现代控制理论模型转换 中科大 中国科学技术大学

二、从已有的其它数学模型出发
这里所讲的其它数学模型，主要指线性系统的传递函数和动态结构图（也叫方块图）。

我们在学习古典控制理论时还学习过输入输出微分方程、频率特性等数学模型，因它们可以很容易地转化为传递函数，故此处不打算一一赘述。

1．由传递函数求状态空间方程
我们上一节曾指出线性定常系统},,,{D C B A 的传递函数矩阵是
D B A I C G
+-=-1)()(ˆs s 现在的问题是由传递函数出发求取相应的状态空间方程，即所谓的“实现”问题。

在后
面第五章里将会进一步详细讲述，这里讲述一个例子，来说明由传递函数求状态空间方程的方法。

例2-6 设线性定常单输入－单输出系统的传递函数为
λααααββββ++++++++==432
2314432231)(ˆ)(ˆ)(ˆs s s s s s s s u s y s g (2.1)
试求该系统的状态空间方程。

解：引入一个新变量)(t v ，它的拉氏变换式定义为
)(ˆ1
)(ˆ432
2314s u s s s s s v αααα++++= 即
)(ˆ)(ˆ)(4322314s u s v
s s s s =++++αααα (2.3)
于是，我们有
)(ˆ)(ˆ)()(ˆ432231s u s v s s s s y
λββββ++++= (2.4)
定义状态变量为
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(:)()()()(:)(4321t v t v t v t v t x t x t x t x t x 即 )(ˆ1)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ:)(ˆ3232
4321s v s s s s v s s v s s v s s v s x s x s x s x
s ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x (2.5)
显然
433221,,x x x x x x
=== (2.6)
它们与（2.1）无关，而直接由（2.5）中定义得到。

为导出关于4x 的等式，我们把（2.5）代入至（2.3），即可得
)(ˆˆˆˆˆ)(ˆ142332414s u x x x x s x
s +----=αααα 在时域中，此即
)(1)(][)(12344t u t t x ⋅+----=x αααα
(2.7)
而将（2.5）代入至（2.4）又可得到
)(ˆ)(ˆ][)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ1234
14233241432231s u s s u s x s x s x s x
s u s v s s s s y
λββββλββββλββββ+=++++=++++=x
在时域中，此即
)()(][)(1234t u t t y λββββ+=x
(2.8)
把（7.6）、（7.7）、（7.8）结合在一起即
u
t u d y u t u ⋅+=+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+=λββββαααα)(][1000)(10000100
001012
34
12
3
4
x x c x b Ax x
(2.9)
这就是所要求的状态空间方程。

要指出的是：虽然若给定一系统的状态空间方程，则该系统的传递函数是可以唯一确定的；但是，对于给定系统的传递函数求相应的状态空间方程，答案却不是唯一的。

在本例中，若状态变量为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=)()()()(:)()()()(:)(4321t v t v t v t v t x t x t x t x t x 即 )(ˆ1:)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ:)(ˆ234321s s s s s x s x
s x s x
s v x ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= (2.10)
则可导出系统的状态空间方程是
u
t u d y u t u ⋅+=+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+=λββββαααα)(][0001)(01
00100001
43
21
4321
x x c x b Ax x
(2.11)
注：一般称系统(2.9)为下友型能控标准型，而称(2.11)为上友型能控标准型。

2．由动态结构图求状态空间方程 例2.7 系统的方块图如图所示，求该系统的状态空间方程
解：按下图方式选择状态变量（每一个积分环节的输出信号均作为状态变量，同学们想一想为什么），则从方块图中易看出并直接得到
122331231ˆˆ()()ˆˆ()()ˆˆˆˆˆ()2()[6()11()5()]ˆˆ()3()sx
s x s sx
s x s sx
s u s x s x s x s y
s x s ===-++=在零初始条件下，对上式进行拉氏反变换，得到相应的时域方程，
将之写成矩阵形式即
1
32133221325116x y u x x x x x x
x x
=+---===
x
x x ]003[2005116100010=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=y u
也可以说系统的状态空间方程是：},,,{d c b A 或
⎩⎨
⎧+=+=u
d y u x c b x A x
其中
,200,5116100010⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b A []0,003==d c
例2.8 系统的方块图如下，求该系统的状态空间表达式：
解：题图所示方块图没有将积分环节孤立化，但注意到：
111()
11s z z p s
z p s p s p s p
+-=+=+-+++⋅
故可将题图作一简单的结构图等效变换，得到：
按图标方式定义状态变量易得：
2
12121)()(x x y y u k x
px x p z x
+=-=--= ku kx kx x
+--=∴212 将之写成矩阵形式，即得系统的状态空间方程
[]x
x x 110=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=y u k k k p z p 另一方面，由题图，按如下所标出的状态变量选择，可直接得到
()
)(ˆ)(,)(ˆ)(ˆ)(ˆ,)(ˆ)(ˆ11221s x
s y s x s u s
k s x
s x p
s z s s x
=-=++= 整理之，依次得到
()
)(ˆ)(ˆ)(ˆ,)(ˆ)()(ˆ)(1221s x s u k s x
s s x z s s x
p s -=+=+ )(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ2112211s x z s x k s u k s x p s x z s x s s x p s x
s +-+-=++-= 在零初始条件下拉氏反变换至时间域
)
()()()()()()()()()(112211t x t y t u k t x k t x t u k t x z t x k p t x
=+-=+++-=
同样可以写成矩阵形式的状态空间方程
[]x
x x 010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=y u k k k z k p 易见，从两条道路得到了两个不同的状态空间方程。

注意到，它们虽然描述的是同
⎩
⎨⎧⎩⎨
⎧
一个系统，但是状态变量的选择是不同的，即：
⎩⎨⎧=+=22211x x x x x ，当然 ⎩⎨
⎧=-=222
11x x x x x 写成矩阵形式，即
x x x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011,1011 由此可见，因状态变量选择的不同所得到的状态方程亦不相同，但两组方程却描述着同一个对象，显然这两组方程之间一定存在着某种坐标变换关系。

三、状态方程的线性变换
（一）坐标变换对状态空间方程的影响
对下述状态空间方程表示的系统
Du
Cx y Bu Ax x
+=+=
作坐标变换x Q x =，考虑到坐标变换矩阵Q 为满秩常系数矩阵，故1-Q 存在，微分上述坐标变换式，有
x Q x
= 将之代入状态方程，并两边同时右乘1-Q ，则：Bu x AQ x
Q += ，于是 Bu Q x AQ Q x 11--+= 同时，把坐标变换式代入输出方程还可得到
Du CQx y += 记坐标变换后的状态空间方程为
u
D x C y u B x A x
+=+=
则
D
D CQ C B
Q B AP Q A ====--11
有时，状态变量之间的坐标变换关系还可写成x P x =，注意到它与上述关系式之间的差别仅在于1-=Q P ，于是坐标变换前后的矩阵关系还可写作：
D
D CP
C PB B PAP A ====--1
1
因此，如果知道两组状态变量之间的变换关系，则可通过上式直接求取D C B A ,,,阵，同学们可以自行验证例2－4的结果。