江西财经大学现代经济管理学院微积分II试卷参考答案(2013-2014)

江西财经大学现代经济管理学院
2013—2014学年第二学期期末考试试卷参考答案
课程代码： 课 时： 课程名称：微积分II A 卷 适用对象：
一、填空题(每小题3分，共18分)
1. () () , sin (cos ) (cos ) f x g x xf x dx g x C =-+⎰若的一个原函数为则。

1
2032. lim sin
0 n n
n x dx x
→∞
=⎰。

3. lim 0 n n u →∞≠是数项级数发散的充分 条件。

25 124. 7100 x x y y y y C e C e --'''++==微分方程的通解为+。

2
1
4tan sec 2 20
00115. , sec x
x
I dx ydy I d dr x r
πθθθθ==⎰⎰⎰⎰设则在极坐标系下。

6. ln ,(,1) 3
y y
z x x z e π'==设则。

二、单项选择题(每小题3分，共18分)
1. ln(1), (1,1) ( ) 111
. . . 0 . ()
2
x
z dz D y dx dy A B C D dx dy x y y x y y =+=---++若则在点处。

2
2. ()cot 2 ln(sin 2) , ( ) 3
4323 . . . .
3234f x k x x k A A B C D ==若的一个原函数是则。

22 11
1
1
3. :1, 0, ,
, ( ) . () . 2() . 2() . ()D
D x y y I f dxdy D I A A rf r dr B rf r dr C f r dr D f r dr
ππππ+≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰设平面区域且的被积函数在上连续则在极坐标系下。

1
222222224. ln ln ( ) . ln ln 0 . ln ln 1 . ln ln . ln ln 1
x y xdx x ydy y
C A x y B x y C x y
D x y ==+=+==-=微分方程满足的特解是。

225. ,cos ,sin ,
( ) 11
. 2sin 2 . sin 2 . 2sin 2 . sin 222
z
z uv u x y v x y A x
A x y
B x y
C x y
D x y
∂====∂设则。

2
6. (1)sin , ( ) . . . . n n C n A B C D ∞
=-∑已知级数则其属于级数。

绝对收敛发散条件收敛无法确定
三、计算题(每题7分，共35分)
222 2221. , (,) , x y z z xyz z z x y a b c x
∂++==∂已知求偏导数。

22222222222222
22 (,,) , 2(2) 2(2)x z x z x y z x z
F x y z xyz F yz F xy
a b c a c
x yz F z c x a yz a z x F a c xy z xy c ''=++-=-=--'∂-=-=-='∂--解：令
232. 413
dx x x ++⎰求不定积分。

2222
31112
33(2)3arctan 413(44)9(2)333
2
arctan 3
x dx dx d x C x x x x x x C
+==+=⋅+++++++++=+⎰
⎰⎰解： 2
2()113. [()] , (0)0 , () 122
f x dx f x c f f x =+=-⎰
设且求。

222
()1
,
()()12
22111 () ()2ln ln 112111112
(0)ln10 ()ln ln 3
2112
f x x f x f x x x x
f x f x dx C C x x x x
f C C f '=⋅-++'===⨯+=+----+=+====-⎰解：等式两端分别对求导得 从而有 2
1
1
20
4. y x
I dx x e dy -=⎰⎰求二重积分。

2
2
22
1
1
1
112232200000
11111
0000011 ()()
3611111 ()[][()]
666611112
[()(1)](1)
66y
y y y y x u u u u u I dx x e dy dy x e dx y e dy y e d y ue du ud e ue e du e e
e e e
---------====--===-=--=---=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：
21
15. (1)
5n
n n x n
∞
-=-∑求幂级数的收敛域。

22
1
1 1
11
1
11
1
21 1
, (1)
(1)551
(1)11
15 (1) , (1) lim lim
lim 1155(1)(1)5(1)
1 1 , (1)
(1)55n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n x t x t n n
a n n a a R n n a n n t t n n ∞
∞
--==--+→∞→∞→∞+∞
--===-=--+=-=-====+-+=--=-=∑∑∑解：令 111
11 1
1121
12
11
11 5111 1 , (1)
(1)(1) 555 (1) (1,1] , (1) (1,1]
55 [1,1n n n n n n n n n n n n n n n
t t n n n
t x t x n n x ∞
∞=∞
∞∞---===∞
∞
--==-=-=-=--∈--∈-∈-∑∑∑∑∑∑∑发散收敛的收敛区间为即的收敛区间为于是可得] 。

四、应用题 (每题10分，共20分)
21. ()4 5 ( ,: : ), ()202 , C Q Q Q Q C R R Q Q '=-+'=-已知某产品的边际成本函数为为产量单位百件；和的单位万元边际收益函数为求最大利润及其相应的产量。

22 12 0() ()()()(202)(45)152(5)(3) ()0, 5 , 3()
()22, (5)21080 , 5() ()()Q L Q L Q R Q C Q Q Q Q Q Q Q Q L Q Q Q L Q Q L Q L Q L Q dQ '''=-=---+=+-=-+'===-''''=-=-=-<='=⎰解：设为利润函数
则有令解得舍去故当百件时取得最大利润
223
0231
(152)153
1175
(5)15555()
33
Q Q Q dQ Q Q Q L =+-=+-=⨯+-⨯=⎰最大利润为万元
22 2. 1, 0, 0, 0 z x y x y x y z =++====求由曲面和四个平面所围成的立体体积。

1
11
22222300
0{ (,) 0 , 0 , 1 }11
(,)()()[(1)(1)]36
x D
D
D x y x y x y V f x y dxdy x y dxdy dx x y dy x x x dx -=≥≥+≤==+=+=-+-=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰解：
五、证明题 (每题9分，共9分)
1
1. ()0[,] ()0(,)()
x x
a
b
f x a b f t dt dt a b f t >+=⎰⎰
设在闭区间上连续。

试证：方程在内有且仅有一个实数根。

111()(), ()[()]()()()()
x
x
x x a b
a b F x f t dt dt F x f t dt dt f x f t f t f x ''=+=+=+
⎰⎰
⎰⎰证：设则
()0 ([,]) , ()0 , ()[,]1
1 ()()00
()
()1
()()()00
()
()(,), a
a b a b a b
b
b a
b
a f x x a
b F x F x a b F a f t dt dt dt f t f t F b f t dt dt f t dt f t F x a b x '>∈>=+=-<=+=+>⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰由于故即在上单调增加可知在内与轴仅有一个交点即命题成立。