高三数学平面向量的基本性质与运算1
高三数学 平面向量的概念及运算 知识精讲 人教实验版(B)
高三数学 平面向量的概念及运算 知识精讲 人教实验版（B ）一. 教学内容：平面向量的概念及运算向量的概念、向量的线性运算、向量的分解和向量的坐标运算二. 课标要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
三. 命题走向本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较，出题量小。
以选择题、填空题考查本章的基本概念和性质，重点考查向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。
此类题难度不大，分值5~9分。
预测高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。
【教学过程】一. 基本知识要点回顾1. 向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |，即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
第01讲 平面向量的概念及线性运算(六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型突破·考法探究
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】若 = 7， = 4 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7]
B． 3，7
C． 3，11
D．(3，11)
【答案】C
【解析】由题意知 = 7， = 4，且 = | − |，
当, 同向时， 取得最小值， = | − | = ||| − ||| = |4 − 7| = 3；
【答案】C
【解析】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故
A错误．
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误．
对于C，若Ԧ = ，则,
，故C成立．
Ԧ 必定共线，故//
Ԧ
对于D，当Ԧ ≠ 时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与
Ԧ 可以为共线向量，故D错误．故选：C
后一个向量终点的向量．
即 + + ⋯ + − = ．
（2）||| − ||| ≤ | ± | ≤ || + ||，当且仅当, 至少有一个为时，向量不等式的等号成
立．
（3）特别地：||| − ||| ≤ | ± |或| ± | ≤ || + ||当且仅当, 至少有一个为时或者
与向量长度无关，两个向量方向相同
且长度相等，就是相等向量．
题型突破·考法探究
题型一：平面向量的基本概念
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．若||
Ԧ > ||，则Ԧ >
C．若Ԧ = ，则//
Ԧ
B．若||
Ԧ = ||，则Ԧ =
D．若Ԧ ≠ ，则与
高三数学平面向量考点解析
高三数学平面向量考点解析1、高中数学知识点总结平面向量的概念：平面向量是既有大小又有方向的量。
向量和数量是数学中讨论的两种量的形式，数量是实数。
2、平面向量的三种形式：（1）字母形式：用单独的小写字母带箭头或者用两个大写字母带箭头表示向量；（2）几何形式；用平面内的有向线段表示向量，零向量是一个点；（3）坐标形式：向量可以在坐标平面内用坐标表示，向量坐标等于它的终点坐标减去始点坐标。
3、平面向量的相关概念，（1）模（绝对值）：向量的大小或者向量的长度叫做向量的模，模是大于等于的实数。
模也叫作绝对值、大小、长度，这几个说法是一个意思。
（2）相等向量：方向相同、大小相等的向量叫做相等向量（或者叫相同向量），两个相等向量的x，y坐标对应相等。
（3）相反向量：方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。
一个向量加负号即变为其相反向量，在向量化简和运算中很常见、很重要。
（4）平行（共线）向量：平面内两个向量所在的直线平行或者重合，则说这两个向量平行（或者共线），用平行符号表示。
因为向量可以自由平移，所以对向量来讲平行和共线是一个意思。
两个非零向量平行时，必定方向相同或相反。
规定零向量和任意向量都平行，但不能说零向量和其它向量方向相同或相反。
（5）垂直向量：两向量所在的直线垂直（或者说夹角为90度），则说这两个向量为垂直向量，用垂直符号表示。
规定零向量和任意向量都垂直，但不能说夹角90度。
（6）零向量：大小为零（或者说模、绝对值、长度为零都是一个意思）的向量叫做零向量，规定零向量的方向是任意的，不能讨论零向量和其它向量方向的关系及夹角问题。
规定零向量和任意向量都平行且垂直。
（7）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。
一个向量除以自己的模得到和这个向量同方向的单位向量；单位向量乘以一个向量的模得到这个向量。
（8）位置向量：向量AB可以表示点B相对点A的位置，所以向量AB可以叫做点B关于点A的位置向量。
（9）方向向量：一个非零向量与一条直线平行，则这个向量叫做这条直线的平行向量。
考点10 平面向量(核心考点讲与练)-2023年高考数学核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③夹角：cosθ＝ ＝ .
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ · .
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3.（2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 ＋ ＋ ＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
(3)对于平面上的任一点O， ， 不共线，满足 ＝x ＋y (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同
高考数学平面向量及其综合运用 人教版
高考数学平面向量及其综合运用 人教版复习要点：Ⅰ、平面向量知识结构表Ⅱ、内容概述1、向量的概念向量有三种表示法：①有向线段，②a 或AB ，③坐标a ＝（x , y ）。
注意：共线向量与相等向量的联系与区别。
2、向量的运算加法、减法、数乘向量和向量的数量积。
如：11221212(,)(,)a b x y x y x x y y =⋅=+注意：几何运算与坐标运算 3、平面向量的定理及相关性质（1）两个非零向量平行的充要条件： a ∥b ⇔ a ＝λb (λ∈R)设a ＝(x1,y1),b ＝ (x2,y2) 则a ∥b ⇔ x1y2－x2y1＝0（2）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b ⇔ a·b ＝0 设a ＝(x1,y1),b ＝(x2,y2)则a ⊥b ⇔ x1·x2＋y1·y2＝0（3）平面向量基本定理：如果有e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使 a ＝λ1e1＋λ2e2.（4）三点共线定理：平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数α、β，使OC OB OA βα+=，其中α＋β＝1,O 为平面内的任一点。
4、 常用公式及结论a 、向量模的公式：设a ＝（x,y ）,则︱a ︱＝22y x +b 、两点间的距离公式：21P P ＝212212)()(y y x x -+- [P1(x1,y1),P2(x2,y2)]c 、线段的定比分点坐标公式：向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件定比分点公式平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用d 、中点坐标公式： 或)(21OB OA OM +=其中M （x0 ,y0）是线段AB 中点。
e 、两向量的夹角公式：cos θ＝222221212121y x y x y y x x ba ba +⋅++=⋅⋅其中0°≤θ≤180°,a＝(x1,y1),b ＝(x2,y2)f 、图形平移公式：若点P(x,y)按向量a ＝(h,k)平移至P '(x ',y '), 则g 、有关向量模的常用结论： ① aa a ⋅=2② 22222bb a a )b a (b a +⋅±=±=± ③ba b a ≤⋅,a b a b a b-≤±≤+④222||||2||2||a b a b a b ++-=+ 范例及其点评（一）平面向量学科内综合运用深刻理解平面向量的相关概念与性质，熟练掌握向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。
数学平面向量的数量积与模长
数学平面向量的数量积与模长数学是一门系统性、抽象性很强的学科，其中，平面向量是数学中的重要内容之一。
在数学的学习过程中，学生需要掌握平面向量的基本性质和运算规则，以及数量积与模长的相关知识。
本教案将介绍平面向量的数量积与模长的相关概念和运算规则，帮助学生掌握相关知识，进一步提高他们的数学解题能力和逻辑思维能力。
一、平面向量的概念与性质1.1 平面向量的定义平面向量是由大小和方向共同确定的有向线段，通常用字母加箭头表示，如AB→。
1.2 平面向量的表示法平面向量可用坐标表示法、点表示法、分解表示法等形式进行表示。
1.3 平面向量的基本性质平面向量具有平移、方向相反、共线、比例等基本性质。
二、平面向量的数量积2.1 数量积的定义数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积的量的一种。
若两向量A→和B→的夹角为θ，则数量积的定义为A·B = |A| |B| cosθ。
2.2 数量积的性质数量积具有乘法交换律、数量积的线性性质、平行向量的数量积等性质。
三、平面向量的模长3.1 模长的定义平面向量的模长是该向量的长度，通常用竖线括起来表示，如|AB→|。
3.2 模长的计算公式若平面向量A→的坐标表示为A→(x, y)，则模长的计算公式为|A→| = √(x² + y²)。
3.3 模长的性质模长具有大于等于零、平行向量的模长相等等性质。
四、平面向量数量积与模长的关系4.1 平面向量数量积与模长的关系若平面向量A→和B→之间的夹角为θ，则数量积的计算公式可以表示为 A·B = |A→| |B→| cosθ。
4.2 平面向量数量积与模长的运算法则根据数量积的定义和模长的计算公式，可以得出平面向量数量积与模长的运算法则。
五、例题分析与解答5.1 例题分析通过分析具体的实例，帮助学生理解数量积与模长的运算规则和应用方法。
5.2 例题解答提供一些练习题，帮助学生巩固所学知识，培养解题能力。
高中数学的归纳平面向量的性质与运算法则
高中数学的归纳平面向量的性质与运算法则在高中数学中，学习平面向量是非常重要的一部分。
平面向量是指在平面上有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
本文将探讨归纳平面向量的性质与运算法则，涵盖向量相等、数量乘法、加法、减法等方面的内容。
1. 向量相等的性质向量的相等是指若两个向量的大小和方向完全相同，则这两个向量是相等的。
表示形式为：→AB = →CD。
在平面上，如果两个向量的起点和终点坐标分别相等，则这两个向量也是相等的。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
设有向量→v，实数k，则数量乘法的定义为：k→v。
数量乘法的性质包括：- 当k为正数时，向量的方向不变，向量的大小变为原来的k倍。
- 当k为负数时，向量的方向相反，向量的大小变为原来的|k|倍。
- 当k为0时，结果向量为零向量，即大小为0，方向任意。
3. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量→u 和→v，向量的加法定义为：→u + →v = →w。
向量的加法满足以下性质：- 交换律：→u + →v = →v+ →u。
- 结合律：(→u + →v) + →w = →u + (→v + →w)。
在平面上，可以通过平行四边形法则进行向量的加法运算。
即将两个向量的起点放在一起，然后按照平行四边形的形状画出两个向量，新的向量就是对角线。
4. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有向量→u和→v，向量的减法定义为：→u - →v = →w。
向量的减法可以转化为向量的加法，即：→u - →v = →u + (-→v)。
5. 向量的数量积向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个实数。
设有向量→u和→v，向量的数量积定义为：→u · →v = |→u||→v|cosθ，其中|→u|和|→v|分别表示向量的大小，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积具有以下性质：- 交换律：→u · →v = →v · →u。
高考数学一轮复习第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量的基本定理如果e 1，e 201不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a 02λ1e 1＋λ2e 2.2．平面向量的坐标表示03x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j 04(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a ＝(x ，y )，显然i 05(1,0)，j 06(0,1)，0＝07(0,0).3．平面向量的坐标运算 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b 08(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b 09(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa 10(λx 1，λy 1). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB →11(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|12 错误!. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )⇔13x 1y 2－x 2y 1＝0.1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． 2．当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x1x2＝y1y2等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．3．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.4．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x22，y1＋y22. 5．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33. 6．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点共线的充要条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，或(x 2－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 2－y 1)，或(x 3－x 1)(y 3－y 2)＝(x 3－x 2)(y 3－y 1)．1．已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,1)，则2a ＋b 等于( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)答案 D解析 2a ＋b ＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值是( ) A ．0 B ．±2 C ．2D ．－2答案 D解析 由题意可得a ∥b ，所以x 2＝4，解得x ＝－2或2，又因为a ，b 方向相反，所以x ＝－2.故选D.3．下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－34答案 B解析 两个不共线的非零向量构成一个基底，A 中向量e 1为零向量，C ，D 中两向量共线，B 中e 1≠0，e 2≠0，且e 1与e 2不共线．故选B.4．设向量a ＝(－1,2)，向量b 是与a 方向相同的单位向量，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55，255 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－15，25 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55，－255 答案 B解析 因为向量b 是与a 方向相同的单位向量，所以b ＝a|a|＝错误!(－1,2)＝错误!(－1,2)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－55，255.故选B. 5．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________.答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.6．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案 －12解析 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.考向一 平面向量基本定理的应用例1 (1)如图，点A ，B ，C ，P 均在正方形网格的格点上．若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋2μ＝( )A ．1B ．32C ．43D ．2答案 B解析 设在正方形网格上方向为水平向右，长度为一格的向量为i ，方向为竖直向上，长度为一格的向量为j ，∴AB→＝－2i ＋2j ，AC →＝4i ，AP →＝i ＋j ，∵AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，即i ＋j ＝λ(－2i ＋2j )＋μ×4i ，i ＋j ＝(4μ－2λ)i ＋2λj ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－2λ＝1，2λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝12，∴λ＋2μ＝32.故选B.(2) 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16a －16b ＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． (2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．1．(2020·北京市朝阳区一模)如图，在△ABC 中，点D ，E 满足BC→＝2BD→，CA →＝3CE →.若DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( )A ．－12B ．－13C.12 D ．13答案 B解析 △ABC 中，点D ，E 满足BC →＝2BD →，CA →＝3CE →.DE →＝DC →＋CE →＝12BC →＋13CA→＝12(AC →－AB →)－13AC →＝－12AB →＋16AC →，又DE →＝x AB →＋y AC →(x ，y ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝16，∴x ＋y ＝－12＋16＝－13.故选B.2．(2020·青岛市高三上学期期末)在△ABC 中，AB →＋AC →＝2AD →，AE →＋2DE →＝0，若EB→＝x AB →＋y AC →，则( ) A ．y ＝2x B ．y ＝－2x C ．x ＝2y D ．x ＝－2y答案 D解析 如图所示，∵AB→＋AC →＝2AD →，∴点D 为边BC 的中点．∵AE →＋2DE →＝0，∴AE →＝－2DE →，∴DE →＝－13AD →＝－16(AB →＋AC →)．又DB →＝12CB →＝12(AB →－AC →)，∴EB →＝DB →－DE →＝12(AB →－AC →)＋16(AB →＋AC →)＝23AB →－13AC →.又EB →＝x AB →＋y AC →，∴x ＝23，y ＝－13，即x ＝－2y .故选D.考向二 平面向量的坐标运算例2 (1)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于( ) A ．(3,1) B ．(4,2) C ．(5,3)D ．(4,3)答案 B解析 AC→＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1，1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC→＋BC →＝(4,2)．(2)(2020·辽宁省辽南协作校二模)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，83 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－83C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，43 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43答案 D解析 ∵a －2b ＋3c ＝0，∴c ＝－13(a －2b )＝－13(5＋4×2，－2＋2×3)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－133，－43.故选D. (3)(2020·天津和平区模拟) 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA→＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B ．85C ．2D ．83答案 B解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)．不妨设AB ＝1，则CD ＝AD＝2，∴C (2，0)，A (0，2)，B (1,2)，E (0，1)，∴CA→＝(－2,2)，CE →＝(－2,1)，DB →＝(1,2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.故选B.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．3.若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( )A ．c ＝12a ＋bB ．c ＝－12a －bC ．c ＝32a ＋12bD ．c ＝32a －12b答案 A解析设c ＝x a ＋y b ，易知⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝2x －y ，52＝x ＋2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.∴c ＝12a ＋b .故选A.4．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，OA →＝(2,4)，OB →＝(1,3)，若点E 满足OC→＝3EC →，则点E 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，－13C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23答案 A解析 解法一：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，则C (－1，－1)，设E (x ，y )，则3EC→＝3(－1－x ，－1－y )＝(－3－3x ，－3－3y )， 由OC →＝3EC →，知⎩⎪⎨⎪⎧－3－3x ＝－1，－3－3y ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－23，所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.解法二：易知OC→＝OB →－OA →＝(－1，－1)，由OC →＝3EC →得OC →＝3(OC →－OE →)，所以OE→＝23OC→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23，所以点E的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23，－23.考向三平面向量共线的坐标表示例3(1)(2020·山东省菏泽市一模)已知向量a，b满足a＝(1,2)，a＋b＝(1＋m,1)，若a∥b，则m＝()A．2 B．－2C．12D．－12答案 D解析b＝(a＋b)－a＝(1＋m,1)－(1,2)＝(m，－1)．因为a∥b，所以2m＋1＝0，解得m＝－12.故选D.(2)(2021·海口市海南中学高三月考)已知向量a＝(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y＝2x上的一个动点，若AB→∥a，则点B的坐标为________.答案(－3，－6)解析由题意，设B(x,2x)，则AB→＝(x－3,2x)，∵AB→∥a，∴x－3－2x＝0，解得x ＝－3，∴B(－3，－6)．利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．5.已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.答案(3,3)解析 解法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA→＝(4λ－4,4λ)． 又AC→＝OC →－OA →＝(－2,6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．解法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．6．(2020·长郡中学高三适应性考试)已知向量AC →＝(1，sin α－1)，BA →＝(3,1)，BD →＝(2，cos α)，若B ，C ，D 三点共线，则tan(2021π－α)＝________.答案 －2解析 ∵B ，C ，D 三点共线， ∴BD→＝x BC →＝x (BA →＋AC →)， 即(2，cos α)＝x (4，sin α)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝4x ，cosα＝xsinα，得x ＝12，即cos α＝12sin α，得tan α＝2，则tan(2021π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－2.一、单项选择题1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4) D ．(－3，－4)答案 A解析 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．(2021·山东聊城月考)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO→的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5答案 D解析 因为AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5，所以CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－5.3. 如图，在梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC→，且AE →＝r AB →＋s AD →，则2r ＋3s ＝( )A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C解析根据题图，由题意可得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝13AB→＋23⎝⎛⎭⎪⎪⎫AD→＋14AB→＝12AB→＋23AD→.因为AE→＝r AB→＋s AD→，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3.4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．5．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于()A．5 B．6C．7 D．8答案 B解析由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，据此有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，λm＝5，解得λ＝5，m ＝1，所以λ＋m ＝6.6．(2020·青岛模拟)已知向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则sin x ＝( )A.45B ．35C ．25D ．255答案 A解析 根据题意，向量a ＝(1＋cos x,2)，b ＝(sin x,1)，若a ∥b ，则2sin x ＝1＋cos x ，变形可得cos x ＝2sin x －1，又sin 2x ＋cos 2x ＝1，则有sin 2x ＋(2sin x －1)2＝1，变形可得，5sin 2x －4sin x ＝0，解得sin x ＝0或sin x ＝45，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则sin x ＝45.故选A.7. (2020·黑龙江省大庆一中三模)“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，△ABC 满足“勾3股4弦5”，且AB ＝3，E 为AD 上一点，BE ⊥AC .若BA→＝λBE →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．－925 B ．725C ．1625D ．1答案 B解析 由题意建立如图所示平面直角坐标系，因为AB ＝3，BC ＝4，则B (0,0)，A (0,3)，C (4,0)，BA→＝(0,3)，AC →＝(4，－3)，设BE →＝(a,3)，因为BE ⊥AC ，所以AC →·BE →＝4a －9＝0，解得a ＝94.由BA →＝λBE →＋μAC →，得(0,3)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94，3＋μ(4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧94λ＋4μ＝0，3λ－3μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1625，μ＝－925，所以λ＋μ＝725，故选B.8. 如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC ＝150°，点P 在弧BC 上运动，AP →＝λAB →＋μAC→，则3λ－μ的最小值是( )A ．0B ．3C ．2D ．－1答案 D解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (cos150°，sin150°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，设P (cos θ，sin θ)(0°≤θ≤150°)，因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以(cos θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，于是⎩⎪⎨⎪⎧λ－32μ＝cosθ，12μ＝sinθ，解得λ＝cos θ＋3sin θ，μ＝2sin θ，那么3λ－μ＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋60°)，因为0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，故sin(θ＋60°)≥－12，因此3λ－μ的最小值为－1.故选D.二、多项选择题9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A.AD →与AB →B ．DA →与BC → C.CA →与DC →D ．OD→与OB → 答案 AC解析 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底；对于B ，DA→与BC →为共线向量，不可作为基底；对于C ，CA →与DC→是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．10．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(m ＋1，m －2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是( )A ．－2B ．12C ．1D ．－1答案 ABD解析 各选项代入验证，若A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形．因为AB →＝OB →－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)．假设A ，B ，C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.所以只要m ≠1，则A ，B ，C 三点可构成三角形，故选ABD.11．(2021·广东湛江高三模拟)若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，则下列结论正确的是( ) A.AD →＝－12a －bB ．BE →＝a ＋12bC.CF →＝－12a ＋12bD ．EF →＝12a答案 ABC解析如图，在△ABC中，AD→＝AC→＋CD→＝－CA→＋12CB→＝－b－12a，故A正确；BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b，故B正确；AB→＝AC→＋CB→＝－b－a，CF→＝CA→＋12AB→＝b＋12×(－b－a)＝－12a＋12b，故C正确；EF→＝12CB→＝－12a，故D不正确．故选ABC.12. (2020·山东潍坊高三模拟)如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC 与线段AB交于圆内一点P，若AP→＝λAB→，OC→＝μOA→＋3μOB→，则()A．P为线段OC的中点时，μ＝1 2B．P为线段OC的中点时，μ＝1 3C．无论μ取何值，恒有λ＝3 4D．存在μ∈R，λ＝1 2答案AC解析OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋λAB→＝OA→＋λ(OB→－OA→)＝(1－λ)OA→＋λOB→，因为OP→与OC →共线，所以1－λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C 正确，D 错误；当P 为OC 的中点时，则OP →＝12OC →，则1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝12，故A 正确，B 错误．故选AC.三、填空题13．(2020·哈尔滨六中二模)已知向量a ＝(log 2x,1)，b ＝(log 23，－1)，若a ∥b ，则x ＝________.答案13解析 因为a ∥b ，所以－log 2x ＝log 23，所以log 2x ＋log 23＝0，所以log 2(3x )＝0，所以3x ＝1，所以x ＝13.14．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________.答案 (2,4)解析 因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， 所以(4－x,2－y )＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y )＝(2，－2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．15. 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析 以向量a 和b 的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1个单位，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，所以a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB→＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． 由c ＝λa ＋μb 可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.16．(2020·济南市高三上学期期末)平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的值为________. 答案 12解析 因为M 为CD 的中点，点N 满足BN→＝2NC →， 所以DM →＝12DC →，BN →＝23BC →. 又因为AB→＝λAM →＋μAN →， 所以AB→＝λ(AD →＋DM →)＋μ(AB →＋BN →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →＋12DC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC → ＝λAD →＋λ2DC →＋μAB →＋2μ3BC →.① 又因为在平行四边形ABCD 中，AB→＝DC →，AD →＝BC →， 所以①整理得，AB →＝λAD →＋λ2AB →＋μAB →＋2μ3AD →， 即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2－μAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ＋2μ3AD →. 又因为AB→，AD →不共线，由平面向量基本定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ2－μ＝0，λ＋2μ3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，μ＝32，所以λ＋μ＝12.。
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一边想着。想着想着，心就揪了起来——大概它们没能挺过来，饿死了，或者跑到另外的地方去了……我这样安慰自己。再仔细看了看身边这三只猫，又发觉它们应该是“一家”的，那奶牛一样黑白花色 的是孩子，大黑猫是父亲，白猫是母亲。从来不怎么喜欢猫的我，对这个“发现”甚为兴奋：瞧它们这一家三口，“小奶牛”娇嗲嗲的，一边叫一边朝我靠近；老黑猫的姿势还有些凶，时刻准备着与我 决斗；而白猫则躲在更远一些的地方观察着我的每一个动作甚至表情……它们的分工十分清楚和协调，完全是“一家人”的职能布局。这让我暗暗吃惊。
“嗷呜——” “嗷呜——”这是“小奶牛”的叫声，我感觉是在向我示好、示亲，它的“肢体语言”已经充分清楚地表达了它的乞求。 “我饿”“我饿”……那声音跟一个无助的婴儿的啼叫与哀求无异。
它，完全打动了我，打动了我内心最脆弱又在人类中容易产生的那份真切感情和可怜之心……
“嗷呜——”“嗷呜——”它在不断地叫着，而且一边叫，一边向我靠近。我心头越来越“紧”了，脚步也越走越快……就在以为把这只可怜的小猫终于甩掉的一刻，我的脚上突然被绊了一下，下意识 地又踢了出去。