2016年初3年级数学二模考试题-东城
2016年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，4} 2．（5分）若命题p：∃x∈R，sin x≥1，则￢p为（）A．∀x∈R，sin x≤1B．∀x∈R，sin x＜1C．∃x∈R，sin x＜1D．∃x∈R，sin x≤13．（5分）如图，△ABC为正三角形，AA1∥BB1∥CC1，CC1⊥底面△ABC，若BB1＝2AA1＝2，AB＝CC1＝3AA1，则多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影的面积为（）A．B．C．9D．4．（5分）若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（）A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣15．（5分）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5，则数列{b n}的通项公式为（）A．b n＝2n﹣1B．b n＝3n﹣1C．b n＝2n﹣2D．b n＝3n﹣2 6．（5分）一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）A．179元B．199元C．219元D．239元7．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2+log23）的值为（）A．24B．16C．12D．88．（5分）集合A＝{（x，y）|x，y∈R}，若x，y∈A，已知x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），定义集合A中元素间的运算x*y，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律：①任意x，y∈A有x*y＝y*x②任意x，y，z∈A有（x+y）*z＝x*z+y*z（其中x+y＝（x1+x2，y1+y2））③任意x，y∈A，a∈R有（ax）*y＝a（x*y）④任意x∈A有x*x≥0，且x*x＝0成立的充分必要条件是x＝（0，0）为向量，如果x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），那么下列运算属于“*”正确运算的是（）A．x*y＝x1y1+2x2y2B．x*y＝x1y1﹣x2y2C．x*y＝x1y1+x2y2+1D．x*y＝2x1x2+y1y2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设i是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为．10．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为．11．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知直线（t为参数）与直线l2：2x﹣4y＝5相交于点B，又点A（1，2），则|AB|＝．12．（5分）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于[55，65）范围内的频率为；这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是．13．（5分）若点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为．14．（5分）已知函数f n（x）＝（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是①f n（x）（n∈N*）为周期函数；②f n（x）（n∈N*）有对称轴；③（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心：④|f n（x）|≤n（n∈N*）．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（14分）如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB＝90°，AC＝2a，E，F 分别为AC，BC的中点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE（Ⅰ）求证：AB⊥平面AEC′；（Ⅱ）当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时，（i）若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；（ii）在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．17．（13分）在2015﹣2016赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数），假设各场比赛相互独立．根据统计表的信息：（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．18．（14分）已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．19．（13分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设M（x，y）是椭圆C上的动点，P（p，0）是x轴上的定点，求|MP|的最小值及取最小值时点M的坐标．20．（13分）数列{a n}中，定义：d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），a1＝1．（Ⅰ）若d n＝a n，a2＝2，求a n；（Ⅱ）若a2＝﹣2，d n≥1，求证此数列满足a n≥﹣5（n∈N*）；（Ⅲ）若|d n|＝1，a2＝1且数列{a n}的周期为4，即a n+4＝a n（n≥1），写出所有符合条件的{d n}．2016年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，4}【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x∈R|x≤3}，∴A∩B＝{1，2，3}，故选：B．2．（5分）若命题p：∃x∈R，sin x≥1，则￢p为（）A．∀x∈R，sin x≤1B．∀x∈R，sin x＜1C．∃x∈R，sin x＜1D．∃x∈R，sin x≤1【考点】2J：命题的否定．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，sin x≥1，则﹣p为：∀x∈R，sin x＜1，故选：B．3．（5分）如图，△ABC为正三角形，AA1∥BB1∥CC1，CC1⊥底面△ABC，若BB1＝2AA1＝2，AB＝CC1＝3AA1，则多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影的面积为（）A．B．C．9D．【考点】LA：平行投影及平行投影作图法．【解答】解：根据题意，多面体ABC﹣A1B1C1在平面A1ABB1上的投影是几何体的正视图，如图所示；所以该投影面的面积为3×3﹣×2×1.5﹣×1×1.5＝．故选：A．4．（5分）若向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1）满足条件3﹣与共线，则x的值（）A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】96：平行向量（共线）．【解答】解：∵向量＝（1，0），＝（2，1），＝（x，1），∴3﹣＝（1，﹣1），又3﹣与共线，∴x•（﹣1）﹣1×1＝0，解得x＝﹣1．故选：D．5．（5分）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5，则数列{b n}的通项公式为（）A．b n＝2n﹣1B．b n＝3n﹣1C．b n＝2n﹣2D．b n＝3n﹣2【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：设成等差数列的三个正数为a﹣d，a，a+d，即有3a＝6，解得a＝2，由题意可得2﹣d+3，2+6，2+d+13成等比数列，即为5﹣d，8，15+d成等比数列，即有（5﹣d）（15+d）＝64，解得d＝1（﹣11舍去），即有4，8，16成等比数列，可得公比为2，则数列{b n}的通项公式为b n＝b3•2n﹣3＝4•2n﹣3＝2n﹣1．故选：A．6．（5分）一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）A．179元B．199元C．219元D．239元【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：由题意，优惠劵1比优惠劵2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元．他购买的商品的标价为219元，优惠劵1减免21.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免21.42元；标价为239元，优惠劵1减免23.9元；优惠劵2减免20元；优惠劵3减免25.02元；故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2+log23）的值为（）A．24B．16C．12D．8【考点】3P：抽象函数及其应用．【解答】解：由f（x）＝，由2+log23＜4，可得f（2+log23）＝f（3+log23），由3+log23＞4，可得f（3+log23）＝＝23•2log23＝8•3＝24．故选：A．8．（5分）集合A＝{（x，y）|x，y∈R}，若x，y∈A，已知x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），定义集合A中元素间的运算x*y，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律：①任意x，y∈A有x*y＝y*x②任意x，y，z∈A有（x+y）*z＝x*z+y*z（其中x+y＝（x1+x2，y1+y2））③任意x，y∈A，a∈R有（ax）*y＝a（x*y）④任意x∈A有x*x≥0，且x*x＝0成立的充分必要条件是x＝（0，0）为向量，如果x＝（x1，y1），y＝（x2，y2），那么下列运算属于“*”正确运算的是（）A．x*y＝x1y1+2x2y2B．x*y＝x1y1﹣x2y2C．x*y＝x1y1+x2y2+1D．x*y＝2x1x2+y1y2【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：由题意，若x＝（2，﹣2），y＝（1，1），A，x*y＝﹣2，y*x＝﹣7，不满足①；B，x*y＝﹣5，y*x＝5，不满足①；C，x*x＝﹣7，不满足④；D中运算均适合．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设i是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为．．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：∵复数＝＝+i又∵z在复平面内所对应的点位于第一象限，∴＞0且＞0解得．故答案为：．10．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，﹣1），由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x，结合图象直线过A（3，﹣1）时，z最大，z的最大值是5，故答案为：5．11．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知直线（t为参数）与直线l2：2x﹣4y＝5相交于点B，又点A（1，2），则|AB|＝．【考点】IR：两点间的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：由，得4x+3y﹣10＝0，由解得，即B（，0），所以|AB|＝＝，故答案为：．12．（5分）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于[55，65）范围内的频率为0.4；这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是13．【考点】B8：频率分布直方图．【解答】解：由直方图可知：生产该产品数量在[55，65）的频率＝1﹣（0.005+0.0100+0.020+0.025）×10＝0.4∴生产该产品数量在[55，75）的人数＝20×（0.04+0.025）×10＝13，故答案为：0.4 1313．（5分）若点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（1，+]．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线＝1（a＞0）的中心和左焦点，∴c＝，则c2＝a2+1＝2，则a2＝1，即双曲线方程为x2﹣y2＝1，设P（x，y），则x≥1，则＝＝＝＝1++•（）2，则x≥1，∴1++•（）2＞1，又1++•（）2＝•（+）2，∵x≥1，∴0＜≤1，即当＝1时，1++•（）2＝•（+）2取得最大值为•（1+）2＝+，故的取值范围为（1，+]，故答案为：（1，+]，14．（5分）已知函数f n（x）＝（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是①②④①f n（x）（n∈N*）为周期函数；②f n（x）（n∈N*）有对称轴；③（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心：④|f n（x）|≤n（n∈N*）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：∵函数f n（x）＝（n∈N*），∴①f n（x+2π）＝f n（x）（n∈N*），f n（x）为周期函数，正确；②f n（﹣x）＝＝，f n（x）＝（n∈N*）是偶函数，∴f n（x）＝（n∈N*）有对称轴，正确；③n为偶数时，f n（）＝＝0，∴（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心，不正确；④∵|sin nx|≤|n sin x|，∴|f n（x）|≤n（n∈N*），正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HW：三角函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝2sin（ωx）•cos（ωx）+2cos2（ωx），所以，又f（x）的最小正周期为，所以＝，即＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，因为，所以．由正弦函数的性质可知，当，即时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（）＝3；当时，即时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（）＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分16．（14分）如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB＝90°，AC＝2a，E，F 分别为AC，BC的中点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE（Ⅰ）求证：AB⊥平面AEC′；（Ⅱ）当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时，（i）若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；（ii）在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】证明：（Ⅰ）因为△ABC是等腰直角三角形，∠CAB＝90°，E，F分别为AC，BC的中点，所以EF⊥AE，EF⊥C'E．又因为AE∩C'E＝E，所以EF⊥平面AEC'．由于EF∥AB，所以有AB⊥平面AEC'．4分解：（Ⅱ）（i）取AC'中点D，连接DE，EF，FG，GD，由于GD为△ABC'中位线，以及EF为△ABC中位线，所以四边形DEFG为平行四边形．直线GF与AC'所成角就是DE与AC'所成角．所以四棱锥C'﹣ABFE体积取最大值时，C'E垂直于底面ABFE．此时△AEC'为等腰直角三角形，ED为中线，所以直线ED⊥AC'．又因为ED∥GF，所以直线GF与AC'所成角为．10分（ii）因为四棱锥C'﹣ABFE体积取最大值，分别以EA、EF、EC'所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则C'（0，0，a），B（a，2a，0），F（0，a，0），C'B（a，2a，﹣a），C'F（0，a，﹣a）．设平面C'BF的一个法向量为＝（x，y，z），由得，取y＝1，得＝（﹣1，1，1）．平面C'AE的一个法向量＝（0，1，0）．所以cos ＜＞＝＝，故平面C'AE与平面C'BF 的平面角的夹角的余弦值为．14分17．（13分）在2015﹣2016赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，N表示投篮次数，n表示命中次数），假设各场比赛相互独立．根据统计表的信息：（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4，5，6，7，10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是．在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10，所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是．3分（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件B1，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件B2．则P（A）＝P（B1）+P（B2）＝＝．7分（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，X的分布列如下表：∵X～B（3，），∴EX＝3×＝．18．（14分）已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ），当f′（x）＞0 时，所以x2+3x+1＜0，解得﹣2＜x，当f′（x）＜0时，解得，所以f（x）单调增区间为，递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）当k＝2时，g（x）＝2（x+1）．令H（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．H′（x）＝，令H′（x）＝0，即﹣2x2﹣8x﹣6＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣3（舍）．∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．∴H max（x）＝H（﹣1）＝0，∴对于∀x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（Ⅲ）由（II）知，当k＝2时，f（x）＜g（x）恒成立，即对于“x＞﹣1，2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k（x+1）．∴2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k（x+1），即f（x）＜g（x）恒成立，不存在满足条件的x0；令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），h′（x）＝，当k＜2时，令t（x）＝﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），可知t（x）与h′（x）符号相同，当x∈（x0，+∞）时，t（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣1，x0）时，h（x）＞h（﹣1）＝0，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．19．（13分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设M（x，y）是椭圆C上的动点，P（p，0）是x轴上的定点，求|MP|的最小值及取最小值时点M的坐标．【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（Ⅰ）由题意，以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形，所以b＝c，a2＝2b2，则椭圆C的方程为．又因为椭圆C：过点A（，1），所以，故a＝2，b＝.所以椭圆的标准方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）|MP|2＝（x﹣p）2+y2．因为M（x，y）是椭圆C上的动点，所以，故．所以．因为M（x，y）是椭圆C上的动点，所以|x|≤2．（1）若|2p|≤2，即|p|≤1，则当x＝2p时，|MP|取最小值，此时M．（2）若p＞1，则当x＝2 时，|MP|取最小值|p﹣2|，此时M（2，0）．（3）若p＜﹣1，则当x＝﹣2 时，|MP|取最小值|p+2|，此时M（﹣2，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分20．（13分）数列{a n}中，定义：d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），a1＝1．（Ⅰ）若d n＝a n，a2＝2，求a n；（Ⅱ）若a2＝﹣2，d n≥1，求证此数列满足a n≥﹣5（n∈N*）；（Ⅲ）若|d n|＝1，a2＝1且数列{a n}的周期为4，即a n+4＝a n（n≥1），写出所有符合条件的{d n}．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：（Ⅰ）∵a n＝d n＝a n+2+a n﹣2a n+1（n≥1），∴a n+2﹣2a n+1＝0（n≥1）；又∵a1＝1，a2＝2，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故数列{a n}的通项公式为；（Ⅱ）证明：∵d n≥1，∴a n+2+a n﹣2a n+1≥1，令c n＝a n+1﹣a n，则c n+1﹣c n≥1，叠加得，c n≥n﹣4；即a n+1﹣a n≥n﹣4，叠加可得，≥﹣5．（Ⅲ）由于|d n|＝1，a1＝1，a2＝1，若d1＝1，则可得a3＝2，若d1＝﹣1可得a3＝0；同理，若d2＝1可得a4＝4或a4＝2，若d2＝﹣1可得a4＝0或a4＝﹣2；具体如下表所示，1，1，；所以{a n}可以为1，1，2，2；1，1，2，2；1，1，2，2；…或1，1，0，0；1，1，0，0；1，1，0，0；…此时相应的{d n}为1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，…或﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，…．。
05-2016初三数学一模题答案-东城
北京市东城区2015-2016学年第二学期统一练习（一） 初三数学参考答案及评分标准 2016.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）29题8分） 17．计算：011tan 6021)()2-︒+--解：原式212- …………4分 =1-. …………5分18. 解：解不等式○1，得 -1x ≥.…………1分 解不等式○2，得 3x ＜ . …………2分 ∴ 不等式组的解集为-13x ≤＜ . …………4分 不等式组的解集在数轴上表示如下：…………5分19. 解：21)(21)x x x +-+（ = 22212x x x x ++--=21x x -++. …………3分∵ 230x x --=，∴ 23x x -+=-. …………4分∴原式= -2. …………5分20. 解：∠E =35°，或∠EAB =35°， 或∠EAC =75°. …………1分 ∵在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，∴ ∠ABC =∠ACB =70°. …………3分 又∵ BD 平分∠ABC ，∴ ∠ABD =∠CBD =35° . …………4分 ∵ AE ∥BD ，∴ ∠E =∠EAB =35°. …………5分 ∴ ∠EAC =∠EAB +∠BAC =75°.21．解：设第二批鲜花每盒的进价是x 元. …………1分依题意有6000113000210x x =⨯+. …………2分 解得x =120. …………3分经检验：x =120是原方程的解，且符合题意． …………4分 答：第二批鲜花每盒的进价是120元． …………5分22．解：（1）证明： 由尺规作∠BAD 的平分线的过程可知，AB =AF ，且∠BAE =∠F AE . 又∵平行四边形ABCD ，∴ ∠F AE =∠AEB . ∴ ∠BAE =∠AEB .∴ AB =BE . ∴ BE= F A .∴四边形ABEF 为平行四边形.∴四边形ABEF 为菱形. …………2分 （2）∵四边形ABEF 为菱形，∴AE ⊥BF ，OB =21BF =3，AE =2AO .在Rt △AOB 中，AO 4=. ∴AE =2AO =8.…………5分23．解：（1）由题意可知21=3k ．∴23k =. …… 1分 ∴ 反比例函数的解析式为3y x=. （2）符合题意有两种情况：○1直线y =k 1x +b 经过第一、三、四象限. ∵ S △AOB :S △BOC = 1:2，点A （3,1）， ∴ 可求出点C 的坐标为（0，-2）.∴ 直线的解析式为2y x =- . .…………3分○2直线y =k 1x +b 经过第一、二、四象限. 由题意可求点C 的坐标为（0，2）.∴ 直线的解析式为1-+23y x =. …………5分 24. 解：（1）由表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%=50名. （2）调查学生中“良好”档次的人数为50×60%=30. ∴x =30﹣（12+7）=11名.y =50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3名．（3）由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为=8%，∴估计九年级400名学生中为优秀档次的人数为400×8%=32名．…………5分25. 解：（1）证明：∵ ∠EDB =∠EPB ，∠DOE =∠POB ，∴ ∠E =∠PBO =90゜，∴ PB 是⊙O 的切线．…………2分（2）∵ PB =3，DB =4，∴ PD =5.设⊙O 的半径的半径是r ，连接OC . ∵ PD 切⊙O 于点C ， ∴ OC ⊥PD .∴ .222OD OC CD=+∴ .)4(2222r r -=+∴.23=r可求出PO =易证△DEP ∽△OBP .∴DE DPOB OP=.解得 DE = …………5分26．解：（1）菱形（正方形）. …………1分（2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.（写出其中的两条就行） …………3分 已知：筝形ABCD. 求证：∠B =∠D. 证明：连接AC .∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠B =∠D. …………4分（3）连接AC .过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于E . ∵∠ABC=120°， ∴∠EBC=60°. 又∵B C=2，∴BE =1，CE∴S 四边形ABCD=21122422ABC S AB CE ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯ …………5分 27.解：（1）由题意可知，2224(31)43(31)0b ac m m m ∆=-=+-⨯=->，∴当13m ≠且0m ≠时，此方程有两个不相等的实数根. …………2分（2）x ==， ∴1213,x x m=-=-. ∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数， ∴m =1.∴ 抛物线的解析式为243y x x =++. …………5分 （3）a >1或a <-5. …………7分28.解：（1）相等. …………1分 （2）思路：延长FD 至G ，使得GD=DF ，连接GE ，GB .证明△FCD ≌△GBD ，△GED 为等边三角形， ∴△GED 为所求三角形. 最大角为∠GBE=120°. …………4分（3）过D 作DM ，DN 分别垂直AB ，AC 于M ，N .∴∠DMB =∠DNC=∠DMA=∠DNA=90°. 又∵DB=DC ，∠B=∠C ， ∴△DBM ≌△DCN. ∴DM =DN .∵∠A=60°，∠EDF=120°， ∴∠AED +∠AFD=180°. ∴∠MED =∠AFD. ∴△DEM ≌△DFN. ∴ME=NF .∴AE+AF=AM-ME+AN+NF=AM+AN =333442+=. …………7分29.解：（1）①D ,E . …………2分②连接OD ，过D 作OD 的垂线交⊙O 于A ，B 两点. …………4分 （2）∵⊙O 的半径为1，所以点P 到⊙O 的距离小于等于3，且不等于1时时，符合题意.∵ 点P 在直线3y x =-+上，∴03p x ≤≤. …………6分 （3）09C x ≤≤. …………8分。
2016年北京市东城区初三数学一模试题及答案
北京市东城区2015—2016学年第二学期统一练习（一） 初三数学 2016.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．数据显示，2015年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果.将数据51 660 000用科学记数发表示应为 A ．75.16610⨯ B ．85.16610⨯ C ．651.6610⨯ D ． 80.516610⨯2．下列运算中，正确的是A ．x ·x 3=x 3B ．(x 2)3=x 5C ．624x x x ÷= D ．(x -y )2=x 2+y 23．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是 A ．15 B ．25 C ．35 D ．454．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示则这四人中发挥最稳定的是5. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=A ．52°B ．38°C ．42°D ．62°6．如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD =CA ，连接BC 并延长至E ，使CE =CB ，连接ED . 若量出DE =58米，则A ，B 间的距离为A ．29米B ． 58米C ．60米D ．116米7．在平面直角坐标系中，将点A （-1，2）向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 关于x 轴的对称点C 的坐标是A ．（-4，-2）B ．（2，2）C ．（-2，2）D ． （2，-2）8. 对式子2241a a --进行配方变形，正确的是A ．22(1)3a +-B ． 23(1)2a --C ．22(1)1a --D ．22(1)3a -- 9. 为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品. 已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过．．．200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是A ．5B ．6C ．7D ．810. 如图，点A 的坐标为（0,1），点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰Rt △ABC ，使 ∠BAC =90°，设点B 的横坐标为x ，设点C 的纵坐标 为y ，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：22ab ac -= ．12．请你写出一个一次函数，满足条件：○1经过第一、三、四象限；○2与y 轴的交点坐标为（0，-1）. 此一次函数的解析式可以是 ．13. 已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形的边数是 .14. 为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是 ．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己23的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？” 设甲持钱为x ，乙持钱为y ，可列方程组为 ．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：请你判断哪位同学的作法正确 ；这位同学作图的依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：011tan 6021)()2-︒--.18. 解不等式组22)3(1),1,34x x x x --⎧⎪+⎨⎪⎩（≤＜ 并把它的解集表示在数轴上.19．已知230x x --=，求代数式（x +1）2﹣x （2x +1）的值．20．如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠BAC =40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）.21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的12，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？22．如图：在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交BC 于点E （尺规作图的痕迹保留在图中了）， 连接EF ． （1）求证：四边形ABEF 为菱形；（2）AE ，BF 相交于点O ，若BF =6，AB =5，求AE 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y =k 1x +b 与与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与反比例函数2k y x=的图象在第一象限交于点A （3,1），连接OA . （1）求反比例函数2k y x=的解析式； （2）若S △AOB :S △BOC = 1:2，求直线y =k 1x +b 的解析式.24. 某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n ，并按以下规定分为四档：当n ＜3时，为“偏少”；当3≤n ＜5时，为“一般”；当5≤n ＜8时，为“良好”；当n ≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数； （2）分别求出统计表中的x ，y 的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数.25. 如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥PO 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB =∠EPB ．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．26. 在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质.定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）.小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究.下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积.图1 图227．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．28. 如图，等边△ABC，其边长为1，D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且∠EDF=120°.BB（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE +AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.备用图29. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线.（1）当⊙O 的半径为1时，○1分别判断在点D （21，14），E （0，，F （4，0）中，是⊙O 的相邻点 有__________；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程.○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围； （2）⊙C的圆心在x 轴上，半径为1，直线3y x =-+x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线．段．MN上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．图1 备用图1 备用图2北京市东城区2015-2016学年第二学期统一练习（一）初三数学参考答案及评分标准2016.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）题8分）17．计算：011tan6021)()2-︒--解：原式212-…………4分=1-. …………5分18. 解：解不等式○1，得-1x≥.…………1分解不等式○2，得3x＜. …………2分∴不等式组的解集为-13x≤＜. …………4分不等式组的解集在数轴上表示如下：…………5分19. 解：21)(21)x x x+-+（= 22212x x x x++--=21x x-++. …………3分∵230x x--=，∴23x x-+=-. …………4分∴原式= -2. …………5分20. 解：∠E=35°，或∠EAB=35°，或∠EAC=75° . …………1分∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，∴ ∠ABC =∠ACB =70°. …………3分又∵ BD 平分∠ABC ，∴ ∠ABD =∠CBD =35° . …………4分 ∵ AE ∥BD ，∴ ∠E =∠EAB =35° . …………5分 ∴ ∠EAC =∠EAB +∠BAC =75° .21．解：设第二批鲜花每盒的进价是x 元. …………1分依题意有6000113000210x x =⨯+. …………2分 解得x =120. …………3分经检验：x =120是原方程的解，且符合题意． …………4分 答：第二批鲜花每盒的进价是120元． …………5分22．解：（1）证明： 由尺规作∠BAD 的平分线的过程可知，AB =AF ，且∠BAE =∠F AE . 又∵平行四边形ABCD ，∴ ∠F AE =∠AEB . ∴ ∠BAE =∠AEB .∴ AB =BE . ∴ BE= F A .∴四边形ABEF 为平行四边形.∴四边形ABEF 为菱形. …………2分 （2）∵四边形ABEF 为菱形，∴AE ⊥BF ，OB =21BF =3，AE =2AO .在Rt △AOB 中，AO 4=. ∴AE =2AO =8.…………5分23．解：（1）由题意可知21=3k ．∴23k =. …… 1分 ∴ 反比例函数的解析式为3y x=. （2）符合题意有两种情况：○1直线y =k 1x +b 经过第一、三、四象限. ∵ S △AOB :S △BOC = 1:2，点A （3,1）， ∴ 可求出点C 的坐标为（0，-2）.∴ 直线的解析式为2y x =- . .…………3分○2直线y =k 1x +b 经过第一、二、四象限. 由题意可求点C 的坐标为（0，2）.∴ 直线的解析式为1-+23y x =. …………5分24. 解：（1）由表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%=50名. （2）调查学生中“良好”档次的人数为50×60%=30. ∴x =30﹣（12+7）=11名.y =50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3名．（3）由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为=8%，∴估计九年级400名学生中为优秀档次的人数为400×8%=32名．…………5分25. 解：（1）证明：∵ ∠EDB =∠EPB ，∠DOE =∠POB ，∴ ∠E =∠PBO =90゜，∴ PB 是⊙O 的切线．…………2分（2）∵ PB =3，DB =4，∴ PD =5.设⊙O 的半径的半径是r ，连接OC . ∵ PD 切⊙O 于点C ， ∴ OC ⊥PD .∴ .222OD OCCD =+∴ .)4(2222r r -=+∴.23=r可求出PO =易证△DEP ∽△OBP . ∴DE DPOB OP=.解得 DE =. …………5分26．解：（1）菱形（正方形）. …………1分（2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.（写出其中的两条就行） …………3分 已知：筝形ABCD. 求证：∠B =∠D. 证明：连接AC .∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠B =∠D. …………4分（3）连接AC .过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于E . ∵∠ABC=120°， ∴∠EBC=60°. 又∵B C=2，∴BE =1，CE∴S四边形ABCD =21122422ABC S AB CE ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=.…………5分27.解：（1）由题意可知，2224(31)43(31)0b ac m m m ∆=-=+-⨯=->，∴当13m ≠且0m ≠时，此方程有两个不相等的实数根. …………2分（2）x ==∴1213,x x m=-=-. ∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数， ∴m =1.∴ 抛物线的解析式为243y x x =++. …………5分 （3）a >1或a <-5. …………7分 28.解：（1）相等. …………1分（2）思路：延长FD 至G ，使得GD=DF ，连接GE ，GB .证明△FCD ≌△GBD ，△GED 为等边三角形， ∴△GED 为所求三角形. 最大角为∠GBE=120°. …………4分（3）过D 作DM ，DN 分别垂直AB ，AC 于M ，N .11 / 11∴∠DMB =∠DNC=∠DMA=∠DNA=90°.又∵DB=DC ，∠B=∠C ，∴△DBM ≌△DCN.∴DM =DN .∵∠A=60°，∠EDF=120°，∴∠AED +∠AFD=180°.∴∠MED =∠AFD.∴△DEM ≌△DFN.∴ME=NF .∴AE+AF=AM-ME+AN+NF=AM+AN =333442+=. …………7分29.解：（1）①D ,E . …………2分②连接OD ，过D 作OD 的垂线交⊙O 于A ，B 两点. …………4分（2）∵⊙O 的半径为1，所以点P 到⊙O 的距离小于等于3，且不等于1时时，符合题意.∵ 点P 在直线3y x =-+上，∴03p x ≤≤. …………6分（3）09C x ≤≤. …………8分。
2016年各区二模汇编28题
第九章 几何综合1、（16朝阳二模）28．在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点O ，且A EBC DCB ∠=∠=∠21． （1）如图1，若AB=AC ，则BD 与CE 的数量关系是______________；（2）如图2，若AC AB ≠，请你补全图2，思考BD 与CE 是否仍然具有（1）中的数量关系， 并说明理由；（3）如图3，︒=∠105BDC ，BD = 3，且BE 平分∠ABC ，请写出求BE 长的思路． （不用写出计算结果） 图1图2图32、（16东城二模） 28. 【问题】在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点E 在直线BC 上（B,C 除外），分别经过点E 和点B 做AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系. 【探究发现】某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G （如图1），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；图1【数学思考】那么当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 的延长线”；“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；图2【拓展应用】当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE=nBC （01n ＜＜），请直接写出ABC S △：AEF S △的值．备用图3、（16西城二模）28．在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°．点P 为直线AB 上一个动点（点P 不与点A ，B 重合），连接PC ，点D 在直线BC 上，且PD =PC ．过点P 作EP ⊥PC 于点P ，点D ，E 在直线AC 的同侧，且PE =PC ，连接BE ．（1）情况一：当点P 在线段AB 上时，图形如图1所示；情况二：如图2，当点P 在BA 的延长线上，且AP <AB 时，请依题意补全图．．．．．．2．； （2）请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况．．．．．．，完成下列问题： ①求证：∠ACP =∠DPB ；②用等式表示线段BC ，BP ，BE 之间的数量关系，并证明．图1 图24、（16海淀） 28. 已知：AB BC =，90ABC ∠=︒.将线段AB 绕点A 逆时针旋转α（090α︒<<︒）得 到线段AD .点C 关于直线BD 的对称点为E ，连接AE ，CE . （1）如图， ①补全图形；②求AEC ∠的度数；（2）若AE =1CE =，请写出求α度数的思路.（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）D5、（16昌平二模）28. 在等边△ABC 中，AB=2，点E 是BC 边上一点，∠DEF=60°，且∠DEF 的两边分别与△ABC 的边AB ，AC 交于点P ，Q （点P 不与点A ，B 重合）. （1）若点E 为BC 中点．①当点Q 与点A 重合，请在图1中补全图形；②在图2中，将∠DEF 绕着点E 旋转，设BP 的长为x ，CQ 的长为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如图3，当点P 为AB 的中点时，点M ，N 分别为BC ，AC 的中点，在EF 上截取EP '=EP ，连接NP '. 请你判断线段NP '与ME 的数量关系，并说明理由.6、（16房山二模）28.在△ABC 中，BD 平分∠ABC （∠ABC ＜60°）（1）如图28-1，当点D 在AC 边上时，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，请直接写出AB ，DC 和BC 之间的数量关系． （2）如图28-2，当点D 在△ABC 内部，且∠ACD=30°时，①若∠BDC=150°，直接写出AB ，AD 和BC 之间的数量关系，并写出结论成立的思路． ②若∠ABC=2α，∠ACB=60°-α，请直接写出∠ADB 的度数（用含α的式子表示）．图3图1A BE C 图2D PQF7、（16石景山二模）28．如图，正方形ABCD ，G 为BC 延长线上一点，E 为射线BC 上一点，连接AE ． （1）若E 为BC 的中点，将线段EA 绕着点E 顺时针旋转90°，得到线段EF ，连接CF ． ①请补全图形； ②求证：∠DCF=∠FCG ；（2）若点E 在BC 的延长线上，过点E 作AE 的垂线交∠DCG 的平分线于点M ，判断AE 与EM 的数量关系并证明你的结论．8、（16顺义二模）28.已知：如图，90ACD ∠=︒，MN 是过点A 的直线，AC DC =，DB MN ⊥于点B ． （1）在图1中，过点C 作CE CB ⊥，与直线MN 于点E ，①依题意补全图形；②求证：BCE ∆是等腰直角三角形；③图1中，线段BD 、AB 、CB 满足的数量关系是；（2）当MN 绕A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变. 在图2中，线段BD 、AB 、CB 满足的数量关系是； 在图3中，线段BD 、AB 、CB 满足的数量关系是；（3）MN 在绕点A 旋转过程中，当30BCD ∠=︒，BD =CB =．图2图3图1ABCDNMABCDNMNMABCDEGDCBAMABCDGE9、（16通州二模）28. 已知，在菱形ABCD 中，∠ADC=60°，点F 为CD 上任意一点（不与C 、D 重合），过点F 作CD 的垂线，交BD 于点E ，连接AE. （1）①依愿意补全图1；②线段EF 、CF 、AE 之间的等量关系是。
2015-2016学年上期东城学校三年级数学段考试卷
东城学校三年级数学试卷 第一页 （共4页 ） 东城学校三年级数学试卷 第二页（共4页 ）东城学校2015-2016学年上期期中调研考试三年级数 学 试 卷一、我会填。
（6、7、8题每空0，5分，其余各空一分共26分） １、 一辆货车载重5（ ） 汉宜高速铁路大约长2910（ ）过街天桥长20（ ） 一支铅笔长约180（ ） 我穿一双袜子大约需要15（ ） 我走50米大约要1（ ） ２、304和196的和是（ ），差是（ ）３、比105少72的数是（ ），比168多345的数是（ ）。
４、8的4倍是（ ）；24是6的（ ）倍。
５、小强10:05到电影院时已经开始了15分钟。
电影是（ ）开始的。
6、把280厘米、2米、80分米、900毫米、1千米、按从小到大的顺序排列是（ ）<（ ）<（ ）<（ ）<（ ）７、3吨＝（ ）千克 4分米5厘米＝（ ）厘米 5分32秒 ＝（ ）秒 2分－40秒＝（ ）秒 1千克80克＝（ ）克 3000毫米＝（ ）分米 ８、在○里填上“>”“<”或“＝”。
7分○700秒 300分○6时 200千克○2吨 1米2分米○120厘米 550－80○370+1609、 一部动画片要播130分钟，下午2：45分开始，结束的时刻是（ ） 10、计算万以内的加减法时，（ ）要对齐，从（ ）位算起。
11、奶奶家养了4只鸭，鸡的只数是鸭的5倍，鸡和鸭一共有（ ）只。
12、分针从数字“5”走到数字“8” ，经过了（ ）秒。
二、判断题。
6分１、小明身高128厘米，体重28克。
（ ）２、一辆载重3吨的货车上，装上5台700千克的机器，没有超载。
（ ）３、小安去外婆家有1000米，坐火车去比较合适。
（ ） ４、分针走1小格，秒针走一圈。
（ ） ５、时针从一个数字2走到另一个数字5时，分针要走三圈才行。
（ ） 6、三位数加三位数，和一定是四位数。
（ ） 三、选择题。
2016年北京东城高三二模数学(理科)试题及答案解析(word版)
北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (理科)一、单选题（共8小题）1．集合，，则=（）A．B．C．D．2．已知命题p：x∈R有sinx1，则﹁p为（）A．B．C．D．3．如图，为正三角形，，底面，若，，则多面体在平面上的投影的面积为（）A．B．C．D．4．若向量，，满足条件与共线，则的值（）A．B．C．D．5．成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．6．一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品。
根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%。
若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）A．179元B．199元C．219元D．239元7．已知函数则的值为（）A ．B．4C．D．8．集合，若，已知，定义集合中元素间的运算，称为运算，此运算满足以下运算规律：①任意有②任意有(其中)③任意，有④任意有，且成立的充分必要条件是为向量．如果，那么下列运算属于正确运算的是（）A．B．C．D．9.设是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数的取值范围为___．10.设变量x，y满足约束条件,则目标函数的最大值为______11.已知直线与直线相交于点，又点，则______12.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于范围内的频率为_____；这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是______．13.若点和点分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为___．14.已知函数，关于此函数的说法正确的序号是__．①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④．15.已知函数()，且函数的最小正周期为．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．16.如图，是等腰直角三角形，，分别为的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当四棱锥体积取最大值时，(i)若为中点，求异面直线与所成角；(ii)在中交于，求二面角的余弦值．17.在2015-2016赛季联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数，表示投篮次数，表示命中次数）,假设各场比赛相互独立．根据统计表的信息:（Ⅰ）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0．5的概率；（Ⅱ）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0．5的概率；（Ⅲ）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0．5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．18.已知，．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，求证：对于，恒成立；（Ⅲ）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围．19.已知椭圆过点(，)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设是椭圆上的动点，是轴上的定点，求的最小值及取最小值时点的坐标．20.数列中，定义：，．（Ⅰ）若，，求；(Ⅱ)若，，求证此数列满足；（Ⅲ）若，且数列的周期为4，即，写出所有符合条件的．北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习(二)数学 (理科)答案1.考点：集合的运算试题解析：故答案为：B答案：B2.考点：全称量词与存在性量词试题解析：因为特称命题的否定为全称命题，所以﹁p为：。
2016-2017学年北京市东城区初三二模数学试卷(含答案)
2017年北京市东城区九年级中考二模数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为440 000万人，将440 000用科学记数法表示为（）A．64.410⨯B．54.410⨯C．44410⨯D．60.4410⨯2．下列运算正确的是（）A．2a +3b=5ab B．a2•a3=a6C．（a2b）3=a6 b3D．(a＋2)2＝a2＋43．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π，18，1.333．背面朝上放在不透明的桌子上，若随机抽取1张，则取出的卡片上的数是无理数的概率是（）A．15B．25C．35D．454．下列关于二次函数y=x2+2x+3的最值的描述正确的是（）A．有最小值是2 B．有最小值是3C．有最大值是2 D．有最大值是35. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（- b，m），则点E的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，﹣2）7．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（）A．75°B．65°C．45°D．30°8. 关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根9. 图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能．．围成正方体的位置是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④10. 如右图，点E 为菱形ABCD 的BC 边的中点，动点F 在对角线AC 上运动，连接BF ，EF ．设AF =x ，△BEF 的周长为y ，那么能表示y 与x 的函数关系的大致图象是（ ）二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若分式31x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ． 12．请你写出一个多项式，含有字母a ，并能够在有理数范围内用平方差公式进行因式分解. 此多项式可以是 ．13. 已知一次函数y 1=k 1x +5和y 2=k 2x +7，若k 1＞0且k 2＜0，则这两个一次函数的图象的交点在第 象限．14. 如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC ．若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为 ．15. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，竹条AB 的长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则一面贴纸的面积为 cm 2. （结果保留π）16．小明在他家里的时钟上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在n 点钟响起后，下一次则在（3n -1）小时后响起，例如钟声第一次在3点钟响起，那么第2次在(3318)⨯-=小时后，也就是11点响起；第3次在(311132)⨯-=小时后，即7点响起，以此类推……；现在第1次钟声响起时为2点钟，那么第3次响起时为_____点，第2017次响起时为_____点.(如图钟表，时间为12小时制)三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）17．计算：02(π2017)4cos60-+--18. 解不等式组32211,52x x x x -⎧⎪++⎨⎪⎩≤，＜并把解集在数轴上表示出来．19．小明化简 (21)(21)(5)x x x x +--+的过程如图. 请指出他化简过程中的错误，写出对应的序号，并写出正确的化简过程．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°. 以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D . 若CD =4，AB =15，求△ABD 的面积.21．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A ）在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上.（1）求反比例函数(0)ky k x=≠的解析式和点B 的坐标； （2）若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转 60º 得到△BDE （点O 与点D 是对应点），补全图形，直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由.22．列方程或方程组解应用题：某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且两队在独立完成面积为400m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m 2？23．如图，BD是△AB C的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的长.24. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费. 为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点）. 请你根据统计图解答下列问题：（1）此次抽样调查的样本容量是__________________；（2）补全频数分布直方图；（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？25. 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．26. 佳佳想探究一元三次方程32220x x x +--=的解的情况. 根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与x 轴交点的横坐标即为一次方程0(0)kx b k +=≠的解；二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解. 如：二次函数223y x x =--的图象与x 轴的交点为(1,0)-和(3,0)，交点的横坐标-1和3即为方程2230x x --=的解.根据以上方程与函数的关系，如果我们知道函数3222y x x x =+--的图象与x 轴交点的横坐标，即可知道方程32220x x x +--=的解.佳佳为了解函数3222y x x x =+--的图象，通过描点法画出函数的图象：（1）直接写出m 的值，并画出函数图象；（2）根据表格和图象可知，方程的解有_____个，分别为__________________； （3）借助函数的图象，直接写出不等式3222x x x +>+的解集.27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+.（1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点()1,0A -，()1,0B ，且该抛物线与线段AB 始终有交点，请直接写出m 的取值范围.28. 取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图1，先把正方形ABCD 对折，折痕为MN ；第二步：点G 在线段MD 上，将△GCD 沿GC 翻折，点D 恰好落在MN 上，记为点P ，连接BP .（1）判断△PBC 的形状，并说明理由；（2）作点C 关于直线AP 的对称点C ′，连PC′，D C′， ①在图2中补全图形，并求出∠APC′的度数； ②猜想∠PC′D 的度数，并加以证明.（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接A C′，C C′，研究图形中特殊的三角形）29．在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合.错误！未找到引用源。
2016北京各区初三二模---26题汇编
2016北京各区初三二模 26题汇编丰台 26. 有这样一个问题：探究函数x x y 12-=的图象与性质.小宏根据学习函数的经验，对函数xx y 12-=的图象与性质进行了探究.下面是小宏的探究过程，请补充完整：（1）函数xx y 12-=的自变量x 的取值范围是___________；（2）下表是y 与x 的几组对应值.求m ，n 的值；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）：_____ 朝阳 26．（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线132y x =+与抛物线y = x 2相交于点A 、B ，与x 轴交于点C ，A 点横坐标为x 1，B 点横坐标为x 2（x 1 < x ），C 点横坐标为x ．请你计算1211x x +与31x 的值，并判断它们的数量关系．（2组条件中选择一组．．．．，证明1211x x +与31x 仍具有（1）中的数量关系． ①如图，∠APC =120º，PB 平分∠APC ，直线l 与P A 、PB 、PC 分别交于点A 、B 、C ， P A =x 1，PC =x 2，PB =x 3．②如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A (x 1，0)、B (0，x 2)作直线l ，与直线y =x 交于点C ，点C 横坐标为x 3．昌平26. 我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系. 在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°. 若∠A =30°，则cos A A AC AB 的邻边斜边=∠== 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对. 如图2，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时，sad A =BC AB底边腰=. 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对的定义，解答下列问题： （1）直接写出sad60°的值为 ；（2）若0°＜∠A ＜180°，则∠A 的正对值sad A 的取值范围是 ；（3）如图2，已知tan A =34，其中∠A 为锐角，求sad A 的值；（4）直接写出sad36°的值为 .lCBAPxyx 3x 1x 2C AB O西城26．【探究函数9y xx=+的图像与性质】（1）函数9y xx=+的自变量x 的取值范围是；（2）下列四个函数图像中，函数9y xx=+的图像大致是；（3）对于函数9y xx=+，求当x ＞0时，y的取值范围．请将下面求解此问题的过程补充完整：解：∵x＞0∴9y xx=+图2CBA图1备用图CBAABC∴y _________. 【拓展运用】（4）若函数259x x y x -+=，则y 的取值范围是石景山26．阅读下面材料：小骏遇到这样一个问题：画一个和已知矩形ABCD 面积相等的正方形．小骏发现：延长AD 到E ，使得DE =CD ， 以AE 为直径作半圆，过点D 作AE 的垂线， 交半圆于点F ，以DF 为边作正方形DFGH ， 则正方形DFGH 即为所求．请回答：AD ，CD 和DF 的数量关系为 ． 参考小骏思考问题的方法，解决问题：画一个和已知□ABCD 面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤．海淀26. 小明在做数学练习时，遇到下面的题目：小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑．下面是他的分析、 探究过程，请你补充完整．第一步，读题，并标记题目条件如下：在△ABC 中，D 为AC 边上一点，①AB=AC ；②DBA A ∠=∠；③BD=BC ；④CD =2； ⑤△BDC 的周长为14．第二步，依据条件③、④、⑤，可以求得BD BC ==__________； 第三步，作出△BCD ，如图2所示；第四步，依据条件①，在图2中作出△ABC ；（尺规作图，保留作图痕迹）图2， ，第五步，对所作图形进行观察、测量，发现与标记的条件_____不符（填序号），去 掉这个条件，题目中其他部分保持不变，求得AB 的长为__________.东城26. 阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， AB =1，∠A =α，求sin2α（用含sin α，cos α的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB = 2α，然后利用锐角三角函数在Rt △ABC 中表示出AC ，BC ，在Rt △ACD 中表示出CD ，则可以求出sin 2α=CD OC=21sin AC ⋅α=21cos sin αα⋅=ααcos sin 2⋅．图1 图2阅读以上内容，回答下列问题： 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1. (1)如图3，若BC =13，则 sin α= ， sin2α= ；图3(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sin α，cos α的式子表示）．平谷26．对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数. 分段函数在不同的定义域上，函数的表达式也不同．例如：()()22020x x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩是分段函数．当0x ≥时，它是二次函数22y x x =-，当0x <时，它是正比例函数2y x =．（1）请在平面直角坐标系中画出函数()()22020x x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩的图象； （2）请写出y（3）当1y =-时，求自变量x 的值．24.我们定义：关于x 的一次函数a bx y +=叫做一对交换函数,例如34+=x y 就是一对交换函数（1）写出一次函数b x y +-=2数 .（2）当2-≠b 时，写出(1)中两函数图象的交点的横坐标 . （3）如果(1)中两函数图象与y 轴围成三角形的面积为3,求b 的值.丰台 26. 解：（1）0x ≠. ------- 1分（2）38,23m n ==. ------- 3分 （3（4①当x ②函数的图象与y 轴无交点,图象由两部分组成. ③关于原点成中心对称. ……（写出一条即可）朝阳26．（1）解： 由题意可得2132x x =+． ∵12x x <，∴132x =-，22x =． …………………………………………………1分 ∴121116x x +=-． ∵直线132y x =+与x 轴交于点C ，C 点横坐标为3x ，∴36x =-．………………………………………………………………2分∴3116x =-． ∴123111x x x +=．…………………………………………………………3分 （2）①证明：如图，过点B 作BE ∥PA 交PC 于点E ．∴△BEC ∽△APC ．…………………………………………………4分 由PB 平分APC ∠，120APC ∠=︒，可得△PBE 是等边三角形．∴3BE PE PB x ===．∴23EC x x =-．∵BE ECAP PC =， ∴32312x x x x x -=．∴231312x x x x x x +=． ∴123111x x x +=．…………………………………………………………5分 ②解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E ．∵点C 在直线y x =上，且横坐标为3x ， ∴点C (3x ，3x )．∴3CE CD x ==．……………………………4分 ∵BOC AOC AOB S S S ∆∆∆+=，∴231312111222x x x x x x +=． ∴． (123)111x x x +=lxy E Dx 3x 1x 2C A BO l昌平26．解：（1）1．………………………………………………………1分（2）0＜sad A＜2．……………………………………………2分（3）如图2，过点B作BD⊥AC于点D．∴∠ADB=∠CDB=90°．在Rt△ADB中，tan A=34，∴设BD=3k，则AD=4k．∴AB5k=．……………………………3分∵AB=AC，∴CD=k．∴在Rt△CDB中，利用勾股定理得，BC．在等腰△ABC中，sad A=55BCAB k==．………………………………4分（42.石景山26．解：2DF AD CD=⋅………………………………………………………………1分解决问题：法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AD到E，使得DE=AM，以AE为直径作半圆，过点D作AE垂线，交半圆于点F，以DF为边作正方形DFGH，正方形DFGH即为所求．……………………………………………………………………………………5分法二：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC交BC延长线于点N，将平行四边形转化为等面积矩形，后同小骏的画法．……………………………………………………………………………………5分说明：画图2分，步骤2分．DC BA图2海淀 26. 第二步：6BD BC ==；………………………1分 第四步：如图，△ABC 即为所求． ………………3分 第五步： ② ，18．………………5分东城26.解：（1）sin α=13， sin2α. …………2分（2）∵AC = cos α，BC =sin α，∴CD =AC BCAB⨯=sin cos αα⋅.∵∠DCB =∠A ，∴在Rt △BCD 中，BD =sin 2α.∴OD =12- sin 2α. ∴tan2α=CD OD =. 平谷26．（1）如图所示，………………………………………………………………………………2 （2）（1，-1）……………………………………3 （3）x =1或12- (5)房山24.解：（1）-=bx y -------------------------------------1分（2）-------------------------------------2分(3)b x y +-=2与y 轴交点为A(0，b )2-=bx y 与y 轴交点为B(0,-2)22sin cos 2sin cos 112sin sin 2αααααα⋅⋅=--∵两直线与y 所围成三角形的面积为3两直线交点到y 轴的距离为1,∴3121=⨯⨯AB ∴AB=6 --------------------------------------3分∴ 6)2(=--b 或62=--b∴4=b 或8-=b。
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北京市东城区2015—2016学年第二学期统一练习（二） 初三数学 2016.6
学校 班级 姓名 考号
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为
A ．63.510⨯
B ．73.510⨯
C ．53510⨯
D ． 80.3510⨯
2．如图，已知数轴上的点A ，O ，B ，C ，D 分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数2的点P 应落在线段
球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是
A ．
13 B ．25 C ．12 D ． 23
4. 下列图案中 ，既是中心对称又是轴对称图形的是
A B C D
5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是
A B C D
7．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是
A．4 B．3 C．2 D．1
9. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线
段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分
三次每次购买1千克这种苹果可节省
A．1元B．2元
C．3元D．4元
10. 某班有20位同学参加乒乓球、羽毛球比赛，甲说：“只
参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是
A.若甲对，则乙对
B.若乙对，则甲对
C.若乙错，则甲错
D.若甲错，则乙对
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．分解因式：2
242ax ax a -+= ．
12．关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围
是 ．
13. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，请你添加一个条件，使
得△ABP ∽△ACB ，这个条件可以是 ．
14. 九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．
15．定义运算“*”，规定x *y =a （x +y ）+xy ，其中a 为常数，且1*2=5，则2*3= ． 16．在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走
1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是 ；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是 ．
三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题
8分）
17．计算：0
1
12sin 60(3π)()4
-︒-+.
18．已知023a b =≠，求代数式2
2
422a b a b a ab
-++的值．
19．如图，已知∠ABC =90°，分别以AB 和BC 为边向外作
等边△ABD 和等边△BCE ，连接AE ，CD .
求证：AE=CD．
20．列方程或方程组解应用题：
为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A，B两种商品进行打折出售．打折前，买6件A商品和3件B商品需要108元，买3件A商品和4件B商品需要94元.问：打折后，若买5件A商品和4件B商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？
21.如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方
形ABCD的边上，且含边长为3的等腰三角形．（要求：画出三个
．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
D
C
B
A D
C
B
A D
C
B
A
22．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD
于点E ．
（1）求证：∠BAM =∠AEF ；
（2）若AB =4，AD =6，4
cos 5
BAM ∠=，求DE 的长.
23.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数
(0)m
y x x
=
>的图象经过点D . （1）求反比例函数的解析式；
（2）经过点C 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数的
图象交于P 点，当k ＞0时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）.
24.阅读下列材料：
2013年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年.这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2013年全年,本市空气质量一级优的天数有41天；二级良天数135天.本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为89.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平.
2014年全年，PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米.，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2013年的71天增加了22天.
2015年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2014年增加了14天. 本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2015年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天.
根据以上材料解答下列问题：
（1）北京市2014年空气质量达到优良的天数为天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2013年全年达到二级良的天数为天；
（2）选择统计表或统计图，将2013—2015年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来.
25. 如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延
长线与⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
∠=BE的长．
（2）若AC=，sin CAF
26. 阅读下列材料：
在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°， AB =1，∠A =α，求sin2α（用含sin α，cos α的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB = 2α，然后利用锐角三角函数在Rt △ABC 中表示出AC ，BC ，在Rt △ACD 中表示出CD ，则可以求出
sin 2α=
CD OC
=21sin AC ⋅α=2
1cos sin α
α⋅=ααcos sin 2⋅．
图1 图2
阅读以上内容，回答下列问题：
在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1. (1)如图3，若BC =1
3
，则 sin α= ， sin2α= ；
图3 (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sin α
，cos α的式子表示）．
27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）. （1）求二次函数1C 的解析式；
（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB
上；
（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数
221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.
28. 【问题】
在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点E 在直线BC 上（B ,C 除外），分别经过点E 和点B 做AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系. 【探究发现】
某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G （如图1），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；
图1
【数学思考】
那么当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 的延长线”；“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
图2
【拓展应用】
当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE =nBC （01n ＜＜），请直接写出ABC S △：AEF
S △的值．
备用图
29. 定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，
205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.
（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个最小值函数图象上
的点；
（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.
①直接写出△ABM 的面积，其面积是 ；
②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；
③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P ，使2
P A P +的值最小，直接写出此最小值.。