江西财经大学 - 胡平波 微积分1 导数的概念
大一导数知识点总结
大一导数知识点总结一、导数的概念和意义导数是微积分学中的一个重要概念，它是描述函数在某一点附近的变化率的量，可以用来分析函数的变化趋势、求解极值、描绘函数的图像等。
导数的概念最早由法国数学家费尔马引入，后来由莱布尼兹和牛顿等人进一步发展和完善。
导数的意义主要包括以下几个方面：1. 变化率：导数可以表示函数在某一点处的变化率，即函数值随自变量的变化而变化的快慢程度。
例如，对于位置函数，其导数可以表示物体的速度；对于速度函数，其导数可以表示物体的加速度。
2. 切线斜率：导数还可以表示函数曲线在某一点处的切线的斜率，即函数曲线在该点附近的整体趋势。
通过导数，可以求出曲线在某一点的切线方程，从而描绘出曲线的局部特征。
3. 极值点：导数还可以用来分析函数的最大值、最小值和拐点等重要特征。
通过导数的零点和变号，可以求解函数的极值点和拐点，并进一步推断函数的增减性和凹凸性。
二、导数的定义和求解1. 导数的定义：对于函数y=f(x)，在自变量x处的导数定义为：\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\]其中，$\Delta x$为自变量的增量，表示自变量的变化量，$\Delta x \to 0$表示$\Deltax$趋近于0。
导数也可以理解为函数在某一点处的增量比率，即函数值的改变量与自变量的改变量之比。
2. 导数的求解：根据导数的定义，可以通过极限计算的方法求解函数的导数。
对于一般函数，可以直接利用导数的定义进行计算；对于复杂函数，可以利用导数的性质和求导法则进行简化计算。
求解导数的方法主要包括以下几种：（1）基本导数：包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。
常用的导数公式如下：\[f'(x) = k, \quad (k为常数)f'(x) = nx^{n-1}, \quad (n为正整数)f'(x) = e^x, \quad f'(x) = \ln xf'(x) = \sin x, \quad f'(x) = \cos x\]根据这些基本导数公式，可以求解各种函数的导数。
高二导数的概念
年 级 高二 学科数学内容标题 导数的概念 编稿老师胡居化一、教学目标：（1）理解导数的概念及几何意义，能利用导数的几何意义求切线方程. （2）能根据导数的定义求简单的函数x y xy x y x y C y =====,1,,,2的导数.二、知识要点分析：1. 导数的含义（i ）平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，函数)(x f y =相应的增量)()(0x f x x f y -+=∆，则xy∆∆叫函数)(x f y =的平均变化率.注意：（1）平均变化率还可以表示为(*))()(11---∆-∆+=∆∆xx f x x f x y ，y x ∆∆,可正、可负，y x ∆≠∆但,0可以是零.（2）当f （x ）是常数时，平均变化率0=∆∆xy. （ii ）导数定义：当0→∆x 时，平均变化率的极限值叫函数)(x f y =当0x x →时的导数.即 0|'x x y ==xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'.注：（1）导数是局部概念，它只与函数)(x f y = 在0x 及其附近的函数值有关，与x∆无关.（2）在定义中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当0→∆x 时，0x x →，故导数的定义可以写成：xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'=0x x lim →00)()(x x x f x f --. （3）若极限xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000'不存在，则称函数)(x f y =在0x x =处不可导.2. 导函数：若函数)(x f y =在区间（a ， b ）内每一点处都有导数，此时对于每一),(b a x ∈都对应一个确定的导数)('x f ，从而构成一个新的函数)('x f ，则函数)('x f 为在开区间内的导函数.简称导数.记作：xx f x x f x f y x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0''.3. 导数的物理意义：若物体运动的规律是)(t s s =，则物体在t 时刻的瞬时速度是)('t s v =，若运动的速度随时间的变化率是)(t v v =，则物体在t 时刻的加速度是)('t v a =. 4. 导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数的几何意义是：在0x 处的导数是曲线)(x f y =，在点（))(,00x f x 处的切线的斜率.曲线在P （))(,00x f x 处的切线方程是))(()(00'0x x x f x f y -=-.注：若函数f （x ）在点),(00y x 的切线的倾斜角是2π，函数的导数不存在，此时切线方程是0x x =.【典型例题】考点一：函数的变化率及其在实际中的应用例1. 国家环保总局在规定的达标排污之前，对甲，乙两家企业进行检查，检查的结果如图所示，问：哪个企业治理污染的效果较好？t 0分析：用W 表示治污量，利用甲乙两企业治理的平均治污率（平均变化率）比较治理的效果，即平均治污率大效果就好.解：由图知：虽然))00t W t W （（乙甲=但：t)t t W )t W t)t t (W )t W 0000∆-∆--≥∆-∆--（（（乙乙甲甲所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大. 即企业甲比企业乙略好.注：t t x t t W t W y ∆∆-=∆∆--=∆不能误写成故,),()(00.例2. 枪弹在枪筒中运动看作是匀加速运动，若其加速度25/105s m a ⨯=，枪弹从枪口中射出时所用的时间是s 3106.1-⨯，求枪弹射出枪口时的瞬时速度. 分析：由物理学知识得：运动方程是221at S =，由此计算出tS∆∆，枪弹射出枪口的瞬时速度是当0→∆t 时t S∆∆的极限值. 解：2222)(2121)(21,21t a t at at t t a S at S ∆+∆=-∆+=∆∴= ,t a 21at t )t (a 21t at tS 020∆+=∆∆+∆=∆∆∴,当0→∆t 时，0at tS→∆∆, 把25/105s m a ⨯=，s t 30106.1-⨯=代入0at 得：s m at v /8000==,即枪弹射出枪口的瞬时速度是800m/s .例3. 路灯距离地面8米，一个身高为1．6米的人以84m/min 的速率在地面行走，从路灯在地上的射影点C ，沿某直线离开路灯，求人影的长度的变化速率.分析：设人影的长度为y ，根据几何性质求出y=f(t)，则人影的长度的变化速率是y 对t 的导数.解：根据题意画出图形：设路灯距地平面的距离是DC人的身高是EB ，假设人从点C 走到点B 的路程是x m ，时间为t ，(单位：s) 人影的长度为y,x y y x y CD BE AC AB CD BE 4186.1//=⇒=+⇒=⇒, 又84m/min=1.4m/s ，故x=1.4t=t 57，即y=t 207,所以207'=t y ，故人影长度变化的速率是s m /207,考点二：导数的几何意义及其简单的应用例4. 已知曲线C ：3x y =（1）求过曲线C 上横坐标为1的点的切线方程. （2）（1）中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？分析：（1）由已知的曲线方程可求横坐标为1的点的坐标P （1，1），然后利用定义求在x=1处函数的导数即点P 处的切线的斜率，根据点斜式写出切线方程.（2）由切线方程与曲线方程组成方程组可求.解：（1）由曲线C 的方程：3x y =，把x=1代入得切点P （1，1）的坐标.='y =∆∆→∆x yx 0lim =∆-∆+→∆x x x x x 330)(limxx x x x x x ∆∆+∆+∆→∆3220)()(33lim =22203])(33[lim x x x x x x =∆+∆+→∆. 故切线的斜率3|1'===x y k，即过P （1，1）的切线方程是：y －1=3（x －1）即02y x 3=--（2）⎩⎨⎧---------=------+-=②x y ①1)1x (3y 3把②代入①得：233-=x x 即有：0)2)(1(2=-+-x x x ，故x=1或2-=x 所以此时切线与曲线C 还有另一个公共点（－2，－8）例5. 已知曲线x x x g x x f +=+=32)(,1)(在两曲线交点处切线的夹角为θ，求cos θ的值.分析：先求两曲线的交点坐标)y ,x (P 00，分别再求在0x x =处的两函数的导数，即两切线的斜率，从而求出两切线的方向向量.利用向量的数量积求解.解：由10)1)(1(01122332=⇒=+-⇒=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=x x x x x x xx y x y , 故两曲线的交点为P （1，2）,=)1('f 0x lim →∆221)1(2=∆-+∆+xx ，∴切线x y x y l 2)1(22:1=⇒-=-,=)1('g 0x lim →∆4)11(1)1(3=∆+-∆++∆+xx x ,即切线24)1(42:2-=⇒-=-x y x y l ,所以切线)4,1(),2,1(21==b l a l 的方向向量切线的方向向量, 则1759||cos ⨯=⋅=b a θ85859=.【本讲涉及的数学思想、方法】：本讲主要讲述函数的变化率的概念、导数的含义、几何意义及其简单的应用，在应用这些知识的过程中充分现了等价转化的数学思想（例5）方程的数学思想（例4、例5）等数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：100分钟）一、填空题（本题共10小题，每题6分，共60分）1．物体自由落体运动的方程是,/8.9,2122s m g gt h ==在]3,3[x ∆+这段时间内的平均速度是____________.2．某物体做匀速运动的方程是b vt s +=，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是____________.3．函数1x 2y +=在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率____________.4．物体运动的方程是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)3(,)3(329)30(,2322t t t t s 则物体在t=4时瞬时速度是__________.5．函数处可导，在0)(x x f 则____________)()(lim 000=∆-∆-→∆xx f x x f x .6．函数)2,211在点（x y =处的切线的斜率是____________. 7．设曲线处，在点（)12a ax y =的切线与直线2x －y －6=0平行，则a=__________. 8．已知曲线),23,1(2212--=P x y 上一点则过点P 的切线的倾斜角是____________. 9．若函数,)(A a x x f 处的导数是在=则x lim→∆xx a f x a f ∆∆--∆+2)()(=____________.10．直线L ：y=x+a,(a 不等于零)和曲线C ：123+-=x x y 相切，则切点坐标是________.二、计算题（本题共3小题，共40分）11．已知函数1)(2+=x x f ，（1）利用导数的定义求函数)1('f ； （2）求过P(1,)2点的切线方程.（13分） 12．若函数f(x)在x=a 处的导数是A,求0x lim→∆tt a f t a f )5()4(+-+ (12分)13．曲线)0(),,33≠=a a a x y 在点（处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积是61，求a 的值.（15分）【试题答案】一、填空题（本题共10小题，每题6分，共60分）1．)6(9.4t ∆+⋅ 解析：t t g g t h ∆⋅∆+=⋅-∆+=∆)6(21321)3(2122 故平均速度)6(9.4t thv ∆+=∆∆=.2．相等 解析：v ttv t t v t t v t t s t t s =∆∆=∆-∆+=∆-∆+)()()()(0000，当0→∆t 时,v v =0.3．x x ∆+240,解析：函数的平均变化率x x xx x x x y ∆+=∆+-+∆+=∆∆24)]12(1)(2[0220. 4．6解析：当t=4时，t tt t s ∆+=∆-+--∆++=∆∆36])34(329[)34(32922当0→∆t 时，6→∆∆ts5．－)(0'x f 原式=0x lim→∆-=∆---∆-)()()(00x x f x x f 0x lim →∆)()()(0'00x f xx f x x f -=∆--∆-6．－4解析：='y 0x lim →∆=∆-∆+x x x x 110x lim →∆x x x ∆+-21=21x-故切线的斜率k='y 4|21-==x .7．a=1解析：切线在x=1处的斜率k=0x lim →∆xa x a ∆⨯-∆+221)1(=2a∴2a=2，即a=18．45°解析：设过P 点的切线的倾斜角为θ则==k θtan 0x lim →∆1]2121[]2)1(21[22=∆-⨯--∆+xx .9．A 解析：A x a f x a f x =∆-∆+→∆)()(lim，A xa f x a f x =∆--∆-∴→∆)()(lim 0212)()(lim0=∆∆--∆-∴→∆x x a f x a f x ，x x a f a f a f x a f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim0 =+∆-∆+→∆x a f x a f x )()(lim (210))()(lim 0xx a f a f x ∆∆--→∆=A .10．（1，1）或)2723,31(-解析：设直线L 与曲线切于P(),00y x则==)x (f k 0'xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000=0x lim →∆x x x x x x x ∆+--+∆+-∆+)1(1)()(20302030 =x x x x x x x x x ∆∆+∆-+∆-∆→∆3200200)())(13(23(lim =0x lim →∆])()13(23[20020x x x x x ∆+∆-+-=02023x x - 由题意知：k=1,故31112300020-==⇒=-x x x x 或故切点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛272331)1,1(，－或二、计算题（本题共3小题，共40分）11．解：（1）xf x f f x ∆-∆+=→∆)1()1(lim )1(0'=x x x ∆+-+∆+→∆111)1(lim 220=0x lim→∆)21)1(()21)1()(21)1((222++∆+∆++∆+-+∆+x x x x=0x lim→∆)21)1((21)1(22++∆+∆-+∆+x x x=0x lim→∆222121)1(22==++∆+∆+x x （2）易知：P(1,)2在曲线12+=x y ，切线方程为)1(222-=-x y 12．解：原式=0lim→t tt a f a f a f t a f )5()()()4(+-+-+=0lim →t t a f t a f )()4(-+－0lim →t ta f t a f )()5(-+=0lim4→t t a f t a f 4)()4(-+－0lim 5→t ta f t a f 5)()5(-+=4A －5A=－A13．解：xa x a a f x ∆-∆+=→∆330')(lim )(=xa x x a x a a x ∆-∆+∆+∆+→∆332230)()(33lim =0x lim →∆])(33[22x x a a ∆+∆+=23a 所以曲线在),(3a a 处的切线方程是)(323a x a a y -=-切线与x 轴的交点坐标是)0,32(a 故三角形的面积S=161|||32|213±=⇒=⋅-⋅a a a a .。
高等数学(第二版)上册课件：导数概念
右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解 当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为
导数的概念教学课件
最值点的求法
通过求导数，将导数为零的点 找出来，再将这些点与两端点 的函数值进行比较，便可以找 到函数极值点。
曲线绘制
导数可以帮助我们知道函数曲 线的大致方向和特征。在给出 一定条件的前提下，可以合理 地绘制函数曲线的形状、特征 和重要点。
导数运算法则
1
求导常数
对于常数C，它的导数等于0，即
复合函数求导
记忆公式和规律
通过记忆求导公式和规律， 可以轻松快速地求解导数。
练习问题和案例
通过练习求解不同类型和难 度的练习问题和案例，可以 更全面地掌握导数。
导数与曲线的关系
1
绝对值的导数
2
绝对值函数不光滑，在x=0处的导数不
存在。但是向左趋近于0的导数是-1，
向右趋近于0的导数是+1。
3
最大值和最小值
当导数为0时，曲线有转折点，可能 是最大值或最小值。
导数为正的情况
导数为正表示函数在这个点上单调递 增，曲线向上缓慢地变化。导数越大， 表明曲线越陡峭，变化越快。
为什么要学习导数？
导数不仅是微积分学科的基础，也是数学、物理等科学领域中重要的分析工具。理解导数对 于提升数学素养及解决实际问题都有非常重要的帮助。
导数的基本性质
1
可加性
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的和(或差)也有导数。
2
乘法法则
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的乘积就有导数，且导数等于f(x)的导数 乘以g(x)再加上g(x)的导数乘以f(x)。
导数与微分的关系
1 导数和微分是相关的
2 微分的应用
导数是微分的一种表示方法，一阶导数就 是微分。微分是导数的积分，反之亦然。
微积分II课程微积分1教学进度计划表
江西财经大学
本科课程教学进度计划表2010—2011学年度第一学期
学院信息管理学院
教学系
数学与决策科学系（课程组）
主讲教师胡平波
填表日期：2010 年10月05 日
教务处制表
江西财经大学本科课程教学进度计划表
2011—2012学年度第一学期
主讲教师胡平波职称副教授学历研究生学位经济学博士主授专业数学课程名称微积分I 课程编号班级学生人数
总学时48学时，其中课堂讲授44学时；实验（上机）教学0 学时；其它教学（讨论、见习等）0学时；机动 4 学时实习实训（包括课程实习、课程实训、课程设计等）0 周
教材（名称、主编、出版社、出版时间等）邹玉仁：《微积分（一）》，科学出版社，2007年8月第一版
主要参考书1．同济大学数学教研室《高等数学》（第五版），高等教育出版社
2．赵树螈等《微积分》，中国人民大学出版社
成绩考核说明及要求：平时两次小测验，期末闭卷考试
其成绩评定方法：平时成绩占20%，期末考试占80%
考试题型：填空题、判断题、计算题、、应用题、证明题
考试时间：150分钟
系主任（签字）：教学院长（签字）：
2011年10月9日2010年11月9日。
微积分课件2-1导数的基本概念
y 4 4( x 2), 即 4x y 4 0;
法线方程为
y 4 1( x 2), 即 x 4 y 18 0. 4
2021/4/21
21
五、函数可导与连续的关系
定理： 可导函数是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 )
0.
f (x) lim f (x h) f (x) limC C
h0
h
h h0
解即 常 (c)0.
2021/4/21
11
例2 求函数 y xn(n为正整数)的导数.
解 ( xn ) lim ( x x)n xn
x0
x
lim[nxn1 n(n 1) xn2x xn1] nxn1
x x
)
x0 xlna
x
(换地公式)
lim x 1 h0 xlna xlna
特别地， (ln x) 1 . x
2021/4/21
14
例5 求函数 f ( x) a x (a 0,a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xx a x a x lim exlna 1
x0 x
x0 x
x0
x
当 x 0, f ( x) x,
lim f ( x) lim ( x x) ( x) 1;
x0
x0
x
当 x 0, f (0) 0,
y y x
o
x
2021/4/21
16
f ' (0)
lim
x0
|
0
x x
|
0
lim
x0
x x
1,
第一节-导数的概念及运算定积分ppt课件
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
(完整版)导数的概念、几何意义及其运算
导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Saturday, February 29, 2020
3. 单侧导数
（1）.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
（2）右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
0
t
,
运动时间t
,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当
t
t0时,瞬时速度 v
lim
tt0
g(t0 2
t)
gt0
.
比值极限的意义：
t0
t t
描述S随时间变化而变化快慢的程度（变化率）。
Higher- mathematics ( I )
31 - 5
x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
比值极限意义：描述函数曲线某一点上切线的斜率
对函数来说，也描述了函数在某一点上变化率
2.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) 2
sin h
2
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
例2 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解
f (0 h)
f (0)
h ,பைடு நூலகம்
h
h
f (0 h) f (0)
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x0
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它
反映了因变量随自变量的变化而变化的快
慢程度.
定义2 如果函数 f ( x) 在区间a,b内每一个点
h
lim
lim 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数的意义
1.几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x
例1 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
f ( x0 ) tan , (为倾角) o
y f (x)
T
M
x0
x
2.物理意义: 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.
v(t) lim s ds . t0 t dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
q dq i(t) lim .
都可导，即对每个点x,都对应着一个确定的
导数值，这个函数叫做原来函数 f ( x) 在a,b
内的导函数,简称导数。
即 y lim f ( x x) f ( x)
x0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
条件：1.邻域内有定义；2.增量比的极限
lim
x0
y x
存在
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
导函数与点导数之间什么关系？
x1
f '(x1)
x2
f '(x2)
xn
f '(xn)
f ( x0 ) f ( x) . xx0
★ 点导数反映函数在一某点上的动态特征，如
果函数在一个区间上可导，则导函数可以反映整 个区间上的动态变化。
Higher- mathematics ( I )
31 - 9
思考题
函数 f ( x)在某点x0 处的导数 f ( x0 ) 与导函数 f ( x)有什么区别与联系？
思考题解答
两者的区别是：一个是数值，另一个是函数．
两者的联系是：在某点 x0处的导数 f ( x0 )是导 函数 f ( x)在 x0处的函数值．即x I ，有唯一 值 f ( x)与之对应.
t0 t dt
3.经济意义：经济变量对自变量的变化率（边际）
生产成本：总成本对产量的导数为边际成本.
C(x) lim C dC . x0 x dx
五、小结
1. 导数的定义(实质): 增量比的极限; 2.导函数的概念 3. f ( x0 ) a f( x0 ) f( x0 ) a; 4. 导数意义: 几何意义;物理意义；经济意义 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
单侧导数主要应用：分段函数或
函数在某一点左右变化不一致
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
1.切线斜率问题 割线的极限位置——切线位置
播放
y
如图, 割线MN绕点M旋 转而趋向极限位置MT, 直线MT就称为曲线C在 点M处的切线.
y f (x)
N
T
CM
如何表示切线斜率？
设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
o
x0
xx
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
Chapter 3
第一节
导数的概念
一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的意义 五、小结
一、问题的提出
函数连续的概念：lim y 0 x0
这说明：增量x 与增量y有非常
密切的联系。
那么式子：lim x0
y x
又有什么样的意义？
下面我们以两个背景来分析这个问题。
Saturday, February 29, 2020
二、导数的定义
定义1 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函