平面向量基础知识复习+练习(含答案)

平面向量
1. 基本概念：
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2. 加法与减法的代数运算：
(1)A] A2 A2A3 A n i A n A1A n .
⑵若a= ( X i, y i) ,b= ( X2, y2 )则 a b= ( X i x?, y i y ).
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量AB = a、AD = b为邻边作平行四边形ABCD ,则两条对角线的向量
AC = a + b, BD=b —a,DB = a —b
且有丨a I —I b I <| a b I <| a I + I b I .
向量加法有如下规律： a + b = b + a (交换律)；a+(b+c)=(a+ b)+c (结合律)；—F- —F —k —V-
a + 0= a a + (—a )=0.
3 .实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量。

(1) I a I = I I・I a I ;
(2) 当 >0时，a与a的方向相同；当v 0时，a与a的方向相反；当=0时，
—t
a = 0.
(3) 若a= ( X i, y i)，则a= ( X i, y i).
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= a .
―b- —te-
(2) 若a= ( X i, y i) ,b= ( X2, y2 )则a // b x』2 x? y i 0 .
平面向量基本定理：
若e i、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
—*■
一对实数i, 2，使得a = i e i+ 2 e2.
4. P分有向线段P i P2所成的比:
设P l 、P 2是直线l 上两个点，点P 是I 上不同于P l 、P 2的任意一点，则存在一个实数 使PP = PF 2， 叫做点P 分有向线段P 1P 2所成的比。

X i X 2
X 2
( 工一1 ),中点坐标公式： y 丫1 J 2
2
5. 向量的数量积： (1)向量的夹角：
—*■
----- *- ―I- !- —F-
已知两个非零向量 a 与b ,作OA = a , OB =b,则/ AOB= ( 00 180°)叫做向量a
与b 的夹角。

(2)两个向量的数量积： 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为，则a •= 1 a 丨• b 丨cos 其中丨b I cos 称为向量b 在a 方向上的投影. (3) 向量的数量积的性质:
右 a = ( x 1, y 1) ,b= ( x 2, y 2 )贝9 e a = a •= I a I cos
X 1X 2 y 』2
2
2 2
2
.X 1 y 1
、X 2 y 2
⑷向量的数量积的运算律:
a b=
b a ;( a ) b =
(a b)=a ( 6. 主要思想与方法：
本章主要树立数形转化和结合的观点， 以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问
题，特别是处理向量的相关位置关系，
正确运用共线向量和平面向量的基本定理，
计算向量
的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。

由于向量是一新的工具，它往往 会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

分点坐标公若 PP = P P 2 ； R, P, P 2 的坐标分别为(X 1, y 1) , ( X , y ) , ( x ?, y ?);
y 2
(e 为单位向量); a b =0
X 1X 2 y 1y 2
0 ( a , b 为非零向量)
;I a I = a?a
cos
=a?b =a ? b
b);(a + b) c= a c+b c .
当点P 在线段RF 2上时， > 0;当点P 在线段PP 2或P 2P 1的延长线上时， v 0;
x 2^
课本题
1 已知 |a| |b| |a b| 1，则 |a b|= _ ”3 _______________
2•若非零向量’，' 满足「
' |，则•与—所成角的大小为 —90° ______
3•已知|a| |b| 2，a 与b 的夹角为—，则a b 在a 上的投影为
3
3
4•在直角坐标平面上，向量
OA (4,1)，向量OB (2, 3),两向量在直线|上的正射影长
1 度相等，则直线I 的斜率为
3或-- 2
5 •设平面向量a =(-2,1) , b =(1,),若a 与b 的夹角为钝角，贝U
的取值范围是
1 1
(
，2)
(
2,2) °
6.已知向量 OB (2,0),OC
(2,2),CA G 2cos ,-. 2 sin )，则向量OA,OB 的夹角范围是
a 平移后得到y 2x 6的图象，给出以下四个命题:
上述说法正确的是 ①②③④
7•将函数y 2x 的图象按向量 ①a 的坐标可以是(3,0)； ②a 的坐标可以是(3,0)和(0,6)； ③a 的坐标可以是(0,6)；
④a 的坐标可以有无数种情况。

&已知 ABC 中，CB a,CA b,a b 0,S ABC
匹，2| 3, |b | 5，则a 与b 的夹角为150。

° 4
9•在△ ABC 中，BC=1，/ B=-，当△ ABC的面积为3时，tanC
10 .若△ ABC 三边长AB=5 , BC=7, AC=8，贝U AB BC 等于______ 5 __________ 高考题
umr uuur 1.在厶ABC 中，AB c , AC
uuur
b •若点D满足BD
uuu
2DC ,
unr 则
AD 2 b 1 c
33
uuu
2.在平行四边形ABCD中, AC为一条对角线，若AB
uuur
(2,4) , AC
uur
(1,3),则BD
(—3，- 5)
3. 设a (1, 2), b ( 3,4), c (3,2)则(a 2b) c 二3 ___________________
uuur uuir uuu uun 4. 设D E F分别是△ ABC勺三边BC CA AB上的点，且DC 2BD, CE 2E代
等于_、2
UJU
6.若过两点R(-1,2),
R(5,6)的直线与x 轴相交于点P,则点P 分有向线段RP 2所成的比
=
_ 1
3
7.在厶ABC 中，角ABC 勺对边分别为 a 、b 、c ,若(a 2+c 2- b 2)tan B = •.为ac ,则角B 的值为
8. 在平行四边形 ABCD 中，AC 与BD 交于点O , E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与
uuiir uur uuu 2
1 CD 交于点 F •若 AC a , BD b ，则 AF a b
3
3
9. 已知
a ,
b 是平面内两个互相垂直的单位向量， 若向量
c 满足(a c) (b c) 0,则c 的
最大值是
十：2 __
10. 将函数y 2X 1的图象按向量a 平移得到函数y 2x 1的图象，贝U a ( 1, 1) 11. 如果等腰三角形的周长是底边长的
5倍，那么它的顶角的余弦值为
7/8 12. 若向量a ,b 满足a 1,b 2且a 与b 的夹角为一，贝卩a b 苗
3
—
13. 设向量a (1,2, b (2,3)，若向量 a b 与向量c ( 4, 7)共线，贝U
_2 ___
14. 已知向量a 与b 的夹角为120°,且a b 4，那么b (2a b)的值为0 __________________ •
r
r
r r r r r r «■—
15. 已知平面向量 a
(2,4) ,b ( 1,2) •若 c a (ab)b ，则 |c| _____ W 2 ________ •
16. a , b 的夹角为
120 , a 1
, b 3 则5； b _7 __ •
17. 若 AB=2, AC=&BC ，则 s ABC 的最大值—2 2 __________ •
18. 直角坐标平面上三点 A(1,2)、B(3, 2)、C(9,7)，若E 、F 为线段BC 的三等分点，贝U
uuu uuu
AE AF =
___ •
19. 在△ ABC 中，三个角A, B,C 的对边边长分别为a 3,b
4,c
6 ,则
5. uur AF
uuu uuir 2FB,则 AD uuu UJU uuu
BE CF 与BC 反向平行
△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为
a, b, c ，若 c
,6, B 120°，则 a
be cos A ca cos B ab cosC 的值为_____
20.已知a >0,若平面内二点
2
A( 1, - a) ,B(2, a2), C(3, a3)共线，则a=__1丘o
24.在厶ABC中，角A、B C所对的边分别为a、b、c，若,3b c cosA a cosC，贝U
cosA 旦o
3。