平面向量基础练习题
高中数学平面向量基础提高练习题含答案【选择填空精选50题难度分类】(最新)
高中数学 平面向量 选择填空题精选50道一、选择题（共36题）【基础题】1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨电流强度；⑩摩擦系数，其中不是向量的有（ ）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个2. 下列六个命题中正确的是 （ ）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若丨a 丨＝丨b 丨，则a ＝b ； ③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. A. ①②③ B. ④⑤ C. ④⑤⑥ D. ⑤⑥3． 以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量4． 已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ）AB →＝－BC → （B ）AC →＝21BC →（C ）BA →＝BC → （D ）BC →＝21AC → 5． 下列四式不能化简为AD →的是（）（A ）（AB →＋CD →）＋BC → （B ）（AD →＋MB →）＋（BC →＋CM →）（C ）MB →＋AD →－BM →（D ）OC →－OA →＋CD →6、已知向量等于则MN ON OM 21),1,5(),2,3(--=-=（ ） A ．)1,8(B ．)1,8(-C ．)21,4(-D ．)21,4(-7、已知向量),2,1(),1,3(-=-=则23--的坐标是（）A ．)1,7(B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-8. 与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k4) C.(-10,2) D.(5k,4k)9. 已知),1,(),3,1(-=-=x 且∥b ，则x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．31D ．31-10．已知→a ＝（)1,21，→b ＝(),2223-，下列各式正确的是（ ）（A ） 22⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行11. 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是（）（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形【中等难度】12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 313. 已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE ＝（ ）（A ） →b +→a 21 （B ） →b －→a 21 （C ） →a ＋→b 21 （D ） →a －→b 2114．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ） )(21→→-b a（B ）)(21→→-a b（C ） →a ＋→b 21 （D ）)(21→→+b a15. 设a ，b 为不共线向量， AB →＝a ＋2b ， BC →＝－4 a －b ，CD →＝－5 a －3 b ，则下列关系式中正确的是（ ）（A ）AD →＝BC → （B ）AD →＝2BC → （C ）AD →＝－BC → （D ）AD →＝－2BC →16. 设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数17. 在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足－2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于( ) A.49 B.43 C.43- D. 49-18． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a ＋3b 丨＝（ ）A ．7B ．10C ．13D ．419．已知| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，则| +b |等于（）。
向量基础练习题(含答案)
;
三点共线，
，解得 ，
, ， 。
故答案为 .
【点睛】
本题考查向量的线性运算和三点共线的综合应用,三点共线的运用是解题关键。
三点共线的判定方法：
(1)共线定理： ， ；
（2）平面内任意一点 ， ；
（3）平面内任意一点 ， ，其中
19．
【解析】
【分析】
由向量垂直的充分必要条件可得: ，据此确定x的值即可.
直接利用向量的线性运算求出结果．
【详解】
∵ 为 所在平面内一点， ，
∴B，C,D三点共线。若 ∴ ，
化为： = + ,与 =− + ，比较可得： ,解得 。
即答案为—3.
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．
22．
【解析】
【分析】
分别表示出 和 的坐标,而 ，根据 和 的坐标特点，求出 的值，得到答案。
根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得， ,解出向量 ．
【详解】
根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，
有 ．
故选 ．
【点睛】
本题考查向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平和分析推理能力。
9．C
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算将 用 表示，由此即可得到 的值，从而可求 的值.
【点睛】
本小题主要考查平面向量相等、共线等知识的理解,属于基础题。
3．B
【解析】
【分析】
逐一分析选项，得到答案。
【详解】
A。单位向量的方向任意,所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；
高中数学6.3《平面向量基本定理及坐标表示》基础过关练习题
第六章 6.3 6.3.2 6.3.3 6.3.4A 级——基础过关练1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7,6)C ．(5,0)D ．(11,8)【答案】D 【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)，所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 3．(2020年重庆月考)若向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，－1)，则与a ＋b 共线的向量是( ) A ．(－1,1) B ．(－3，－4) C ．(－4,3)D ．(2，－3)【答案】C 【解析】向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，－1)，则a ＋b ＝(4，－3)，所以与a ＋b 共线的向量是λ(4，－3)，其中λ∈R .当λ＝－1时，共线向量是(－4,3)．故选C ．4．(2020年宁波月考)已知A (－1,2)，B (2，－1)，若点C 满足AC →＋AB →＝0，则点C 坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，12B ．(－3,3)C ．(3，－3)D ．(－4,5)D 【解析】设C (x ，y )，由A (－1,2)，B (2，－1)，得AC →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，－3)．又AC →＋AB →＝0，∴AC →＝－AB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－3，y －2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5.∴点C 坐标为(－4,5)．故选D ．5．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A ．15B ．13C ．25D ．23【答案】C 【解析】如图所示，因为∠AOC ＝45°，所以设C (x ，－x )，则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3,0)，B (0,2)，所以λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ，－x ＝2－2λ⇒λ＝25.6．(2020年道里区校级期中)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称作“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB →＝a ，AD →＝b ，E 为BF 的中点，则AE →＝( )A ．45a ＋25bB ．25a ＋45bC ．43a ＋23bD ．23a ＋43b【答案】A 【解析】如图所示，建立直角坐标系．设AB ＝1，BE ＝x ，则AE ＝2x .∴x 2＋4x 2＝1，解得x ＝55.设∠BAE ＝θ，则sin θ＝55，cos θ＝255.∴x E ＝255cos θ＝45，y E ＝255sin θ＝25.设AE →＝mAB →＋nAD →，则⎝⎛⎭⎫45，25＝m (1,0)＋n (0,1)．∴m ＝45，n ＝25.∴AE →＝45a ＋25b .故选A ．7．(2020年苏州期末)已知A (2，－3)，B (8,3)，若AC →＝2CB →，则点C 的坐标为________． 【答案】(6,1) 【解析】设C (x ，y )，∵A (2，－3)，B (8,3)，AC →＝2CB →，∴(x －2，y ＋3)＝2(8－x,3－y )＝(16－2x,6－2y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝16－2x ，y ＋3＝6－2y ，解得x ＝6，y ＝1.∴点C 的坐标为(6,1)．8．(2020年广州模拟)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(m,1)．若向量(a －2b )∥b ，则m ＝________. 【答案】－32 【解析】∵向量a ＝(3，－2)，b ＝(m,1)，∴a －2b ＝(3－2m ，－4)．∵(a －2b )∥b ，∴－4m ＝3－2m .∴m ＝－32.9．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°. (1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23，y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．10．如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．解：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．连接OC ，则AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)．由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34.所以OP →＝34OB →＝(3,3)．所以点P 的坐标为(3,3)．B 级——能力提升练11．已知向量a ＝(1＋λ，2)，b ＝(3,4)，若a ∥b ，则实数λ＝( ) A ．－113B ．－52C ．12D ．53【答案】C 【解析】a ∥b ，∴4(1＋λ)＝6，即λ＝12.12．已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)【答案】B 【解析】∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)．易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)．故选B ．13．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)【答案】D 【解析】由题意，得4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则d ＝－4a －4b ＋2c －2(a －c )＝－6a －4b ＋4c ＝(－2，－6)．14．向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(1,2)，则|a|＝________；若向量a ，b 不能作为一组基底，则tan θ＝________.【答案】1 12【解析】∵a ＝(sin θ，cos θ)，∴|a |＝sin 2θ＋cos 2θ＝1.∵向量a ，b 不能作为一组基底，∴a ∥b ，则2sin θ－cos θ＝0，得tan θ＝12.15．设向量OA →绕点O 逆时针旋转π2得向量OB →，且2OA →＋OB →＝(7,9)，则向量OB →＝________.【答案】⎝⎛⎭⎫－115，235 【解析】设OA →＝(m ，n )，则OB →＝(－n ，m )，所以2OA →＋OB →＝(2m －n,2n ＋m )＝(7,9)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝7，m ＋2n ＝9，解得⎩⎨⎧m ＝235，n ＝115.因此，OB →＝⎝⎛⎭⎫－115，235. 16．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)及AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )． (1)λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)四边形ABCP 能成为平行四边形吗？若能，求出相应的λ的值；若不能，请说明理由．解：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)，AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)．∵AP →＝AB →＋λAC →，∴(x －2，y －3)＝(3,1)＋λ(5,7)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5λ＋5，y ＝7λ＋4，∴P (5λ＋5,7λ＋4)．(1)当点P 在第一、三象限的角平分线上时，由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝12.(2)AB →＝(3,1)，PC →＝(2－5λ，6－7λ)．若四边形ABCP 为平行四边形，需AB →＝PC →，于是⎩⎪⎨⎪⎧2－5λ＝3，6－7λ＝1.方程组无解，故四边形ABCP 不能成为平行四边形． 17．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a ，b 表示c.解：如图，以O 为原点，向量OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a |＝2，所以a ＝(2,0)．设b ＝(x 1，y 1)，所以x 1＝|b |·cos 150°＝1×⎝⎛⎭⎫－32＝－32，y 1＝|b |sin 150°＝1×12＝12 .所以b ＝⎝⎛⎭⎫－32，12 .同理可得c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－332 .设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，所以⎝⎛⎭⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝⎛⎭⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎫2λ1－32λ2，12λ2.所以⎩⎨⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝－3 3.所以c ＝－3a －33b.C 级——探索创新练18．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点．若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．【答案】32＋2 【解析】AB →＝OB →－OA →＝(2－a ，－2)，AC →＝OC →－OA →＝(b ＋2，－4)．由A ，B ，C 三点共线，得2(2－a )＝b ＋2，即2a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1.所以1a ＋1b ＝a ＋b 2a ＋a ＋b 2b ＝32＋b 2a ＋a b ≥32＋212＝32＋2，当且仅当b 2a ＝a b ，即a ＝12，b ＝22时等号成立，所以最小值为32＋ 2. 19．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示． (1)求证：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标． (1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)， ∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立． (2)解：f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)解：设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，∴y＝p,2y－x＝q，∴x＝2p－q，即向量c＝(2p－q，p)．。
高中数学6.4《平面向量的应用》基础过关练习题
第六章 6.4 6.4.1 6.4.2A 级——基础过关练1．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N【答案】B 【解析】|F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N.2．(2020年北京期末)已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c|等于( )A ．0B ．2C ．2D ．22【答案】C 【解析】如图，a ＋b ＝c ，则|a －b ＋c|＝|2a|.又|a|＝1，∴|a －b ＋c|＝2.故选C ．3．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点【答案】D 【解析】∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴(OA →－OC →)·OB →＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为三条高的交点．4．(2020年深圳期中)已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N【答案】A 【解析】由题意可知对应向量如图．由于α＝60°，∴F 2的大小为|F 合|·sin60°＝10×32＝5 3 N ．故选A ．5．已知直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，DC ＝1，AB ∥DC ，则当AC ⊥BC 时，AD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示．设AD ＝t (t ＞0)，则A (0,0)，C (1，t )，B (2,0)，则AC →＝(1，t )，BC →＝(－1，t )．由AC ⊥BC 知AC →·BC →＝－1＋t 2＝0，解得t ＝1，故AD ＝1.6．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J.【答案】1 5003 【解析】所做的功W ＝60×50×cos 30°＝1 5003(J)．7．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则y 与x 的函数关系式为________．【答案】y ＝－12x ＋2 【解析】OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，∴x ＋2y －4＝0，则y＝－12x ＋2.8．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．【答案】30 【解析】BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，又因为AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四边形ABCD 为矩形．又|AB →|＝42＋(－2)2＝25，|BC →|＝32＋62＝35，所以S ＝|AB→||BC →|＝25×35＝30.9．如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b|＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋4－2a·b ＝5－2a·b ＝2，所以5－2a·b ＝4.所以a·b ＝12.又|AC →|2＝|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋4＋2a·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝ 6.10．质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力|F|＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离(g 取9.8 N/kg)．(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？解：(1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示．拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F·s ＝|F|·|s |cos 0°＝20(J)．支持力F N 的方向与位移方向垂直，不做功，所以W N ＝F N ·s ＝0.重力G 对物体所做的功为W G ＝G·s ＝|G||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．B 级——能力提升练11．△ABC 中，若动点D 满足CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝0，则点D 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】A 【解析】取AB 的中点E ，则CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＋2AB →·CD →＝2CE →·BA →＋2AB →·CD →＝2AB →·(CD →－CE →)＝2AB →·ED →＝0，∴AB ⊥ED ，即点D 在AB 的垂直平分线上．∴点D 的轨迹一定通过△ABC 的外心．12．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，绳子的重量忽略不计，则A 处所受力的大小为( )A ．1202－50 6 NB ．1502－50 6 NC ．1203－50 2 ND ．1503－50 2 N【答案】B 【解析】如图，由已知条件可知AG 与垂直方向成45°角，BG 与垂直方向成60°角．设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°，则有|F a |·cos 45°＋|F b |cos 60°＝G ＝100①，且|F a |·sin 45°＝|F b |sin 60°②.由①②解得|F a |＝1502－50 6.故选B ．13．(2020年太原月考)在△ABC 中，若AD →＝13AB →＋12AC →，记S 1＝S △ABD ，S 2＝S △ACD ，S 3＝S △BCD ，则下列结论正确的是( )A ．S 3S 1＝23B ．S 2S 3＝12C ．S 2S 1＝23D ．S 1＋S 2S 3＝163【答案】C 【解析】如图，作AE →＝13AB →，AF →＝12AC →，则AD →＝AE →＋AF →，∴四边形AEDF是平行四边形．∴S △ADE ＝S △ADF .设△ABD 的边AB 上的高为h 1，△ACD 的边AC 上的高为h 2，则12|AE →|h 1＝12|AF →|h 2，∴13·⎝⎛⎭⎫12|AB →|h 1＝12·⎝⎛⎭⎫12|AC →|h 2.∴13S 1＝12S 2.∴S 2S 1＝1312＝23.故选C ．14．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2，6)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) 【解析】设P (x ，y )，OB →＝(4,4)，OP →＝(x ，y )，由于OB →∥OP →，所以x －y ＝0.AC →＝(－2,6)，AP →＝(x －4，y )，由于AP →∥AC →，所以6(x －4)＋2y ＝0.可得x ＝3，y ＝3，故P 的坐标是(3,3)．15．已知P ，Q 为△ABC 内的两点，且AQ →＝14AC →＋12AB →，AP →＝12AC →＋14AB →，则△APQ 的面积与△ABC 的面积之比为________．【答案】316 【解析】如图，根据题意，P ，Q 为△ABC 中位线DE ，DF 的中点，PQ ＝12EF ＝14BC ，而A 到PQ 的距离是到BC 距离的34，根据三角形的面积公式可知，S △APQ ＝316S △ABC ．16．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)t 为何值时，共起点的三个向量a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上？(2)若|a|＝|b|且a 与b 的夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |最小？解：(1)由题意得a －t b 与a －13(a ＋b )共线，则设a －t b ＝m ⎣⎡⎦⎤a －13(a ＋b )，m ∈R ，化简得⎝⎛⎭⎫23m －1a ＝⎝⎛⎭⎫m 3－t b .因为a 与b 不共线，所以⎩⎨⎧23m －1＝0，m 3－t ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.所以当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上．(2)因为|a|＝|b|，所以|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫t －122＋34·|a |2.所以当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.17．某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a .设实际风速为v ，那么此时人感到风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v .因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速．因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a .于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →.由题意∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a .所以实际风速是每小时2a 千米的西北风．C 级——探索创新练18．在△ABC 中，AC ＝BC ＝33AB ＝1，且CE →＝xCA →，CF →＝yCB →，其中x ，y ∈(0,1)，且x ＋4y ＝1.若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，则线段MN 的最小值为________．【答案】77【解析】如图，连接CM ，CN ，∵等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝3，∴∠ACB ＝120°.∴CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos 120°＝－12.又CM 是△CEF 的中线，∴CM →＝12(CE→＋CF →)＝12(xCA →＋yCB →)．同理可得CN →＝12(CA →＋CB →)，∴MN →＝CN →－CM →＝1－x 2CA →＋1－y 2CB →.∴MN→2＝(1－x )24＋(1－x )(1－y )2×⎝⎛⎭⎫－12＋(1－y )24.由x ＋4y ＝1，得1－x ＝4y ，代入上式得MN →2＝214y 2－32y ＋14.又x ，y ∈(0,1)，∴当y ＝17时，MN →2取得最小值17，此时|MN →|的最小值为77，即线段MN 的最小值为77.。
平面向量的基本概念及线性运算练习题(基础、经典、好用)
平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．(2013·湛江质检)若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB→＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB→＋PC →＝0 3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB→＋BC →－AC →＝0； ④在四边形ABCD 中，(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0. A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．②③4．已知A 、B 、C 三点共线，点O 在该直线外，若OB →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·佛山调研)已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0二、填空题6．如图4－1－2所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．图4－1－27．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA→＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．8．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0；③xa ＋yb ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB→与CD →共线． 三、解答题图4－1－39．(2013·清远调研)如图4－1－3所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值． 10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA→＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB→|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解析及答案一、选择题1．【解析】 若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－(a ＋c )，∴b ∥(a ＋c )；若b ∥(a ＋c )，则b ＝λ(a ＋c )，当λ≠－1时，a ＋b ＋c ≠0，因此“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的充分不必要条件．【答案】 A2．【解析】 由BC→＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点， 则PC →＋P A →＝0.【答案】 B3．【解析】 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a －b )＋(b －a )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB→＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0. ④假命题．∵AB→＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0， ∴该命题不成立．【答案】 D4．【解析】 因为A 、B 、C 三点共线，所以AB→＝kAC →， ∴OB→－OA →＝k (OC →－OA →)，所以OB →＝OA →＋kOC →－kOA →， ∴OB→＝(1－k )OA →＋kOC →，又因为OB →＝λOA →＋μOC →，所以λ＝1－k ，μ＝k ，所以λ＋μ＝1. 【答案】 B5．【解析】 若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1，∴a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b ，若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，∴λ＝0，1－2μ＝0.【答案】 D二、填空题6．【解析】 由图知，a －b ＝BA →＝e 1＋(－3e 2)＝e 1－3e 2. 【答案】 e 1－3e 27．【解析】 由OA→＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.【答案】 60°8．【解析】 由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB→与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线，故④不对． 【答案】 ①②三、解答题9．【解】 如题图所示，AP→＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP→＝kBN →， ∴AP→＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)， 又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →， 因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811.则m ＝1－k ＝311.10．【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC→＝OC →－OA →＝－a －2b . 所以AC→＝－AB →，又因为A 为公共点， 所以A 、B 、C 三点共线．(2)AC→＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ， 因为A 、C 、D 三点共线，所以AC→与CD →共线． 从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.11．【解】 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量， ∴|AM→|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。
数学4(必修)第二章 平面向量练习题A
（数学4必修）第二章 平面向量练习题A[基础训练A 组] 一、选择题1．化简AC - BD + CD - AB得（ ）A ．AB B ．C ．D ．0 2．设00,a b 分别是与,a b向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A ．00a b =B ．001a b ⋅=C ．00||||2a b +=D ．00||2a b +=3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列命题中正确的是（ ）A ．若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a ⋅b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D ．若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25．已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且a b ⊥，则x =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0二、填空题1．若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ⋅= ，则向量=____。
3．若3a = ,2b = ，且与的夹角为060，则a b -= 。
4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。
5．已知)1,2(=a与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。
三、解答题1．如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a，=b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．2．已知向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,求向量a 的模。
初中数学平面向量基础专项练习题(含答案)
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个
10.如图所示，已知点 G 是△ABC 的重心，过点 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两
1
点，且
AM
xAB,
AN
yAC
，则
xy x y
的值为(
)
A．．．3． B．．.13． ． C．．．2． D．．.12．．
11.设 a ， b 是两个非零向量，下列命题正确的是（ ） A.若 a b a b ，则 a b B.若 a b ，则 a b a b
28.已知 e1 ， e2 为不共线的单位向量，
m
1 4
，n
ke1 e2 (k R)
，若
mn
1 4
恒成
立，则 e1 ， e2 的夹角的最小值为_________
29.（本小题满分 12 分）已知△ABC 在平面直角坐标系 xOy 中，其顶点 A，B，C 坐标分别
为 A(2,3) ， B(1,6) ， C(2 cos ,2sin ) .
可以唯一地表示成 c a b ( ， 为实数)，则实数 m 的取值范围是( )
A.(－∞,2)
B.
6 5
,
C.(－∞,－2)∪(－2,+∞)
D.
,
6 5
6 5
,
7.已知 RtABC ，点 D 为斜边 BC 的中点， AB 6
2,
AC 6 ,
AE
1
ED
,则
2
AE EB 等于 A. －14
∴ （ ＋ ）＝2
故选 D．
19. 1
20.120° 由条件知|a|＝ 5 ，|b|＝2 5 ，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝ 5 ，∵(a＋b)·c＝ 5 ，
平面向量练习题
平面向量1.已知向量)1,3(),2,1(==b a ，则=-a b （ ） A ．)3,4( B ． )0,2( C ． )1,2(- D ． )1,2(-2.已知向量()2,4a = ，()1,1b =- ，则2a b -= （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,93.若向量(1,2),(3,4)AB BC == ；则AC = ( ) ()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2()D (,)22 4.已知a 、b 为单位向量，其夹角为60︒，则（2a －b ）·b =( )A. －1B. 0C. 1D.25.已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =(A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 6.已知向量a=（4，2），向量b=（x ，3），且a ∥b ，则x= （A ）9 （B ）6 （C ）5 （D ）3 7.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅= ，0b c ⋅= ，则0a c ⋅= ；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝8.设向量a ,b 满足a ·b=（A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 59.（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 10.已知向=⋅=--=b a b a b a 则，且的夹角为与,10||),6,2(60_______________. 11.在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =- ，(2,2)OB = ，若90o ABO ∠=，则实数t 的值为______12.已知向量)0,3(),1,2(-=-=，则a 在b 方向上的投影为_______. 13.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60 ，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____。
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平面向量基础练习
1）在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形 2）如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
(A) a =b (B) 1⋅a b = (C) 22≠a b (D) =a b 3）AB BC AD +-=（ ）
A 、AD
B 、CD
C 、DB
D 、DC
4）已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ， 则++a b c 等于 ( ) (A) 0 (B) 3
(D) 5）下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-，(4,6)b =
B 、(1,2)a =-，(7,14)b =
C 、(2,3)a =，(3,2)b =
D 、(3,2)a =-，(6,4)b =- 6）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（-3，4），则第4个顶点的坐标不
可能是（ ）
(A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1）7）点),0(m A )0(≠m ，按向量a 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a 是（ ）
A 、),(m m -
B 、),(m m -
C 、),(m m --
D 、),(m m 8）已知(6,0)a =，(5,5)b =-，则a 与b 的夹角为
A 、0
45 B 、0
60 C 、0
135 D 、0
120
9）已知)2,3(-M ，)0,1(-N ，则线段MN 的中点P 的坐标是________。
10）已知向量a (1,5)=，b (3,2)=-，则向量a 在b 方向上的投影为 ． 11）已知3a =，4b =，a 与b 的夹角为
43π
， (3)(2)a b a b -⋅+=__________. 12）已知3=a ，4=b ，且向量a ，b 不共线，若向量+a k b 与向量-a k b 互相垂直，则
实数k 的值为 ．
平面向量基础练习
1）在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形 2）如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
(A) a =b (B) 1⋅a b = (C) 22≠a b (D) =a b 3）AB BC AD +-=（ ）
A 、AD
B 、CD
C 、DB
D 、DC
4）已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ， 则++a b c 等于 ( ) (A) 0 (B) 3
(D) 5）下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-，(4,6)b =
B 、(1,2)a =-，(7,14)b =
C 、(2,3)a =，(3,2)b =
D 、(3,2)a =-，(6,4)b =-
6）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（-3，4），则第4个顶点的坐标不
可能是（ ）
(A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1）7）点),0(m A )0(≠m ，按向量a 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a 是（ ）
A 、),(m m -
B 、),(m m -
C 、),(m m --
D 、),(m m 8）已知(6,0)a =，(5,5)b =-，则a 与b 的夹角为
A 、0
45 B 、0
60 C 、0
135 D 、0
120
9）已知)2,3(-M ，)0,1(-N ，则线段MN 的中点P 的坐标是________。
10）已知向量a (1,5)=，b (3,2)=-，则向量a 在b 方向上的投影为 ． 11）已知3a =，4b =，a 与b 的夹角为
4
3π
， (3)(2)a b a b -⋅+=__________. 12）已知3=a ，4=b ，且向量a ，b 不共线，若向量+a k b 与向量-a k b 互相垂直，则
实数k 的值为 ．。