2018届高考数学一轮复习配餐作业57抛物线(含解析)理
专题9-7抛物线(讲)-2018年高考数学(理)一轮复习讲练测Word版含解析
2018年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第九章解析几何第七节抛物线【考纲解读】【知识清单】1.抛物线的标准方程及几何性质对点练习：【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=DE|=则C的焦点到准线的距离为（）(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B2.抛物线的定义及应用平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．对点练习：【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的右支与焦点为F的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =± 【解析】3. 直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=12||y y -=对点练习：【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多. 选择题或填空题与椭圆、双曲线综合趋势较强，解答题增多.【重点难点突破】考点1 抛物线的标准方程及几何性质【1-1】已知P 是抛物线2y x =上任意一点，则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是( )A ．2B ．1C ．21D ．41 【答案】C【解析】当直线b x y +-=与抛物线相切于P 点时，到直线02=++y x 的距离最小，把b x y +-=代入2x y =得02=-+b x x ，由于相切041=-=∆∴b 得41-=b ，因此⎪⎭⎫⎝⎛-41,21P ，此点到准线41-=y 的距离为21. 【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于54，则抛物线的方程为( ) A ．y 2=4x B ．y 2=8x C ．x 2=4y D ．x 2=8y 【答案】B【1-3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为( ). A ．12B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】圆07622=--+x y x 化为16)3(22=+-y x ，)0(2>-=p px 与圆16)3(22=+-y x 相切，12-=-∴p，即2=p . 【综合点评】1. 在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p ，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2. 标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 【领悟技法】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【触类旁通】【变式一】如图，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2【答案】C【解析】如图，∵|BC|＝2|BF|，∴由抛物线的定义可知∠BCD＝30°，|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6．即F为AC的中点，∴p＝|FF′|＝12|EA|＝32，故抛物线方程为y2＝3x．【变式二】【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A （﹣1，0），过P 作PN 垂直直线x=﹣1于N ，由抛物线的定义可知PF=PN ，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN 最大，即∠PAF 最大，就是直线PA 的斜率最大， 设在PA 的方程为：y=k （x+1），所以，解得：k 2x 2+（2k 2﹣4）x+k 2=0，所以△=（2k 2﹣4）2﹣4k 4=0，解得k=±1， 所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B ．【综合点评】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素． 2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解. 考点2 抛物线的定义及应用【2-1】过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ）A ．8B ．10C ．6D ．4 【答案】A【解析】由于42=p ，因此2=p ，根据焦点弦公式82621=+=++=p x x AB .【2-2】【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x =【2-3】【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。
2018届高三数学理一轮复习课后作业第8章 第7节 抛物线
课时作业 A 组 基础对点练1．(2017·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C. 答案：C2．(2017·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12 C.32D ．52解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：C3．(2017·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C. 答案：C4．(2017·河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53 B ．75 C.97D ．2解析：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E .∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎨⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53. 答案：A5．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．25－1 B ．25－2 C.17－1D ．17－2解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C6．(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________. 解析：设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233，设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43. 答案：437．(2017·云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为__________． 解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴|4－p2|＝2，解得p ＝12或4. 答案：12或48.(2017·兰州、张掖联考)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D (图略)，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x9．已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p . (1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A 、B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程． 解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，依题意直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)， 所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋(－m )2＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±33.(2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ，联立⎩⎨⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py －4p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2， 所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p ，因为△WAB 的面积为8，所以12p ×16p ＝8，得p ＝1， 所以抛物线的方程为y 2＝4x .10．(2017·合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，半径为|OA |2＝52，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.(2)记A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )．则OB →＝(x 2，x 222p )，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 212p )．由OB →·AB →＝0知，x 2(x 2－x 1)＋x 22(x 22－x 21)4p 2＝0. ∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2，∴x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2.∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2，当且仅当x 22＝16p4x 22，即x 22＝4p 2时取等号． 又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p2(x 41＋4p 2·x 21)，注意到x 21≥16p 2， ∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24，∴S ≥20πp 2，即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 22＝4p 2时取得．B 组 能力提速练1．(2017·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝(1＋m 2)(16m 2－32)，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.2.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝1－2k k 2，y B ＝1－k k ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ， ∴k BQ ＝k1－2k，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2kk 2＋1，y B ＝1－k 2k 2＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1， ∴k AQ ＝－1k ，∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0， ∴k 1－2k－1k ＝0，解得k ＝－1±2， 由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1， ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1，使得QP 平分∠AQB .。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9 平面解析几何 第57练 Word版含解析
1221则直线l2的方程为________________．2．过点P(1,2)作直线l，若点A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程是________________．3．(2016·如东高级中学期中)已知直线l过直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与直线x－3y＋2＝0垂直，则直线l的方程为______________．4．过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程是________________．5．光线沿直线y＝2x＋1的方向射到直线y＝x上被反射后光线所在的直线方程是________________．6．(2016·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合，则直线l与直线l1的距离是________．7．已知点P(a，b)，Q(b，a)(a，b∈R)关于直线l对称，则直线l的方程为________________．8．(2016·常州模拟)在△ABC中，点A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为____________．9．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为____________．10．(2016·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y 轴上的截距之和的最小值为________．11．(2016·苏州模拟)已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是______________________．12．在直线方程y＝kx＋b中，当x∈－3,4]时，恰好y∈－8,13]，则此直线方程为__________________．13．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为__________________．14．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________________．(2)若a＞－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最小值时，直线l对应的方程为________________．答案精析1．3x ＋4y －3＝02．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝03．3x ＋y ＋2＝0 4.2x ＋y －4＝05．y ＝x 2－12解析 在直线y ＝2x ＋1上取点(0,1)，(1,3)，关于直线y ＝x 的对称点(1,0)，(3,1)，过这两点的直线为y －01－0＝x －13－1，即y ＝x 2－12. 6.115解析 设直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，依题意可得l 1：a (x －3)＋b (y －5)＋c ＝0，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位得直线l ：a (x －4)＋b (y －3)＋c ＝0，故a ＝－34b ，则直线l 与直线l 1的距离d ＝|－3a －5b ＋c ＋4a ＋3b －c |a 2＋b 2＝|a －2b |a 2＋b 2＝|－34b －2b |(－34b )2＋b 2＝115. 7．x －y ＝0 解析 由题意知，k PQ ＝－1，故直线l 的斜率k ＝1，又直线l 过线段PQ 的中点M (a ＋b 2，a ＋b2)，故直线l 的方程为y －a ＋b 2＝x －a ＋b 2，即x －y ＝0.8．(－1,0)或(53，8)解析 设点C 到直线AB 的距离为h ，由题意知AB ＝(－1－3)2＋(5－2)2＝5，∴S △ABC ＝12AB ·h ＝52h ＝10，∴h ＝4，即点C 到直线AB 的距离为4.易求得直线AB 的方程为3x ＋4y －17＝0.设点C 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 0－y 0＋3＝0，|3x 0＋4y 0－17|5＝4，解得⎩⎨⎧ x 0＝－1，y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53，y 0＝8，即点C 的坐标为(－1,0)或(53，8)．9.12|ab |解析 令x ＝0，得y ＝1b ，令y ＝0，得x ＝1a ，S ＝12|1a ||1b |＝12|ab |.10．4解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.11．2x ＋y ＋1＝0解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知，点P 1(a 1，b 1)的坐标满足2x ＋y ＋1＝0.∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知，点P 2(a 2，b 2)的坐标也满足2x ＋y ＋1＝0.∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0. 12．3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0解析 方程y ＝kx ＋b ，即一次函数y ＝kx ＋b ，由一次函数单调性可知：当k ＞0时，函数为增函数，∴⎩⎨⎧ －3k ＋b ＝－8，4k ＋b ＝13，解得⎩⎨⎧ k ＝3，b ＝1.当k ＜0时，函数为减函数，∴⎩⎨⎧ 4k ＋b ＝－8，－3k ＋b ＝13，解得⎩⎨⎧ k ＝－3，b ＝4.∴此直线方程为3x －y ＋1＝0或3x ＋y －4＝0.13．3x －2y ＋5＝014．(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0(2)x ＋y －2＝0解析 (1)当直线l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a ＋2＝0，解得a ＝－2. 此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M (2＋aa ＋1，0)，N (0,2＋a )，因为a ＞－1，所以S △OMN ＝12×2＋aa ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12(a＋1)＋1a＋1＋2]≥122(a＋1)·1a＋1＋2]＝2.当且仅当a＋1＝1a＋1，即a＝0时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0.。
人教版2018最新高中数学高考总复习抛物线习题及详解Word版
高中数学高考总复习抛物线习题 ( 附参照答案 ) 一、选择题1． (2010 湖·北黄冈 )若抛物线 2 x2 y2y ＝ 2px 的焦点与椭圆＋＝1 的右焦点重合，则 p 的值6 2为()A．－ 2 B ． 2C．－ 4 D ．4[答案 ] D[分析 ] 椭圆中， a 2＝ 6，b2＝ 2，∴ c＝ a2－ b2＝ 2，p∴右焦点 (2,0)，由题意知2＝ 2，∴ p＝ 4.2．已知点 M 是抛物线 y2＝ 2px(p>0)上的一点， F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与 y 轴的关系是 ( )A ．订交B ．相切C．相离 D ．以上三种情况都有可能[答案 ] B[分析 ] 如图，由 MF 的中点 A 作准线 l 的垂线 AE ，交直线 l 于点 E，交 y 轴于点 B；由点 M 作准线 l 的垂线 MD ，垂足为 D ，交 y 轴于点 C，则 MD＝MF ，ON＝OF，∴AB＝ OF ＋ CM＝ ON＋ CM2 2＝DM＝ MF，22∴这个圆与 y 轴相切．3．(2010 山·东文 )已知抛物线 y 2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A ． x＝ 1B ． x＝－ 1C．x＝ 2 D ．x＝－ 2[答案 ] B[分析 ] 设 A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则线段 AB 的中点 ( x1＋x2，y1＋ y2 y1＋ y2＝ 2，∵ A、2 2 )，∴ 2B 在抛物线 y 2＝ 2px 上，y 12＝ 2px 1 ①∴y 22＝ 2px 2 ②①－②得 y 12 －y 2 2＝ 2p( x 1－x 2 )，∴ k ＝ y 1－y 2 ＝ 2p ＝ p＝ 1，∴， p ＝2，∵ k ABABx 1－x 2 y 1＋y 2 2∴抛物线方程为 y 2＝4x ，∴准线方程为： x ＝－ 1，应选 B.x 2 － y 2＝ 1 的渐近线上一点 A 到双曲线的右焦点F 的距离等于 2，抛物线 y24．双曲线 9 4＝2px(p>0) 过点 A ，则该抛物线的方程为 ()A ． y 2＝ 9xB ． y 2＝4xC ．y 2＝4 13xD ．y 2＝2 13x1313[答案 ]C[分析 ]∵双曲线 x 2 y 2的渐近线方程为2－ ＝ 1y ＝ ± x ，F 点坐标为 ( 13，0)，设 A 点坐标9 43 222 2＝ 2? x ＝9，y ＝ ±62为( x ，y)，则 y ＝ ±13 ＋3x13 13 ，代入 y ＝ 2px3x ，由 |AF|＝ 2?x －得 p ＝ 2 13，所以抛物线方程为y 2＝ 4 131313 x ，所以选 C.5．已知点 P 是抛物线 2＝ 2x 上的一个动点， 则点 P 到点 (0,2)的距离与点 P 到该抛物线 y 准线的距离之和的最小值为()A. 17 B ． 329 C. 5D.2[答案 ] A[分析 ]记抛物线 y 2＝ 2x 的焦点为 F1， 0 ，准线是 l ，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F2的距离等于它到准线 l 的距离，所以要求点 P 到点 (0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离 之和的最小值，能够转变为求点P 到点 (0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，联合图形不难得悉相应的最小值就等于焦点 F 与点 (0,2)的距离，所以所求的最小值等于1 2＋ 22＝17，选 A.226．已知抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线， 垂足为 M ，若△ AMF 与△ AOF (此中 O 为坐标原点 ) 的面积之比为 3 1，则点 A 的坐标为 ()A ． (2,2 2)B ．(2，－ 2 2)C ．(2， ± 2)D ．(2， ±2 2)[答案 ]D[分析 ]如图，由题意可得， |OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝ |AM|，∵△ AMF与△AOF (其中 O 为坐标原点)的面积之比为3∶ 1，1∴ S△AMF ＝2× |AF|× |AM|× sin ∠ MAF＝ 3，S △AOF12× |OF|× |AF|× sin π－∠ MAF22∴ |AM |＝ 3，设 A y0 ， y 0，∴ y0 ＋ 1＝ 3，4 4y 02解得 y 0＝ ±2 2，∴ 4 ＝ 2，∴点 A 的坐标是 (2， ±22)，应选 D.7． (2010 河·北许昌调研 )过点 P(－ 3,1)且方向向量为 a ＝ (2，－ 5)的光芒经直线 y ＝－ 2反射后经过抛物线 y 2＝ mx ， (m ≠ 0)的焦点，则抛物线的方程为()A ． y 2＝－ 2xB ． y 2＝－ 3x2C ．y 2＝ 4xD ．y 2＝－ 4x[答案 ] D[分析 ]→设过 P(－ 3,1)，方向向量为 a ＝ (2，－ 5)的直线上任一点 Q(x ， y)，则 PQ ∥ a ，x ＋ 3 y －1∴ 2 ＝－5 ，∴ 5x ＋ 2y ＋ 13＝ 0，此直线对于直线 y ＝－ 2 对称的直线方程为 5x ＋ 2(－ 4－ y)＋ 13＝ 0，即 5x － 2y ＋ 5＝ 0，此直线过抛物线y 2＝ mx 的焦点 Fm，0 ，∴ m ＝－ 4，应选4D.8．已知 mn ≠ 0，则方程是 mx 2＋ ny 2＝1 与 mx ＋ ny 2＝0 在同一坐标系内的图形可能是( )[答案 ] A[分析 ]22＝1 2＝－ mC 、D ；∴若 mn>0，则 mx ＋ ny 应为椭圆， y n x 应张口向左，故清除mn<0，此时抛物线2m B ，选 A.y ＝－x 应张口向右，清除n9． (2010 山·东聊城模考 )已知 A 、 B 为抛物线 C ：y 2＝4x 上的不一样两点， F 为抛物线 C 的焦点，若 → →) FA ＝－ 4FB ，则直线 AB 的斜率为 (23 A ． ±B ． ±3234 C ．±D ．±43[答案 ] D[分析 ]→ → →→∵FA ＝－ 4FB ，∴ |FA|＝4|FB|，设 |BF|＝ t ，则 |AF |＝ 4t ，∴ |BM|＝ |AA 1|－ |BB 1|＝ |AF|－ |BF|＝3t ，又 |AB|＝ |AF|＋ |BF|＝ 5t ，∴ |AM |＝ 4t ，4 4∴ tan ∠ ABM ＝ ，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为 ± .3310．已知抛物线 C 的方程为 x 2＝1y ，过点 A(0，－ 4)和点 B(t,0)的直线与抛物线 C 没有2公共点，则实数 t 的取值范围是 ()A ． (－∞，－ 1)∪(1，＋∞ )B. －∞，－ 2 ∪222 ，＋∞C ．( －∞，－ 2 2)∪ (2 2，＋∞ )D ． (－∞，－ 2 2)∪ ( 2，＋∞ )[答案 ]B21 ①x ＝ y[分析 ]由题意知方程组2无实数解x ＋ y＝1 ②t － 4由②得 y ＝4x－ 4，代入①整理得，t24x ＝ 16，2x － ＋ 4＝0，∴2－ 32<0tt∴ t> 2或 t<－ 2，应选 B.22[评论 ]可用数形联合法求解，设过点A(0，－ 4)与抛物线21 x＝ y 相切的直线与抛物线2切点为 M(x 0， y 0)，则切线方程为 y －y 0＝4x 0(x － x 0)， ∵过 A 点，∴－ 4－ 2x 02＝ 4x 0(0－ x 0)，∴ x 0＝ ± 2，∴ y 0＝4，∴切线方程为 y －4＝ ±4 2x －8，令 y ＝ 0 得 x ＝ ± 2，即 t ＝± 2，2222由图形易知直线与抛物线无公共点时，t<－2 或 t> 2 .二、填空题11．已知点 A(2,0) 、B(4,0) ，动点 P 在抛物线 2→ →y ＝－ 4x 上运动，则 AP ·BP 获得最小值时的点 P 的坐标是 ______．[答案 ] (0,0)[分析 ]设 P－ y 2→y 2→y 2→ →y 24 ，y ，则 AP ＝ －－ 2，y ， BP ＝ －－ 4， y ， AP ·BP ＝ －－ 24 4424 5 2 － y2y ＋ 8≥ 8，当且仅当 y ＝0 时取等号，此时点 P 的坐标为 (0,0)．－4 ＋ y ＝ 16 ＋ y4212． (文 )(2010 泰·安市模拟 )如图，过抛物线 y 2＝ 2px(p>0) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l ，交抛物线于A 、B 两点，且 |FA|＝ 3，则抛物线的方程是 ________．[答案 ]y 2＝ 3x[分析 ] 设抛物线准线为 l ，作 AA 1⊥ l ，BB 1⊥ l ，FQ ⊥ l ，垂足分别为 A 1 、B 1、Q ，作 BM⊥AA 1 垂足为 M ，BM 交 FQ 于 N ，则由条件易知∠ ABM ＝ 30°，设 |BF |＝ t ，则 |NF|＝ t， |MA|2＝t ＋ 3，∵ |AM |＝ |QN|，∴ 3－ t ＋ 3＝ p － t，∴ p ＝ 3，∴抛物线方程为 y 2＝ 3x. 22 2 2(理 )(2010 泰·安质检 ) 如图，过抛物线 y 2＝ 2px(p>0)的焦点的直线 l 挨次交抛物线及其准线于点 A 、 B 、 C ，若 |BC|＝ 2|BF|，且 |AF|＝ 3，则抛物线的方程是 ________．[答案 ]y 2＝ 3x[分析 ] 解法 1：过 A 、 B 作准线垂线，垂足分别为A 1 ，B 1，则 |AA 1|＝ 3， |BB 1|＝ |BF|，∵ |BC|＝ 2|BF |，∴ |BC |＝2|BB 1|，∴ |AC|＝ 2|AA 1|＝ 2|AF |＝6，∴ |CF |＝ 3，∴ p ＝1 |CF |＝3，∴抛物线方程为y 2＝3x.22解法 2：由抛物线定义， |BF|等于 B 到准线的距离， 由|BC|＝ 2|BF|得∠ BCB 1＝30°，又 |AF| ＝3，进而 A p ＋ 3，3 3 在抛物线上，代入抛物线方程 3y 2＝ 2px ，解得 p ＝ .2 2 22评论：还能够由 |BC|＝ 2|BF|得出∠ BCB 1＝30°，进而求得 A 点的横坐标为1 p|OF|＋ |AF |＝223 或 p ，∴ p3 p 3＋ 3－ 2 ＋ ＝3－，∴ p ＝ .2 222213．已知 F 为抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A 、B 两点．设|FA|>|FB|，则 |FA|与 |FB|的比值等于 ________．[答案 ] 3＋ 2 2[分析 ] 分别由 A 和 B 向准线作垂线，垂足分别为 A 1， B 1，则由条件知，|AA 1|＋ |BB 1|＝ |AB|，12＋ 2|AA |＝4|AB|2 ，解得，|AA 1|－ |BB 1|＝2 |AB||BB 1|＝ 2－ 24 |AB|∴|AA 1 |＝3＋ 2 2，即|FA|＝ 3＋ 2 2.|BB 1 ||FB |14． (文 )若点 (3,1) 是抛物线 y 2＝ 2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则 p ＝ ________.[答案 ] 2[分析 ]设弦两头点 P 1(x 1， y 1)， P 2(x 2， y 2) ，y 12＝ 2px 1 y 1－ y2＝2p＝ 2，则，两式相减得， y 22＝ 2px 2x 1－ x 2 y 1＋ y 2∵ y 1＋ y 2＝ 2，∴ p ＝ 2.(理 )(2010 衡·水市模考 )设抛物线 x 2＝ 12y 的焦点为 F ，经过点 P(2,1) 的直线 l 与抛物线相交于 A 、B 两点，又知点 P 恰为 AB 的中点，则 |AF |＋ |BF|＝ ________.[答案 ] 8[分析 ]过 A 、 B 、 P 作准线的垂线 AA 1、 BB 1 与 PP 1，垂足 A 1、 B 1、 P 1，则 |AF|＋ |BF|＝ |AA 1|＋ |BB 1 |＝ 2|PP 1|＝ 2[1 － (－ 3)] ＝ 8.三、解答题2 23，抛物线15． (文 )若椭圆 C 1： x ＋y2＝ 1(0<b<2) 的离心率等于C 2： x 2＝ 2py(p>0)的焦4 b2点在椭圆 C 1 的极点上．(1)求抛物线 C 2 的方程；(2)若过 M(－ 1,0)的直线 l 与抛物线 C 2 交于 E 、 F 两点，又过 E 、 F 作抛物线 C 2 的切线l 1、 l 2，当 l 1⊥l 2 时，求直线 l 的方程．[分析 ](1)已知椭圆的长半轴长为a ＝ 2，半焦距 c ＝ 4－b 2，由离心率 e ＝ c＝24－b＝ 3得， b 2＝1.a 2 2∴椭圆的上极点为 (0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴ p ＝ 2，抛物线的方程为 x 2＝ 4y.(2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为 y ＝ k(x ＋ 1)，E(x 1， y 1)，F(x 2， y 2)，1 2 1 x ，∵ y ＝ x，∴ y ′ ＝4211∴切线 l 1， l 2 的斜率分别为 2x 1， 2x 2，1 1当 l 1⊥ l 2 时， x 1·x 2＝－ 1，即 x 1 ·x 2＝－ 4，2 2y ＝k x ＋1 由得： x 2－ 4kx － 4k ＝ 0，x 2＝ 4y由 ＝ (－ 4k)2－ 4×( － 4k)>0，解得 k<－ 1 或 k>0.又 x 1·x 2＝－ 4k ＝－ 4，得 k ＝ 1.∴直线 l 的方程为 x －y ＋ 1＝ 0.→→ →→→→(理 )在△ ABC 中， CA ⊥ CB， OA＝ (0，－ 2)，点 M 在 y 轴上且 AM ＝1 ＋ CD )，点 C( AB2在 x 轴上挪动．(1)求 B 点的轨迹 E 的方程；(2)过点 F 0，－1的直线 l 交轨迹 E→→4于 H、E 两点， (H 在 F、G 之间 )，若 FH＝1 HG ，2求直线 l 的方程．[分析 ] (1)设 B(x， y)， C(x0,0)， M(0， y0)，x0≠0，→→π∵ CA⊥ CB，∴∠ ACB＝，2∴2 y0＝－ 2x0·1，于是 x0 ＝ 2y0①－ x0→→→M 在 y 轴上且 AM＝1(AB＋ AC)，2所以 M 是 BC 的中点，可得x0＋ xx0＝－ x ②＝ 02 ，∴y0＝yy＋ 0 ③＝ y0 22把②③代入①，得y＝ x2(x≠ 0)，所以，点 B 的轨迹 E 的方程为 y＝ x2(x≠0)．(2)点 F 0，－1 ，设知足条件的直线l 方程为：41y＝ kx－4，H (x1， y1)， G(x2， y2)，1由 y＝ kx－4 消去 y 得， x2－ kx＋1＝ 0.y＝ x2 4 ＝k2－ 1>0? k2>1，→ 1 → 1 1∵FH＝2HG，即 x1，y1＋4 ＝2(x2 － x1， y2－ y1)，1 1∴x1＝2x2－2x1? 3x1＝ x2.1 2 3，∵ x1＋ x2＝ k， x1x2＝，∴ k＝±34故知足条件的直线有两条，方程为： 8x ＋ 4 3y ＋ 3＝ 0 和 8x － 4 3y － 3＝ 0.16． (文 )已知 P(x ， y)为平面上的动点且 x ≥0，若 P 到 y 轴的距离比到点 (1,0)的距离小1.(1)求点 P 的轨迹 C 的方程；(2)设过点 M(m,0)的直线交曲线 C 于 A 、 B 两点，问能否存在这样的实数m ，使得以线段 AB 为直径的圆恒过原点．[分析 ](1)由题意得：x － 12＋ y 2－ x ＝ 1，化简得： y 2＝ 4x (x ≥ 0)．∴点 P 的轨迹方程为 y 2＝ 4x( x ≥0) ．(2)设直线 AB 为 y ＝k(x －m)， A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)， y ＝k x －m由，得 ky 2－ 4y － 4km ＝ 0，y 2＝ 4x∴ y 1＋ y 2＝4k ， y 1·y 2＝－ 4m.∴ x 1·x 2＝ m 2，∵以线段 AB 为直径的圆恒过原点，∴ OA ⊥ OB ，∴ x 1·x 2＋ y 1·y 2＝ 0.即 m 2－ 4m ＝ 0? m ＝ 0 或 4.当 k 不存在时， m ＝ 0 或 4.∴存在 m ＝ 0 或 4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[评论 ](1)点 P 到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F(1,0)的距离与到定直线 l ：x ＝－ 1 的距离相等．∴ P 点轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线，∴ p ＝ 2，∴方程为 y 2＝ 4x.(理 )已知抛物线 y 2＝ 4x ，过点 (0，－ 2)的直线交抛物线于 A 、 B 两点， O 为坐标原点．→ →的方程． (1)若 OA ·OB ＝4，求直线 AB(2)若线段 AB 的垂直均分线交x 轴于点 (n,0)，求 n 的取值范围．[分析 ] (1)设直线 AB 的方程为 y ＝kx － 222 2(k ≠ 0)，代入 y ＝ 4x 中得， k x － (4k ＋ 4)x ＋4＝ 0①4k ＋4 4设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，则 x 1＋ x 2＝ k 2 ， x 1x 2＝ k 2.y 1y 2＝( kx 1－ 2) ·(kx 2 －2)＝ k 2x 1x 2－ 2k(x 1＋ x 2)＋ 4＝－8k .→ → 4 82∵ OA ·OB ＝ (x 1 ，y 1) ·(x 2， y 2)＝ x 1x 2＋y 1y 2＝ k 2－ k ＝4，∴ k ＋ 2k － 1＝ 0，解得 k ＝－ 1± 2. 又由方程①的鉴别式＝ (4k ＋ 4)2－ 16k 2＝32k ＋ 16>0 得 k>－ 1，∴ k ＝－ 1＋ 2，2∴直线 AB 的方程为 ( 2－ 1)x － y － 2＝ 0.(2)设线段 AB 的中点的坐标为 ( x 0， y 0)，则由 (1) 知 x 0＝ x 1＋x 2 ＝ 2k ＋ 22 k 2 ， y 0＝ kx 0－ 2＝2，k∴线段 AB 的垂直均分线的方程是2 ＝－ 1 x － 2k ＋ 2 y － k 2.k k2k ＋ 2 2 2令 y ＝ 0，得 n ＝ 2＋ k 2＝k 2＋ k ＋ 21 12 3＝ 2 k ＋ 2 ＋ 2.又由 k>－1且 k ≠ 0 得1<－ 2，或 1 >0，2k k∴ n>2 0＋12 2＋ 32＝ 2.∴ n 的取值范围为 (2，＋ ∞ )．2的焦点为 F ，过点 K(－ 1,0) 的直线 l 与 C 17． (文 )(2010 全·国Ⅰ )已知抛物线 C ： y ＝ 4x 订交于 A 、 B 两点，点 A 对于 x 轴的对称点为 D .(1)证明：点 F 在直线 BD 上；→ → 8，求△ BDK 的内切圆 M 的方程．(2)设 FA ·FB ＝9[分析 ] 设 A(x 1，y 1)， B( x 2， y 2)， D(x 1，－ y 1)， l 的方程为 x ＝my － 1(m ≠ 0) (1)将 x ＝ my － 1(m ≠0)代入 y 2＝ 4x 并整理得y 2－ 4my ＋ 4＝ 0，进而 y 1＋ y 2＝ 4m ， y 1y 2＝ 4① 直线 BD 的方程为 y － y 2＝y 2＋ y 1( x －x 2)x 2－ x 1即 y － y 2＝ 4 x －y 2 2－y 1 4y 2令 y ＝ 0，得 x ＝ y 14y 2＝ 1，所以点 F(1,0)在直线 BD 上．(2)由 (1) 知，x 1＋ x 2＝ (my 1－ 1)＋ (my 2－ 1)＝ 4m 2－2， x 1x 2＝( my 1－ 1)(my 2－ 1)＝ 1→→→ →因为 FA ＝ (x 1－ 1，y 1)，FB ＝ (x 2－ 1，y 2)，FA ·FB ＝ (x 1－ 1，y 1) ·(x 2－ 1，y 2)＝ x 1x 2－ (x 1＋ x 2)＋ 1＋ 4＝ 8－ 4m 2，故 8－4m 28 4＝ ，解得 m ＝ ± ，93直线 l 的方程为 3x ＋ 4y ＋ 3＝ 0,3x － 4y ＋ 3＝0. 进而 y － y ＝ ±24 4m － 4×4＝ ±7，21343故 y 2－ y 1＝ ±7因此直线 BD 的方程为 3x ＋ 7y － 3＝ 0,3x － 7y － 3＝0.因为 KF 为∠ BKD 的角均分线，故可设圆心M (t,0)，(－ 1<t<1) ，M(t,0)到直线 l 及 BD 的距离分别为 3|t＋ 1|， 3|t－ 1|，5 4由3|t＋1|＝3|t－1|得 t＝1或 t＝9( 舍去 )，故圆 M 的半径为 r＝3|t＋1|＝2，5 4 9 5 3所以圆 M 的方程为x－12＋ y2＝4.9 9(理 )(20102 2＝ 9上随意两个不一样的点，揭·阳市模考 )已知点 C(1,0)，点 A、B 是⊙ O：x ＋ y→ →且知足 AC·BC＝ 0，设 P 为弦 AB 的中点．(1)求点 P 的轨迹 T 的方程；(2)尝试究在轨迹 T 上能否存在这样的点：它到直线 x＝－ 1 的距离恰巧等于到点 C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明原因．[分析 ]→ → 1|AB|，(1)法一：连接 CP，由 AC·BC＝ 0 知， AC⊥ BC，∴ |CP |＝ |AP|＝ |BP |＝2由垂径定理知|OP|2＋ |AP|2＝ |OA|2，即 |OP|2＋ |CP |2＝9，222 2设点 P(x， y)，有 (x ＋ y ) ＋[( x－ 1) ＋ y ]＝ 9，法二：设 A(x1， y1) ，B(x2， y2)， P(x， y)，依据题意知，x12＋ y12＝ 9， x22＋ y22＝9,2x＝ x1＋ x2,2y＝ y1＋ y2，∴4x2＝ x12＋ 2x1x2＋ x22,4y2＝ y12＋2y1y2＋y22故 4x2＋ 4y2＝ (x12＋ y12)＋ (2x1x2＋ 2y1y2)＋ (x22＋ y22)＝18＋ 2(x1x2＋ y1y2)①→→又∵ AC·BC＝ 0，∴ (1 －x1，－ y1) ·(1－ x2，－ y2)＝ 0∴(1－ x1)× (1－ x2)＋ y1y2＝0，故 x1x2＋ y1y2＝ (x1＋x2)－ 1＝ 2x－ 1，代入①式得，4x2＋ 4y2＝18＋ 2(2x－ 1)，化简得， x2－ x＋ y2＝ 4.(2)依据抛物线的定义，到直线x＝－ 1 的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线 y2＝2px 上，此中p＝ 1，∴ p＝ 2，故抛物线方程为 y2＝ 4x，2y2＝ 4x得， x2＋ 3x－4＝ 0，由方程组x2－ x＋ y2＝ 4解得 x1＝ 1， x2＝－ 4，因为 x≥0，故取 x＝ 1，此时 y＝±2，故知足条件的点存在，其坐标为(1，－ 2) 和(1,2)．。
高考数学(理科)一轮复习抛物线学习型教学案附答案
高考数学（理科）一轮复习抛物线学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案53 抛物线导学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2pxy2＝－2pxx2＝2pyx2＝－2pyp的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点o对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下自我检测．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是A．1B．2c．4D．82．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为A．－2B．2c．－4D．43．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是A．y2＝－8xB．y2＝8xc．y2＝－4xD．y2＝4x4．已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2c．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|•|FP3|5．已知抛物线方程为y2＝2px，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B 分别作Am、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于m、N两点，那么∠mFN必是A．锐角B．直角c．钝角D．以上皆有可能探究点一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为A.14，－1B.14，1c．D．探究点二求抛物线的标准方程例2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点m到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；过点P．探究点三抛物线的几何性质例3 过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2；若直线Ao与抛物线的准线相交于点c，求证：Bc∥x轴．变式迁移3 已知AB是抛物线y2＝2px的焦点弦，F为抛物线的焦点，A，B．求证：x1x2＝p24；1|AF|＋1|BF|为定值．分类讨论思想的应用例过抛物线y2＝2px焦点F的直线交抛物线于A、B 两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设o为坐标原点，问：是否存在实数λ，使Ao→＝λoD→？多角度审题这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ.【答题模板】解假设存在实数λ，使Ao→＝λoD→.抛物线方程为y2＝2px，则Fp2，0，准线l：x＝－p2，当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，交点A、B坐标不妨设为：Ap2，p，Bp2，－p.∵BD⊥l，∴D－p2，－p，∴Ao→＝－p2，－p，oD→＝－p2，－p，∴存在λ＝1使Ao→＝λoD→.[4分]当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx－p2，设A，B，则D－p2，y2，x1＝y212p，x2＝y222p，由y＝kx－p2y2＝2px 得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝－p2y1，[8分]Ao→＝＝－y212p，－y1，oD→＝－p2，y2＝－p2，－p2y1，假设存在实数λ，使Ao→＝λoD→，则－y212p＝－p2λ－y1＝－p2y1λ，解得λ＝y21p2，∴存在实数λ＝y21p2，使Ao→＝λoD→.综上所述，存在实数λ，使Ao→＝λoD→.[12分]【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出Ao→和oD→的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．．关于抛物线的定义要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：已知过抛物线y2＝2px的焦点的直线交抛物线于A、B 两点，设A，B，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等．一、选择题．已知抛物线c：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与c交于A，B两点，则cos∠AFB等于A.45B.35c．－35D．－452．将两个顶点在抛物线y2＝2px上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A．n＝0B．n＝1c．n＝2D．n≥33．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是A．相离B．相交c．相切D．不确定4．已知点A，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是A.－14，1B．c.－14，－1D．5．设o为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若oA→•AF→＝－4，则点A的坐标为A．B．c．D．二、填空题6．设圆c位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域内，则圆c的半径能取到的最大值为________．7．已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为m，则|AB|＝________.8．设抛物线y2＝2px的焦点为F，点A．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．三、解答题9．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y ＝2x＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．已知抛物线c：x2＝8y.AB是抛物线c的动弦，且AB过F，分别以A、B为切点作轨迹c的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.11．已知定点F和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点c.求动点c的轨迹方程；过点F的直线l2交轨迹c于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→•RQ→的最小值．学案53 抛物线自主梳理．相等焦点准线自我检测．c2．B [因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.] 3．B 4.c 5.B课堂活动区例1 解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵6>2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P坐标为．变式迁移1 A [点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q 三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为14，－1.]例2 解题导引求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；待定系数法求抛物线方程时既要定位，又要定量．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解方法一设抛物线方程为x2＝－2py，则焦点为F0，－p2，准线方程为y＝p2.∵m在抛物线上，且|mF|＝5，∴m2＝6p，m2＋－3＋p22＝5，解得p＝4，m＝±26.∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.方法二如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py，则焦点F0，－p2，准线l：y＝p2，作mN⊥l，垂足为N.则|mN|＝|mF|＝5，而|mN|＝3＋p2，∴3＋p2＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝×，得m＝±26.变式迁移2 解双曲线方程化为x29－y216＝1，左顶点为，由题意设抛物线方程为y2＝－2px且－p2＝－3，∴p＝6.∴方程为y2＝－12x.由于P在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.例3 解题导引解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质为例)：①y1y2＝－p2，x1x2＝p24；②|AB|＝x1＋x2＋p.证明方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp2，0.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为、．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y＝kx－p2，由y＝kx－p2，y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.当k＝0时，方程只有一解，∴k≠0，由韦达定理，得y1y2＝－p2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为p2，p，p2，－p，∴y1y2＝－p2.综合两种情况，总有y1y2＝－p2.方法二由抛物线方程可得焦点Fp2，0，设直线AB的方程为x＝ky＋p2，并设A，B，则A、B坐标满足x＝ky＋p2，y2＝2px，消去x，可得y2＝2pky＋p2，整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2.直线Ac的方程为y＝y1x1x，∴点c坐标为－p2，－py12x1，yc＝－py12x1＝－p2y12px1.∵点A在抛物线上，∴y21＝2px1.又由知，y1y2＝－p2，∴yc＝y1y2•y1y21＝y2，∴Bc∥x轴．变式迁移3 证明∵y2＝2px的焦点Fp2，0，设直线方程为y＝kx－p2，由y＝kx－p2y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.∴y1y2＝－p2，x1x2＝y1y224p2＝p24，当k不存在时，直线方程为x＝p2，这时x1x2＝p24.因此，x1x2＝p24恒成立．1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24.又∵x1x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常数，所以1|AF|＋1|BF|为定值．课后练习区．D [方法一由y＝2x－4，y2＝4x，得x＝1，y＝－2或x＝4，y＝4.令B，A，又F，∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35.∴cos∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF|•|AF|＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二由方法一得A，B，F，∴FA→＝，FB→＝，∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.∴cos∠AFB＝FA→•FB→|FA→|•|FB→|＝3×0＋4×－25×2＝－45.]2．c [如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为，设A，则由抛物线定义，|AF|＝|AA1|，即m＋p2＝|AF|.又|AF|＝|AB|＝22pm，∴m＋p2＝22pm，整理，得m2－7pm＋p24＝0，①∴Δ＝2－4×p24＝48p2>0，∴方程①有两相异实根，记为m1，m2，且m1＋m2＝7p>0，m1•m2＝p24>0，∴m1>0，m2>0，∴n＝2.]3．c4．A [过P作Pk⊥l于k，则|PF|＝|Pk|，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|Pk|.∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|Pk|最小，此时P点的纵坐标为1，把y＝1代入y2＝－4x，得x ＝－14，即当P点的坐标为－14，1时，|PA|＋|PF|最小．] 5．B6.6－1解析如图所示，若圆c的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，设圆心的坐标为，则圆的方程为2＋y2＝2，与抛物线方程y2＝2x联立得x2＋x＋6a－9＝0，由判别式Δ＝2－4＝0，得a＝4－6，故此时半径为3－＝6－1.7．42解析由题意可设AB的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立得x2－4kx－4m＝0，线段AB中点坐标为，x1＋x2＝4k＝4，得k＝1.又∵y1＋y2＝k＋2m＝4，∴m＝0.从而直线AB：y＝x，|AB|＝2|om|＝42.8.324解析抛物线的焦点F的坐标为p2，0，线段FA的中点B的坐标为p4，1，代入抛物线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为24，1，故点B到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.9．解设直线和抛物线交于点A，B，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px，则y2＝2pxy＝2x＋1，消去y得，4x2－x＋1＝0，∴x1＋x2＝p－22，x1x2＝14，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝5•x1＋x22－4x1x2＝5•p－222－4×14＝15，则p24－p＝3，p2－4p－12＝0，解得p＝6，抛物线方程为y2＝12x.当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2＝－2px，仿不难求出p＝2，此时抛物线方程为y2＝－4x.综上可得，所求的抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.0．证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y＝kx＋2，A，B．由y＝kx＋2，y＝18x2，可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.抛物线方程为y＝18x2，求导得y′＝14x.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x1•14x2＝116x1•x2＝－1.所以AQ⊥BQ.1．解由题设点c到点F的距离等于它到l1的距离，所以点c的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x2＝4y.由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y得x2－4kx－4＝0.记P，Q，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为－2k，－1.RP→•RQ→＝x1＋2k，y1＋1•x2＋2k，y2＋1＝x1＋2kx2＋2k＋＝x1x2＋2k＋2k＋4k2＋4＝－4＋4k2k＋2k＋4k2＋4＝4k2＋1k2＋8，∵k2＋1k2≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．RP→•RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→•RQ→的最小值为16.。
高考数学一轮复习配餐作业58曲线与方程(含解析)理(2021年整理)
配餐作业（五十八) 曲线与方程（时间：40分钟）一、选择题1．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且｜PM｜＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0解析由题意知，M为PQ中点，设Q（x，y）,则P为(－2－x,4－y),代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0。
故选D。
答案D2．已知两定点A（－2,0)，B（1，0），如果动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则动点P的轨迹是（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析设P（x，y）,则x＋22＋y2＝2错误!，整理得x2＋y2－4x＝0，又D2＋E2－4F＝16〉0，所以动点P的轨迹是圆。
故选B。
答案B3．已知点F错误!，直线l：x＝－错误!，点B是l上的动点。
若过B作垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( ）A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析由已知得|MF|＝｜MB|。
由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线。
故选D。
答案D4．已知A（0,7），B（0，－7）,C（12,2），以C为一个焦点作过A，B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( ）A．y2－x248＝1(y≤－1) B．y2－错误!＝1C．y2－错误!＝－1 D．x2－错误!＝1解析由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB｜＝14，又｜AF｜＋|AC|＝｜BF|＋｜BC｜，∴|AF｜－|BF｜＝|BC｜－｜AC|＝2。
故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支。
∵c＝7，a＝1,∴b2＝48,∴点F的轨迹方程为y2－错误!＝1（y≤－1).故选A。
答案A5．经过抛物线y2＝2px焦点的弦的中点的轨迹是( )A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．直线解析设抛物线的焦点为F，坐标为错误!，弦AB中点坐标为(x，y)，且A(x1，y1)，B （x2，y2），由点差法得k AB＝错误!＝错误!＝k MF＝错误!化简得y2＝p错误!,故轨迹为抛物线。
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第8章 第7节 抛物线 Word版含解析
第七节抛物线[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合的思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716 B.1516C.78 D.0B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－1 16，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.]3．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1 B.y＝－2 C．x＝－1 D.x＝－2A[∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]4．(2017·西安质检)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝__________.22[抛物线的准线方程为x＝－p2，p>0，双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，所以－p2＝－2，p＝2 2.]5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9[设点M的横坐标为x0，则点M到准线x＝－1的距离为x0＋1，由抛物线的定义知x0＋1＝10，∴x0＝9，∴点M到y轴的距离为9.]抛物线的定义及应用，点A(x0，y0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1 B.2 C ．4D.8(2)(2017·广东汕头调研)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3 B.4 C ．5D.2＋1(1)A (2)A [(1)由y 2＝x ，知2p ＝1，即p ＝12， 因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线l 的方程为x ＝－14.设点A (x 0，y 0)到准线l 的距离为d ，则由抛物线的定义可知d ＝|AF |. 从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.(2)由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，所以N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.][规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出．[变式训练1] (2017·郑州调研)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4 FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D.2C [∵FP →＝4 FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3.根据抛物线定义可知|QF |＝|QQ ′|＝3.]抛物线的标准方程与几何性质方程是( )【导学号：01772323】A ．x 2＝112y B.x 2＝112y 或x 2＝－136y C ．x 2＝－136yD.x 2＝12y 或x 2＝－36y(2)(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2 B.4 C ．6D.8(1)D (2)B [(1)将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112. 当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136. ∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .(2)设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2， ∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.][规律方法] 1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2] (1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝6x B.y 2＝8x C ．y 2＝16xD.y 2＝15x2(2)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．(1)B (2)x ＝－2 [(1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |， 所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ， 所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)． 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5， 所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)， 又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.依题意，得p2＝2，于是抛物线的准线x ＝－2.]直线与抛物线的位置关系☞角度1 直线与抛物线的交点问题(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． [解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，2分故直线ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0,解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.5分(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ).8分 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点.12分[规律方法] 1.(1)本题求解的关键是求出点N ，H 的坐标．(2)第(2)问将直线MH 的方程与抛物线C 的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断．2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．☞角度2 与抛物线弦长或中点有关的问题(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.【导学号：01772324】(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．[解] (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，2分 ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .5分(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .6分由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.8分由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0).10分 故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2| ＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.12分[规律方法] 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法．3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[思想与方法]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．2．抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用．3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p . [易错与防范]1．认真区分四种形式的标准方程．(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．3．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切．。
高考数学一轮复习配餐作业57抛物线含解析理
配餐作业(五十七) 抛物线(时间：40分钟)一、选择题1．设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝－2 C ．x ＝－3D ．x ＝－4解析 因为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0在直线2x ＋3y －8＝0上，所以p ＝8，所以抛物线的准线方程为x＝－4，故选D 。
答案 D2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析 设P (x P ，y P )，由题可得抛线物焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1。
故选B 。
答案 B3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－14。
因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A 。
答案 A4．(2016·广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
配餐作业(五十七) 抛物线(时间：40分钟)一、选择题1．设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝－2 C ．x ＝－3D ．x ＝－4解析 因为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0在直线2x ＋3y －8＝0上，所以p ＝8，所以抛物线的准线方程为x ＝－4，故选D 。
答案 D2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析 设P (x P ，y P )，由题可得抛线物焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1。
故选B 。
答案 B3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－14。
因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A 。
答案 A4．(2016·广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10。
故选A 。
答案 A5．(2017·郑州模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2± 3B ．2＋ 3 C.3±1D.3－1解析 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)。
由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，又y 1≠y 2，所以y 1＝－y 2，所以|PQ |＝2|y 1|＝2，|y 1|＝1，所以|PF |＝12p ＋p2＝2，解得p ＝2±3。
故选A 。
答案 A6．(2016·大连二模)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点M (－1,2)。
若MA →·MB →＝0，则直线l 的斜率k ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，由题意可知直线l 的斜率存在，故可设直线l的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝k x －，消去y 得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16>0，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2x 1x 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－2k ＝2k 2＋4k －2k ＝4k y 1y 2＝－4∴MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－2)·(x 2＋1，y 2－2)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝1＋2k 2＋4k 2＋1－4－8k＋4＝4k 2＋4－8k k2＝0，∴4k 2＋4－8k ＝0，即k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1，故选C 。
答案 C7．(2016·郑州一中一联)顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________。
解析 将圆C 的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝3，圆心为(1，－2)。
由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)。
设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，解得p ＝1，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x 。
答案 y 2＝2x8．(2016·沈阳第一次质检)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________。
解析 令l 与y 轴交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，BF ＝2，所以AB ＝233。
设P (x 0，y 0)，则|x 0|＝233，代入x 2＝4y 中，则y 0＝13，故|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43。
答案 439．(2017·辽宁五校协作体模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于________。
解析 设|AF |＝m ，|BF |＝n ，则|BC |＝n ，|AD |＝m ，|AE |＝m －n ，|AF |＋|BF |＝m ＋n 。
在Rt △ABE 中，由于∠BAE ＝60°，所以cos60°＝m －n m ＋n ，解得m n ＝3，即|AF ||BF |的值等于3。
答案 310．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H 。
(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由。
解析 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t 。
又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p。
因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t 。
所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2。
(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点。
理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )。
代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点。
答案 (1)2 (2)没有，理由见解析11．(2016·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1。
(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M 。
求M 的横坐标的取值范围。
解析 (1)由题意可得，抛物线上的点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2。
(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1。
因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0，故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t。
又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t。
从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t 。
设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t －1，于是m ＝2t2t 2－1。
所以m <0或m >2。
经检验，m <0或m >2满足题意。
综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)。
答案 (1)2 (2)(－∞，0)∪(2，＋∞)(时间：20分钟)1．已知抛物线C ：y ＝x 2－2，过原点的动直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，P 是AB 的中点，设动点P (x ，y )，则4x －y 的最大值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析 设直线l 的方程为y ＝kx ，与抛物线C 的方程y ＝x 2－2联立，消去y ，得x 2－kx －2＝0。
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k ，所以x ＝k 2，y ＝k 22，所以4x －y ＝2k －k 22＝－12(k －2)2＋2。
故当k ＝2时，4x －y 取最大值2。
故选A 。
答案 A2．(2016·四川高考)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，易知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则由|PM |＝2|MF |，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p ＋t 22p 3，t 3，当t ＝0时，直线OM 的斜率k ＝0，当t ≠0时，直线OM 的斜率k ＝tp ＋t 22p ＝1p t ＋t2p，所以|k |＝1p |t |＋|t |2p≤12p |t |·|t |2p＝22，当且仅当p |t |＝|t |2p 时取等号，于是直线OM 的斜率的最大值为22，故选C 。
答案 C3．(2016·天津高考)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l 。