2018年高三最新 高三复习专题：函数和数列的联系问题 精品
2018届高考数学(理)热点题型：数列(含答案解析)
数列热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下：∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k∈N *)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列，∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，∴不存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立.热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d>1时，记c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .(1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)解 由d>1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【对点训练】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S 2n .(1)证明 由条件，对任意n∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1， 即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2， 所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列. 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝32(3n －1).热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N *). (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f(x)的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2. 所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n(n －1)＝n 2－3n. (2)函数f(x)＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法. 【例3－2】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)设公差为d ，由题意得： ⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n. (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝32n(n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1，∴当n≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
数列与函数的关系与应用知识点总结
数列与函数的关系与应用知识点总结数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列，函数则是将一个集合的数值与另一个集合相关联的规则。
数列和函数在数学中具有重要的作用，广泛应用于各个领域，包括物理、经济、工程等。
本文将总结数列与函数的关系以及它们在实际应用中的重要性。
一、数列与函数的关系1. 数列是函数的一种特殊形式数列可以看作是一种离散的函数，它将正整数集合映射到实数集合。
数列通常用通项公式来表示，其中通项公式是函数关系的一种特殊形式。
例如，斐波那契数列可以表示为f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)为第n个斐波那契数。
2. 函数的图像可以展示数列的规律通过绘制函数的图像，我们可以直观地展示数列中数值的规律。
例如，通过绘制等差数列的图像，可以看出数值之间的等差关系；通过绘制等比数列的图像，可以看出数值之间的等比关系。
函数图像的分析有助于更好地理解数列的性质和规律。
二、数列与函数的应用1. 数列和函数在数学中的应用（1）数列的求和公式求和是数列中常见的操作，数列的求和公式能够帮助我们更快地计算数列的总和。
例如，等差数列的求和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn为前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
（2）数列的递推关系递推关系是数列中的一种重要性质，它用于表示数列中每一项与前面一项的关系。
通过观察数列的递推关系，我们可以预测数列中的其他项。
递推关系的研究有助于理解数列的规律并解决与数列相关的问题。
2. 数列和函数在实际应用中的应用（1）物理学中的运动规律数列和函数在描述物理运动规律时起到重要作用。
例如，在匀速运动中，物体的位置随时间的变化可以表示为一个等差数列；在自由落体运动中，物体的高度随时间的变化可以表示为一个等差数列。
（2）经济学中的增长模型数列和函数在经济学中用于描述经济增长模型。
例如，经济增长模型可以使用等比数列来刻画，其中每一项代表某一时期的经济增长率。
2018年高考复习之数列专题知识点归纳
2018高考复习之数列专题考点一：求数列的通项公式1.由a n 与S n 的关系求通项公式:由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有：①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解．（1）当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列； 当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列； （2）当出现a n ＝a n －1＋f(n)时，用累加法求解； （3）当出现a na n －1=f(n)时，用累乘法求解.3.数列函数性质的应用数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．（3)数列{a n }的最大(小)项的求法可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.考点二：等差数列和等比数列 (S n ＝1＋a n2＝na 1＋－2d(1)q≠1，S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q 1－q(2)q ＝1，S n ＝na 11n n 题时，一般是转化为首项a 1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3.用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d)，当d≠0时，a n 是关于n 的一次函数，对应的点(n ，a n )是位于直线上的若干个离散的点；当d ＞0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列，S n 有最小值； 当d ＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列，S n =na 1；当d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列，S n 有最大值．若等差数列的前n 项和为S n ，则S n ＝pn 2＋qn(p ，q∈R )．当p ＝0时，{a n }为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．（2）对于等比数列a n ＝a 1qn －1，可用指数函数的性质来理解．当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0,0＜q ＜1时，等比数列{a n }是单调递增数列； 当a 1＞0,0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是单调递减数列；当q ＝1时，是一个常数列；当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列． 4.常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k为常数．(2)若{a n },{b n }均是等比数列，则{ca n }(c≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n }等也是等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝2－a 1a 2－a 1＝q.(4)等比数列(q≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公比为q k.等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d. 5.易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2时，一定要注意分n ＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c 2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的必要条件是b 2＝ac.6.等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n≥3，n∈N *)成立；(3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断． 7.等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q(q 为非零常数，n∈N *)或a n a n －1＝q(q 为非零常数且n≥2，n∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c·q n(c ，q 均是不为0的常数，n∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k·q n－k(k 为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a n }是等比数列．注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定. 求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)整体思想：当公比q≠1时，S n ＝a 1－q n1－q＝a 11－q ·(1－q n )，令a 11－q ＝t ，则S n ＝t(1－q n)．把a 11－q与q n当成一个整体求解，也可简化运算．(3)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q≠1时，S n ＝a 1－q n1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．(4)函数思想：在等比数列{a n }中，a n ＝a 1q ·q n，它的各项是函数y ＝a 1q ·q x 图象上的一群孤立的点，可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性)，注意函数思想在等比数列问题中的应用.数列求和的常用方法1.数列求通项的方法：(1)一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，就先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选择合适的方法求和得解．数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝S n －S n －1；(2)递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； (3)递推关系形如a n ＋1a n＝f(n)，常用累乘法求通项；(4)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； (5)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n(q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n转化为类型(4)，或同除以pn ＋1转为用迭加法求解．2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：1.公式法——直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝1＋a n2＝na 1＋－2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1－q n1－q ，q≠1.2.倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． 3.错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．求a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q ，然后将两式相减，相减后以“q n”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)． 4.裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和，其中{a n }若为等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1. 利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项．常见的拆项公式(1)1(n ＋k)＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； (2) 1(2n －1)(＋1)＝12⎝ ⎛⎪⎫12n －1－12n ＋1；(3)1(n ＋1)＝1n －1n ＋1；＝1k(n ＋k－n).5.分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 6.并项求和法一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 7.放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法,放缩法的注意问题以及解题策略(1)明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。
高中数学数列与函数关系题
高中数学数列与函数关系题数列与函数是高中数学中的重要概念，它们之间有着密切的关系。
在数学学习中，我们经常会遇到数列与函数的结合题目，这些题目既考察对数列的理解，又考察对函数的掌握。
本文将围绕高中数学数列与函数关系题展开讨论，通过具体例题分析，帮助学生更好地理解与解决这类题目。
一、等差数列与线性函数的关系等差数列是指数列中的每两个连续项之间的差值都相等的数列。
线性函数是指函数的图像是直线的函数。
在等差数列与线性函数的关系题目中，我们常常通过观察数列的规律，找到数列中第一个项与公差，并将其与线性函数中的斜率和截距进行对应，从而建立数列与函数的关系式。
例如，给定数列{-3, 2, 7, 12, 17, ...}，要求找出该数列的通项公式。
观察数列中的规律，可以发现每个项与前一项的差值都是5，因此该数列为等差数列，公差为5。
紧接着，我们可以假设数列的通项公式为an = dn + b，其中d为公差，b为首项。
代入数列中的前两项：-3 = d + b，2 = 2d + b，通过联立这两个方程，可以解得d = 5，b = -8，所以该数列的通项公式为an = 5n - 8。
通过将数列中的项与线性函数中的斜率和截距进行对应，我们成功建立了数列与函数的关系。
二、等比数列与指数函数的关系等比数列是指数列中的每两个连续项之间的比值都相等的数列。
指数函数是以底数为常数的指数形式表示的函数。
在等比数列与指数函数的关系题目中，我们需要通过观察数列的规律，找到数列中的公比，并将其与指数函数中的底数进行对应，从而建立数列与函数的关系式。
例如，给定数列{2, 6, 18, 54, ...}，要求找出该数列的通项公式。
观察数列中的规律，可以发现每个项与前一项的比值都是3，因此该数列为等比数列，公比为3。
紧接着，我们可以假设数列的通项公式为an = ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比。
代入数列中的前两项：2 = ar^0，6 = ar^1，通过联立这两个方程，可以解得a = 2，r = 3，所以该数列的通项公式为an = 2 * 3^(n-1)。
数列与函数的关系
数列与函数的关系在数学中，数列和函数是两个常见概念，它们之间存在着紧密的关联。
本文将详细探讨数列与函数之间的关系，并介绍它们的定义、性质和应用。
一、数列的定义和性质1.1 数列的定义数列是由一串按照一定规律排列的数字所组成的序列。
数列中的每个数字称为项，用通项公式来表示。
通常用{an}或者an表示数列，其中n为项的位置，an为第n个项的值。
1.2 数列的分类根据数列的特点，我们可以将数列分为等差数列、等比数列和一般数列。
1.2.1 等差数列等差数列的相邻项之间的差为常数d，通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项。
1.2.2 等比数列等比数列的相邻项之间的比值为常数q，通项公式可以表示为an=a1q^(n-1)，其中a1为首项。
1.2.3 一般数列一般数列没有固定的递增规律，其通项公式可以根据具体情况来确定。
1.3 数列的性质数列有许多重要的性质，其中包括数列的有界性、单调性、递推关系和求和公式等。
1.3.1 有界性如果数列的所有项都有上界M和下界m，即存在实数M和m，使得对于任意n，都有m≤an≤M，那么称数列是有界的。
1.3.2 单调性如果对于任意n，都有an≤an+1或者an≥an+1，那么称数列是单调的。
1.3.3 递推关系递推关系是用来描述数列中的每一项与前面一项之间的关系。
例如，在等差数列中，相邻项之间的差是常数d，这就是等差数列的递推关系。
1.3.4 求和公式对于一些特定的数列，可以通过求和公式来计算数列的前n项和，例如等差数列和等比数列。
二、函数的定义和性质2.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
数学上常用f(x)来表示函数，其中x称为自变量，f(x)称为函数值。
2.2 函数的分类函数可以根据定义域、值域、增减性以及性质等进行分类。
2.2.1 定义域和值域函数的定义域是自变量取值的范围，值域是函数值的范围。
2.2.2 增减性函数的增减性描述了函数值随自变量增大而增大或减小的趋势。
数列与函数之间的联系
数列与函数之间的联系在数学学科中，数列和函数是两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的联系。
数列是一组按照一定规律排列的数的集合，而函数则是数与数之间的映射关系。
本文将探讨数列与函数之间的联系，并从数列的生成、函数的定义及数列与函数的应用等方面进行详细论述。
一、数列的生成方法与函数的定义方式数列的生成方法有多种，常见的有等差数列和等比数列。
以等差数列为例，设首项为 a，公差为 d，根据生成规律可得到数列的通项公式为 an = a + (n-1)d，其中 n 表示数列的第 n 项。
不难发现，等差数列的通项公式是一个以 n 为自变量的函数，即 f(n) = a + (n-1)d，其中 f(n) 表示数列的第 n 项。
同样地，等比数列也可以表示为函数的形式。
设首项为 a，公比为 r，根据生成规律可得到数列的通项公式为 an = a * r^(n-1)，其中 r^(n-1) 表示 r 的 n-1 次方。
可以看出，等比数列的通项公式同样是一个以 n 为自变量的函数，即 f(n) = a * r^(n-1)，其中 f(n) 表示数列的第 n 项。
通过以上分析，我们可以看出数列是函数的一种特殊形式，数列中的每一项可以看作是函数在不同自变量取值下的函数值。
二、数列与函数的应用数列和函数在数学中有着广泛的应用，其中最典型的例子是数列与级数。
级数是数列元素的和，通常用符号∑来表示。
对于一个数列 a1,a2, a3, ...，则级数表示为 S = a1 + a2 + a3 + ...关于级数的求和问题，可以通过将数列转化为函数来解决。
以等差数列为例，将数列的通项公式 f(n) = a1 + (n-1)d 中的 n 替换为 x，则得到函数 f(x) = a1 + (x-1)d。
这样，原本的数列求和问题便可以转化为函数求和的问题，即求函数 f(x) 在一定区间内的积分。
同理，对于等比数列也可以采用类似的方法进行求和。
除了级数之外，数列和函数还在微积分中发挥着重要作用。
数列与函数的递推关系及应用
数列与函数的递推关系及应用数列和函数是数学中常见的概念，它们有着密切的关联，可以通过递推关系来描述它们之间的联系。
本文将探讨数列与函数的递推关系，并介绍其在实际问题中的应用。
一、数列的递推关系数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为该数列的项。
数列的递推关系指的是用前一项或前几项来表示后一项的关系式。
常见的数列递推关系有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是一种数列，其中每一项与前一项之差相等。
数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通过递推关系，我们可以快速求解等差数列的任意项。
例如，考虑以下等差数列：1, 3, 5, 7, 9, ...首项a1 = 1，公差d = 2。
根据递推关系an = a1 + (n-1)d，我们可以得到第n项的表达式。
2. 等比数列等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值相等。
数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
通过递推关系，我们可以快速求解等比数列的任意项。
例如，考虑以下等比数列：2, 4, 8, 16, 32, ...首项a1 = 2，公比r = 2。
根据递推关系an = a1 * r^(n-1)，我们可以得到第n项的表达式。
二、函数的递推关系函数是一种将自变量映射到因变量的关系。
函数的递推关系指的是用前一项或前几项来表示后一项的函数式。
常见的函数递推关系有线性函数和指数函数。
1. 线性函数线性函数是一种函数，其中因变量与自变量之间呈现线性关系。
线性函数的递推关系可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
通过递推关系，我们可以根据已知项求解函数的其他项。
例如，考虑以下线性函数：f(x) = 2x + 1根据递推关系f(x) = ax + b，我们可以得到f(x)的表达式。
2. 指数函数指数函数是一种函数，其中自变量以指数形式出现。
高考数学数列与函数专题
高考数学数列与函数专题在高考数学中，数列与函数这两个专题一直是重点和难点，也是很多同学感到头疼的部分。
但只要我们掌握了正确的方法和思路，就能轻松应对。
首先，我们来聊聊数列。
数列可以看作是按照一定规律排列的一组数。
常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列的特点是每一项与它前一项的差值是一个常数，这个常数被称为公差。
比如数列 2，5，8，11，14 就是一个公差为 3 的等差数列。
对于等差数列，我们要掌握它的通项公式 an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 a1 是首项，d 是公差，n 是项数。
这个公式可以帮助我们求出数列中的任意一项。
等比数列则是每一项与它前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。
例如数列 2，4，8，16，32 就是一个公比为 2 的等比数列。
等比数列的通项公式为 an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 q 是公比。
在解决数列问题时，经常会用到求和公式。
等差数列的求和公式为Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 ，等比数列的求和公式则要分两种情况：当公比q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当公比q ≠ 1 时，Sn ＝ a1(1 q^n) ／（1 q) 。
数列的题目类型多种多样，比如求数列的通项公式、前 n 项和、判断数列的性质等等。
对于求通项公式的问题，我们可以通过观察数列的特点，利用递推关系、累加法、累乘法等方法来求解。
接下来，我们说说函数。
函数是高考数学中的核心内容之一，它反映了两个变量之间的关系。
常见的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b ，它的图像是一条直线。
二次函数的表达式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c ，图像是一条抛物线。
对于二次函数，我们要重点掌握它的对称轴、顶点坐标、开口方向等性质。
指数函数的形式为 y ＝ a^x ，其中 a ＞ 0 且a ≠ 1 。
当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。
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高三复习专题：函数和数列的联系问题设计立意及思路：数列是函数概念的继续和延伸。
它是定义在自然集或它的子集{1，2，…，n}上的函数。
对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。
等比数列可看作自然数n的“指数函数”。
因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。
高考考点回顾1．与二次函数有关的等差数列的问题（2018年重庆卷）若{an}是等差数列，首项a1>0,a2018+a2018>0,a2018a2018<0,则使前n项和Sn成立的最大自然数n 是( )(A)4018 (B)4018 (C)4018 (D)4018（1992年全国高考试题）设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，已知a3=12，S12>0,S13<0。
（1）求公差d的取值范围(2)指出S1，S2,...,S n中哪一个值最大，并说明理由。
（2018年上海春季高考题）设｛a n｝(n∈N)是等差数列,S n是其前n项的和,且S5< S6, S6< S7, S7< S8,则下列结论错误的是( )(A)d<0 (B) a 7=0 (C) S 9>S 5 (D) S 6与S 7均为S n 的最大值 2．与函数的单调性有关的数列问题 （2018年上海卷）已知函数f(x)=a ·b x 的图象过点A （4，41）和B （5，1） （1） 求函数f(x)的解析式；（2） 记a n =log 2f(n),n 是正整数，S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，解关于n的不等式a n S n ≤0；（3） （文）对于（2）中的a n 与S n ，整数96是否为数列｛a n S n ｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。
（理）对于（2）中的a n 与S n ，整数118是否为数列｛a n S n ｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。
3.用函数观点解数列应用题 基础知识梳理： 1. 关于等差数列{a n }(1)通项公式a n =a 1+(n-1)d,可以写成a n =dn+(a 1-d)。
它是n 的一次函数，以（n,a n ）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上。
公差d=11--n a a n 是相应直线的斜率。
当d>0时，数列递增；当d<0时，数列递减；当d=0时，{a n }为常数数列。
（2）求和公式Sn=na 1+2)1(-n n d,可以写成 Sn=2d n 2+(a 1-2d)n 。
它是n 的二次函数（缺常数项），它的图象是过原点的抛物线上的一群孤立点。
从函数的角度理解，Sn=na 1+2)1(-n n d 变形为Sn=2d n 2+(a 1-2d)n 。
当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式，且常数项为零。
此时，可以应用相应二次函数的图象了解Sn 的增减变化及最值等问题。
当d=0时，{an}是常数列，S n =na 1,此时，若a 1≠0,则S n 是关于n 的一次式；若a 1=0,则S n =0。
2. 关于等比数列{an}通项公式a n =a 1q n-1,可以写成 a n =qa 1·q n (n ∈N*)。
当q>0且q ≠1时，y=q x (x ∈R)是指数函数，而y=qa 1·q x (x ∈R)是一个不为0的常数与指数函数的积，因此a n =qa 1·q n (n ∈N*)的图象是函数y=qa 1·q x (x R)的图象上的一群孤立点。
很明显，若qa 1>0,当q>1时，数列递增；当0<q<1时，数列递减。
例题讲解：例1 在等差数列{a n }中，若a 1<0, 且 S 5=S 13, 试问这数列的前几项之和最小？思路导引：先让学生猜想等差数列{a n }的单调性，学生能预测{a n }是首项为负数的递增数列。
因此，要找到这个数列中小于零的所有项中的最后一项。
而a n =a 1+(n-1)d ，a n 的值与a 1、d 有关，所以先由已知条件S 5=S 13求出a 1与d 的关系解法一 设公差为 d ，由 S 5=S 13, 有 5a+d 245⨯=13a1+d 21213⨯由此得 a 1=-d 217，而a 1<0, 故d>0,即{a n }是首项为负数的递增数列。
因此，当a n ≤0且a n+1>0时， S n 有最小值，即需-d 217+(n-1)d ≤0, -d 217+nd>0, 解得217<n ≤219,即n=9。
所以，此数列的前9项之和最小。
思路导引：因为s n 是常数项为零的二次函数，所以也可以利用二次函数求最值的方法来求s n 的最小值解法二 由解法一已得a 1=-d 217,且d>0,所以 Sn=na 1+2)1(-n n d=-n d 217+22n d -2d n=2dn 2-9dn =2d (n 2-18n) =2d (n-9)2-281d .由此可知，当n=9时，S n 最小。
思路导引：既然s n 是常数项为零的二次函数，那么，能否结合二次函数的图象来解决本题？（教师画出开口向下且过原点的抛物线）从函数的角度看，已知条件中S 5=S 13意味着什么？引导学生得出，说明在二次函数Sn=2dn 2+(a 1-2d)n 中，当n=5与n=13时，对应的函数值相等。
（教师在画出的抛物线上描出这两点）描出这两个对称点后，进一步引导学生观察抛物线的对称轴位置解法三 已知S 5=S 13，而Sn 是n 的二次函数（二次项系数2d>0）,由抛物线的对称性可得其对称轴方程为n=2135+=9。
所以，当n=9时，S n 最小。
小结：以上分别利用了单调性、配方转化为二次函数以及数形结合等，让学生比较以上这三种常见的解法，体会函数思想的作用。
变式：（1） 在等差数列{a n }中，a 1>0，S 3=S 11，则S n 中最大的是（ ）(A)S 6 (B)S 7 (C)S 8 (D)S 9（２）（2018年黄岗中学）在等差数列{a n }中，已知a 1=20，前n 项和为S n ，且S 10=S 15①求前n 项和S n ②当n 为何值时，S n 有最大值，并求它的最大值 例2（2018年重庆卷）若{a n }是等差数列，首项a 1>0,a 2018+a 2018>0,a 2018a 2018<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )（A ）4018(B)4018(C)4018(D)4018 思路导引：由于解题目标是前n 项的和S n =2)(1n a a n +=na 1+2)1(-n n d,故可从两方面入手。
由已知条件，能否判断本题中等差数列{a n }的单调性？（学生能判断）对照例1，可知该数列的前n 项和Sn 有最值，且当n=2018时取到该值，但n=2018时Sn 最大，是否就是本题所要求的答案呢？让学生认识到例1和例2的联系和区别。
由a 1>a 2>…a 2018>0>a 2018> a 2018…知，...,...S S 200520042003200321>>><<<S S S S 虽然S 2018<S 2018,但是S 2018仍然大于零.那么，使前n项和S n >0成立的最大自然数n 是多少呢，能否借鉴例1中所用的函数的思想，数形结合的思想？从而引导学生画出抛物线，判断其对称轴的位置，进而判断出抛物线与x 轴的交点的坐标 解法一：由题意可得：等差数列中， 从第1项到第2018项是正数， 且从第2018项开始为负数， 则所有的正项的和为S n 的最大值， 即当n=2018时，S n 取得最大值， 显然S n 是关于n 的缺常数项的二次函数，且开口向下，所以第2018项离对称轴最近，故其对称轴介于2018到2018.5之间。
又因二次函数的图象与x 轴的一个交点是（0,0）,则设另一个交点（x,0）,x 应介于4018到4018之间（如上图）所以使S n >0的最大自然数是4018，故选B 。
思路导引：根据S n =2)(1n a a n +，可以利用等差数列的性质求解。
问：a 2018+a 2018= a 1 + a ？，从而判断出S 4018>0,进而判断出S4018<0解法二：由题意可得：等差数列中，从第1项到第2018项是正数，且从第2018项开始为负数，S 4018=2018(a 2018+a 2018)>0 S 4018=2)(400740071a a +=4018a 2018<0,故n 的最大值为4018,选B评价：等差数列｛a n ｝(d ≠0)的前n 项的和S n =na 1+2)1(-n n d 是关于n 的缺常数项的二次函数， 则在函数思想的指导下，利用数形结合常常收到奇异的效果。
变式1．（1992年全国高考试题）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 3=12，S 12>0,S 13<0。
(1)求公差d 的取值范围（2） 指出S 1，S 2,...,S n 中哪一个值最大，并说明理由。
解（1）略（2）由a 3=12>0,S 12>0,S 13<0,可知公差d<0,S n =an 2+bn,可知a=2d<0,故相应的抛物线向下伸展且过原点（0，0）。
又由S 12>0,S 13<0，可知这抛物线向下伸展且过一交点在点（12，0）与（13，0）之间，因此对称轴在n=6与n=6.5之间，离对称轴最近的是n=6，故S 6最大。
说明：用同样方法，可以证明更一般性的命题：若a 1>0,d<0,且S 2k >0, S 2k+1>0, S 2k 为S 1,S 2…, S 2k 中的最大值。
下面提供另一种证明法， 由,0)(,0)12(S 12112>+=<+=+++k k k k k a a k S a k 可得.0,011>-><++k k k a a a a 1>a 2>…a k >0>a k+1> a k+2….于是...,,...S S 2121>>><<<++k k k k S S S S由此可知，S k 有最大值。