开放探索问题之结论探究题(终稿)
人教版初三数学上册开放探索性问题之—结论型探究
开放探索性问题之三—结论型探究赣州一中 罗明英 一.教学目标、重点、难点教 学 目 标 知识技能 学习结论探索性问题的解题策略、方法数学思考培养学生的独立思考、数形结合、探索归纳、应用方法解决问题能力解决问题 利用总结出来的解题策略解决结论探索性问题 情感态度认识解题方法在解决数学问题中的重要性，体验学习有价值的数学过程重点 结论探索性问题的解题策略、方法的应用 难点结论探索性问题的解题策略、方法的探索、归纳二.教学准备课件、笔记本电脑、七巧板三.教学流程四．教学过程 1.课题引入（1）利用课件展示图片，教师展示实物（七巧板） 引入课题《开放探索性问题之三—结论型探究》，2.定义：给出问题的条件，根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈多样性（结论不确定或不唯一），或者相应的结论的“存在性”需要进行推断，解题依据和方法往往也不唯一，这些问题都属于结论开放性探索问题.结论多样性（不确定性） 结论开放性探索问题结论存在性 3. 牛刀小试（1）如图1，点D 、C 在线段AF 上且AB =FE ，BC =ED ，∠B =∠E ，你能得出哪些正确的结论？课题引入定义展示牛刀小试变式练习归纳方法例题讲解题后小结本课小结本课作业（2）如图2，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交 弧BC 于D ，请写出四个不同类型的正确结论.（3）如图3：抛物线c bx ax y ++=2的一部分，下列结论正确的是＿＿＿＿①a <0 ②b <0 ③c >0 ④b 2-4ac >0 ⑤ 9a +3b +c=0（4）如图4，两个全等的边长为4的正方形，其中一个正方形绕着另一个正方形的中心O 旋转，请问阴影部分的面积为多少 ？( )（5）已知点P （x ,y ）位于第二象限，并且y ≤x ＋4，x ，y 为整数，请写出一个符合上述条件的点P 的坐标＿＿＿＿.设计：由学生思考5分钟，由学生说出答案与解题思路.4.解决相应的变式练习第（3）题变式：你还能找出哪些正确的结论？第（4）题变式：若两个正六边形按此方式叠合，重叠部分的面积与一个正六边形的面积有何关系？思考：正八边形、正2n 边形呢？第（5）题变式. 5.归纳方法通过5道题探索出5种解决结论开放探索性问题的解题策略与方法. 方法1：易—难，直接—间接逐层次探索结论 方法2：多角度、多方位探索不同类型的结论 方法3：数形结合探索结论 方法4：从特殊到一般探索结论 方法5：分类讨论探索结论C ABD E F ED oACBOO1 3y x=1x图1 图3图4图26.例题讲解例1 如图5所示，已知△ABC 和△DCE 是两个不全等的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点Q ，AC 与BD 交于点P ，你能找出哪几对全等三角形？ 学生回答，简要叙述证明方法变式：连接PQ ，请你写出一个与PQ 有关的正确的结论， 并证明你的结论. 由学生回答并证明结论.解题小结：本题用到哪一种解题方法？(学生小结)例2 如图6，四边形OABC 为矩形，B (5,3),点P 在直线BC 上，若△POA 为等腰三角形,则点P 的坐标为＿.解题小结：本题用到哪些知识、解题方法？例3 已知点A （3，2）B （2，3），请再写出一个点C 的坐标，并求出过这三个点的函数图像的解析式.解题小结：本题用到哪些知识、解题方法？（学生回答）7.本堂课小结：你在本节课的学习中，哪些解题策略、方法已经掌握？哪些还没有掌握？（学生反思）8.课后作业：1.如图7，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n 幅图中共有＿个.2.如图8,P 是正方形ABCD 边AD 上任意一点,过点P 作PE ⊥AC 于E ,PF ⊥BD… …第1幅 第2幅 第3幅 第n 幅 AD C BEQ P O 图5图6 xyC B A3 2 1 -4 -3 O5 -2 4 3 8 967 2 1 -1于F ,AC =20,则PE +PF =＿＿＿＿.变式：如图2,正方形ABCD 的周长为20cm,点P 是对角线BD 上任意一点,过点P 作PE ⊥AB 于E ,PF ⊥AD 于F ,则PE +PF =＿cm.3.如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 垂足为E . （1）由这些条件，你能推出哪些结论？（要求：不再标注其它字母，找结论4.的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出四个结论即可）.（2）若∠ABC 为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些别的正确结论，并画出图形，[要求：写出6个结论即可，其它要求同（1）]9.教学反思（课后完成）A E CP D F B A B C D P E F OO A B CD E 图7 图8 图93.共同思考下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？（1）圆的周长l 随半径r的大小变化而变化？（2）铁的密度为7.8g/cm³,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm³）的大小变化而变化；（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．可以得出上面问题中的函数分别为：（1）l=2 r （2）m=7.8V（3）h=0.5m （4）T=-2t4.归纳定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数（proportional function）,其中k叫做比例系数．5.共同参与请你举出一些实际问题，使问题中的变化规律是正比例函数的形式．6.例题讲解为了研究正比例函数的性质，我们是通过研究正比例函数图象性质而达到的，因此例题是画出正比例函数图象．先给同学们提一个问题：描点法画函数图象的一般步骤是、、．例1.画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x （2）y=-2x解：（1）y=2x①列表：X -3 -2 -1 0 1 2 3Y②描点：③连线：⑵y=-2x①列表：X -3 -2 -1 0 1 2 3Y②描点：③连线：通过观察例1中两图象可以发现：两图象都是经过点的线，函数y=2x的图象从左向右，经过第象限；函数y=-2x的图象从左向右，经过第象限．7.课堂练习在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较： ⑴y=21x; ⑵y=-21x. 设问：通过例题讲解和课堂练习，你认为画正比例函数的图象时，有没有更简单一点的方法？为什么？ 8.本课小结一般地，正比例函数的y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点和（1,k ）的直线，我们称之为直线y=kx ，当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k<0时，直线y=kx 经过二、四象限从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小．9.共同探究探究 1 两个不同的正比例函数 y=k 1x (k 1≠0)、y=k 2x (k 2≠0) ,k 1≠k 2,在同一直角坐标系中是否有交点？为什么？探究2 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s 千米，行驶时间为t 小时，则s 关于t 的函数为s=60t ，请画出此函数的图象． 探究3 射线l 甲、l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走的路程s 与时间t 的函数关系，请问甲、乙两名运动员比赛中的速度谁更快？为什么？10.本课作业（1）练习册P.4～5 （2）完成探究1～3 （3）P.26 练习（4）P.35 复习巩固1五、数学反思（课后完成）t sl 甲l 乙。
第四部分专题七开放探究题
第二页，编辑于星期五：十九点 二十五分。
条件开放与探索
例 1：(2012 年四川广元)如图 Z7－1，在△AEC 和△DFB 中，∠E＝∠F，点 A，B，C，D 在同一直线上，有如下三个关 系式：①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF.
图 Z7－1
第三页，编辑于星期五：十九点 二十五分。
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个关系式作为结论，
写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如 果……那么……”)；
(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由． 解：(1)如果①②，那么③；如果①③，那么②.
证明如下： (2)若选择如果①②，那么③.
第九页，编辑于星期五：十九点 二十五分。
解：根据题意，可考虑圆心分别在顶点、直角边和斜边上， 设计出符合题意的方案示意图．可以设计如图 Z7－2 的四种方 案．
r4＝4 1
r3＝2 2
r1＝2 2 3
图 Z7－2
第十页，编辑于星期五：十九点 二十五分。
甲：对称轴是 x＝4； 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点
的三角形的面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：
____________________.
第七页，编辑于星期五：十九点 二十五分。
解析：由二次函数图象的对称性及已知条件不难分析得出， 若与 x 轴两个交点的坐标分别是(3,0)，(5,0)，则与 y 轴的交点为 (0,3)或(0，－3)．此时，二次函数的解析式为 y＝15x2－85x＋3 或 y＝－15x2＋85x－3；若与 x 轴两个交点的坐标分别是(1,0)，(7,0)， 则与 y 轴交点为(0,1)或(0，－1)．此时，二次函数的解析式为 y ＝17x2－87x＋1 或 y＝－17x2＋87x－1.只要得出一个答案即可．
中考数学复习专题三 开放探究型问题
________________；
(2)如图②所示，如果 AB 是不过圆
心 O 的弦，且∠CAE＝∠B，那么 EF
是⊙O 的切线吗？试证明你的判断．
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解：(1)①∠BAE＝90° ②∠EAC＝∠ABC，理由是：①∵∠BAE＝ • 单击此处编辑母版文本样式 90°• 第，二∴级AE⊥AB，∵AB 是直径，∴EF 是⊙O 的切线 ②∵AB 是直
FH，∴四边形 BFCE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行
四边形)，∵当 BH＝EH 时，则 BC＝EF，∴平行四边形 BFCE 为矩形
(对角线相等的平行四边形为矩形)
单击【例此2】处编(201辑6·临母沂)版如图标①，题在样正方式形 ABCD 中，点 E，F 分
别是边 BC，AB 上的点，且 CE＝BF.连接 DE，过点 E 作 EG⊥DE，
• 第三级
73kk＋＋bb＝＝• 30第，，四• 解级第五得级kb＝ ＝34－，94，∴y＝34x－94
(3)存在．点 P 与点 B 重合时，P1(3，0)，点 P 与点 B 关于点 C 对
称时，P2(11，6)
单击[对此应训处练]编辑母版标题样式
3．(2016·新疆)如图，直线 y＝2x＋3 与 y 轴相交于 A 点，与反比
• 第三级
，
BF＝CE， ∠FBC＝∠ECD， BC＝DC，
∴
△
CBF
≌
△
• 第四级
DCE(SAS)，•∴第∠五级BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，
∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠
CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形 CEGF 平行
开放探究题(含答案)
开放探究题开放探究题是一种新的题型, 关于开放题的概念，主要有下列几种描述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题；（2）具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.开放探究题的特点是：（1）条件多余需选择,条件不足需补充；（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.开放探究题常见的类型有：（1）条件开放型：即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；（2）结论开放型：即在给定的条件下，结论不唯一；（3）策略开放型：即思维策略与解题方法不唯一；（4）综合型：即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.在解决开放探究题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.类型之一条件开放型问题解这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。
1. （郴州市）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．2.（庆阳市）如下左图，D、E分别是ABC△的边AB、AC上的点，则使△的条件是．△∽ABCAED类型之二结论开放型问题解决这种类型的问题的时候要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维. 它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。
3.（滨州市）如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_________（把你认为正确的序号都填上）。
专题一：全等三角形中的开放探究型问题例谈
2011-11-6专题一：全等三角形中的开放探究型问题例谈探究型问题是近年中考的热点之一，它的最大特征是条件或结论具有一定的开放性．这类题目既考查了同学们的“双基”水平，以及对原有知识的掌握程度，又培养了创新能力．与全等三角形有关的探究题型没有明确的结论或条件，需要通过观察、联想、分析、比较、归纳、概括、猜想等来发现解题条件或结论． （一）结论开放型 例题1 如图所示，，请你添加一个条件： ，使OC =OD ．例题2 如图所示，AB //CD ．（1）用尺规作图法作∠ACD 的平分线CP ，CP 交AB 于点E （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）中作出的线段CE 上取一点F ，连接AF ．要使△ACF ≌△AEF ，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再添加字母和线段；不要求证明）．（二）方法开放型例题3 已知，如图所示，AD 与BC 相交于点O ，∠CAB =∠DBA ，AC =BD ．求证： （1）∠C =∠D ；（2）△AOC ≌△BOD ． （三）条件开放型例题4 如图所示，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，有下面四个论断：①AD =BC ；②AE =CF ；③∠B =∠D ；④AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学题，并写出解答过程． （四）探究规律型例题5 CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA =CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且 ∠BEC =∠CF A =．如图所示．（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： （ⅰ）如图①所示，若∠BCA =90°，=90°，则BE CF ；EF |BE -AF |（填“>”“<”或“=”）；（ⅱ）如图②所示，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于α与∠BCA 关系的条件 ，使（ⅰ）中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论成立； （2）如图③所示，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠BCA ，请提出EF 、BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．2011-11-6【强化练习】 1．如图，已知AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，可补充的条件是 （写出一个即可）．2．如图，点P 在∠AOB 的平分线上，若使△AOP ≌△BOP ，则需要添加的一个条件是 ．（只写一个即可，不添加辅助线） 3．如图所示，已知AB =AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ） A ．CB =CD B ．∠BAC =∠DAC C ．∠BCA =∠DCA D ．∠B =∠D =90° 4．如图，∠C =∠D =90°，若要依据“HL ”证明△ABC ≌△BAD ，应添加条件 ，若要依据“AAS ”证明△ABC ≌△BAD ，应添加条件 ．5．如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，①AD 平分∠BAC ；②DE ⊥AB ，DF ⊥AC ；③AD ⊥EF ，以其中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②→③；①③→②；②③→①．（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）； （2）请证明你认为正确的命题．6．如图，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC =BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF =FP ．（1）在图（1）中，请你通过观察、测量、猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP 沿直线l 向左平移到图（2）的位置时，EP 交AC 于点Q ，连接AP 、BQ ，猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请你证明你的猜想；（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图（3）的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连接AP 、BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．。
2019年中考数学开放探究型问题试题归总解析
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xxxx年中考数学开放探究型问题试题归总解析一、选择题1.如图所示，在平面直角坐标系中，直线om是正比例函数y=-3x的图象，点A的坐标为，在直线om 上找点N，使△oNA是等腰三角形，符合条件的点N 的个数是.个个个个【答案】A。
【考点】正比例函数图象的性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定。
【分析】如图，根据正比例函数图象的性质和锐角三角函数，可以求出∠AoN2=600，故当oA=oN2时，AN2=oA。
因此符合条件的点N只有N1和N2两个。
故选A。
2.如图，在平行四边形ABcD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E、F、G、H，则图中面积相等的平行四边形的对数为A、3B、4c、5D、6【答案】D。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的全等三角形，即。
则，。
因此图中面积相等的平行四边形的对数有三对：，。
故选D。
3.在锐角△ABc中，∠BAc=60°，BN、cm为高，P为Bc的中点，连接mN、mP、NP，则结论：①NP=mP ②当∠ABc=60°时，mN∥Bc③BN=2AN④AN︰AB=Am︰Ac，一定正确的有A、1个B、2个c、3个D、4个【答案】c。
【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与和性质，平行的判定，锐角三角函数的定义。
【分析】①由BN、cm为高，P为Bc的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得NP=mP。
故①正确。
浅析开放探索型问题
A FE O
B` C
D
(2）上述结论仍然成立，如图（2）连结OD ∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90° 又∵OA⊥CB′垂足为F，∴∠AFB′=90° 而OD=OA，∴∠ODA=∠OAD ∴90°－∠ODA=90°－∠OAD ∴∠CDE=∠AEF=∠CED ∴CD=CE
尝试探索(二)
例:如图(a)OA、OB是⊙Ｏ的两条半
径，且ＯＡ⊥ＯＢ，点Ｃ是ＯＢ延长F E M
线上的任意一点，过点Ｃ作ＣＤ切⊙
A
Ｏ于Ｄ，连结ＡＤ交ＯＣ于Ｅ．
(３)若将图（2）中的半径OB所在直 O
C
线向上平行移动到⊙O外的CF，点E
是DA的延长线与CF的交点，其他条
D
件不变如图（C），那么上述结论
CD=CE还成立吗？为什么？
解： 上述结论仍然成立如图连结OD，过A作AM⊥CF于M点
∴∠AMF=90°
∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°
而OD=OA，∴∠ODA=∠OAD=∠MAE
∴90°－∠ODA=90°－∠MAE
∴∠CDE=∠CED， ∴CD=CE
A
深入思考：如果现在将
线段OA向下移动到如图
45km/h,汽车的速度是35km/h,
（后面一
段矩形黑框是被墨水污染了无法辨认的文字）”请
你将这道题补充完整，并尽力解答。
❖ 可以补充为：摩托车和汽车分别从甲乙两地 相向而行，则经过几小时以后能相遇？
❖ 解：设经过x小时相遇，可列方程为：
❖ （４５＋３５）答：经过０.５小时相遇
中考数学复习专题38：开放探究问题(含中考真题解析)
专题38 开放探究问题☞解读考点结论探究题与结论1．，AC 与BD 相交于点O ，且AB=CD ，请添加一个条件 ，使得△ABO ≌△CDO ．【答案】答案不唯一，如：∠A=∠C ． 【解析】 试题分析：∵∠AOB 、∠COD 是对顶角，∴∠AOB=∠COD ，又∵AB=CD ，∴要使得△ABO ≌△CDO ，则只需添加条件：∠A=∠C ．故答案为：答案不唯一，如：∠A=∠C ． 考点：1．全等三角形的判定；2．开放型． 2．个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（ ， ）． 【答案】答案不唯一，如：（﹣1，﹣1），横坐标和纵坐标都是负数即可．考点：1．点的坐标；2．开放型．3．是x 的反比例函数，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式 ．【答案】1y x =（0x >），答案不唯一．【解析】试题分析：只要使反比例系数大于0即可．如1yx=（0x>），答案不唯一．故答案为：1yx=（0x>），答案不唯一．考点：1．反比例函数的性质；2．开放型．4．在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：．【答案】△ADF≌△BEC．【解析】试题分析：由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠DAC=∠BCA，∵BE∥DF，∴∠DFC=∠BEA，∴∠AFD=∠BEC，在△ADF与△CEB中，∵∠DAC=∠BCA，∠AFD=∠BEC，AD=BC，∴△ADF≌△BEC（AAS），故答案为：△ADF≌△BEC．考点：1．全等三角形的判定；2．平行四边形的性质；3．开放型．5．图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF．考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．6．个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体．【答案】球或正方体（答案不唯一）．【解析】试题分析：球的俯视图与主视图都为圆；正方体的俯视图与主视图都为正方形．故答案为：球或正方体（答案不唯一）．考点：1．简单几何体的三视图；2．开放型．7．个解集为x ＞1的一元一次不等式： ． 【答案】x ﹣1＞0．（答案不唯一）． 【解析】试题分析：移项，得x ﹣1＞0（答案不唯一）．故答案为：x ﹣1＞0．（答案不唯一）． 考点：1．不等式的解集；2．开放型．8．一个函数，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而减小，请写出这个函数关系式 （写出一个即可）． 【答案】答案不唯一，如：2y x =-+． 【解析】试题分析：函数关系式为：2y x =-+，3y x =，2+1y x =-等；故答案为：答案不唯一，如：2y x =-+．考点：1．一次函数的性质；2．反比例函数的性质；3．二次函数的性质；4．开放型． 9．你喜欢的实数m 的值 ，使得事件“对于二次函数21(1)32y x m x =--+，当3x <-时，y 随x 的增大而减小”成为随机事件．【答案】答案不唯一，2m <-的任意实数皆可，如：﹣3．考点：1．随机事件；2．二次函数的性质；3．开放型．10．在△ABC 与△ADC 中，已知AD=AB ，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC ，只需再添加的一个条件可以是 ．【答案】DC=BC 或∠DAC=∠BAC ． 【解析】试题分析：添加条件为DC=BC ，在△ABC 和△ADC 中，∵AD=AB ，AC=AC ，DC=BC ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）；若添加条件为∠DAC=∠BAC ，在△ABC 和△ADC 中，∵AD=AB ，∠DAC=∠BAC ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．故答案为：DC=BC 或∠DAC=∠BAC ． 考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．11．x 的一元二次方程2104ax bx ++=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值：a= ，b= ．【答案】答案不唯一，只要满足2a b =（0a ≠）即可，如：4，2．【解析】试题分析：关于x 的一元二次方程2104ax bx ++=有两个相等的实数根，∴△=21404b a -⨯=，∴2a b =，当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件．故答案为：答案不唯一，只要满足2a b =（0a ≠）即可，如：4，2．考点：1．根的判别式；2．开放型．12．△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ， F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可）【答案】AF=12AC 或∠AFE=∠ABC ．考点：1．相似三角形的判定；2．开放型；3．分类讨论． 13．函数y=kx+3中，y 的值随着x 值的增大而增大，请你写出符合条件的k 的一个值：______． 【答案】k ＞0即可． 【解析】试题分析：当在一次函数y=kx+3中，y 的值随着x 值的增大而增大时，k ＞0，则符合条件的k 的值可以是1，2，3，4，5…，故答案为：k ＞0即可． 考点：1．一次函数的性质；2．开放型．14．于x 的一元二次方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是 （写出一个即可）．【答案】答案不唯一，只要14m <即可，如：0．【解析】试题分析：∵一元二次方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，∴△=140m ->，解得14m <，故答案为：答案不唯一，只要14m <即可，如：0．考点：1．根的判别式；2．开放型． 15．，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO=CO ，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD 是平行四边形．【答案】BO=DO ．考点：1．平行四边形的判定；2．开放型．16．菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD 是正方形（填一个即可）．【答案】答案不唯一，如：∠BAD=90°． 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 为菱形，∴当∠BAD=90°时，四边形ABCD 为正方形．故答案为：答案不唯一，如：∠BAD=90°．考点：1．正方形的判定；2．菱形的性质；3．开放型．17．图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，连接BD ．请添加一个适当的条件 ，使△ABD ≌△CDB ．（只需写一个）【答案】答案不唯一，如：AB=CD ． 【解析】 试题分析：∵AB ∥CD ，∴∠ABD=∠CDB ，而BD=DB ，∴当添加AB=CD 时，可根据“SAS”判断△ABD ≌△CDB ．故答案为：答案不唯一，如：AB=CD ． 考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．18．图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 与BD 相交于点O ，添加一个条件： ，可使它成为菱形．【答案】AB=BC 或AC ⊥BD 等．考点：1．菱形的判定；2．开放型．19．形ABCD 中，AB=5，BC=12，点A 在⊙B 上，如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于 ．（只需写出一个符合要求的数） 【答案】14（答案不唯一）． 【解析】试题分析：∵矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A 在⊙B 上，∴⊙B 的半径为5，∵如果⊙D 与⊙B 相交，∴⊙D 的半径R 满足8＜R ＜18，∵点B 在⊙D 内，∴R ＞13，∴13＜R ＜18，∴14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）． 考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系；3．开放型．20．次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c= ．（只需填一个）．【答案】故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数． 【解析】试题分析：∵一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根，∴△=2(5)40c -->，解得254c <，∵125x x +=，120x x c =>，c 是整数，∴c=1，2，3，4，5，6．故答案为：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．开放型． 21．，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，BF=CE ，AB ∥DE ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．【答案】答案不唯一，如：AC=DF ．考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．22．个二次函数1y ，2y ，满足21228y y x +=++．当x=m 时，二次函数1y 的函数值为5，且二次函数2y 有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数2y 的解析式（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．【答案】答案不唯一，例如：213y x =+，22(3y x =+． 【解析】试题分析：已知当x=m 时，二次函数1y 的函数值为5，且二次函数2y 有最小值3，故抛物线的顶点坐标为（m ，3），设出顶点式求解即可．答案不唯一，例如：213y x =+，22(3y x =+．故答案为：答案不唯一，例如：213y x =+，22(3y x =+． 考点：1．二次函数的性质；2．开放型．23．二次方程2230x x +-=时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 ． 【答案】x ﹣1=0或x+3=0．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．开放型．24．AB ∥CD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，连接EF ，∠AEF 、∠CFE 的平分线交于点G ，∠BEF 、∠DFE 的平分线交于点H ． （1）求证：四边形EGFH 是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．【答案】（1）证明见试题解析；（2）答案不唯一，例如：FG平分∠CFE；GE=FH；∠GME=∠FQH；∠GEF=∠EFH．【解析】试题分析：（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH是矩形；（2）利用菱形的判定方法首先得出要证▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，再证∠MGE=∠QFH得出即可．试题解析：（1）∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=12∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH=12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，∴∠FEH+∠EFH=12（∠BEF+∠DFE）=12×180°=90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，同理可得：∠EGF=90°，∵EG平分∠AEF，∴∠EFG=12∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=12∠BEF，∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠AEB=180°，即∠AEF+∠BEF=180°，∴∠FEG+∠FEH=12（∠AEF+∠BEF）=12×180°=90°，即∠GEH=90°，∴四边形EGFH是矩形；（2）答案不唯一：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证GE=FH、∠GME=∠FQH．故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证．考点：1．菱形的判定；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的判定；4．阅读型；5．开放型；6．综合题．25．两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】本题的答案不唯一，如：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？6.5吨．考点：1．二元一次方程组的应用；2．开放型．26．于x的一元二次方程2)4)(1(pxx=--，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）【答案】（1）证明见试题解析；（2）答案不唯一，如：p=0，±2．考点：1．根的判别式；2．开放型；3．综合题．27．样一个问题：探究函数2112y xx=+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数2112y xx=+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数2112y xx=+的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，32），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．【答案】（1）0x ≠；（2）296；（3）作图见试题解析；（4）答案不唯一，如：①该函数没有最大值，②该函数在x=0处断开，③该函数没有最小值，④该函数图象没有经过第四象限．试题解析：（1）0x ≠； （2）令x=3，∴211323y =⨯+=9123+=296，∴m=296；（3）如图：（4）该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在x=0处断开；③该函数没有最小值；考点：1．二次函数的图象；2．反比例函数的图象；3．反比例函数的性质；4．二次函数的性质；5．开放型；6．综合题．28．次函数2y ax =的图象经过点（2，1）． （1）求二次函数2y ax =的解析式；（2）一次函数4y mx =+的图象与二次函数2y ax =的图象交于点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）两点．①当32m =时（图①），求证：△AOB 为直角三角形； ②试判断当32m ≠时（图②），△AOB 的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）【答案】（1）214y x =；（2）①证明见试题解析；②△AOB 为直角三角形；（3）一次函数4y mx =+的图象与二次函数2y ax =的交点为A 、B ，则△AOB 恒为直角三角形．或如果过定点（0，a 1）的直线与抛物线2y ax =交于A 、B 两点，O 为抛物线的顶点，那么△AOB必为直角三角形（答案不唯一）． 【解析】 试题分析：（1）把点（2，1）代入求得a 的值，即可求得抛物线的解析式；（2）①先求得A 、B 两点的坐标，过A 、B 两点作x 轴的垂线，得到△ACO ∽△ODB ，∠AOB=90°，可判定△AOB 为直角三角形；②过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，当32m ≠时，联立直线和抛物线解析式可得2144y xy mx ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得：24160x mx --=，由于A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），得到1216x x =-，221212111644y y x x =⋅=，故有OC •OD = AC •BD = 16，AC OCOD BD =，又因为∠ACO =∠ODB = 90º，得到△ACO ∽△ODB ，∠AOC =∠OBD ，∠AOC ＋∠BOD =90º，故∠AOB =90º，从而得到结论；（3）结合（2）的过程可得到△AOB 恒为直角三角形等结论．②△AOB 为直角三角形．证明如下：过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，当32m ≠时，联立直线和抛物线解析式可得2144y xy mx ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得：24160x mx --=，∵A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），∴1216x x =-，221212111644y y x x =⋅=，∴OC •OD = AC •BD = 16，∴A C O COD B D =，又∵∠ACO =∠ODB = 90º，∴△ACO ∽△ODB ，∴∠AOC =∠OBD ，∴∠AOC ＋∠BOD =90º，∴∠AOB =90º，∴△AOB 为直角三角形；考点：1．二次函数综合题；2．探究型；3．开放型；4．综合题；5．压轴题．29．，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．【答案】添加∠BAC=∠DAC（答案不唯一）．【解析】试题分析：已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等即可．试题解析：添加∠BAC=∠DAC．理由如下：在△ABC与△ADC中，∵∠=B=∠D，∠BAC=∠DAC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（AAS）．考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．30．直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．【答案】（1）E（3，3），F（3，﹣1）；（2）答案不唯一，如：（﹣2，0）．试题解析：（1）∵△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△AEF，∴AO⊥AE，AB⊥AF，BO ⊥EF，AO=AE，AB=AF，BO=EF，∴△AEF在图中表示为：∵AO⊥AE，AO=AE，∴点E的坐标是（3，3），∵EF=OB=4，∴点F的坐标是（3，﹣1）；（2）∵点F落在x轴的上方，∴EF＜AO，又∵EF=OB，∴OB＜AO，AO=3，∴OB＜3，∴一个符合条件的点B的坐标是：答案不唯一，如：（﹣2，0）．考点：1．作图-旋转变换；2．开放型．1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是（写出一个即可）．【答案】AB=AD（答案不唯一）．考点：1．开放型；2．菱形的判定．2．分）双曲线k1yx+=所在象限内，y的值随x值的增大而减小，则满足条件的一个数值k为．【答案】0（答案不唯一）．【解析】∵双曲线y=k1x+所在象限内，y的值随x值的增大而减小，∴k+1＞0，解得：k＞﹣1．∴k可以等于0（答案不唯一）．考点：1．开放型；2．反比例函数的性质．3．哈尔、大兴安岭地区、黑河）如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌△ACE，则只需添加一个适当的条件是_________．（只填一个即可）【答案】BD=CE（答案不唯一）．【解析】试题分析：∵AB=AC，∴∠B=∠C．添加BD=CE，根据SAS可使△ABD≌△ACE；添加∠BAD=∠CAE，根据ASA可使△ABD≌△ACE；添加∠BDA=∠CEA，根据AAS可使△ABD≌△ACE；考点：1．开放型；2．全等三角形的判定．4．如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：．【答案】△ABP ∽△AED （答案不唯一）．考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定．5．请举反例说明“对于任意实数2x,x 5x 5++ 的值总是正数”是假命题，你举的反例是x= （写出一个x 的值即可） 【答案】2-（答案不唯一）．【解析】试题分析：举反例说明“对于任意实数2x,x 5x 5++ 的值总是正数”是假命题，只要令2x 5x 5++为0或负数，方程有解即可．因此，令2x 5x 51++=-得2x 5x 60++=，解得12x 2x 3=-=-，．∴可举的反例x 2=-时，()()22x 5x 525251++=-+⨯-+=-．考点：1．开放型；2．命题与定理；3．解一元二次方程．6．田、潜江、天门、仙桃）如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 为对角线AC 上两点，连接ED ，EB ，FD ，FB ．给出以下结论：①BE ∥DF ；②BE=DF ；③AE=CF ．请你从中选取一个条件，使∠1=∠2成立，并给出证明．【答案】答案见试题解析．考点：1．开放型；2．平行四边形的判定和性质；3．全等三角形的判定和性质．7．）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连结BE交AC于点F，连结DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD＝∠BAD，并予以证明．【答案】详细见解析．【解析】试题分析：（1）由△ABC≌△ACD得出∠BCA=∠DCA，再证明△CBF≌△CDF即可；（2）先证明四边形ABCD是菱形，由勾股定理得出AB=2，即可得到周长；（3）添加BE⊥CD，可使∠EFD=∠BAD．（3）添加BE⊥CD，可使∠EFD=∠BAD，证明如下：∵由（1）△CBF≌△CDF，∴∠CBE=∠EDF．又∵BE⊥CD，∴∠CEB=∠FED=90º．∴△CBE∽△FDE．∴∠BCD=∠EFD．又∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCD=∠BAD．∴∠EFD＝∠BAD．考点：1．全等三角形的判定和性质；2．等腰三角形的性质；3相似三角形的判定和性质；4．勾股定理；5．开放型问题．☞考点归纳归纳1：条件开放探索题基础知识归纳：条件探索题经常与三角形全等、相似、平行四边形、矩形、菱形等特殊的图形结合在一起进行考查．基本方法归纳：掌握特殊的三角形、四边形的性质以及全等和相似的判定方法，利用性质与方法合理添加条件．注意问题归纳：所添加的条件，经过一定的推理说明，能够得到所给的结论．【例1】如图，AC=DC，∠ACD=∠BCE，添加一个条件，使△ABC≌△DEC．【答案】EC=BC（答案不唯一）．考点：三角形全等的判定．归纳2：结论开放型问题基础知识归纳：结论开放型问题是指根据所给的条件，经过合理的推理探究，所得到的结论的正确性，这种问题的结论往往不止一个．基本方法归纳：解决结论探究性问题，要具备一定的逻辑推理能力，观察、猜想和验证是解决此类的关键．注意问题归纳：结论探究性问题要注意结论的合理性与正确性，对于给出的多个结论要准确找到正确的个数，不要漏掉也不能多选．【例2】如图，已知AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O 于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．给出以下结论：①AD∥OC；②FC=FE；③点E为△CDB的内心．其中正确的是________________（填序号）【答案】①、③．【解析】试题分析：①连接OD，DE，EB．CD与BC是⊙O的切线，易证△CDO≌△CBO，则∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．∵AB是直径，∴AD⊥BD，∴AD∥OC，故①正确；③∵CD是⊙O的切线，∴∠CDE=12∠DOE，而∠BDE=12∠BOE，∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，因此E为△CBD的内心，故③正确；②若FC=FE，则应有∠OCB=∠CEF，应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，∴弧AD=弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故②不正确；考点：1．圆的切线的性质；2．全等三角形；3．圆周角；4．三角形的内心．归纳3：思维方法探索题【例3】△ABC中，BC=18，AC=12，AB=9，D，E是直线AB，AC上的点．若由A，D，E构成的三角形与△ABC相似，AE=13AC，则DB的长为；【答案】6或113或12或433．当△ADE∽△ABC时，AD：AB=AE：AC=1：3，∴AD=13AB=3，则BD=AB+AD=12；当△ADE∽△ACB时，AD：AC=AE：AB，∴AD=316=⋅ABACAE，∴BD=AB+AD=433．综上所述：DB的长为：6或113或12或433．考点：1．相似三角形的性质；2．分类讨论思想．☞1年模拟1．区中考二模）如图，这个二次函数图象的表达式可能是．（只写出一个）【答案】答案不唯一，如y=x2﹣x．【解析】试题分析：根据二次函数图象与表达式的关系可直接写出，答案不唯一，只是由图像可知注意二次项系数a＞0，b≠0，c=0即可．考点：1．二次函数图象与表达式；2．开放型．2．高山文化培训学校）已知：如图，AC⊥BC，BD⊥BC，AC＞BC＞BD，请你添加一个条件使△ABC∽△CDB，你添加的条件是．ABC D【答案】∠A=∠DCB 或∠D=∠ABC 或AC ：CB=CB ：BD ．考点：三角形相似的判定．3．市树一中学九年级下学期开学检测数学试卷）正方形111A B C O 、2221A B C C 、3332A B C C 、… ，按如图所示的方式放置．点1A 、2A 、3A 、…和点1C 、2C 、3C 、…分别在直线1y x =+和x 轴上，则第2015个正方形201520152015A B CC的边长为_____________．【答案】20142．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型．4．市树一中学九年级下学期开学检测数学试卷）如图，抛物线2y ax bx c =++（0a <）与x 轴相交于两点E 、B （E 在B 的左侧），与y 轴相交于点C （0，2），点D 的坐标为（-4，0），且AB=AE=2，90ACD ∠=︒．（1）求点A 、B 、E 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点M ，作MN ⊥x 轴，垂足为N ，使得以M 、N 、O 为顶点的三角形与△AOC 相似．【答案】（1）点B 、E 的坐标为（3，0）（-1，0）；（2）y=-xx 34322++2；（3）点M （2，4）和816（，．【解析】试题分析：（1）证明△ACO ∽△CDO ，然后利用相似三角形的性质求出线段OA 、OE 、OB 的长即可；（2）将点C 、B 、E 的坐标分别代入y=ax2+bx+c ，然后解方程组即可；（3）假设存在点M 的坐标为（x ，-x x 34322++2），N的坐标为（x ，0）适合题意，然后分△ACO ∽△OMN 或△ACO ∽△MON 两种情况讨论即可．（3）假设存在点M 的坐标为（x ，-xx 34322++2），N 的坐标为（x ，0）适合题意，①若△ACO ∽△OMN ，因为∠MNO=∠AOC=90°，则OC OAMN ON =， 即MN=2ON ，所以-xx 34322++2=2x ，解得x=2或x=-3（舍去）；②若△ACO ∽△MON ，因为∠MNO=∠AOC=90°，则MN ONOA OC =， 即2MN=ON ，所以-x x 38342++4=x，解得x =或x =（舍去）综上可知存在点M （2，4）和816（，得以M 、N 、O 为顶点的三角形与△AOC 相似．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．待定系数法求函数解析式；3．函数与几何知识的综合．5．市四校九年级2月开学联考数学试卷）如图，已知正比例函数y=2x 和反比例函数的图象交于点A （m ，-2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OAB，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．【答案】（1）y=x2；（2）为﹣1＜x＜0或x＞1 ；（3）四边形OABC是菱形．试题解析：试题解析：（1）设反比例函数的解析式为y=xk（k＞0），∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m,∴m=﹣1，∴A（﹣1，﹣2），又∵点A在y=xk上，∴-2=1-k，∴k=2，∴反比例函数的解析式为y=x 2；（2）由图知：正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1；（3）四边形OABC是菱形．证明如下：∵A（﹣1，﹣2）∴OA=52122=+，由题意知：CB∥OA且CB=5，∴CB=OA，∴四边形OABC是平行四边形，∵C（2，n）在y=x2上，∴n=22=1，∴C（2，1），∴OC=51222=+，∴OC=OA∴平行四边形OABC是菱形．考点：1．反比例函数；2．函数图像与不等式；3．菱形的判定．。
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N
D
第1 题
x
A
A 图1
B
第2题
祝各位同学梦圆六月！
思考：我们可以从哪些 方面来寻找结论呢？
O
方法：结论不确定时，我们要从多角度、多方面地去思考问题。
思考: (1)剖析题意，P、Q两点坐标上有什么样的共同点 ?在抛物线上这样的两点怎样求距离?
P M
(2)在哪些知识中我们要涉及到最值的问题?
(3)需要分类讨论PQ的最大值吗？
O
Q N
方法:抓住题目关键词,把握坐标与线段 长度之间的转换,执因索果，利用函数 思想解决最值问题.
（1）假设存在这样一个a，要使四边形ECFB 四边形ECFB是正方形 为正方形，由题意可得到哪些信息？还需添 C ( 1, 0) B(1, 0) 加什么条件才能使它是正方形？
1 把 B (1, 0) 代入 y ax ax 1 可得 a （2）这个条件与函数解析式中二次项系数 a 1 2 有什么联系呢？ 1 把C (1, 0)代入y2 ax 2 ax 1可得a 2 1 当a 时,四边形ECFB为正方形 2
2
即OC OB OE OF 1时
C F
O O F F
方法:逆向推理,分析归纳得出存在性，注意结论的一致性.
如图，在平面直角坐标系中，点A为（0，1），点B为（4，1）， 点C为（5, 3），若△ABC与△ABD全等，那么点D的坐标可以 （ -1，3）或（5，-1）或（-1，-1） 是 ________________________________. 变式:若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D 的坐标可以是（１，３）或（９，３）或（－１，－１） __________________________.
y
A B -1 O 1 2 3 4 5 6 7 -1 D D D2 33
D1 4 3 2 1
D1
C
D2
xБайду номын сангаас
说说这节课你的收获和感受?
1、结论型探究题特征 ：结论不唯一或不确定．
2、解题方法: 充分理解题意，抓住题目的关键词，对已知条 件进行分析、推断,导出新的结论; 大胆猜想，执因索果或逆向推理，寻找突破， 获得结论 （特别注意结论的不唯一）．
像这种在给定的条件下，结论不确 定或不唯一，需要解题者去探索符合条 件的数学结论的一类试题，我们称之为 开放探索型问题—结论型探究题.
结论型探究题的特征是：
这类试题中没有给出明确的结论(即结论 不确定或不唯一)，常以适合某种条件的结论 “是否成立”“是否存在”设问或直接问“有 何结论”等.
充分理解题意，抓住题目的关键词，对已 知条件进行分析、推断,导出新的结论;
3.数学思想:数形结合思想、分类讨论思想、 转换思想、 函数思想
1、在坐标系中两点A（4，0）B（0，3），若要在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形， 则点P的坐标有 . 变式:若要在坐标轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形，则点P的坐标有 .
2、如图1,已知矩形ABCD,点C是边DE的中点且AB=2AD. （1）判断△ABC的形状，并说明理由. （2）保持图1中的△ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2的位置(当垂线段AD、 BE在直线MN的同侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明； （3）保持图2中的△ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图3的位置(当垂线段AD、 BE在直线MN的异侧）.试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明. y
1 时, 设y1 ax2 ax 1与x轴分别交于 A和B 6 两点( A在B左侧), 与y轴交于点E ; y 2 ax2 ax 1与x轴 (3)当a 分别交于C和D两点(C在D左侧), 与y轴交于点F .顺次连 接E , C , F , B四点, 请判断四边形 ECFB是什么特殊四边形 ? 并说明理由 .
A C
方法:结合图形特征进行观察，大胆猜想，寻找条件 突破,紧紧抓住特征逐步推进.
(4)是否存在一个数值 a, 使四边形ECFB为正方形? 如果存在, 求出a的值; 如果不存在 , 请说明理由 .
解 :由题意可得OE OF 1且EF CB 只有当 CB EF 2 思考 ：
E M M AMC A A C E E B D N B D B D N N
解 : 四边形ECFB是菱形. 由解析式可得 E (0,1) 思考 ： F (0,1) OE OF 1
E M O B D N F
1 2 1 又当 y 0 时 , x x 1 0解得x1 3, x2 2 1 （1）观察图象，大胆猜想，你觉得是一 6 6 个什么特殊四边形呢？ B (2,0) 同理C (2,0) OB OC 2 2）从解析式和图象中你能获得哪些和 四边形ECFB是平行四边形 . （ 这个四边形有关系的线段的信息？ EF CB 四边形ECFB是菱形.