江西财经大学现代经济管理学院微积分II试卷参考答案(2013-2014)

江西财经大学现代经济管理学院

2013—2014学年第二学期期末考试试卷参考答案

课程代码： 课 时： 课程名称：微积分II A 卷 适用对象：

一、填空题(每小题3分，共18分)

1. () () , sin (cos ) (cos ) f x g x xf x dx g x C =-+⎰若的一个原函数为则。

1

2032. lim sin

0 n n

n x dx x

→∞

=⎰。 3. lim 0 n n u →∞≠是数项级数发散的充分 条件。

25 124. 7100 x x y y y y C e C e --'''++==微分方程的通解为+。

2

1

4tan sec 2 20

00115. , sec x

x

I dx ydy I d dr x r

πθθθθ==⎰⎰⎰⎰设则在极坐标系下。

6. ln ,(,1) 3

y y

z x x z e π'==设则。

二、单项选择题(每小题3分，共18分)

1. ln(1), (1,1) ( ) 111

. . . 0 . ()

2

x

z dz D y dx dy A B C D dx dy x y y x y y =+=---++若则在点处。

2

2. ()cot 2 ln(sin 2) , ( ) 3

4323 . . . .

3234f x k x x k A A B C D ==若的一个原函数是则。

22 11

1

1

3. :1, 0, ,

, ( ) . () . 2() . 2() . ()D

D x y y I f dxdy D I A A rf r dr B rf r dr C f r dr D f r dr

ππππ+≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰设平面区域且的被积函数在上连续则在极坐标系下。

1

222222224. ln ln ( ) . ln ln 0 . ln ln 1 . ln ln . ln ln 1

x y xdx x ydy y

C A x y B x y C x y

D x y ==+=+==-=微分方程满足的特解是。

225. ,cos ,sin ,

( ) 11

. 2sin 2 . sin 2 . 2sin 2 . sin 222

z

z uv u x y v x y A x

A x y

B x y

C x y

D x y

∂====∂设则。

2

6. (1)sin , ( ) . . . . n n C n A B C D ∞

=-∑已知级数则其属于级数。绝对收敛发散条件收敛无法确定

三、计算题(每题7分，共35分)

222 2221. , (,) , x y z z xyz z z x y a b c x

∂++==∂已知求偏导数。

22222222222222

22 (,,) , 2(2) 2(2)x z x z x y z x z

F x y z xyz F yz F xy

a b c a c

x yz F z c x a yz a z x F a c xy z xy c ''=++-=-=--'∂-=-=-='∂--解：令

232. 413

dx x x ++⎰求不定积分。 2222

31112

33(2)3arctan 413(44)9(2)333

2

arctan 3

x dx dx d x C x x x x x x C

+==+=⋅+++++++++=+⎰

⎰⎰解： 2

2()113. [()] , (0)0 , () 122

f x dx f x c f f x =+=-⎰

设且求。 222

()1

,

()()12

22111 () ()2ln ln 112111112

(0)ln10 ()ln ln 3

2112

f x x f x f x x x x

f x f x dx C C x x x x

f C C f '=⋅-++'===⨯+=+----+=+====-⎰解：等式两端分别对求导得 从而有 2

1

1

20

4. y x

I dx x e dy -=⎰⎰求二重积分。

2

2

22

1

1

1

112232200000

11111

0000011 ()()

3611111 ()[][()]

666611112

[()(1)](1)

66y

y y y y x u u u u u I dx x e dy dy x e dx y e dy y e d y ue du ud e ue e du e e

e e e

---------====--===-=--=---=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：

21

15. (1)

5n

n n x n

∞

-=-∑求幂级数的收敛域。

22

1

1 1

11

1

11

1

21 1

, (1)

(1)551

(1)11

15 (1) , (1) lim lim

lim 1155(1)(1)5(1)

1 1 , (1)

(1)55n n n n n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n x t x t n n

a n n a a R n n a n n t t n n ∞

∞

--==--+→∞→∞→∞+∞

--===-=--+=-=-====+-+=--=-=∑∑∑解：令 111

11 1

1121

12

11

11 5111 1 , (1)

(1)(1) 555 (1) (1,1] , (1) (1,1]

55 [1,1n n n n n n n n n n n n n n n

t t n n n

t x t x n n x ∞

∞=∞

∞∞---===∞

∞

--==-=-=-=--∈--∈-∈-∑∑∑∑∑∑∑发散收敛的收敛区间为即的收敛区间为于是可得] 。

四、应用题 (每题10分，共20分)

21. ()4 5 ( ,: : ), ()202 , C Q Q Q Q C R R Q Q '=-+'=-已知某产品的边际成本函数为为产量单位百件；和的单位万元边际收益函数为求最大利润及其相应的产量。 22 12 0() ()()()(202)(45)152(5)(3) ()0, 5 , 3()

()22, (5)21080 , 5() ()()Q L Q L Q R Q C Q Q Q Q Q Q Q Q L Q Q Q L Q Q L Q L Q L Q dQ '''=-=---+=+-=-+'===-''''=-=-=-<='=⎰解：设为利润函数

则有令解得舍去故当百件时取得最大利润

223

0231

(152)153

1175

(5)15555()

33

Q Q Q dQ Q Q Q L =+-=+-=⨯+-⨯=⎰最大利润为万元

22 2. 1, 0, 0, 0 z x y x y x y z =++====求由曲面和四个平面所围成的立体体积。

1

11

22222300

0{ (,) 0 , 0 , 1 }11

(,)()()[(1)(1)]36

x D

D

D x y x y x y V f x y dxdy x y dxdy dx x y dy x x x dx -=≥≥+≤==+=+=-+-=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰解：

五、证明题 (每题9分，共9分)

1

1. ()0[,] ()0(,)()

x x

a

b

f x a b f t dt dt a b f t >+=⎰⎰

设在闭区间上连续。试证：方程在内有且仅有一个实数根。

111()(), ()[()]()()()()

x

x

x x a b

a b F x f t dt dt F x f t dt dt f x f t f t f x ''=+=+=+

⎰⎰

⎰⎰证：设则