广东财经大学09-10微积分2期末试题
2009-2010第二学期微积分(理工)(II)期末考试试题A
5. 设(,)f x y 连续,且(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+⎰⎰,D 是由0y =,2y x =,1x =围成,则(,)f x y =A 、xy ；B 、2xy ；C 、18xy +； D 、1xy +。
6．设1n n u S ∞==∑，则按某一规律对级数加括号后，所得级数A 、仍收敛于原来的和S ；B ．仍收敛，但不一定收敛于原来的和；C 、不一定收敛；D ．一定发散。
7．下列级数收敛的是A 、21ln n n∞=∑； B 、1121n n ∞=+∑； C、1n ∞=∑； D 、211n n n∞=+∑。
8．下列级数为条件收敛的是A 、1(1)1nn n n ∞=-+∑；B、1(1)n ∞=-∑；C、1(1)nn ∞=-∑；D 、211(1)nn n∞=-∑。
9. 满足方程2)(2)(x dx x f x f x=+⎰的解是)(x f =A 、212++-x cex； B 、21212-+-x ex； C 、21212++--x e x； D 、212-+-x cex。
10. 方程()d d 0x y y y x +-=的通解为A 、e x yy C =； B 、e y xy C =； C 、2e y xy Cx =； D 、2ey xy Cx -=。
三、解答题（本题共2小题，每小题10分，满分20分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，求,dy dzdx dx 。
2．求函数33(,)3f x y x y xy =--的极值。
四、解答题（本题共2小题，每小题10分，满分20分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1. 计算2d d Dx y x y ⎰⎰，其中D 是由221x y -=及0,1y y ==所围成的平面区域.2.计算d Dx y ⎰⎰,其中{}22(,)0,2D x y y x x y x =≤≤+≤.五、解答题（本题共2小题，每小题7分，满分14分。
(微积分II)课外练习题 期末考试题库
《微积分Ⅱ》课外练习题一、选择：1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件2. 二元函数定义域是． ( ) B．D．比较大小：． ( )B． C． D．不确定4.微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．15.下列广义积分发散的是． ( )A． B． C． D．6.是级数收敛的条件． ( )A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( )最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对微分方程是微分方程． ( )A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。
记，，，则的大小顺序是． ( )C. D.10. 函数的连续区域是． ( )B.D.1. ． ( )B. C. D.12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D．．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D．．微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．1．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．．设，则 ( )A． B． C． D．．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．18．下列等式正确的是． ( ) A．B．C．D．19．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( )A．B．C．D．||．． ( )A． B． C． D．22．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．23.下列式子中正确的是． ( )A． B．C． D．以上都不对24. 二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．25.二元函数在点的某一邻域内有连续的偏导数是函数在点的．( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件26.设，则． ( )A． B． C． D．. ． ( )A． B． C． D．. = 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．29． ． ( )A． B． C． D．30． 则=． ( )A． B． C． D．31．函数的连续区域是． ( )A． B．C． D．32． ． ( )A． B． C． D．33．差分方程的阶数为． ( )A. B. C. D.34．微分方程的阶数是 ( )A． B． C． D．35．函数的定义域是． ( )A． B．C． D．36．级数的部分数列有界是该级数收敛的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件37． ，其中积分区域D为区域． ( )A. B. C. D.38．微分方程的阶是． ( )A．一阶 B． 二阶 C．三阶 D．以上均不对 39．． ( )A． B． C． D．40．二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．以上都不对41．设，则 ( )A． B． C． D．42．下列式子中正确的是． ( )A． B． C． D．以上都不对43．， ( )A. B. C. D.44.微分方程是． ( )A．一阶线性非齐次微分方程 B．一阶齐次微分方程C．可分离变量的微分方程 D．不可分离变量的微分方程45. 设是第二象限内的一个有界闭区域，而且。
广东财经大学09-10微积分II期末试卷参考答案
广东商学院试题试题参考答案及评分标准2009-2010学年第二学期课程名称 微积分II （A 卷）课程代码100013 课程负责人 彭求实 共2页…………………………………………………………………………………………………一， 填空题（每小题3分，共30分）1,{}x y y x ≤),( 2，xxln 2 3，发散 4，0 5，dy ydx x)11()11（-++6，y=cx 7，收敛 8，R(x)=x 3+1000x9， 10，2二， 单选题（每小题3分，共15分） 1，B 2，B 3，C 4，C 5，D 三， 计算题（每小题8分，共32分）1、 解：分）2（11101/1)1()()()(⎰⎰⎰+-=-=dxx x f dx x f x xf dx x xf 令分）4（22,1,1tdtdx t x t x =-==+分）8（10/分）6（21213分）4（2134267)23234()1()(23234)232()1(21⎰⎰⎰-=--=∴-=-=-=+f dx x xf t t dtt dx x x2、分）8（分）6(14103分）4(1022分）2(021281812121=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰x dxx dxy x dydxy x yd x x xDσ3、整理方程得：分）2（0),,（=+++=y z e e z y x F xy z分）4（1,1,+=∂∂+=∂∂=∂∂z zy xy e zFxe yFy e x F分）8（分）6(11,1++-=∂∂∂∂-=∂∂+-=∂∂∂∂-=∂∂zzy z xy e xe zF y Fy z e ye zF x Fx z 4、先用比值判别法判别∑∞=1!3nnn 的敛散性， （2分） ⎰⎰----111122),(y y dxdy y x f分）6(分）4（111013lim 3!.）！1（3lim lim <=+=+=∞→+∞→+∞→n n n u u n n n n nn n ∑∞=1!3nn n 收敛，所以∑∞=-1n !3）1（n n n 绝对收敛。
微积分II期末模拟试卷3套含答案.docx
17、求曲线x3-xy+y3=l(x>0,y>0)±的点到坐标原点的最长距离和最短距离。
微积分II期末模拟试卷3(满分：100分；测试时间：100分钟) 三、填空题(3X5=15)
『1-/_“2
1、曲线<X=Joe du在(0, 0)处的切线方程为
y = t2ln(2-r2)
”=i2”=]n
(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与入有关
7、曲线y=y(x)经过点(0,-1),且满足微分方程y'+2y = 4兀，则当兀=1时，y=()
(A)0；(B)l；(C)2；(D)4
8、设q,是圆域D = {(x,y)|/+y2 si}的第£象限的部分，记Ik=^{y-x)dxdy.则
(A)/, >/2>1.(B) l>/j >/2.(C)I2>/j >1.(D)l>/2>/,.
五、计算题(5X10=50)
12、计算下列定积分
1
(1)j2|ycsi：兀力.(2)求y=cos x - sin x, y = 0(0 < x < —) ^ x轴旋转的旋转体体积
12、计算下列多元微积分
(1)设z=f[x2-y.(p{xy)],其中f(〃，0具有二阶连续偏导数，(p(u)二阶可导，求
y = Jo ln(l + u)du
dx cf
2te= 0< dt
x —o = °
16、设非负函数y = y(x)(xnO)满足微分方程尢y"-y+2 = 0,当曲线y = y(x)过原点
时，其与直线x = \&y =0围成平面区域Q的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
广东财经大学09-10微积分2期末试题
1
x
,x 1,x e 和 x 轴围成的图形的面积及该图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
已 知 x 表 示 劳 动 力 ， y 表 示 资 本 ， 某 生 产 商 的 生 产 函 数 为
，每单位 z f (x ,y ) 1000 1000x 300y 8xy 4x 2 5y 2 ，劳动力的单位成本为 200 元， 资本的成本为 400 元，总预算为 100000 元，问生产商应如何确定 x 和 y，使产量达到最大？。 五、证明题（5 分）
/ / 2
/3x y )
=（ ）
/
5、 lim
x 0
x
0
ln(1 t）dt
x2
B, 1 C, 2
A,
0
D,
1 2
三、计算下列各题（本题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 1．已知 f (x ) 2. 求
x x 1
,求 xf /(x ) dx .
n
1
dy y 的通解是 dx x
1
的敛散性为
1
n5 n3
1 x 2
已知边际收益 R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数 R(x)=____________.
9、交换
1 1 x 2
f(x ,y ) dydx 的积分次序=
.
10、微分方程(y )4 sin xy y 10 x 2 0 的阶数为 _____阶. 二、单选题（每题 3 分，共 15 分） 1、下列级数收敛的是（ A， ） C，
n
1
1 n 2
B，
/
n
1
B2及答案微积分期末复习卷
扬州大学试题纸经济、管理 学院 09级 课程 微 积 分 ( B )卷班级 学号 姓名一. 填空题(3618''⨯=)1．已知()132,x f ex -=-则()f x =13ln x +且定义域为 x>0 . 2．设2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.则1f x x ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.3．()4f x dx x x c =-+⎰,则()f x =341x -.4．()f x 为连续函数,()g x 为连续的偶函数, 则()()()aaf x f xg x dx +---=⎡⎤⎣⎦⎰0 .5．设函数()2ln z x y =+,则10x y dz ===dx .6．由曲线ln ,0,y x y x e ===围成的平面图形的面积是 1 . 二. 单项选择题(3618''⨯=)1．201sinlimsin x x x x→的值为 ( B )(A) 1 (B) 0 (C) ∞ (D)不存在2．设()lim 1hh x f x h →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()ln3f = ( D )(A) 0 (B)1 (C) 2 (D)3 3．函数()()012y f x f x '==有，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的 微分dy x ∆是的 ( B )___________ 系____________ 班级_____________ 学号____________ 姓名_____________---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------(A) 等价无穷小 (B)同阶但不等价的无穷小 (C) 低阶无穷小 (D)高阶无穷小 4．设()f x 是连续函数，且()()xe xF x f t dt -=⎰，则()F x '= （ A ）(A)()()xx e f e f x ---- (B) ()()x x e f e f x ---+ (C) ()()xx ef e f x --- (D) ()()x x e f e f x --+5．设方程sin 0yxt e dt tdt +=⎰⎰确定y 为x 的函数 ,则dydx= ( C ) (A) 0 (B) cos y x e -(C) sin yxe - (D) 不存在6．设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{}xy x x y x D ≤≤-≤≤=,10),(，则以下结论正确的是 ( A )(A)⎰⎰=Ddxdy x g y f 0)()( (B) ⎰⎰=Ddxdy y g x f 0)()((C)⎰⎰=+Ddxdy x g y f 0)]()([ (D) ⎰⎰=+Ddxdy y g x f 0)]()([三. 计算题(5630''⨯=) 1. 12lim(1)xx x →∞+.解：原式=x x x e)1ln(lim2+∞→=2lim1x x xe→∞+=0e =12. 设2sin ,xzz e y x y∂=∂∂求 .解：sin xz e y x ∂=∂ 2cos x z e y x y∂=∂∂ 3. (),z z x y =是由方程33330x y z xyz ++-=确定的隐函数，求zx∂∂. 解:设F=3333x y z xyz ++-233F x yz x ∂=-∂ 233Fz xy z∂=-∂ 22223333Fz x yz x yz x F x z xy z xy z∂∂--∂∴=-=-=-∂∂--∂4. 计算2cos x xdx ⎰.解:原式=1cos 22x x dx +⎰=cos 222x x x dx dx +⎰⎰=214x +1sin 24xd x ⎰ =211sin 2sin 244x x x xdx ⎡⎤+-⎣⎦⎰=2111sin 2cos 2448x x x x c +++5. 计算()312201x dx -+⎰.解:令tan x t =,221sec x t +=,x 从01 ,t 从04π,2sec dx tdt =原式=40cos tdt π⎰=40sin x π= 6.计算累次积分11420cos xx dx y dy ⎰⎰.解：=122011sin14cos 102y d y ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰=11cos1sin1510-…………………………5分 四.解答题(8324''⨯=,第4题10') 1. 已知函数ln xy x=,试求其单调区间、极值、及其曲线上的拐点和渐近线. 解：).0(∞+=Df2ln 1'x xy -=令0'=y 得驻点e x =。
14-15微积分2答案(A卷).doc
6 . 2; 7. 2;8.9. 2dx +3dy;,210. J] dy^yf^x.y^dx ・单选题（每小题3分，共15分）1.2. B3. A4. B5. C（5（8dx_X dy；(5分)(8分)（4广东财经大学试题参考答案及评分标准2014-2015学年第二学期课程名称微积分II （A卷）课程代码100023课程负责人彭求实共3页填空题（每小题3分，共30分）1}; 2. 2xsinx2; 3. 0; 4. 1； 5. 1 ;计算题（每小题8分，共32分）u = In x , v r = x则八丄，卩亠x 2原式=112 In* I --|Ml：e2 一42.解设F(x, y, = x2 + y2 + z2 - 4z=2y(2 - z)2 + x2 _ 4 一y2(2 - z)3 = (2 - z)3Q 2 Q x3.解：原式=J。
必J兰_刃7(点) (2 - z)2（6分）（8（4分）（6（3分）（7分）=『竺兰（x —兰加J 0 x2=—（1 - cos 2） 24.解：令u =—，则y' = u + x u ：代入原方程得 Xu + x = u + tan u1 d V 分离变量 ------- dw =—tan ux卄、丄小八 f cos u . 「dx 两边积分 [ ---- d z;=[—J sin uJx得 In | sin u | = In | ^ | + In | C |, B 卩 sin u - C x 故原方程的通解为sin - = Cx （C 为任意常数）（8分）X四， 应用题（每小题9分，共18分）2.解:显然,有条件2x + 2y = 10成立，作辅助函数F （x, y, 2）= 6x - x ： + 16y - 4y 2 - 2 + 2（x + y — 5）= 6 - 2x + 2 = 0 令彳町=16 — 8y + 2 = 0 1尸；= x + y — 5 =解之得唯一驻点U y ） = （3,2）故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时，利润最大,且最大利润为Z （3,2）= 6X 3- 32 + 16 X 2-4X 22 -2 = 23（万元）（9分）-x 2）dx = — x 21 --T 3J 0 2 0 3 1 s 1.先求y =十与y = x 的交点（0, 0）, （1, 1） （4分）Jdx =1--T 57 35'）=—71 015V = x 2dx - 7r^ （x z（9分）（3分）（5五，证明题（5分）00an I证明：考察级数£—,由于z?=i 门lim 沁=lim 2"" •「：)! .刀* jng (77 + l)(/?+1) 2" • n\/7Tco (77 + 1丿e2n .川所以此级数收敛，故lim --------- - = 0ns f-j n。
微积分Ⅱ期末考试试卷总集
微积分Ⅱ期末考试试卷1一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.若c x g dx x f +=⎰)()(，则=⎰dx x xf )(cos sin ________.2.极限=⎰→xtdt xx 020cos lim________.3.已知xy z =而)tan(t s x +=，)cot(t s y +=则=∂∂sz________. 4.设{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D 则=⎰⎰Dxy d xe σ________.5.微分方程02=+''y y 的通解为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1.设⎰=+21xdx ________.A. c x +arctanB. c x x +++)1ln(2C. c x ++212D. c x ++)1ln(212.2.下列积分值为0的是________.A. ⎰+∞+0211dx xB. ⎰-1121dx xC. ⎰-++ππdx x x x )cos 1sin (2D. ⎰--1121dx x . 3.函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微的充分条件是函数在该点处________. A.有极限 B.连续 C.偏导数存在 D.有连续的偏导数. 4. =⎰⎰10),(xdy y x f dx ________.A. ⎰⎰1010),(dx y x f dy B. ⎰⎰y dx y x f dy 01),(C. ⎰⎰100),(y dx y x f dy D. ⎰⎰101),(ydx y x f dy .5.下列级数收敛的是________.A ．∑∞=-+-12123n n n n B. nn n n∑∞=+1)1(C ． ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n n D. ∑∞=1!n n nn .三、（计算题请写出主要步骤及结果，每小题6分，共18分.） 1. ⎰dx e x x 2 2. ⎰+41)1(x x dx 3.请给出第七章（定积分）的知识小结.四、（请写出主要计算步骤及结果，6分.） 已知方程z x e z xy +=+ 确定函数),(y x z z = 求dz . 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆周122=+y x 围成的区域.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求初值问题的解⎩⎨⎧=+==0)2(0x y dx y x dy 七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求幂级数∑∞=-0)1(n nnnx 的收敛半径，收敛区间.并求∑∞=03n nn的和. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求由2x y =与2y x =所围成的平面图形的面积，并求此平面图形分别绕x 轴，y 轴旋转所成的体积.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）某厂生产某种产品的生产函数为y x Q 2005.0=，若甲、乙两种原料的单价分别为1万元和5万元，现用150万元购原料，求两种原料各购多少时，能使生产量最大？最大生产量为多少？ 十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且有M x f ≤'(及0)(=a f ，试证：⎰-≥b adx x f b a M )()(22微积分Ⅱ期末考试试卷1答案一、1.c x g +-)(cos 2.1 3.)(csc )tan()cot()(sec 22t s t s t s t s ++-++4.2-e5.x c x c y 2sin 2cos 21+= 二、1.B 2.C 3.D 4.D 5.D三、1. ce xe e x dxe xe e x xde e x dx xe e x de x dx ex xxxx x x x x x x x x++-=+-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰2222222222222. x t =2t x =⎰⎰⎰=-=+=+-=+=+41212121234ln 221ln 232ln 21ln 2)111(2)1(2)1(t t dt t t t t tdt x x dx四、z x e z xy z y x F +-+=),,(z x x e y F +-= x F y = z x z e F +-=111-+--=---=-=∂∂++z xy zxy y e e y F F x z zx z x Z x 11-+=--=-=∂∂+z xy xe x F F y z z x Z y dy z xy xdx z xy z xy y dy y z dx x z dz 11-++-+--=∂∂+∂∂=五、⎰⎰⎰⎰+=++Drdr r d d y x 122022)1ln()1ln(πθσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+=⎰⎰⎰1022210221022201)1ln()1ln(21dr r r r r dr r d πθπ 1021021022)1ln(2ln )111ln(2ln r r dr r ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰ππππ )12ln 2(2ln 22ln 2ln -=-=+-=ππππππ六、x y y 2=-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰=⎰---c dx xe e y dx dxf )1()1(2[]c dx xe exx +=⎰-2[][]⎰⎰++-=+-=---c dx e xee c xde e x xxxx222x ce x +--=22因为00==x y 所以c =2 所求特解为)1(2--=x e y x七、111=+==+n na a R n n 当1±=x 时∑±nn )1(发散 收敛区间为)1,1(- 设∑∑∞=-∞===10)(n n n nnx x nxx S设∑∞=-=1)(n n nxx T则xx xdx nxdx x T n n x n n x n n x-====∑∑⎰∑⎰∞=∞=∞=-11)(012)1(1)(x x T -=所以2)1()()(x xx xT x S -==31=x 时 439431)311(31)31(320==-==∑∞=S n n n 八、31)(102=-=⎰dx x x S()dx x x V x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10222)(ππ103=()ππ103)(10222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰dy y yV y九、解 )1502(005.0),,(2-++=y x y x y x F λλ 0001.0=+=λxy F x02005.02=+=λx F y ⎩⎨⎧==⇒25100y x01502=-+=y x F λ ==25*100*005.02Q 十、b a a x f a f x f x f <<-'=-=ξξ))(()()()(M x f ≤')()()(a x M x f -≤22)(212)()()(a b M a x M dx a x M dx x f baba b a-=-⋅=-≤⎰⎰dx x f dx x f b ab a⎰⎰≥)()(2)(2)(a b Mdx x f b a-≤⎰dx x f b a M b a⎰-≥)()(22微积分Ⅱ期末考试试卷 2一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.已知cos()z xy =，而()y x ϕ=可导,则dzdx=________. 2.若2()1f x xdx c x x =++⎰,则()f x =________.3.p ________时，广义积分22111(1)p dx x --⎰发散.4.若20cos (1),(,)(2)!nnn x x x n ∞==-∈-∞+∞∑,则函数2sin x 的麦克劳林级数等于________. 5.微分方程0y ay y '''+-=的通解为12x x y c e c e -=+，则a =________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.设xy z xe =，则'x z =________.A.xy xyeB.xy e x 2C.xy eD.xy e xy )1(+ . 2.=________.A.x c + B. arcsinc +C.c +3x c +.3.下列结论正确的个数是________.（1）11230x dx x dx <⎰⎰ （2）22211x e e dx e ---<<⎰（3）cos 0x xdx ππ-=⎰（4）2221[sin ]2sin x t dt x x '=⎰A.0B.1C.2D.3. 4.1200(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰ ________.A. 110(,)dy f x y dx ⎰⎰ B. 10(,)dx f x y dy ⎰⎰C. 110(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰.5.微分方程1y y '-=的通解是________. A ．x y ce = B. 1x y ce =+ C ．1x y ce =- D. (1)x y c e =+.三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.） 1. arctan x xdx ⎰ 2. 41⎰.四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）已知方程sin xy x z yz += 确定函数(,)z f x y = ，求dz . 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求2()Dx y d σ-⎰⎰,其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =围成的区域.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求由y =与3y x =所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕x 轴旋转所形成的立体的体积.七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）判断级数n ∞=的敛散性.八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求幂级数1(1)nn n e x n∞=-∑的收敛半径，收敛区间.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）某工厂生产A 、B 两种产品，单位成本分别为2元和14元，需求量分别为1Q 件和2Q 件，价格分别为1P 元和2P 元，且满足关系式1214()Q P P =-，2128048Q P P =+-，试求A 、B 两种产品的价格1P ，2P ，使该厂总利润最大（要求利用极值的充分条件）. 十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.） 设)(x f 为连续函数，试证：()()(())x x tf t x t dt f u du dt -=⎰⎰⎰.微积分Ⅱ期末考试试卷2答案一、填空题（每小题3分，共15分）1.sin[()][()()]x x x x x ϕϕϕ'-+2. 21x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ 3.1p ≥4.()()1212121,(2)!n n n n x x n --∞=-∈-∞+∞∑ 5.0二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.D 2.C 3.B 4.B 5.C三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.）1.2222222221arctan arctan (1211arctan (32211111arctan (5221111arctan arctan 22211(1)arctan (822x xdx xdx x x x dx x x x x dx x x x x x c x x x c ==-++-=-+=-++=+-+⎰⎰⎰⎰分）分）分）分）2.44114141(2(42ln(1(632ln(82===+=⎰⎰⎰分）分）分）分）.四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）sin (1sin cos (4sin (5cos (6cos sin (8cos cos x y z x z y z F xy x z yz F y z F x z F x z y F z y z x F x z yF z x z y F x z y y z x zdz dx dyx z y x z y=+-'''=+=-=-'∂+=-='∂-'∂-=-='∂-+-=+--分），，分）分）分）分）五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）图(1分）22222220222303420()()(31()(5231()(68211()(7881(8yy Dy y x y d dy x y dx x xy dyy y dy y y σ-=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰分）分）分）分）分）六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）图(1分）130341201260)(321()(4345(512](75(814x S x dxx x V x dx ππ=-=-==-=⎰⎰分）分）分）分）分）七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）1(4n =分）由比较判别法的极限形式知级数3121,n n n∞∞==∑敛散性相同，因为3121,n n∞=∑所以0n ∞=收敛。
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广 东 商 学 院 试 题
2009-2010学年第二学期 考试时间120分钟
课程名称 微积分II （A 卷）课程代码：100013 课程班号 09本科 共 2 页
…………………………………………………………………………………………………………
一、填空题（每题3分，共30分）
1、函数 的定义域是____________.
2、设 ，则=')(x f ________________.
3、广义积分
⎰1031dx x 的敛散性为_____________. 4、⎰-=112
2dx xe x ____________ .
5、若=-+=dz y x xy z 则,ln .
6、微分方程 的通解是 ____.
7、级数 的敛散性为 .
8、 已知边际收益R /(x)=3x 2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________.
9、交换 的积分次序= . 10、微分方程 的阶数为 _____阶.
二、单选题（每题3分，共15分）
1、下列级数收敛的是（ ）
A ，
B ，
C ，
D ， 2、，微分方程x y x y =+1
/的通解为（ ）
A ，c x y +=331
B ，x
c x y 1)31(3+= C ， 231x y = D ，x
c x y 1)(3+= 3、设D 为：122≤+y x ，二重积分σ
d y x D
⎰⎰+22=（ ）
A,
314 B, π4 C,π32 D ，0 y x z -=dt 2t )(lnx
⎰=x f ∑∞=+13
51n n n 0sin )(2104=+'-''x y y x y ∑∞=1)45(n n ∑∞=13n n x y dx dy =∑∞=+121n n ⎰⎰----1
11122
),(x x dydx y x f ∑∞=1!1n n
4、 若 A, //v u f f +
B, //32v u f xy f +⋅ C,/2/v u f x f +⋅ D, /2/)3(v u f y x y x f ++⋅
5、2
0）1ln(lim x dt
t x x ⎰+→=（ ） A, 0 B, 1 C, 2 D,2
1 三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）
1．已知⎰+=
10/.)(求,1)(dx x xf x x x f 2. 求⎰⎰D
yd x σ2，其中D 是由 ，x=1和x 轴围成的区域。
3. 已知z=f(x,y)由方程0=+++y z e e xy z 确定，求y
z x z ∂∂∂∂, 4.判定级数∑∞=-1n
!3）1（n n
n 的敛散性. 四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1. 求由 和x 轴围成的图形的面积及该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。
2. 已知x 表示劳动力，y 表示资本，某生产商的生产函数为2254830010001000),(y x xy y x y x f z ---++==，劳动力的单位成本为200元，
，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定x 和y ，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）
⎰⎰+=-≠-=a a a dx x f a dx x f x x f 0a
03
2.)1(3)(，证明1其中,)()(设
x y
=e ,1,1
===x x x
y )
(则,3,),,(2=∂∂+===y z y x v y x u v u f z。