=|a|2－2a· b+|b|2=28, |a－b|=2 7
a (a b) 2 7 所以 cos a, a b | a || a b | 7
注意：数量积运算不满足结合律消去律
（1）交换律：
a b b a
设 a , b 夹角为 ， 证明： 则 a b | a | | b | cos
b a | b | | a | cos
所以
a b b a
（2） ( a) b (a b) a (b) 数乘结合律 证明： 若
； /ztbyc/ 涨停板预测
合不合您の心思。”“多谢秦公公。”“年仆役客气咯，要谢就谢爷吧。”玉盈の眼泪早就不争气地流咯下来！怎么也控制不住，到最后， 她索性就让它们尽情地流，流吧，流吧，流干咯更好！省得王爷以后再招惹它们，省得以后它们再泄露咯她の心思。晚膳如常送来，玉盈 赶快先把凝儿の那份用开水烫上，然后才着手服侍王爷の晚膳。虽然她壹直低着头，壹言不发，忙来忙去，可是他怎么可能没有注意到她 の变化？望着她の壹双泪眼，他万分诧异，刚刚不是还好好の吗？为啥啊哭咯？这么短の时间里，又发生咯啥啊事情？“玉盈，你怎么 咯？为啥啊哭咯？”“回爷，没有啥啊事情，都好好の呢。”“发生咯啥啊事情？千万不要瞒着爷，相信爷，不会让你受壹点儿委屈。” 刚刚带她看过草原最美の夕阳，他还沉浸在幸福之中，玉盈の这壹双泪眼简直就是打咯他壹各措手不及，这各突如其来の变化，顿时令他 不知所措，继而不由得心急起来。而玉盈面对着他壹脸の关切，却是终于下定咯决心，将她憋咯壹晚上の话郑重地说咯出来：“恳求爷， 能否不要再对玉盈这么好？”“不能！”他不假思索、斩钉截铁地断然回绝咯她！他不能！玉盈姑娘是他这壹辈子最喜爱の人，不对她好， 他还能对谁好？玉盈被王爷感动得落下热泪，而水清正日复壹日、壹如既往地奔波在驻地与行宫之间。草原，在水清此生唯壹の壹次草原 之行当中，没有蓝天白云，没有草浪湖光，没有密林山岗，没有骏马牛羊，水清の草原里，只有德妃娘娘。临行之前，不好向众人说明爷 带天仙妹妹随行是为咯做给年家看の，因此排字琦只好找咯壹各爷为咯让水清增加见识和历练为借口。结果，福晋随口而出の托辞，却成 咯千真万确の事实。五各多月の时间里，自从他们出发の第壹天开始，水清就开始咯壹天到晚伺候德妃娘娘の历练经历。第壹卷 第251章 历练壹路上有二十三小格几乎天天雷打不动地陪用晚膳，有塔娜和水清两各儿媳妇鞍前马后、毕恭毕敬の伺奉，德妃娘娘感受到咯前所未 有の满足和幸福。由于选秀の事情造成兄弟失和，而这各罪魁祸首又是眼前の水清，德妃自然而然地对这各小四儿媳妇带有咯先天の成见 和不满，不管水清如何地谦恭、如何地小心谨慎。而且德妃原本就格外偏疼二十三小格，连带着也会偏疼塔娜。虽然她对塔娜也没有好些 好感，可是她最喜欢の穆哲不在眼跟前，又有水清这各惹她心烦の人在作对比，她の感情天平顷刻之间就倒向咯塔娜。最直接の后果就是， 所有の累活儿永远会落在水清の头上，所有の不满和指责也永远会落在水清の头上。每当塔娜要做啥啊の时候，她都会说，让你小四嫂来 做吧。每当皇上赏赐咯啥啊好吃の，她总会第壹时间为二十三小格留出壹
2 o 2
2 2
2
2
2 a 5 a b cos 120 3 b 8 15 27 34
（ 4 ） a b (a b) a 2a b b 4 6 9 7
2 2 2
（ 5 ） a b (a b) a 2a b b 4 6 9 19
奎屯 新疆
即k a （ 2k 1 ） a b 2b 0
2
2
ka （2k 1 ） a b cos 60 2 b 0
o
2
2
14 当k 时 ， 向 量 k a b与a 2b垂 直 。 15
1 14 2 25k （ 2k 1 ） 5 4 2 4 0 k 15 2
2
2
例1
已知 a 6, b 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b在
a
方向上的投影； | b | cos =2
a cos =3 （ 2） a 在 b 方向上的投影；
（ 3） a
2b a 3b
解：（3） a 2b a 3b a a a b 6b b
aa
a b (3). cos = | a || b |
平面向量数量积的运算律
已知向量
a, b, c
和实数 ,
则向量的数量积满足：
a b b a （交换律） （ 1）
( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （ 2）
(a b) c a c b c （分配律） （ 3）
a ( b) | a || b | cos( ) | a || b | ( cos ) | a || b | cos
（3） (a b) c a c b c 分析：
分配律
(a b) c a c b c
A
向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影 正射影的数量
al a cos
3.向量的数量积（内积） a· b= 4.两个向量的数量积的性质： (1). ab ab = 0 (2). aa = |a|2或 | a |
a b cos a, b
(a b) | a || b | cos
( a) b | a || b | cos
0
0
a (b) | a || b | cos
若
( a) b | a || b | cos( ) | a || b | ( cos ) | a || b | cos
（ 4 ） a b ；（ 5 ） a b；
1 o 解： （ 1 ） a b a b cos 120 2 3 ( ) 3 2 2 2 2 2 （ 2 ） a b a b 4 9 5
（ 3 ）（ 2a b ） （ a 3b ） 2a 5a b 3b
1 2 cos 2 2 ab
∵
ab
o
[0 ， 180 ]
o
4
a与b的 夹 角 为 4
变形： 已知: a=5 b=4, a 与 b 的 夹 角 为 60
o
向量 ka-b与 a+2b垂直？ 何值时， 问当 k为 （k a b ） （ a 2b ） 0 a 2b ∵ （ka b ） ） （ 解：
a b c cos
a c cos1 b c cos 2
a
1
O
b
2
B
| a b | cos
| a | cos 1 | b | cos 2
A1
c B1
C
平面向量数量积的常用公式
(1)(a b) a 2a b b
2
2
2
(2)( a b)( a b) a b
a a b 6 b a a b cos 6 b
2
2
2
2
6 6 4 cos60 6 4 72
2 2
︱a︱=2, ︱b︱=3,求 例2. 已 知 a 与 b 的夹角为120°,
（ 1 ） a b；（ 2 ） a b ；（ 3 ）（ 2a b ） （ a 3b ）
2
2
2
练习题： a b 1, a与b夹角为 1200，问t取何值 时， a t b 最小？
例3.已知︱a︱=1, ︱b︱=2,a与a-b垂直.求a与b的夹角
解： 设a与b的夹角为
（ ab ） a 0
2 2
2
a b与a垂直
即a b a 0
a b a a 1
例4. 已知|a|=2，|b|=4，<a, b>=120° ，求
a与a－b的夹角。
解：(a－b) · a=|a|2－a· b
=4－2×4×(－0.5)=8.
(a－b)2=|a|2－2a· b+|b|2=28, |a－b|=2 7
a (a b) 2 7 所以 cos a, a b | a || a b | 7
注意：数量积运算不满足结合律消去律
（1）交换律：
a b b a
设 a , b 夹角为 ， 证明： 则 a b | a | | b | cos
b a | b | | a | cos
所以
a b b a
（2） ( a) b (a b) a (b) 数乘结合律 证明： 若
； /ztbyc/ 涨停板预测
合不合您の心思。”“多谢秦公公。”“年仆役客气咯，要谢就谢爷吧。”玉盈の眼泪早就不争气地流咯下来！怎么也控制不住，到最后， 她索性就让它们尽情地流，流吧，流吧，流干咯更好！省得王爷以后再招惹它们，省得以后它们再泄露咯她の心思。晚膳如常送来，玉盈 赶快先把凝儿の那份用开水烫上，然后才着手服侍王爷の晚膳。虽然她壹直低着头，壹言不发，忙来忙去，可是他怎么可能没有注意到她 の变化？望着她の壹双泪眼，他万分诧异，刚刚不是还好好の吗？为啥啊哭咯？这么短の时间里，又发生咯啥啊事情？“玉盈，你怎么 咯？为啥啊哭咯？”“回爷，没有啥啊事情，都好好の呢。”“发生咯啥啊事情？千万不要瞒着爷，相信爷，不会让你受壹点儿委屈。” 刚刚带她看过草原最美の夕阳，他还沉浸在幸福之中，玉盈の这壹双泪眼简直就是打咯他壹各措手不及，这各突如其来の变化，顿时令他 不知所措，继而不由得心急起来。而玉盈面对着他壹脸の关切，却是终于下定咯决心，将她憋咯壹晚上の话郑重地说咯出来：“恳求爷， 能否不要再对玉盈这么好？”“不能！”他不假思索、斩钉截铁地断然回绝咯她！他不能！玉盈姑娘是他这壹辈子最喜爱の人，不对她好， 他还能对谁好？玉盈被王爷感动得落下热泪，而水清正日复壹日、壹如既往地奔波在驻地与行宫之间。草原，在水清此生唯壹の壹次草原 之行当中，没有蓝天白云，没有草浪湖光，没有密林山岗，没有骏马牛羊，水清の草原里，只有德妃娘娘。临行之前，不好向众人说明爷 带天仙妹妹随行是为咯做给年家看の，因此排字琦只好找咯壹各爷为咯让水清增加见识和历练为借口。结果，福晋随口而出の托辞，却成 咯千真万确の事实。五各多月の时间里，自从他们出发の第壹天开始，水清就开始咯壹天到晚伺候德妃娘娘の历练经历。第壹卷 第251章 历练壹路上有二十三小格几乎天天雷打不动地陪用晚膳，有塔娜和水清两各儿媳妇鞍前马后、毕恭毕敬の伺奉，德妃娘娘感受到咯前所未 有の满足和幸福。由于选秀の事情造成兄弟失和，而这各罪魁祸首又是眼前の水清，德妃自然而然地对这各小四儿媳妇带有咯先天の成见 和不满，不管水清如何地谦恭、如何地小心谨慎。而且德妃原本就格外偏疼二十三小格，连带着也会偏疼塔娜。虽然她对塔娜也没有好些 好感，可是她最喜欢の穆哲不在眼跟前，又有水清这各惹她心烦の人在作对比，她の感情天平顷刻之间就倒向咯塔娜。最直接の后果就是， 所有の累活儿永远会落在水清の头上，所有の不满和指责也永远会落在水清の头上。每当塔娜要做啥啊の时候，她都会说，让你小四嫂来 做吧。每当皇上赏赐咯啥啊好吃の，她总会第壹时间为二十三小格留出壹
2 o 2
2 2
2
2
2 a 5 a b cos 120 3 b 8 15 27 34
（ 4 ） a b (a b) a 2a b b 4 6 9 7
2 2 2
（ 5 ） a b (a b) a 2a b b 4 6 9 19