电磁场与电磁波 第二章-4
电磁场与电磁波理论基础 课后答案
r a=2r jq 题2-11E 2E 3E 题2-2图()004,,()400P ,,oYZ1r 2r r 1R 2R 18q C=q 题2-3图第二章 静电场 2-1．已知半径为r a =的导体球面上分布着面电荷密度为0cos S S ρρϑ=的电荷，式中的0S ρ为常数，试计算球面上的总电荷量。
解 取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。
由球面积分，得到()220cos sin S S S Q dS r d d p p=r =rq q q j òòòò220022000200cos sin cos sin sin20S S S r d d rd d a d p pp pp =rq q q j=r q q q j =r p q q =òòòòò2-2．两个无限大平面相距为d ，分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及两平面间的电场强度。
解 假设上板带正电荷，面密度为S r ；下板带负电，面密度为S -r 。
对于单一均匀带电无限大平面，根据书上例 2.2得到的推论，无限大带电平面的电场表达式为2SE r =e 对于两个相距为的d 无限大均匀带电平面，根据叠加原理 123000SE ,E ,E r ===e2-3．两点电荷18C q =和24C q =−，分别位于4z =和4y =处，求点(4,0,0)P 处的电场强度。
解 根据点电荷电场强度叠加原理，P 点的电场强度矢量为点S 1和S 1处点电荷在P 处产生的电场强度的矢量和，即()112233010244q q R R =+pe pe R R E r 式中11144x z ,R =-=-==R r r e e 22244x y ,R =-=-==R r r e e代入得到()()()()()330444844142x y x z x y z éù-êú-êú=-êúpe êúëûù=+-úûe e e e E r e e e 2-7．一个点电荷+q 位于（-a , 0, 0）处，另一点电荷-2q 位于（a , 0, 0）处，求电位等于零的面；空间有电场强度等于零的点吗？解 根据点电荷电位叠加原理，有120121()4q q u R R r πε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦式中()11y z x a y R =-=+++=R r r e e e()22y z x a y R =-=-++=R r r e e e代入得到()4q u r πε⎡⎤=电位为零，即令0()04q u r πε⎡⎤== 简化可得零电位面方程为()()2233330x a x a y z ++++=根据电位与电场强度的关系，有()()()()()()()()3322222222222222203322332222222()()2422x y z x yx a y z x a y z x a y z x a y z x a y u u u u xy z x a y z z q x a x a y y z z E r r e e e e e πε−−−−−−⎡⎤∂∂∂=−∇=−++⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎧⎛⎫⎪⎡⎤⎡⎤=−−++− ⎪⎨⎣⎦⎣⎦ ⎪⎪⎝⎭⎩⎛⎫⎡⎤⎡⎤+−+ ⎪⎣⎦⎣⎦ ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤⎡⎤+−+ ⎣⎦⎣+++−+++++−+++++++⎦ ⎝−⎭z e ⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭要是电场强度为零，必有 000x y z E ,E ,E ===即()()()()()()()()332233222222222222222233222222202020x a x a y y z z x a y z x a y z x a y z x a y z x a y z x a y z −−−−−−+++−+++++−⎧⎡⎤⎡⎤+++++−+−++−=⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎡⎤−+=⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎡⎤−+=⎪⎣⎣⎩+⎦⎦此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。
金立军 中国电力出版社 电磁场与电磁波答案
Ex 和 Ey 。由
电荷分布以 y 轴为对称，左右两部分产生的 Ex 分量 相互 抵消。因此，仅需考虑电场强度 的 Ey 分量，即
y dl
O E a x
ldl dE dEy sin 2 4 0a
考虑到 dl ad , l 0 sin ，代入上式求的合 成电场强度为
② 由上面已求出的球内电荷分布，可以得到球内总电荷量 Q 为
Q dV
V
a
6 0r 3 a
4
0
24 0 r 6 4 r dr 4 0 a 2 4 60 a
2
a
故得球外表面等效电荷面密度为
s
③球壳电位 。
2Q 8 0a 2 2 0 4 a 2 4 a 2
1 1 a1 r0 2
③由 E1max E2max 得
故
1 r0 2 a
2-11 两同轴圆柱之间， 0 0 部分填充介质电常数为 的介质，如图 2-11 所示，求单 位长度电容。 解：根据边界条件，在两种介质的分界面处，有
E1t E2t E
设同轴线单位长度带电 l ，可以用高斯定理解得
外表面上束缚电荷面密度为
q 4 a
2
(1
0) q 4 a 2
s e n P e r P ( 0)
q 4 b
2
(1
0) q 4 b 2
2-9 半径为 a 的薄导体球壳在其内表面涂覆了一薄层绝缘膜。球内充满总电荷量为 Q 的电 荷，球壳上又充了电荷量 Q 。已知内部的电场为 E e r (r / a) ，设球内介质为真空。试求：
a E ' dr a
电磁场与电磁波_课后答案（冯恩信_著）
第一章 矢量场1.1 z y x C z y x B z y xA ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+=求:(a) A ； (b)； (c)； (d)； (e)(f)解：(a) ; (b) 14132222222=++=++=z y x A A A A )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x BB b -+==( c) ; (d) 7=⋅B A z y xC B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯(e)z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯(f)19)(-=⋅⨯C B A1.2;求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ; (e) BA+解：(a) ;(b) ;(c) 25π+=A )ˆ2ˆ3ˆ(141ˆz b -+-=ϕρ43-=⋅πB A (d)z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρπ(e)z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρ1.3; 求:(a) A ； (b)； (c)； (d); (e)解：(a) ； (b) ； (c) ；254π+=A )ˆˆ(11ˆ2θππ-+=rb22π-=⋅B A(d) ; (e) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯r A B ϕπˆ2ˆ3-=+rB A 1.4 ;当时，求。
解：当时，=0, 由此得 5-=α1.5将直角坐标系中的矢量场分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。
解：(1)圆柱坐标系由(1.2-7)式，;ϕϕϕρsin ˆcos ˆˆ1-==xF ϕϕϕρcos ˆsin ˆˆ2+==y F(2)圆球坐标系由(1.2-14)式, ϕϕϕθθϕθsin ˆcos cos ˆcos sin ˆˆ1-+==r xFϕϕϕθθϕθcos ˆsin cos ˆsin sin ˆˆ2++==r yF1.6将圆柱坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。
解：由(1.2-9)式，)ˆˆ(2ˆsin 2ˆcos 2ˆ2221y y xx yx y x F ++=+==ϕϕρ)ˆˆ(3ˆcos 3ˆsin 3ˆ3222y x xy yx y x F +-+=+-==ϕϕϕ1.7将圆球坐标系中的矢量场用直角坐标系中的坐标分量表示。
电磁场与电磁波》(第四版 )答案二章习题解答
电磁场与电磁波》(第四版 )答案二章习题解答2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为$\rho=-\frac{4\epsilon U}{d}-4\times 10^{-3}x-2\times 10^{-3}$，式中阴极板位于$x=9$，阳极板位于$x=d$，极间电压为$U$。
如果$U=40V$，$d=1cm$，横截面$S=10cm^2$，求：（1）$x$和$x=d$区域内的总电荷量$Q$；（2）$x=d/2$和$x=d$区域内的总电荷量$Q'$。
解（1）$Q=\int\limits_{0}^{9}\rhoSdx+\int\limits_{d}^{9}\rho Sdx=-4.72\times 10^{-11}C(3d)$2）$Q'=\int\limits_{d/2}^{d}\rho Sdx=-0.97\times 10^{-11}C$2.2 一个体密度为$\rho=2.32\times 10^{-7}Cm^3$的质子束，通过$1000V$的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为$2mm$，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解：质子的质量$m=1.7\times 10^{-27}kg$，电量$q=1.6\times 10^{-19}C$。
由$1/2mv^2=qU$得$v=2mqU=1.37\times 10^6ms^{-1}$，故$J=\rho v=0.318Am^2$，$I=J\pi (d/2)^2=10^{-6}A$2.3 一个半径为$a$的球体内均匀分布总电荷量为$Q$的电荷，球体以匀角速度$\omega$绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解：以球心为坐标原点，转轴（一直径）为$z$轴。
设球内任一点$P$的位置矢量为$r$，且$r$与$z$轴的夹角为$\theta$，则$P$点的线速度为$v=\omega\times r=e_\phi \omegar\sin\theta$。
电磁场与电磁波第二章课后答案
电磁场与电磁波第二章课后答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第二章 静电场重点和难点电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。
利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。
通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。
至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。
讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。
介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。
关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。
介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。
至于电容和部分电容一节可以从简。
重要公式真空中静电场方程：积分形式：⎰=⋅SS E 0d εq⎰=⋅ll E 0d微分形式：ερ=⋅∇E0=⨯∇E已知电荷分布求解电场强度：1，)()(r r E ϕ-∇=； ⎰''-'=V Vd )(41)(|r r |r r ρπεϕ2，⎰'''-'-'=V V 3d |4))(()(|r r r r r r E περ3，⎰=⋅SS E 0d εq高斯定律介质中静电场方程：积分形式：q S=⋅⎰ d S D⎰=⋅ll E 0d微分形式：ρ=⋅∇D0=⨯∇E线性均匀各向同性介质中静电场方程：积分形式：εqS=⋅⎰ d S E⎰=⋅ll E 0d微分形式：ερ=⋅∇E0=⨯∇E静电场边界条件：1，t t E E 21=。
《电磁场与电磁波》习题参考答案
况下，电场和磁场可以独立进行分析。（ √ ）
12、静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（ × ）
13、静电场是有源无旋场，恒定磁场是有旋无源场。（ √ ） 14、位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。（
×）
15、法拉第电磁感应定律反映了变化的磁场可以产生变化的电场。（ √ ） 16、物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不
D.有限差分法
6、对于静电场问题，仅满足给定的泊松方程和边界条件，
而形式上不同的两个解是不等价的。（ × ）
7、研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物 质内发生的静电现象。（ √ ）
8、泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ × ）
9、静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方 程的解都是唯一的。（ √ ）
是（ D ）。
A．镜像电荷是否对称
B．电位所满足的方程是否未改变
C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C
5、静电场边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯
方程的求解，若边界形状为圆柱体，则宜适用( B )。
A.直角坐标中的分离变量法
B.圆柱坐标中的分离变量法
C.球坐标中的分离变量法
两个基本方程：
3、写出麦克斯韦方程组，并简述其物理意义。
答：麦克斯韦方程组的积分形式：
麦克斯韦方程组的微分形式：
每个方程的物理意义： (a) 安培环路定理，其物理意义为分布电流和时变电场均为磁
场的源。 (b) 法拉第电磁感应定律，表示时变磁场产生时变电场，即动
磁生电。 (c) 磁场高斯定理，表明磁场的无散性和磁通连续性。 (d)高斯定理，表示电荷为激发电场的源。
丁君版工程电磁场与电磁波答案 第二章 电磁学基本理论.
2π 0
dθ
1 0
ρS • r • 4πε0 r2 +1
1 dr r2 +1
∫ ∫ = 2π dθ 1 5r ×10-9 • r • 1 dr
0
0 4πε0 r2 +1 r2 +1
∫ = ρS 1
r2
dr
2ε0 0 (r2 +1) r2 +1
= ρS (ln(1+ 2ε 0
2
)
−
1 2
)az
=90π
a 2
⎞ ⎟⎠
r2( t ) =
d
2
+
⎛ ⎜⎝
a 2
⎞2 ⎟⎠
+
2
cos(
ωt
)⋅
d
⋅
⎛ ⎜⎝
a 2
⎞ ⎟⎠
∴
ψ
=
b 2π
μ0 I
ln
r2 (t) r1 (t )
(2) 求 εin
ε in
= − ∂ψ ∂t
= − bμ0I 2π
1 ( r2
dr2 (t) − 1 dt r1
dr1 (t ) ) dt
10z ⋅ dz (4 − z)2
az
∫ + 10−9
4πε 0
0 −2
−10 (4 −
zdz z)2
az
=
10−8 4πε 0
(− ln 2 +1− ln
2 3
−
1 )
3
⋅
az
=
5 ×10−9 2πε 0
(ln
3 4
+
2 3
)
⋅
az
=
电磁场与电磁波_章二习题答案
静电场 恒定电场习题解答主要问题： 1） 矢量标量书写不加区分（忘记在矢量顶部加箭头） 2） 机械抄袭标准答案，不理解其含义3）不理解极化电荷面密度和极化电荷体密度含义:极化电荷面密度仅仅存在于介质表面，静电场情形下导体表面没有极化电荷面密度（题2-15） 4）所谓验证边界条件对静电场而言有两种方法（题2-13），一是从电位着手判断电位是否连续（12?Φ=Φ）法向电位条件如何？（1212s n nεερ∂Φ∂Φ-+=∂∂，这里格外需要注意说明边界上有没有电荷?s ρ=）二是判断切向电场是不是连续，法向电通密度是不是相等，要是不等，面电荷密度是多少 这两种方法等价。
5）2-2题很多人和标准答案中的坐标图不一致，答案却一样，明显错误2-1、半径为a 的球内充满介电常数为1ε的均匀介质，球外是介电常数为2ε的均匀介质。
若已知球内和球外的电位分别为：122(,) ()(,) ()r Ar r a Aa r r a rθθθθΦ=≤⎧⎪⎨Φ=≥⎪⎩ 式中A 为常数。
求1） 两种介质中的E 和D ；2） 两种介质中的自由电荷密度。
解：1) 在r < a 区域内：111111111A Ar r A A θθεεθε∂Φ∂Φ=-∇Φ=--=--∂∂==--rθr θ1r θE e e e e D E e e ， 在r > a 区域内：()()2222222121Aa r r rAarθθεεθ∂Φ∂Φ=-∇Φ=--=-∂∂==-2r θr θ22r θE e e e e D E e e 2) 在r < a 区域内：。
()()()21112111sin sin 2cot r r D D r r r Arθρθθθεθθ∂∂=∇⋅=+∂∂=-+1D在r > a 区域内：()()2222222311sin sin cot r r D D r r r Aa rθρθθθεθ∂∂=∇⋅=+∂∂=-2D 在球面r = a 上，电荷面密度()()()12s r a r a A ρεεθ===⋅-=⋅-=+21r 21n D D e D D2-2一个半径为a 的半圆环上均匀分布线电荷ρl ，求垂直于半圆环平面的轴线z ＝a 处的电场强度。
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b
a
b ln V E d a 2L a
b
q
L
q 2L C b V ln a
8
BUPT 2010
例2：计算图示平行板电容器的电容。
解：忽略边缘效应，导体板上电荷均匀，电场均匀，电 力线为平行的直线。 E1d1 E2d 2 V 2V E1 1E1 2 E2 1d 2 2d1 1 d1 E1 2 d2 E 2 1V E2 1d 2 2d1 1 2VS 1 2V q s1 D1n 1E1 s 1d 2 2d1 1d2 2d1
qk Cks (k s ) Ckkk
s 1
k -1
s k 1
C
n
ks
(k s )
Cks 为部分电容（当 s k 时称为自部分电容，是导体k 与地之间的部分电容；当 s k 时称为互部分电容）
6
BUPT 2010
部分电容有以下特点：
Ckk 值为全部导体的电位都为一个单位时，第k个导体上
10
qn
q3
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将元电荷 (d )dV 送入电位αφ 处外电源做的功为
(d )dV
对于整个空间，外电源需要做的功，即系统增加的 电场能量为
dWe (d )dV
V
1
充电完成后，系统的总能量为
1 We d dV dV 0 V 2 V
C q
q 4 a
单位为法拉（F）。
• 定义孤立导体的电容为：
导体球的电容：
C 4 a
孤立导体的电容仅与导体的几何形状和周围介质有关，与导体
所带电量无关。
2
BUPT 2010
2 导体间的电容
当线性介质中有两个带等量异号电荷的导体时，两个导体
间的电位差与导体的带电量成正比。 定义这两个导体间的电容为：
例1 试求真空中体电荷密度为 ，半径为 a 的 介质球产生的静电能量。 r ra 应用高斯定理，得 3 0 E 3 a ra 2 3 0 r
BUPT 2010
1 r a 2 2 0 ( 4 r dr 4 r dr ) 2 2 4 0 9 a 9 r 2 0 0 4 2 5 a 15 0
4
BUPT 2010
3 多导体间的电容——部分电容
多导体系统间，任何一个导体的电位都受到其余多 个导体电荷的影响，其相互耦合用部分电容表示。
设线性介质中有 n 1 个带电导体，总带电量为0，它们 的电位仅取决于它们中每个导体的带电量，而与它们之外 的导体无关。该系统叫孤立带电系统。
孤立带电系统中每个导体的电位与系统中每个导体的 带电量均成线性关系。
的总电荷量值；
Cks 为第s个导体上的电位为一个单位，而其余导体都接
地时，第k个导体上感应电荷的大小；
所有的 Cks >0
Cks ＝ Csk ，即电容器的电容。已知内外导体的半径分 别为a和b，长度为L，它们之间介质的介电常数为 。 解：设内导体带电q，根据高斯定理有：
Fdx dWe
故电场力为
q 常量
We F x
常量
19
BUPT 2010
例题 一点电荷放在半径为a的接地细圆环的轴线 上，该点电荷距离圆环中心为b，这时环上 的电荷为-Q。若周围介质为空气，确定此环 在不接地时与点电荷点所在位置的电容。
4 0 a 2 b 2
-Q
b
2 6
15
BUPT 2010
三、 静电力
1.
由电场强度E的定义求静电力，即
f qE d f Edq
f Edq
2.
由虚功原理求静电力，即
F dx dWe
dWe F dx
16
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虚位移法：由N个导体组成的系统，假设第i个带电
1 N 1 N N个点电荷构成的系统: We i V dV i qi 2 i 1 2 i 1 11
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带电体的静电能
1 W e dV 2 V 1 W edS 2 S
e 为电荷的体密度。
e 为电荷的面密度。
e 为电荷的线密度。
1 W edl 2L
12
BUPT 2010
二、 静电能量的分布及能量密度
1 We DdV 2 V 参考矢量恒等式： D ( D) D
1 We dV 2 V
1 1 1 We [ ( D) D ]dV ( D)dV ( D )dV 2 V 2 V 2 V
a
20
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Thank You !
21
C q 1 2 S V 1d 2 2d1
V
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2-8 静电能量与力
一、 静电能量
将点电荷q从无限远出移到电位为φ 的位置r处（设移动路径沿电场相反 q2 方向），外力所做的功： q1 r r W qEdr q dr q r 设静电系统从零开始被充电，最终电荷密度为。 电荷密度按照比例因子 α（从0到1）逐渐形成。 在某一时刻的电荷密度为 α时，其电位为 αφ。
1 1 2 we D E E 2 2
J （焦耳）
J m3
结论 ：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。
14
各向同性的线性媒质中
1 2 1D e E 2 2
2
1 1 We D EdV 0 E 2dV 2 V 2 V
a 2 2
1 11q1 12q2 1n1qn1
取 n1 0
qn1 (q1 q2 qn )
5
BUPT 2010
带电量与电位之间的关系为
qk sks
s 1
n
sk 为电容系数（当 s k 时为自电容系数；当 s k 时， 称为互电容系数）
1 N dWe i dqi 2 i 1
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可见，外电压源向系统提供的能量有一半用于静电 系统能量的增加; 另一半则用于电场力做功。
故电场力做功等于静电能量的增加:
Fdx dWe
电场力为:
常量
We F x
常量
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BUPT 2010
各带电导体的电荷不变 此时，所有带电体都不和外电源相连接，则dW＝0 第i个带电导体发生虚位移dx时
第一项应用散度定理，对第二项应用 E
1 1 We D dS D EdV 2 S 2 V 1 1 1 2 D 2 dS r , 故 We D E d V 因为 r 2 V r
13
BUPT 2010
静电能量
能量密度
1 We D EdV we dV V 2 V
解：导体球为等位体，带电量为q，电荷均匀分布在球面：
q ˆ r 2 4r E q ˆ r 2 4 0 r
a r ab
b
r ab
a
V
a b
a
1 1 E dl 4 ( a a b )
q
q a ( a b) C 4 V b
q C V
两个导体间的电容仅与导体的几何形状相对位
置和周围介质有关，与导体所带电量无关。
对于非孤立导体，其电位不再简单地与所带的电量成正比。 这是因为非孤立导体周围的场强不仅决定于该导体，还与周围 的情况有关。
3
BUPT 2010
例：半径为a 的导体球，球外包一层厚度为b，介电 常数为 的介质，求导体球与介质外界面的电容。
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2-7 电容及部分电容
电容：带电系统在一定电压下储存电场能量的能力。
孤立导体的电容
两个导体间的电容
多导体间的电容——部分电容
平行板电容；同轴电容；球型电容；两导线间的电容。
1
BUPT 2010
1 孤立导体的电容
• 孤立导体带电则具有电位, 则导体的电位与电量成正比 。 半径为a的导体球的电位：
导体在电场力F的作用下发生了虚位移dx，则电场
力做功为dA＝Fdx，系统的静电能量改变为dWe。
根据能量守恒定律，系统的功能关系:
dW Fdx dWe
•各带电导体的电位不变
d(qii ) i dqi 外电压源向系统提供的能量: dW i 1 i 1
N N
系统所改变的静电能量: