二次根式公开课
二次根式省公开课一等奖新名师优质课比赛一等奖课件
1 3
.
(2)(3 7 )2 63 .
第25页
巩固练习 计算：
2
8 =8
2
3 =3
2 3 2 =12
3
2 3
2
=6
1.52 =1.5
- 0.82 =0.8
第26页
巩固练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
第27页
巩固练习
3.若 x 3 y 5 0
求x、y值。
第28页
课堂小结
• 二次根式定义：
a (a 0)
• 二次根式性质: (1) a 0(a 0)
(2)( a )2 a(a 0)
（3） a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
第29页
板书设计
15.1 二次根式（1） 1.二次根式概念：
在实数范围内,负数没有平方根
第11页
a 1
1. 被开方式是什么？ 2.被开方式必须满足什么条件,此二次 根式才有意义？
第12页
求以下二次根式中字母取值范围：
1 a 1 3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母取值范围基本依据：
①被开方数大于零； ②分母中有字母时，要确保分母不为零。
第13页
合作探究：
1.都带二次根号
10，m，10 m
s ，s a
2.被开方数没有负数.
把形如 a a 0式子叫做二次根式
第10页
说一说:
以下各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
二次根式运算市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
二次根式运算教案一、教学目标1.了解二次根式的定义和性质。
2.掌握二次根式的基本运算法则，包括加减乘除。
3.能够运用二次根式的运算法则解决实际问题。
二、教学重点1.理解二次根式的含义和运算规律。
2.掌握二次根式的基本运算法则，包括加减乘除。
三、教学难点1.能够灵活运用二次根式的运算法则。
2.提高学生解决实际问题的能力。
四、教学方法1.讲解法：通过讲解理论知识，阐述二次根式的含义和运算规律。
2.示范法：通过示范例题，引导学生理解二次根式的运算方法。
3.练习法：通过练习题，巩固学生对二次根式运算法则的掌握。
4.讨论合作法：让学生分组讨论，合作解决实际问题。
五、教学过程1.引入（5分钟）通过一个简单的问题引入二次根式运算的概念，例如：“小明买了一块长宽分别为√2米和2√3米的矩形地毯，求地毯的面积。
”2.讲解二次根式的定义和性质（10分钟）讲解二次根式的定义和性质，明确二次根式的含义以及根式的加减乘除法则。
3.示范例题（15分钟）通过一些简单的例题，演示二次根式的基本运算方法，包括加减乘除。
4.练习题（15分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固对二次根式运算法则的掌握。
5.讨论合作解题（15分钟）将学生分组讨论一些实际问题，例如：“小明有一块长宽分别为√5米和√3米的矩形地毯，他想铺在房间的地面上，房间的长宽分别为3√2米和2√3米，问地毯是否能完全覆盖房间的地面？”引导学生通过二次根式的运算解决问题。
6.总结归纳（5分钟）总结二次根式的运算法则和解题思路，强调学生在实际问题中的运用能力。
七、课堂练习（15分钟）八、作业布置（5分钟）九、教学反思。
公开课课件二次根式
2 当x0且x1，1- x 有意义 4由题意可知： x-5 0 解得x5且x6
x6
当x 5且 6x时， x-+5x-6 0有意义
13
尝试与交流
22=4,（ 即4）2= 4
32=9,（ 即9）2= 9
同样地（，2）2= 2 （ 5）2= 5 你还能给出类似的例子吗？试试看 你有什么发现
当a0时(,a)2=a .
在实数范围内,负数没有平方根
11
例题讲解
例1 x为何值时, 下列各式在实数范围内有意义。
(1) 13x (2) 1x 3x (3) (x5)2
解: （1）由1-3x≥0得x≤
1
1
3
当x 3 时， 1-3x有意义
1+x 0
2 由题意可知：
解不等式组得到： -1x3
3-x 0
当 -x13时， 1+-x3-有 x 意义
斜边长为____a_2___2__5_0_0__米。
6
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S,
S 则半径为____________.
7
b-3
如图示的值表示正方形的面积, 则
正方形的边长是 b 3
s
a2 2500
b3
表示一些正数的算术平方根.
一般地,式子a (a0) 叫做二次根式,
a称为是被开方数
3由于 x+520, 当x取一切实数 x+时 52有意义
12
挑战求自x为我何值时, 下列各式在实数范围内有意义。
3 1 2x-1
2
2
2 1-x
3 1-
x
4 x-5 + x-6 0
解：1由2x-1＞0得x＞12当x＞ 12
二次根式的运算【公开课教案】
2.7 二次根式 第2课时 二次根式的运算【上节知识回顾】1．关于二次根式的概念，要注意以下几点： （1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。
如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数； （4）像“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。
2．二次根式的主要性质（1）； （2）； （3）；（4）积的算术平方根的性质：；（5）商的算术平方根的性质：；（6）若，则。
3．注意与的运用。
【新授】一、二次根式的乘法一、复习引入1．填空 （14949⨯=______； （21625=_______1625⨯． （31003610036⨯． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．4×9_____49⨯，16×25_____1625⨯，100×3610036⨯一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5）例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4二、二次根式的除法1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（2=________；（1；（4=________．（3一般地，对二次根式的除法规定：（2（3（4例1．计算：（1（1（2（3（4例3．已知9966x xx x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 三、分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。
《二次根式》word版 公开课一等奖教案 (4)
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因为下次再搜索到我的机会不多哦！《 16.1 二次根式》教学内容：a（a≥0）及根号的意义.教学目标：a（a≥0）并利用它进行计算和化简．a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键：1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板重要内容:1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0时，a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=______；；=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=11023=037．a （a ≥0）例1 化简（1（2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32a （a ≥0）•去化简．解：（1（2=4（3（4三、巩固练习教材第4页练习2．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a <0，•并根据这一性质回答下列问题．（1a ，则a 可以是什么数？（2a ，则a 可以是什么数？（3a ，则a 可以是什么数？例3 当x>2．五、归纳小结a （a ≥0）及其运用，同时理解当a <0a 的应用拓展六、布置作业 1．教材第4页习题1.2.3.4.本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。
八年级二次根式市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
八年级二次根式教案引言：二次根式作为数学中的一个重要概念，是八年级数学学习中的一项重要内容。
学习二次根式不仅能够加深对实数概念的理解，还能够培养学生分析问题和解决问题的能力。
本篇教案将带领学生从概念的认识到运用的掌握，通过多种教学方法和活动，帮助学生全面理解和掌握二次根式。
一、概念引入1. 导入：教师出示一个正方形，让学生估计其边长的平方根是多少，并思考如何求得精确值。
2. 概念引入：由学生提出的求正方形边长的平方根的方法，引出二次根式的概念。
教师讲解二次根式的定义，并进行例题演示。
二、二次根式的性质1. 定理1：二次根式的平方等于被开方数。
- 教师进行证明，帮助学生理解该定理的正确性。
- 学生进行练习，巩固该定理的掌握程度。
2. 性质1：对于非负实数a和b，有√(a × b) = √a ×√b。
- 教师进行案例演示，引导学生进行思考和发现。
- 学生进行小组讨论，总结归纳该性质并给出证明。
- 学生通过练习题，巩固该性质的应用。
3. 性质2：对于非负实数a和b，有√(a ÷ b) = √a ÷√b。
- 教师进行案例演示，引导学生进行思考和发现。
- 学生进行小组讨论，总结归纳该性质并给出证明。
- 学生通过练习题，巩固该性质的应用。
三、二次根式的化简与扩展1. 化简二次根式：- 教师引导学生通过整理根式中的因式，并利用性质对根式进行化简。
- 学生通过练习题，熟悉和掌握化简二次根式的方法。
2. 扩展二次根式：- 教师出示一些无理数，引导学生进行运算。
- 学生进行小组讨论，总结归纳无理数的运算规律和性质。
- 学生通过练习题，巩固对扩展二次根式的掌握。
四、二次根式的应用1. 解决问题：教师通过实际问题引导学生将问题转化为二次根式，并进行求解。
2. 小组探究：学生分组完成一个二次根式相关的探究项目，包括建模和解决问题。
3. 拓展学习：学生通过相关课外阅读和实际应用，拓展二次根式的应用领域，如几何、物理等。
二次根式市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案逐字稿
二次根式教案逐字稿一、教学目标1. 理解和掌握二次根式的概念；2. 能够正确运用二次根式的运算法则进行计算；3. 能够解答有关二次根式的基本练习题。
二、教学重点1. 二次根式的定义和性质；2. 二次根式的运算法则。
三、教学难点1. 二次根式的运算规律；2. 解决复杂二次根式的计算问题。
四、教学准备1. 教材《高中数学教程》第三册；2. 教具：白板、黑板、彩色粉笔等；3. 笔记本电脑、投影仪。
五、教学过程第一步：导入新知识（5分钟）为了引起学生的兴趣，导入阶段，可以通过一个生动的案例加深学生对二次根式的理解。
例如：小明家的车库墙上有一个镜子，它的形状是一个正方形。
车库门边缘的长度为12米，我们想要知道镜子面积的大小。
请同学们思考一下，如何计算这个正方形镜子的面积？第二步：引入概念和性质（10分钟）为了引出二次根式的概念和性质，教师可以使用PPT展示的方式，结合实际案例，引导学生发现二次根式的特点。
然后，教师解释二次根式的定义和性质，比如根式的符号、根式的系数、根式的指数等，以及根式与分式之间的关系。
第三步：举例说明运算法则（15分钟）在教授了二次根式的概念和性质后，教师可以通过具体的例子，逐一讲解二次根式的运算法则。
教师应尽量采用多种多样的实例，让学生能够全面掌握运算法则。
同时，教师可以请学生上黑板进行实际操作，巩固所学的知识。
第四步：练习与巩固（15分钟）在完成了运算法则的讲解后，学生可以进行一些练习题，以检验他们对所学内容的理解和掌握程度。
教师可以分发一些练习册，或者在黑板上出示一些习题，要求学生在规定的时间内完成。
教师应及时纠正学生答题中的错误，以加强学生对二次根式运算法则的应用能力。
第五步：拓展与应用（15分钟）为了拓展学生对二次根式的认识，教师可以引导学生进行一些拓展性的讨论，如二次根式的图像特征、二次根式与实际问题的联系等。
同时，教师还可以给学生一些实际的应用题目，让他们将所学知识应用到实践中，提高解决问题的能力。
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
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a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
0的算术平方根是0 用
a (a≥0)表示.
平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根. 1.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3.－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有平方根.
P131页：练习1、2题
(3) (5) (7)
12, xy ， 异号) (x,y
3
(4) - m (m≤0), (6) a 2 1 ,
5
注意：在实数范围内,负数没有平方根。
3、二次根式有哪些性质：
a
2
a a 0
口诀：二次根式的平方等于被开方 数
a (a >0 ) 2 a | a | 0 ( a = 0 ) a( a <0 )
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
什么条件？
解： (1)由x－1≥0,得x≥1。当x≥1 时，
式子 x 1 在实数范围内有意义.
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
例2：计算
（ ） ( 5 )2 1 (2)( 2 2 ) 2
解：
（ ） ( 5 )2 5 1
二次根号→
a ←被开方数
2、二次根式的特征：
（1） 形式上含有二次根号“ （2） a≥0, ”
a ≥0 ( 双重非负性)
（3） a可以是数,也可以是代数式.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）表示a的算术平方根
（5） 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
1.判断下列代数式中哪些是二次根式？
(1) 32,
(2) 6,
1、若二次根式 x2 的值为3，求x的值. 2、已知 值。
x 9 2x y 0 ，求x+y的
2 2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.理解二次根式的概念，会辨别二次根式. 2.理解二次根式的双重非负性，并能利用它解决相关
问题.
(1)会求根号内字母的取值范围 (2)会求二次根式的值
( 2)( 2 2 ) 2 ( 2 ) 4 2
2
2
2
8
高 效 展 示
展示内容
（书面展示）
计算
计算
计算
计算
计算
计算
（1） （2） （3） （4）
（5） （6）
展 小
示 组
1组 2组 3组 4组
5组
6组
要求： ⑴板演展示要分层次、要点化，书写要认真、 规范. ⑵非展示同学巩固基础知识、整理完成导学案习题。
足( )
1 有意义，则x应满 3- x 2x - 1
1 （A） x 3 2 1 （C） ＜x＜3
2
1 （B）x≤3且x≠ 2
1 （D） ＜x≤3 2
【解析】选D.由二次根式和分式的意义得：
3-x 0， 1 解得 x 3. 2 2x-1 0，
3.（济宁·中考）在函数 y x 4 中，自变量x的取值 范围是 【解析】 答案： .
第4章
4.1 4.1.1
二次根式
二次根式
二次根式和它的化简
授课人：黄力雄
1.理解二次根式的概念，会辨别二次根式. 2.理解二次根式的双重非负性，并能利用它解 决相关问题.
一、预习自测
1、抢答下列问题：
(1)面积为5的正方形边长为_____. 5
(2)在直角三角形中两条直角边分别为a和b, 则它的斜边长为______b a .
2 2
(3)7的平方根是______11 11 . 7 ，的算术平方根是______
0 . (4)0的平方根是 _______
没有 . (5) 6的平方根为______
(6)a的平方根为______ ( a 0) a.
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？ s 2
a 2500
b3
均表示一些正数的算术平方根．
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a 的认识！
1.二次根式的定义 下面所看到的一些数的算术平方根，如：
5
7
我们把形如
a b a ( a 0)
2
2
11
a
( a 0)
的式子叫作二次根式。
二、合作探究
探究一：
50米
?米
a米
a 2 2500 塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为_________米.
探究二：
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S 则半径为_________. π
探究三：
如图所示的值表示正方形的面积，则 b3 正方形的边长是_________________
精 彩 点 评
点评内容
（书面展示） 计算 计算 计算 计算 计算 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6）
点 小
评 组
3组
2组 1组 6组 5组 4组
要求：
⑴先点评计算方法，再点评计算过程、应该注意的问题， 最后点评对错. ⑵其他同学认真倾听、积极思考、记好笔记、大胆质疑.
【解析】
2.（绵阳·中考）要使