第3章效用论无差异曲线

y y
x, y
x
Y O
X ,Y
X
x
X
x
O
x
概率论
分布函数 F x , y 的性质 : 1 . F x , y 是关于变量 x 和 y 的不减函数 ; y 对任意固定的 y R x1 , y y 及 x1 , x2 R , 当 x1 x2 x2 , y 时 F x1 , y F x2 , y ; x1 O x2 x 对任意固定的 x R X ,Y 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2 X ,Y 时 F x , y1 F x , y2 ;
任意 x , y 有
一维连续型随机 变量X
F x
x
f t d t
F x, y
f u, v dudv
y x
x X的概率密度函数
则称 X ,Y 是连续型的二维随 机变量 , 函数 f x , y 称为二 维 随机变量 （X,Y )的联合密度函数 , 或联合概率密度.
标有的数字，写出(X,Y)的联合概率分布。
所以(X,Y)的联合概率分 布律为：
X
Y
1
0
1 3
2
1 3 1 3
2 1 1 P ( X 2, Y 1) , 3 2 3 2 1 1 P ( X 2, Y 2) , 3 2 3
1 2
概率论
例2： 10件产品中有3件一等品， 5件二等品，2件三等品。从 中任取4件，求其中一等品、二等品件数的二维概率分布。 解: 设 X 及Y 分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数，
概率论
P{X=1, Y=0} P ( AB ) P ( A) P ( AB ) =1/8 P{X=1, Y=1} P ( AB ) 1 8.
故联合分布律为：
X
Y
0
1
0 5 8 1 8
1 1 8 1 8
二、 二维离散型随机变量及其分布列
概率论
二维离散型随机变量
( X ,Y ) ( xi , y j ) , i , j 1, 2,
5 210
2
10 210 60 210 30 210
3
20 210 30 210
4
5 210
0 1 2
0 0
0
3
0
0
0
概率论
例3 设事件A，B满足P(A)=1/4,P(A|B)=1/2， P(B|A)=1/2.记X，Y分别为一次试验中A，B发生的次数， 求 (X ,Y) 的分布律 . 解 ( X, Y ) 可取值 (0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1) P(AB)=P(A)P(B|A)=1/8
2 则有联合概率函数： P X i ,Y j C 3 C 5 C 4 i j 4 i j
其中i= 0、1、2、3； j= 0、1、2、3、4； 2 i+j 4.
C
10
由此得(X,Y)的二维联合概率分布如下： X
Y
0 0 0
3 210 2 210
1 0
15 210 30 210
D
F ( x, y ) 4 . 在 f (x,y)的连续点 , f ( x, y ) xy
2
概率论
常见两种分布： 设A是xoy平面上的区域，其面积为 ( A) 1. 均匀分布： 若（X，Y）的联合概率密度为： 1 ( x, y) A f ( x , y ) ( A) 0 其他 则称(X,Y)服从A上的均匀分布。
类比
一维离散型随机变量
X x j , j 1, 2, y j ) pi j
非负性 规范性
pi j 0, pi j 1 i j
Y X y1 y2
12 22 1 2 11
分布列 X 和Y 的 联合分布列 可表示为 表格形式
, X n 的值由随机试
, X n 叫做 n 维随机向量
以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
概率论
3.1.2 二维随机变量的联合分布函数
定义1 设 X ,Y 是二维 随机变量, 如果对于任意实数
一维随机变量
X的分布函数
x , y , 二元 函数
F x, y P X x
概率论
2. 二维正态分布： 若(X,Y)的联合密度函数为：
f ( x, y) 1 2 1 2 ( x 1 )2 1 exp{ [ 2 2 2 2(1 ) 1 1 2 ( x 1 )( y 2 )
1 2

( y 2 )2

2 2
]}
Y y P X x ,Y y
F ( x ) P( X x ) x
称为二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数。
概率论
分布函数的函数值的几何解释
将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x , y 在点 x , y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x , y 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.
概率论
3.1.1 多维随机变量
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是 由一对r .v (两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是 由三个r .v (三个坐标)来确定的等 等.
概率论
一般地, 如果向量 X 1 , X 2 , 验结果而定，则称 X 1 , X 2 , 或 n维随机变量.
X ,Y
X
x
概率论
3 . F x , y F x 0, y , F x , y F x , y 0 .
4. 随机点 X ,Y 落在矩形域 [ x1 X x2 , y1 Y y2 ] 内的概率为 P x1 X x2 , y1 Y y2
f x x R
f ( x) 0
概率论
（X,Y）的联合概率密度的性质 :
1 . f x, y 0 ;
2. f x , y dxdy 1;

3 . 设 D 是 xOy 平面上的区域 , 则有 P X ,Y D
f x, y dxdy ;
F x2 , y2 F x2 , y1 F x1 , y2 F x1 , y1 y y2
x1
O
X ,Y
y1
x2
x
概率论
3.2 二维离散型随机变量
定义2 如果二维随机变量
X ,Y 全部可能取到的不相同
的值是有限对或可列无限多对, 则称 X ,Y 是离散型随机变量. 设二维离散型随机变量

. . . . . . . . . x , i j ( p i2 yij y pi1 xi x x . . . . . . . . .
…
p
21
… . . . ) y
… . . .
… . . .
！
概率论
3.3 二维连续型随机变量
定义3 对于二维随机变量
X ,Y 的分布函数 F x , y ,如果 存在非负的函数 f x , y , 使对于
解 ⑴ 由规范性知： 3 x 4 y 1 f ( x , y )dxdy C 0 e dx 0 e dy C ,
12
y x
∴ C=12;
0 du 0 12e ( 3 u 4v )dv , x 0, y 0; ⑵ F ( x , y ) f ( u, v )dudv 0, 其他, y (1 e 3x )(1 e 4 ) , x 0, y 0; F ( x, y ) 其他 . 0,
X Y
x1 x2 xi
y1 p11 p21 pi 1
y2 p12 p22 pi 2
yj p1 j p2 j pij
概率论
例1：一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2，无放
回取球两次，以X、Y 分别记第一次、第二次取得的球上
1 解 P ( X 1, Y 1) 0 0, 3 1 1 P ( X 1, Y 2) 1 , 3 3
概率论
2 . 0 F x, y 1 , 且 对任意固定的 y R , F , y 0 , 对任意固定的 x R , F x , 0 , F , 0 , F , 1 .
y y
x, y
x
Y O
概率论
第三章 二维随机变量及其概率 分布
二维随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量及其分布律
二维连续型随机变量
二维随机变量的边缘分布与条件分布
概率论
3.1 二维随机变量及其分布函数
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广.
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
y
x
y
x
三、二维连续型随机变量
二维随机变量(X,Y )的分布函数F(x,y)
概率论
若 f ( x, y ) 0 实数 x, y
,记
pk 0, k=1,2, … p 1 k
概率论
二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律具有性质
0 p 1 , i , j 1 , 2 , ij pij 1 i j