第十七章勾股定理导学案
八年级数学下册 第十七章 勾股定理导学案(新版)新人教版
八年级数学下册第十七章勾股定理导学案（新版）新人教版班别姓名课题17、1勾股定理(一)课型：预习+展示课学习目标掌握勾股定理，会用面积法证明勾股定理。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
导学过程一、知识链接1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若∠B=30，则∠B的对边和斜边的关系是：二、自主学习1、阅读课本22页到24页。
2、（1）、一个直角三角形两直角边分别为3cm和4cm的，斜边长为5cm。
（2）一个直角三角形两直角边分别为5cm和12cm 的直角△ABC，斜边长为13cm、问题:你是否发现+与，+和的关系，即+ ，+ ，任意的直角三角形也有这个性质。
即勾股定理文字表述：几何表述：三、合作探究：阅读证明勾股定理的方法看哪个组给同学讲的清楚明白方法1、已知：在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：证明：4S△+S小正=S大正=根据的等量关系：由此我们得出方法2、已知：在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=______________右边S=_______________左边和右边面积相等，即化简可得：四、课后反思：我今天学会了五、达标测试：1、课本24页练习第1题★2、同步学习xxxx学年度八年级数学科导学案主备人：邓冰复备人：审批人：编号班别姓名课题17、1勾股定理(三)课型：预习+展示课学习目标：会用勾股定理解决简单的实际问题。
学习重点：勾股定理的应用。
学习难点：实际问题向数学问题的转化。
导学过程：一、知识链接填空: 在Rt△ABC，∠C=90，⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45，a=3，则c= 。
⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
第十七章勾股定理导学案
数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 25 -第十七章 勾股定理第1学时 17.1.1勾股定理(1)【明确目标】1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理;2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力;3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发爱国热情,勤奋学习. 【自主学习】阅读教科书第22页到24页的内容,思考并回答下面的问题；1.如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ,斜边为c ,那么 ,即直角三角形中两直角边的平方和等于 .2.在R t △ABC 中,∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 所对应的边分别是a 、b 、c . (1) 若a =3cm, b=4cm, 则c = ; (2) 若a =8cm, c=17cm, 则b = ;(3) 若a : b .=3:4, c=10cm, 则a = , b = .3. 在R t △ABC 中,斜边AB=2cm,则AB 2+BC 2+CA 2= cm .4.教科书P24练习第1、2题. 【合作探究】1.如图,可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形,借助这个图形,你能用面积法来验证勾股定理吗?2.如图,在直角△ABC 中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE 是AB 边的垂直平分线,垂足为D,交BC 于点E,连接AE,则△ACE 的周长是多少？数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 26 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生【巩固提升】 1.如果线段a 、b 、c 能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( ) A.3:2:4 B.3:3:5 C.3:4:7 D.5:12:132.一直角三角形的两边长分别是3和4, 则第三边的长为 ( ) A. 5D.53.在直角三角形ABC 中,∠C=90°,BC=12,AC=9,则AB= .4.在直角三角形中,若两直角边满足17,60a b ab +==,则斜边的长为 .5.等腰三角形的腰是5,底是8,这个三角形的面积是 .6.如图,在四边形ABCD 中,AB=AD=8,∠A=60°,∠ADC=150°,已知四边形ABCD 的周长为 32,求四边形ABCD 的面积.7.教科书P28习题17.1第1、2、3题.1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.在R t △ABC 中,两直角边长分别为10和24,则斜边长等于 ( ) A.25 B.26 C.27 D.282.如图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落 在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是 ( ) A.12米 B.8米 C.5米 D.5米或7米3.若直角三角形的两直角边长为a 、b,|4|0b -=,则该直角三角形的斜边长为 .第2学时 17.1.2 勾股定理(2)【明确目标】1.会用勾股定理解决简单的实际问题；2.树立数形结合的思想；3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法；4.培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 27 -【自主学习】阅读教科书第25页到26页的内容,思考并回答下面的问题；1.等腰三角形腰长是10cm,底边上的高为8cm,则该三角形面积是 cm2. 2.已知直角三角形中30°所对的直角边长为32cm,则该三角形面积是 cm 2.3.教科书P26练习第1、2题.注：1.勾股定理把直角三角形的”形”转化为三边“ ”的关系是数形结合的典例.2.运用勾股定理的关键是运用转化思想,把实际问题转化为 ,再运用方程或方程组来解. 【合作探究】 1.如图,铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄,D A ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15km,CB=10km.现在要在铁路AB 上建一个特产品收购站E,使得C 、D 两村到E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站多少千米处?【巩固提升】1.如图,有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行 ( ) A.8m B.10m C.12m D.14m2.一圆柱体的底面周长为24cm,高AB 为5cm,BC 是直径,一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的侧面爬行到点C 的最短路程大约是 ( ) A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm3.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB 的垂直平分线交BC 于D,垂足为E,ED=4cm,则AC= cm.4.如图,A C ⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,则AC= .1题图 2题图 3题图 4题图5.教科书P28习题17.1第4、5题. 【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 28 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生【达标检测】1.如图,一段楼梯高BC 是3m,斜边AC 长5m,在楼梯上铺地毯,地毯至少要 ( ) A.5m B.7m C.4m D.12m2.边长为a 的等边三角形的面积等于 ( ) A.a 43 B.a 23C.243a D.233a 3.如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m 和8m,按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道,则O 到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O 为点)是 ( ) A.2m B.3m C.6m D.9m1题图 3题图4.一轮船以16海里/时的速度离开A 港向东北方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A 港向西北方向航行,经过2小时后它们相距多少海里?第3学时 17.1.3勾股定理(3)【明确目标】1.能利用勾股定理,根据已知直角三角形的两边长求第三条边长,并能在数轴上表示无理数;2.体会数与形的密切联系,增强应用意识,提高运用勾股定理解决问题的能力;3.培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见. 【自主学习】阅读教科书第26页到27页的内容,思考并回答下面的问题；1.利用勾股定理,可以发现,的线段是两直角边分别为正整数 、 的直角三角形的斜边.在数轴上,找到点A,使OA= ,过点A 作直线l 垂直于OA,在l 上取点B,使AB= .以原点O 为圆心,以OB 为半径作弧,弧与数轴的交点C 即为表.2.教科书P27练习第1、2题.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 29 -【合作探究】1.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 是△ABC 的中线,MN ⊥AB 于N,求证:AN 2=BN 2+AC 2.2.如图,折叠长方形一边AD,点D 落在BC 边的F 处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC 的长.【巩固提升】1.如图,数轴上的点A 所表示的数为x ,则x 的值为 ( ) A. 3B .－3C.D.2.如图,直线l 上有三个正方形a 、b 、c ,若a 、c 的面积分别为5和11,则b 的面积为 ( )3.如图,在边长为2 的正方形ABCD 中,M 为边AD 的中点,延长MD 至点E,使ME=MC,以DE 为边作正方一菜DEFG ,点G 在CD 上,则DG 的长为 ( )1B.3111题图 2题图 3题图 4.若等腰三角形的两边长分别为4和6,则底边上的高等于 ( ) A.7B.7或41C. 42D. 42或7数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 30 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生DCBA5.细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. (1)2+1=2S 1=21 (2)2+1=3S 2=22 (3)2+1=4 S 3=23 ……(1) 请用含有n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律. (2) 推算出OA 10的长.(3) 求出210232221S S S S +⋅⋅⋅+++的值.6.教科书P28习题17.1第10、11、12题. 【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是 ( ) A.4cm B.34cm C.6cm D.36cm2.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为 ( ) A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或3.如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷 径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路 （假设2步为1米），却踩伤了花草．4.已知:如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,AD ⊥DC,AB ⊥AC,∠B=60°数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 31 -DCBA第4学时 勾股定理习题课1.直角三角形有一直角边的长为11,另两条边的长是两个连续自然数,则周长是 ( ) A.132 B. 121 C. 120 D. 1232.在△ABC 中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC 的长是 ( ) A.14 B.14或4 C.8 D.4或83.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 ( ) A.9分米 B.15分米 C.5分米 D.8分米4.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．5.等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm,底边BC=16cm,则底边上的高为 ,面积为 .6.如图, R t △ABC 的面积为20cm 2,在AB 的同侧,分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为 .7.如图,一只蚂蚁沿着棱长a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为 .8.如图,将一根长24cm 的筷子,置于底面直径为5cm 高12cm 的圆柱形水杯中,筷子露在杯子外面的长为hcm,则h 取值范围是 .9.如图,将一个长、宽分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与A 点重合,则EB 的长是 .6题图 7题图 8题图10.如右图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m 的 楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元,请你帮助计算一下,铺 完这个楼道至少需要 元钱.11.一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm ,AB=4cm ,BD=12cm . 求CD 的长.数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 32 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生DC BANM PA 12.如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB 的长.13.如图A 、B 两个村子在河CD 的同侧,A 、B 两个村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km, CD=3km, 现要在河边CD 上建一个水厂,为A 、B 两村输送自来水,铺设水管的费用为每千米2000元,请你在CD 上选择水塔位置O 点,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用.14.如图,公路MN 上有一拖拉机由点P 向点N 行驶,在公路一侧点A 有一所中学,已知PA=160m,且∠NPA=30°.假设接拉机在行驶时,周围100m 以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到噪音影响?请说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间是多少秒?15.教科书P28习题17.1第14题.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华 - 33 -第5学时 17.2.1勾股定理的逆定理(1)【明确目标】1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理;2.探究勾股定理的逆定理的证明方法;3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系. 【自主学习】阅读教科书第31页到32页的内容,思考并回答下面的问题；1.如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是 . 2.如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题设和结论正好相反,这两个命题叫做 命题.3.教科书P33练习第1、2、3题.【合作探究】1.△ABC 中,AB=10,BC=12,BC 边上的中线AD=8,试说明△ABC 是等腰三角形.2.在△ABC 中22n m a -=,mn b 2=,22n m c +=,其中m,n 是正整数,且m>n ,试判断△ABC是否是直角三角形.【巩固提升】1.若1>a ,在下列四组数中,能组成直角三角形的是 ( ) A.1,1,12++-a a aB.)1(5),1(4),1(3---a a aC.1,,1+-a a aD.42,,22++a a a2.三角形的三边长a ,b ,c 满足ab c b a 2)(22=-+,则此三角形是 ( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形3.下列各组数中,是勾股数的是 ( ) A.14,36,39 B.8,24,25 C.8,15,17 D.10,20,264.△ABC 中,AB=7,AC=24,BC=25,则∠A= .数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 34 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生5.“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是 .6.把命题“如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式: . 7.如图, △ABC 中,CD 是AB 边上的中线,AC=8,BC=6,CD=5,求证:△ABC 为直角三角形.8.能够成为直角三边长的三个正整数,我们称之为一组勾股数,观察下列表格所给出的三个(1)试找出它们的共同点; (2)写出当a =17时, b ,c 的值.【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.分别以下列四组数为一个三角形的边长:①3,4,5；②5,12,13；③8,15,17；④4,5,6,其中能构成直角三角形的有 ( ) A.4组 B.3组 C.2组 D.1组2.△ABC 的三边分别为下列各组值,其中不是直角三角形三边的是 ( )A.9,40,41===c b a B.2,6.1,2.1===c b a C.41,31,21===c b a D.1,54,53===c b a数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 35 -3.下列说法正确的是 ( ) A.真命题的逆命题是真命题 B.原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题 C.命题一定有逆命题 D.定理一定有逆定理4.下列命题中,其逆命题成立的是 .(只填写序号)①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角是直角,那么它们相等; ③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形.5.若△ABC 的三边长a ,b ,c 满足c b a c b a 201612200222++=+++,试说明△ABC 的形状.第6学时 17.2.2勾股定理的逆定理(2)【明确目标】1.进一步掌握勾股定理的逆定理,并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形,能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围；2.培养逻辑推理能力,体会“形”与“数”的结合；3.在不同条件、不同环境中反复运用定理,达到熟练使用,灵活运用的程度；4.培养数学思维以及合情推理意识,感悟勾股定理和逆定理的应用价值. 【自主学习】阅读教科书第32页到第33页的内容,思考并回答下面的问题；1.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,称这两个定理互为 .2.三角形的三边长a ,b ,c 满足ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是 ( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.直角一角形3. △ABC 的三边长分别为5,12,13,则S △ABC = ( ) A.30 B.60 C.78 D.不能确定4. 如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC 是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 36 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生CBA 35°N M CB A 【合作探究】1.甲乙两船队从港口A 同时出发,甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行,乙船以40海里/时的速度向另一方向航行,2小时后,甲船到达C 岛,乙船到达B 岛,若C,B 两岛相距100海里,问乙船航行的方向是南偏东多少度?2.如图,在等腰直角三角形ABC 的斜边上取两点M,N,使∠MCN=45°,设AM=a ,MN=x ,BN=b ,试判定以x 、a 、b 为边长的三角形的形状.【巩固提升】1.等边三角形的高是3,那么这个三角形的面积是 ( ) A.3B. 23C.1D.22.在下列各组数中:①9,12,15; ② 32, 42, 52; ③)0(5,4,3>a a a a ④)1(2,1,122>-+a a a a ⑤7,24,25;⑥)0(,2,2222>>+-m m n m mn n m 可作直角三角形三边长的有 组 ( ) A. 6 B. 5 C.4 D.33.如图,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆,如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,则这个三角形为 ( ) A.直角一角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形4.如图, △ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点M 为BC 的中点,MN ⊥AC 于点N,则MN 等于 ( ) A.56 B.59 C.512 D.516 5.小明将一幅三角板如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,则AC= .3题图 4题图 5题图数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华 - 37 -6.教科书P34习题17.2第6题. 【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？ 【达标检测】1.△ABC 在下列条件下,不是直角三角形的是 ( ) A .∠C=∠A-∠BB.∠A:∠B:∠C=1:2:3C. 222c a b -=D.5,3,2===c b a2.在△ABC 中,AC=BC=2,AB=22,则△ABC 中的最小角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对3.下列说法中,错误的是 ( ) A.在△ABC 中,∠C=∠A-∠B,则△ABC 是直角三角形B.在△ABC 中,,∠A:∠B:∠C=1:2:3, 则△ABC 是直角三角形C.在△ABC 中,若c b c a 54,53==,则△ABC 是直角三角形 D.在△ABC 中,a :b:c=2:3:4, 则△ABC 是直角三角形4.一个三角形三边的长度之比是5:12:13,且周长是120cm,则它的面积是多少？第7学时 勾股定理逆定理习题课1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是 ( ) A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶52.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为 ( ) A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对3.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正 确的是 ( )A B C D数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 38 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生4.若三角形三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n= 时,此三角形为直角三角形.5.若一个三角形的周长为122cm,一边长为32cm,另两边之差为2,则这个三角形是 .6.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），△OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论7.已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.8.已知:如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求四边形ABCD 的面积.9. (1)如图①是一个重要公式的几何解释,请你写出这个公式;(2)如图②,Rt △ABC ≌Rt △CDE,∠B=∠D=900,且B,C,D 三点共线,试证明∠ACE=900.数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华 - 39 -(3)伽菲尔德(Garfield,1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定理(1976年4月1日,发表在《新英格兰教育日志》上),现请你尝试该证明过程.10.教科书P34习题17.2第1-5、7题.第8学时 《勾股定理》复习（1）【明确目标】1.理解勾股定理的内容,已知直角三角形的两边,会运用勾股定理求第三边；2.勾股定理的应用；3.会运用勾股定理的逆定理,判断直角三角形. 【自主学习】在本章中,我们探索了直角三角形的三边关系,并在此基础上得到了勾股定理,并学习了如何利用拼图验证勾股定理,介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方.就是说,对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a 、b,斜边为c,那么一定有：————————————.这就是勾股定理.(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系,是解决有关线段计算问题的重要依据.22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=.勾股定理的探索与验证,一般采用“构造法”.通过构造几何图形,并计算图形面积得出一个等式,从而得出或验证勾股定理. 2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2),先构造一个直角边为a,b 的直角三角形,由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS ”证明两个三角形全等,证明定理成立.数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 40 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边,求第三边；(2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点.勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,它不仅可以判定三角形是否为直角三角形,还可以判定哪一个角是直角,从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理,通过计算来证明,体现了数形结合的思想.(3)三角形的三边分别为a 、b 、c,其中c 为最大边,若222c b a =+,则三角形是直角三角形；若222c b a >+,则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22,则三角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边. 【合作探究】1.如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm,那么这个三角形的周长和面积分别是多少?2.如图,在四边形ABCD 中,∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求证:AD ⊥BD.【巩固提升】1.如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是 ( ) A.7,24,25 B.321,421,521 C.3,4,5 D.4,721,821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的 ( ) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍3.三个正方形的面积如右图,正方形A 的面积为 ( ) A. 6 B. 36 C. 64 D. 84.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上的高为 ( ) A.6cm B.8.5cm C.1330cm D.1360cm 3题图数学八（下）勾股定理编著：李普洪5.如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8m处,已知旗杆原长16m,你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距( )A.50cmB.100cmC.140cmD.80cm2.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为( ) A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm3.在△ABC中,∠C＝90°,若a＝5,b＝12,则c＝.4.等腰△ABC的面积为12cm2,底上的高AD＝3cm,则它的周长为.5.等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为.6.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是.7.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺.求竹竿高与门高.生命在教育中流淌生命在学习中升华- 41 -数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 42 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生第9学时 《勾股定理》复习（2）【明确目标】1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系,熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题；2.经历反思本单元知识结构的过程,理解和领会勾股定理和逆定理；3.熟悉勾股定理的历史,进一步了解我国古代数学的伟大成就,激发爱国主义思想,培养良好的学习态度. 【自主学习】1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm ,则斜边长为 .2.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5;（2）5、12、13;（3）8、15、17; （4）4、5、6,其中能够成直角三角形的有 .3.在Rt △ABC 中, a,b,c 分别是三条边,∠B=90°, 已知a=6,b=10,则边长c= .4.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所爬行的最短路线的长是 . 4题图 5题图 5.如图：在一个高6米,长10米的楼梯表面铺地毯,则该地毯的长度至少 米. 6.在数轴上作出表示10的点.7.已知,如图在ΔABC 中,AB=BC=CA=2cm,AD 是边BC 上的高.求:①AD 的长；②ΔABC 的面积.8.如图,铁路上A,B 两点相距25km,C,D 为两村庄,DA ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E,使得C,D 两村到E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站多少km 处?A D EB C数学八（下） 勾股定理 编著：李普洪生命在教育中流淌 生命在学习中升华- 43 -【合作探究】1.已知:如图,△ABC 中,AB ＞AC,AD 是BC 边上的高.求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC).2.如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？【巩固提升】1.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是 .2.若一个三角形的周长12c m,一边长为3c m,其他两边之差为c m,则这个三角形是 .3.直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ,82cm ,则以斜边为边长的正方形的面积为 2cm .4.如图,某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米,又与公路车站（D 点）的距离为500米,现要在公路上建一个小商店（C 点）,使之与该校A 及车站D 的距离相等,求商店与车站之间的距离.数学八（下） 勾股定理 审阅：张 容 2015级数学备课组- 44 - 带你走成功捷径 助你创辉煌人生5.如图，点P 是等边△ABC 内一点,PA=4,PB=3,PC=5, 1PB PB =，160PBP ︒∠=，求1BPC ∠的度数.【总结反思】1.我今天学到了什么知识？2.还有哪些疑惑？【达标检测】1.已知△ABC 中,∠A= ∠B= ∠C,则它的三条边之比为 ( ) A.1：1：1 B.1：1 ：2 C.1：2 ：3 D.1：4：12.下列各组线段中,能够组成直角三角形的是 ( ) A.6,7,8 B.5,6,7 C.4,5,6 D.3,4,53.若等边△ABC 的边长为2cm,那么△ABC 的面积为 ( ) A.3 cm 2B.2 cm 2C.3 cm 2D.4cm24.直角三角形的两直角边分别为5cm,12cm,其中斜边上的高为 ( ) A.6cm B.8.5cm C.3013cm D.6013cm 5.有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米.6.一座桥横跨一江,桥长12m,一般小船自桥北头出发,向正南方驶去,因水流原因到达南岸以后,发现已偏离桥南头5m,则小船实际行驶 m.7.一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是 . 8.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是 . 9.已知:如图△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,点D 在BC 上,DA ⊥CA 于A.求BD 的长.1。
第17章勾股定理导学案17.1勾股定理第1课时
CB A勾股定理第1课时【学习目标】1、能用在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理。
2、通过用拼图的方法验证勾股定理，经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程获得数学知识，发展数形结合的数学思想。
3、能对勾股定理和它的变形简单应用。
【学习重点】勾股定理的探索和证明 【学习难点】勾股定理的证明预 习 案知识链接我们学过的直角三角形有哪些性质？（每个同学自制4个大小完全一样的直角三角形） 边： 角：探 究 案探究一：直角三角形的三边关系1、如图，在正方形瓷砖拼成的地面中，观察图中用阴影画出的三个正方形，两个小正方形P 、 Q 的面积与大正方形R 的面积有什么关系？用图中的线段表示为： 即：在等腰直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。
2、如图，每一小方格表示1平方厘米，那么： 正方形P 的面积＝ 平方厘米；正方形Q 的面积＝ 平方厘米；正方形R 的面积＝ 平方厘米．我们发现，正方形P 、 Q 、 R 的面积之间的关系是： ．用图中的线段表示为：（每一小方格表示1平方厘米）即：在一般直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。
由此，对于任意的直角三角形，若它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则一定有：勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平方。
探究二：勾股定理的证明每个同学拿出自制的4个直角三角形拼图，能否拼出下列图形。
（利用面积证明勾股定理）如左图，∵ S 大正方形= ，S 小正方形= ，S 三角形= ，又∵S 大正方形-S 小正方形= ∴ ∴即： 勾股定理符号语言：∵在ABC Rt ∆中，090=∠C∴ （勾股定理）探究三：勾股定理的简单变形对于勾股定理：222c b a =+，可以有哪些变形？训 练 案1.在∆Rt ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为c b a ，，，∠C ＝90°.回答下列问题：①若43==b a ，，则c ＝ ②若817==a c ，，则b ＝ ； ③若1312==c b ，，则a ＝ .（提示：根据题意先画出草图辅助分析。
人教版2019八年级(下册)数学 第十七章勾股定理全章导学案
第十七章勾股定理17.1 勾股定理第1课时勾股定理一、导学1.导入课题在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦，并探索出了勾、股、弦之间的关系（即直角三角形三边之间的关系），这种关系是怎样的关系呢？又把这种关系叫做什么呢？2.学习目标（1）了解勾股定理的文化背景，了解常见的利用拼图验证勾股定理的方法.（2）知道勾股定理的内容.3.学习重、难点重点：勾股定理内容的条件与结论.难点：勾股定理的几何验证方法.4.自学指导（1）自学内容：探究：直角三角形三边之间存在怎样的等量关系.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：结合探究提纲动手拼图，思考面积关系.（4）探究提纲：①投影家中地板砖铺成的地面图案，并框定某一个直角三角形.a.右图中正方形ABFG、正方形ACDE和正方形BMNC的面积之间有何关系？b.如果设AB=a，AC=b，BC=c,那么由a.c.猜想：直角三角形两直角边的等于斜边的.②根据下面拼图，验证猜想的正确性.拼成的正方形面积等于4个直角三角形面积+小正方形面积，即，化简得.二、自学结合探究提纲进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：了解学生探究中存在的问题.(2)差异指导：指导学生运用面积法找到等量关系.2.生助生：同桌之间相互研讨，帮助解决疑难.四、强化1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.五、评价1.学生的自我评价：小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、合作探究的成绩和不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本节课通过向学生介绍勾股定理的悠久历史，让学生了解古代劳动人民在数学方面的成就，感受数学文化是人类文化的重要组成部分.本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）1.(15分)在Rt△ABC中，两直角边长分别为3，则斜边长为.2.(15分)在Rt△ABC2，则另一条直角边的长为.3.(10分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b= .4.(20分)在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)已知c=25，b=15，求a；(2)已知A=60°，求b，c.二、综合运用(20分)5.已知直角三角形的两边长分别为3，2，求另一条边长.三、拓展延伸(20分)6.如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长.17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用一、新课导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理的意义，它具有广泛的实际应用，下面我们试用它来解决几个问题.2.学习目标（1）能应用勾股定理计算直角三角形的边长.（2）能应用勾股定理解决简单的实际问题.3.学习重、难点重点：运用勾股定理求直角三角形的边长.难点：从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中的有关问题.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P25例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：思考木板通过门框的方式有几种，并对照数据分析木板能否通过.（4）自学参考提纲：①因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于1m，所以木板不能从门框内通过.因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于2m，所以木板也不能从门框内通过.所以试试斜着能否通过，是斜着通过的最大长度，因此必须先求出长，再与木板的宽比较.②在Rt△ABC中，根据勾股定理：AC2= =12+22=5，因此AC= ≈.因为AC≈(>)2.2，所以木板从门框内通过.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否分析出木板穿过门框的途径有哪些.②差异指导：指导寻找木板通过门框的途径；木板斜着通过需要怎样斜放时间隙是最大的.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化（1）归纳解题思路：把实际问题转化成长方形ABCD的问题，再把长方形ABCD转化成Rt△ABC，运用勾股定理计算，求解.（2）练习：在上述问题中，若薄木板长3m，宽1.5m，木板能否从门框内通过？为什么？1.自学指导（1）自学内容：教材P25例2.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：思考图中的实际问题实质是直角三角形的问题，所以应从直角三角形来分析解决问题的办法.（4）自学提纲：①由梯子的原来位置构成的Rt△AOB，可求得OB= .②由梯子顶端下滑至C的位置时，又构成Rt△COD，且CD长不变，OC= ，由勾股定理可求得OD≈.③可以看出，BD=OD-OB，求BD，必先求出OB、OD，在Rt△AOB中，3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否理解题意，梯子位置变化前后，什么不变，什么在变，学生是否清楚.②差异指导：由线段和差关系如何表示BD；梯子与墙面、地面构成什么图形.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化：学会将实际问题转化为数学问题，建立几何模型求解.1.自学指导（1）自学内容：教材P26到P27练习以上的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：动手尝试作直角三角形中，由已知两边长去求第三边长.（4）自学提纲：①教材P26思考中的证明：先用证得，再用公理判定△ABC≌△A′B′C′.的线段是直角边为正整数，的直角三角形的斜边长.③在数轴上画出表示13的点，方法如下：在数轴上找到点A，使OA= ，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB= ，以原点O为圆心，OB为半径画弧与数轴的正半轴的交点C，点C即为表示的点.④完成P27练习题.2.自学：请同学们结合自学提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生看书、动手中存在的问题障碍.②差异指导：指导学生分析作图方法及依据.(2)生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化(1)尺规作图方法.(2)总结在数轴上作出表示无理数的点的步骤.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：小组代表介绍自己在学习中的探索方法、收获和疑惑..2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生课堂学习的积极态度、成果及不足.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学内容是用勾股定理解决简单的实际问题，运用到的思想是数形结合的思想.在实际生活中，很多问题需要用到勾股定理去解决.因此在解决此类问题时，先要将它转化为数学问题，就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成，所以教师在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此处，教师还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（50分）1.(20分)求出下列直角三角形中未知的边.2.(10分)直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为.3.(10分)如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，现测得CB=60m,AC=20m.求A，B两点间的距离(结果取整数).第3题图第4题图4.(10分)如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4)，求这两点间的距离.二、综合运用（20分）5.(10分)如图，∠BAC=90°,AD⊥BC,BC=4cm,∠B=60°,求AD,BD的长.三、拓展延伸（30分）7.(15分)印度数学家什迦罗(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可见，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；诸君帮忙算一算，湖水如何知深浅？”请用学过的知识回答这个问题.(如图)8.(15分)有5个边长为1的正方形，排列成如下图形式，请把它适当分割后拼接成一个大正方形.(用虚线标示分割线，并简要写出分割拼接法).将五个小正方形按图1中虚线剪切为四个全等的直角三角形和一个小正方形，按图2的摆法拼接，则可得到一个面积为5的大正方形.17.2 勾股定理的逆定理一、新课导入1.课题导入前面我们学过命题1:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.反过来，在一个以a、b、c为边长的三角形中，如果a2+b2=c2,那么这个三角形一定是直角三角形吗？2.学习目标(1)了解命题、逆命题等概念，并会写一个命题的逆命题.(2)会判断一个命题的逆命题的真假，知道定理与逆定理的关系.(3)了解勾股定理的逆定理的条件与结论与原命题的条件与结论的关系.(4)学会运用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形.3.学习重、难点重点：会分清一个命题的题设和结论，正确把握勾股定理与其逆定理的关系.难点：勾股定理的逆定理的应用.二、分层学习1.自学指导(1)自学内容：P31倒数第3行以上内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：认真阅读课文内容，重点、疑点做上记号，并与同桌交流.(4)自学参考提纲：①你通过尝试课文中介绍的绳子打结后围成的三角形的试验，并不断变换三角形各边的结数，你能得出什么结论吗？②如果三角形的三边长a、b、c满足，那么以a、b、c为边的三角形是直角三角形.从而得出命题2：.③前面我们学过的命题1和命题2的题设与结论是什么关系？我们把像命题1和命题2这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题.④写出下列命题的逆命题.a.内错角相等，两直线平行.b.对顶角相等.c.若a=b，则|a|=|b|.⑤一个真命题的逆命题一定是真命题吗？试举例说明.2.自学：同学们结合自学提纲进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：深入课堂了解学生自学中的疑点及存在的问题.②差异指导：对学生中在题设与结论分析不清的地方进行点拨引导.(2)生助生：小组内相互交流帮助.4.强化(1)互逆命题的意义.(2)原命题成立，它的逆命题不一定成立.1.自学指导(1)自学内容：P32的内容.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：阅读教材内容，体会课本中证明命题2的方法和依据，并与同桌交流疑点.(4)自学参考提纲：①在探究中证明△ABC≌△A′B′C′运用了判定两个三角形全等的哪种方法？②在△A′B′C′中，为何A′B′=c?③∠C=90°是根据什么理由得到的？④具有什么特征的三个数是勾股数，举一、二例交流一下.⑤判断以下列三条线长为边的三角形是不是直角三角形？1；；.4,5,622.自学：同学们可结合自学指导进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生自学中的疑点和难点，特别是看能否正确运用逆定理来找对应的直角.②差异指导：指导学生在运用逆定理时，先找最大(边)数，再计算出较小两个数的平方和与最大数的平方，然后再进行比较.(2)生助生：同桌之间，小组之间相互交流研讨. 4.强化（1）判别一个三角形是不是直角三角形的方法： ①由角判别； ②由边来判别.(2)三个数为勾股数必须满足的两个条件： ①勾股数必须是正整数；②两个数的平方和等于第三个数的平方.(3)强调本节课学习中注意的问题及运用的思想方法.1.自学指导(1)自学内容：P 33例2. (2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：阅读时，仔细领会题意和作图，体会例题中如何将实际问题转化为数学问题.(4)自学参考提纲：①在平面内，对于某一个确定的点O ，它所在的方位是上 ，下 ，左 ，右 (填“东”、“南”、“西”、“北”).②“东北方向”指的是北偏东 度，“西南方向”是指 .③由例题2的题意可知：一个半小时后，“远航”号离港口的距离PQ= 海里，“海天”号离港口的距离PR= 海里，“远航”号与“海天”号之间的距离QR= 海里；因为()()()222241830+=，所以 =90°,于是有：PR 方向是北偏西 度，即“海天”号沿 方向航行.④A 、B 、C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，那么C 地在B 地的什么方向？为什么？2.自学：同学们可结合自学指导进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对方位图的理解，了解存在的困难在哪里？②差异指导：图形中反映的方位确定;寻求PR、PQ、QR之间满足的关系的引导.(2)生助生：小组内相互交流帮助.4.强化(1)结合画图，认识方位角.(2)点评例题的解题思路、方法及易混易错点.(3)总结勾股定理的逆定理在解决实际问题的作用及表达方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法，收获及困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、方法、收获及存在的不足.(2)纸笔评价：课堂评价检测3.教师的自我评价（教学反思）.本课时的教学目标是在掌握了勾股定理的基础上，让学生从三边的关系来判定一个三角形是否为直角三角形，即“勾股定理的逆定理.”让学生了解互逆命题，互逆定理的概念以及它们之间的联系与区别，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.让学生通过合作、交流、反思感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索，合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列各组数能否作为一个直角三角形的三边长?为什么？(1)5，12，13 (2)6，8，10 (3)15，20，25答案2.(10分)写出下列命题的逆命题，并断定其逆命题的真假性.(1)如果两个角是直角，那么它们相等.(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(3)如果2=那么a ≥0.3.(10分)△ABC 的三边长之比为1∶1∶2，那么△ABC 是 三角形.4.(10分)小明向东走80m 后，沿另一个方向又走了60m,再沿第三个方向走100m 刚好回到原地，则小明向东走80m 后是向 方向走的.5.(20分)如果m 是表示大于1的整数，a=2m ，b=m 2-1,c=m 2+1,那么以a 、b 、c 为边长的三角形是直角三角形吗?为什么？6.(10分)若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC 是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形二、综合运用（15分）7.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足224422a cb a bc +=+,试判断△ABC 的形状.三、拓展延伸（15分）8.一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3,AD=4,BC=12,CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？∴第十七章勾股定理章末复习一、复习导入1.导入课题前面我们学习了勾股定理及其逆定理，大家对定理的内容及应用掌握得如何呢？这节课我们一起来作一个回顾总结，检阅学习成果.2.复习目标（1）复习与回顾本章的重要知识点和知识结构.（2）总结本章的重要思想方法及其应用.3.复习重、难点重点：勾股定理及其逆定理的用途和相互关系.难点：勾股定理及逆定理的综合运用.二、分层复习1.复习指导（1）复习内容：P22到P39.（2）复习时间：8分钟.（3）复习要：通过阅读课本和笔记梳理本章的重要知识点及典型应用.（4）复习参考提纲：①如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有.②如果三角形的三边长a，b，c满足关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是三角形.③如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n是不小于1的整数.④两个命题中，如果一个命题的和分别是另一个命题的和，那么这两个命题称为互逆命题.原命题正确，逆命题正确.⑤一个命题有逆命题，一个定理的逆命题正确，所以它有逆定理(填“一定”或“不一定”).2.自主复习：学生可参考复习参考提纲进行自学.3.互助复习（1）师助生：①明了学情：了解学生对本章重要知识点的整理和识记是否完整，知识应用是否熟练.②差异指导：对定理的应用方面进行指导总结，共性问题集中指导，个性问题个别指导.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化：（1）勾股定理及其逆定理的内容.（2）强调本章的数学思想方法：①建立数学模型；②定理求边、逆定理求直角.1.复习指导（1）复习内容：典例剖析，疑点跟踪.（2）复习时间：15分钟.（3）复习要求：完成所给例题，也可查阅资料或和其他同学研讨.（4）复习参考提纲：【例1】下列各组数中，不是勾股数的是( )A.4,3,5B.5,12,13C.10,15,18D.8,15,17【例2】如图直角三角形中，边长x等于5的三角形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【例3】一束光线从y轴上点A(0，1)出发，经过x轴上点C反射后经过点B(3，3)，则光线从A点到B点经过的路线长是.【例4】我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么(a＋b)2的值是.【例5】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE.【例6】如图，一个圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B 点，请你算一算梯子最短需多少米？(已知油罐的底面周长是12米，高是5米)2.自主复习：学生尝试完成复习参考提纲中的例题.3.互助复习：（1）师助生：①明了学情：注意学生在自主学习解答例题时，存在的障碍和问题在哪里？②差异指导：例5中证CE⊥BE的思路指导：勾股定理的逆定理；例6中引导学生将曲面转化成平面考虑.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化（1）点两位学生口答例1、例2的解答依据和过程、结果.点三位学生板演例3、例4、例5.（2）点评其中的易错点及思想方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生复习的方法、收获和存在的问题.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本节课是复习课，师生共同完成本章知识框图的建立，教师帮助学生进行知识梳理，让学生更好地回顾本章的知识点，理解本章的知识体系.牢牢抓住勾股定理及其逆定理，并会运用这两个定理解决实际问题.教师精选部分例题，让学生试着解答；教师再予以点拨，以达到复习效果.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，为求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形，且∠B=90°，再测得AC长160米，BC长128米，则A、B之间的距离为( )A.96米B.100米C.86米D.90米第1题图第3题图2.(10分)下列命题中，逆命题仍然成立的是( )A.全等三角形的面积相等B.到角两边距离相等的点在这个角的平分线上C.同一个角的余角相等D.等腰三角形是轴对称图形3.(10分)如图，正方形的面积是.4.(10分)有长为3cm, 6cm,9cm,12cm,15cm的五根木棒，要从中选出3根，搭成直角三角形，则选出的3根木棒的长应分别为.5.(15分)在如图所示的数轴上作出表示-10的点.点A即为表示-10的点.6.(15分)如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为多少？(结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高)二、综合运用(15分)7.如图所示，一只蚂蚁在A处往东爬8格后，又向北爬2格，遇到干扰后又向西爬3格，再折向北爬6格，这时发现B处有食物，于是便又向东爬1格到B处找到食物，如果图中每一个方格都是边长为1cm的正方形，问此时蚂蚁爬行的路程是多少？如果蚂蚁从A处沿直线AB到达B处，则可少爬多远的路程？三、拓展延伸(15分)8.如图，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，A 与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明.数学活动——勾股定理的应用及其证明方法的探究一、导学1.活动导入给你一根较长的绳子和刻度尺，你能测量学校旗杆的高度吗？给你4个全等的直角三角形，你能拼出不同课本介绍的其他图案，并能证明勾股定理吗？本节活动课，我们就这两个问题一起探讨，看能否攻克这两个问题.2.活动目标（1）通过测旗杆的高度，培养学生动手测量能力，亲身感受学习数学知识是为实践服务的意识.（2）通过拼图活动，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，发展形象思维.同时了解勾股定理的历史，感受数学文化，增强对我国悠久历史文化的热爱情感.3.活动重、难点重点：旗杆的高度测量以及用4张全等的直角三角形纸片，拼出一些与教科书上不同的图案，并用自己拼出的图案证明勾股定理.难点：寻求应用勾股定理测量旗杆的高度和利用拼图验证勾股定理的方法.二、活动过程活动1 测量旗杆的高度1.活动指导（1）活动内容：P36活动1：测量旗杆的高度.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：①回忆勾股定理的内容及功能：其内容为：如果直角三角形的两条直角边长为a,b，斜边长为c，那么，其功能为.②测旗杆的高度方案的原理是.③如图，将绳子拉直并拉到如图1所示的位置，先测BC之长为a米，再将绳子AB放下并测得其多出的一段长为h,则设AC=x,可列式为2.自学：学生参考活动指导进行活动性操作学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：老师随时出现在小组活动中间，对测量的方法和结果作明确了解.②差异指导：老师应对动手能力差的同学进行当面指导.（2）生助生：各小组之间积极配合，按制定测量方案进行，并相互纠正不合理之处.4.强化测量旗杆的高度是利用绳长超过旗杆，把绳子拉直，让绳子下端与地面接触，从而构成直角三角形，再运用勾股定理，知道两边长，可求出第三边之长.活动2用四张全等的直角三角形纸片拼图，并证明勾股定理1.活动指导（1）活动内容：P36活动2：拼图并证明勾股定理.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：按活动指导进行动手拼图试验.（4）活动参考提纲：①设4个全等的直角三角形的三条边的长度分别为a,b,c，以下各图是按要求方法拼出的几个图案，请你用两种不同的方法计算图2中大正方形（或小正方形）的面积，从中你发现勾股定理的证明方法了吗？②你还能拼出另外的图案吗？看看在哪些图案中用类似方法证明勾股定理.2.自学：学生按自学指导进行活动性学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解全班各学习小组学生的拼图活动情况.②差异指导：对个别动手拼图能力差的学生进行有针对性的指导.（2）生助生：学生之间互相交流、合作，取长补短.4.强化(1)用4张全等的直角三角形纸片拼出含有正方形的图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠.(2)在拼成的图案中证明勾股定理，是利用面积进行的.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课有哪些收获，有哪些不足？还有哪些疑点？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生的动手操作，逻辑推理、计算、参与活动情况进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本节课是活动课，通过测量旗杆高度和拼图活动，培养学生的动手操作能力和空间想象能力，发展形象思维.在活动过程中，鼓励学生多交流、合作、分享各自的活动经验.教师应对个别动手拼图能力差的学生进行有针对性的指导.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（65分）1.(10分)下列四组数中，不是勾股数的一组是（）A.5，12，13B.3，4，5C.6，8，10D.6，7，82.(10分)若直角三角形三边长分别为3，4，x，则x的可能值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.(10分)满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）∶∶A.b2=c2－a2B.a b cC.∠C＝∠A－∠BD.∠A∶∠B∶∠C＝14.(10分)如图，正方形网格中的△ABC，若小方格长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对5.(10分)五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）。
17章《勾股定理导学案
探索勾股定理-（1）（第1课时）学生姓名：学习目标：会探索勾股定理，会初步利用勾股定理解决实际问题。
重难点：会用勾股定理求直角三角形的边长学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为：、、。
2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。
3、直角三角形的两个锐角；直角三角形中最长边是。
4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。
二、自主探究：探究一：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边关系为。
探究二：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理：直角三角形 等于 ；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ； 若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。
三、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积12米处。
旗4、如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是多少？四、课后反思第4题BC A探索勾股定理-（2）（第2课时）学生姓名：学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。
能运用勾股定理解决一些实际问题。
重难点：勾股定理的应用。
学习过程： 一、知识回顾：1、直角三角形的勾股定理：2、求下列直角三角形的未知边的长二、自主探究：利用拼图验证勾股定理活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。
2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形的面积＋ 个直角三角形的面积得： ( ＋ )2＝ 2＋ ×12ab . 化简可得：活动二：用四个全等的直角三角形拼出图2验证勾股定理。
第17章勾股定理全章导学案
第十七章勾股定理第一课时17.1勾股定理（1）学习目标：1 •了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程: 、自主学习画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ ABC 用刻度尺量出AB 的长。
（勾3,股4,弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺 折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直 角三角形较短直角边（勾）的长是 3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）5。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗?勾股定理内容 文字表述: 几何表述:⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达 300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
的长是那么就有再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC 用刻度尺量 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即 ；+ ____ 2= _____ 。
（用勾、股、弦填空）AB 的长。
^2 2 3 +42 2 25，5+12.132,、交流展示例1、 已知：在^ ABC 中,/ C=9ff ，/ A 、/ B 、/ C 的对边为、b 、C 。
求证：a 2+ b 2=c 2。
分析: ⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S 4+S 小正=S 大正 即 4X- X2+〔= c 2,化简可证。
写出当a=19时，b , c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来。
3、4、5 32+42=525、12、13 52+122=1327、24、25 72+242=252 9、 40、 41 92+402=412... .. 19, b 、c192+b 2=c 2四、达标测试1.一个直角三角形，两直角边长分别为 3和4,下列说法正确的是（）2. 斜边长为25 B .三角形的周长为25 C .斜边长为5 D .三角形面积为203.一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2,另一直角边长为6,则斜边长为（）例2已知：在^ ABC 中,/ C=90，/ A 、/ B 、/ C 的对边为 求证：a 2+b 2=c 。
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理导学案(全章)
第十七章勾股定理课题：17.1勾股定理（1）学习目标：1 •了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理2 •培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明学习过程：、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC用刻度尺量出AB的长。
（勾3,股4,弦5）以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC用刻度尺量AB的长。
你是否发现3 +4与5的关系，5 +12和13的关系，即3 +4 ___________ 5，5 +12 ____ 13，那么就有______ 2+ ____ 2= ___ 。
（用勾、股、弦填空）对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述:几何表述:二、交流展示例1、已知：在厶ABC中, Z C=90°，/ A、/ B、/ C的对边为a 、b、c。
求证：a2+ b2=c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S"S小正=S大正即4X 1X +〔〕2= c2,化简可证2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在厶ABC 中，/ C=90°，/ A 、/ B 、/ C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2 + b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
第17章勾股定理全章导学案
17.1勾股定理学习目标：了解勾股定理的发现过程，会用面积法证明勾股定理并会计算重点：勾股定理的内容及证明。
难点：勾股定理的证明一、自学导航（阅读课本内容，完成下面内容）1、知识回顾（用学过的知识完成下列填空）①含有一个的三角形叫做直角三角形。
②已知RtA ABC中的两条直角边长分别为a、b，则S ABC二。
③已知梯形上下两底分别为a和b，高为（a+ b），则该梯形的面积为④在RtA ABC中，已知/ A=30°, / C=90°,直角边BO1,则斜边A吐二、互动冲浪（一）、勾股定理的发现1.在古代，人们将直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.2. （1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?结论1： _______________________________A的面积B的面积C的面积左图右图（2）填表：（3 ）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.3.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么4、在RtA ABC 中、/ C=90①若a=6, b=8厕c= ;②若a=15, c=25,贝ij b=；③若c=61, b=60厕a=°（二八勾股定理的验证1 ,已知：在A ABC 中，Z C=90。
，/ A、/ B、/ C 的对边为a、b、c。
求证：a2 b2 c2证明：4SA +S小正= S 大正二根据的等量关系：由此我们得出：2.归纳定理：直角三角形两条平方.的平方和等于的如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么三、当堂检测注意：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.1、下列说法正确的是（）A.若a、b、c 是Z A ABC 的三边，贝U a2 b2 c2B.若a、b、c 是Rt △ ABC 的三边，贝ij a2 b2 c2C.若a、b、c 是Rt △ ABC 的三边，A 90，则a2b2 c2D.若a、b、c 是Rt △ ABC 的三边，C 90，则a2b2 c22、在RtA ABC / C=90°(1)已知a=b=5,求c(2)已知a=1,c=2,求b (3)已知c=17,b=8,求a3、（1）若一个直角三角形的两直角边分别为3和4,则第三边的长为多少？（2 ）若一个直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边的长为多少?四、课后练习1、直角三角形的一直角边长6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为_2、 _____________________________________________________________________________ 一个直向三赢丽函k布而百"花1 万4而南三函白勺吊3、已知，如图在△ ABC中，AB=BC=CA=2，AD是边BC上的高.求①AD的长；②A ABC的面积.4、如图，已知在Z A ABC中，CDLAB于D, AO20, BO 15, D吐9。
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。 定理，在西方叫
它是“人类最伟大的十大科学发现之一” 。 二、勾股定理的证明 1.“赵爽弦图” c a b 左图中，分别用不同方法表示大正方形的面积是： ⑴ ⑵ 因此可以得到： = 写出化简过程：
探 究 学 习 生 生 合 作
2.类比“赵爽弦图”的证明方法，根据左图，请你写出 证明过程：
3.“总统证法” ： （提示：根据梯形面积的不同表示方法）
疑 难 解 惑 师 生 合 作
例 2.如图，在△ABC 中，∠A=45°，AC= 2 ,AB= 3 +1， 求：边 BC 的长。
练习： 如图， 在△ABC 中， ∠ACB = 900， CD 是高， 若 AB=13cm， AC = 5cm，求 CD 的长；
例 3. △ABC 中,周长是 24,∠C=90°,且 b=6,则三角形的 面积是多少?
自 主 提 升 真 情 体 验
四、课堂小结： 1.这节课你学到了什么？ 2.你还有什么收获或疑惑？
图1
五、适度拓展： 如图（1） ，已知小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延 长一倍得到新正方形 A1B1C1D1；把正方形 A1B1C1D1 边长按原法 延长一倍得到正方形 A2B2C2D2（如图（2） ） ；„„以此下去， 则正方形 A4B4C4D4 的面积第 2 页
三、勾股定理的运用： 例 1. 如图，在 Rt△ABC 中,BC=24,AC=7,求 AB 的长.
练习 1：课本 P24.练习 1，2 练习 2： 1.在 Rt△ABC 中，AB=c,BC=a,AC=b, (1)已知∠C=90°,a=3,b=4,则 c=______; (2)已知∠B=90°,a=3,b=4,则 c=_____; 2.已知 Rt△ABC 中，a=3,b=4,则 c=_____________;
自 主 学 习 创 设 情 境
R B
A Q P C
勾股定理⑴—第 1 页
4.通过以上的观察与思考， 说说你所了解的直角三角形三边长度之间有什么关系。
自 主 学 习 创 设 情 境
直角三角形
。
A
如果 a, b 是直角三角形的两条直角边，C 是斜边，则有：
b
C
c a
定理。
B
注意：这个定理的前提条件是： 这个结论在中国叫
临海市大洋中学导学案·八年级（下）数学
班级
组名
姓名 课 新课 型
学号 主 备 审 核 林 光
课 题 学 习 航 标
重 点 难 点
17.1 勾股定理⑴
谢海燕、 娄辉利
1.了解勾股定理的历史背景，激发学习勾股定理的兴趣； 2.掌握勾股定理的内容； 3.理解勾股定理的证明； 4.初步学会应用勾股定理进行相关的计算或证明。 勾股定理的证明及应用 勾股定理的证明
图2
勾股定理⑴—第 3 页
学 习 过 程
一、重温伟大的发现 R P C Q B A 1. 观察左图： （1）正方形 P 的面积是 平方厘米。 （2）正方形 Q 的面积是 平方厘米。 （3）正方形 R 的面积是 平方厘米。 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 上面三角形 ABC 三边之间有什么关系？ 2. 观察左图： （1）正方形 P 的面积是 平方厘米。 （2）正方形 Q 的面积是 平方厘米。 （3）正方形 R 的面积是 平方厘米。 思考： ⑴ 你能用正方形的边长表示它们的面积吗？ ⑵ 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 。 3. 在下图中用三角尺画出两条直角边分别为 5cm 、 12cm 的直角三角形， 然后用刻度尺量出斜边的长， 并 验证上述关系对这个直角三角形是否成立。