电路原理课件-拉普拉斯变换
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拉普拉斯变换ppt课件
ds ds 0
0
e-st t f (t)dt 0
从而 ℒ [t f (t)] (1) dF(s) ds
类推 ℒ [t n f (t)] (1)n dnF (s)
ds n
17
6.2 基本函数的拉普拉斯变换
18
一 单位阶跃函数
二 δ(t)函数
L[ (t t0 )]
关于 p的代数方程
原微分方程的解
Laplace 变换的反演
39
一 有理分式的反演 把有理分式分解,然后利用一些基本公式
和 Laplace 变换的性质求原函数。
一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母； 2）分母分解因式； 3）利用待定系数法进行部分分
式展开 4）利用拉氏变换表求解
注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。
20
6.3 Laplace 变换的基本性质
21
Laplace 变换F(s) 的特性：
（1） F(s) 在 Re(s)>0 的半
平面代表一个解析函数。
（2）当 | s | ,
s 平面
|Arg s| /2 - ε (ε > 0) 时：
o
F(s) 存在，
且满足 lim F(s) 0 s
L[teat ]
1
t d e(sa)t
0
sa 0
1 sa
t e(sa)t
|
0
e (sa)t
0
dt
s
1 a
0
s
1
a
e (sa)t
0
d[(s
拉普拉斯变换PPT课件
9.2 拉普拉斯变换的性质
9.2.1 线性性质 设 ℒ f1(t) F1(s) ℒ f2 (t) F2 (s) , 为常数则
ℒ f1(t) f2 (t) F1(s) F2 (s)
ℒ 1 F1(s) F2 (s) f1(t) f2 (t)
9.2.2 相似性质
tn
n! s n 1
例6 求正弦函数 f (t) sin k t (k R) 的拉氏变换
解 ℒ f (t) sin k t estdt 1 sin k t dest
0
s0
1 s
e s t
sin
k
t
0
k
0
est
cos
k
tdt
1 s2
0
est
cos
k
tdt
则
0
第9章 拉普拉斯变换
9.1 拉普拉斯变换的概念 9.2 拉普拉斯变换的性质 9.3 拉普拉斯逆变换 9.4 拉氏变换的应用及综合举例
§9.1 拉普拉斯变换
§9.1.1 拉普拉斯变换的概念
定义1 设函数 f (t)当 t 0 有定义,而且积分
f (t) estdt (s是一个复参量） 0
f (n1) (0)
特别地,当 f (0) f (0) f (0)
ℒ f (n) (t) snF (s)
可以证明
ℒ (n) (t) sn
f (n1) (0) 0 时,
（2）象函数的微分性质
若 ℒ f (t) F (s), 则
F(s) ℒ tf (t)
从而 ℒ tf (t) F(s)
例7
求函数
u(t
b)
0 1
t b (b 0) 的拉氏变换
电路PPT-拉普拉斯变换
)]
1
1 esT
F1(s)
對於本題脈衝序列
f1
(t
)
(t
)
(t
T 2)F1Fra bibliotek(s)
(1 s
1 s
esT
/
2
)
L[
f
(t
)]
1
1 esT
(1 1 esT/2) ss
11
s
( 1
esT
/
2
)
5.拉普拉斯的卷積定理
若： L[ f1(t)] F1(s) L[ f2(t)] F2(s)
返回 上頁 下頁
则：
返回 上頁 下頁
例 一些常用的變換
乘法運算變換
①對數變換 A B AB 為加法運算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i
時域的正弦運算 變換為複數運算
相量 I1 I2 I
拉氏變換
對應
f(t)(時域原函數)
F(s)(頻域象函數)
返回 上頁 下頁
2. 拉氏變換的定義
原函數f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(t)
返回 上頁 下頁
3.典型函數的拉氏變換
F(s) f (t)estdt 0
(1)單位階躍函數的象函數
f (t) (t)
F(s) L[ (t)] (t)estdt estdt
0
0
1 est s 0
1 s
返回 上頁 下頁
a1sm1 (s p1)n
am
F(s)
K11 s p1
(s
K12 p1)2
(s
K1n1 p1)n1
K1n (s p1)n
电路原理-拉普拉斯变换PPT课件
收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
0
(t
)e
st
dt
(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0
f ()
f (0 )
lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3
t (n
n1
1)!
(
t
)
1 sn
1
1 sn
t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
电路分析基础-第11章拉普拉斯变换课件
+ am + bn
m
F(s)=H0
i=1
(s–zi)
n
j=1
(s–pj)
H0 实数常数。
zi F(s)的零点。 pj F(s)的极点。
把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可
以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式
展开法，或称为分解定理。
2. nm F(s)为假分式，用长除法，得：
(1) n=m：F (s) = A +
2 k et cos(t ) (t 0)
cosx 1 (ejx ejx ) 2
应用举例
例：11-8 求F (s) =
s2
s+3 + 2s + 5
பைடு நூலகம்
的原函数f (t)。
解：F (s)
=
s2
s+3 + 2s + 5
=
s
k1 - p1
+
s
k2 - p2
极点为 p1,2 1 j2
k1
N(s) D(s)
？
解： ℒ [t] ℒ [ t ( )d ] 0
ℒ [ (t)]
s
1 s2
4. 延迟性质
ℒ ℒ 例：11-5 求下图所示矩形脉冲的象函数。
f (t) 1
0T
t
解： f (t) (t) (t T )
F (s) 1 1 esT ss
5. 位移性质 ℒ
ℒ 例：11-6 应用位移性质求下列函数的象函数。
简 表
te-at sin(t)
1
(s a)2
F (s)
s2 2
e-atsin(t)
第九章拉普拉斯变换--课件
j
X (s) etestdt e2testdt
0
0
1
etu(t) 1 , s 1
Re[s] 1
e2tu(t) 1 , Re[s] 2 2 s2
j
12
j
X (s)
1 s 1
1 s2
2s 3 s2 3s 2 ,
Re[s] 1
2 1
思考：
的收敛域？
x(t) e2tu(t) et cos(3t)u(t)
sb
b
ebtu(t) 1 , Re[s] b sb
b 0 当 时，上述ROC有公共部分，
j b
X (s) 1 1 sb sb
当 时，上述 ROC 无公共部分，表明
b0
b Re[s] b
不存在。
X (s)
20
当 是有理函数时，其ROC总是由
列规X律(：s)
的极点分割的。XRO(Cs必) 然满足下
1 , ROC : Re[s] 1 etu(t) s 1
1 , ROC : Re[s] 2 e2tu(t) s2
j
x(t) etu(t) e2tu(t)
2 1
双边信号
30 例2. （1）找极点 （2）展开成部分分式 系数 则
31
2、 X 有(s共) 轭复数极点
N (s)
(s p1)(s p2 ) (s pn2 )(s P1)(s P2 )
傅里叶变换是以复指数函数的特例
和
的复指数函数 和
为基底，也能对信号进行分解。
为基底分解信号的。以一般
e jt
e jn
est z n
本章及下一章要讨论的中心问题
3 以一般的复指数函数为基底对信号进行分解
电路拉普拉斯变换
f 1 ( t ) f 2 ( t ) = ∫0 f 1 ( t ξ ) f 2 (ξ )dξ
t
2,卷积定理 , 的象函数分别为F 和 设f1(t) 和f2(t) 的象函数分别为 1(s)和 F2(s) ,有:
L[ f 1 ( t ) f 2 ( t )] = F1 ( s )F2 ( s )
R( s ) = E ( s ) H ( s )
则该网络的零状态响应为: 则该网络的零状态响应为:
r ( t ) = L [ E ( s ) R( s )] = ∫0 e(ξ )h( t ξ )dξ
1
t
= ∫0 e( t ξ )h(ξ )dξ
t
例1
图示电路, 图示电路,R=500k,C= 1F,电流源的电流 电流源的电流 is(t)=2e- t A .设电容上无初始电压,求uc(t). 设电容上无初始电压, . is 解:该电路的冲激响应为: 该电路的冲激响应为:
∞
st
1 ) f ( t ) = sin( ω t ) 例13-2 若: 2 ) f ( t ) = k (1 e at )
上述函数的定义域为[0, ,求其象函数. 上述函数的定义域为 , ∞],求其象函数.
1 1 ( e j ω t e j ω t )] 解: ) L [sin( ω t )] = L [ 2j 1 1 1 [ ] = 2 j S jω S + jω =
∞
st
dt
∞
0
令t t0 = τ
= ∫ f ( t t 0 )e dt = ∫ f (τ )e s (τ + t )dτ 0 t
st
∞
0
= e st
0
∫0
∞
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2!
t (t)
1 s3
t (n
n1
1)!
(
t
)
1 sn
1
1 sn
t n1 (n 1)!
(t)
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)
f (t t0 ) (t t0 ) est0 F(s)
解：
F(s) 1 1 1 s s 1 s(s 1)
由初值定理可得
1
f
(0
)
limsF
s
(s)
lim
s
s
1
0
由终值定理可得
又有
lim f (t) limsF (s) lim 1 1
t
s0
s0 s 1
f (0 ) 1 - e0 0
lim f (t) 1 - e 1
s
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
0
(t
)e
st
dt
(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
例3 求单边指数函数eatε(t) （a为复常数）的拉普拉 斯象函数。
[eat (t )] 1
sa
§92 拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性组合定理(Linear combination theorem)
[af1(t)bf2(t)]=a [f1(t)] b [f2(t)]
例1 求cost(t)及sint(t)的拉普拉斯象函数。
解： [cost (t)]
0
0
e st dt e st 1
0
f (t )est dt
s
s
0
0
est e( j)t et e jωt
Re[s] 0
e jt cos t j sint
收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
t
(t)dt t (t) 0
t (t)
t 0
(t
)dt
1 s
(t)
1 s2
同理
1
1 s2
t
(t
)
t2 2
(t )
t 0
t
(t
)dt
1 s
1
1 s3
t2 (t)
L f (n1)(0 )
例2 已知
[ (t)] 1 ，求
s
[ (t)] 、 [ '(t)]
解： (t) d (t)
dt
[ (t)] [d (t)] s
dt s1 1
s
[ (t)] (t) t 0
[ '(t)] s 1 (t) t 0 s
R(s)
b1s b0 s2 a1s a0
E(s)
s2
s a1 a1s a0
r(0 )
s2
1 a1s a0
r(0 )
3. 积分定理(integration theorem)
t 0
f
(t )dt
1 s
f (t)
证明：
d dt
例3 某动态电路的输入输出方程为
d2
d
d
dt 2 r(t ) a1 dt r(t ) a0r(t ) b1 dt e(t ) b0e(t )
响应及其一阶导数的原始值分别为r(0)及r (0)，激励函数的
原始值e(0)=0。求响应的象函数。
解： 令激励和响应的象函数分别为
E(s) [e(t)]
F (s) f (t)estdt = [f(t)] 0
象函数
原函数
s = + j , 称为复频率(complex frequency)
F(s)称为ƒ(t)的象函数、ƒ(t)称为F(s)的原函数。
从ƒ(t)到F(s)变换称为拉普拉斯正变换 (Laplace transform)
用符号 [ ]表示对方括号里的时域函数作拉氏变换。 如果f(t)存在于整个时间区间，则用f(t)ε(t) 表示因果函数。
例6 求三角波的象函数
f(t) T
解 f (t) t[ (t) (t T )]
1 e sT F(s)
s2 s2
f (t) t (t) (t T ) (t T ) T (t T )
F (s) 1 1 esT T esT
s2 s2
证明： f (t t0 ) (t t0 )
0
f (t
t0 ) (t t0 )estdt
t0
f (t t0 ) (t t0 )estdt
令 t t t0
则 t t t0
e st0 延迟因子
dt dt
f (t t0 ) (t t0 )
f (t)dest000[ Nhomakorabea(t)]
由于
est f (t)
s
f (t)estdt
0
0
lim est f (t) 0
t
d dt
f (t )
s
f (t) f (0 )
微分定理可以推广至求原函数的二阶及二阶以上导数的 拉普拉斯变换，即
拉普拉斯变换的基本概念
拉普拉斯 变换
拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯反变换
反变换公式 拉普拉斯变换表 部分分式展开
§91 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时 间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学 变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频 域的代数方程以便求解。
0
f ()
f (0 )
lim sF(s)
s0
f (0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数 F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值 和终值。
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
df est dt 0 dt
0 df estdt df estdt
0 dt
0 dt
f (0 ) f (0 )
df estdt 0 dt
sF (s) f (0 )
df est dt 0 dt
lim sF (s) f (0 )
s
Tt T
例7 求u(t)的拉普拉斯象函数U(s)。
解： u(t) U0 (t) 2U0 (t ) U0 (t 2 )
u(t) U0 (t) 2U0 (t)es U0 (t) es2
U(s) U0
1 s
2U0es
第九章 拉普拉斯变换
线性动态电路 的求解方法
时域分析法
建立电路的输入-输出方程，求解满足给 定初始条件的解。
频域分析法
将时域变到频域（将时域里的微分方程化 为相量代数方程）进行分析，再返回时域。
复频域分析法
将时域变到复频域（将时域里的微分方 程化为复频域函数的代数方程）进行分析， 再返回时域。
本章知识要点
1 s
U
0e
2
s
1 s
U0 s
(1 2es
e2s
)
5. 初值定理与终值定理
（1）初值定理(initial-value theorem)
f (0 ) lim sF (s) s
证明：
0
df dt
est dt
sF (s)
f (0 )
sF (s) f (0 )
R(s) [r(t)]
s2R(s) sr(0 ) r(0 ) a1sR(s) r(0 ) a0R(s)
b1sE(s) e(0 ) b0E(s)
代入e(0) = 0后整理得 (s2 a1s a0 )R(s) (s a1 )r(0 ) r(0 ) (b1s b0 )E(s)
t 0
f
(t
)dt
f (t)
s
t 0
f
(t
)dt
t 0
f
(
t
)dt
t
0
f (t)
t 0
f
(t )dt
1 s
f (t)
例4
求
1 、1 、1 s2 s3 sn
的原函数。
解： (t) 1
s
➢ 拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0时f(t)包含的冲 激的情况，从而给计算存在冲激函数电压和电流的电路带来 方便。
➢拉普拉斯反变换
如果F(s)已知，要求出与它对应的原函数ƒ(t)， 由F(s)到ƒ(t)的变换称为拉氏反变换，它定义为
f (t) 1
c
t (t)
1 s3
t (n
n1
1)!
(
t
)
1 sn
1
1 sn
t n1 (n 1)!
(t)
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)
f (t t0 ) (t t0 ) est0 F(s)
解：
F(s) 1 1 1 s s 1 s(s 1)
由初值定理可得
1
f
(0
)
limsF
s
(s)
lim
s
s
1
0
由终值定理可得
又有
lim f (t) limsF (s) lim 1 1
t
s0
s0 s 1
f (0 ) 1 - e0 0
lim f (t) 1 - e 1
s
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0
0
(t
)e
st
dt
(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
例3 求单边指数函数eatε(t) （a为复常数）的拉普拉 斯象函数。
[eat (t )] 1
sa
§92 拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性组合定理(Linear combination theorem)
[af1(t)bf2(t)]=a [f1(t)] b [f2(t)]
例1 求cost(t)及sint(t)的拉普拉斯象函数。
解： [cost (t)]
0
0
e st dt e st 1
0
f (t )est dt
s
s
0
0
est e( j)t et e jωt
Re[s] 0
e jt cos t j sint
收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
t
(t)dt t (t) 0
t (t)
t 0
(t
)dt
1 s
(t)
1 s2
同理
1
1 s2
t
(t
)
t2 2
(t )
t 0
t
(t
)dt
1 s
1
1 s3
t2 (t)
L f (n1)(0 )
例2 已知
[ (t)] 1 ，求
s
[ (t)] 、 [ '(t)]
解： (t) d (t)
dt
[ (t)] [d (t)] s
dt s1 1
s
[ (t)] (t) t 0
[ '(t)] s 1 (t) t 0 s
R(s)
b1s b0 s2 a1s a0
E(s)
s2
s a1 a1s a0
r(0 )
s2
1 a1s a0
r(0 )
3. 积分定理(integration theorem)
t 0
f
(t )dt
1 s
f (t)
证明：
d dt
例3 某动态电路的输入输出方程为
d2
d
d
dt 2 r(t ) a1 dt r(t ) a0r(t ) b1 dt e(t ) b0e(t )
响应及其一阶导数的原始值分别为r(0)及r (0)，激励函数的
原始值e(0)=0。求响应的象函数。
解： 令激励和响应的象函数分别为
E(s) [e(t)]
F (s) f (t)estdt = [f(t)] 0
象函数
原函数
s = + j , 称为复频率(complex frequency)
F(s)称为ƒ(t)的象函数、ƒ(t)称为F(s)的原函数。
从ƒ(t)到F(s)变换称为拉普拉斯正变换 (Laplace transform)
用符号 [ ]表示对方括号里的时域函数作拉氏变换。 如果f(t)存在于整个时间区间，则用f(t)ε(t) 表示因果函数。
例6 求三角波的象函数
f(t) T
解 f (t) t[ (t) (t T )]
1 e sT F(s)
s2 s2
f (t) t (t) (t T ) (t T ) T (t T )
F (s) 1 1 esT T esT
s2 s2
证明： f (t t0 ) (t t0 )
0
f (t
t0 ) (t t0 )estdt
t0
f (t t0 ) (t t0 )estdt
令 t t t0
则 t t t0
e st0 延迟因子
dt dt
f (t t0 ) (t t0 )
f (t)dest000[ Nhomakorabea(t)]
由于
est f (t)
s
f (t)estdt
0
0
lim est f (t) 0
t
d dt
f (t )
s
f (t) f (0 )
微分定理可以推广至求原函数的二阶及二阶以上导数的 拉普拉斯变换，即
拉普拉斯变换的基本概念
拉普拉斯 变换
拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯反变换
反变换公式 拉普拉斯变换表 部分分式展开
§91 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时 间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学 变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频 域的代数方程以便求解。
0
f ()
f (0 )
lim sF(s)
s0
f (0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数 F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值 和终值。
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
df est dt 0 dt
0 df estdt df estdt
0 dt
0 dt
f (0 ) f (0 )
df estdt 0 dt
sF (s) f (0 )
df est dt 0 dt
lim sF (s) f (0 )
s
Tt T
例7 求u(t)的拉普拉斯象函数U(s)。
解： u(t) U0 (t) 2U0 (t ) U0 (t 2 )
u(t) U0 (t) 2U0 (t)es U0 (t) es2
U(s) U0
1 s
2U0es
第九章 拉普拉斯变换
线性动态电路 的求解方法
时域分析法
建立电路的输入-输出方程，求解满足给 定初始条件的解。
频域分析法
将时域变到频域（将时域里的微分方程化 为相量代数方程）进行分析，再返回时域。
复频域分析法
将时域变到复频域（将时域里的微分方 程化为复频域函数的代数方程）进行分析， 再返回时域。
本章知识要点
1 s
U
0e
2
s
1 s
U0 s
(1 2es
e2s
)
5. 初值定理与终值定理
（1）初值定理(initial-value theorem)
f (0 ) lim sF (s) s
证明：
0
df dt
est dt
sF (s)
f (0 )
sF (s) f (0 )
R(s) [r(t)]
s2R(s) sr(0 ) r(0 ) a1sR(s) r(0 ) a0R(s)
b1sE(s) e(0 ) b0E(s)
代入e(0) = 0后整理得 (s2 a1s a0 )R(s) (s a1 )r(0 ) r(0 ) (b1s b0 )E(s)
t 0
f
(t
)dt
f (t)
s
t 0
f
(t
)dt
t 0
f
(
t
)dt
t
0
f (t)
t 0
f
(t )dt
1 s
f (t)
例4
求
1 、1 、1 s2 s3 sn
的原函数。
解： (t) 1
s
➢ 拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0时f(t)包含的冲 激的情况，从而给计算存在冲激函数电压和电流的电路带来 方便。
➢拉普拉斯反变换
如果F(s)已知，要求出与它对应的原函数ƒ(t)， 由F(s)到ƒ(t)的变换称为拉氏反变换，它定义为
f (t) 1
c