江西财经大学 微积分 本科 专升本内部资料 导数与微分
x0
3x
2 f (0) 3 f (0) 2 3 5
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5
例2. 设 f (x) (x a)g(x),其中g(x)在点a 处连续中，求
求 f (a)
解：题目未给出 g(x) 可导的条件，不能用导数的乘法
公式，只能用导数定义来求.
f (a) lim f (x) f (a) lim (x a)g(x) 0
(x)
0,
x 0, 求 f (0)
sin x,
x0
解：
f(0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
sin x lim
x x0
1,
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f(0)
lim
x0
f (x) f (0)
ln(1 x)
lim
1
x0
x0
x
8
由于f(0) f(0), f (0)不存在.
3.可导与連续的关係：
2
平行OX轴
5.基本求导公式
(1) (C) 0, dc 0;
(2) (x ) x1, d (x ) x1dx(为实数)
(3) (ax ) ax ln a, d (ax ) ax ln adx
(e 2020/8/1 x ) ex ,
dex exdx
10
(4)
(loga
x)
1 x ln
(8) (cotx) csc2 x, d (cotx) csc2 xdx
(9) (secx) sec x tan x, d (secx) sec x tan xdx
(10) (cscx) cscx cot x, d (cscx) cscx cot xdx
如果函数f(x)在点 x0 处可导，则在点 x0 处一定
連续，反之不然；不連续则一定不可导。
4.曲线的切线斜率与切线方程
几何上f (x0 )表示曲线y f (x)在点x0处的切线斜
率，求曲线y f (x)在x0的切线斜率，就是f (x0 ),
于是有过点(x0 , y0 )的: 切线方程：y y0 f (x0 )(x x0 )
显然有： ( x0 x) x0 x（分母）
注意 x 要从 0 和0
两侧趋近于0；x
要从
x
0
和
x0
两侧趋近于0
当函数可导时，満足上述特征的极限可用导数表 示。
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3
例1.填空
（1）若f ( x)在点x0处可导，则
lim f ( x0 2x) f ( x0 ) ______
x0
第二章 导数与微分 一、基本概念及结论
1.导数定义的形式及特征
f
(
x0
)(1)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) (2) lim x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
lim f ( x0 t) f ( x0 ) lim f (t) f ( x0 )
t0
t
t x0
xa x a
xa
xa
lim g(x) g(a) xa
注: 常见不可导情形
从函数图形看,光滑的曲线处处可导; 在2020角/8/1 点或尖点处函数不可导.
y
x0
6x
y
(1) f ( x) x 在x 0不可导，f ( x)
x x0 在x x0不可导；
1, x 0(2)fFra bibliotek(x)
1, 0,
t x0
x00 f (0) lim f ( x) f (0)
x0
x
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1
注 : (1) f ( x)在点x0有定义是f ( x)在点x0可导的 必要条件;
(2)"
y x
"表示自变量x从x0改变到x0
x时
函数的平均变化率(速度); f ( x0 )表示函数
f ( x)在点x0处的变化率(速度);几何上, 表
x
分析: lim f ( x0 2x) f ( x0 )
x0
x
2 lim x0
f ( x0
2x) 2x
f ( x0 )
2 f ( x0 )
(2)设函数f ( x)在点x 0处可导，且
f (0) 0，f (0) 1,则lim f (2x) f (3x)
x0
x
___
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a
,
d (loga
x)
1 x ln
a
dx
(ln x) 1 , x
d (ln x) 1 dx x
(5) (sin x) cosx, d (sin x) cosxdx
(6) (cosx) sin x, d (cosx) sin xdx
(7) (tan x) sec2 x, d (tan x) sec2 xdx
示曲线y f ( x)在点x0处的切线斜率;经济上
表示某经济函数f ( x)在点x0的边际.
(3)求函数的导数用定义形式(1);求函数在某点的
导数特别是分段函数在分段点的导数用定义形式
2020/8/1(2)简便.
2
特征：导数是两个改变量比的极限，分子是
两点 x0与x0 x 函数值的改变量，其中有一项是 f ( x0 ) ；分母是两点 x0与x0 x 自变量的改变量，
f( x0 )
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f (x0 ) x x0
f (
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
ln(1 x), x 0
例3.
f
法线方程:
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y
y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
9
例4.曲线 y x2 x 2 在点_______处的切线斜率等于3
在点_______处的切线平行OX轴.
分析: y 2x 1 3, 得x 1,由y 2x 1 0, 得x 1 2
即在点x 1 处的切线斜率等于3,在点 x 1 处的切线
4
分析: lim f (2x) f (3x)
x0
x
lim f (2x) f (0) f (3x) f (0)
x0
x
lim f (2x) f (0) lim f (3x) f (0)
x0
x
x0
x
2 lim f (2x) f (0) 3lim f (3x) f (0)
x0
2x
x x
0 , 0
f
(
x)
0, 1,
x x
0 0
在x 0处不连续， 不可导.
x0 x
2.函数在点 x0 处可导的充要条件是其左、右
导数存在且相等，求分段函数（包括含绝对值
符号的函数）在分段点处的导数要用左、右导
数法。即
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7
f ( x0 )存在 f( x0 ) f( x0 ),其中
专升本数学知识常识
专升本数学知识常识1. 数学的定义数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念及其相互关系的学科。
它通过符号、公式和推理等方式来描述和解决问题。
2. 数学的重要性数学在现代社会中扮演着重要的角色，它被广泛应用于科学、工程、经济等领域。
数学的研究能够培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力，对个人的综合素质提升有很大帮助。
3. 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是一项数论中的猜想，它指出任意一个大于2的偶数都可以被表示为两个素数的和。
虽然这个猜想在数学上还没有得到证明，但它激发了人们对于素数分布规律的研究。
4. 导数和微分导数和微分是微积分中的重要概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率，微分是导数的几何意义。
它们被广泛应用于计算机科学、物理学等领域的模型建立和问题求解中。
5. 三角函数三角函数是数学中的一类特殊函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们在几何学、物理学、工程学等学科中的运用非常广泛，用于描述和计算角度、周期性变化等现象。
6. 排列组合排列组合是组合数学中的一个重要分支，用于研究对象的有序和无序排列方式的计数。
它广泛应用于概率统计、密码学、图论等领域，对于解决实际问题具有重要意义。
7. 矩阵和行列式矩阵和行列式是线性代数的基础内容。
矩阵是由数字排成的长方形阵列，行列式是矩阵的一种特殊表示方式。
它们在计算机图形学、电路分析、经济学等领域中有广泛的应用。
8. 概率与统计概率与统计是数学中的一门分支，用于研究随机事件和数据的规律性。
概率论研究随机事件的发生概率，统计学则处理数据的收集、整理和分析。
它们在风险评估、市场调查、医学试验等方面发挥重要作用。
以上是关于专升本数学知识常识的简要介绍。
数学作为一门广泛应用于各个领域的学科，学习数学能够提升个人思维能力和问题解决能力，是一项重要的学科。
第二章导数与微分(专升本微积分)
(e x ) e x , de x e xdx
(4)
(loga
x)
1, x lna
1
d (loga
x)
dx x lna
(ln x) 1 , x
d(ln x) 1 dx x
(5) (sin x) cos x, d(sin x) cos xdx
(6) (cos x) sin x, d(cos x) sin xdx
y
x0
x
(1) f ( x) x 在x 0不可导，f ( x)
y
x x0 在x x0不可导；
x0 x
1, x 0
(2)
f
(
x)
1, 0,
x x
0 ,
0
f
(x)
0, 1,
x x
0 0
在x 0处不可导.
2.函数在点 x0 处可导的充要条件是其左、右
导数存在且相等，求分段函数（包括含绝对值
符号的函数）在分段点处的导数要用左、右导
数法。即
f ( x0 )存在 f( x0 ) f( x0 ),其中
f (
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f ( x) f (x0 ) x x0
f (
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
t x0
x00 f (0) lim f ( x) f (0)
x0
x
特征：导数是两个改变量比的极限，分子是
两点 x0与x0 x 函数值的改变量，其中有一项是 f ( x0 ) ；分母是两点 x0与x0 x 自变量的改变量，
江西财经大学09-10 微积分答案
江西财经大学09-10学年第一学期期末考试试卷答案和评分标准试卷代码：03023B 授课课时：48课程名称：微积分 Ⅰ 适用对象：2009级试卷命题人 杨寿渊 试卷审核人 邹玉仁、罗世华一、填空题（每小题2分，共14分）1．2133x x -- 2．0 3．1-4．不存在 5．xα 6．22ln ln y xy y x xy x--7．1ln p C+二、单项选择题（每小题2分，共14分）1.B2.D3.B4.B5.A6.D7.C三、求极限（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.）1．21lim 0, sin cos 2,n n n n →∞=+≤ (2分)21lim (sin cos )0n n n n→∞+= (4分)2． 22222222000111lim 1limexp ln 1exp lim ln 122222x x x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1分） 221111exp lim ln 1exp lim ln 1222t t t t t t →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2分）111212exp lim exp(0)11t t →+∞⎛⎫∙ ⎪- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（4分） 3. 2220001sin 1sin 1sin limln lim ln 1lim x x x x x x x xx x x x x x →→→--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（2分） 3200sin cos 1limlim 3x x x x x x x →→--== （3分） 2202sin 12lim.36x xx →-==- （4分） 四、求导数（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.）1．()()'21'ln ln y x x =-（2分） ()21ln x x =-（4分）2．两边取对数，得ln csc ln y x x = （1分）两边对x 求导数，得'1csc cot ln csc ,y x x x x y x=-∙∙+ （2分） 得csc 1'csc cot ln csc .x y x x x x x x ⎛⎫=-∙∙+ ⎪⎝⎭（4分）3. ''y x =（2分）'1x ⎛⎫=⎪⎪⎭ （3分）11⎛⎫=+⎪⎪⎭（4分）五、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：由导数的定义，得()00()(0)()(0)()()limlim x x f ax f f bx f f ax f bx x x→→----= （3分） 00()(0)()(0)limlim x x f ax f f bx f a b ax bx→→--=- （6分） '(0)'(0).af bf a b =-=- （8分）六、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 解：方程两边取对数，得 211ln ln ,22x y xy --= （3分） 两边取微分，得2112,22dx dyy dx xydy x y--=+ （6分） 解得()32224y xy dy dx x y x+=-+ （8分） 七、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：'1ln ,y x =+ （2分）()''1''1ln ,y x x=+=（4分） (2)()(2)11(2)!(1).n n n n n yx x----⎛⎫==- ⎪⎝⎭（8分）八、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：(1), 0,(2), 0,'1, 0 '', 0,(1), 0.(2), 0.x x x x x e x x e x y x y x x e x x e x --⎧⎧->->⎪⎪====⎨⎨⎪⎪+<+<⎩⎩不存在 （3分）令''0y =解得12当(,2)x ∈-∞-时''0y <，图像下凹； 当(2,0)x ∈-时''0y >，图像上凹； 当(0,2)x ∈时''0y <，图像下凹；当(2,)x ∈+∞时''0y >，图像上凹； （6分） 函数的拐点为22(2,2), (2,2), (0,0).e e ---- （8分）九、应用题（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）解：（1）需求价格弹性为：'()2()EQ Q p p Ep Q p ==- （1分） 总利润函数为1/2()()()()()100100L Q R Q C Q Q p Q C Q Q Q =-=∙-=-- （2分）1/23/250'()501, ''(),2L Q Q L Q Q --=-=-由'()0L Q =解得02500Q = （3分） 且在这一点处的二阶导数值小于0，因此这一点是极大值点，也是最大值点，此时的价格为0 2.p = （4分） （2）新的税收政策出台后厂商的总利润函数为1/2()()()1001002L Q R Q C Q T Q Q =--=-- （5）1/23/250'()502, ''(),2L Q Q L Q Q --=-=-由'()0L Q =解得1625Q = （7分） 且在这一点处的二阶导数值小于0，因此这一点是极大值点，也是最大值点，此时的价格为1十、证明题（请写出推理步骤及结果，8分.）（1）.证明：设M 是()f x 与()g x 共有的最大值，并设()f x 在1(,)x a b ∈处取得最大值M ，()g x 在2(,)x a b ∈处取得最大值M ，令()()()x f x g x ϕ=-，则 12()0, ()0.x x ϕϕ≥≤ （2分） 如果12x x =，则令1x η=便有()()f g M ηη==。
成人高考(专升本)高等数学(一)知识点复习资料
C.关于坐标原点对称 D.关于直线 y=x对称 [答]B.
，由于不论 x为何值，总有 ，所以它的图形总是在 x轴的上 。
[主要知识内容] （一）函数的概念 1.函数的定义
由方程 为隐函数。
确定的函数关系
（4）在 ，称
内，下列函数中是无界函数的是
定义 设在某个变化过程中有两个变量 x和 y，变量 y 例如
母 y换成 x得
（1）各组函数中，两个函数相等的是
3）对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相 结论：
应范围的公式中去求；
这就是
的反函数。
A.
4）分段函数的定义域是各段定义域的并集。
（1）直接函数
与它的反函数 y=
的
例 4.分段函数
图形，必定对称于直线 y=x（一般地，二者是不同的函
B.
数，其图形是不同的曲线）；
， 等都是初等函数。
y=arcsin x 和 。
的定义域都是 附录：常用的初等数学基本公式
一、乘法公式；反之，因式分解公式
，
第一节 极限
[复习考试要求]
个常数 1.我们称：当
1.理解极限的概念（对极限定义
、
、有
等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的 （3）当 左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必
就是一个隐函数，它可以转化成显 (A)
(B)
随变量 x的变化而变化，如果变量 x在实数集合 D或 D 的某一个子集合中每取一数值时，变量 y依照某一法则 函数的形式
(C) y=sin x(D)
f总有一个确定的数值与之对应，则称变量 y为变量 x 要注意的是：并非所有隐函数都可以转化为成显函数。 （四）反函数
专升本高等数学【导数与微分】知识点及习题库
第二章导数与微分【考试要求】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．【考试内容】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、导数（一）导数的相关概念1．函数在一点处的导数的定义设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆，也可记作x x y ='，x x dy dx=或()x x df x dx=．说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=和000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-；式中的h 即自变量的增量x ∆．2．导函数上述定义是函数在一点处可导．如果函数()y f x =在开区间I 内的每点处都可导，就称函数()f x 在区间I 内可导．这时，对于任一x I ∈，都对应着()f x 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数()y f x =的导函数，记作y '，()f x '，dy dx 或()df x dx．显然，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '就是导函数()f x '在点0x x =处的函数值，即00()()x x f x f x =''=．3．单侧导数（即左右导数）根据函数()f x 在点0x 处的导数的定义，导数0000()()()lim h f x h f x f x h→+-'=是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此0()f x '存在（即()f x 在点0x 处可导）的充分必要条件是左右极限000()()lim h f x h f x h-→+-及000()()lim h f x h f x h+→+-都存在且相等．这两个极限分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数和右导数，记作0()f x -'和0()f x +'，即0000()()()lim h f x h f x f x h--→+-'=，0000()()()lim h f x h f x f x h ++→+-'=．现在可以说，函数()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在并且相等．说明：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，就说()f x 在闭区间[,]a b 上可导．4．导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线的斜率，即0()tan f x α'=，其中α是切线的倾角．如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线0x x =．根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程和法线方程分别为：切线方程：000()()y y f x x x '-=-；法线方程：0001()()y y x x f x -=--'．5．函数可导性与连续性的关系如果函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处必连续，但反之不一定成立，即函数()y f x =在点0x 处连续，它在该点不一定可导．（二）基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式（1）()0C '=；（2）1()xx μμμ-'=；（3）(sin )cos x x '=；（4）(cos )sin x x'=-；（5）2(tan)sec x x'=；（6）(cot)csc x x'=-；（7）(sec )sec tan x x x '=；（8）(csc )csc cot x x x'=-；（9）()ln xx aa a'=；（10）()xxee '=；（11）1(log )ln a x x a'=；（12）1(ln )x x'=；（13）(arcsin )x '=；（14）(arccos )x '=；（15）21(arctan )1x x '=+；（16）21(arccot )1x x '=-+．2．函数的和、差、积、商的求导法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()uv u v '''±=±；（2）()Cu Cu ''=（C 是常数）；（3）()uv u v uv '''=+；（4）2(u u v uv v v ''-'=（0v ≠）．3．复合函数的求导法则设()y f u =，而()u g x =且()f u 及()g x 都可导，则复合函数[()]y f g x =的导数为dy dy dudx du dx=⋅或()()()y x f u g x '''=⋅．（三）高阶导数1．定义一般的，函数()y f x =的导数()y f x ''=仍然是x 的函数．我们把()y f x ''=的导数叫做函数()y f x =的二阶导数，记作y ''或22d y dx ，即()y y ''''=或22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭．相应地，把()y f x =的导数()f x '叫做函数()y f x =的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数， ，一般的，(1)n -阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作y '''，(4)y ， ，()n y 或33d y dx ，44d y dx ， ，n nd ydx ．函数()y f x =具有n 阶导数，也常说成函数()f x 为n 阶可导．如果函数()f x 在点x 处具有n 阶导数，那么()f x 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：1．方程两边对x 求导，求导时要把y 看作中间变量．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx．解：方程两边分别对x 求导，()(0)yx xexy e ''+-=，得0ydy dy e y x dx dx ++=，从而ydy ydx x e =-+．2．一元隐函数存在定理x y F dydx F '=-'．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dydx．解：设(,)y F x y e xy e =+-，则()()yx yy y e xy e F dy y x dx F e x e xy e y∂+-'∂=-=-=-∂'++-∂．（五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩确定y 是x 的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为()()dy t dx t φϕ'='，上式也可写成dy dy dt dxdx dt=．其二阶导函数公式为223()()()()()d y t t t t dx t φϕφϕϕ''''''-='．（六）幂指函数的导数一般地，对于形如()()v x u x （()0u x >，()1u x ≠）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：1．复合函数求导法将幂指函数()()v x u x 利用指数函数和对数函数的性质化为()ln ()v x u x e的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的()ln ()v x u x e 恢复为()()v x u x 的形式．例如：求幂指函数xy x =的导数dydx．解：因ln x x xx e =，故()ln ln (ln )(1ln )x xx x x dy d e e x x x x dx dx'==⋅=+．2．对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求y 对x 的导数．例如：求幂指函数x y x =的导数dy dx．解：对幂指函数x y x =两边取对数，得ln ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x的函数，得11ln dyx y dx⋅=+，故(1ln )(1ln )x dy y x x x dx =+=+．二、函数的微分1．定义：可导函数()y f x =在点0x 处的微分为00()x x dyf x dx='=；可导函数()y f x =在任意一点x 处的微分为()dy f x dx '=．2．可导与可微的关系函数()y f x =在点x 处可微的充分必要条件是()y f x =在点x 处可导，即可微必可导，可导必可微．3．基本初等函数的微分公式（1）()0d C dx=；（2）1()d xx dxμμμ-=；（3）(sin )cos d x xdx =；（4）(cos )sin d x xdx =-；（5）2(tan )sec d x xdx=；（6）(cot )csc d x xdx=-；（7）(sec )sec tan d x x xdx=；（8）(csc )csc cot d x x xdx=-；（9）()ln xx d aa adx =；（10）()xx d ee dx=；（11）1(log )ln ad x dx x a =；（12）1(ln )d x dx x=；（13）(arcsin )d x =；（14）(arccos )d x =-；（15）21(arctan )1d x dx x=+；（16）21(arccot )1d x dx x=-+．4．函数和、差、积、商的微分法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()d uv du dv±=±；（2）()d Cu Cdu =（C 是常数）；（3）()d uv vdu udv=+；（4）2()u vdu udv d v v -=（0v≠）．5．复合函数的微分法则设()y f u =及()u g x =都可导，则复合函数[()]y f g x =的微分为()()x dy y dx f u g x dx '''==．由于()g x dx du '=，所以复合函数[()]y f g x =的微分公式也可写成()dyf u du'=或udy y du '=．由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分形式()dyf u du '=保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式()dy f u du '=并不改变．【典型例题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料【例2-1】以下各题中均假定0()f x '存在，指出A 表示什么．1．000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆．解：根据导数的定义式，因0x∆→时，0x -∆→，故0000000()()()()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆，即0()A f x '=-．2．设0()limx f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在．解：因(0)0f =，且(0)f '存在，故00()()(0)lim lim (0)0x x f x f x f f x x →→-'==-，即(0)A f '=．3．000()()limh f x h f x h A h→+--=．解：根据导数的定义式，因0h →时，0h -→，故00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h h →→+--+-+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，即02()A f x '=．【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．1．讨论函数322,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩在1x =处的可导性．解：根据导数的定义式，3211122()(1)233(1)lim lim 1)2113x x x x f x f f x x x x ----→→→--'===++=--，2112()(1)3(1)lim lim11x x x f x f f x x +++→→--'===+∞--，故()f x 在1x =处的左导数(1)2f -'=，右导数不存在，所以()f x 在1x =处不可导．2．讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x=处的可导性．解：因20001sin()(0)1(0)limlim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x→→→--'====-，故函数()f x 在0x =处可导．3．已知函数2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处连续且可导，求常数a 和b 的值．解：由连续性，因(1)1f =，211(1)lim ()lim 1x x f f x x ---→→===，11(1)lim ()lim()x x f f x ax b a b +++→→==+=+，从而1a b += ①再由可导性，2111()(1)1(1)lim lim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--，11()(1)1(1)lim lim 11x x f x f ax b f x x +++→→-+-'==--，而由①可得1b a =-，代入(1)f +'，得11()(1)(1)lim lim 11x x f x f ax a f a x x +++→→--'===--，再由(1)(1)f f -+''=可得2a =，代入①式得1b =-．【例2-3】已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，求()f x '．解：当0x <时，()(sin )cos f x x x ''==，当0x ≥时，()()1f x x ''==，当0x =时的导数需要用导数的定义来求．0()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f x f x x ---→→-'===-，0()(0)0(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→--'===-，(0)(0)1f f -+''==，故(0)1f '=，从而cos ,0()1,0x x f x x <⎧'=⎨≥⎩．【例2-4】求下列函数的导数．1．(sin cos )x y e x x =+．解：()(sin cos )(sin cos )x x y e x x e x x '''=+++(sin cos )(cos sin )x x e x x e x x =++-2cos x e x =．2．2sin1y x =+．解：222222sin cos 111x x x y x x x ''⎛⎫⎛⎫'==⋅ ⎪ +++⎝⎭⎝⎭2222222(1)(2)cos 1(1)x x x x x +-=⋅++22222(1)2cos (1)1x x x x -=++．3．ln cos()x y e =．解：1ln cos()cos()cos()xxx y e e e '''⎡⎤⎡⎤==⋅⎣⎦⎣⎦1sin()()cos()x xx e e e '⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦1sin()cos()x x x e e e ⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦tan()x x e e =-．4．ln(yx =+．解：ln((y x x '⎡⎤''=+=+⎣⎦21⎡⎤'=+⎢⎣1⎡⎤=+⎢⎣==．【例2-5】求下列幂指函数的导数．1．sin x y x =（0x >）．解：sin sin ln sin ln ()()(sin ln )x x x x x y x e e x x ''''===⋅sin ln 1(cos ln sin )x xex x x x=⋅+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数sin x y x =两边取对数，得ln sin ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得11cos ln sin y x x x y x'⋅=+⋅，故1(cos ln sin )y y x x x x '=+⋅sin sin (cos ln )xx x x x x =+．2．1xx yx ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（0x >）．解：ln ln 11ln 11x x x x x xx x x y e e x x x ++'''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫'===⋅⎢⎥ ⎪ ⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦ln 11ln 11xx xx x x ex xx x +⎡⎤'+⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅⋅ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()ln1211ln 11x x xx x x x ex x x x +⎡⎤++-=⋅+⋅⋅⎢⎥++⎢⎥⎣⎦1ln 111xx x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭两边取对数，得ln ln 1xy x x=+，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得111ln ln 1111x x x x y x y x x x x x'+⎛⎫'⋅=+⋅⋅=+ ⎪++++⎝⎭，故11ln ln 11111xx x x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．1．xy yx =（0x >）．解：等式两边取对数，得lnln x y y x =，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得ln ln x y y y y x y x ''+⋅=+，整理得(ln )ln x yx y y y x'-=-，则22ln ln ln ln yy y xy yx y xx xy x x y --'==--．2．y=．解：等式两边取对数，得21ln lnln 2y ==，即2212ln ln(1)ln(2)5y x x =+-+，也即2210ln 5ln(1)ln(2)y x x =+-+，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得221010212x x y y x x '=-++，故222210*********y x x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭．【例2-7】求下列抽象函数的导数．1．已知函数()yf x =可导，求函数1sin ()xy f e=的导数dy dx．解：111sin sin sin ()()()x x x dy d f e f e e dx dx ⎡⎤'==⋅⎢⎥⎣⎦11sin sin 1()()sin x x f e e x '=⋅⋅1111sin sin sin sin 22cos cos ()()sin sin xxx x x x f eef e x x-=⋅⋅=-．2．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f x g x +≠，试求函数y =的导数dy dx．解：22()()f x g x dy d dx dx '⎡⎤+==''''==．【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数()y y x =的导数．1．220xxy y -+=．解：方程两边分别对x 求导，得220dy dyx y x y dx dx--⋅+⋅=，整理得(2)2dy x y x y dx -=-，故22dy x ydx x y-=-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设22(,)F x y x xy y =-+，则2222x y F dy x y x y dx F x y x y '--=-=-='-+-．2．1y yxe =+．解：方程两边分别对x 求导，得0y y dy dye xe dx dx=++⋅，整理的(1)y y dy xe e dx -=，故1yydy edx xe =-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设(,)1y F x y xe y =+-，则11y yx y yy F dy e e dx F xe xe '=-=-='--．【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数()y y x =的导数．1．2t tx e y e -⎧=⎨=⎩．解：()()21222t t ttt dye dy e dt dx dx e e e dt--'-====-'．2．111x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．解：()()2211111111t t t dy t dy t dt dx dx dt t t '+-⎛⎫ ⎪++⎝⎭====--'⎛⎫ ⎪++⎝⎭．【例2-10】求下列函数的微分．1．22()tan (12)f x x =+．解：因22222()tan (12)2tan(12)sec (12)4f x x x x x ''⎡⎤=+=+⋅+⋅⎣⎦，故222()8tan(12)sec (12)dy f x dx x x x dx '==++．2．()f x =．解：因()()f x ''==⋅=-故()dy f x dx '==-．3．2()arctan f x x =解：因(22()arctan 2arctan f x x x x ''==，故2()2arctan dy f x dx x dx ⎡'==⎢⎣．4．22()sin ln(1)f x x x =+．解：因222222()sin ln(1)2sin cos ln(1)sin 1xf x x x x x x x x ''⎡⎤=+=++⎣⎦+，故2222sin ()sin 2ln(1)1x x dy f x dx x x dx x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦．【例2-11】求曲线x y xe -=在点(0,1)处的切线方程和法线方程．解：()x x x y xe e xe ---''==-，01x y ='=，故曲线在点(0,1)处的切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+=；法线方程为11(0)y x -=-⋅-即10x y +-=．【例2-12】求曲线224xxy y ++=在点(2,2)-处的切线方程和法线方程．解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有220x y xy y y ''+++⋅=，即22x y y x y+'=-+；由导数的几何意义，曲线在点(2,2)-处的斜率为2222212x x y y x y y x y===-=-+'=-=+，故曲线在点(2,2)-处的切线方程为21(2)y x +=⋅-，即40x y --=；法线方程为21(2)y x +=-⋅-，即0x y +=．【例2-13】求椭圆2cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在点4t π=处的切线方程和法线方程．解：将4t π=代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又4cos 2cot 2sin t t y t y t x t''===-'-，切线斜率为442cot 2t t y tππ=='=-=-，故所求切线方程为2(y x -=--，即20x y +-=；所求法线方程为1(2y x -=--，即20x y +-=．【历年真题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、选择题1．（2010年，1分）已知(1)1f '=，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆等于（）（A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2-解：根据导数的定义，00(12)(1)[1(2)](1)lim2lim2x x f x f f x f x x∆→∆→-∆-+-∆-=-∆-∆2(1)2f '=-=-，选（D ）．2．（2010年，1分）曲线2y x =在点(1,1)处的法线方程为（）（A ）y x =（B ）322x y =-+（C ）322x y=+（D ）322x y =--解：根据导数的几何意义，切线的斜率1122x x ky x =='===，故法线方程为11(1)2y x -=--，即322x y =-+，选（B ）．3．（2010年，1分）设函数()f x 在点0x 处不连续，则（）（A ）0()f x '存在（B ）0()f x '不存在（C ）lim()x f x →∞必存在（D ）()f x 在点0x 处可微解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B ）正确．4．（2009年，1分）若000()()lim h f x h f x h A h→+--=，则A =（）（A ）0()f x '（B ）02()fx '（C ）0（D ）01()2f x '解：000()()limh f x h f x h A h→+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，选项（B ）正确．5．（2008年，3分）函数()f x x =，在点0x =处()f x （）（A ）可导（B ）间断（C ）连续不可导（D ）连续可导解：由()f x x =的图象可知，()f x 在点0x =处连续但不可导，选项（C ）正确．说明：()f x x =的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．6．（2008年，3分）设()f x 在0x 处可导，且0()0f x '≠，则0()f x '不等于（）（A ）000()()limx x f x f x x x →--（B ）000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆（C ）000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆（D ）000()()lim()x f x x f x x ∆→-∆--∆解：根据导数的定义，选项（C ）符合题意．7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数()f x 在点0x 处的导数定义的选项是（）（A ）001lim [()()]n n f x f x n →∞+-（B ）000()()limx x f x f x x x →--（C ）000()()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆解：选项（A ）000001(()1lim [()()]lim()1n n f x f x n n f x f x f x nn+→∞→∞+-'+-==，选项（C ）0000()()lim2()x f x x f x x f x x∆→+∆--∆'=∆，选项（D ）0000(3)()lim 2()x f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，故选（B ）．8．（2007年，3分）若()f u 可导，且(2)x y f =，则dy =（）（A ）(2)x f dx '（B ）(2)2x x f d '（C ）[(2)]2x xf d '（D ）(2)2x x f dx'解：因(2)(2)2(2)2ln 2x x x x x dy df f d f dx''===，故选项（B ）正确．9．（2006年，2分）设()u x ，()v x 为可导函数，则(ud v =（）（A ）du dv（B ）2vdu udv u -（C ）2udv vdu u +（D ）2udv vdu u -解：222()(u u u v uv u vdx uv dx vdu udvd dx dx v v v v v ''''---'====，选（B ）．10．（2005年，3分）设()(1)(2)(99)f x x x x x =--- ，则(0)f '=（）（A ）99!-（B ）0（C ）99!（D ）99解：当0x=时，()f x '中除(1)(2)(99)x x x --- 项外，其他全为零，故(0)(01)(02)(099)99!f '=---=- ，选项（A ）正确．11．（2005年，3分）设ln y x =，则()n y =（）（A ）(1)!nnn x --（B ）2(1)(1)!nn n x ---（C ）1(1)(1)!n nn x ----（D ）11(1)!n n n x --+-解：由ln y x =可得，1y x '=，21y x''=-，433222!x y x x x-'''=-==，2(4)64233!x yx x⋅=-=-， ，对比可知，选项（C ）正确．12．（2005年，3分）2sin ()d xd x =（）（A ）cos x（B ）sinx-（C ）cos 2x （D ）cos 2x x解：2sin cos cos ()22d x xdx xd x xdx x==，选项（D ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）若曲线()yf x =在点00(,())x f x 处的切线平行于直线23y x =-，则0()f x '=．解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故0()2f x '=．2．（2010年，2分）设cos(sin )y x =，则dy =．解：cos(sin )sin(sin )cos dyd x x xdx ==-．3．（2008年，4分）曲线21y x =+在点(1,2)的切线的斜率等于．解：由导数的几何意义可知，切线斜率(1,2)(1,2)22k y x'===．4．（2008年，4分）由参数方程cos sin x t y t=⎧⎨=⎩确定的dy dx=．解：(sin )cos cot (cos )sin t t y dy t t t dx t tx ''====-'-'．5．（2006年，2分）曲线2sin y x x =+在点(,1)22ππ+处的切线方程是．解：切线的斜率(,1)(,1)2222(12sin cos )1k y x x ππππ++'==+=，故切线方程为(11()22y x ππ-+=⋅-，即1y x =+．6．（2006年，2分）函数2()(1)f x x x x=-不可导点的个数是．解：2222(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，显然，当0x ≠时，()f x 可导；当0x=时，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x+++→→-+'===-，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x-+-→→--+'===-，故(0)0f '=．故函数()f x 的不可导点的个数为0．7．（2006年，2分）设1(1xy x=+，则dy =．解：因11ln(1)ln(1)21111[(1)][][ln(1)()]11x x x x x y e e x x x x x++'''=+==++⋅⋅-+111(1)[ln(1)]1x x x x =++-+，故111(1)[ln(1)]1x dy dx x x x =++-+．三、计算题1．（2010年，5分）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定，求x dydx=．解：方程2xyx y =+两边对x 求导，考虑到y 是x 的函数，得2ln 2()1xy dy dy y xdx dx ⋅+=+，整理得2ln 22ln 21xy xydy dy y x dx dx+⋅=+，故2ln 2112ln 2xy xydy y dx x -=-．当0x =时，代入原方程可得1y =，所以0012ln 21ln 21ln 2112ln 21xy x x xy y dy y dx x ===--===--．说明：当得到2ln 2()1xydy dyy xdx dx⋅+=+后，也可直接将0x =，1y =代入，得ln 21dy dx =+，故0ln 21x dydx==-．2．（2010年，5分）求函数sin x y x =（0x >）的导数．解：sin sin ln sin ln sin ln 1()()()(cos ln sin )x x x x x x xy x e e e x x x x ''''====+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．3．（2009年，5分）设22sin1xy x =+，求dy dx．解：因22sin1x y x =+，故22(sin )1dy x dx x'=+2222222222(1)22222cos cos 1(1)(1)1x x x x x x x x x x +-⋅-=⋅=++++．4．（2006年，4分）设()f x可导，且()f x '=，求df dx ．解：df f dx ''=⋅2x x==-．5．（2005年，5分）已知sin ,0(),0x tdtx f x xa x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰．（1）()f x 在0x =处连续，求a ；（2）求()f x '．解：（1）因sin lim ()limlimsin 0xx x x tdt f x x x→→→===⎰，故由()f x 在0x =处连续可得，0lim()(0)x f x f →=，即0a =．（2）当0x ≠时，002sin sin sin ()x x tdt x x tdt f x x x '⎛⎫- ⎪'== ⎪⎝⎭⎰⎰；当0x =时，2000sin sin ()(0)(0)lim limlimxxx x x tdt tdt f x f xf x xx →→→-'===-⎰⎰0sin 1lim22x x x →==．故2sin sin,0 ()1,02xx x tdtxxf xx⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰．关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料。
第二章 (专升本)导数与微分
第二章 导数与微分第一讲：导数的概念一、是非题1.])([)(00'='x f x f ； （ ）2.曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处有切线，则)(0x f '一定存在； （ ）3.若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >； （ ）4.周期函数的导函数仍为周期函数； （ ）5.偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数； （ ）6.)(x f y =在0x x =处连续，则)(0x f '一定存在。
（ ） 二、填空题1.设)(x f 在0x 处可导，则______________)()(lim000=∆-∆-→∆xx f x x f x ，___________)()(lim000=--+→hh x f h x f h ；2.若)0(f '存在且0)0(=f ，则_______________)(lim=→xx f x ； 3.已知⎩⎨⎧-=,,)(22x x x f ,0,0<≥x x 则)0(f '＝ ； 4.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体在时刻t 的冷却速度为 ；5.物体作直线运动，运动方程为t t s 532-=，则物体在s 2到s t )2(∆+的平均速度为 ，物体在s 2时的速度为 。
三、选择题1.函数)(x f 的)(0x f '存在等价于（ ）；A 、)]()1([lim 00x f nx f n n -+∞→存在 B 、h x f h x f h )()(lim000--→存在 C 、x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000存在 D 、xx x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()3(lim 000存在2.若函数)(x f 在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处（ ）； A 、可导 B 、不可导 C 、连续但未必可导 D 、不连续四、利用定义求下列函数的导数1.21x y = 2.x y cos =3.),(为常数b a b ax y +=五、设)(x ϕ在a x =处连续，)()()(x a x x f ϕ-=，求)(a f '。
专升本高数数学知识点总结
专升本高数数学知识点总结一、微积分微积分是高等数学的重要组成部分，它包括导数和积分两个部分。
导数是一个函数对自变量的变化率的描述，而积分则是对函数曲线下的面积的计算。
1. 导数导数是描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点的变化速率。
通常用f'(x)或者dy/dx 表示。
导数的定义是函数在某一点的极限值，即f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
在计算导数时，我们可以使用求导法则，包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、乘法法则、除法法则、复合函数求导法则等。
2. 积分积分是对函数曲线下的面积的计算，它的定义是函数$f(x)$在区间[a,b]上的定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$表示曲线$f(x)$与$x$轴所围成的面积。
在计算积分时，我们可以使用不定积分和定积分两种方式。
不定积分通常写作$\int f(x)dx$，其结果是一个函数。
定积分通常写作$\int_{a}^{b}f(x)dx$，其结果是一个数值。
3. 微分方程微分方程是微积分的一部分，它描述了变量之间的关系，并且包含了导数。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是以导数为主要变量的方程，通常用于描述物理现象的规律。
偏微分方程是以偏导数为主要变量的方程，通常用于描述空间中的变化规律。
二、线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支，它包括向量、矩阵、行列式、特征值、特征向量等概念。
1. 向量向量是线性代数中的基本概念，它表示具有大小和方向的物理量。
通常用a或者b表示。
向量可以进行加法、数乘等运算，也可以用点积和叉积来描述。
2. 矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是一个按照行和列排列的数表。
矩阵可以进行加法、数乘、转置等运算，也可以进行矩阵的乘法运算。
3. 行列式行列式是描述矩阵性质的重要工具，它表示矩阵所代表的线性变换的相似性。
行列式的定义是一个关于矩阵元素的多重求和。
专升本第二讲导数与微分
第二讲 导数与微分考点：1、理解导数的概念，掌握导数的定义。
2、能利用导数定义判断函数的可导性，会判断分段函数分段点处的可导性。
3、掌握导数的几何意义，会表示切线方程与法线方程。
4、了解可导性与连续性之间的关系。
5、熟练掌握导数计算的基本公式，四则运算法则，复合函数求导链式法则，隐函数求导法，参数方程求导法，对数求导法以及高阶导数的计算。
6、理解函数微分的基本概念，会求函数的微分，了解可导与可微之间的关系。
典型题目：1、求)1ln(2x x y ++=的导数2、求函数x ey 1sin 2=的导数 3、 已知0=-+e xy e y ,求dy dx 4、22ln arctan y x xy += 5、求曲线03275=--+x x y y 上在0=x 的点处的切线方程6、 sin (tan )x y x =，求y '. 7、 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y ()4>x 的导数 8、设()0f x m '=,求下列极限:(1) ()()x x f x x f x ∆-∆-→∆0003lim ; (2) ()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆23lim 000 9、设)(x f 在]1,1[-上有界,2sin )()(x x f x g =,求)0(g '.10、 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0;0,1sin )(x x x x g x f 且)0()0(g g '==0,证明:0)0(='f . 11、 设()x x x y sin +=,求dxdy . （导数()x f '为()x f 的边际函数）12、 某企业每月生产x 吨产品的总成本C (单位:千元)是产量x 的函数()20102+-=x x x C .如果每吨产品的销售价格为2万元,试求每月生产8吨时的边际利润.13、 设市场对某商品的需求量Q 是价格p 的函数275p Q -=,求4=p 时的边际需求,并说明其经济意义.（ 对于一般的x ,如果()x f y =是可导函数,且()0f x ≠,则：()().y x f x f x η'= 是x 的函数,称为()x f 的弹性函数(简称为弹性)）14、 设某种商品的需求函数为p Q -=50,p 为价格()500<<p ,试求:当30p =的需求弹性，并解释其经济意义。
专转本导数与微分
旳极限即为
vt0
vt0
lim
t 0
st0
t
t
st0
s
lim lim v
t 0 t
t 0
2: 曲线旳切线斜率 L
切线旳一般定义:
设 P 是曲线 L 上旳一种定点, Q 是曲线 L 上旳另一种点,
过点 P 与点 Q 作一条直线 PQ, 称 PQ 为曲线 L 旳 割线, 当点 Q 沿着曲线 L 趋向定点 P 时, 割线 PQ 旳极限位置 PT
所以y 0
(2)算比值 y 0 x
(3)取极限: y lim y 0
x0 x
即 (c)' 0
例2 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
lim a xx a x x0 x
a x lim ax 1 x0 x
Q 越接近于 P ,
PQ 越接近于 PT, tan 越接近于 k ,
即:
k tan lim y
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x 0
x
曲线在 P 处旳切线斜率为:
函数旳增量与自变量增量之比,
当自变量旳增量趋于 0 时旳极限.
二. 导数旳定义
1. 导数定义: 设函数 y f (x)在 x0旳某个邻域内有定义, 若极限
在几何上表达曲线 y f (x)
y
M
Hale Waihona Puke 在点 M(x0 , f (x0 )) 处旳切线旳斜率,
α
x0
x
即 f '( x0 ) tan
假如函数 y f (x) 在点 x0处可导, 则曲线 y f (x) 在点 P(x0, f (x0 )) 旳切线方程为
(专升本)一元函数微分学复习
求曲线上一点处的切线方程与 法线方程
掌 握
导数公式及四则运算法则
复合函数的求导方法 隐函数的求导方法
参数方程的一阶导数求导法
初等函数的二阶导数求法 微分的运算法则
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知识回顾
1．回忆函数的基本导数公式 公式1 公式2
C 0（C 为常数）
n n1 ( x ) n x ( n Q)
2
1 3
ln( x 1 ),
y
1 2
1 x 1
2
2x
1 x
1 3( x 1)
x x 1
2
1 3( x 1)
例12 求函数 y e 解
y e
sin 1 x
sin
的导数.
sin 1 x
(sin
sin
1 x
1 x
) e
cos
cos
1
1 ( ) x x
2
1 ln x
2
1 2 1 ln x
2
2 ln x ln x
ln x x 1 ln x
2
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例题讲解
例6 求 y ( x 1) 3 (3 x 1) ( x 2 ) 的导数．
2
解：
ln y ln x 1
1 y y 1 x 1 2
法则
dy d t y t . dx dx x t dy tx
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知识回顾
8．回顾微分的概念．
d y f ( x ) d x
9．回顾微分的运算法则．