19.2.1勾股定理导学案
八年级数学下-勾股定理导学案(全)
勾股定理（1）学习目标：1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2、培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3、介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。
重点：勾股定理的内容及证明。
难点：勾股定理的证明。
"学习过程：一、预习新知1、正方形边长和面积有什么数量关系2、以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。
(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢>(2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。
(3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗(4)对于更一般的情形将如何验证呢二、课堂展示方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。
S正方形＝_______________＝____________________、方法二；已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
.以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，>它的面积等于21c 2. 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________归纳：勾股定理的具体内容是 。
(上课用)勾股定理复习导学案
勾股定理复习导学案1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。
它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。
它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。
勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例（09年山东滨州）如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、（09年湖南长沙）如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、（09年滨州）某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．考点五、利用列方程求线段的长（方程思想）１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？【强化训练】：折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
勾股定理导学案1
八年级数学上册勾股定理导学案1学习目标：1．体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。
2．在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。
3．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。
学习重点、难点：重点：探索和验证勾股定理过程；难点：通过面积计算探索勾股定理。
学习方法及手段：导、学、讲、练一．温故知新1.直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角 ；（2）直角三角形斜边上的中线等于 ；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于 。
2.分别求出下式中的x 的值：①x 2=5 二．学习新知1.完成P 65的探究，猜想得出的结论：2.分别用下面的图形证明上述结论（方法：面积法）a c b a a b c b c a b c c b a D C B A4.在上面第4个图中画出剪裁线，拼成能证明勾股定理的图形，你能拼出几种？ 5．完成P 68--2，并对答案，由小组长给予评价。
三．运用新知，体验成功 1、看图填空（图中的三角形都是直角三角形，四边形都为正方形） 求正方形B 的边长625400求正方形A 的面积14425A B 正方形C 的面积为4cm 3cm CBA2、 Rt △ABC 中，C ∠=90°，AB =C ，A C=b ，BC =a⑴已知AC =6，BC =8，求AB .⑵已知c =15，a =9，求b .⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，【合作探究】在Rt △ABC 中，有两边长为5，12，求第三边长及斜边上的高。
勾股定理导学案
勾股定理姓名_____________学号______________学习目标：1.让学生经历观察，探索，猜想，证明的过程，理解勾股定理的概念，掌握勾股定理的公式。
2.让学生灵活运用勾股定理解决实际问题。
活动一，温故知新活动二，探究新知探究（一）观察左图：（1）正方形P的面积是_________ 平方厘米。
(2）正方形Q的面积是_______ 平方厘米。
(3）正方形R的面积是________ 平方厘米。
(4)三个正方形的面积的关系是______________(5）你能用直角三角形的边长表示上述正方形的面积吗？___________________（6）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？_________________________ (图中每一格代表一平方厘米）角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
请你写出来：斜边长_________。
三边的关系式为：___________________.归纳：勾股定理于是我知道直角三角形的两直角边的我还能用几何语言符号表示：________________________________________________________________________________。
注意：勾股定理的前提条件是直角三角形！探究（三）勾股定理的证明中国最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴的详细证明。
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。
这个图也被后人称为“赵爽弦图”请你结合图形，用面积的知识证明勾股定理是否成立？你还能用其他的拼图方法来证明吗？试试看 归纳：前面我们利用数格子的方法得到： A 的面积___B 的面积_____C 的面积 然后拼图用图形的面积进行证明从而探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理： abc即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方于是已知直角三角形的任意两条边长，我能求第三条边长.活动三，运用新知1.如图，在Rt △ABC 中,BC=24,AC=7,求AB 的长 CA B2. 将长为5米的梯子AC 斜靠在墙上， BC 长为2米，求梯子上端A 到墙的底端 B 的距离.活动四，巩固练习一个门框尺寸如图17.1-7所示，一块长3m ， 宽2.2m 的薄木板能否从门框内通过？为什么？c =b a=活动五，拓展延伸.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形。
勾股定理(第一课时)导学案
（4）勾股定理的几种证明方法;
（5）课堂练习;
（6）课堂小结;
（7）课后作业．
勾股定理（第一课时）导学案
1.课题名称：
人教版八年级下册数学——勾股定理（第一课时）
2.学习任务：
（1）勾股定理的探究、证明及简单应用;
（2）经过从特殊到一般的探究过程和研究方法,探究并证明勾股定理．
3.学习准备：
准备好笔记本和笔，边观看边做记录．
4.学习方式和环节：
观看视频课学习,适时控制播放,按老师指令完成相应的课上练习,学习环节主要有：
人教初中数学《勾股定理》导学案(打印版)
17.1勾股定理学习目标知识：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
能力：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
情感：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点:1. 勾股定理的内容及证明。
学习难点:1. 勾股定理的证明。
教学流程 【导课】目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 【阅读质疑 自主探究】例1已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。
《勾股定理》导学案
《勾股定理》导学案主备人：王凤一、学习目标（一）知识目标：认识勾股定理、掌握勾股定理（计算、证明、作图）（二）技能目标：独立熟练运用勾股定理（三）情感目标：通过先讲后练及课堂小组探讨，使学生加强理论与实践的结合达到学以致用以及通过自主学习的体验获取数学知识的感受。
（四）教学重点：勾股定理及其应用。
（五）教学难点：通过对勾股定理的相关知识讲解培养学生独立思考和学以致用的能力。
（六）教学方式：讲授、启发、指导。
二、独立尝试：通过讲述毕达哥拉斯的发现援引我国对勾股定理的发现和应用并简述相关历史人物（如商高、赵爽），而后对比古今中外勾股定理的渊源并以此为主线贯穿课堂始终让学生了解其发展过程从而让他们感受勾股定理的丰富文化内涵、体验勾股定理的探索和运用过程以激发他们学习数学的兴趣。
在此过程特别讲述我国在勾股定理方面的研究和应用（此时以教室四角向学生举例说明）进而培养学生观察和探究精神。
将学生分组让其进行探索、练习该过程让学生准备方格纸且在上先设计任意格点三角形再以它们的每一边分别向三角形外做正方形。
（此处可参看教材P23~24内容体验“割补法”的操作，借此培养学生动手能力和探索能力。
）三、合作探究：介绍新知，逐步引导。
（在此过程以自主探究为主、指导为辅）让学生将课本翻到P22~23并快速浏览（此时应用教具画出直角三角形且标出勾、股、弦），待学生浏览完毕询问其发现以及对勾股定理的初步认识，在这一过程中还可提问学生关于三角形的相关知识以便对接下来的新知识引入和对新知识的理解。
在学生讨论之后老师对学生的结论、证明进行评价（结合课本P24~26）然后拓展介绍相关证明：如赵爽证法、“总统证法、“利用相似三角形性质证明”等以拓宽学生知识面。
四、提升训练：设计课堂练习环节，此环节采用竞答方式、随机检测以掌握学生课堂所获。
老师详细讲解之后让学生做课本24页练习，在此教师只做指导其余让学生单独完成最后进行总结说明。
五、达标测评：教师在课堂上书写相关典型例题让学生进行练习，之后对学生练习进行评讲并做课堂总结（再次梳理相关知识以巩固学生新知记忆）六、收获与感想：本节课我做得好的有：需要改进的有：。
勾股定理导学案
勾股定理1勾股定理（一）学习目标：1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容, 会用面积法证明勾股定理。
2.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。
学习重点：探索和验证勾股定理。
学习难点：证明勾股定理。
导学流程：一、自主学习前置学习：自学指导：阅读教材第64至66页，完成下列问题。
1.教材第64至65页思考及探究。
2.画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC，用刻度尺量出AB的长。
（勾3,股4,弦5）o以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
” 这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC,用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+ 42与52的关系，52+122和132 的关系，即32 +42______ 52, 52 +122_____ 132，那么就有2 + _______ = ___ 2。
（用勾、股、弦填空）对于任意的直角三角形也有这个性质吗？要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是a、b，斜边为c，那么________________________ ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的二、展示成果活动1 已知：在^ABC 中，/C=90°, /A、/ B、 /C的对边为a、b、c。
求证：a2+b2 =c2。
证明：如赵爽弦图， ______ 精品教学教案_思考：除此之外，还有证明勾股定理的其他办法吗?活动2如果将活动1中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？ab知识点归纳：上述问题可视为命题1的证明命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么______________________ o总结：经过证明被确认正确的命题叫 ____________ o 命题1在我国称为__________________ ，而在西方称为 __________三、合作探究活动3 已知在RtAABC 中，/ C=90°, a、b、c 是^ ABC的三边，贝U（1）__________________ a=（2）__________________ b=（3）__________________ c=活动4 △ABC的三边a2=c ，2>c，2<c，o （已知c、o （已知a、o（已知a、b、c,则/C是—则/C是—则/C是—（1）若满足a2+b2（2）若满足a2+b2（3）若满足a2+b2四、当堂自测基础训练：1.在直角三角形ABC中，/C=90°，若a=5,b = 12，贝y c = ____ o2.在直角三角形ABC中，若a=3，b=5，则c ― _____________ o3.若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的4.在M B C中，N C =90°.角;角;角o1勾股定理(二)精品教学教案(1) 已知AC =6，BC =8，求AB 的长(2) 已知 AB =17，AC =15，求 BC 的长能力提升： 5.直角三角形的两边长的比是3:4，斜边长是20, 贝U 它的两直角边的长分别是 _____________________ 。
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第19章勾股定理
19.2.1勾股定理的逆定理（1）
学校：张店中心中学年级：八年级执笔：张青审核：八年级数学组
学习目标：1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题逆命题逆定理的概念及关系。
学习重点：掌握勾股定理的逆定理；
学习难点：勾股定理逆定理的证明；
一．学前准备
1.复习：（1）什么叫命题？____________ ________________。
（2）“对顶角相等”的逆命题是：___________________________，它是 _____命题。
(3)勾股定理的内容是______________________________________________。
它的题设是___________________________________，结论是_________________________________。
（4）写出勾股定理的逆命题：_______________________________________
2、引导学生证明勾股定理的逆命题（具体证明过程见课本P58）
归纳：勾股定理的逆定理：_________________________________________。
3、________________________________________是互逆定理。
二．探究活动
（一）自主探究·掌握知识
1.学习例1判断由线段abc组成的三角形是不是直角直角三角形：
（1）a=7，b24，c=25 （2）a=713，b=8，c=11
强调：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。
②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。
③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
例2：已知：在△ABC中，∠A∠B∠C的对边分别是abc，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）求证：∠C=90°。
分析：要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。
根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
归纳：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数。
课堂练习：
1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。
（）
⑵勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（）
⑶△ABC的三边之比是1：1：2，则△ABC是直角三角形。
（）
2．△ABC中∠A∠B∠C的对边分别是abc，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15
C．a=5，b=3，c=2 D．a：b：c=2：3：4
4．已知：在△ABC 中，∠A ∠B ∠C 的对边分别是abc ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=62，c=1。
课堂检测：
1．填空题。
⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。
⑵“两直线平行，内错角相等。
”的逆定理是 。
⑶在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角；若a 2＜b 2－c 2，则∠B 是 。
⑷若在△ABC 中，a=m 2－n 2，b=2mn ，c= m 2＋n 2，则△ABC 是 三角形。
3．若三角形的三边是 ⑴1,3,2； ⑵5
1,41,31； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； 则构成的是直角三角形的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．1个
4．已知：在△ABC 中，∠A ∠B ∠C 的对边分别是abc ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；
⑶a=2，b=32，c=4； ⑷a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）。
三． 自我测试
1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10；(2)13、12、5；
(3)1、2、3；(4)4、5、6．其中能构成直角三角形的有（ ）
A ．4组
B ．3组
C ．2组
D ．1组
2．在△ABC 中，∠ACB= ，AC=3，BC=4，CD ⊥AB 于D ，则CD 等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 下列数组中，能组成一个直角三角形的有（ ）
(1) 15，20，25；(2)10，24，25；(3)9，80，81；(4)8，15，17
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
4 已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，有下列各组条件，判断△ABC 的形状。
（1） a=41，b=40，c=9；
（2） a= 25，b= 20，c= 15 ；
5 在△ABC中，AB=15，BD=14，AD=13，求BD边上的高AC。
四：应用与拓展
在四边形ABCD中， C是直角，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD。