课外练习2_二次根式的加减-优质公开课-鲁教8下精品
鲁教版五四制八年级下册数学第七章 二次根式 二次根式的加减
解：由非负数的性质知：a－ 8＝0，b－ 18＝0，c－ 32＝0，所以 a＝2 2，b
＝3 2，c＝4 2.
(2)以a，b，c的值为长度的三条线段能构 成三角形吗？并说明你的理由．
解：能．理由：因为 a＋b＝2 2＋3 2 ＝5 2＞c＝4 2，所以以 a，b，c 的值 为长度的三条线段能构成三角形．
解：因为 5的整数部分为 2， 所以 7＋ 5＝9＋a，7－ 5＝4＋b，即 a ＝－2＋ 5，b＝3－ 5. 所以 ab－a＋4b－3＝(－2＋ 5)(3－ 5) －(－2＋ 5)＋4(3－ 5)－3＝－11＋5
5＋2－ 5＋12－4 5－3＝0.
20．已知 a，b，c 满足|a－ 8|＋ b－ 18＋(c－ 32)2＝0. (1)求 a，b，c 的值；
A. 2＋ 5＝ 7 B．2＋ 2＝2 2
C．3 2－ 2＝3 D. 2－
12＝
2 2
错解：A或B或C
诊断：忽视了二次根式加减运算法则是被开方数相 同的最简二次根式才能合并，而合并时只将系数相 加减，被开方数不变．
14．化简 －a3－a －1a.
解：∵－a3≥0，－1a＞0，∴a＜0， ∴原式＝－a －a＋ －a＝(1－a) －a.
15．计算： (1)【2020·湖州】 8＋| 2－1|； ＝2 2＋ 2－1＝3 2－1.
2 (2)3
9x＋6
x4－2x
1x；
＝2 x＋3 x－2 x＝3 x.
(3)【2020·铜仁】2÷12－(－1)2 020－ 4－( 5－ 3)0. ＝2×2－1－2－1＝4－1－2－1＝0.
3x－10
16．若最简二次根式 2x＋y－5和 x－3y＋11是同类二 次根式． (1)求 x，y 的值；
鲁教版数学八年级下册7.3《二次根式的加减》教学设计
鲁教版数学八年级下册7.3《二次根式的加减》教学设计一. 教材分析《二次根式的加减》是鲁教版数学八年级下册第七章第三节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的乘除法运算的基础上进行学习的，主要让学生掌握二次根式的加减法运算。
教材通过引入实例，引导学生总结出二次根式加减法的运算规律，进而让学生学会如何进行二次根式的加减运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了二次根式的基本知识，对二次根式的性质和乘除法运算有一定的了解。
但学生在进行二次根式的加减运算时，可能会对如何正确去分母、如何合并同类二次根式等方面存在困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生积极参与，让学生通过观察、分析、归纳等方法，总结出二次根式加减法的运算规律。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的加减法运算方法。
2.培养学生进行数学运算的能力。
3.培养学生观察、分析、归纳的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减法运算方法。
2.难点：如何正确去分母，如何合并同类二次根式。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、分析、归纳二次根式加减法的运算规律。
2.采用合作交流法，让学生在小组内进行讨论，共同解决问题。
3.采用练习法，让学生通过适量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关教学课件，展示二次根式的加减法运算实例。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示几个二次根式的加减法运算实例，让学生观察并思考：如何进行二次根式的加减运算？引导学生进入本节内容的学习。
2.呈现（10分钟）教师引导学生总结二次根式加减法的运算规律，呈现二次根式加减法的运算方法。
在此过程中，教师重点讲解如何正确去分母，如何合并同类二次根式。
3.操练（10分钟）教师让学生在小组内进行讨论，共同解决一些关于二次根式加减法的练习题。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对二次根式加减法的掌握程度。
鲁教版初二数学下学期：7.3 二次根式的加减 (1) 教案
第七章二次根式3 二次根式的加减一、教材分析1、内容分析：?二次根式的加减?是鲁教五·四学制2022课标版八年级下册第七章第三节的内容，本节内容共一课时。
主要内容是学习二次根式的加减运算。
2、地位与作用：二次根式属于“数与代数〞领域的内容，它是在学生在学习了勾股定理、平方根、立方根、实数等概念的根底上进展的，是对“实数〞“代数式〞内容的延伸和补充。
在进展二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；这说明了前后知识之间的内在联络。
同时本部分内容还是后面学习“锐角三角函数〞、“一元二次方程〞和“二次函数〞的根底.二、学情分析学生已经学习了二次根式的概念及性质等知识，已具备了学习二次根式加减运算的知识根底和心理根底，本节课主要是采用类比的思想来学习二次根式的加减运算，难度不大。
班级学生课堂上能积极参与、有一定的自学才能，好奇心、求知欲、表现欲都非常强；在前面学习的根底上，他们具有一定的观察才能、分析才能、归纳才能，学习新知识速度快模拟才能强，具备一定的探究知识自主创新的才能，但经常因为粗心而出错，同时课后复习稳固的效果较差。
结合以上分析，为了加强他们的自学才能，进步课堂学习效率，根据他们的特点，本节课采用启发引导，讲练结合的方式完成学习,选择联络生活中的实际问题，适宜学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学才能，通过一定练习，激发学生的求知欲和进步学生的自信心。
三、目的分析1、理解同类二次根式的概念，会区分同类二次根式。
2、经历探究二次根式的加法和减法运算法那么的过程，理解二次根式的加法和减法算理，进一步开展学生的类比推理才能。
3、能纯熟地进展二次根式的加法和减法运算。
四、教学重难点【重点】会区分同类二次根式，纯熟掌握二次根式的加减运算。
【难点】探究二次根式加减运算的方法和准确地进展二次根式的加减运算。
五、教具准备多媒体投影、实物展台、课件、学案、六、活动流程数学课程标准?明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。
鲁教版八年级下册7.3二次根式的加减同步课时训练(word版含答案)
鲁教版八年级下册7.3二次根式的加减同步课时训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若a、b，则a和b互为（）A．倒数B．相反数C．负倒数D．有理化因式2．估计(）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间3合并的是（）A．B C D4．某海防哨所O发现在它的西南方向A处有一艘船，向正东AC方向航行，当船行驶到距离A处400米的B处时，测得船位于海防哨所的南偏东30°方向，则BO的长为（）A．200B．400C．200D．4005．已知a=b=则一次函数y＝(a＋b)x＋ab的图象大致为（）A．B．C．D．6．估计+）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间7．若x=，2y=，则x与y的关系是（）A ．x y >B ．x y =C ．x y <D ．1xy = 8．下列说法：①带根号的数是无理数；③实数与数轴上的点是一一对应的关系；④两个无理数的和一定是无理数；⑤已知a ＝2b ＝2，则a 、b 是互为倒数．其中错误的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9的有理化因式可以是（ ）AB； CD10．如x 为实数，在“1)□x ”的“□”中添上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则x 不可能是（ ）A1B1 C．D．1二、填空题11=__________．12．如图，在等腰Rt ABC 中∠ABC ＝90°，AB ＝BC，点D 是AC 上一点，∠CBD ＝30°．将BDC 沿BD 折叠至BDC '连接AC '，则ADC '的面积为_____．13）的结果是_____．144132-⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭__________________． 15．如图，平面直角坐标系中，点A在直线y x =+上，点C 在直线142y x =-+上，点A ，C 都在第一象限内，点B ，D 在x 轴上，若AOB 是等边三角形，BCD △是以BD 为底边的等腰直角三角形，则点D 的坐标为____________．16．如图，数轴上A 、B 两点所表示的数是-C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是______．三、解答题17．先化简，再求值：2224112a a a a a -÷----，其中2a =． 18．计算：（1|（2）3++19．计算：())12322220183++--．20(2+．参考答案1．D2．C3．A4．B5．C6．B7．C8．B9．C10．C1112．213．514．-1315．19,03⎛⎫ ⎪⎝⎭16．17．12a -． 【详解】 解：原式=2(1)(1)12(2)2a a a a a a +-⨯---- =122a a a a +--- =12a -，将2a =代入上式得，原式=．18．（13+；（2）-【详解】解：（1=452+3；（2）3+-=2338+--=-19．4．【分析】())12322220181,33+===-=由此解题. 【详解】解：原式()13-=13-=4．20．1-．【详解】(2-(45)=-3545=--+1=-．。
鲁教版数学八年级下册7.3《二次根式的加减》教学设计1
鲁教版数学八年级下册7.3《二次根式的加减》教学设计1一. 教材分析《二次根式的加减》是鲁教版数学八年级下册7.3节的内容，本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的乘除法运算的基础上进行学习的。
本节内容主要让学生掌握二次根式的加减法运算规则，理解并掌握二次根式加减法运算的实质，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了二次根式的性质和二次根式的乘除法运算，但学生在进行二次根式的加减法运算时，容易出错，主要是由于学生对二次根式的加减法运算规则理解不深，对二次根式加减法运算的实质理解不透。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的加减法运算规则。
2.让学生理解并掌握二次根式加减法运算的实质。
3.提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次根式的加减法运算规则，理解并掌握二次根式加减法运算的实质。
2.教学难点：让学生理解并掌握二次根式加减法运算的实质。
五. 教学方法采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法，以学生为主体，教师为主导，注重学生对知识的探究和理解，培养学生的动手操作能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师要熟悉教材内容，明确教学目标，掌握教学重难点，准备好相关的教学材料和教具。
2.学生准备：学生要预习教材内容，完成相关的预习作业，准备好笔记本和文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习二次根式的性质和二次根式的乘除法运算，引导学生进入本节内容的学习。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，展示二次根式的加减法运算的例子，让学生观察和思考。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式的加减法运算的练习，教师通过示范和讲解，让学生理解和掌握二次根式的加减法运算规则。
4.巩固（10分钟）教师通过让学生完成一些相关的练习题，巩固学生对二次根式的加减法运算的理解和掌握。
5.拓展（10分钟）教师通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
新人教版数学初中八年级下册16.3《二次根式的加减》公开课优质课教学设计
《16.3二次根式的加减》本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；2. 会进行二次根式的加减运算．3.通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.6. 通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.课件第一课时一、复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将18，8，23化为最简二次根式吗？ 问题2：现有一块长7.5dm,宽5dm 的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板? 提问:①大、小正方形木板的边长分别为18dm 和8dm,木板是否够宽?②木板是否够长呢?③怎样计算818+的结果呢?问题3：计算下列各式：（1）a+2a ；（2）3x-2x ；解：（1）a+2a=(1+2)a=3a ；（2）3x-2x=(3-2)x=x ；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备.二、新课讲解：1.探究二次根式的加法.问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：（1）323+；（2）52-53.解：（1）333)21(323=+=+；（2）55)23(52-53=-=.【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变.问题5：53+能合并吗？为什么？82+呢？解：53+不能合并，因为它们被开方数不相同；232)21(22282=+=+=+.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同.（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x -C ．mn 与n m +D ．ab 2与ba 2 练习:2：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？（1）3838-=-；（2）9494+=+；（3）22223=-.解：（1）∵228=和3的被开方数不相同，∴不能合并,故错误.（2）∵53294=+=+，1394=+， 故9494+≠+，故错误；（3）∵22)23(2223=-=-，故正确.[点拨]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并.2.二次根式加法的运用.问题7：（教材例题）计算：（1）4580-；（2）a a 259+；（3）483316122+-；（4）)53()2012(-++.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a 853259=+=+；（3）3102831232-28483316122+=+=+-； （4）533535232)53()2012(+=-++=-++.练习3：（教材P13练习2）计算：（1）4580-；（2）a a 9194+； （3）52080+-；（4）)2798(18-+；（5）)681()5.024(--+. 解：（1）553-544580==-；（2）a a a a a =+=+31329194； （3）535525452080=+-=+-；（4）33210332723)2798(18-=-+=-+；.42636422262)642()2262()681()5.024(5+=+-+=--+=--+）（问题6：前面问题2中，怎样计算818+的结果呢?木板长7.5dm,宽5dm ，是否够长？解：818+ =2223+···化为最简二次根式 =2)23(+···乘法分配率 =25≈7.07＜7.5故木板够长.练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.12，求圆环的宽度d （π取3.14，结果保留小数点后两位）.解：∵S 圆=πr 2， ∴d=r 大圆-r 小圆=2224814.356.1214.312.25-=-=-=-ππ小圆大圆S S ≈0.83 答：圆环的宽度d 为0.83.三、课堂小结：1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同.（2）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.3. 二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别四、随堂测试：1.下列各式计算正确的是 ( ) A.532=+ B.13334=- C.363332=⨯ D.3327=÷解析:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.应为18363332=⨯=⨯⨯，故错误；D.39327327==÷=÷，故正确.故选D.2.以下二次根式:①12,②22,③32,④27中, 化简后能合并成一项的是( ) A.①和② B.②和③ C.①和④ D.③和④解析：①3212=；②222=；③3632=；④3327=. 3. 计算：2-23的值是（ ） A.2 B.3 C.2 D.22解析：.222)13(2-23=-=.4. 一个等腰三角形的两边长分别为2332，, 则三角形的周长为.解析：分两种情况讨论：（1）当32为腰长，23为底边长时，周长为3423+；（2）当23为腰长，为32底边长时，周长为3226+.5. 若最简二次根式14232+a 与16322-a 的被开方数相同,则a= . 解析：由题意得4a 2+1=6a 2-1，解得a=±1.6. 计算：（1）233-2332++；（2）101015-40+.第二课时 一、复习引入：1. 计算：（1）728+；（2）68⨯；（3）324÷.解：（1）282622728=+=+；（2）34486868==⨯=⨯；（3）228324324==÷=÷.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备.2. 计算：（1）(2x-y)·zx ；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy ；（3）(2x+y)(x-3y)（3）(2x+3y)(2x-3y);（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)·zx=2x 2z-xyz ；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy=2x 2y ÷xy+3xy 2÷xy=2x+2y ；（3）(2x+y)(x-3y)=2x 2-6xy+xy-3y 2=2x 2-5xy-3y 2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x 2-9y 2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x 2+4x+1+4x 2-4x+1=8x 2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式.【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算.二、新课讲解：问题1：如果把上面的x ，y ，z 改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？例1.（教材P14例题3）计算：（1）6)38(⨯+；（2）226324÷-）（.解：（1）6)38(⨯+ =6368⨯+⨯=1848+ =2334+；（2）2263-24÷）（ =22632224÷-÷ =3232-. 【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率.练习1：（教材P14练习1）计算：（1）)53(2+；（2）5)4080(÷+；解：（1）)53(2+ =5232⨯+⨯ =106+；（2）5)4080(÷+ =540580÷+÷ =816+ =224+.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式.问题2.（教材P14面例4）例2. 计算：（1）)52()32(-⋅+；（2）)35)(35(-+.解：（1）)52()32(-⋅+ =152523)2(2--+ =15222-- =2213--；（2）)35)(35(-+ =22)3()5(-=5-3=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．练习2：计算：（1）)17(72--=；（2）)2332)(2332(+-=. 答案为：7214+-；6.练习3：计算2)322215324(⋅+-的结果是（ ） A.303-3320 B.30-3320 C.332303- D.332302- 练习3 计算：（1）)2762)(6227(-+；（2）2)377(-；（3）22)632()632(-+--+解：（1）)2762)(6227(-+ =222762）（）（- =24-98=-74；（2）2)377(- =22)37(3772)7(+⨯⨯-=2114154-；（3）22)632()632(++--+ =)]632()632)][(632()632[(++--++++-+ =)62()3222(-⋅+ =21238--.练习4：已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求下面式子的值. )1()(2yx y x y x y y x x +-+ 解：由4x 2+y 2-4x-6y+10=0得到(2x-1)2+(y-3)2=0,∴2x-1=0,y-3=0.解得，x=21，y=3. )1()(2yx y x y x y y x x +-+ =yx x y y x 12--+ =y y xx y y y x--+ =x y -当x=21，y=3时， 原式=223213-=-. 三、课堂小结：师生共同回顾本节课所学主要内容:关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是( ) A. ab 与2ab B. 22n m + 与22n m - C. mn 与nm 11+ D. 438b a 与432b a 【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同.2.计算：)12)(12(-+的结果是（ ）. A. 23+ B.23- C.1D.3【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直接计算即可.3.若矩形相邻两边长分别是cm 20和cm 125，则它们的周长是.【知识点：二次根式混合运算】 【参考答案】cm 514【思路点拨】矩形的周长=（长+宽）×24. 计算：)4831375(12-+⨯的结果是（ ） A. 23 B.32 C. 6D. 12【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】D 【思路点拨】123232)34335(12)4831375(12=⨯=-+⨯=-+⨯ 5. 计算：3)4841311527(÷+- 【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】1-【解析】原式=1333)33533(-=÷-=÷+-略。
新人教版数学初中八年级下册16.3《二次根式的加减》(1)公开课优质课教学设计
《二次根式的加减》第一课时◆教材分析本章内容“二次根式”是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容，它与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”紧密联系，同时也是以后将要学习的“解直三角形”、“一元二次方程”、“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学的不等式、函数以及解析几何等大部分做好准备.通过本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等探究，发现学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律。
本章内容无论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的.◆教学目标【知识与能力目标】1.理解同类二次根式的概念.2.掌握合并同类二次根式的法则，能正确进行同类二次根式的合并.3.会进行二次根式的加减法运算.【过程与方法】1.学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力.2.通过加减法运算，培养学生的运算能力.【情感态度与价值观】1.通过二次根式的加减法运算解决生活中实际问题，体会数学知识应用的价值，激发和发展学生学习的兴趣.2.通过探究活动，培养学生求实、创新、严谨、合作的科学品质，集体协作的团队精神.◆教学重难点【教学重点】b>0）b>0）及利用它们进行计算和化简．【教学难点】b>0）b>0）及利用它们进行计算和化简．◆课前准备教学PPT◆课时安排1课时◆教学过程（一）知识回顾1.二次根式计算、化简的结果符合什么要求？(二)情境引入问题：现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm²和18dm²的正方形木板？+，如何计算这个式子呢？如果这个式子的值小所要截取的两个正方形的边长之和是818于7.5，则说明可以截取两个分别是8dm²和18dm²的正方形木板.（三）探索新知观察思考：观察下列二次根式有什么共同特征：（1（2-（3归纳总结1.几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.2.判断同类二次根式的关键是什么？(1)化成最简二次根式;(2)被开方数相同,根指数相同 (都等于2).小试牛刀1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）C解决问题==+7.5，(2所以在这块木板上可以截出两个分别是8dm²和18dm²的正方形木板。
新人教版数学初中八年级下册16.3《二次根式的加减》公开课优质课教学设计
1《16.3二次根式的加减》本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．进行二次根式的混合运算．1. 1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；探索二次根式加减运算的方法和步骤；2.2. 会进行二次根式的加减运算．会进行二次根式的加减运算．3.3. 通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想. .4.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法方法. .5.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .6.6. 通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．1.1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．2.2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .课件课件◆ 教材分析 ◆ 教学目标◆ 教学重难点 ◆◆ 课前准备◆◆ 教学过程第一课时一、复习引入：一、复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将18，8，23化为最简二次根式吗？化为最简二次根式吗？ 问题2：现有一块长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 的木板的木板,,能否采用如图的方式能否采用如图的方式,,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板的正方形木板? ? 提问提问::①大、小正方形木板的边长分别为18dm 和8dm,dm,木板是木板是否够宽否够宽??②木板是否够长呢②木板是否够长呢??③怎样计算818+的结果呢的结果呢? ?问题3：计算下列各式：（1）a+2a a+2a；；（2）3x-2x 3x-2x；；解：（1）a+2a=(1+2)a=3a a+2a=(1+2)a=3a；；（2）3x-2x=(3-2)x=x 3x-2x=(3-2)x=x；；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备. .二、新课讲解：1.1.探究二次根式的加法探究二次根式的加法探究二次根式的加法. .问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：：请类比整式的加减，计算下列各式：（1）323+；（2）52-53.解：（1）333)21(323=+=+；（2）55)23(52-53=-=.【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变内的数不变. .问题5：53+能合并吗？为什么？82+呢？呢？解：53+不能合并，因为它们被开方数不相同；不能合并，因为它们被开方数不相同；232)21(22282=+=+=+.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同开方数是否相同. .（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并式合并. .练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x - C ．mn 与n m + D．ab 2与ba 2 练习练习:2:2:2：：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？练习）下列计算是否正确？为什么？（1）3838-=-；（2）9494+=+；（3）22223=-.解：（1）∵228=和3的被开方数不相同，的被开方数不相同，∴不能合并∴不能合并,,故错误故错误. .（2）∵53294=+=+，1394=+，故9494+¹+，故错误；，故错误；（3）∵22)23(2223=-=-，故正确故正确. .[点拨点拨]]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并. .2.2.二次根式加法的运用二次根式加法的运用二次根式加法的运用. .问题7：（教材例题）计算：（1）4580-；（2）a a 259+；（3）483316122+-；（4）)53()2012(-++.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a 853259=+=+；（3）3102831232-28483316122+=+=+-； （4）533535232)53()2012(+=-++=-++.练习3：（教材P13练习2）计算：（1）4580-；（2）a a 9194+； （3）52080+-；（4）)2798(18-+；（5）)681()5.024(--+.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a =+=+31329194； （3）535525452080=+-=+-；（4）33210332723)2798(18-=-+=-+；.42636422262)642()2262()681()5.024(5+=+-+=--+=--+）（问题6：前面问题2中，怎样计算818+的结果呢的结果呢??木板长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 5dm，是否够长？，是否够长？，是否够长？解：818+=2223+···化为最简二次根式·化为最简二次根式=2)23(+···乘法分配率·乘法分配率=25≈7.077.07＜＜7.5故木板够长故木板够长. .练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.1225.12，求圆环的，求圆环的宽度d （π取3.143.14，结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位）. .解：∵解：∵S S 圆=πr 2，∴d=r 大圆-r 小圆小圆=2224814.356.1214.312.25-=-=-=-ππ小圆大圆S S ≈0.83 答：圆环的宽度d 为0.83.三、课堂小结：三、课堂小结：1.1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同. .（2）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式. .2.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；②合并被开方数相同的最简二次根式时，②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变不变. .3.3. 二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．4.4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算运算二次根式的乘除法二次根式的乘除法 二次根式的加减法二次根式的加减法 系数系数系数相乘除系数相乘除 系数相加减系数相加减被开方数被开方数 被开方数相乘除被开方数相乘除 被开方数不变被开方数不变化简化简 结果化成最简二次根式结果化成最简二次根式先化成最简二次根式先化成最简二次根式,,再合并被开方数相同的二次根式的二次根式((同类二次根式同类二次根式) )四、随堂测试：四、随堂测试：1.1.下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是 ( () A.532=+ B.13334=- C.363332=´ D.3327=¸ 解析解析:A.:A.:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.C.应为应为18363332=´=´´，故错误；，故错误；D.39327327==¸=¸，故正确，故正确. .故选D.2.2.以下二次根式以下二次根式以下二次根式::①12,②22,③32,④27中, 化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是( ( ( )A.A.①和②①和②①和②B. B.②和③②和③②和③C. C.①和④①和④D.D.③和④③和④③和④解析：①3212=；②222=；③3632=；④3327=. 3.3. 计算：2-23的值是（的值是（） A.2 B.3 C.2 D.22 解析：解析：..222)13(2-23=-=.4.4. 一个等腰三角形的两边长分别为2332，, 则三角形的周长为则三角形的周长为则三角形的周长为. . 解析：分两种情况讨论：（1）当32为腰长，23为底边长时，周长为3423+；（2）当23为腰长，为32底边长时，周长为3226+.5.5. 若最简二次根式若最简二次根式14232+a 与16322-a 的被开方数相同的被开方数相同,,则a= a= . 解析：由题意得4a 2+1=6a 2-1-1，解得，解得a=a=±±1.6.6. 计算：（1）233-2332++； （2）101015-40+.第二课时一、复习引入：一、复习引入：1.1.计算：（1）728+；（2）68´；（3）324¸. 解：（1）282622728=+=+；（2）34486868==´=´；（3）228324324==¸=¸.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备. .2.2. 计算：（1）(2x-y)(2x-y)··zx zx；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy xy；；（3）(2x+y)(x-3y) （3）(2x+3y)(2x-3y);(2x+3y)(2x-3y);（（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)(2x-y)··zx=2x 2z-xyz z-xyz；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy=2x 2y ÷xy+3xy 2÷xy=2x+2y xy=2x+2y；；（3）(2x+y)(x-3y)=2x 2-6xy+xy-3y 2=2x 2-5xy-3y 2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x 2-9y 2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x 2+4x+1+4x 2-4x+1=8x 2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式. .【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算. .二、新课讲解：二、新课讲解：问题1：如果把上面的x ，y ，z 改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？例1.1.（教材（教材P14例题3）计算：（1）6)38(´+；（2）226324¸-）（.解：（1）6)38(´+=6368´+´=1848+=2334+；（2）2263-24¸）（ =22632224¸-¸=3232-.【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率. . 练习1：（教材P14练习1）计算：（1）)53(2+；（2）5)4080(¸+； 解：（1）)53(2+=5232´+´=106+；（2）5)4080(¸+=540580¸+¸=816+=224+.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式）最终的结果一定要化为最简二次根式. . .问题2.2.（教材（教材P14面例4）例2.2. 计算：（1）)52()32(-×+；（2）)35)(35(-+. 解：（1）)52()32(-×+=152523)2(2--+=15222--=2213--；（2）)35)(35(-+=22)3()5(-=5-3=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．练习2：计算：（1）)17(72--=；（2）)2332)(2332(+-=.答案为：7214+-；6.练习3：计算2)322215324(×+-的结果是（的结果是（ ） A. A. 303-3320 B.30-3320 C.332303- D.332302- 练习3 计算：（1）)2762)(6227(-+；（2）2)377(-；（3）22)632()632(-+--+解：（1）)2762)(6227(-+=222762）（）（-=24-98=-74=-74；；（2）2)377(-=22)37(3772)7(+´´-=2114154-；（3）22)632()632(++--+=)]632()632)][(632()632[(++--++++-+ =)62()3222(-×+=21238--.练习4：已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0-4x-6y+10=0，求下面式子的值，求下面式子的值，求下面式子的值. . )1()(2y x y x y x y y xx +-+解：由4x 2+y 2-4x-6y+10=0得到得到(2x-1)(2x-1)2+(y-3)2=0,∴2x-1=0,y-3=0.解得，解得，x=x=21，y=3. )1()(2yx y x y x y y xx +-+ =yx x y y x 12--+ =y y x x y y y x--+=x y -当x=21，y=3时，时， 原式原式==223213-=-. 三、课堂小结：三、课堂小结：师生共同回顾本节课所学主要内容师生共同回顾本节课所学主要内容: :关于二次根式的四则混合运算关于二次根式的四则混合运算,,实质上就是实数的混合运算.(1)(1)运算顺序与有理式的运算顺序相运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2);(2)运算律仍然适用运算律仍然适用运算律仍然适用;(3);(3);(3)与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似,,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是下列二次根式中可以进行合并的是( ) ( )A. ab 与2abB. 22n m + 与22n m -C. mn 与nm 11+ D. 438b a 与432b a 【知识点：同类二次根式】【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同. .2.2.计算：计算：)12)(12(-+的结果是（的结果是（）. A.23+ B.23- C.1D.3 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】C C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直本题利用平方差公式直接计算即可接计算即可. .3.3.若矩形相邻两边长分别是若矩形相邻两边长分别是cm 20和cm 125，则它们的周长是，则它们的周长是. .【知识点：二次根式混合运算】【知识点：二次根式混合运算】【参考答案】cm 514【思路点拨】矩形的周长【思路点拨】矩形的周长==（长（长++宽）×宽）×2 24. 计算：)4831375(12-+´的结果是（的结果是（） A.23 B.32 C. 6D. 12 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】D D【思路点拨】123232)34335(12)4831375(12=´=-+´=-+´5. 计算：3)4841311527(¸+-【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】1-【解析】原式=1333)33533(-=¸-=¸+-略。