2016-2017学年北京市西城区铁路二中九年级(上)数学期中试卷带解析答案
2016-2017学年北京市西城区月坛中学九年级(上)期中数学试卷-含详细解析
2016-2017学年北京市西城区月坛中学九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如果x：2=3：2，那么x的值是（）A. 3B. 5C. 6D. 12.函数y=x2-4x+3与y轴的交点为（）A. B. C. D.3.抛物线y=（x+2）2-3的对称轴是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线4.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的AB：DE=1：3，则BC：EF为（）A. 1：3B. 1：9C. 1：D. 3：15.二次函数y=-（x+1）2-2的最大值是（）A. B. C. 1 D. 26.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A. 5：2B. 2：5C. 4：25D. 25：47.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A. B. C. D.8.二次函数y=x2-4x+3与x轴的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 39.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，AB=6，则DE：BC的值为（）A.B.D.10.抛物线y=（x+1）2+2上两点（0，a）、（-1，b），则a、b的大小关系是（）A. B. C. D. 无法比较大小二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若二次函数y=x2+2m-1的图象经过原点，则m的值是______ ．12.如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是______ （注：只需写出一个正确答案即可）．13.将抛物线y=x2向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是______ ．14.已知二次函数y=（x-1）2，当x ______ 时，y随x的增大而增大．15.若，则=______．三、计算题（本大题共2小题，共13.0分）16.如图，某人在点A处测量树高，点A到树的距离AD为21米，将一长为2米的标杆BE在与点A相距3米的点B处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求树CD的高．17.2（）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是______ 和______ ；②抛物线经过点（-3，______ ）；③在对称轴右侧，y随x增大而______ ；（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式．四、解答题（本大题共12小题，共68.0分）18.如图，△ABC中，DE∥BC，则=．19.如图，在△ABD和△AEC中，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，∠AEC=∠BDA．求证：．20.若抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，求实数a的值．21.如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO=5cm，BO=3cm，OC=10cm．求OD和CD．22.已知二次函数的解析式是y=ax2+bx经过点（2，0）和（1，-1），求a、b值，开口方向及二次函数解析式．23.已知二次函数的解析式是y=x2-2x-3（1）用配方法将y=x2-2x-3化成y=a（x-h）2+k的形式；（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；（3）当x为何值时，函数值y＜0．24.如图，已知正方形ABCD的边长AD=4，PC=1，CQ=DQ=2．求证：△ADQ∽△QCP．25.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别于AC、AD交于点E、F．（1）求证：AB=AF；（2）当AB=3，BC=5时，求的值．26.如图，已知AB∥FD，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠AEB=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，CE=6，BE=2，求FC的长．27.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点和O点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′；（2）在图2中以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（只需画出一种即可）．28.密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．29.已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2-2k-3与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）当k取最小的整数时，求二次函数的解析式；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意，得2x=2×3，解得x=3，故选：A．根据比例的性质，可得答案．本题考查了比例的性质，利用外项的积等于内项的积是解题关键．2.【答案】B【解析】解：当x=0时，y=3，∴函数y=x2-4x+3与y轴的交点坐标为（0，3），故选：B．根据y轴上的当的坐标特征解答即可．本题考查的是二次函数图象上当的坐标特征，掌握函数图象上的当的坐标满足函数解析式、y轴上当的横坐标为0是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：根据抛物线的顶点式可知，顶点横坐标x=2，所以对称轴是x=-2．故选D．直接利用二次函数的顶点式求得．主要考查了二次函数求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．4.【答案】A【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的AB：DE=1：3，∴BC：EF=AB：DE=1：3，故选：A．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比是三角形的相似比是解题的关键．5.【答案】A【解析】【解答】∵y=-（x+1）2-2，∴此函数的顶点坐标是（-1，-2），即当x=-1函数有最大值-2故选：A．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（-1，-2），也就是当x=-1，函数有最大值-2．本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．6.【答案】B【解析】解：如图，∵OA=20cm，OA′=50cm，∴===，∵三角尺与影子是相似三角形，∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==2：5．故选：B．先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质．7.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8.【答案】C【解析】解：△=（-4）2-4×1×3=4＞0，∴二次函数y=x2-4x+3与x轴的交点个数是2，故选：C．求出x2-4x+3=0的判别式，比较即可．此题考查了二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程的根的情况之间的联系，掌握判别式大于0时，抛物线与x轴有两个交点是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：如图，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=AD：AB=4：6，故选A．如图，由DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，列出比例式即可解决问题．该题主要考查了相似三角形的判定及其性质及其应用问题；直接运用相似三角形的判定及其性质即可解决问题．10.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=（x+1）2+2开口向上，对称轴是直线x=-1，∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵点（-1，b）在对称轴上，故选A．根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，b）在对称轴上，即可得到答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小．11.【答案】【解析】解：∵二次函数y=x2+2m-1的图象经过点（0，0），∴2m-1=0，∴m=．故答案为．利用二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式得到关于m的方程，然后解此方程即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．12.【答案】∠B=∠D【解析】解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．已知∠DAB=∠CAE，则∠DAE=∠BAC，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是∠B=∠D或∠AED=∠ACB、AD：AB=AB：AC．已知一组角对应相等，要使△ABC∽△ADE，则可补充∠B=∠D或∠AED=∠ACB、AD：AB=AB：AC．相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．13.【答案】y=x2+1【解析】解：∵将抛物线y=x2向上平移一个单位后，得到新的抛物线，∴新的抛物线的表达式是：y=x2+1．故答案为：y=x2+1．直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减进而得出答案．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．14.【答案】＞1【解析】解：∵y=（x-1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故答案为：＞1．由抛物线解析式可确定其开口方向及对称轴，由抛物线的增减性可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，由二次函数解析式确定出其对称轴是解题的关键．15.【答案】【解析】解：∵，∴==．故答案为：．根据分比定理【分比定理：如果a：b=c：d，那么（a-b）：b=（c-d）：d （b、d≠0）】解答．本题主要考查了比例的基本性质．解答该题时，利用了分比定理：在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理．16.【答案】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ADC，∴=，即=，解得CD=14（m）．答：树CD的高为14m．【解析】先证明△ABE∽△ADC，然后利用相似比可直接计算CD的长．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度；借助标杆或直尺测量物体的高度．17.【答案】（-2，0）；（1，0）；8；增大【解析】解：（1）①（-2，0），（1，0）；②8；③增大（每空1分）…（3分）（2）依题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-1），由点（0，-4）在函数图象上，代入得-4=a（0+2）（0-1），…（4分）解得：a=2．∴y=2（x+2）（x-1），即所求抛物线解析式为y=2x2+2x-4．…（5分）故答案为：（-2，0），（1，0）；8；增大．（1）①由表格可知：x=-2及1时，y的值为0，从而确定出抛物线与x轴的交点坐标；②由x=-1及x=0时的函数值y相等，x=-2及1时的函数值也相等，可得抛物线的对称轴为x=-0.5，由函数的对称性可得x=2及x=-3时的函数值相等，故由x=2对应的函数值可得出x=-3所对应的函数值，从而得出正确答案；③由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧为增函数，故在对称轴右侧，y随x的增大而增大；（2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标（-2，0），（1，0），可设出抛物线的两根式方程为y=a（x+2）（x-1），除去与x轴的交点，在表格中再找出一个点坐标，代入所设的解析式即可求出a的值，进而确定出函数解析式．此题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，以及二次函数与不等式的关系，利用了转化及数形结合的数学思想，其中待定系数法确定函数解析式一般步骤为：设出函数解析式，把图象上点的坐标代入所设的解析式，得到方程组，求出方程组的解可得出系数的值，从而确定出函数解析式．18.【答案】解：∵DE∥BC，∴=．【解析】根据平行线分线段成比例的性质直接得出=．本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键．19.【答案】证明：∵∠DAC=∠B，∠AEC=∠BDA，∴△AEC∽△BDA．∴．【解析】根据相似三角形的判定方法即可证明△AEC∽△BDA，再由相似的性质即可证明．本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．20.【答案】解：∵抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，∴△=0，即9-4a=0．解得：a=．【解析】抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，则△=0．本题主要考查的是抛物线与x轴交点，根据题意得到△=0是解题的关键．21.【答案】解：AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A=∠B=90°，又∵∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴，即．∴OD=6cm．∴CD=OC+OD=16cm．【解析】证明△AOC∽△BOD，由相似比可求得OD的长，再利用线段的和求出CD长．本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．22.【答案】解：根据题意，得，解得，；∴该二次函数的解析式为：y=x2-2x，开口向上．【解析】将点（2，0）、（1，-1）代入二次函数的解析式，利用待定系数法法求该二次函数的解析式即可．本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．解题时，借用了二次函数图象上点的坐标特征：经过图象上的点一定在函数图象上，且图象上的每一个点均满足该函数的解析式．23.【答案】解：（1）y=x2-2x-3=x2-2x+1-3-1=（x-1）2-4；（2）函数的图象如图所示：（3）当y＜0时，函数图象上的点都在x轴的下方，此时-1＜x＜3．【解析】（1）由配方法把二次函数化成顶点式即可；（2）用描点法画出图象即可；（3）由题意得出函数图象上的点都在x轴的下方，即可得出结果．本题考查了二次函数的顶点式、配方法以及二次函数的图象；熟练掌握配方法和二次函数的图象是解决问题的关键．24.【答案】证明：因为=，==，所以=，又因为∠D=∠C=90°，所以△ADQ∽△QCP．【解析】利用两边及其夹角法即可作出证明．本题考查了相似三角形的判定，属于基础题，熟练掌握三角形相似的三个判定定理是解答本题的关键．25.【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AFB=∠FBC，又∵BF平分∠ABC，即∠ABF=∠FBC，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF；（2）解：∵AB=AF=3，AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴==．【解析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的定义，证明∠ABF=∠AFB，然后利用等角对等边即可证得；（2）证明△AEF∽△CEB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，是一个基础题．26.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1=∠2．∵∠AEB=∠F，∴△ABE∽△ECF．（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴=，∴=，∴CF=．【解析】（1）根据平行四边形的性质得出AB∥CD 故∠1=∠2，再由∠AEB=∠F即可得出结论；（2）根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．27.【答案】解（1）如图1所示：（2）如图2所示：【解析】（1）找到A、B、C关于点O的对称点A′，B′，C′，连接A′，B′，C′即可；（2）分别作出三角形的对应点，扩大对应边2倍即可得出答案．此题考查了作图--旋转变换和位似图形的画法，找到各点关于点O的对称点并连接各点是解题的关键．28.【答案】解：如图所示建立平面直角坐标系，此时，抛物线与x轴的交点为C（-100，0），D（100，0），设这条抛物线的解析式为y=a（x-100）（x+100），∵抛物线经过点B（50，150），可得 150=a（50-100）（50+100）．解得，∴．即抛物线的解析式为，顶点坐标是（0，200）∴拱门的最大高度为200米．【解析】因为拱门是抛物线形的建筑物，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y 轴，CD所在的直线为x轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题．本题考查的二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，数形结合，很基础的二次函数问题．29.【答案】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=4（k+1）2-4（k2-2k-3）=16k+16＞0．∴k＞-1．∴k的取值范围为k＞-1．（2）∵k＞-1，且k取最小的整数，∴k=0．∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4．（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（-1，0），∴0=-1+m，即m=1．②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y=-x2+2x+3（-1≤x≤3）的图象有一个公共点∴方程x+m=-x2+2x+3，即x2-x-3+m=0有两个相等实根．∴△=1-4（m-3）=0，即．综上所述，m的值为1或．【解析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而可求得k的取值范围；（2）先求得k的最小整数值，从而可求得二次函数的解析式；（3）先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点的条件是解题的关键．。
2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级(上)期中数学试卷-含详细解析
2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=（x-1）2+2的对称轴是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线2.下列图形是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A.B.C.D.4.将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x-2）2+3，下列平移正确的是（）A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5.已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A.B.C. ，D. ，7.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A. B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB=，AB⊥OB，∠AOB=30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A. B. C. D.9.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B=60°，AC=3，则CD的长为（）A. 6B.C.D. 310.如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于______ 度．12.点A（3，y1），B（-2，y2）在抛物线y=x2-5x上，则y1______ y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13.如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为______ ．14.⊙O中，AB为⊙O的弦，∠AOB=140°，则弦AB所对的圆周角为______ 度．15.如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，将△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是______ cm2．16.阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是______；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是______．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.解方程：x2－4x＋1＝018.如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．求：（1）点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数．四、解答题（本大题共11小题，共62.0分）19.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（-3，4），B（-5，1），C（-1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．20.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象，写出当x取何值时，y＞0？21.《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．22.已知二次函数y=x2-2x-3．（1）将y=x2-2x-3化成y=a（x-h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______；3（）不等式＞的解集是．23.如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．24.如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．25.如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？26.如图，AB为⊙O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）若OA=AE=4，求AC的长．27.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．28.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-2x2+（m+9）x-6的对称轴是x=2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y=-2x2+（m+9）x-6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y=2x-2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b的取值范围______ ．29.阅读资料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2-x1|2+|y2-y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=．我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A（x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA2=|x-0|2+|y-0|2，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为______．综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．证明AB是⊙P的切线；是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：抛物线y=（x-1）2+2的对称轴是x=1．故选：C．利用顶点式直接求得对称轴即可．此题考查二次函数的性质，抛物线y=a（x-h）2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是（h，k），对称轴是x=h．2.【答案】A【解析】解：A、该图形是中心对称图形，正确，B、该图形不是中心对称图形，错误；C、该图形不是中心对称图形，错误；D、该图形是轴对称图形，错误；故选：A．根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，∴∠AOB=2∠C=70°．故选：D．由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】D【解析】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-2）2+3的顶点坐标为（2，3），而点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得到点（2，3），所以抛物线y=2x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y=2（x-2）2+3．故选D．先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5.【答案】A【解析】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，∵3＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选：A．根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，依据抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题的关键．根据抛物线的对称性判断出抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（-3，0）．∴ax2+bx+c=0（a≠0）的解为x1=1，x2=-3．故选C．7.【答案】C【解析】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，-1），∴旋转中心的坐标为（1，-1）．故选：C．先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．8.【答案】B【解析】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，∠AOB=30°，∴cos∠AOB=，∴OA===2，如图，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，可得A1（-2，0），故选：B．根据三角函数可得OA，结合∠AOB=30°可知△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x轴上，继而可得答案．本题主要考查旋转变换下坐标与图形的变化，解直角三角形得出OA的长是解题的根本，根据△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x 轴上是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=60°，AC=3，∴BC==，∵AB⊥CD，∴CE=BC•sin60°=×=，∴CD=2CE=3．故选：D．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠B=60°，AC=3，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD=90°是关键．10.【答案】C【解析】解：由图中可知：长度d是一开始就存在的，如果点P向上运动，那么d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小；当运动到点A时，距离d为0，然后继续运动，d开始变大；到点P时，回到原来高度相同的位置．①对，②没有回到原来的位置，应排除．④回到原来的位置后又继续运动了，应排除．如果点P向下运动，那么d的距离将逐渐变小，到点A的位置时，距离d为0；继续运动，d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小，到点P时，回到原来高度相同的位置．③对．故选C．本题需注意正确理解题意，根据点P运动的方向分析即可．本题考查了动点问题的函数图象，由于没有说点是怎么运动的，所以分情况进行分析，判断．11.【答案】125【解析】解：∵旋转角为80°，∴∠BOD=80°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+80°=125°，故答案为：125．由旋转角可求得∠BOD，再利用角的和差可求得∠AOD．本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键．12.【答案】＜【解析】解：当x=3时，y1=x2-5x=-6；当x=-2时，y2=x2-5x=14；∵14＞-6，∴y1＜y2．故答案为：＜．分别计算自变量为3、-2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13.【答案】【解析】【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．由⊙C与∠AOB的两边分别相切，利用切线长定理，可得∠AOC=45°，继而可得△OCP是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】解：连接CP，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB，CP⊥OA，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=45°，∴OC=OP=4×=．故答案为．14.【答案】70或110【解析】解：根据圆周角定理，得弦AB所对的圆周角=140°÷2=70°或180°-70°=110°．故答案为70或110．此题要分情况考虑：弦对了两条弧，则两条弧所对的圆周角有两类．再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行计算．此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：弦所对的圆周角有两种情况．15.【答案】6【解析】解：AB与C′B′相交于点D，如图，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∴AC=BC=6cm，∠CAB=45°，∵△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，∴∠CAB=45°，CA=C′A=15°，∴∠C′AD=30°，在Rt△AC′D中，C′D=AC′=×6=2，∴阴影部分的面积=×6×2=6．故答案为．AB与C′B′相交于点D，如图，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=6cm，∠CAB=45°，再根据旋转的性质得∠CAB=45°，CA=C′A=15°，则∠C′AD=30°，再利用含30度的直角三角形的三边的关系计算出C′D，然后根据三角形面积公式计算阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．16.【答案】直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】解：∵OP是⊙O的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴直线PA，PB都是⊙O的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．直接根据圆周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切线的性质即可得出结论．本题考查的是作图-复杂作图，熟知圆的切线的作法及圆周角定理是解答此题的关键．17.【答案】解：移项得：x2-4x=-1，配方得：x2-4x+4=-1+4，即（x-2）2=3，开方得：x-2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2-．【解析】移项后配方得到x2-4x+4=-1+4，推出（x-2）2=3，开方得出方程x-2=±，求出方程的解即可．本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x-2）2=3，题目比较好，难度适中．18.【答案】解：（1）连结PQ，如图，∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=60°，BA=BC，∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，∴BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，∵BP=BQ=4，∠PBQ=60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ=PB=4；（2）∵QC=5，PC=3，PQ=4，而32+42=52，∴PC2+PQ2=CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．【解析】（1）连结PQ，如图，根据等边三角形得性质得∠ABC=60°，BA=BC，再利用旋转的性质得BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，BP=BQ=4，∠PBQ=60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ=PB=4；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，再加上∠BPQ=60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．19.【答案】解：（1）△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（5，-1）；（2）△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（-1，-5）．【解析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20.【答案】解：（1）∵图象过（-3，0），（1，0），∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），∵图象过（0，3），∴3=a（0+3）（0-1），a=-1，∴y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3，（2）由图象可知，当-3＜x＜1时，y＞0．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），图象过点（0，3），求出a的值，即可求出二次函数的解析式；（2）直接根据图象写出x的取值范围．本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确设出抛物线的解析式，此题难度不大．21.【答案】解：如图所示，连接OD．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD=10寸，∴CE=DE=CD=5寸，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（x-1）2+52=x2，解得：x=13，∴AB=26寸，即直径AB的长为26寸．【解析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．22.【答案】（0，-3）（3，0）（-1，0）x＜-1或x＞3【解析】解：（1）y=x2-2x-3=x2-2x+1-3-1=（x-1）2-4，即y=（x-1）2-4；（2）令x=0，则y=-3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，-3），又y=x2-2x-3=（x-3）（x+1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（-1，0）．故答案是：（0，-3）；（3，0）（-1，0）；图象如图所示：；（4）如图所示，不等式x2-2x-3＞0的解集是x＜-1或x＞3．故答案是：x＜-1或x＞3．（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x=0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；（3）将抛物线y=x2-2x-3上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）结合图象可以直接得到答案．本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．23.【答案】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【解析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．24.【答案】解：如图，点O为所作．【解析】作出一条弦的垂直平分线，作出另一条弦的垂直平分线，则它们的交点即为这个圆形工具的圆心．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25.【答案】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（2-4）米．【解析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．26.【答案】（1）证明：∵OD过圆心，F为AC中点，∴OD⊥AC，∵ED切⊙O于D，∴OD⊥ED，∴AC∥DE，（2）解：∵OD=OA=4，OE=OA+AE=8，∴OD=OE，∵在Rt△ODE中，OD=OE，∴∠E=30°，∵AC∥DE，∴∠CAB=∠E=30°，∴在Rt△OAF中，OF=AO=2，AF=OF=2，∵F为AC中点，∴AC=2AF=4．【解析】（1）由点F为弦AC的中点，ED切⊙O于D，可得OD⊥AC，OD⊥DE，继而证得结论；（2）由OA=AE=4，易得∠E=30°，又由AC∥DE，利用三角函数的知识即可求得OF，AF的长，继而求得答案．此题考查了切线的性质、垂径定理以及三角函数等知识．注意根据题意求得∠E=30°是关键．27.【答案】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x-h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x-3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x-3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12-4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2-2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1．∴y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b-4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x-1）2+1=（a+2）x2-2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞-2．∴ ．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2-10x+5．∴y2=5x2-10x+5=5（x-1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小，∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5×（0-1）2=5，当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大，∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3-1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．【解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．28.【答案】0＜b≤【解析】解：（1）∵抛物线y=-2x2+（m+9）x-6的对称轴是x=2，∴．∴m=-1．∴抛物线的表达式为y=-2x2+8x-6．∴y=-2（x-2）2+2．∴顶点坐标为（2，2）．（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y=-2（x-3）2+2，∵-2（x-2）2=-2（x-3）2，∴．∴A（，）．（3）点A坐标为（，），则点B的坐标为（，），设直线y=2x-2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，则y=2x-2-b，故=7-2-b，解得b=，平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．（1）根据抛物线的对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐标；（3）根据图象即可写出b的取值范围．本题主要考查了二次函数的性质以及函数图象的几何变换，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的求法以及数形结合解题思想．29.【答案】（x-a）2+（y-b）2=r2【解析】解：问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，∵P（a，b），半径为r，∴AP2=（x-a）2+（y-b）2=r2．故答案为：（x-a）2+（y-b）2=r2；综合应用：①∵PO=PA，PD⊥OA，∴∠OPD=∠APD．在△POB和△PAB中，，∴△POB≌△PAB．∴∠PAB=∠POB=90°．∴PA⊥AB．∵PA是半径，PA⊥AB于A，∴AB是⊙P的切线．②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．当点Q在线段BP中点时，∵∠POB=∠PAB=90°，∴QO=QP=QA=QB．∴此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°，∴∠PBO=30°．∴在Rt△POB中，，PB=2PO=12．∴B点坐标为．∵Q是PB中点，P（0，6），B，∴Q点坐标为．∵，∴以Q为圆心，OQ为半径的⊙Q的方程为．问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程；综合应用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，从而可证到△POB≌△PAB，则有∠POB=∠PAB．由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切线；②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易证∠OBP=∠POA=30°．由P点坐标可求出OP、OB．过点Q作QH⊥OB于H，易证△BHQ∽△BOP，根据相似三角形的性质可求出QH、BH，进而求出OH，就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题．本题考查了圆的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，得出△BHQ∽△BOP是解题关键．。
北京市xx初中2016-2017学年度初三上数学期中试卷含答案
2016-2017学年度九年级数学期中测试 2016年11月一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）.2．在平面直角坐标系中，将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）.A ．2(2)2y x =++B ．2(2)2y x =--C ．2(2)2y x =-+D ．2(2)2y x =+-3．如果45a b =（ab ≠0），那么下列比例式变形正确的是（ ） A ．54a b = B ．45a b = C ．45a b = D ．45ba = 4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且 DE ∥BC ，如果 AD ∶DB=3∶2，那么AE ∶AC 等于（ ）A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶3D ．3∶55．在平面直角坐标系xoy 中，如果⊙O 是以原点O （0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A （-3，-4）与⊙O 的位置关系是（ ） A. 在⊙O 内 B.在⊙O 上 C.在⊙O 外 D. 不能确定 6．如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°， B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若B A AC ''⊥， 则BAC ∠的度数是（ ）．A ．50° B．60° C． 70° D．40°A. B. C. D.D7．如右图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．120°B． 140° C．150° D． 160°8．二次函数223y x x=--的最小值为（）A. 5B. 0C. -3D. -49．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，如果30A∠=，AB=AC的长等于( ) ．A. 6B. 4C.D.10．如图1，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针．．．匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为( ).A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．写出一个抛物线开口向下，与y轴交于（0，2）点的函数表达式 .12.把二次函数的表达式y = x2－6x+5化为()2y a x h k=-+的形式，那么h k+=_____. 13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是米2．14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥于E，如果CE = 1，AB = 10，那么直径CD的长为 .”15.弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是____________.AB图2图116．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 小涵的主要作法如下：老师说：“小涵的作法正确．”请回答：小涵的作图依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
北京市西城外国语学校九年级数学上学期期中试卷(含解析) 北师大版
2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=2 B．直线x=﹣2 C．直线x=1 D．直线x=﹣12．下列图形是中心对称图形的是（）A．B． C． D．3．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A．35° B．55° C．65° D．70°4．将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x﹣2）2+3，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣3 D．x1=1，x2=﹣47．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB=，AB⊥OB，∠AOB=30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（﹣1，）D．（，﹣1）9．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B=60°，AC=3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．310．如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）A．①B．③C．①或③D．②或④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于度．12．点A（3，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为．14．⊙O中，AB为⊙O的弦，∠AOB=140°，则弦AB所对的圆周角为度．15．如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，将△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是cm2．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB 都是⊙O的切线，其依据是．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）解方程：x2﹣4x+1=0．18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．解：（1）点B1的坐标是；（2）点B2的坐标是．19．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象，写出当x取何值时，y＞0？20．（5分）《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．21．（5分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ……y ……（4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是．22．（5分）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．求：（1）点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数．23．（5分）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．24．（5分）如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．25．（5分）如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？26．（5分）如图，AB为⊙O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）若OA=AE=4，求AC的长．27．（7分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x=2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y=﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y=2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围．29．（8分）阅读资料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=．我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy 中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．问题拓展：如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为．综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．①证明AB是⊙P的切线；②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=2 B．直线x=﹣2 C．直线x=1 D．直线x=﹣1【考点】二次函数的性质．【分析】利用顶点式直接求得对称轴即可．【解答】解：抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是x=1．故选：C．【点评】此题考查二次函数的性质，抛物线y=a（x﹣h）2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是（h，k），对称轴是x=h．2．下列图形是中心对称图形的是（）A．B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、该图形是中心对称图形，正确，B、该图形不是中心对称图形，错误；C、该图形不是中心对称图形，错误；D、该图形是轴对称图形，错误；故选A【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A．35° B．55° C．65° D．70°【考点】圆周角定理．【分析】由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．【解答】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，∴∠AOB=2∠C=70°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x﹣2）2+3，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3），而点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得到点（2，3），所以抛物线y=2x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y=2（x﹣2）2+3．故选D．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，∵3＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选A．【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣3 D．x1=1，x2=﹣4【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线的对称性判断出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（﹣3，0）．∴ax2+bx+c=0（a≠0）的解为x1=1，x2=﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，依据抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD 为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，﹣1），∴旋转中心的坐标为（1，﹣1）．故选C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB=，AB⊥OB，∠AOB=30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（﹣1，）D．（，﹣1）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据三角函数可得OA，结合∠AOB=30°可知△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA 的对应边OA1位于x轴上，继而可得答案．【解答】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，∠AOB=30°，∴cos∠AOB=，∴OA===2，如图，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，可得A1（﹣2，0），故选：B．【点评】本题主要考查旋转变换下坐标与图形的变化，解直角三角形得出OA的长是解题的根本，根据△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x轴上是解题的关键．9．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B=60°，AC=3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．3【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠B=60°，AC=3，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=60°，AC=3，∴BC==，∵AB⊥CD，∴CE=BC•sin60°=×=，∴CD=2CE=3．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD=90°是关键．10．如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）A．①B．③C．①或③D．②或④【考点】动点问题的函数图象．【分析】本题需注意正确理解题意，根据点P运动的方向分析即可．【解答】解：由图中可知：长度d是一开始就存在的，如果点P向上运动，那么d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小；当运动到点A 时，距离d为0，然后继续运动，d开始变大；到点P时，回到原来高度相同的位置．①对，②没有回到原来的位置，应排除．④回到原来的位置后又继续运动了，应排除．如果点P向下运动，那么d的距离将逐渐变小，到点A的位置时，距离d为0；继续运动，d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小，到点P时，回到原来高度相同的位置．③对．故选C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，由于没有说点是怎么运动的，所以分情况进行分析，判断．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于125 度．【考点】旋转的性质．【分析】由旋转角可求得∠BOD，再利用角的和差可求得∠AOD．【解答】解：∵旋转角为80°，∴∠BOD=80°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+80°=125°，故答案为：125．【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键．12．点A（3，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1＜y2．（填“＞”，“＜”或“=”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为3、﹣2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=3时，y1=x2﹣5x=﹣6；当x=﹣2时，y2=x2﹣5x=14；∵14＞﹣6，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为4．【考点】切线的性质．【分析】由⊙C与∠AOB的两边分别相切，利用切线长定理，可得∠AOC=45°，继而可得△OCP是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】解：连接CP，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB，CP⊥OA，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=45°，∴OC=OP=4×=4．故答案为：．【点评】此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．14．⊙O中，AB为⊙O的弦，∠AOB=140°，则弦AB所对的圆周角为70或110 度．【考点】圆周角定理．【分析】此题要分情况考虑：弦对了两条弧，则两条弧所对的圆周角有两类．再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行计算．【解答】解：根据圆周角定理，得弦AB所对的圆周角=140°÷2=70°或180°﹣70°=110°．故答案为70或110．【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：弦所对的圆周角有两种情况．15．如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，将△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是6cm2．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．【分析】AB与C′B′相交于点D，如图，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=6cm，∠CAB=45°，再根据旋转的性质得∠CAB=45°，CA=C′A=15°，则∠C′AD=30°，再利用含30度的直角三角形的三边的关系计算出C′D，然后根据三角形面积公式计算阴影部分的面积．【解答】解：AB与C′B′相交于点D，如图，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∴AC=BC=6cm，∠CAB=45°，∵△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，∴∠CAB=45°，CA=C′A=15°，∴∠C′AD=30°，在Rt△AC′D中，C′D=AC′=×6=2，∴阴影部分的面积=×6×2=6．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对的圆周角是直角；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【考点】作图—复杂作图；切线的判定与性质．【分析】直接根据圆周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切线的性质即可得出结论．【解答】解：∵OP是⊙O的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴直线PA，PB都是⊙O的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知圆的切线的作法及圆周角定理是解答此题的关键．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：x2﹣4x+1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】移项后配方得到x2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，开方得出方程x﹣2=±，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，开方得：x﹣2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x ﹣2）2=3，题目比较好，难度适中．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．解：（1）点B1的坐标是（5，﹣1）；（2）点B2的坐标是（﹣1，5）．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．【解答】解：（1）△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（5，﹣1）；（2）△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣1，﹣5）．故答案为（5，﹣1），（﹣1，﹣5）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象，写出当x取何值时，y＞0？【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），图象过点（0，3），求出a的值，即可求出二次函数的解析式；（2）直接根据图象写出x的取值范围．【解答】解：（1）∵图象过（﹣3，0），（1，0），∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），∵图象过（0，3），∴3=a（0+3）（0﹣1），a=﹣1，∴y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3，（2）由图象可知，当﹣3＜x＜1，y＞0．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确设出抛物线的解析式，此题难度不大．20．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB 的长．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：如图所示，连接OD．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD=10寸，∴CE=DE=CD=5寸，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（x﹣1）2+52=x2，解得：x=13，∴AB=26寸，即直径AB的长为26寸．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．21．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是（0，﹣3），与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ……y ……（4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3 ．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象；二次函数与不等式（组）．【分析】（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x=0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；（3）将抛物线y=x2﹣2x﹣3上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）结合图象可以直接得到答案．【解答】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4；（2）令x=0，则y=﹣3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3），又y=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）．故答案是：（0，﹣3）；（3，0）（﹣1，0）；（3）列表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …图象如图所示：；（4）如图所示，不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3．故答案是：x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．22．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．求：（1）点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】（1）连结PQ，如图，根据等边三角形得性质得∠ABC=60°，BA=BC，再利用旋转的性质得BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，BP=BQ=4，∠PBQ=60°，于是可判断△PBQ 是等边三角形，所以PQ=PB=4；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，再加上∠BPQ=60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．【解答】解：（1）连结PQ，如图，∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=60°，BA=BC，∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，∴BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，∵BP=BQ=4，∠PBQ=60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ=PB=4；（2）∵QC=5，PC=3，PQ=4，而32+42=52，∴PC2+PQ2=CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QP C=90°，∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．23．如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理．【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【解答】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【点评】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．24．如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．【考点】作图—复杂作图；垂径定理．【分析】作出一条弦的垂直平分线，作出另一条弦的垂直平分线，则它们的交点即为这个圆形工具的圆心．【解答】解：如图，点O为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？【考点】二次函数的应用．【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（2﹣4）米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．26．如图，AB为⊙O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）若OA=AE=4，求AC的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）由点F为弦AC的中点，ED切⊙O于D，可得OD⊥AC，OD⊥DE，继而证得结论；（2）由OA=AE=4，易得∠E=30°，又由AC∥DE，利用三角函数的知识即可求得OF，AF的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵OD过圆心，F为AC中点，∴OD⊥AC，∵ED切⊙O于D，∴OD⊥ED，∴AC∥DE，（2）解：∵OD=OA=4，OE=OA+AE=8，∴OD=OE，∵在Rt△ODE中，OD=OE，∴∠E=30°，∵AC∥DE，∴∠CAB=∠E=30°，∴在Rt△OAF中，OF=AO=2，AF=OF=2，∵F为AC中点，∴AC=2AF=4．【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及三角函数等知识．注意根据题意求得∠E=30°是关键．27．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【分析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．。
【最新】北京市西城区九年级数学上册期末试卷(含答案解析)
北京市西城区九年级数学上册期中试卷（含答案）（时间：120分钟满分：100分）一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m 的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥24．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣36．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC 的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为cm．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是cm2．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（共9小题，满分52分）17．（5分）计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k ≠0）与反比例函数y=（m≠0）交于点A（﹣，﹣2），B（1，a）．（1）分被求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集．19．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．20．（5分）如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，≈1.732，结果精确到0.1米）21．（5分）如图，李师傅想用长为80米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD．已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD 的边长AB为x（米），面积为S（平方米）．（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？22．（5分）如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cos∠A的值．23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x=b，点A（﹣2，m）在直线y=﹣x+3上．（1）求m，b的值；（2）若点D（3，2）在二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求a的值；（3）当二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线y=﹣x+3相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．24．（7分）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC 边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示，那么图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH= S四边形ABCD；在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设S△DEP=a，S△AKG=b．∵EC∥AF．∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK=4a．∵GD∥BI，∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=9b又∵S△DAG=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．∴a= b，S四边形ABCD= b，S四边形KPOL= b．∴S四边形KPOL= S四边形ABCD，则S四边形KPOL S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“═”）．（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML=S四边形ABCD．25．（8分）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为d P．特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0．当⊙O的半径为2时：（1）若点C（﹣，0），D（3，4），则d c= ，d p= ；（2）若在直线y=2x+2上存在点P，使得d P=2，求出点P的横坐标；（3）直线y=﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在点P，使得2≤d P＜3，请你直接写出b的取值范围．答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）【分析】由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+3，∴顶点坐标为：（2，3）．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∠APB=∠AOB=×40°=20°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m 的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥2【分析】先根据反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大判断出1﹣2m的符号，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大，∴m﹣2＜0，∴m＜2．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出1﹣2m的符号是解答此题的关键．4．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：根据弧长的公式l=，得到：4π=，解得n=60°，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．6．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC 的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=90m，CE=45m，CD=60m，∴，解得：AB=120，故选：A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；C、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确；D、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanB===．故答案为．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=3﹣1 ．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×﹣1+4×=3﹣1，故答案为：3﹣1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于4：9 ．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC 与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是2：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于22：32=4：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：y=x2+2 ．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c=2即可．【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y=x2+2，故答案为：y=x2+2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为 3 cm．【分析】连接OA．根据垂径定理求得AC的长，再进一步根据勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：连接OA∵OC⊥AB，弦AB长为8cm，∴AC=4（cm）．根据勾股定理，得OC==3（cm）．故答案为3．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造直角三角形解决问题．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是36πcm2．【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：这个扇形的面积==36 πcm2．故答案为：36π【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式，难度一般．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是a＜且a≠0 ．【分析】根据函数与x轴有两个交点得出△＞0且a≠0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+3x+1=0有两个实数根，即△=32﹣4a＞0且a≠0，解得：a＜且a≠0，故答案为：a＜且a≠0．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于a'的不等式是解此题的关键．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．【解答】解：∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．三、解答题（共9小题，满分52分）17．（5分）计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式=×﹣4×+1=﹣2+1=．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）交于点A（﹣，﹣2），B（1，a）．（1）分被求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集．【分析】（1）首先由A（﹣，﹣2）在反比例函数y=的图象上，求得反比例函数的解析式，即可求得点B的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图形，一次函数的值大于反比例函数的值，一次函数在反比例函数上面的部分．【解答】解：（1）∵点A（﹣，﹣2）在函数y=上，∴m=﹣×（﹣2）=3，∴y=，∵点B（1，a）在y=上，∴a=3，∵直线y=kx+b经过A（﹣，﹣2），B（1，3），∴，解得，∴直线解析式为y=2x+1．（2）观察图象可知，不等式kx+b＞的解集为：﹣＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由函数图象比较函数大小，能够数形结合是解题的关键．19．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．【分析】如图，作直径AD，连接CD．利用圆周角定理得到△ACD是含30度角的直角三角形，由该三角形的性质和勾股定理求得AC 的长度即可．【解答】解：如图，作直径AD，连接CD．∴∠ACD=90°．∵∠B=60°，∴∠D=∠B=60°．∵⊙O的半径为6，∴AD=12．在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=6．∴AC=6．【点评】本题考查了圆周角定理．注意题中辅助线的作法．20．（5分）如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，≈1.732，结果精确到0.1米）【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，借助公共边CE等价转换，解这两个三角形可得AE、BE的值，再利用AB=AE+BE，进而可求出答案．【解答】解：根据题意，再Rt△BCE中，∠BEC=90°，tanα=，∴CE=≈=10米，再Rt△ACE中，∠AEC=90°，tanβ=，∴AE=CE•tan20°≈10×0.364=3.64米，∴AB=AE+BE=17.32+3.64=20.96≈21.0米，答：旗杆的高约为21.0米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（5分）如图，李师傅想用长为80米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD．已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD 的边长AB为x（米），面积为S（平方米）．（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）设矩形的边AB为x米，则边BC为80﹣2x米，根据矩形面积公式“面积=长×宽”列出函数的关系式．（2）将所得函数解析式配方成顶点式即可得．【解答】解：（1）根据题意知AB=x，BC=80﹣2x，∴S=x（80﹣2x）=﹣2x2+80x，又∵x＞0，0＜80﹣2x≤50，解得15≤x＜40，∴S=﹣2x2+80x （15≤x＜40）；（2）∵S=﹣2x2+80x=﹣2（x﹣20）2+800，∴当x=20时，S最大值为800，答：当AB为20米时，活动区的面积最大，最大面积是800平方米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题．22．（5分）如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cos∠A的值．【分析】（1）连接OD，AD，由AC为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角及垂直的定义得到AD垂直于BC，利用三线合一得到D 为BC中点，再由O为AC的中点，得到OD为三角形ABC的中位线，利用中位线性质得到OD与AB平行，进而得到OD垂直于DE，即可得证；（2）由半径的长求出AB与AC的长，根据BE的长，由AB﹣BE求出AE的长，由平行得相似，相似得比例，设CF=x，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出所求．【解答】（1）证明：连接OD，AD，∵AC为圆的直径，∴∠ADC=90°，AD⊥BC，∵AB=AC，∴点D为BC的中点，∵点O为AC的中点，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∠AED=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，则DE为圆O的切线；（2）解：∵r=2，∴AB=AC=2r=4，∵BE=1，∴AE=AB﹣BE=3，∵OD∥AB，∴△FOD∽△FAE，∴==，设CF=x，则有OF=x+2，AF=x+4，∴=，解得：x=2，∴AF=6，在Rt△AEF中，∠AEF=90°，则cosA==．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x=b，点A（﹣2，m）在直线y=﹣x+3上．（1）求m，b的值；（2）若点D（3，2）在二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求a的值；（3）当二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线y=﹣x+3相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．【分析】（1）根据二次函数的性质，可得b==1．将A（﹣2，m）代入y=﹣x+3，即可求出m=2+3=5；（2）将D（3，2）代入y=ax2﹣2ax+1，即可求出a的值；（3）把x=﹣3代入y=﹣x+3，求出y=6，把（﹣3，6）代入y=ax2﹣2ax+1，求出a=．再把x=﹣1代入y=﹣x+3，求出y=4，把（﹣1，4）代入y=ax2﹣2ax+1，求出a=1．进而得出a的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x=b，∴b==1．∵点A（﹣2，m）在直线y=﹣x+3上，∴m=2+3=5；（2）∵点D（3，2）在二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，∴2=a×32﹣2a×3+1，∴a=；（3）∵当x=﹣3时，y=﹣x+3=6，∴当（﹣3，6）在y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，6=a×（﹣3）2﹣2a ×（﹣3）+1，∴a=．又∵当x=﹣1时，y=﹣x+3=4，∴当（﹣1，4）在y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，4=a×（﹣1）2﹣2a ×（﹣1）+1，∴a=1．∴＜a＜1．【点评】本题考查了二次函数、一次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，掌握点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．24．（7分）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC 边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示，那么图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH= S四边形ABCD；在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设S△DEP=a，S△AKG=b．∵EC∥AF．∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK=4a．∵GD∥BI，∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=9b又∵S△DAG=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．∴a= b，S四边形ABCD= 42 b，S四边形KPOL= 6 b．∴S四边形KPOL= S四边形ABCD，则S四边形KPOL＜S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“═”）．（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML=S四边形ABCD．【分析】（1）根据平行线的性质、相似三角形的性质即可解决问题；（2）如图4中，延长CE交BA的延长线于T，连接DN，设S△AGL=a，S△AEN=b．想办法证明S四边形ANML=4b，S四边形ABCD=20b，即可解决问题；【解答】解：（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH=S四边形ABCD；在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设S△DEP=a，S△AKG=b．∵EC∥AF．∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK=4a．∵GD∥BI，∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=9b又∵S△DAG=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．∴a=b，S四边形ABCD=42b，四边形KPOL=6b．∴S四边形KPOL=S四边形ABCD，则S四边形KPOL＜S四边形GKLH．故答案为，，42，6，，＜．（2）如图4中，延长CE交BA的延长线于T，连接DN，设S△AGL=a，S△AEN=b．∵GL∥PH，∴△△AGL∽△AHP，相似比为1：2，得到S△AHP=4a，∵AT∥CD，∴∠T=∠ECD，∵∠AET=∠CED，AE=ED，∴△AET≌△DEC，∴AT=CD，∵AT∥CJ，∴==，∴=，可得S△DNJ=b，∴S△ABF=4a+b=S四边形ABCD，S△ADJ=b=S四边形ABCD，∴16a+b=20b，∴a=b，∴S四边形ANML=（20b﹣8a﹣b）=4b，∴S四边形ABCD=20b，∴S四边形ANML=S四边形ABCD．故答案为．【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．25．（8分）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为d P．特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0．当⊙O的半径为2时：（1）若点C（﹣，0），D（3，4），则d c= 1 ，d p= 4 ；（2）若在直线y=2x+2上存在点P，使得d P=2，求出点P的横坐标；（3）直线y=﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在点P，使得2≤d P＜3，请你直接写出b的取值范围．【分析】（1）圆内的点的d值=这个点到圆心距离的2倍，圆上或圆外的点的d值=圆的直径，由此即可解决问题；（2）根据题意，满足d p=2的点位于⊙O内部，且在以O为圆心半径为1的圆上，可以假设P（a，2a+2），根据PO=1，构建方程即可解决问题；（3）根据题意，满足2≤d P＜3的点位于点O为圆心外径为，内径为1的圆环内，分不清楚两圆与线段AB相切时b的值即可解决问题；【解答】解：（1）根据题意可得圆内的点的d值=这个点到圆心距离的2倍，圆上或圆外的点的d值=圆的直径，所以d c=1，d p=4；故答案为1，4；（2）根据题意，满足d p=2的点位于⊙O内部，且在以O为圆心半径为1的圆上，∵点P在直线y=2x+2上，∴可以假设P（a，2a+2），∵PO=1，∴a2+（2a+2）2=1，解得a=﹣1或﹣，∴满足条件的点P的横坐标为﹣1或﹣．（3）根据题意，满足2≤d P＜3的点位于点O为圆心外径为，内径为1的圆环内，当线段与外环相切时，可得b=，当线段于内环相切时，可得b=，所以满足条件的b的值：≤b＜．【点评】本题考查一次函数、圆、点P的“d值”定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时解决问题，学会利用特殊位置、寻找特殊点解决问题，所以中考压轴题．。
北京市铁路第二中学2015-2016学年初三数学度第一学期汇总
北京市铁路第二中学2015-2016学年度第一学期初三数学第二次阶段考试试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1.抛物线1)6(32-+-=xy的对称轴是直线（）．(A)6-=x (B)1-=x (C)1=x (D)6=x2．已知23(0)x y xy=≠，则下列比例式成立的是（）A．32xy=B．32x y=C．23xy=D．23=xy 3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）A.6B.8C.12D.184. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋cA．a>0 B．c＜0C．042<-acb D．a＋b＋c>05.如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC∆绕着点A逆时针旋转得到''BAC∆，则'tan B的值为( )A.41B.31C.21D.16. 若将抛物线y=22x先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（）A．(2,1)-B．(2,1)--C．(2,1)D．(2,1)-班级姓名学号7.如图，身高为1.6米的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是（）A．6.4米B．7.0米C．8.0米D．9.0米8. 将抛物线12+=xy绕原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．12-=xy B．12+-=xyC．1)1(2+-=xy D．12--=xy9. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A. 4km D. )1km10. 如图，在Rt ABC△中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止.设2y PC=,运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是 ( ).二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）.11. )0(02≠=++acbxax的解是,3,521-==xx那么抛物线)0(2≠++=acbxaxy与x轴的两个交点的坐标分别是 ______________．A CCA B DQPNMOC BA12．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果23BEBC=，那么BFFD=．13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝5，AB＝13，则tan∠BCD的值为___________._14.如图，二次函数2y ax bx c=++的图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论：①0,0,a b<<②20,a b->③0,a b c++>④0,a b c-+<⑤当1x>时，y随x的增大而减小，其中正确的是 .15.如图在直角梯形ABCD中，AB//CD，7,3,2,===⊥ADABCDABDA，在AD上存在动点P，使△PAB和△PCD相似.此时PD= .16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当12OAOB=时,OPOQ的值为；当1OAOB n=时，OPOQ的值为 .(用含n的式子表示)三、解答题（每小题5分,共20分）17．计算：tan30cos60tan45sin30.︒-︒⨯︒+︒18. 已知：如图，在ABC△中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED =∠C.（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD= 4，AC=5，求AE的长.ACBDEED CPA B第13题第14题第15题19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=12CD，sin∠CBD=23，求AD的长和tan A的值．20. 二次函数2y ax bx c=++的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（－1,0），与y轴交于点C（0，－5），且经过点D（3，－8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成2()y a x h k=-+的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标.四、解答题（每小题6分,共36分）21．如图, 正方形ABCD的边长为4cm, E是AB边上一点,AE=2, CM⊥DE, 垂足为M.(1)求CM长; (2)连接BM, 求tan∠CBM的值.22．抛物线y=ax2与直线y = x-3 交于点A（1，b）．（1）求a、b的值；（2）设直线3y x=-与抛物线2y ax=的另一个交点为B，与x轴的交点为C，求CA：CB的值．23. 如图，△ABC顶点的坐标分别为A(1，-1)，B(4，-1)，C(3，-4)．(1) 将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．直接写出点B1的坐标：B1（______，______ ）；(2) 以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC的位似比等于2:1，并写出A2、B2、C2 的坐标．24.已知：如图，瞭望台AB高20米，瞭望台底部B测得对面塔顶 C 的仰角为60°，从瞭望台顶A测得C的仰角为45°，已知瞭望台与塔CD地势高低相同，求塔CD的高.BAC25. 某超市按每袋20元的价格购进某种干果．销售过程中发现，每月销售量y （袋）与销售单价x （元）之间的关系可近似地看作一次函数：10500y x =-+（2050x <<）． （1）当x=45元时，y= 袋；当y=200袋时，x= 元；（2）设这种干果每月获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少?26. 阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAD =75°，∠CAD =30°，AD =2，BD =2DC ，求AC 的长．小腾发现，过点C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E ，通过构造△ACE ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．请回答：（1）∠ACE 的度数为 ，AC 的长为 ． 参考小腾思考问题的方法，解决问题：（2）如图 3，在四边形 ABCD 中，∠BAC =90°，∠CAD =30°，∠ADC =75°，AC 与BD 交于点E ，AE =2，BE =2ED ，求BC 的长．五、解答题 （本题共16分，第27题5分，第28题5分，第29题6分） 27．已知二次函数32)1(222--++-=k k x k x y 与x 轴有两个交点． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小的整数时，求抛物线 32)1(222--++-=k k x k x y的解析式并化成顶点式.（3）将(2)中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x并求出新图象与直线m x y +=有三个不同公共点时m28.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕顶点C顺时针旋转30°，得到△A′B′C．联结AA′, BB′．（1）直接写出AA′:BB′的值；（2）如图2，当旋转角为θ（0°＜θ＜180°）时，AA′和BB′的位置和数量关系是什么？，写出结论并证明．（3）当旋转到B，C，B′共线时，画出图形。
2022-2023学年北京市铁路第二中学九年级上学期数学期中考试试卷带讲解
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：＜
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13.如图，△ABC中∠B=50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，使AD⊥BC，连接CE，则∠ACE=_______________°．
D、整理整理为 ， ，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 （a≠0）的根与 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7.抛物线 和 的对称轴分别是（）
A.y轴，直线 B.直线 ， C.直线 ，直线 D.y轴，直线
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【分析】（1）先计算判别式的值得到 ，利用非负数的性质得 ，然后根据判别式的意义判断根的情况；
17.解下列方程
（1）用公式法解一元二次方程： ；
（2）用适当的方法解方程 ；
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先计算 再利用求根公式解方程即可；
（2）先移项，提取公因式 把方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【小问1详解】
解： ，
∴
∴
∴
∴
【小问2详解】
，
∴
∴
∴
∴ 或
解得：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“公式法与因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
（6）观察函数 的图象的交点个数可得答案．
2016-2017学年北京市西城区铁路二中九年级(上)期中数学试卷-含详细解析
2016-2017学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=-3（x+6）2-1的对称轴是直线（）A. B. C. D.2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 矩形B. 等边三角形C. 平行四边形D. 等腰梯形3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=40°，则∠OCB等于（）A.B.C.D.4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.5.将下列三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图所示立体图形的是哪一个（）A.B.C.D.6.若将抛物线y=2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.7.如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于E，连接BD，若∠D=30°，BD=2，则AE的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 58.将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A. B. C. D.9.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是()A. 4B.C.D.10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y=PC2，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是x1=5，x2=-3，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是______ ．12.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象写出一条此函数的性质______．13.如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是______ ．14.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，则下列结论：①a＜0，b＜0，②2a-b＞0，③a+b+c＞0，④a-b+c＜0，⑤当x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确的是______ ．15.如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为______．16.如图，一段抛物线：y=x（x-2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C10．（1）请写出抛物线C2的解析式：______ ；（2）若P（19，a）在第10段抛物线C10上，则a= ______ ．三、解答题（本大题共13小题，共72.0分）17.已知二次函数在x＝0和x＝2时的函数值相等（1）求二次函数的解析式，并作图象；（2）若一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(-3，m)，求m和k 的值．18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC的延长线与AD的延长线相交于点E，且DC=DE．求证：∠A=∠AEB．19.已知E为正△ABC内任意一点．求证：以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形．若∠BEC=113°，∠AEC=123°，求构成三角形的各角度数．20.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴交于点C（0，-5），且经过点D（3，-8）．（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成y=a（x-h）2+k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标．21.在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x-1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．22.如图，P是等边△ABC外接圆上任意一点，求证：PA=PB+PC．23.某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？24.如图（1）已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点将AP绕点A顺时针旋转到AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP，请证明；若将点P移到等腰ABC之外，原题中其它条件不变，上面的结论是否成立？请说明理由．25.如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．（1）证明：CF是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长．26.有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是______ ；（2）下表是y与x的几组对应值．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：______ ．27.已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2-2k-3与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）当k取最小的整数时，求抛物线y=x2-2（k+1）x+k2-2k-3的解析式并化成顶点式；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m 有三个不同公共点时m的值．28.已知：如图，∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B．（1）在图1中，过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，①依题意补全图形；②求证：△BCE是等腰直角三角形；③图1中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是______；（2）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变．在图2中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是______；在图3中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是______；（3）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CB=______．29.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P 的坐标；（3）将直线AC绕点C顺时针旋转45°到直线l1，过A作AE⊥l1于点E，将直线BC 绕点C逆时针旋转45°到直线l2，过B作BF⊥l2于点F，将直线AB绕点A顺时针旋转45°到直线l3，过B作BG⊥l3于点G，连接EF，CG，探索线段EF与线段CG的关系，并直接写出结论．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为y=-3（x+6）2-1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-6，-1），所以对称轴是x=-6．故选A．直接利用配方法求对称轴，或者利用对称轴公式求对称轴．主要考查了二次函数求抛物线的顶点坐标、对称轴．2.【答案】A【解析】解：A、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】B【解析】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=40°，∴∠BOC=2∠A=80°，∵OB=OC，∴∠OCB==50°．故选B．由⊙O是△ABC的外接圆，∠A=40°，然后由圆周角定理，即可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OCB的度数．此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】D【解析】解：A、由二次函数的图象开口向下可得a＜0，故选项错误；B、由抛物线与y轴交于x轴上方可得c＞0，故选项错误；C、由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2-4ac＞0，故选项错误；D、把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为正，正确．故选：D．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a-b+c，然后根据图象判断其值．5.【答案】B【解析】解：A、旋转后可得，故本选项错误；B、旋转后可得，故本选项正确；C、旋转后可得，故本选项错误；D、旋转后可得，故本选项错误．故选B．将各选项的图形旋转即可得到立体图形，找到合适的即可．本题考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力，画出正确图形即可解答．6.【答案】B【解析】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），∵向左平移2个单位，向下平移1个单位，∴新抛物线的顶点坐标是（-2，-1）．故选：B．先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移，纵坐标减解答即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的平移规律左减右加，上加下减解答是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵AB⊥CD，∠D=30°，BD=2，∴△BDE是直角三角形，∴BE=BD=×2=1，∴DE===，连接OD，设OD=r，则OE=r-BE=r-1，在Rt△ODE中，OD2=OE2+DE2，即，解得r=2，∴AE=OA+OE=．故选B．先根据直角三角形的性质求出BE及DE的长，再连接OD，设OD=r，则OE=r-BE，在Rt△ODE中利用勾股定理求出r的值，进而可得出AE的长．本题考查的是圆周角定理及勾股定理、直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8.【答案】C【解析】解：如图，由于所得函数图象与原函数图象关于原点对称，故所得函数顶点为（0，-1），则所得函数为y=-x2-1．故选C．由于将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，可知函数图象的形状不会发生变化，只是顶点坐标和开口方向发生了变化，先画出图象，即可进行解答．此题考查了函数的对称变化，找到所求函数的顶点坐标是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．10.【答案】A【解析】解：①连接PC，作PD⊥BC于D，∵∠ACB=90°，∴△BPD∽△BAC，∴，∵AP=t，AB=5cm，BC=3cm，∴BP=5-t，AC=4cm，∴，解得：PD=4-，BD=3-，∴DC=，∵y=PC2=PD2+DC2=（4-）2+（）2=t2-+16（t＜5），②当5≤t≤8时，PC2=（8-t）2=t2-16t+64．故选：A．连接PC，作PD⊥BC于D，构造直角三角形后利用相似三角形用t表示出PD、CD的长，利用勾股定理表示出y，即可确定其图象．本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是正确的构造直角三角形并利用相似三角形的知识表示出PC的平方．11.【答案】（5、0）（-3、0）【解析】解：当y=0时，ax2+bx+c=0（a≠0）．∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是x1=5，x2=-3，∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是5、-3，∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（5、0）（-3、0）．故答案是：（5、0）（-3、0）．根据方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解就是当y=0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴的两个交点的坐标．本题考查了抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的意义就是当x取交点的横坐标时，函数值y等于0，即方程ax2+bx+c=0的解为交点的横坐标．12.【答案】对称轴为直线x=1（答案不唯一）【解析】解：由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1；开口向下；与x轴交于点（-1，0），（3，0）；当x＜1时，y随x的增大而增大；x＞1时，y随x的增大而减小．故答案为：对称轴为直线x=1（答案不唯一）．根据图象结合二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴是直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．13.【答案】【解析】解：连接BD、OC，如图，∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD=90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD=2，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，而OB=OC，∴∠CBD=30°，在Rt△BCD中，CD=BD=1，BC=CD=，∴矩形BCDE的面积=BC•CD=．故答案为：．连接BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O 的直径，利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD=BD=1，BC=CD=，然后根据矩形的面积公式求解．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质．14.【答案】③④⑤【解析】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x=-=1，∴b=-2a＞0，①错误；②∵b=-2a，a＜0，∴2a-b=2a-（-2a）=4a＜0，②错误；③根据函数图象可知：当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，③正确；④根据函数图象可知：当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，④正确；⑤根据函数图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤正确．综上可知：正确的结论有③④⑤．故答案为③④⑤．①根据抛物线开口向下即可得出a＜0，结合抛物线的对称轴为x=1可得出b=-2a＞0，①错误；②由①得出b=-2a，将其代入2a-b可得出2a-b=4a＜0，②错误；③根据函数图象可知当x=1时y＞0，将x=1代入抛物线解析式即可得出a+b+c＞0，③正确；④根据函数图象可知当x=-1时，y＜0，将x=-1代入抛物线解析式即可得出a-b+c＜0，④正确；⑤根据函数图象即可得出当x＞1时y随x的增大而增大，⑤正确．综上即可得出结论．本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．15.【答案】-【解析】解：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB=60°， ∴△OAB 是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG ⊥AB ，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴S 阴影=S △OAB -S 扇形OMN =×2×-=-． 故答案为：-．由于六边形ABCDEF 是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB 是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG ⊥AB ，OG=OA•sin60°，再根据S 阴影=S △OAB -S 扇形OMN ，进而可得出结论． 本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB 是等边三角形是解答此题的关键．16.【答案】y =-（x -2）（x -4）；1【解析】解：（1）∵一段抛物线：y=x （x-2）（0≤x≤2），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，∴C 1，过（0，0），（2，0）两点，∴物线C 2的解析式二次项系数为：-1，且过点（2，0），（4，0），∴y=-（x-2）（x-4）；故答案为：y=-（x-2）（x-4）；（2）∵一段抛物线：y=-x （x-2）（0≤x≤2），∴图象与x 轴交点坐标为：（0，0），（2，0），∵将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2； 将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…如此进行下去，直至得C 10．∴C10的与x轴的交点横坐标为（18，0），（20，0），且图象在x轴上方，∴C10的解析式为：y10=-（x-18）（x-20），当x=19时，y=-（19-18）×（19-20）=1．故答案为：1．（1）根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，（2）利用已知得出图象与x轴交坐标变化规律，进而求出a的值．此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．17.【答案】解：（1）∵二次函数在x=0和x=2时的函数值相等，∴对称轴x=-==1，即-=1，解得，t=-，则二次函数的解析式为：y=（-+1）x2+2（-+2）x+，即y=-（x+1）（x-3）或y=-（x-1）2+2，∴该函数图象的开口方向向下，且经过点（-1，0），（3，0），（0，），顶点坐标是（1，2）．其图象如图所示：；（2）∵二次函数的象经过点A（-3，m），∴m=-（-3+1）（-3-3）=-6．又∵一次函数y=kx+6的图象经过点A（-3，m），∴m=-3k+6，即-6=-3k+6，解得，k=4．综上所述，m和k的值分别是-6、4．【解析】（1）根据已知条件知，该函数的对称轴方程为x=1，则-=1，据此易求t 的值，把t的值代入函数解析式即可；根据图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标画出图象；（2）把点A的坐标代入二次函数解析式，利用方程可以求得m的值；然后把点A的坐标代入一次函数解析式，也是利用方程来求k的值．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征．求得二次函数的解析式时，利用了二次函数图象的对称性质．18.【答案】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE∴∠E=∠DCE，∴∠A=∠AEB．【解析】根据圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠BCD=180°，再由邻补角互补可得∠BCD+∠DCE=180°，根据同角的补角相等可得∠A=∠DCE，再根据等边对等角可得∠E=∠DCE，再根据等量代换可得∠A=∠AEB．此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．19.【答案】证明：①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA；∠ACB=60°，∴将△BEC绕点C逆时针旋转60°，至△ACD，BC与AC重合，连接ED，∴△ADC≌△AEB，∴AD=AE，BE=CD，∠EAD=60°，∴△AED是等边三角形，∴ED=AE，∴以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形，△CDE即所构三角形；②∵∠BEC=113°，∠AEC=123°，∴∠AEB=360°-113°-123°=360°-236°=124°，由△ADC≌△AEB得：∠ADC=AEB=124°，∴∠EDC=124°-60°=64°，∠DEC=123°-60°=63°，∴∠ECD=180°-64°-63°=53°，∴构成三角形的各角度数分别为：63°、53°、64°．【解析】①通过旋转作辅助三角形ADC，由旋转的性质得：BE=DC，AE=AD，∠EAD=∠BAC=60，可得等边三角形AED，由此可得△CDE即所构三角形；②先根据周角的定义求∠AEB的度数，再由全等得：∠ADC=∠AEB=124°，利用等边三角形每个角都是60°分别计算所构成的三角形各角的度数即可．本题考查了等边三角形的性质和判定、旋转的性质、全等三角形的性质，明确旋转前后的两个三角形是全等形，并熟练掌握等边三角形的性质和判定．20.【答案】解：（1）根据题意得，①②③，②分别代入①、③得，a-b=5④，3a+b=-1⑤，④+⑤得，4a=4，解得a=1，把a=1代入④得，1-b=5，解得b=-4，∴方程组的解是，∴此二次函数的解析式为y=x2-4x-5；（2）y=x2-4x-5=x2-4x+4-4-5=（x-2）2-9，二次函数的解析式为y=（x-2）2-9，顶点坐标为（2，-9），对称轴为x=2，设另一点坐标为B（a，0），则-1+a=2×2，解得a=5，∴点B的坐标是B（5，0）．【解析】（1）把点A、B、C的坐标代入函数表达式，然后根据三元一次方程的解法求出a、b、c的值，即可得到二次函数的解析式；（2）利用配方法整理，然后根据顶点式写出顶点坐标，再根据对称轴解析式与点A的坐标求出与x轴的另一交点坐标．本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点的坐标代入函数表达式，然后解三元一次方程组即可，熟练掌握二次函数的性质以及三种形式的相互转化也很重要．21.【答案】解：（1）当y=2时，则2=x-1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（-1，2）．（2）把（3，2），（-1，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2-2x-1．顶点坐标为（1，-2）．（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（-1，2），则a（-1）2=2，解得：a=2，∴＜．【解析】（1）当y=2时，则2=x-1，解得x=3，确定A（3，2），根据A，B关于x=1对称，所以B（-1，2）;（2）把（3，2），（-1，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得，求出b，c 的值，即可解答；（3）画出函数图象，把A，B代入y=ax2，求出a的值，即可解答．本题考查了二次函数的性质，解本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题．22.【答案】证明：在PA上截取PD=PC，∵AB=AC=BC，∴∠APB=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD-∠DCB=∠ACB-∠DCB，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD=PB，∴PA=PB+PC．【解析】首先在PA上截取PD=PC，由△ABC是等边三角形，可得△PCD是等边三角形，继而可证明△ACD≌△BCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．23.【答案】解：（1）每个面包的利润为（x-5）角卖出的面包个数为[160-（x-7）×20]）（4分）（2）y=（300-20x）（x-5）=-20x2+400x-1500即y=-20x2+400x-1500（8分）（3）y=-20x2+400x-1500=-20（x-10）2+500（10分）∴当x=10时，y的最大值为500．∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500角．（12分）【解析】（1）设每个面包的利润为（x-5）角．（2）依题意可知y与x的函数关系式．（3）把函数关系式用配方法可解出x=10时y有最大值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．本题难度一般．24.【答案】（1）证明：∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAB=∠PAC，∵AP=AQ，AB=AC，∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP．（2）成立；证明：∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAB=∠PAC，∵AP=AQ，AB=AC，∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP．【解析】根据旋转的性质及已知，利用SAS判定△QAB≌△PAC，从而得到BQ=CP；同理，第二问也可证明成立．此题主要考查学生以旋转的性质，全等三角形的判定及等腰三角形的性质的综合运用能力．25.【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°；在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，∴∠E=30°；∵∠E=∠ECF，∴∠ECF=30°，∴∠ECF+∠OCB=90°；∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，∴∠OCF=90°，∴CF为⊙O的切线；（2）解：在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，∴AC=AB cos30°=，BC=AB sin30°=1；∵AC=CE，∴BE=BC+CE=1+，在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，∴MB=BE sin30°=，∴MO=MB-OB=．【解析】（1）要证CF为⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°即可；（2）根据三角函数求得AC的长，从而可求得BE的长，再利用三角函数可求出MB的值，从而可得到MO的长．本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．26.【答案】x≠1；该函数没有最大值，也没有最小值【解析】解：（1）x≠1，故答案为x≠1；（2）令x=4，∴y=+4=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值，也没有最小值；故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m，把x=4代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=4（k+1）2-4（k2-2k-3）=16k+16＞0．∴k＞-1．∴k的取值范围为k＞-1．（2）∵k＞-1，且k取最小的整数，∴k=0．∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4．（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（-1，0），∴0=-1+m，即m=1．②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y=-x2+2x+3（-1≤x≤3）的图象有一个公共点∴方程x+m=-x2+2x+3，即x2-x-3+m=0有两个相等实根．∴△=1-4（m-3）=0，即m=．综上所述，m的值为1或．【解析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而可求得k的取值范围；（2）先求得k的最小整数值，从而可求得二次函数的解析式；（3）先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点的条件是解题的关键．28.【答案】BD+AB=CB；AB-BD=CB；BD-AB=CB；-1或+1【解析】解：（1）①依题意补全图形如下图，②证明：∵∠ACD=90°，又∵CE⊥CB，∴∠ECB=90°=∠ACD，∴∠1=∠2．∵DB⊥MN于点B，∴∠ABD=90°，∴∠BAC+∠D=180°．又∵∠BAC+∠EAC=180°，∴∠D=∠EAC．∴△CAE≌△CDB，∴CE=CB．③如图（1），过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E ∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN∴∠ABC+∠CBD=90°，∵CE⊥CB∴∠ABC+∠CEA=90°，∴∠CBD=∠CEA．又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB（AAS），∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB，故答案为BD+AB=CB（2）①如图（2），过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AB-AE，∴BE=AB-BD，∴AB-BD=CB．②BD-AB=CB．如图（3），过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD=90°，∠BCE=90°，∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE-AB，∴BE=BD-AB，∴BD-AB=CB．故答案为AB-BD=CB和BD-AB=CB．（3）①如图4，由（1）③，得△ACE≌△BCD，CE=BC，∴△BCE为等腰直角三角形，∴∠AEC=45°=∠CBE=∠DBC，过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，∴BD=BH=，∴BH=DH=1，在Rt△CDH中，∠BCD=30°，BH=1，∴CH=，∴BC=CH+BH=+1；②如图5，过点D作DH⊥BC交CB的延长线与H，同①的方法，得，CH=，BH=1，∴BC=CH-BH=-1．故答案为或．（1）①依题意补全图形如图所示，②判断出△CAE≌△CDB，即得结论，③过点C作CE⊥CB，得到∠BCD=∠ACE，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形即可．（2）①过点C作CE⊥CB于点C，判断出△ACE≌△DCB，确定△ECB为等腰直角三角形；②解题思路同（1）③，过点C作CE⊥CB于点C，得到△ACE≌△DCB，从而确定△ECB为等腰直角三角形；（3）由（1）③，得△ACE≌△BCD，CE=BC，得到△BCE为等腰直角三角形，得到BD=BH=，求出BH，再用勾股定理即可．本题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等．解本题的关键是作出辅助线．29.【答案】解：（1）由题意B（3，0），C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，则有解得，∴直线BC的解析式为y=-x+3，把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．（2）由y=x2-4x+3，可得D（2，-1），A（1，0），∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，可得△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，BC=3，如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，交BC于E．∴AF=AB=1．∵EF=AF=FB=1，∴∠AEB=90度．可得BE=AE=，CE=2．在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，∴△AEC∽△AFP．∴=，∴=，解得PF=2．或者直接证明△ABC∽△ADP得出PD=3，再得PF=2．∵点P在抛物线的对称轴上，∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）．（3）结论：EF=CG，EF⊥CG．理由：如图2中，作EM⊥OC由M，EN⊥x轴于N．∵AE⊥EC，∠ECA=45°，∴∠EAC=∠ECA=45°，∴EC=EA，∵∠EMC=∠ENA=∠MEN=∠AEC=90°，∴∠CEM=∠AEN，∴△EMC≌△ENA，∴EM=EN，AN=CM，设EM=EN=x，则有x+1=3-x，∴x=1，∴E（-1，1），∵F（3，3），G（2，-1），∴EF==2，CG==2，∴EF=CG，又∵直线EF的解析式为y=x+，直线CG的解析式为y=-2x+3，∴×（-2）=-1，∴EF⊥CG，∴EF=CG．EF⊥CG．【解析】（1）求出B、C两点坐标，理由待定系数法即可解决问题．（2）利用配方法求出点D的坐标，用待定系数法求得直线BC的解析式，进一步求出与对称轴的交点E，对称轴与x轴的交点；数形结合，解得△AEF和△EFB均为等腰直角三角形，再证得△AFP∽△AEC，求得P点坐标，利用对称求得另一点P．（3）结论：EF=CG，EF⊥CG．如图2中，作EM⊥OC由M，EN⊥x轴于N．首先证明△EMC≌△ENA，由此推出E（-1，1），求出EF，CG，以及直线EF、CG的解析式即可解决问题．本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、一次函数的应用、待定系数法、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形相似的判定及对称的性质，始终渗透数形结合的思想，解题的关键是学会利用一次函数的性质解决垂直问题，属于中考压轴题．。
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2016-2017学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）抛物线y=﹣3（x+6）2﹣1的对称轴是直线（）A．x=﹣6 B．x=﹣1 C．x=1 D．x=62．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．矩形B．等边三角形C．平行四边形D．等腰梯形3．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=40°，则∠OCB等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＞05．（3分）将下列三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图所示立体图形的是哪一个（）A．B．C．D．6．（3分）若将抛物线y=2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1） D．（2，﹣1）7．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D=30°，BD=2，则AE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．（3分）将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y=﹣x2B．y=﹣x2+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=x2﹣19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4 B．C．D．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y=PC2，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）.r11．（3分）已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是x1=5，x2=﹣3，那么抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是．12．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象写出一条此函数的性质．13．（3分）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E 在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是．14．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，则下列结论：①a＜0，b＜0，②2a﹣b＞0，③a+b+c＞0，④a﹣b+c＜0，⑤当x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确的是．15．（3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为．16．（3分）如图，一段抛物线：y=x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C10．（1）请写出抛物线C2的解析式：；（2）若P（19，a）在第10段抛物线C10上，则a=．三、解答题（每小题5分，共20分）17．（5分）已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等（1）求二次函数的解析式，并作图象；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m 和k的值．18．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC的延长线与AD的延长线相交于点E，且DC=DE．求证：∠A=∠AEB．19．（5分）已知E为正△ABC内任意一点．求证：以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形．若∠BEC=113°，∠AEC=123°，求构成三角形的各角度数．20．（5分）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A （﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），且经过点D（3，﹣8）．（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成y=a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标．四、解答题（每小题6分，共36分）21．（6分）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．22．（6分）如图，P是等边△ABC外接圆上任意一点，求证：PA=PB+PC．23．（6分）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？24．（6分）如图（1）已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点将AP绕点A顺时针旋转到AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP，请证明；若将点P移到等腰ABC之外，原题中其它条件不变，上面的结论是否成立？请说明理由．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．（1）证明：CF是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长．26．（6分）有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：．五、解答题（本题共16分，第27题5分，第28题5分，第29题6分）27．（5分）已知二次函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）当k取最小的整数时，求抛物线y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3的解析式并化成顶点式；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．28．（5分）已知：如图，∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN 于点B．（1）在图1中，过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，①依题意补全图形；②求证：△BCE是等腰直角三角形；③图1中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是；（2）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变．在图2中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是；在图3中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是；（3）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CB=．29．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx 沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P 的坐标；（3）将直线AC绕点C顺时针旋转45°到直线l1，过A作AE⊥l1于点E，将直线BC绕点C逆时针旋转45°到直线l2，过B作BF⊥l2于点F，将直线AB绕点A顺时针旋转45°到直线l3，过B作BG⊥l3于点G，连接EF，CG，探索线段EF与线段CG的关系，并直接写出结论．2016-2017学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）抛物线y=﹣3（x+6）2﹣1的对称轴是直线（）A．x=﹣6 B．x=﹣1 C．x=1 D．x=6【解答】解：因为y=﹣3（x+6）2﹣1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣6，﹣1），所以对称轴是x=﹣6．故选A．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．矩形B．等边三角形C．平行四边形D．等腰梯形【解答】解：A、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．3．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=40°，则∠OCB等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=40°，∴∠BOC=2∠A=80°，∵OB=OC，∴∠OCB==50°．故选：B．4．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＞0【解答】解：A、由二次函数的图象开口向下可得a＜0，故选项错误；B、由抛物线与y轴交于x轴上方可得c＞0，故选项错误；C、由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac ＞0，故选项错误；D、把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为正，正确．故选：D．5．（3分）将下列三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图所示立体图形的是哪一个（）A．B．C．D．【解答】解：A、旋转后可得，故本选项错误；B、旋转后可得，故本选项正确；C、旋转后可得，故本选项错误；D、旋转后可得，故本选项错误．故选：B．6．（3分）若将抛物线y=2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1） D．（2，﹣1）【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），∵向左平移2个单位，向下平移1个单位，∴新抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣1）．故选：B．7．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D=30°，BD=2，则AE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵AB⊥CD，∠D=30°，BD=2，∴△BDE是直角三角形，∴BE=BD=×2=1，∴DE===，连接OD，设OD=r，则OE=r﹣BE=r﹣1，在Rt△ODE中，OD2=OE2+DE2，即r2=（r﹣1）2+（）2，解得r=2，∴AE=OA+OE=2+（2﹣1）=3．故选：B．8．（3分）将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）A．y=﹣x2B．y=﹣x2+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=x2﹣1【解答】解：如图，由于所得函数图象与原函数图象关于原点对称，故所得函数顶点为（0，﹣1），则所得函数为y=﹣x2﹣1．故选：C．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4 B．C．D．【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y=PC2，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：①连接PC，作PD⊥BC于D，∵∠ACB=90°，∴△BPD∽△BAC，∴，∵AP=t，AB=5cm，BC=3cm，∴BP=5﹣t，AC=4cm，∴，解得：PD=4﹣，BD=3﹣，∴DC=，∵y=PC2=PD2+DC2=（4﹣）2+（）2=t2﹣+16（t＜5），②当5≤t≤8时，PC2=（8﹣t）2=t2﹣16t+64．故选：A．二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）.r11．（3分）已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是x1=5，x2=﹣3，那么抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（5、0）（﹣3、0）．【解答】解：当y=0时，ax2+bx+c=0（a≠0）．∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是x1=5，x2=﹣3，∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是5、﹣3，∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（5、0）（﹣3、0）．故答案是：（5、0）（﹣3、0）．12．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象写出一条此函数的性质对称轴为直线x=1（答案不唯一）．【解答】解：由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1；开口向下；与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）；当x＜1时，y随x的增大而增大；x＞1时，y随x的增大而减小．故答案为：对称轴为直线x=1（答案不唯一）．13．（3分）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是．【解答】解：连结BD、OC，如图，∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD=90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD=2，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，而OB=OC，∴∠CBD=30°，在Rt△BCD中，CD=BD=1，BC=CD=，∴矩形BCDE的面积=BC•CD=．故答案为：．14．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，则下列结论：①a＜0，b＜0，②2a﹣b＞0，③a+b+c＞0，④a﹣b+c＜0，⑤当x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确的是③④⑤．【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，①错误；②∵b=﹣2a，a＜0，∴2a﹣b=2a﹣（﹣2a）=4a＜0，②错误；③根据函数图象可知：当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，③正确；④根据函数图象可知：当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，④正确；⑤根据函数图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤正确．综上可知：正确的结论有③④⑤．故答案为③④⑤．15．（3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为﹣．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN=×2×﹣=﹣．故答案为：﹣．16．（3分）如图，一段抛物线：y=x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C10．（1）请写出抛物线C2的解析式：y=﹣（x﹣2）（x﹣4）；（2）若P（19，a）在第10段抛物线C10上，则a=1．【解答】解：（1）∵一段抛物线：y=x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，∴C1，过（0，0），（2，0）两点，∴物线C2的解析式二次项系数为：﹣1，且过点（2，0），（4，0），∴y=﹣（x﹣2）（x﹣4）；故答案为：y=﹣（x﹣2）（x﹣4）；（2）∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（2，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C10．∴C10的与x轴的交点横坐标为（18，0），（20，0），且图象在x轴上方，∴C10的解析式为：y10=﹣（x﹣18）（x﹣20），当x=19时，y=﹣（19﹣18）×（19﹣20）=1．故答案为：1．三、解答题（每小题5分，共20分）17．（5分）已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等（1）求二次函数的解析式，并作图象；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m 和k的值．【解答】解：（1）∵二次函数在x=0和x=2时的函数值相等，∴对称轴x=﹣==1，即﹣=1，解得，t=﹣，则二次函数的解析式为：y=（﹣+1）x2+2（﹣+2）x+，即y=﹣（x+1）（x ﹣3）或y=﹣（x﹣1）2+2，∴该函数图象的开口方向向下，且经过点（﹣1，0），（3，0），（0，），顶点坐标是（1，2）．其图象如图所示：；（2）∵二次函数的象经过点A（﹣3，m），∴m=﹣（﹣3+1）（﹣3﹣3）=﹣6．又∵一次函数y=kx+6的图象经过点A（﹣3，m），∴m=﹣3k+6，即﹣6=﹣3k+6，解得，k=4．综上所述，m和k的值分别是﹣6、4．18．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC的延长线与AD的延长线相交于点E，且DC=DE．求证：∠A=∠AEB．【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE∴∠E=∠DCE，∴∠A=∠AEB．19．（5分）已知E为正△ABC内任意一点．求证：以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形．若∠BEC=113°，∠AEC=123°，求构成三角形的各角度数．【解答】证明：①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，∠ACB=60°，∴将△AEB绕点A逆时针旋转60°，至△ACD，BC与AC重合，连接ED，∴△ADC≌△AEB，∴AD=AE，BE=CD，∠EAD=60°，∴△AED是等边三角形，∴ED=AE，∴以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形，△CDE即所构三角形；②∵∠BEC=113°，∠AEC=123°，∴∠AEB=360°﹣113°﹣123°=360°﹣236°=124°，由△ADC≌△AEB得：∠ADC=∠AEB=124°，∴∠EDC=124°﹣60°=64°，∠DEC=123°﹣60°=63°，∴∠ECD=180°﹣64°﹣63°=53°，∴构成三角形的各角度数分别为：63°、53°、64°．20．（5分）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A （﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），且经过点D（3，﹣8）．（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成y=a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标．【解答】解：（1）根据题意得，，②分别代入①、③得，a﹣b=5④，3a+b=﹣1⑤，④+⑤得，4a=4，解得a=1，把a=1代入④得，1﹣b=5，解得b=﹣4，∴方程组的解是，∴此二次函数的解析式为y=x2﹣4x﹣5；（2）y=x2﹣4x﹣5=x2﹣4x+4﹣4﹣5=（x﹣2）2﹣9，二次函数的解析式为y=（x﹣2）2﹣9，顶点坐标为（2，﹣9），对称轴为x=2，设另一点坐标为B（a，0），则﹣1+a=2×2，解得a=5，∴点B的坐标是B（5，0）．四、解答题（每小题6分，共36分）21．（6分）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【解答】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣1，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴．22．（6分）如图，P是等边△ABC外接圆上任意一点，求证：PA=PB+PC．【解答】证明：在PA上截取PD=PC，∵AB=AC=BC，∴∠APB=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD﹣∠DCB=∠ACB﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴PA=PB+PC．23．（6分）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？【解答】解：（1）每个面包的利润为（x﹣5）角卖出的面包个数为[160﹣（x﹣7）×20]）（4分）（2）y=（300﹣20x）（x﹣5）=﹣20x2+400x﹣1500即y=﹣20x2+400x﹣1500（8分）（3）y=﹣20x2+400x﹣1500=﹣20（x﹣10）2+500（10分）∴当x=10时，y的最大值为500．∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500角．（12分）24．（6分）如图（1）已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点将AP绕点A顺时针旋转到AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP，请证明；若将点P移到等腰ABC之外，原题中其它条件不变，上面的结论是否成立？请【解答】（1）证明：∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAB=∠PAC，∵AP=AQ，AB=AC，∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP．（2）成立；证明：∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAB=∠PAC，∵AP=AQ，AB=AC，∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．（1）证明：CF是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°；在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，∴∠E=30°；∵∠E=∠ECF，∴∠ECF=30°，∴∠ECF+∠OCB=90°；∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，∴∠OCF=90°，∴CF为⊙O的切线；（2）解：在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，∴AC=ABcos30°=，BC=ABsin30°=1；∵AC=CE，∴BE=BC+CE=1+，在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，∴MB=BEsin30°=，∴MO=MB﹣OB=．26．（6分）有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是x≠1；（2）下表是y与x的几组对应值．求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：该函数没有最大值，也没有最小值．【解答】解：（1）x≠1，故答案为x≠1；（2）令x=4，∴y=+4=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值，也没有最小值；故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．五、解答题（本题共16分，第27题5分，第28题5分，第29题6分）27．（5分）已知二次函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点．（1）求k的取值范围；（2）当k取最小的整数时，求抛物线y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3的解析式并化成顶点式；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）=16k+16＞0．∴k＞﹣1．∴k的取值范围为k＞﹣1．（2）∵k＞﹣1，且k取最小的整数，∴k=0．∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4．（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），∴0=﹣1+m，即m=1．②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y=﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点∴方程x+m=﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m=0有两个相等实根．∴△=1﹣4（m﹣3）=0，即m=．综上所述，m的值为1或．28．（5分）已知：如图，∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN 于点B．（1）在图1中，过点C作CE⊥CB，与直线MN于点E，①依题意补全图形；②求证：△BCE是等腰直角三角形；③图1中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是BD+AB=CB；（2）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变．在图2中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是AB﹣BD=CB；在图3中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是BD﹣AB=CB；（3）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CB=﹣1或+1．【解答】解：（1）①依题意补全图形如下图，②证明：∵∠ACD=90°，又∵CE⊥CB，∴∠ECB=90°=∠ACD，∴∠1=∠2．∵DB⊥MN于点B，∴∠ABD=90°，∴∠BAC+∠D=180°．又∵∠BAC+∠EAC=180°，∴∠D=∠EAC．∴△CAE≌△CDB，∴CE=CB．③如图（1），过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E ∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN∴∠ABC+∠CBD=90°，∵CE⊥CB∴∠ABC+∠CEA=90°，∴∠CBD=∠CEA．又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB（AAS），∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB，故答案为BD+AB=CB（2）①如图（2），过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD=90°，∠ECB=90°，∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AB﹣AE，∴BE=AB﹣BD，∴AB﹣BD=CB．②BD﹣AB=CB．如图（3），过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD=90°，∠BCE=90°，∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE﹣AB，∴BE=BD﹣AB，∴BD﹣AB=CB．故答案为AB﹣BD=CB和BD﹣AB=CB．（3）①如图4，由（1）③，得△ACE≌△BCD，CE=BC，∴△BCE为等腰直角三角形，∴∠AEC=45°=∠CBE=∠DBC，过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，∴BD=BH=，∴BH=DH=1，在Rt△CDH中，∠BCD=30°，BH=1，∴CH=，∴BC=CH+BH=+1；②如图5，过点D作DH⊥BC交CB的延长线与H，同①的方法，得，CH=，BH=1，∴BC=CH﹣BH=﹣1．故答案为或．29．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx 沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）将直线AC绕点C顺时针旋转45°到直线l1，过A作AE⊥l1于点E，将直线BC绕点C逆时针旋转45°到直线l2，过B作BF⊥l2于点F，将直线AB绕点A顺时针旋转45°到直线l3，过B作BG⊥l3于点G，连接EF，CG，探索线段EF与线段CG的关系，并直接写出结论．【解答】解：（1）由题意B（3，0），C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，则有解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）由y=x2﹣4x+3，可得D（2，﹣1），A（1，0），∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，可得△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，BC=3，如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，交BC于E．∴AF=AB=1．∵EF=AF=FB=1，∴∠AEB=90度．可得BE=AE=，CE=2．在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，∴△AEC∽△AFP．∴=，∴=，解得PF=2．或者直接证明△ABC∽△ADP得出PD=3，再得PF=2．∵点P在抛物线的对称轴上，∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．（3）结论：EF=CG，EF⊥CG．理由：如图2中，作EM⊥OC由M，EN⊥x轴于N．∵AE⊥EC，∠ECA=45°，∴∠EAC=∠ECA=45°，∴EC=EA，∵∠EMC=∠ENA=∠MEN=∠AEC=90°，∴∠CEM=∠AEN，∴△EMC≌△ENA，∴EM=EN，AN=CM，设EM=EN=x，则有x+1=3﹣x，∴x=1，∴E（﹣1，1），∵F（3，3），G（2，﹣1），∴EF==2，CG==2，∴EF=CG，又∵直线EF的解析式为y=x+，直线CG的解析式为y=﹣2x+3，∴×（﹣2）=﹣1，∴EF⊥CG，∴EF=CG．EF⊥CG．。