平面向量基础知识
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
高中数学的向量知识
高中数学的平面向量知识向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），向量可以用a，b，c，.......表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。
我们为了研究这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。
这样，研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。
向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。
（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。
有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。
相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的）零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行，垂直。
模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
平面向量的坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。
而点的坐标是绝对的。
若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。
平面向量综合运用知识点
平面向量综合运用知识点一、知识概述《平面向量综合运用知识点》①基本定义：平面向量啊，就是在一个平面内既有大小又有方向的量。
这么说吧，就像你要描述一个人在操场上跑，只说跑多远不行，还得说往哪个方向跑，这就是向量的直观感觉。
大小就是向量的长度嘛，方向就是它指向哪儿。
②重要程度：在数学学科里特别重要。
很多几何问题、物理问题（像是力的合成啥的）都得靠它来解决。
要是没有平面向量，很多复杂的图形关系和物理真实现象都不好处理。
③前置知识：你得先知道基本的代数运算，像加减乘除这些。
还得了解一些几何的基本概念，比如点线面之类的，因为很多向量的问题都和几何图形有关。
④应用价值：实际应用那就太多了。
在建筑工程里，计算一些力的合成与分解就得用到向量。
比如说想知道一个斜着的梁受到的几个力合起来多大，往哪个方向，用向量就很容易。
还有在导航里，如果说一个飞机的速度是有方向有大小的向量，风的速度也是向量，那求飞机实际飞行方向和速度就得向量的知识。
二、知识体系①知识图谱：平面向量综合运用知识在数学里属于向量这一块内容。
它就像是各个向量知识的集大成者，用到向量的基本运算、向量与几何图形关系这些基础知识。
②关联知识：和三角学、解析几何联系很紧密。
比如向量的方向可以用三角函数表示，在解析几何里很多直线和曲线的关系可以转化成向量关系。
③重难点分析：- 掌握难度：说实话有点难。
因为它是综合运用，需要把好多知识点揉在一起。
- 关键点：要能清楚地把向量问题转化成可计算的形式，不管是用坐标表示也好，还是用几何关系推导也好。
④考点分析：- 在考试中的重要性：非常重要。
数学考试里常常会有和向量综合起来的题目。
- 考查方式：有选择题问向量关系的判断，填空题让你求向量的值，还有大题综合几何和向量让你证明或者求值。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 向量加法的平行四边形法则和三角形法则。
平行四边形法则就是把两个向量当成平行四边形的相邻两边，那它们的和向量就是这个平行四边形的对角线（同一起点）。
平面向量基础知识点总结
平面向量知识点总结基本知识回首：1. 向量的观点： 既有大小又有方向的量叫向量 , 有二个因素：大小、方向 .2. 向量的表示方法：uuur①用有向线段表示 -----AB ( 几何表示法 ) ；r r②用字母 a 、 b 等表示 ( 字母表示法 ) ；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与 x 轴、 y 轴方向同样的两个单位向量r ri 、 j 作为基底。
任作一个向量 a ，由平x 、 y ，使得 ar r面向量基本定理知，有且只有一对实数xi yj ， ( x, y) 叫做向量 a 的（直r轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，角）坐标，记作 a (x, y) ，此中 x 叫做 a 在 x rrr (0,0) rx 2y 2；若 A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，特别地， i(1,0) ， j(0,1) ， 0 。
a则 AB x 2x 1 , y 2 y 1 ， AB( x 2x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 23. 零向量、单位向量：①长度为 0 的向量叫零向量，记为 0 ；②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量. （注：a就是单位向量）| a |4. 平行向量：①方向同样或相反的非零向量叫平行向量；rr r r r r r ②我们规定 0 与任一直量平行 . 向量 a 、 b 、 c 平行，记作 a ∥ b ∥ c . 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 .0, ur与 rb 同向r ur rr r r方向 --- (ur r性质： a // b (b0)ab 是独一）r 0, b 与 a 反向长度 ---r| a |br ur r r x yx y 0 （此中rur ( x , y ) ）a //b (b0) 2a ( x , y ), b12111225. 相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向同样的向量叫相等向量.②垂直向量——两向量的夹角为2性质：raurbr ragbrurrura bx 1x 2 y 1 y 2 0（此中a ( x 1 , y 1 ),b ( x 2 , y 2 )）6. 向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
平面向量基础知识
平面向量一、平面向量的基本概念㈠、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母AB 表示.（AB 的大小──长度称为向量的模，记作|AB|. ）3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.4.向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.5、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.6、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：⑴综合①、②才是平行向量的完整定义；⑵向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.7、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：⑴向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 8、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）. 说明：⑴平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；⑵共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二、 向量的加法与减法1、位移问题：①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=②某人从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AB BC AC +=④船速为AB，水速为BC ，则船单位时间内的位移：AB BC AC +=2、向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
专题1 平面向量的基础知识
专题1 平面向量的基础知识知识点一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量. 知识点二 向量的几何表示 1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度叫做有向线段AB →的长度记作|AB →|. 2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(a ，b ，c ，书写时用a →， b →， c →). 3.模、零向量、单位向量向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. 知识点三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b . (2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量. 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【例1】（2022•开封开学）已知非零向量a 与b 共线，下列说法不正确的是( ) A ．a b =或a b =- B ．a 与b 平行C ．a 与b 方向相同或相反D ．存在实数λ，使得a b λ=【例2】（2022•象山区期末）如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个知识点四 向量加法的定义及其运算法则 1.三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.2.平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则【例3】化简：(1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 知识点五 向量的减法1.定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示.3.如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.4.若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.【例4】（2022•禅城区月考）下列各式中结果为零向量的是( ) A ．AB MB BO OM +++ B ．AB AD DC -- C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+-【例5】（2022•昌吉市期末）在四边形ABCD 中，若AB CD =-，且||||AB AD AB AD -=+，则四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形知识点六 向量数乘的定义1.实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反.特别地，当λ＝0时，λa ＝0. 当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .2.向量数乘的运算律1.(1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 特别地，(－λ)a ＝－λa ＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .【例6】（2022•金牛区期末）已知a ，b 是不共线的向量，OA a b λμ=+，32OB a b =-，23OC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数λ，μ满足( ) A ．1λμ=-B ．5λμ=+C ．5λμ=-D ．135μλ=-【例7】（2021•浙江）已知非零向量a ，b ，c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件知识点七 共线向量表示之对面的女孩看过来平面上O ，A ，B 三点不共线，D 在直线AB 上，且AD AB λ=,令a OA =，b OB =，x OD =，则有(1)x b a λλ=+-其表达意思就是从一个顶点O 引出三个向量，且它们共线，每一个向量a ，b 分别乘以它对面的比值，简称对面的女孩看过来．特殊点：当D 为AB 中点时，12=λ，1122x b a =+（中线定理）注意：【例8】（2018•新课标Ⅰ）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【例9】（2022•新高考Ⅰ）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m =，CD n =，则(CB =)A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +知识点八 两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a 和b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向.2.垂直：如果a 与b 的夹角是π2，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .知识点九 向量数量积的定义1.非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，2.投影向量：在平面内任取一点O ，作OM →＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量.设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→与e ，a ，θ之间的关系为OM 1→＝|a |cos θ e . 3.平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ，e 是与b 方向相同的单位向量.则(1)a ·e ＝e ·a ＝|a |·cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0. (3)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.(4)|a ·b |≤|a ||b |.知识点十 平面向量数量积的运算律1.a ·b ＝b ·a (交换律).2.(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律).3.(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). 【例10】（2022•乙卷）已知向量a ，b 满足||1a =，||3b =，|2|3a b -=，则(a b ⋅= ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2【例11】（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【例12】（2020•新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos a <，(a b +>= ) A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【例13】.（2022•上海）若平面向量||||||a b c λ===，且满足0a b ⋅=，2a c ⋅=，1b c ⋅=，则λ= ．知识点十一 平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.由于任何一个向量只能用同一组基底用一种形式表示，故我们可以通过设两个未知系数λ和μ，分别用两种不同形式来表达同一向量，最后通过同一基底必须时唯一的系数来列方程组，从而解出λ和μ. 【例14】在△OAB 的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使|OM |：|OA |=1△3，|ON |：|1:4OB |，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA a ，OB b ，用a ，b 表示向量OP ．【例15】（2022•重庆期末）在ABC ∆在中，点D 线段BC 上任意一点，点D 满足3AD AP =，若存在实数m 和n ，使得BP mAB nAC =+，则(m n += ) A ．23B ．13C ．13-D ．23-【例16】（2022•大理市校级月考）在ABC ∆中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的动点，若2AD DB =，3AE EC =，CDBE F =，AF mAB nAC =+，则(m n += )A ．16-B ．16 C ．56-D ．56【例17】（2022•濮阳开学）如图，在梯形ABCD 中，//AB DC 且2AB DC =，3BE EC =，2AF FD =，AE 与BF 交于点O ，则(AO = )A ．3477AB BC +B ．4377AB BC +C ．4355AB BC +D ．2377AB BC +【例18】（2022•潍坊月考）设||8,||5OA OB ==，且对任意t R ∈，均有||||OB OB tOA +，D 为线段AB 上一点，连接OD 并延长到P ，使||15OP =，若5()3PO xPB x PA =+-，则( )A ．ABO ∆为直角三角形B ．||10PD =C ．||6OD = D ．这样的D 点有2个知识点十二 平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).2.在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 知识点十三 平面向量加、减运算以及数乘的坐标表示 1.设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 向量加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) 向量减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.2.已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点十四 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线.可简记为：纵横交错积相减. 知识点十五 平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(1)若a ＝(x ，y )，则|a |若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则a ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |a |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)cos θ＝a·b|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.【例19】（2021•乙卷）已知向量(1,3)a =，(3,4)b =，若()a b b λ-⊥，则λ= ． 【例20】（2021•甲卷）已知向量(3,1)a =，(1,0)b =，c a kb =+．若a c ⊥，则k = ．【例21】（2021•北京）已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ；a b ⋅= ．【例22】（2020•江苏）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =．若3()(2PA mPB m PC m =+-为常数），则CD 的长度是 ．【例23】（2022•长汀县月考）已知ABC ∆中，2AB =，BC 在AB 方向上的投影为3，D 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则下列式子有确定值的是( )A ．AB BD ⋅ B ．BD AC ⋅ C ．CE AB ⋅D ．CE BD ⋅达标训练1.（2022•乙卷）已知向量(2,1)a =，(2,4)b =-，则||(a b -= ) A ．2B ．3C ．4D ．52．（2022•新高考Ⅱ）已知向量(3,4)a =，(1,0)b =，c a tb =+，若a <，c b >=<，c >，则(t = ) A ．6-B ．5-C ．5D ．63.（2019•新课标Ⅱ）已知(2,3)AB =，(3,)AC t =，||1BC =，则(AB BC ⋅= ) A ．3-B ．2-C ．2D ．34.（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos()P αβ+，sin())αβ+，(1,0)A ，则( )A ．12||||OP OP =B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅5.（2022•天津）在ABC ∆中，CA a =，CB b =，D 是AC 中点，2CB BE =，试用a ，b 表示DE 为 ，若AB DE ⊥，则ACB ∠的最大值为 ．6.（2021•新高考Ⅱ）已知向量0a b c ++=，||1a =，||||2b c ==，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= ．7.（2022•浙江）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A ⋯的边12A A 上，则222128PA PA PA ++⋯+的取值范围是 ．8.（2021•天津）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ，//DF AB 且交AC 于点F ，则|2|BE DF +的值为 1 ；()DE DF DA +⋅的最小值为 ．9.（2020•浙江）已知平面单位向量1e ，2e 满足12|2|2e e -．设12a e e =+，123b e e =+，向量a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值是 ．10．（2020•上海）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = ．11．（2020•上海）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1n n n n A A A A n +++⋅==，2，3)，112||||1(1n n n n A A A A n n +++⋅=+=，2，3)，则15||A A 的最小值为 ．12．（2019•浙江）已知正方形ABCD 的边长为1．当每个(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是 ，最大值是 ．13．（2019•天津）在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB =5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE = ．14．（2019•江苏）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 ． 15．（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为 ．16．（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD =，则点A 的横坐标为 ．17．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅，则点P 的横坐标的取值范围是 ．18.（2017•山东）已知1e ，2e 12e - 与12e e λ+的夹角为60︒，则实数λ的值是 ．19．（2017•天津）在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．20．（2017•北京）已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP 的最大值为 6 ． 21.（2022•广东月考）设a 与b 是两个不共线向量，关于向量a b λ+，(1)2a b λλ-+，(2)b a --，则下列结论中正确的是( )A ．当1λ>时，向量a b λ+，(1)2a b λλ-+不可能共线B ．当3λ>-时，向量a b λ+，(2)b a --可能出现共线情况C ．若0a b ⋅=，且,a b 为单位向量，则当3λ>-时，向量(1)2a b λλ-+，(2)b a --可能出现垂直情况D ．当2λ=时，向量()22a b b a λ---与平行22．（2022•龙凤区期末）如图，在等腰直角ABC ∆中，斜边||6BC =，且2DC BD =，点P 是线段AD 上任一点，则AP CP ⋅的可能取值是( )A ．1-B ．0C ．4D ．523.（2022春•甘肃期末）在ABC ∆中，M ，N 分别是线段AB ，AC 上的点，CM 与BN 交于P 点，若3177AP AB AC =+，则( ) A ．AM MB = B ．2AM MB = C ．3AN NC =D ．13AN NC =24.（2022•辽宁期末）在菱形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则( ) A ．3()2()AB AD AE AF +=+ B ．2ACBF DE +=C ．0AE AF DE BF ⋅+⋅=D ．AE DE AF BF ⋅=⋅。
平面向量与解三角形基础知识
04
平面向量与解三角形的结合应用
向量在解三角形中的应用
力的合成与分解
在物理和工程中，向量可以表示 力和速度，通过向量的合成与分 解可以解决与力相关的问题，如 力的平衡、加速度等。
速度和加速度分析
01 02
答案解析1
首先计算向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$的模长，然后利用向量的夹角公式计算 夹角。
答案解析2
利用向量的坐标运算求出边AB上的高所在的直线斜率，然后利用点斜 式求出直线方程。
03
答案解析3
利用向量的夹角公式计算夹角的余弦值。
平面向量与解三角形基础知识
目
CONTENCT
录
• 平面向量基本概念 • 平面向量的数量积和向量积 • 解三角形基础知识 • 平面向量与解三角形的结合应用 • 练习题与答案解析
01
平面向量基本概念
向量的表示与定义
总结词
平面向量通常用有向线段表示，包括 起点、方向和长度。
详细描述
平面向量是一种既有大小又有方向的 量，通常用有向线段表示，包括起点 、方向和长度。向量的大小称为模， 表示为向量的长度。
解三角形的步骤和注意事项
01
02
03
04
确定解的类型
根据题目条件和要求，确定解 的类型是角度、边长还是角度 和边长都需要求解。
选择合适的公式
根据解的类型，选择合适的公 式进行计算，如正弦定理、余 弦定理等。
计算过程需谨慎
在计算过程中，需要注意单位 的统一和计算的准确性，避免 出现误差。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的重要内容，也是大学数学中的基础知识，它是向量的一种。
向量是数学中的一个概念，它有方向和大小，用有向线段表示。
平面向量是指在平面中的向量，以下是平面向量的知识点归纳。
一、平面向量的定义平面向量是表示平面上有大小和方向的箭头的数学概念。
平面向量AB用符号→AB表示，它的长度表示向量大小，而方向则由方向角表示。
二、平面向量的加减法1. 平面向量的加法平面向量加法是指将一条平面向量按照另一条向量的方向和大小来平移，并合成为一条新的向量。
记作→AB+→BC=→AC。
向量加法满足交换律、结合律、分配律。
2. 平面向量的减法平面向量减法是将另一向量的方向翻转，依次相加，得到一个新向量。
记作→AB-→AC=→CB。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积是指两个向量之间相乘得到的标量。
记作→a⋅→b=a·b·cosθ，其中a、b是两个向量，θ是它们之间的夹角。
四、平面向量的叉积平面向量的叉积是在二维平面内的两个向量所形成的向量垂直于平面，大小等于两个向量所组成的平行四边形的面积。
记作→a×→b，其中a、b是两个向量。
五、平面向量的共线、垂直及夹角1. 平面向量的共线两个向量共线的充要条件是它们的数量积等于它们的模的乘积，即→a//→b，当且仅当a·b=|a||b|。
2. 平面向量的垂直两个向量垂直的充要条件是它们的数量积等于0，即→a⊥→b当且仅当a·b=0。
3. 平面向量的夹角两个向量的夹角是指它们之间的夹角，记作θ，其中θ的范围是0≤θ≤π。
六、平面向量的投影与单位向量1. 平面向量的投影平面向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，也是向量的一个重要应用。
投影的值等于向量的模与夹角的余弦的乘积。
记作pr→a。
2. 平面向量的单位向量单位向量是模等于1的向量，它表示的方向与原向量相同。
单位向量是向量的一种特殊情况，用符号→e表示。
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b a B A O a -b 平面向量基础知识
1．向量的概念
(1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．向量可用字母a ，b ，c ，…等表示，也可用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示(起点写在前面，终点写在后面，上面划箭头)如AB 表示由起点A 到终点B 方向的向量．
(2)向量的模：向量AB 的大小(即向量AB 的长度)叫做向量AB 的模，记作|AB |．又如向量a 的模记作|a |．
注意：向量的模是一个非负实数，是只有大小而没有方向的标量．
(3)零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念．
①零向量：长度(模)为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的方向可看作任意方向． ②单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行可记作：a //b ．因为平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量又叫做共线向量．我们规定0与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a =b ．相等向量一定共线，反之则不一定成立．
2．向量运算
(1)加法运算
①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法，如已知向量a ，b ，
作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b =AB
+BC =AC ．
这种根据向量加法的定义求向量和的方法，叫做向量加法的
三角形法则．
由图可知，以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作
平行四边形ABCD ，则以A 为起点C 为终点的对角线AC 就是a
与b 的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行
四边形法则．
②运算性质：
a +
b =b +a (交换律)； (a +b )+
c =a +(b +c )(结合律)； a +0=0+a =a ．
(2)减法运算
①相反向量：与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量．
记作a ．零向量的相反向量仍是零向量；-(-a )=a ；a +(-a )=0 (即互为相反的两个向量的和是零向量．)
②减法定义：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，即a b =a +(-b )．
求两个向量的减法可转化为加法进行．若向量是用两个大写字母，则只需把减向量起点字母与终点字母交换顺序，就可将减法变为加法，如AB -BC =AB +CB
如图，已知，在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则BA =a -b ．即a -b 可以表示为从向量b 的终点指向a 的终点的向量．此法则叫做两向量减
法的三角形法则． (3)实数与向量的积：
①定义：λa ，其中λ>0，λa 与a 同向，|λa |=|λ|⋅|a |； λ<0时，λa 与a 反方向，|λa |=|λ|⋅|a |；λ=0时，λa =0，当a =0，λa =0．
②运算律：
B A
C a +b a b B A C a +b a b
D a b
λ(μa )=(λμ)a ；(λ+μ)a =λa +μa ；λ(a +b )=λa +λb ．
3．重要定理、公式
(1)两个向量共线的充要条件
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：
有且只有一个实数λ，使得b =λa ．
(2)如果l 为经过已知点A 、B 的直线，那么对任一点O ，
点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 OP =OA +t AB ． (3)平面向量基本定理
如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2．
二、要点提示
1．与向量概念有关的问题
(1)向量不同于数量，数量是只有大小的量(标量)，而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小．
记号“a >b ”错了，而|a |>|b |才有意义．
(2)有些向量与起点有关，有些向量与起点无关．由于一切向量有其共性(大小和方向)，故我们只研究与起点无关的向量(即自由向量)．当遇到与起点有关的向量时，可平移向量．
(3)平行向量(即共线向量)不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件．
(4)零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数．
2．与向量运算有关的问题
(1)向量与向量相加，其和仍是一个向量．
①当两个向量a 和b 不共线时，a +b 的方向与a 、b 都不相同，且|a +b |<|a |+|b |；
②当两个向量a 和b 共线且同向时，a +b 的方向与a 、b 都相同，且|a +b |=|a |+|b |；
③当向量a 和b 反向时，若|a |>|b |，a +b 与a 方向相同，且|a +b |=|a |-|b |；
若|a |<|b |，a +b 与b 方向相同，且|a +b |=|b |-|a |．
(2)向量与向量相减，其差仍是一个向量，向量减法的实质是加法的逆运算．
(3)围成一周首尾相接的向量(有向线段表示)的和为零向量．
A
B P O l。