最新人教版初二下册数学第十七章《勾股定理》导学案
探索勾股定理-（1）
（第1课时）学生姓名：
学习目标：会探索勾股定理，会初步利用勾股定理解决实际问题。
重难点：会用勾股定理求直角三角形的边长
学习过程：
一、课前预习：
1、三角形按角的大小可分为：、、。
2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。
3、直角三角形的两个锐角；直角三角形中最长边是。
4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。
二、自主探究：
探究一：探索直角三角形三边的特殊关系：
（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；
（2）猜想：直角三角形的三边关系为。
探究二：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？
思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理：
直角三角形 等于
；
几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ； 若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。
三、课堂练习：
1、求下图中字母所代表的正方形的面积
12米处。
旗4、如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是多少？
四、课后反思
第4题
B
C A
探索勾股定理-（2）
（第2课时）学生姓名：
学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。
能运用勾股定理解决一些实际问题。
重难点：勾股定理的应用。
学习过程： 一、知识回顾：
1、直角三角形的勾股定理：
2、求下列直角三角形的未知边的长
二、自主探究：利用拼图验证勾股定理
活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。
2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？
分析：大正方形的面积＝ 边长的平方 ＝小正方形的面积＋ 个直角三角形的面积
得： ( ＋ )2＝ 2＋ ×1
2ab . 化简可得：
活动二：用四个全等的直角三角形拼出图2验证勾股定理。
用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形．
图2
分析：大正方形的面积＝边长的平方= ＋4个直角三角形的面积
得 2＝( － )2＋4×1
2
ab . 化简可得：
12
B
A
C
活动三：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的梯形．填空：
（1）梯形的面积=
2
1
（上底+ ）⨯高 （2）如图：梯形的上底=a ，下底= ，高= 。
（3）由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得：
三、课堂练习
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？
四、课堂作业：
1、一个直角三角形的三边分别为3，4，x ，则2
x =
2、如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则求CD 的长。
3、如图，从电线杆离地面
有 米。
五、课后反思
D
勾股定理的应用
（第3课时）学生姓名：
学习目标：掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。
能运用勾股定理解决一些实际问题。
重难点：勾股定理的应用。
学习过程 一、复习
1、直角三角形的勾股定理为：（ ）
2
+（ ）2=（ ）2
2、直角三角形中已知两边，求第三边。
用 定理来求。
二、课堂作业
1、在△ABC 中，∠C=90°，
（1）若BC =5，AC
=12，则AB = ； （2）若BC =3，AB =5，则AC = ； 2、如图，阴影部分的面积为 ；
3、某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加
固，木棒的长为 .
4、直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .
5、若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则两直角边分别为 。
6边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2
.
7、一个直角三角形的三边长为3、4和a ，则以a 8、一直角三角形的斜边比其中一直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 ；9、小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h 的速度向正北方向的学校走去，哥哥以8km/h 的速度向正西方向走去，半小时后，他们相距 10、在数轴上作出表示5的点。
11、若等腰三角形的腰为10cm ，底边长为16cm ，则它的面积为 ；
12、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q 三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？
13、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
14、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长
15、如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？
三、课后反思
E
D
B
C
A
120千米
50千米
40千米
30千米
Q
P
O
N
M
Ｄ
勾股定理的逆定理
（第4课时） 学生姓名：
学习目标：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。
重难点：让学生由三边的长判断一个三角形是直角三角形。
学习过程： 一、复习回顾：
勾股定理：条件： 结论： 二、自主学习：
1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗? (1)3, 4, 5, (2)6, 8, 10 （3）9,12,15
2、1中（1）、（2）、（3）中的三个数有什么关系？（填空分析） （1）32
+42
52
（2）62
+82
102
（3）92
+122
152
3、勾股定理的逆定理： 条件： 结论：
4、勾股数： 。
下列几组数是否为勾股数？说说你的理由。
（1）12，18，22 (2) 9, 12, 15 （３）12，35，36 （4）15,36,39
三、课堂练习：
1、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠Ａ和∠ＤＢＣ都应为直角。
工人师傅量得AB=3，AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？
（2）如果一直角三角形的三边长为a 、b 、c(c 是斜边长)，将三边长都扩大k 倍(k 为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由。
四、课堂小结
五、课堂作业
1. 下列说法正确的是( )
A. 若a 、b 、c 是∆ABC 的三边，则222a b c +=
B. 若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则222a b c +=
C. 若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边90A ∠=，则222a b c +=
D. 若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边90C ∠=，则222a b c += 2、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
Ａ、８，15，17； Ｂ、４，５，６；Ｃ、５，８，10；Ｄ、8，39，40 3、下列几组数中，是勾股数的是（ ）
A 、4，5，6
B 、12，16，20
C 、-10，24，26
D 、2.4，4.5，26.01
4、若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2
）＝０，则△ＡＢＣ是（ ） Ａ、等腰三角形 Ｂ、直角三角形
Ｃ、等腰直角三角形 Ｄ、等腰三角形或直角三角形
5、 有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来﹙ ﹚ A ．13，12，12 ； B ．12，12，8； C ．13，10，12 ； D ．5，8，4
6、三角形的三边长a, b, c 满足等式（a+b ）2-c 2
=2ab,则此三角形的是 三角形。
7、一个三角形的三边之长分别为15，20，25，则这个三角形的最大角为 ，这个三角形的面积为 。
8、如图，在∆DEF 中，DE=17cm, EF=30cm, EF 边上的中线DG=8cm ，问∆DEF 是等腰三角形吗？为什么？
G
F
E
D
9、 如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900
, 求这块草地的面积。
六、课后反思。
八年级数学下册 17.1.3 勾股定理导学案 (新版)新人教版
八年级数学下册 17.1.3 勾股定理导学案 (新版)新人教版17、1、3勾股定理预习案一、学习目标1、利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等、2、利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点、3、进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题、二、预习内容1、阅读课本第26-27页2、勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么：（或）变形：（或）（或）3、对应练习：(1)、①在Rt△ABC，∠C=90，a=3，b=4，则c= 。
②在Rt△ABC，∠C=90，a=5，c=13，则b= 。
(2)、如图，已知正方形ABCD的边长为1，则它的对角线AC= 。
三、预习检测1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。
2、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。
3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，这个等腰三角形的面积为____________。
4、将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（）A、16B、32C、8πD、64 探究案一、合作探究（9分钟），要求各小组组长组织成员进行先自主学习再合作探究、讨论。
【探究一】XXXXX：运用勾股定理证明全等判定方法：斜边直角边（HL）已知：如图，在中和中，，求证：≌、【探究二】XXXXX：如何在数轴上画出表示的点？点拨：①：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可、②长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢?设c ＝，两直角边为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2即a2＋b2＝13、若a，b为正整数，则13必须分解为两个正整数的平方和，即13＝2＋2、所以长为的线段是直角边为、的直角三角形的斜边、请在数轴上完成作图、二、合作、交流、1、例1：已知：如图，△ABC中，AB=4，∠C=45，∠B=60，根据题设可求出什么？【点拨】如何添加辅助线将一般三角形的问题转化为直角三角形的计算问题呢？2、例2：已知：如图，∠B=∠D=90，∠A=60，AB=4，CD=2、求：四边形ABCD的面积、【点拨】如何将四边形的问题转化为三角形问题求解，如何添加辅助线？3、问题：根据勾股定理，你能做出哪些长为无理数的线段呢?欣赏下图，你会得到什么启示?每小组口头或利用投影仪展示,一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星）交流内容展示小组（随机）点评小组（随机）____________第______组第______组____________第______组第______组三、归纳总结这节课我们学习了（1）勾股定理的应用；（2）分类、转化、方程思想、你能说说具体内容吗?四、课堂达标检测1、△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。
八年级数学下册 第十七章 勾股定理导学案(新版)新人教版
八年级数学下册第十七章勾股定理导学案（新版）新人教版班别姓名课题17、1勾股定理(一)课型：预习+展示课学习目标掌握勾股定理，会用面积法证明勾股定理。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
导学过程一、知识链接1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：（2）若∠B=30，则∠B的对边和斜边的关系是：二、自主学习1、阅读课本22页到24页。
2、（1）、一个直角三角形两直角边分别为3cm和4cm的，斜边长为5cm。
（2）一个直角三角形两直角边分别为5cm和12cm 的直角△ABC，斜边长为13cm、问题:你是否发现+与，+和的关系，即+ ，+ ，任意的直角三角形也有这个性质。
即勾股定理文字表述：几何表述：三、合作探究：阅读证明勾股定理的方法看哪个组给同学讲的清楚明白方法1、已知：在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：证明：4S△+S小正=S大正=根据的等量关系：由此我们得出方法2、已知：在△ABC中，∠C=90，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=______________右边S=_______________左边和右边面积相等，即化简可得：四、课后反思：我今天学会了五、达标测试：1、课本24页练习第1题★2、同步学习xxxx学年度八年级数学科导学案主备人：邓冰复备人：审批人：编号班别姓名课题17、1勾股定理(三)课型：预习+展示课学习目标：会用勾股定理解决简单的实际问题。
学习重点：勾股定理的应用。
学习难点：实际问题向数学问题的转化。
导学过程：一、知识链接填空: 在Rt△ABC，∠C=90，⑴如果a=7，c=25，则b= 。
⑵如果∠A=30，a=4，则b= 。
⑶如果∠A=45，a=3，则c= 。
⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
八年级数学下册 第17章 勾股定理复习导学案(新版)新人教版
学
习
目
标
1.进一步理解勾股 定理及其逆定理，弄清两定理之间的关系。
2.复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。
3.运用勾股定理及其逆定理解决问题．
重点：复习直角三角形的有关知识，形成知识体系.
难点：运用勾股定理及其逆定理解决问题。
时间
分配
导入3分钟新课5分钟、练习巩固30分、课堂小结2分
活动二：
1、勾股定理 及其逆定理阐述的是哪种图形的性质及判定？
2、它们阐述的是直角三角形的哪方面（边、角）的性质？
3、你还知道直角三角形的哪些性质？
4、用框图总结直角三角形的性质及判定。
三、课堂练习：
1、在直角三角形ABC中,∠C=90°，
（１）已知ａ：ｂ＝３：４，ｃ＝２５，求ａ和ｂ
（２）已知∠Ａ＝３０°ａ＝３， 求ｂ和ｃ
（３）已知∠Ａ＝４５°，ｃ＝８，求ａ和ｂ
２、直角△的两边长为８和１０，求第三边的长度．
3.已知三角形的三边长为9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是＿＿＿＿度
4 、△ABC的三边长为9 ,40 ,41 ,则△ABC的面积为＿＿＿＿
5、在△ＡＢ Ｃ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＣＢ＝４．
（１）求△ＡＢＣ的面积
学案（学习过程）
导案（学法指导）
学
习
过
程
一、导入新课：
在课前自主阅读课本22-33的内容，然后把本章的知识点用框图总结出来。
二、教学新课
活动一：
1、小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图。
2、每个小组选取一名代表，出示本组的知识框图。
设计意图：通过学生阅读，相互交流，整理知识框图复习本章知识点，自觉内化 到自身的知识体系中。
八年级数学下册 第十七章 勾股定理 17.1勾股定理(一)导学案(新版)新人教版
17.1勾股定理〔一〕二、答疑解惑我最棒〔约8分钟〕 甲： 乙：丙：丁：同伴互助答疑解惑 三、合作学习探索新知〔约15分钟〕 1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题◆关于直角三角形,你知道哪些方面的知识?〔1〕直角三角形叫Rt △〔2〕两锐角互余∠A+∠B=90°〔3〕三角形的面积s=21ab=21hc〔4〕30°所对的直角边等于斜边的一半〔5〕证明两个直角三角形全等有“HL 〞◆毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500•年前,一次,毕达哥拉斯去朋友家作客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论,只有毕达哥拉斯学习活动 设计意图却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，你想知道大哲学家发现了什么吗？〔见课件〕问题：大正方形的面积与两个小正方形的面积有什么关系？学习活动设计意图◆在约公元前1100年，我国古算书?周髀bì算经?记载，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五.在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾长的直角边叫做股斜边叫做弦．四、归纳总结稳固新知〔约15分钟〕1、知识点的归纳总结：〔1〕经过证明被确认正确的命题叫做定理〔2〕勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方。
2、运用新知解决问题：〔重点例习题的强化训练〕◆， Rt △ABC 中，a ，b 为的两条直角边，c 为斜边，求：⑴： a ＝3， b ＝4，求c⑵： c ＝10，a ＝6，求b◆课本P24页练习◆课本P28页习题17.1第1题学习活动 设计意图五、课堂小测〔约5分钟〕 1．Rt ∆ABC 的两条直角边a=3, b=4，那么斜边c= .2．：如图在△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为在△ABC 外作三个正方形分别表示这三个正方形的面积， 那么的边长为〔 〕A.6B.36C.64D.83 ．假设直角三角形两直角边分别为12，16，那么此直角三角形的周长为〔 〕A.28B.36C.32D.484 ．直角三角形的三边长分别为3，4，x ，那么x 2等于〔 〕A.5B.25C.7D.25或7六、独立作业我能行 1、预习课本P25-26页，思考预习提纲222a b c +=。
八年级数学下册17勾股定理171勾股定理4导学案新人教版
17.1 勾股定理（4）学习目标知识：1．会用勾股定理解决较综合的问题。
能力：树立数形结合的思想。
情感：学习重点:1．重点：勾股定理的综合应用。
学习难点:1.勾股定理的综合应用。
一、预习内容复习勾股定理的内容。
本节课探究勾股定理的综合应用。
a)在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。
b)在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
c)在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
d)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。
二、数学模型———————————————————————————————三、例题讲解例1已知：在Rt△AB C中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3，求线段AB的长。
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。
目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
自己画图，并正确标图。
引导分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。
或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。
例2已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？分析：由于本题中的△ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。
在学生充分思考和讨论后，发现添置AB 边上的高这条辅助线，就可以求得AD ，CD ，BD ，AB ，BC 及S △ABC 。
让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？ABDCD小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。
最新人教版八年级数学下册第十七章勾股定理导学案
5、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑杆 AB 长 100cm，顶端 A 在 AC 上运动，量 得滑杆下端 B 距 C 点的距离为 60cm，当端点 B 向右移动 20cm 时，滑杆顶端 A 下滑多长？
A E
A
1m
B （四）达标检测
实际问题 数学模型 2、如图，一个 3 米长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5 米．如果梯子的顶 端 A 沿墙下滑 0.5 米，那么梯子底端 B 也外移 0.5 米吗？（计算结果保留两位小数） A A C O C O B D O B
（1） 观察图 1－1。 A 的面积 是__________个单位面积； B 的面积是 __________ 个单 位面积； C 的面积是 __________ 个单 位面积。
《17.1 勾股定理》导学案（2）
学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想。 学习重点：勾股定理的简单计算。 学习难点：勾股定理的灵活运用。 学习过程 一、自学导航（课前预习） 1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°， （用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： （3）直角三角形斜边上的 （4）三边之间的关系： 等于斜边的 。 ； ； 。
A D
_____________________________________________________________________ 。 （3）展示提升（质疑点拨） 1.在 Rt△ABC 中， C 90 ， S1 S2 S3
C
B
（1）如果 a=3，b=4，则 c=________； （2）如果 a=6，b=8，则 c=________； （3）如果 a=5，b=12，则 c=________；
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理导学案(全章)
第十七章勾股定理课题：17.1勾股定理（1）学习目标：1 •了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理2 •培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明学习过程：、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ ABC用刻度尺量出AB的长。
（勾3,股4,弦5）以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ ABC用刻度尺量AB的长。
你是否发现3 +4与5的关系，5 +12和13的关系，即3 +4 ___________ 5，5 +12 ____ 13，那么就有______ 2+ ____ 2= ___ 。
（用勾、股、弦填空）对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述:几何表述:二、交流展示例1、已知：在厶ABC中, Z C=90°，/ A、/ B、/ C的对边为a 、b、c。
求证：a2+ b2=c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S"S小正=S大正即4X 1X +〔〕2= c2,化简可证2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在厶ABC 中，/ C=90°，/ A 、/ B 、/ C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2 + b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
2023年人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》导学案3
cbaDC AB新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》导学案学习目标：1、了解多种方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。
2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算。
学习过程：活动一 动手做一做1、画出Rt△A B C 令∠C = 90°，直角边A C = 3cm ，B C = 4cm ， （1）用刻度尺量出斜边A B = ________ （2）计算：2、探究：222,,AB BC AC 之间的关系：_______________________活动二 毕达哥拉斯的发现1、图中两个小正方形分别为A 、B ，大正方形为C ，则三个正方形 面积之间的关系：____________________________2、设三个正方形围成的等腰直角三角形的直角边为a ，斜边为c ，则 图中等腰直角三角形三边长度之间的关系：_____________________活动三 探索与猜想观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1)1（1）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流一下。
（2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________活动四 认识赵爽弦图活动五 证明猜想已知：如图，在边长为c 的正方形中，有四个两直角边 分别为a 、b ，斜边为c 全等的直角三角形，求证： 222a b c +=A 的面积B 的面积C 的面积 左图右图 A B C CBA __________,_____,222===AB BC AC证明：根据同一个图形的面积相等得： 所以 ______________ + ________________________ = ____________ ______________ + ________________________ = _____________________ + ________ = __________勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________活动六 证法积累利用下图，模仿上述推导，能否得到相同的结果？（美国第20任总统茄菲尔德的证法）已知，如图， Rt △A D E 和R t △B C E 是两个全等的直角三角形， 其直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，这两个直角三角形围成了直角边 为c 的Rt △A B E ， 求证： 222a b c +=证明：活动七 活学活用1、如右图，在直角三角形中，X ＝______，y ＝______2、在Rt△A B C 中，∠C = 90°， （1）若a = 2，b = 3， 则c = _________ （2）若c = 5，b = 4 ，则 a =3、在Rt △A B C 中，∠A = 90°，a = 7，b = 5，则 c = ___________4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4，则第三边的长为______________________活动八 学习反馈x 86135y大正小正＝S S S Rt +∆4bcca EBABCD BEC Rt ADE Rt ABE Rt S S S S 梯形=++∆∆∆说说你的收获！。
最新人教版初二数学八年级下册《第十七章勾股定理》导学案
17.1勾股定理 导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解勾股定理的由来 经历探索勾股定理的过程2、理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用 【重点难点】重点：理解勾股定理，理解证明勾股定理的证明方法 难点：勾股定理的证明 知识概览图新课导引如果梯子底端离建筑物5米，17米长的梯子可以达到该建筑物的高度是多少？根据题目的意思，我们画出如右图所示的图形，已知AB =17米，AC =5米， ∠ACB =90°，如何求这个三角形的BC 边的长呢？教材精华知识点1 有关勾股定理的历史古时候，把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，因此有勾3、股4、弦5之说.历史上，周朝数学家商高对周公说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”意思是说：矩形以其对角线相折所成的直角三角形中，如果勾为3，股为4，那么弦必为5.这足以说明我国是最早了解勾股定理的国家之一.知识点2 勾股定理的探索让我们通过计算面积的方法探索勾股定理.观察图18-1，正方形A 中有9个小方格，即A 的面积是9个单位面积.正方形B 中有9个小方格，即B 的面积是9个单位面积.正方形C 中有18个小方格，即C 的面积是18个单位面积.可以发现，C 的面积=A 的面积+B 的面积.知识点3 勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【拓展】 （1）勾股定理存在的前提是直角三角形，如果不是直角三角形，那么三边之间就没有这种关系了.（2）勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想的典范. （3）勾股定理的证明.证明勾股定理的方法有许多，现在给出几种证法（拼图法）：所以面积为2()a b +，证法1：如图18-2所示，因为大正方形的边长是a+b ，而中间小正方形的面积为c 2,周围四个直角三角形面积和为4×12ab ，故有22()a b c +=+4×12ab ，整理得222a b c +=.证法2：如图18-3所示，图为大正方形的边长是a+b ，所以它的面积为2()a b +，又因为该正方形的边长与如图18-2所示的正方形的边长相等，所以面积也相等.故有22a b ++4×12ab =c 2+4×12ab ，整理得222a b c +=.证法3：如图18-4所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c 为直角边的等腰直角三角形拼成的.∵S 梯形211()()()22a b a b a b =++=+，S 梯形12ab =×2+212c =ab +212c ,∴2211()22a b ab c +=+，整理得222a b c +=. 证法4：如图18-5所示，该图是由4个全等的直角三角形拼成的，且中间是正方法.∵以c 为边的大正方形面积是c 2，而4个直角三角形的面积和为4×12ab ，且中间的小正方形的面积是2()b a -.∴c 2=4×12ab +（b-a ）2,整理得222a b c +=.知识点4 勾股定理的应用（1）运用直角三角形三边的数量关系来解决生活中的实际问题，如已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长.（2）运用直角三角形三边的数量关系的变式，即勾股定理变式.由222a b c +=可以得到如下关系：①222a c b =-；②222b c a =-；③c =a =b = 课堂检测基础知识应用题1、在△ABC 中，∠C =90°. （1）若a =5，b =12，求c ； （2）若c =26，b =24，求a .2、在一棵树的10 m高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20 m的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的路程相等,那么这棵树有多高?综合应用题3、如图18-10所示，在△ABC中，∠A=60°，AB=15 cm，AC=24 cm，求BC 的长.4、如图18-11所示，A，B两个村子在河CD同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1 km，BD=3 km,CD=3 km.现要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2000元.请在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用.探索创新题5、已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a,b,c，设△ABC的面积为S，周长为l.(1)请你完成下面的表格；（2）仔细观察上Array表中你填定的数据规律，如果a,b,c为已知的正实数，且a+b-c=m，那么S= （用含m的代数式表示）；l（3）请说明你写的猜想的推理过程.体验中考1、图18-19是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26C．47 D．942、如图18-20所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 与点C 的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）A ．B ．25C ．10D ．35 学后反思【解题方法小结】（1）求不规则图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形. （2）四边形中常通过作辅助线构造直角三角形，以利用勾股定理.（3）点到线的最短距离是垂线段的长度，在同一题中可能反复应用勾股定理.附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、解析 利用勾股定理222a b c +=来求未知边长.【解题方法】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理原式还是变式.解：在△ABC 中，∠C =90°，所以222a b c +=. （1）因为222a b c +=，a =5,b =12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=，所以c =13. （2）因为222a b c +=，c=36,b=24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=.所以a=10.2、解析 如图18-9所示,设A 为树根,D 为树顶,B 为猴子所在处,则AB =10 m,C 为池塘,设BD =x m,已知两只猴子走过的路程相等,即DB+CD=AB+AC ,就可以应用勾股定理求出CD ,继而求出树高AD .解:如图18-9所示,B 为猴子初始位置,则AB =10 m,C 为池塘,则AC =20 m.设BD =x m,则树高AD =(10+x )m. ∵BD+CD=AB+AC ,∴x+CD =20+10. ∴CD =(30-x )m.在Rt △ACD 中,∠A =90°,由勾股定理得222AC AD CD +=, ∴202+（10+x ）2=(30-x ) 2,∴x =5. ∴树高AD =10+5=15(m).3、解析 本题中并没有直接给出直角三角形，可作垂线构造直角三角形.已知∠A =60°，因此作AB 边上的高或AC 边上的高，运用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解. 解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ， 所以∠ADC =90°.因为∠A =60°，所以∠ACD =30°. 所以AD =12AC =12×24=12（cm ）. 又因为AB =15 cm,所以BD=AB-AD =15-12=3（cm ）.在Rt △ADC 中，222222412432CD AC AD =-=-=.在Rt △BCD 中，22224323441BC DC BD =+=+=.所以BC =21（cm ）.4、解析 若最省钱只需AO+BO 最小，可将A ，O ，B 放在一条线段上考虑，故只需找到点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于O ，则水厂建在O 点处即可，构造直角三角形，应用勾股定理就可求出各边长.解：作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于点O ，则O 点就是水厂的位置. 过A ′作A ′H ∥CD 交BD 延长线于H ， ∴△A ′HB 为直角三角形. 在Rt △A ′HB 中，A ′H=CD =3， BH=BD+DH=BD+A ′C=BD+AC =1+3=4，由勾股定理得A ′B ， ∴总费用为2000×5=10000（元）.5、解：（1）表格中左栏从上至下依次填2，4，6，右栏从上至下依次填12，1，32. （2）4m（3）推理过程如下： 因为222a b c +=，所以()22111()()444lm a b c a b c a b c ⎡⎤=+++-=+-⎣⎦=2222221111(2)(2)24442a ab bc a b c ab ab ab ++-=+-+=⨯=. 又因为S =12ab ，所以14S lm =，即4m ml =.体验中考1、C 解析 由正方形面积和勾股定理可得E 的面积为（32+52）+（22+32）=47.2、B 解析 空间为AB A.17.2 勾股定理的逆定理知识精点1．勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式222c b a =+，则这个三角形是直角三角形．2．勾股定理的作用：判断一个三角形是不是直角三角形． 3．用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题．重、难、疑点重点：掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直． 难点：用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题． 疑点：如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题．典例精讲例1 试判断：三边长分别为)0(122,12,2222>++++n n n n n n 的三角形是不是直角三角形？ 方法指导：先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判断． 解：∵01)22()122(22>=+-++n n n n ，)0(02)12()122(22>>=+-++n n n n n ，∴1222++n n 为三角形的最大边．又∵14884)122(23422++++=++n n n n n n ，14884)12()22(234222++++=+++n n n n n n n ，∴22222)12()22()122(+++=++n n n n n ．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．方法总结：判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边，再看最大边的平方是否是另两边的平方和．若是则是直角三角形，反之不是．举一反三 试判断：三边长分别为)0(,2,2222>>+-n m n m mn n m 的三角形是不是直角三角形？解：∵m>n>0，∴222222,2n m n m mn n m ->+>+． ∴22n m +为三角形的最大边，又∵224224222242)2()(n m n n m m mn n m ++-=-，22422422242)(n m n n m m n m ++-=+，∴2222222)()2()(n m mn n m +=+-．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．例2 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CD CF 41=．求证：△AEF 是直角三角形．方法指导：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证222AF EF AE =+即可． 解：证明：设正方形ABCD 的边长为a ，则21==CE BE ，a CF 41=，A DF 43=． 在Rt △ABE 中，由勾股定理得：22222245)21(a a a BE AB AE =+=+=．同理在Rt △ABE 中，由勾股定理得：2222221625)43(a a a DF AD AF =+=+=．在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222222165)41()21(a a a CF CE EF =+=+=．∴222EF AE AF +=． ∴△AEF 是直角三角形．方法总结：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．举一反三 如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2，求∠DAB 的度数．解：连接AC ，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=4，∴∠BAC=45°，321616222=+=+=BC AB AC ．在△ADC 中，22236324CD AC AD ==+=+， ∴△ADC 是直角三角形，∠DAC=90°． ∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°．例3 如图，△DEF 中，DE=17cm ，EF=30cm ，EF 边上的中线DG=8cm ，求△DEF 的面积．方法指导：利用勾股定理的逆定理解题． 解：∵EF=30cm ，∴cm EF EG 1521==， ∵2891722==DE ，64822==DG ，2251522==EG ， ∴222EG DG DE +=．∴△DGE 是直角三角形，即DG ⊥EF ， ∴212021cm DG EF S DEF =⋅=∆． 方法总结：利用勾股定理的逆定理可证两线垂直．举一反三 已知如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=10，CD=6，求四边形ABCD 的面积．解：延长AD 、BC 交于点E ．在Rt △ABE 中，∠B=90°，∠A=60°，AB=10， ∴AE=20． 由勾股定理可得：31022=-=AB AE BE ， ∴3503101021=⨯⨯=∆ABE S ． 在Rt △CDE 中，∠CDE=90°，∠E=30°，CD=6，∴36,1222=-==CD CE DE CE ． ∴31836621=⨯⨯=∆CDE S ． ∴四边形ABCD 的面积为：332318350=-．例4 已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足442222b a c b c a -=-，试判断△ABC 的形状． 方法指导：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论．解：∵44222b a c b c a -=-2， ∴))(()(2222222b a b a c b a -+=-． ∴0))((22222=+-+b a c b a ． ∴0222=-+c b a 或022=-b a ． 当0222=-+c b a 时，有222c b a =+．由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形； 当022=-b a 时，有a=b ，此时三角形是等腰三角形． 综上，△ABC 是直角三角形或等腰三角形．方法总结：此题易犯的错误是由))(()(2222222b a b a c b a -+=-得0222=-+c b a ，漏掉022=-b a 这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性．举一反三 若△ABC 的三边满足条件c b a c b a 262410338222++=+++，试判断△ABC 的形状．解：∵c b a c b a 262410338222++=+++， ∴0262410338222=---+++c b a c b a ． ∴0)13()12()5(222=-+-+-c b a ． ∴a=5，b=12，c=13．∴222c b a =+，∴△ABC 是直角三角形．例5 如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题． 解：∵在Rt △BCD 中，BC=4，CD=3， ∴由勾股定理得：253422222=+=+=CD BC BD ， 即BD=5．在△ABD 中，∵BD=5，AB=13，AD=12， ∴222BD AD AB +=，由勾股定理逆定理知：△ABD 是直角三角形， 且∠ADB=90°，∴AD ⊥BD ．方法总结：判断三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理，只要满足表达式的形式，就可判断三角形是直角三角形．举一反三 如图，在△ABC 中，AD ⊥BD ，垂足为D ，AB=25，CD=18，BD=7，求AC ． 解：在Rt △ADB 中，AB=25，BD=7，由勾股定理得：57672522222=-=-=BD AB AD ． ∴AD=24．在Rt △ADC 中，∵AD=24，CD=18， ∴3018242222=+=+=CD AD AC ．例6 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB DC BD AD =⋅+．方法指导：证明线段的平方关系，应注意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造直角三角形，从而为用勾股定理创造前提条件．解：过点A 作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，∴BE=EC ．又∵AE ⊥BC ，∴222BE AE AB +=，222ED AE AD +=．∴2222ED BE AD AB -=-BD CD ED BE ED EC ED BE ED BE ⋅=-+=-+=))(())((．∴22AB DC BD AD =⋅+.方法总结：构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三角形．在解决问题的过程中，代数和几何的知识经常结合应用．举一反三 如图所示，DE=m ，BC=n ，∠EBC 与∠DCB 互余，求22CE BD +．知识网络学法点津勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．同步练习一1．已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为正整数），则这个三角形是__________三角形，理由是__________．2．若一个三角形的三边长为m+1，8，m+3，当m=__________时，此三角形是直角三角形，且其中m+3是斜边．3．在△ABC 中，a=2，b=5，则当____________2=c 时，∠C=90°．4．如果一个三角形的三条边长分别是a ，b ，c ，当4:3:1::222=c b a 时，那么这个三角形是__________三角形．5．已知△ABC 中，AB=k ，AC=2k —1，BC=3，当k=__________时，∠C=90°．6．我们知道，像“3，4，5”，“6，8，10”，“5，12，13”，“7，24，25”这样的每组三个数是勾股数；已知m 、n 是正整数，m<n ，设三个勾股数中的最大一个是22m n +．（1）用含n ，m 的代数式表示前两个勾股数是__________、__________．（2）如a ，b ，c 是一组勾股数，并且这三个数没有大于1的公因数，则这样的一组勾股数称为基本勾股数．例如“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”．请再写出一组不同于这三例的基本勾股数：__________．7．如果线段a ，b ，c 能组成一个直角三角形，那么2,2,2cb a （ ）A ．也能组成一个直角三角形B ．只能组成一个锐角三角形C ．不能组成三角形D ．无法确定8．以下列长度的各组线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，5cmB ．2cm ，1.5cm ，2.5cmC ．7cm ，8cm ，10cmD ．cm cm cm 2225,4,39．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下列各组数据，其中不是直角三形的是（ ） A ．1：1：2B ．1：3：4C ．9：25：26D ．25：144：16910．下列各组数中，以a ，b ，c 为边长的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a=1.5，b=2，c=3 B ．a=7，b=24，c=25 C ．a=6，b=8，c=10D ．a=3，b=4，c=511．三角形的三边长为a ，b ，c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形12．给出下列几组数：（1）5，6，7；（2）8，15，6；（3）)(,2,2222m n m n mn m n >+-；（4）1,2,122+-n n n ．其中能作为直角三角形的三条边长的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（ ）（1）51,41,31===c b a ；（2）a=b ，∠A=45°；（3）∠A=32°，∠B=58°；（4）a=7，b=24，c=25；（5）a=2．5，b=2，c=3．14．一个三角形三边的长分别是15cm ，20cm ，25cm ，这个三角形最长边上的高是（ ） A ．12cmB ．10cmC ．cm 2112D ．cm 211015．如图18.2-4，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积．16．已知：如图18.2-5，在△ABC 中，AC=5，AB=12，BC=13，求BC 边上的高AD ．17．初春时分，两组同学到村外平坦的原野上采集植物标本，分手后，他们向不同的两个方向前进，第一组的速度是30m/min ，第二组的速度是40m/in ，半小时后两组同学同时停下来，而此时两组同学相距1500m ．（1）两组同学行走的方向是否成直角？（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？18．如图18．2-6，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，E ，F 分别在AB ，BC 上，且BE=BF=1．问△EFD 是否是直角三角形？并说明理由．19．先阅读下列文字，然后按要求回答问题：如图18.2-7，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且AD BD CD ⋅=2，∠A ，∠B 都是锐角．在Rt △ABC 中，222AD AC CD -=．所以AD BD AD AC ⋅=-22，即AD BD AD AC ⋅+=22，AB AD BD AD AD AC ⋅=+=)(2．如果在Rt △BDC 中，按照上述推理可得到什么结论呢？进而可得到△ABC 是什么形状的三角形？同步练习二1．如图，长方形ABCD 的长AB=12，宽CB=10，E 是BC 的中点．那么AE=_________． 2．如图，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长是3，那么______________2=AC ，__________2='C A ．3．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．4．工人师傅常用如下方法来检验电线杆是否垂直于地面．现测得拉线AB=10m，BD=8m，AD=6m．问此时电线杆是否与地面垂直？_____________，因为___________________．5．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是_____________．6．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm7．如图，正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD；EF，GH，IJ都垂直于AO．如已知IJ=1．求BD的长．8．△ABC 中，AB=m —5，AC=m+11，BC=24，则当m=_____________时，∠B=90°．9．△ABC 中，三边a ，b ，c 满足)2()(222c b c a c b c ++=++，那么△ABC 是_________三角形．10．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=90°，AD=3cm ，AB=4cm ，BC=5cm ，CD=6cm ．（1）连接BD ，判别△CBD 的形状．（2）求四边形ABCD 的面积．11．（1）如图（1），一个梯子AB 长2.5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙根C 距离为1.5m ，梯子滑动手停在DE 的位置上，如图（2）所示，测得BD 的长为0.5m ，问梯子顶端A 下落的距离是否也为0.5m ？为什么？（2）如图（3）梯子AB 靠在墙上，梯子底端A 到墙根O 的距离是2m ，梯子顶端B 到地面的距离是7m ．现将梯子的底端A 向左移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离为3m ，同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′；①等于1m ；②大于1m ；③小于1m ．其中正确结论的序号是__________．参 考 答 案同步练习一1．直角；勾股定理的逆定理 2．14 3．29 4．直角 5．2．5 222BC AC AB +=，即9)12(422+-=k k ，则9144422++-=k k k ，解得k=2．5． 6．（1）mn m n 2;22-因为42242222)(m n m n m n ++=+，而42222224)(m n m n m n +-=-，2224)2(n m mn =，所以2222222)2()()(mn m n m n +-=+．（2）20，21，29 7．A 设c 为斜边，则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(c b a =+ 8．B 要注意D 中的2225,4,3，即9，16，25三边不能组成直角三角形的三边，因为22225169≠+ 9．B 10．A 11．B 12．B 13．B 14．A15．连接AC ，则AC=5，可证△ACD 为直角三角形．36125214321=⨯⨯+⨯⨯=ABCD S 16．1360=AD 17．（1）第一组行走m 9003030=⨯，第二组行走m 12003040=⨯．因为22215001200900=+，所以行走方向成直角．（2）设再经过xmin 相遇，则（30+40）x=1500，故min 7150=x ． 18．是．在Rt △AED 中204222222=+=+=AD EA ED ．同理求得2,182==EF DF 。
2023年人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理(二)》导学案
1 / 4新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理（二）》导学案备课时间 主备教师参与教师审核人学习目标：1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
学习重点：勾股定理的简单计算。
学习难点：勾股定理的灵活运用。
学习过程： 例1分析：（1）注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。
（2）图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？ （3）指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？ （4）转化为勾股定理的计算，采用多种方法。
在Rt △ABC 中，根据勾股定理 AC 2= 2+ 2因为 AC=5≈2.236因此 AC 木板宽，所以木板 从门框内通过课堂练习1、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边， 花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
2．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。
3．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
4．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米。
当堂检测1．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动2．山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。
A CB RP Q30ABC CAB第4题第3题2 / 42题图 3题图 5题图3、如图12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
4、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度5、如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？6、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？课后作业1、△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为2、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．3、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面， 此时，顶部距底部有 m ；4、有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？“路”4m 3m8kmCAB 6km第2题 第3题 第4题3 / 45、已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长。