5 线性空间与线性变换
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。
本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。
一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。
具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。
即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。
2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。
3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。
4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。
线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。
零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。
线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。
具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。
2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。
线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。
零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。
恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。
可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。
线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。
线性空间与线性变换
研究。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1
0 2
A1 1 2 A2 1 3
3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}得线性相关性、 2求向量组得秩与极大线性无关组、 3把其余得向量表示成极大线性无关组得
求 V1 V2, V1 V2.
§1、3 线性空间V与Fn得同构
坐标关系
V
Fn
V得基{1,2,。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V,X Fn, ()=X
(1+2)=(1)+(2) (k)=k()
在关系下,线性空间V与Fn同构。
同构得性质
定理1、3、1:数域F上两个有限维线性空 间同构得充分必要条件就是她们得维数 相同。 同构保持线性关系不变。 应用: 借助于空间Fn中已经有得结论与方法研 究一般线性空间得线性关系。
1. 求从基(I)到基(II)得过渡矩阵C。
2. 求向量 7 3 在基(II)得坐标Y。 1 2
§1、2 子空间
概述:线性空间V中,向量集合V可以有集合得 运算与关系:
Wi V, W1W2, W1W2, 问题: 这些关系或运算得结果就是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间得概念
定义: 设非空集合WV,W ,如果W中得 元素关于V中得线性运算为线性空间,则称W 就是V得子空间。 判别方法:Important Theorem W就是子空间 W对V得线性运算封闭。
定义: T 得秩=dim R(T); T 得零度=dim N(T)
例 (P018) Rn中得变换 T:设A Rn×n就是一个给定 得 矩阵,XRn,T(X)=AX。 (1)T就是线性变换; (2)Ker(T)就是AX=0得解空间; (3)Im(T)=Span{a1,a2,…,a n}, 其中ai就是矩阵A得列 向量;
第五章线性空间与线性变换
是VK的子空间. 称为由1, 2,…r生成的子空间.
§2 基 维数 坐标
齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U构成解空间, 我们知道U中所有向量都可以有Ax=0的基础解系表示. 这 是线性空间的重要性质.
证明 由于 ℱ(1, 2,…, n)=(1, 2,…, n)A
于是
(1, 2,…, n)=(1, 2,…, n)C
(1, 2,…, n)B=ℱ(1, 2,…, n)=ℱ[(1, 2,…, n)C]
= [ℱ(1, 2,…, n)]C=(1, 2,…, n)AC
=(1, 2,…, n)C-1AC
一. 基 维数 坐标 定义5.4 在线性空间V中, 如果有n个向量1, 2,…,n 线性无关, 而且V中任意向量都可由它们线性表示, 则称 1, 2,…,n为V的一组基, n称为V的维数, V称为n维线性 空间. 仅含零向量的线性空间维数是零, 如果V中有任意多个 线性无关的向量, 称其为无限维线性空间. 如K[x]. 在线性 代数中, 只讨论有限维线性空间.
由于线性变换在一个基下的矩阵是唯一的, 故B=C-1AC.
例2 阵为
设线性空间R3的线性变换ℱ在基1, 2, 3下的矩
1 1 2
A
0
1
2
0 2 1
求ℱ在基1=1, 2=-31-22+23, 3=1+22+23下的矩阵.
解 由于(1, 2, 3)=(1, -31-22+23, 1+22+23)
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。
2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。
3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。
4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。
5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。
6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。
7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。
8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。
9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。
线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。
它们满足上述定义中的所有条件。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。
2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。
3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。
线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。
它们保持向量空间的线性结构和线性关系。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。
给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。
第讲-线性空间与线性变换
V x1, x2, x3, x4 x1 x2 x3 x4 0, x2 x3 x4 0, x1, x2 , x3, x4 R
（1）求V的基和维数；
（2）求V的一组标准正交基。
解 由V的构成可知，V是4元齐次线性方程组
x1 x2
x2 x3
x3 x4 x4 0
证 （1）由加法的定义知 V1 V2 对加法封闭，并容 易验证加法满足交换律与结合律。且
设 1,2分别是V1,V2 中的零元，则1,2 是V1 V2 的
零元。
对1,2 V1 V2 , 存在 1, 2 V1 V2 , 使得
1,2 1, 2 1,2 .
其次由数乘的定义知 V1 V2 对数乘封闭，且
构成V的一个子空间，称之为由1,2, ,s 生成的子空
间，记为L 1,2, ,s .
验证线性空间V的非空子集W是否构成子空间，只 要验证W对于V的两种线性运算的封闭性。
2、线性子空间的有关结果
（1）如果数域P上的线性空间V的非空子集W对于V的
两种线性运算封闭，即对于任意, W 有 W ,又 对于任意 k P, W 有 k W ，则W是V的子空间。
a1, a2 , , an .
设1,2, ,s 是线性空间V中的一组元素，则
dim L 1,2, ,n r1,2, ,n
且元素组 1,2, ,s 的任一极大线性无关组都是生成
子空间 L 1,2, ,s 的基。
设W是数域P上 n 维线性空间V的一个m 维子空间，
1,2, ,m 是W的一组基，则这组元素必可扩充成V 的一组基。即在V中必可找到n m个元素m1,m2, ,n 使得1,2, m,m1, ,n 是V的一组基。
dimV . 即V 不是有限维线性空间。
5.4第5章 线性空间与线性变换
4. 线性变换T的象集T (V n )是一个线性空间V n ( 的子空间), 称为线性变换T的象空间. 证明 设 1 , 2 T (Vn ), 则有 1 , 2 Vn ,
使 T1 1 , T 2 2 , 从而
1 2 T1 T 2 T (1 2 ) T (Vn ), (因1 2 Vn ); k1 kT1 T (k1 ) T (Vn ), (因k1 Vn ),
所以， B X AX
1
18
例19 设V是一个二维线性空间， 1 , 2 是一组基，线性 变换 在 1 , 2 下的矩阵是 2 1 1 0
1 1 1 , 2 为V的另一组基，且 (1 ,2 ) (1 , 2 ) 1 2 求 在基 1 , 2 下的矩阵.
19
小结
R 给定了线性空间 R 的一组基以后， 中的线 性变换与 R nn 中的矩阵形成一一对应．因此，在 线阵．
n n
同一变换在不同基下的矩阵是相似的．
20
思考题
已知R 的两个线性变换
22
T ( X ) XN , S ( X ) MX , X R22
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P上的n维 线性空间V的线性变换到数域P上的 n n 矩阵的一个 13 映射.
定理3 设 1 , 2 ,, n 是数域P上n维线性空间V的一组基， 在这组基下，V的每个线性变换都唯一对应一个 n n 矩阵，这个对应具有以下性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于 逆矩阵.
线性代数-线性空间与线性变换PPT课件
例1
次数不超过
n
的多项式的全体，记作
P
x
，
n
即
P x n p x anx n a1x a0 an, ,a1,a0 ,
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，
故只要验证
P
x
对运算封闭.
n
一、线性空间的定义
1
0 ,
E 22
0
1
线性无关，所以 E11, E12 , E21, E22 是 M2
的一个基，向量
A
a11 a21
a12 a22
在这个基下的
坐标就是 a11, a12, a21, a22 T .
二、基变换与坐标变换
设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间Vn 中的两个基，且
第5章 线性空间与线性变换 20
目录/Contents
第5章 线性空间与线性变换 21
5.2 维数、基与坐标
一、线性空间的基、维数与坐标 二、基变换与坐标变换
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 22
定义 1 在线性空间V 中，如果存在n 个元素1,2, ,n 满足
(i) 1,2, ,n 线性无关； (ii) V 中任一元素 总可由1,2, ,n 线性表示，
x1, x2, , xn ，使
x11 x22 xnn ，
x1, x2, , xn 这组有序数就称为元素 在基1,2, ,n 下的坐标，并记作
x1, x2,
,xn
T
.
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 25
线性空间与线性变换
映射：设M 和M'是两个非空集合，如果对M 中的每个元素，按照某种法则T 都有M'中的一个确定的元素与之对应，则称T 是从M 到M'中的一个映射，记作T ：M →M'称M 为T 的定义域。
如果映射T 使α∈M 与β∈M'相对应，则称β是α在映射T 下的象，而称α为β的一个原象，记作T （α）=β（α∈M ）集合M 到自身的映射称为M 上的变换。
设T 和S 都是集合M 到M'的映射。
如果对任一元素α∈M 都有T （α）=S （α），则称T 和S 相等，记作T=S如果对于M'中的每一个元素β，都有α∈M 使T （α）=β，则称T 是一个满射。
如果对于任意α1，α2∈M ，当α1≠α2时，都有T （α1）≠T （α2），则称T 是单射。
如果映射T 既是满射又是单射，则称之为一一映射（或一一对应）映射T 下所有象所成的集合称为T 的值域（或象集合），记作R （T ），即R(T)={ T （α）︱α∈M}显然R(T)⊂ M'，一个集合M 到M'的映射T 是满射的充分必要条件是R （T ）= M'；而T 是单射的充分必要条件是，对任意α1，α2∈M ，由T （α1）= T （α2）可以推出α1=α2 设M 是一个非空集合，定义E （α）=α（α∈M ）则E 是M 上的变换，称为M 的单位映射（或恒等映射）,记作M I 。
E 是一一映射。
对于映射，定义它的乘积如下（ST ）（α）﹦S （T （α））（α∈M ）所确定的从M 到M''的映射ST 称为S 与T 的乘积。
映射的乘积是复合函数的推广，但不是任意两个影射都可以求他们的乘积。
由映射T 和S 得到乘积ST 的充分必要条件是T 的值域含与S 的定义域。
例1 设M=K n ×n .定义 T 1（A ）=det A （A ∈K ）则T 是K n ×n 到K 的一个映射，它是满射，但不是单射。
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c1n c2 n cnn
β1 ,β2 ,...,βn = α1 ,α2 ,...,αn C
定义5.6 矩阵C称为由基1, 2,…,n到基1, 2,…, n
的过渡矩阵.
过渡矩阵是可逆的.
定理5.3 设1, 2,…, n和1, 2,…, n是线性空间VK 的两组基. 如果向量在这两组基下的坐标分别为x=(x1, x2,…, xn)T, y=(y1, y2,…, yn)T, 则x=Cy. 其中C是过渡矩阵.
空间.
仅含零向量的线性空间维数是零, 如果V中有任意多个 线性无关的向量, 称其为无限维线性空间. 如K[x]. 在线性 代数中, 只讨论有限维线性空间.
可见, 如果将线性空间V看成一向量组, 所谓基就是V 的一个极大线性无关组, 所谓维数就是V的秩. 例如
齐次线性方程组Ax=0的基础解系就是方程组解空间 U的基, 如果n元方程组的系数矩阵的秩为r, 则U是n-r维线 性空间. K[x]n是n维线性空间, 1, x, x2,…,xn-1 是它的一组基.
Rmn是mn维线性空间, 如R23的一组基为:
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
向量组1, 2,…r的一个极大线性无关组, 就是线性
也可表示为:
x1 x2 1 , 2 ,..., n xn
二. 基变换与坐标变换
线性空间如果有基, 显然基不唯一. 那么一个向量在不 同基下就有不同的坐标, 下面就来讨论它们之间的关系. 设1, 2,…,n和1, 2,…, n是线性空间VK的两组基, 则, 这两个向量组等价. 如果
c1k c2 k βk α1 ,α 2 , ...,α n cnk , k 1, 2,..., n
则合起来就有:
c11 c12 c21 c22 β1 ,β 2 , ...,βn = α1 ,α 2 , ...,αn cn1 cn 2
数集
Q( 2) {a+b 2|a, b Q}
也是数域. 可见, 有无穷多个数域. 但任意数域都包含于
有理数域. 二. 线性空间的定义和例子
对几何空间中的向量, 实数域上的n维向量, 实数域
上的矩阵等, 它们的元素间都定义了各自的加法和乘数两 种运算, 而且满足相同的运算规律, 这就是线性空间.
定义5.2 设V是一个非空集合, K是一个数域, 如果在 V上定义了加法和与K中数的乘法两种运算, 且满足 (1) +=+(加法交换律);
(2) (+)+=+(+)(加法结合律);
(3) V中有零元素0, 使V有 +0= ; (4) V, -V, 使 +(-)=0, 称-为的负元素; (5) k(+)=k+k , , V, kK; (6) (k+l)=k+l , V, k, lK; (7) (kl)=k(l ) , V, k, lK; (8) 1= , V, 1K; 则称V为数域K上的一个线性空间. 记为VK , 或V.
例如 n元实系数齐次线性方程组Ax=0的解空间U是Rn的子 空间.
K[x]n是K[x]的子空间.
Knn中所有对称矩阵构成Knn的子空间.
设1, 2,…r 是线性空间VK中的一组向量, 则
L(1, 2,…r)={k11+k22+…+krr|k1,k2,…,krK}
是VK的子空间. 称为由1, 2,…r生成的子空间.
证明 由于
y1 y1 y2 y2 α1 ,α 2 , ..., α n C ξ β1 ,β 2 , ..., βn yn yn
由于向量在一组基下的坐标是唯一的, 所以x=Cy.
例如
ARnn, 定义ℱ(A)=AT, 则ℱ为Rnn的一个线性变换.
取ARnn, Rn, 定义ℱ()=A, 则ℱ为Rn的一个
线性变换. 取0VK, VK, 定义ℱ()=0, 则ℱ为VK的一个线性 变换, 称为零变换. VK, 定义ℱ()=, 则ℱ为VK的一个线性变换, 称 为恒等变换或单位变换. 线性变换ℱ具有下列简单性质: (1) ℱ(0)=0; (2) ℱ()= ℱ(); (3) ℱ(x11+x22+…+xmm) =x1ℱ(1)+x2ℱ(2)+…+xmℱ(m)
1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 1, -1)T, 3=(1, -1, -1)T
下的坐标. 解 设所求坐标为(x1, x2, xn)T, 则 =x11+x22+x33 即
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 2 x x x 3 1 2 3
§3 线 性 变 换
线性变换是线性空间上的重要运算, 本节介绍线性变 换的概念, 并讨论线性变换与矩阵之间的关系. 一. 定义和例子
定义5.7 设ℱ是线性空间VK到VK的一个映射, 且满足
, VK, kK都有
ℱ(+)= ℱ()+ ℱ()
ℱ(k)=kℱ()
则称ℱ为VK的一个线性变换.
§2 基
维数
坐标
齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合U构成解空间, 我们知道U中所有向量都可以有Ax=0的基础解系表示. 这 是线性空间的重要性质. 一. 基 维数 坐标 定义5.4 在线性空间V中, 如果有n个向量1, 2,…,n 线性无关, 而且V中任意向量都可由它们线性表示, 则称 1, 2,…,n为V的一组基, n称为V的维数, V称为n维线性
如例1中, =(1, 2, 3)T在基1=(1, 0, 0)T, 2=(0, 1, 0)T,
3=(0,0,1)T下的坐标显然为(1,2,3)T, 且由基1, 2, 3 到基
1, 2, 3的过渡矩阵为(1, 2, 3), 所以, =(1, 2, 3)T在基 1, 2, 3下的坐标为: (1, 2, 3)-1(1, 2, 3)T=(2, -1/2, -1/2)T
二. 线性变换的矩阵 设ℱ为线性空间VK的一个线性变换, 1, 2,…, n是VK 的一组基, VK, 如果=x11+x22+…+xnn, 则
ℱ()=x1ℱ(1)+x2ℱ(2)+…+xnℱ(n)
即, ℱ()是由ℱ(1), ℱ(2),…, ℱ(n)唯一确定的.
由于ℱ(1), ℱ(2),…, ℱ(n)VK, 故可由1, 2,…, n线
空间L(1, 2,…r)的一组基, 其维数就是向量组的秩.
定理5.2 设V是n维线性空间, 如果V中向量组1, 2,…, m线性无关, 则在V中必有n-m个向量m+1, m+2,…,n, 使 得1, 2,…, m, m+1, m+2,…,n是V的一组基.
由定理可见, 含有非零向量的线性空间一定存在基. 基的重要性之一就是空间中每个向量都能由基线性表示.
三. 子空间 定义5.3 设U是线性空间V的一个非空子集. 如果U 对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间, 则称U是V的
子空间.
按定义可见, 集合{0}是V的子空间, 称之为零子空间,
V也是V的子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间, 其它
的称为非平凡子空间. 定理5.1 设U是线性空间V的一个非空子集. 则U是V 的子空间的充分必要条件是U对V的加法和乘数两种运算 是封闭的. 即 , U, kK, 都有+U, kU
定义5.5 设1, 2,…, n是线性空间VK的一组基, 如
果VK可以表示为:
=x11+x22+…+xnn
则称(x1, x2,…xn)T为向量在基1, 2,…, n下的坐标.
可见, 坐标是由向量及基的选取唯一确定的.
例1 试求线性空间R3中向量=(1, 2, 3)T在基:
11 0 0 00 1 1 00 0 0 00 0 0
0 0 n 2 0
解之得, x1=2, x2=-1/2, x3=-1/2.
所以, 向量在基1, 2, 3下的坐标是(2, -1/2, -1/2)T.
也可以写成:Biblioteka 2 1 1 ,2 ,3 2 1 2
一般地, 向量在基1, 2,…, n下的坐标为(x1, x2,…xn)T,
第五章
线性空间与线性变换
线性空间也是线性代数的中心内容之一, 本章介绍线 性空间的概念及其简单性质, 讨论线性空间的基和维数的 概念, 介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵表示.
§1 线性空间的概念
一. 数域
定义5.1 设K是一个数集, 如果 (1) 0, 1K ; (2) a, bK, 都有a+bK, a-bK, abK, 且当b0时, a/bK, 那么称K是一个数域. 可见, 有理数集Q, 实数集R, 复数集C都是数域.
11 0 0 00 2 2 00 0 0 00 0 0
0 0 n 1 0
线性空间K[x]n中, 求微商的变换ℱ在基1, x, x2/2,…, xn-1/(n-1)下的矩阵为:
0 0 0 0 A A 0 0 0 0
矩阵A的第j列为向量ℱ(j)在基1, 2,…,n下的坐标. 矩阵A称为线性变换ℱ在基1, 2,…,n下的矩阵.
例如 零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵. 单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵. 线性空间K[x]n中, 求微商的变换ℱ在基1, x, x2,…, xn-1 下的矩阵为: