河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习题型七规律探究练习
河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习函数解答题练习201707172185
专题复习（二）函数解答题函数部分是河北中考的重点，本文从一次函数、反比例函数二次函数进行总结。
一次函数在河北近七年中考中，每年设置两道题，题型为选择题或解答题，本节常考的知识点有： 1.一次函数的图像及性质；2一次函数的解析式的确定；3一次函数实际应用；4一次函数和几何图 形结合。
反比例函数在河北近七年中考中，每年设置一道题，其中选择题 4次，解答题 3次。
本节常考的 知识点有：1反比例函数的图像及性质；2反比例函数的综合应用。
二次函数在河北近七年中考中，每年设置两道题，题型为选择题或解答题，每年设置 1或 2题。
本节常考的知识点有：1. 二次函数的图像及性质；2二次函数中系数 a,b,c 的意义；3二次函数图 像平移的规律；4二次函数的实际应用；5二次函数与几何图形综合题。
下面将从七方面对函数专题进行解析。
类型 1．一次函数及一次函数应用例 1、如图，过点(0，－2)的直线 l 1：y 1＝kx ＋b(k≠0)与直线 l 2：y 2＝x ＋1交于点 P(2，m)． (1)写出使得 y 1＜y 2的 x 的取值范围；(2)求点 P 的坐标和直线 l 1的解析式． 解：(1)当 x ＜2时，y 1＜y 2.(2)把 P(2，m)代入 y 2＝x ＋1，得 m ＝2＋1＝3.∴P(2，3)．2k ＋b ＝3，把 P(2，3)和(0，－2)分别代入 y 1＝kx ＋b ，得{b ＝－2.)5k ＝ ，解得{b ＝－2.)25 ∴直线 l 1的解析式为 y 1＝ x －2.2例 2．(2016唐山开平区一模)为了迎接世园会在某市召开，花园小区计划购买并种植甲、乙两种树 苗共 300株．已知甲种树苗每株 60元，乙种树苗每株 90元． (1)若购买树苗共用 21 000元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？(2)据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为 0.2和 0.6，问如何购买甲、乙两种 树苗才能保证该小区的空气净化指数之和不低于 90而且费用最低？解：(1)设甲种树苗买x株，则乙种树苗买(300－x)株．60x＋90(300－x)＝21 000，解得x＝200.则300－x＝100.答：甲种树苗买200株，乙种树苗买100株．(2)∵买x株甲种树苗，∴0.2x＋0.6(300－x)≥90.解得x≤225.此时费用y＝60x＋90(300－x)＝－30 x＋27 000.∵y是x的一次函数，y随x的增大而减小，∴当x最大＝225时，y最小＝－30×225＋27 000＝20 250(元)．即买225株甲种树苗，75株乙种树苗时，该小区的空气净化指数之和不低于90，费用最低为20 250元．例3．(2016保定一模)已知某商品每件的成本为20元，第x天(x≤90)的售价和销量分别为y元/件和(180－2x)件，设第x天该商品的销售利润为w元，请根据所给图像解决下列问题：(1)求出w与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？(3)该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于4 200元？解：(1)当1≤x≤50时，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，∵当x＝1时，y＝31，当x＝50，y＝80，k＋b＝31，∴{50k＋b＝80.)k＝1，解得{b＝30.)∴y＝x＋30.∴当1≤x≤50时，w＝(x＋30－20)(180－2x)＝－2x2＋160x＋1 800；当50≤x≤90时，w＝(80－20)(180－2x)＝－120x＋10 800.(2)当1≤x≤50时，w＝－2x2＋160x＋1 800＝－2(x－40)2＋5 000，∴当x＝40时，W最大5 000.当50≤x≤90时，w＝－120x＋10 800，∵w随x的增大而减小，∴x＝50时，w最大＝4 800.综上所述，该商品第40天时，当天销售利润最大，最大利润是5 000元．(3)当1≤x＜50时，y＝－2x2＋160x＋1 800＝4 200，解得x＝20或60.因此利润不低于4 200元的天数是20≤x＜50，共30天．当50≤x≤90时，y＝－120x＋10 800＝4 200，解得x＝55.因此利润不低于4 200元的天数是50≤x≤55，共6天．∴该商品在销售过程中，共有36天当天的销售利润不低于4 200元．针对性训练1．(益阳)如图，直线l上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上．(1)写出点P2的坐标；(2)求直线l所表示的一次函数的表达式；(3)若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3.请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．2．(2016河北模拟经典四)如图1所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图2为列车离乙地的路程y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系图像．(1)甲、丙两地距离1_050千米；(2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．3．(2016河北考试说明)煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1 000吨煤炭要全部运往A，B两厂，通过了解获得A，B两厂的有关信息如下表(表中运费栏“元/(吨千米)”表示：每吨煤炭运送1千米所需的费用)：运费/[元/厂别路程/千米需求量/吨(吨千米)]A 0.45 200 不超过600B a(a为常数) 150 不超过800(1)写出总运费y(单位：元)与运往A厂的煤炭量x(单位：吨)之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费(可用含a的代数式表示)．4．(2016保定模拟)甲、乙两列火车分别从A，B两城同时相向匀速驶出，甲车开往终点B城，乙车开往终点A城，乙车比甲车早到达终点，如图是两车相距的路程d(千米)与行驶时间t(小时)的函数的图像．(1)经过2小时两车相遇；(2)A，B两城相距600千米路程；(3)分别求出甲、乙两车的速度；(4)分别求出甲车距A城s甲，乙车距A城的路程s乙与t的函数关系式(不必写出t的范围)；(5)当两车相距200千米路程时，求t的值．5．(2016保定模拟)有甲、乙两个探测气球同时出发且匀速上升，甲气球从海拔5m处出发，上升速度为1 m/min，乙气球从海拔15 m处出发，上升速度为0.5 m/min.设气球上升时间为x min，气球的海拔高度为y m.(1)分别写出甲气球的海拔高度y甲、乙气球的海拔高度y乙与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；(2)气球上升多少分钟时，两个气球位于同一高度？(3)气球上升多少分钟时，两个气球所在位置的海拔高度相差5 m?(4)若甲气球由于燃料消耗过快，上升40min后，减速为0.3m/min继续匀速上升，乙气球速度保持不变，设两个气球的海拔高度差为h，请确定当40≤x≤80时，h最多为多少米？答案1、解：(1)P2(3，3)．(2)设直线l所表示的一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵点P1(2，1)，P2(3，3)在直线l上，2k＋b＝1，k＝2，∴{3k＋b＝3. )解得{b＝－3.)∴直线l所表示的一次函数的表达式为y＝2x－3.(3)点P3在直线l上．由题意知点P3的坐标为(6，9)，∵2×6－3＝9，∴点P3在直线l上2、解：当0≤x≤3时，设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为y＝kx＋b，b＝900，{3k＋b＝0.)把(0，900)，(3，0)代入得k＝－300，解得{b＝900. )∴y＝－300x＋900.高速列车的速度为900÷3＝300(千米/小时)，150÷300＝0.5(小时)，3＋0.5＝3.5(小时)．∴当3＜x≤3.5时，设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为y＝k1x＋b1，3k1＋b1＝0，{3.5k1＋b1＝150.)把(3，0)，(3.5，150)代入得k1＝300，解得{b1＝－900.)∴y＝300x－900.－300x＋900（0 ≤x ≤3），∴y＝{300x－900（3＜x ≤3.5）. )3、解：(1)总运费y元与运往A厂的煤炭量x吨之间的函数关系式为y＝(90－150a)x＋150 000a，其中200≤x≤600.(2)当0＜a＜0.6时，90－150a＞0，y随x的增大而增大．∴当x＝200时，y最小＝(90－150a)×200＋150 000a＝120 000a＋18 000.此时，1 000－x＝1 000－200＝800.当a＝0.6时，y＝90 000，此时，不论如何，总运费是一样的．当a＞0.6时，90－150a＜0，y随x的增大而减少．又∵运往A厂总吨数不超过600吨，∴当x＝600时，y最小＝(90－150a)×600＋150 000a＝60 000a＋54 000.此时，1 000－x＝1 000－600＝400.答：当0＜a＜0.6时，运往A厂200吨，B厂800吨时，总运费最低，最低运费(120 000a＋18 000)元；当a＞0.6时，运往A厂600吨，B厂400吨时，总运费最低，最低运费(60 000a＋54 000)元；当a＝0.6时，不论如何，总运费是一样的．4、解：(3)设甲车的速度为v甲，乙车的速度为v乙．600此题意，得v甲＝＝120(千米/时)．5600∴v乙＝－v甲＝180(千米/时)．2(4)s甲＝120t，s乙＝600－180t.4(5)①当两车相遇前，两车相距200千米时，则有300t＝600－200，解得t＝，38②当两车相遇后，两车相距200千米/时，则有300t＝600＋200，解得t＝.34 8∴当两车相距200千米路程时，t的值为或.3 35、解：(1)y甲＝x＋5，y乙＝0.5x＋15.(2)当y甲＝y乙时，x＋5＝0.5x＋15.解得x＝20.∴气球上升20 min时，两个气球位于同一高度．(3)当乙气球在上方时，y乙－y甲＝5，即0.5x＋15－(x＋5)＝5.解得x＝10.当甲气球在上方时，y甲－y乙＝5，即x＋5－(0.5x＋15 )＝5.解得x＝30.∴气球上升10 min或30 min时，两个气球所在位置的海拔高度相差5 m.(4)设减速后甲气球的高度为y甲减．当x＝40时，y甲＝x＋5＝45，∴y甲减＝0.3(x－40)＋45＝0.3x＋33(x≥40)．由0.3x＋33＝0.5x＋15，解得x＝90，故出发90 min两气球再次位于同一高度．∴40≤x≤80时，甲气球一直在乙气球的上方．∴h＝y甲减－y乙＝(0.3x＋33)－(0.5x＋15)＝－0.2x＋18.∵－0.2＜0，∴函数值h随x的增大而减少．当x＝40时，h＝－0.2x＋18＝－0.2×40＋18＝10.∴当40≤x≤80时，两气球的海拔高度差h最多为10 m.类型2一次函数应用综合例1．(石家庄模拟)将如图所示的长方体石块(a＞b＞c)放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为v cm3/s，直至注满水槽为止．石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图1至图3所示，在这三种情况下，水桶内的水深h cm与注水时间t s的函数关系如图4至图6所示，根据图像完成下列问题：(1)请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图像用线连接起来；(2)求图5中直线CD的函数关系式；(3)求圆柱形水槽的底面积S.解：(1)图1与图4相对应，图2与图6相对应，图3与图5相对应，连线略．(2)由题意可知C点的坐标为(45，9)，D点的坐标为(53，10)，设直线CD的函数关系式为h＝kt＋b，1k＝，9＝45k＋b，8{.)10＝53k＋b.)∴{解得27b＝81 27∴直线CD的函数关系式为h＝t＋.8 8(3)由图4、5和6可知水槽的高为10cm；由图2和图6可知石块的长a＝10cm；由图3和图5可知石块的宽b＝9 cm；由图1和图4可知石块的高c＝6 cm.53v＝10S－540，v＝20，∴石块的体积为abc＝540 cm3，根据图4和图6可得{21v＝6S－540，)解得{S＝160.)∴S＝160 cm2.针对性训练1．(张家口模拟)王老师想骑摩托车送甲、乙两位同学去会场参加演出，由于摩托车后座只能坐一人，为了节约时间，王老师骑摩托车先带乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是5km/h，摩托车的速度是45 km/h.预设方案(1)方案1：王老师将乙送到会场后，回去接甲，再将甲送到会场，图1中折线AB－BC－CD和折线AC －CD分别表示王老师、甲在上述过程中，离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系．①学校与会场的距离为15km；②求出点C的坐标，并说明它的实际意义；(2)方案2：王老师骑摩托车行驶a(h)后，将乙放下，让乙步行去会场，同时王老师回去接甲并将甲送到会场，图2中折线AB－BC－CD、折线AC－CD和折线AB－BE分别表示王老师、甲、乙在上述过程中，离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系．求a的值；(3)你能否设计一个方案，使甲、乙两位同学在最短时间内都赶到会场，请你直接写出这个最短时间，并在图3中画出这个设计方案的大致图像．(不需要写出具体的方案设计)图32.（2016黑龙江齐齐哈尔12分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案1、解：(1)方法一：设王老师把乙送到会场后，再经过m h与甲相遇．1(45＋5)m＝15－5× .34解得m＝.151 4 3 3 3＋＝(h)，15－5×＝12(km)，即C( ，12)．3 15 5 5 53点C的实际意义为王老师在出发h后，在距离会场12 km处接甲．5方法二：BC对应的函数关系式为y＝45x－15.AC对应的函数关系式为y＝－5x＋15.3BC与AC的交点C的坐标为( ，12)．53点C的实际意义为王老师在出发h后，在距离会场12 km处接到甲．54(2)方法一：设王老师把乙放下后，再经过n h与甲相遇．(45＋5)n＝45a－5a.解得n＝a.由于王老55 4 5 4 5师骑摩托车一共行驶h，可得方程15－5(a＋a)＝45×[－(a＋a)]．解得a＝.6 5 6 5 169方法二：根据题意，得B(a，15－45a)，C( a，15－9a)．∴CD对应的函数关系式为y＝－45x＋72a＋55 515.将( ，0)代入，解得a＝.6 167(3) h．图像如图3所示．92、【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4，（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA= ，OB=3，OC=1，∴OA2=OBOC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴D的纵坐标为1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐标为（﹣2，1），（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，∴，解得，∴直线BD的解析式为：y= x+3，令y=0代入y= x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE=3 ，∴tan∠BEC= = ，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，当PA=AB时，如图1，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P与E重合，∴P的坐标为（﹣3，0），当PA=PB时，如图2，此时，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴点P的横坐标为﹣，令x=﹣代入y= x+3，∴y=2，∴P（﹣，2），当PB=AB时，如图3，∴由勾股定理可求得：AB=2 ，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，∴P 1B=AB=2 ，∴EP 1=6﹣2，∴sin∠BEO= ，∴FP1=3﹣，令y=3﹣代入y= x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，∴P 2B=AB=2 ，∴EP 2=6+2 ，∴sin∠BEO= ，∴GP2=3+ ，令y=3+ 代入y= x+3，∴x=3，∴P2（3，3+ ），综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+ ）．类型3、反比例函数例1．（2016山东省菏泽市3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD【考点】反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．∵点B在反比例函数y= 的第一象限图象上，∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．∴S△OAC﹣S△BAD= a2﹣b2= （a2﹣b2）= ×6=3．故选D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．故选D．例2.（2016福建龙岩4分）反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系。
河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习题型三不同操作的正误判断练习2
题型三不同操作的正误判断例1（河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以考点：图形的剪拼．分析：根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形，图乙可以拼一个边长为的正方形．解答：解：所作图形如图所示，甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．故选A．点评：本题考查了图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形．例2（河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对考点：相似三角形的判定；相似多边形的性质分析：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得，即新矩形与原矩形不相似．解答：解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选A．点评：此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．1．(2016河北模拟)对于问题：证明不等式a2＋b2≥2ab，甲、乙两名同学的作业如下：甲：根据一个数的平方是非负数可知(a－b)2≥0，∴a2－2ab＋b2≥0.∴a2＋b2≥2ab.乙：如图1，两个正方形的边长分别为a，b(b≤a)，如图2，先将边长为a的正方形沿虚线部分分别剪成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，若再将Ⅰ、Ⅱ和边长为b的正方形拼接成如图3所示的图形，可知此时图3的面积为2ab，其面积小于或等于原来两个正方形的面积和，故不等式a2＋b2≥2ab成立．则对于两人的作业，下列说法正确的是( )A．甲、乙都对 B．甲对，乙不对C．甲不对，乙对 D．甲、乙都不对2．(2016石家庄长安区一模)已知：在△ABC中，AB＝AC，求作：△ABC的内心O.以下是甲、乙两同学的作法：甲：如图1.①作AB的垂直平分线DE；②作BC的垂直平分线FG；③DE，FG交于点O，则点O即为所求．乙：如图2.①作∠ABC的平分线BD；②作BC的垂直平分线EF；③BD，EF交于点O，则点O即为所求．对于两人的作法，正确的是( )图1 图2A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．用一条直线m将如图1的直角铁皮分成面积相等的两部分．图2、图3分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是( )A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确4．(2016宁波)如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( )A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S35．(2016保定高阳县一模)如图1是从边长为40 cm、宽为30 cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20 cm、宽为10 cm的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．甲师傅的作法如图2所示，乙师傅的作法如图3所示，单从接缝长短来看，满足要求的操作是( ) A．甲师傅 B．乙师傅C．甲、乙师傅均可 D．甲、乙师傅均不可6．(2016保定竞秀区模拟)如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断( )甲乙A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误7．已知正方形ABCD，点E在边AB上，以CE为边作正方形CEFG，如图所示，连接DG.求证：△BCE ≌△DCG.甲、乙两位同学的证明过程如下：甲：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴CB＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°.∴∠BCD－∠ECD＝∠ECG－∠ECD.∴∠BCE＝∠DCG.∴△BCE≌△DCG(SAS)．乙：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴CB＝CD，CE＝CG，且∠B＝∠CDG＝90°.∴△BCE≌△DCG(HL)．则下列说法正确的是( )A．只有甲同学的证明过程正确B．只有乙同学的证明过程正确C．两人的证明过程都正确D．两人的证明过程都不正确答案：1.A 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：3B．2：3：4 C．1：3：2 D．1：2：3【答案】D【解析】试题分析：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，因而AD=OC+OD；在直角△OCD中，∠DOC=60°，则OD：OC=1：2，因而OD：OC：AD=1：2：1，所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：1．故选D．考点：正多边形和圆．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D、E，F分别是CD，AD 上的点，且CE＝AF.如果∠AED＝62°，那么∠DBF的度数为()A．62°B．38°C．28°D．26°【答案】C【解析】分析：主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE．详解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD．又∵CE=AF，∴DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS），∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°．故选C．点睛：熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．3．某微生物的直径为0.000 005 035m，用科学记数法表示该数为（）A ．5.035×10﹣6B ．50.35×10﹣5C ．5.035×106D ．5.035×10﹣5【答案】A【解析】试题分析：0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，故选A ． 考点：科学记数法—表示较小的数． 4．如图，已知函数3y x =-与k y x =的图象在第二象限交于点()1,A m y ，点()21,B m y -在ky x=的图象上，且点B 在以O 点为圆心，OA 为半径的O 上，则k 的值为( )A ．34-B ．1-C ．32-D ．2-【答案】A【解析】由题意(),3A m m -，因为O 与反比例函数ky x=都是关于直线y x =-对称，推出A 与B 关于直线y x =-对称，推出()3,B m m -，可得31m m =-，求出m 即可解决问题； 【详解】函数3y x =-与ky x=的图象在第二象限交于点()1,A m y ， ∴点(),3A m m -O 与反比例函数ky x=都是关于直线y x =-对称， A ∴与B 关于直线y x =-对称，()3,B m m ∴-，31m m ∴=-， 12m ∴=-∴点13,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭133224k ∴=-⨯=-故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图像与性质，圆的对称性及轴对称的性=-对称．质.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现A，B关于直线y x5．一、单选题在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加了决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【答案】C【解析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【详解】由于总共有7个人，且他们的成绩各不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前3名，故应知道中位数的多少．故选C．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．6．下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a6B．a2+a2＝a4C．（3a）•（2a）2＝6a D．3a﹣a＝3【答案】A【解析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A．（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；B．a2+a2=2a2，故本选项错误；C．（3a）•（2a）2=（3a）•（4a2）=12a1+2=12a3，故本选项错误；D．3a﹣a=2a，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和单项式乘法，理清指数的变化是解题的关键．7．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是.（）A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4【答案】B【解析】试题分析：平均数为（a−2 + b−2 + c−2 ）=（3×5-6）=3；原来的方差：；新的方差：，故选B.考点：平均数；方差.8．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|c﹣a|﹣|a+b|的值等于（）A．c+b B．b﹣c C．c﹣2a+b D．c﹣2a﹣b【答案】A【解析】根据数轴得到b＜a＜0＜c，根据有理数的加法法则，减法法则得到c-a＞0，a+b＜0，根据绝对值的性质化简计算．【详解】由数轴可知，b＜a＜0＜c，∴c-a＞0，a+b＜0，则|c-a|-|a+b|=c-a+a+b=c+b，故选A．【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的性质，能够根据数轴比较实数的大小，掌握绝对值的性质是解题的关键．9．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( ) A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCAC．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°【答案】B【解析】由图形可知AC＝AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可. 【详解】解：在△ABC和△ADC中∵AB＝AD，AC＝AC，∴当CB＝CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；当∠BCA＝∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；当∠BAC＝∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定定理是解题关键.10．如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】B【解析】分析：根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．详解：如图，∵AB∥CD，∠1=45°，∴∠4=∠1=45°，∵∠3=80°，∴∠2=∠3-∠4=80°-45°=35°，故选B．点睛：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答． 二、填空题（本题包括8个小题）11．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4，随机取出一个小球后不放回，再随机取出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于4的概率是_____. 【答案】16【解析】试题解析：画树状图得：由树状图可知：所有可能情况有12种，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占2种，所以其概率=21=126， 故答案为16．12．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2（x≥0）与y 2=23x （x≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB=______．【答案】33【解析】首先设点B 的横坐标，由点B 在抛物线y 1=x 2（x≥0）上，得出点B 的坐标，再由平行，得出A 和C 的坐标，然后由CD 平行于y 轴，得出D 的坐标，再由DE ∥AC ，得出E 的坐标，即可得出DE 和AB ，进而得解.【详解】设点B 的横坐标为a ，则()2,B a a∵平行于x 轴的直线AC ∴())220,,3,A aC a a又∵CD 平行于y 轴∴()23,3Da a又∵DE ∥AC∴()23,3E a a∴()33,DE a AB a =-= ∴DEAB=3﹣3 【点睛】此题主要考查抛物线中的坐标求解，关键是利用平行的性质.13．图①是一个三角形，分别连接这个三角形的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按上面的方法继续下去，第n 个图形中有_____个三角形（用含字母n 的代数式表示）．【答案】4n ﹣1【解析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3.如图③中三角形的个数为943 3.=⨯-按照这个规律即可求出第n 各图形中有多少三角形．【详解】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数， 图①中三角形的个数为1413=⨯-； 图②中三角形的个数为5423=⨯-； 图③中三角形的个数为9433=⨯-；可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去1．按照这个规律，如果设图形的个数为n ，那么其中三角形的个数为4n 3-． 故答案为4n 3-． 【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．14．已知m 、n 是一元二次方程x 2+4x ﹣1＝0的两实数根，则11m n+＝_____． 【答案】1【解析】先由根与系数的关系求出m•n 及m+n 的值，再把11m n+化为m+n mn 的形式代入进行计算即可．【详解】∵m 、n 是一元二次方程x 2+1x ﹣1＝0的两实数根， ∴m+n ＝﹣1，m•n ＝﹣1， ∴11m n+＝m+n mn ＝-4-1 ＝1．故答案为1． 【点睛】本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．15．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，依次得到点P 1（0，1）；P 2（1，1）；P 3（1，0）；P 4（1，﹣1）；P 5（2，﹣1）；P 6（2，0）……，则点P 2019的坐标是_____．【答案】（673，0）【解析】由P 3、P 6、P 9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为3n，纵坐标为0，据此可解．【详解】解：由P 3、P 6、P 9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为3n，纵坐标为0，∵2019÷3＝673， ∴P 2019 （673，0）则点P 2019的坐标是 （673，0）． 故答案为 （673，0）． 【点睛】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．本题难度中等偏上.16．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm ，则根据题意可得方程 ． 【答案】()240024008.120%x x-=+. 【解析】试题解析：∵原计划用的时间为：2400x， 实际用的时间为：()2400120%x +， ∴可列方程为：()240024008.120%x x -=+ 故答案为()240024008.120%x x -=+ 17．如图，用10 m 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积________m 1．【答案】2【解析】设与墙平行的一边长为xm ，则另一面为202x- ， 其面积=2201·1022x x x x -=--， ∴最大面积为241005042ac b a -== ；即最大面积是2m 1． 故答案是2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x1-1x+5，y=3x1-6x+1等用配方法求解比较简单． 18．已知|x|=3，y 2=16，xy ＜0，则x ﹣y=_____． 【答案】±3 【解析】分析：本题是绝对值、平方根和有理数减法的综合试题，同时本题还渗透了分类讨论的数学思想．详解：因为|x|=1，所以x=±1． 因为y 2=16，所以y=±2． 又因为xy ＜0，所以x 、y 异号， 当x=1时，y=-2，所以x-y=3； 当x=-1时，y=2，所以x-y=-3． 故答案为：±3. 点睛：本题是一道综合试题，本题中有分类的数学思想，求解时要注意分类讨论． 三、解答题（本题包括8个小题）19．在“双十一”购物街中，某儿童品牌玩具专卖店购进了A B 、两种玩具，其中A 类玩具的金价比B 玩具的进价每个多3元.经调查发现：用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同.求A B 、的进价分别是每个多少元？该玩具店共购进A B 、了两类玩具共100个，若玩具店将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得的利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A 类玩具多少个？【答案】（1）A 的进价是18元，B 的进价是15元；（2）至少购进A 类玩具40个.【解析】（1）设B 的进价为x 元，则A 的进价为()3x +元，根据用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可；（2）设A 玩具a 个，则B 玩具()100a -个，结合“玩具点将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元”列出不等式并解答.【详解】解：（1）设B 的进价为x 元，则A 的进价为()3x +元 由题意得9007503x x=+， 解得15x =，经检验15x =是原方程的解. 所以15318+=（元）答：A 的进价是18元，B 的进价是15元； （2）设A 玩具a 个，则B 玩具()100a -个 由题意得：()12101001080a a +-≥ 解得40a ≥.答：至少购进A类玩具40个.【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用.解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系，准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力.20．图1是某市2009年4月5日至14日每天最低气温的折线统计图．图2是该市2007年4月5日至14日每天最低气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；在这10天中，最低气温的众数是____，中位数是____，方差是_____．请用扇形图表示出这十天里温度的分布情况．【答案】(1)作图见解析；（2）7，7.5，2.8；（3）见解析.【解析】（1）根据图1找出8、9、10℃的天数，然后补全统计图即可；（2）根据众数的定义，找出出现频率最高的温度；按照从低到高排列，求出第5、6两个温度的平均数即为中位数；先求出平均数，再根据方差的定义列式进行计算即可得解；（3）求出7、8、9、10、11℃的天数在扇形统计图中所占的度数，然后作出扇形统计图即可．【详解】（1）由图1可知，8℃有2天，9℃有0天，10℃有2天，补全统计图如图；（2）根据条形统计图，7℃出现的频率最高，为3天，所以，众数是7；按照温度从小到大的顺序排列，第5个温度为7℃，第6个温度为8℃，所以，中位数为12（7+8）=7.5；平均数为110（6×2+7×3+8×2+10×2+11）=110×80=8，所以，方差=110[2×（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（10﹣8）2+（11﹣8）2]，=110（8+3+0+8+9），=110×28，=2.8；（3）6℃的度数，210×360°=72°，7℃的度数，310×360°=108°，8℃的度数，210×360°=72°，10℃的度数，210×360°=72°，11℃的度数，110×360°=36°，作出扇形统计图如图所示．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．21．有四张正面分别标有数字﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．随机抽取一张卡片，求抽到数字“﹣1”的概率；随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率．【答案】（1）14；（2）112．【解析】试题分析：（1）根据概率公式可得；（2）先画树状图展示12种等可能的结果数，再找到符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）∵随机抽取一张卡片有4种等可能结果，其中抽到数字“﹣1”的只有1种，∴抽到数字“﹣1”的概率为14；（2）画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”只有1种结果，∴第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率为1 12．22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．【答案】作图见解析；CE=4.【解析】分析：利用数形结合的思想解决问题即可.详解：如图所示，矩形ABCD和△ABE即为所求；CE=4.点睛：本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题．23．在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去，否则就是小李去．用树状图或列表法求出小王去的概率；小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．【答案】（1）12；（2）规则是公平的；【解析】试题分析：（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可；（2）分别计算出小王和小李去植树的概率即可知道规则是否公平．试题解析：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，所以P（小王）=34；（2）不公平，理由如下：∵P（小王）=34，P（小李）=14，34≠14，∴规则不公平．点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．如图，P是半圆弧AB上一动点，连接PA、PB，过圆心O作OC//BP交PA于点C，连接CB.已知AB6cm=，设O，C两点间的距离为xcm，B，C两点间的距离为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：()1通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3y/cm 3 3.1 3.5 4.0 5.3 6(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)()2建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；()3结合画出的函数图象，解决问题：直接写出OBC周长C的取值范围是______．【答案】（1）4.6（2）详见解析；（3）9C12≤≤.【解析】（1）动手操作，细心测量即可求解；（2）利用描点、连线画出函数图象即可；（3）根据观察找到函数值的取值范围，即可求得△OBC周长C的取值范围．【详解】()1经过测量，x2=时，y值为4.6()2根据题意，画出函数图象如下图：()3根据图象，可以发现，y 的取值范围为：3y 6≤≤，C 6y =+，故答案为9C 12≤≤.【点睛】本题通过学生测量、绘制函数，考查了学生的动手能力，由观察函数图象，确定函数的最值，让学生进一步了解函数的意义．25．如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，延长BA 与⊙O 相交于点F ．若EF 的长为2π，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】S 阴影＝2﹣2π． 【解析】由切线的性质和平行四边形的性质得到BA ⊥AC ，∠ACB=∠B=45°，∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE ，根据弧长公式求出弧长，得到半径，即可求出结果.【详解】如图，连接AC ，∵CD 与⊙A 相切，∴CD ⊥AC ，在平行四边形ABCD 中，∵AB=DC,AB ∥CD ∥BC ，∴BA ⊥AC ，∵AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°，∵AD ∥BC,∴∠FAE=∠B=45°，∴∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE ，∴EF EC =∴EF 的长度为45=1802R ππ 解得R=2， S 阴=S △ACD-S 扇形=2214522-=2-23602ππ⨯⨯【点睛】此题主要考查圆内的面积计算，解题的关键是熟知平行四边形的性质、切线的性质、弧长计算及扇形面积的计算.26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，与反比例函数()0m y m x=≠的图象交于C 、D 两点.已知点C 的坐标是（6，-1），D （n ，3）.求m 的值和点D 的坐标.求tan BAO ∠的值.根据图象直接写出：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？【答案】（1）m=-6，点D 的坐标为（-2,3）；（2）1tan BAO 2∠=；（3）当2x <-或06x <<时，一次函数的值大于反比例函数的值.【解析】（1）将点C 的坐标（6，-1）代入m y x=即可求出m ，再把D （n ，3）代入反比例函数解析式求出n 即可. （2）根据C （6，-1）、D （-2,3）得出直线CD 的解析式，再求出直线CD 与x 轴和y 轴的交点即可，得出OA 、OB 的长，再根据锐角三角函数的定义即可求得；（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．【详解】⑴把C （6，-1）代入m y x =，得()m 616=⨯-=-. 则反比例函数的解析式为6y x =-， 把y 3=代入6y x=-，得x 2=-， ∴点D 的坐标为（-2,3）.⑵将C （6，-1）、D （-2,3）代入y kx b =+，得6123k b k b +=-⎧⎨-+=⎩，解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴一次函数的解析式为1y x 22=-+， ∴点B 的坐标为（0,2），点A 的坐标为（4,0）.∴OA 4OB 2==，，在在Rt ΔABO 中， ∴OB 21tan BAO OA 42∠===. ⑶根据函数图象可知，当x 2<-或0x 6<<时，一次函数的值大于反比例函数的值【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有解直角三角形，待定系数法求解析式，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．111112233499100++++++++的整数部分是( ) A ．3B ．5C ．9D ．6 【答案】C【解析】解：∵121+=2﹣1，123+=3﹣2…199100+=﹣99+100，∴原式=2﹣1+3﹣2+…﹣99+100=﹣1+10=1．故选C ．2．如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数k y x= (x ＞0)与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD=3AD ，且△ODE 的面积是9,则k 的值是( )A ．92B ．74C ．245D ．12【答案】C【解析】设B 点的坐标为（a ，b ），由BD=3AD ，得D （4a ，b ），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE = 9求出k.【详解】∵四边形OCBA 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，设B 点的坐标为（a ，b ），∵BD=3AD ，∴D （4a ，b ）， ∵点D ，E 在反比例函数的图象上，∴4ab =k ，∴E （a ， k a ）， ∵S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE =ab-12•4ab -12•4ab -12•34a •（b-k a ）=9， ∴k=245， 故选：C【点睛】考核知识点：反比例函数系数k 的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.3．一次函数y ax c =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】本题可先由一次函数y=ax+c 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相比较看是否一致．【详解】A 、一次函数y=ax+c 与y 轴交点应为（0，c ），二次函数y=ax 2+bx+c 与y 轴交点也应为（0，c ），图象不符合，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，a 的取值矛盾，故本选项错误；C 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，a ＞0，a 的取值矛盾，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，a ＜0，且抛物线与直线与y 轴的交点相同，故本选项正确． 故选D ．【点睛】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．4．制作一块3m×2m 长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）A ．360元B ．720元C ．1080元D ．2160元【答案】C【解析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【详解】3m×2m=6m 2，。
河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习概率练习
二、概率（一）考点扫描概率在近五年河北省中考中每年设置1～2道题，选择题、填空题、解答题均有考查，本章常考的知识点有：①事件的分类；②简单事件概率的计算；③频率与概率。
考点一、事件的分类【例1】下列事件属于必然事件的是( )A．在1个标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾B．明天我市最高气温为56 ℃C．中秋节晚上能看到月亮D．下雨后有彩虹【举一反三】下列事件中，为必然事件的是( )A．购买一张彩票，中奖B．打开电视，正在播放广告C．抛掷一枚硬币，正面向上D．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球答案：【例1】 A【举一反三】 D考点二、用树状图法或列表法求概率【例2】在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1,2,3,4.随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字．(1)计算两次摸出的纸牌上的数字之和为6的概率；(2)甲、乙两个人玩游戏，如果两次摸出纸牌上的数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上的数字之和为偶数，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由．【举一反三】一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．答案：【例2】解：用树状图法：或列表法：由上表可以看出，摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等．(1)两次摸出纸牌上的数字之和为6(记为事件A )有3种可能结果，P (A )＝316.(2)这个游戏公平，理由如下：两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B )有8种可能结果，P (B )＝816＝12.两次摸出纸牌上数字之和为偶数(记为事件C )有8种可能结果，P (C )＝816＝12.两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平． 【举一反三】解：（1）设红球的个数为x ，由题意可得：，解得：x=1，经检验x=1是方程的根， 即红球的个数为1个； （2）画树状图如下：∴P （摸得两白）==．方法总结：1．用列举法求概率，无论是简单事件还是复杂事件，都先列举所有可能出现的结果，再代入P (A )＝m n计算．2．在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．3．判断游戏的公平性，在相同的条件下，应考虑随机事件发生的可能性是否相同，可能性大的获胜机会就大．考点三、频率与概率【例3】小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次试验，试验的结果如下：(1)试求“4(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？ 【举一反三】某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：(1)(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽概率． 答案：【例3】解：(1)“4点朝上”出现的频率是23100＝0.23.“5点朝上”出现的频率是20100＝0.20.(2)不能这样说，因为“4点朝上”的频率最大并不能说明“4点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．【举一反三】解：(1)通过计算，发芽频率从左到右依次为：0.9,0.92,0.92,0.916,0.914,0.911,0.911. (2)由(1)知，发芽频率逐渐稳定在0.911，因此可以估计种子的发芽概率为0.911.方法总结：在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．考点四、概率的应用【例4】在一副扑克牌中取牌面花色分别为黑桃、红心、方块各一张，洗匀后正面朝下放在桌面上．(1)从这三张牌中随机抽取一张牌，抽到牌面花色为红心的概率是多少？(2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面花色后放回，洗匀后，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面花色．当两张牌面的花色相同时，小王赢；当两张牌面的花色不相同时，小李赢．请你利用树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平？并说明理由．【举一反三】(1)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．1 (2)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗庙、烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是( )A ．19B ．13C ．23D ．29 答案：【例4】解：(1)P (抽到牌面花色为红心)＝13.(2)游戏规则不公平． 理由如下：由树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种．P (抽到牌面花色相同)＝39＝13， P (抽到牌面花色不相同)＝69＝23.∵13＜23，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大． 【举一反三】1. B 2. A方法总结：游戏公平与否，关键是根据规则算出各自的概率，概率均等则游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．(二)精选习题 一、选择题1．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（ ） A.316 B. 38 C. 58 D. 13162．把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，则两次朝上面的点数之积为3的倍数的概率是（ ） A ．31 B ．3615C ．114D ．953．在一个不透明的口袋中装有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6,从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为( )A.61 B.31C.32D.65 4．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为P 0，P 1，P 2，P 3，则P 0，P 1，P 2，P 3中最大的是（ ）A ．P 0B ．P 1C ．P 2D ．P 35．有一箱子装有3张分别标示4、5、6的号码牌，已知小南以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个两位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数，则组成的二位数为5的倍数的概率为（ ） A ． B ． C ．D ．6．一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）A ．摸到红球是必然事件B ．摸到白球是不可能事件C ．摸到红球比摸到白球的可能性相等D ．摸到红球比摸到白球的可能性大7．某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．168．如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列说法中正确的是（ ）A ．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为B ．“对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件C ．“同位角相等”这一事件是不可能事件D ．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件 二、填空题1．在一个口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标上数字﹣1，0，2，随机地摸出一个小球记录数字然后放回，再随机地摸出一个小球记录数字．则两次的数字和是正数的概率为．2．A、B、C三张外观一样的门卡可分别对应a、b、c三把电子锁，若任意取出其中一张门卡，恰好打开a锁的概率是；若随机取出三张门卡，恰好一次性对应打开这三把电子锁的概率是．3．已知一包糖果共有5种颜色（糖果只有颜色差别），如图是这包糖果分布百分比的统计图，在这包糖果中任意取一粒，则取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是．第3题第6题4．从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为．5．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．6．如图所示，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则P(3) P(4)．(填“＞”、“＜”或“＝”)三、解答题1．一个布袋中装有只有颜色不同的(12)a a>个球，分别是2个白球，4个黑球，6个红球和b个黄球，从中任意摸出一个球，把摸出白球，黑球，红球的概率绘制成统计图（未绘制完整），请补全该统计图并求出ba的值。
河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习动态几何练习
动态几何三、动态几何 典例精讲例1在Rt POQ △中，4OP OQ ==，M 是PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ △的两直角边分别交于点A B 、． （1）求证：MA MB =；（2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB △的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在．请说明理由．（1）证明：连接OM ，Rt POQ △中，4OP OQ ==，M 是PQ 的中点，12OM PM PQ ∴===45POM BOM P ∠=∠=∠=°． PMA AMO OMB AMO ∠+∠=∠+∠ ，...PMA OMB PMA OMB MA MB ∴=∠∴=△≌△（2）解：AOB △的周长存在最小值．理由是：4PMA OMB PA OB OA OB OA PA OP ∴=∴+=+==△≌△，．令OA x =，AB y =，则2222(4)2816y x x x x =+-=-+=22(2)88x -+≥．当2x =时，2y 有最小值=8，从而y >故AOB △的周长存在最小值，其最小值是4+例 2 如图，在平面直角坐标系中，已知Rt AOB △的两条直角边OA 、OB 分别在y 轴和x 轴上，并且OA 、OB 的长分别是方程27120x x -+=的两根（OA OB <），动点P 从点A 开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O 运动；同时，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，设点P Q 、运动的时间为t 秒． （1）求A B 、两点的坐标．（2）求当t 为何值时，APQ △与AOB △相似，并直接写出此时点Q 的坐标．（3）当2t =时，在坐标平面内，是否存在点M ，使以A P Q M 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）27120x x -+= 解：得13x =，24x =解OA OB < 3OA ∴=，4OB =(03)(40)A B ∴，，，AP t =，52AQ t =-(2)由题意得，可分两种情况讨论：①当APQ AOB ∠=∠时，APQ AOB △∽△如图15235t t -= 解得1511t =所以可得2018()1111Q ，②当AQP AOB ∠=∠时，APQ ABO △∽△如图2 5253t t -= 解得2513t =所以可得1230()1313Q ，（3）存在 1422()55M ，，242()55M ，，348()55M -，针对性训练1. 如图，甲、乙两人分别从A 、(60)B ，两点同时出发，点O 为坐标原点，甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以4km/h 的速度行走，h t 后，甲到达M 点，乙到达N 点． （1）请说明甲、乙两人到达O 点前，MN 与AB 不可能平行． （2）当t 为何值时，OMN OBA △∽△？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长，设2s MN =，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．2.将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标中，点)A，点()0,1B ，点()0,0O ，过边OA 上的动点M （点M 不与点O ，A 重合）作MN AB ⊥于N ，沿着MN 折叠该纸片，得顶点A 的对应点A '.设OM m =，折叠后的△A MN '与四边形OMNB 重叠部分的面积为S 。
∥3套精选试卷∥邢台市2017-2018中考二模数学试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．一、单选题二次函数的图象如图所示,对称轴为x=1,给出下列结论：①abc<0；②b 2>4ac ；③4a+2b+c<0；④2a+b=0..其中正确的结论有：A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】试题解析：①∵二次函数的图象的开口向下， ∴a<0，∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c>0，∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，12ba，∴-= ∴2a+b=0，b>0 ∴abc<0，故正确；②∵抛物线与x 轴有两个交点， 240b ac ∴->， 24b ac ∴>， 故正确；③∵二次函数图象的对称轴是直线x=1， ∴抛物线上x=0时的点与当x=2时的点对称， 即当x=2时，y>0 ∴4a+2b+c>0， 故错误；④∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，12ba，∴-=∴2a+b=0， 故正确．综上所述，正确的结论有3个. 故选B.2．如图所示，直线a ∥b ，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（ ）A ．125°B ．135°C ．145°D ．155°【答案】A【解析】分析：如图求出∠5即可解决问题． 详解：∵a ∥b ， ∴∠1=∠4=35°， ∵∠2=90°， ∴∠4+∠5=90°， ∴∠5=55°，∴∠3=180°-∠5=125°， 故选：A ．点睛：本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( )A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩B ． 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=-⎩【答案】A【解析】根据“用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可以列出相应的方程组，本题得以解决． 【详解】由题意可得，4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩，故选A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．4．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )A．121x yx y-=⎧⎨-=⎩B．121x yx y-=-⎧⎨-=-⎩C．121x yx y-=-⎧⎨-=⎩D．121x yx y-=⎧⎨-=-⎩【答案】C【解析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．【详解】直线l1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：1 21 x yx y-=-⎧⎨-=⎩．故选C．【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．5．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A 3B3C3D3【答案】B【解析】试题解析：如图所示：设BC=x ，∵在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°， ∴AC=2BC=2x ，33， 根据题意得：AD=BC=x ，3， 作EM ⊥AD 于M ，则AM=12AD=12x ， 在Rt △AEM 中，cos ∠EAD=13263xAM AE x==； 故选B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM 是解决问题的关键. 6．将二次函数2y x 的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式是（ ）A ．2(1)2y x =++B ．2(1)2y x =+-C ．2(1)2y x =--D ．2(1)2y x =-+【答案】B【解析】抛物线平移不改变a 的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．【详解】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，-1），可设新抛物线的解析式为：y=（x-h ）1+k ， 代入得：y=（x+1）1-1．∴所得图象的解析式为：y=（x+1）1-1； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移规律；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 7．若直线y=kx+b 图象如图所示，则直线y=−bx+k 的图象大致是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据一次函数y=kx+b的图象可知k＞1，b＜1，再根据k，b的取值范围确定一次函数y=−bx+k 图象在坐标平面内的位置关系，即可判断．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象可知k＞1，b＜1，∴-b＞1，∴一次函数y=−bx+k的图象过一、二、三象限，与y轴的正半轴相交，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜1；函数值y随x的增大而增大⇔k＞1；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞1，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b ＜1，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=1．8．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为( )A．22B．4 C．32D．42【答案】B【解析】求出AD＝BD，根据∠FBD＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，推出∠FBD＝∠CAD，根据ASA证△FBD≌△CAD，推出CD＝DF即可．【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC ， ∴AD=BD ，在△ADC 和△BDF 中CAD DBF AD BDFDB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADC ≌△BDF ， ∴DF=CD=4， 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件． 9．等式33=11x x x x --++成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出x 的范围．【详解】由题意可知：3010x x -≥⎧⎨+>⎩, 解得：3x , 故选：B ． 【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.10．已知关于x 的二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a 的值为（ ） A ．﹣1或1 B ．1或﹣3C ．﹣1或3D ．3或﹣3【答案】A 【解析】分析：详解：∵当a≤x≤a ＋2时，函数有最大值1，∴1＝x 2－2x －2,解得：123,1x x ==- ， 即-1≤x≤3, ∴a=-1或a+2=-1, ∴a=-1或1，故选A.点睛：本题考查了求二次函数的最大(小)值的方法，注意：只有当自变量x 在整个取值范围内，函数值y 才在顶点处取最值，而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝45°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，则∠DAE ＝______．【答案】10°【解析】根据线段的垂直平分线得出AD=BD ，AE=CE ，推出∠B=∠BAD ，∠C=∠CAE ，求出∠BAD+∠CAE 的度数即可得到答案．【详解】∵点D 、E 分别是AB 、AC 边的垂直平分线与BC 的交点， ∴AD=BD ，AE=CE ， ∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAE ， ∵∠B=40°，∠C=45°， ∴∠B+∠C=85°， ∴∠BAD+∠CAE=85°，∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE ）=180°-85°-85°=10°， 故答案为10° 【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 12．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，1=2AD DB ，则ADE BCED 的面积四边形的面积＝_____．【答案】18【解析】先利用平行条件证明三角形的相似,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方,即可解题. 【详解】解：∵DE ∥BC ，AD 1=DB 2， ∴AD 1=AB 3, 由平行条件易证△ADE ~△ABC, ∴S △ADE :S △ABC =1:9, ∴ADE S ADE BCED S ABC S ADE 的面积四边形的面积=-=18.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,中等难度,熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键. 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （1，1），以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置，则AB 的长为_____．2π【解析】由点A(1，1)，可得OA 的长，点A 在第一象限的角平分线上，可得∠AOB=45°，，再根据弧长公式计算即可． 【详解】∵A(1，1)， ∴22112+=A 在第一象限的角平分线上，∵以点O 为旋转中心，将点A 逆时针旋转到点B 的位置， ∴∠AOB=45°， ∴AB 的长为452180π=24π，故答案为：24π． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键.本题中求出2∠AOB=45°也是解题的关键．14．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只．某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是_____． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率m/n 0.580.640.580.590.6050.601【答案】0.1【解析】根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.1左右，即为摸出白球的概率． 【详解】解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到白球的频率稳定在0.1左右， 则P 白球＝0.1．故答案为0.1． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．15．已知一个多边形的每一个内角都是144，则这个多边形是_________边形. 【答案】十【解析】先求出每一个外角的度数，再根据边数=360°÷外角的度数计算即可． 【详解】解：180°﹣144°=36°，360°÷36°=1，∴这个多边形的边数是1． 故答案为十． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．16x <<x 的值是_____． 【答案】3，1【解析】直接得出23，15，进而得出答案．【详解】解：∵23，15， ∴x <<x 的值是：3，1．故答案为：3，1． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题关键． 17．若点（a ，1）与（﹣2，b ）关于原点对称，则b a =_______． 【答案】12． 【解析】∵点（a ，1）与（﹣2，b ）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴b a =12-=12．故答案为12． 考点：关于原点对称的点的坐标．18．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____． 【答案】1【解析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案． 【详解】∵a ，b 互为相反数，∴a+b=1，∴a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）=1， 故答案为1．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分)与费用y(元)之间的函数关系如图所示．有月租的收费方式是________(填“①”或“②”)，月租费是________元；分别求出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式；请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．【答案】(1)①30；（2）y1＝0.1x＋30，y2＝0.2x；（3）当通话时间少于300分钟时，选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；当通话时间为300分钟时，选择通话方式①，②花费一样．【解析】试题分析：（1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，有多少；（2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可；（3）求出当两种收费方式费用相同的时候自变量的值，以此值为界说明消费方式即可．解：（1）①；30；（2）设y1=k1x+30，y2=k2x，由题意得：将（500，80），（500，100）分别代入即可：500k1+30=80，∴k1=0.1，500k2=100，∴k2=0.2故所求的解析式为y1=0.1x+30；y2=0.2x；（3）当通讯时间相同时y1=y2，得0.2x=0.1x+30，解得x=300；当x=300时，y=1．故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠．20．如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点处测得正前方小岛的俯角为，面向小岛方向继续飞行到达处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为．如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．【答案】【解析】过点C作CD⊥AB，由∠CBD＝45°知BD＝CD＝x，由∠ACD＝30°知AD＝tan CD CAD ∠＝3x，根据AD+BD＝AB列方程求解可得．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵tan CDCADAD∠=，∴AD＝tanCDCAD∠＝tan30x︒＝3＝3x，由AD+BD＝AB可得3x+x＝10，解得：x＝53﹣5，答：飞机飞行的高度为（53﹣5）km．21．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70）【答案】热气球离地面的高度约为1米．【解析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．【详解】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD 为x ，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt △ADB 中，∠ABD=45°，∴DB=x ，在Rt △ADC 中，∠ACD=35°，∴tan ∠ACD= AD CD ， ∴ 100x x = 710 ， 解得，x≈1．答：热气球离地面的高度约为1米．【点睛】考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．22．已知平行四边形．尺规作图：作的平分线交直线于点，交延长线于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；在（1）的条件下，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）作∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交DC 延长线于点F 即可；（2）先根据平行四边形的性质得出AB ∥DC ，AD ∥BC ，故∠1=∠2，∠3=∠1．再由AF 平分∠BAD 得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠1，据此可得出结论．试题解析：（1）如图所示，AF 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴∠1=∠2，∠3=∠1．∵AF平分∠BAD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠1，∴CE=CF．考点：作图—基本作图；平行四边形的性质.23．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN 于D、M两点．求证：MD=MC；若⊙O的半径为5，AC=45，求MC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）MC=15 4.【解析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】（1）连接OC，∵CN为⊙O的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC；（2）由题意可知AB=5×2=10，5∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴()221045-5∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB，∴OD AO BC AC =，即2545=， 可得：OD=2.5，设MC=MD=x ，在Rt △OCM 中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x 2+52，解得：x=154， 即MC=154． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键.24．已知P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，OC=CP=2，弦AB ⊥OC ，∠AOC 的度数为60°，连接PB ．求BC 的长；求证：PB 是⊙O 的切线．【答案】（1）BC=2；（2）见解析【解析】试题分析：（1）连接OB ，根据已知条件判定△OBC 的等边三角形，则BC=OC=2；（2）欲证明PB 是⊙O 的切线，只需证得OB ⊥PB 即可．（1）解：如图，连接OB ．∵AB ⊥OC ，∠AOC=60°，∴∠OAB=30°，∵OB=OA ，∴∠OBA=∠OAB=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC ，∴△OBC 的等边三角形，∴BC=OC ．又OC=2，∴BC=2；（2）证明：由（1）知，△OBC 的等边三角形，则∠COB=60°，BC=OC ．∵OC=CP ，∴BC=PC ，∴∠P=∠CBP ．又∵∠OCB=60°，∠OCB=2∠P ，∴∠P=30°，∴∠OBP=90°，即OB ⊥PB ．又∵OB 是半径，∴PB 是⊙O 的切线．考点：切线的判定．25．如图所示，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，用尺规在边BC 上求作一点P ，使PA PB =；(不写作法，保留作图痕迹）连接AP 当B 为多少度时，AP 平分CAB ∠．【答案】（1）详见解析；（2）30°．【解析】（1）根据线段垂直平分线的作法作出AB 的垂直平分线即可；（2）连接PA ，根据等腰三角形的性质可得PAB B ∠=∠，由角平分线的定义可得PAB PAC ∠=∠，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得∠B 的度数，可得答案．【详解】（1）如图所示：分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点E 、F ，作直线EF ，交BC 于点P ，∵EF 为AB 的垂直平分线，∴PA=PB ，∴点P 即为所求．（2）如图，连接AP ，∵PA PB =，∴PAB B ∠=∠，∵AP 是角平分线，∴PAB PAC ∠=∠，∴PAB PAC B ∠=∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴∠PAC+∠PAB+∠B=90°，∴3∠B=90°，解得：∠B=30°，∴当30B ∠=︒时，AP 平分CAB ∠．【点睛】本题考查尺规作图，考查了垂直平分线的性质、直角三角形两锐角互余的性质及等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．26．解不等式组：331213(1)8x x x x-⎧+>+⎪⎨⎪--≤-⎩．【答案】﹣2≤x ＜1．【解析】分别求出一元一次不等式的解，然后求交集即可解答. 【详解】331213(1)8x x x x -⎧+>+⎪⎨⎪--≤-⎩①②， 由①得：x ＜1，由②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是﹣2≤x ＜1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握是解题的关键.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=13CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C【解析】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=12AB=1．又CE=13 CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=2．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF=2ED=3．故选C．2．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是（）A．πB．32C．2πD．3π【答案】D【解析】根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再利用圆周角定理得到∠BOC=120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积即可．【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴图中阴影部分的面积= 21203360π⨯=3π． 故选D ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理及扇形的面积公式，求得∠BOC=120°是解决问题的关键．3．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得（ ）A ．11910813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（） B ．10891311y x x y x y+=+⎧⎨+=⎩ C ．91181013x y x y y x （）（）=⎧⎨+-+=⎩D ．91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（） 【答案】D【解析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得：91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（）， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 4．如图，能判定EB ∥AC 的条件是( )A ．∠C=∠ABEB ．∠A=∠EBDC ．∠A=∠ABED ．∠C=∠ABC【答案】C【解析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【详解】A 、∠C=∠ABE 不能判断出EB ∥AC ，故本选项错误；B 、∠A=∠EBD 不能判断出EB ∥AC ，故本选项错误；C 、∠A=∠ABE ，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB ∥AC ，故本选项正确；D 、∠C=∠ABC 只能判断出AB=AC ，不能判断出EB ∥AC ，故本选项错误．故选C ．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．5．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，2AB AC ==，直角顶点A 在直线y x =上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴、y 轴，若反比例函数k y x=的图象与ABC △有交点，则k 的取值范围是（ ）．A ．12k <<B ．13k ≤≤C ．14k ≤<D ．14k ≤≤【答案】D 【解析】设直线y=x 与BC 交于E 点，分别过A 、E 两点作x 轴的垂线，垂足为D 、F ，则A （1，1），而AB=AC=2，则B （3，1），△ABC 为等腰直角三角形，E 为BC 的中点，由中点坐标公式求E 点坐标，当双曲线与△ABC 有唯一交点时，这个交点分别为A 、E ，由此可求出k 的取值范围.解：∵2AC BC ==，90CAB ∠=︒．()1,1A ．又∵y x =过点A ，交BC 于点E ，∴2EF ED ==， ∴()2,2E ，∴14k ≤≤．故选D.6．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据轴对称图形的定义，逐一进行判断.【详解】A 、C 是中心对称图形，但不是轴对称图形；B 是轴对称图形；D 不是对称图形. 故选B. 【点睛】本题考查的是轴对称图形的定义.7．若0＜m ＜2，则关于x 的一元二次方程﹣（x+m ）（x+3m ）＝3mx+37根的情况是（ ） A ．无实数根 B ．有两个正根C ．有两个根，且都大于﹣3mD ．有两个根，其中一根大于﹣m 【答案】A【解析】先整理为一般形式，用含m 的式子表示出根的判别式△，再结合已知条件判断△的取值范围即可.【详解】方程整理为22x 7mx 3m 370+++=， △()()22249m 43m 3737m 4=-+=-， ∵0m 2<<， ∴2m 40-<， ∴△0<，∴方程没有实数根，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8．郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：则下列叙述正确的是（）A．这些运动员成绩的众数是5B．这些运动员成绩的中位数是2.30C．这些运动员的平均成绩是2.25D．这些运动员成绩的方差是0.0725【答案】B【解析】根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】由表格中数据可得：A、这些运动员成绩的众数是2.35，错误；B、这些运动员成绩的中位数是2.30，正确；C、这些运动员的平均成绩是2.30，错误；D、这些运动员成绩的方差不是0.0725，错误；故选B．【点睛】考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．9．如图，经过测量，C地在A地北偏东46°方向上，同时C地在B地北偏西63°方向上，则∠C的度数为（）A ．99°B ．109°C ．119°D ．129°【答案】B【解析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，根据平行线的性质求得∠ACF 与∠BCF 的度数，∠ACF 与∠BCF 的和即为∠C 的度数． 【详解】解：由题意作图如下∠DAC=46°，∠CBE=63°， 由平行线的性质可得∠ACF=∠DAC=46°，∠BCF=∠CBE=63°， ∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=46°+63°=109°， 故选B ． 【点睛】本题考查了方位角和平行线的性质，熟练掌握方位角的概念和平行线的性质是解题的关键． 10．如图，已知函数3y x =-与k y x =的图象在第二象限交于点()1,A m y ，点()21,B m y -在ky x=的图象上，且点B 在以O 点为圆心，OA 为半径的O 上，则k 的值为( )A ．34-B ．1-C ．32-D ．2-【答案】A【解析】由题意(),3A m m -，因为O 与反比例函数ky x=都是关于直线y x =-对称，推出A 与B 关于直线y x =-对称，推出()3,B m m -，可得31m m =-，求出m 即可解决问题； 【详解】函数3y x =-与ky x=的图象在第二象限交于点()1,A m y ， ∴点(),3A m m -O 与反比例函数ky x=都是关于直线y x =-对称， A ∴与B 关于直线y x =-对称，()3,B m m ∴-， 31m m ∴=-，12m ∴=-∴点13,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭133224k ∴=-⨯=-故选：A ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图像与性质，圆的对称性及轴对称的性质.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现A ，B 关于直线y x =-对称． 二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，四边形OABC 中，AB ∥OC ，边OA 在x 轴的正半轴上，OC 在y 轴的正半轴上，点B 在第一象限内，点D 为AB 的中点，CD 与OB 相交于点E ，若△BDE 、△OCE 的面积分别为1和9，反比例函数y=kx的图象经过点B ，则k=_______.【答案】16【解析】根据题意得S △BDE ：S △OCE =1:9，故BD ：OC=1:3，设D （a,b ）则A(a,0),B(a,2b)，得C(0,3b)，由S △OCE =9得ab=8，故可得解.【详解】解：设D （a,b ）则A(a,0),B(a,2b) ∵S △BDE ：S △OCE =1:9∴BD：OC=1:3 ∴C(0,3b)∴△COE高是OA的34，∴S△OCE=3ba×3412=9解得ab=8k=a×2b=2ab=2×8=16故答案为16.【点睛】此题利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．12．已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣4x图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为__________．【答案】y1＜y1【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y1的大小，从而可以解答本题．详解：∵反比例函数y=-4x，-4＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∵A（-4，y1），B（-1，y1）是反比例函数y=-4x图象上的两个点，-4＜-1，∴y1＜y1，故答案为：y1＜y1．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．13．从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____．【答案】4 5 .【解析】试题分析：在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个，所以取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为45. 【点睛】本题考查概率公式，掌握图形特点是解题关键，难度不大.14．若圆锥的母线长为４cm ，其侧面积212cm π，则圆锥底面半径为 cm ． 【答案】3【解析】∵圆锥的母线长是5cm ，侧面积是15πcm 2， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l=2305s r π==6π， ∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r=622l πππ==3cm ， 15．如图所示，点A 1、A 2、A 3在x 轴上，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3，分别过点A 1、A 2、A 3作y 轴的平行线，与反比例函数y=kx（x ＞0）的图象分别交于点B 1、B 2、B 3，分别过点B 1、B 2、B 3作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点C 1、C 2、C 3，连接OB 1、OB 2、OB 3，若图中三个阴影部分的面积之和为499，则k= ．【答案】1．【解析】先根据反比例函数比例系数k 的几何意义得到112233OB C OB C OB C 11S SS|k |k 22∆====,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到用含k 的代数式表示3个阴影部分的面积之和，然后根据三个阴影部分的面积之和为4918，列出方程，解方程即可求出k 的值． 【详解】解：根据题意可知，112233OB C OB C OB C 11S S S |k |k 22∆====11223112233,//////OA A A A A A B A B A B y ==轴，设图中阴影部分的面积从左向右依次为123,,S S S ， 则112s k =， 11223OA A A A A ==， 222333:1:4,:1:9OB C OB C S SS S∴==2311,818S k S k ∴==11149281818k k k ∴++= 解得：k=2． 故答案为1．考点：反比例函数综合题．16．因式分解：3x 2-6xy+3y 2=______． 【答案】3（x ﹣y ）1【解析】试题分析：原式提取3，再利用完全平方公式分解即可，得到3x 1﹣6xy+3y 1=3（x 1﹣1xy+y 1）=3（x ﹣y ）1．考点：提公因式法与公式法的综合运用 17．一元二次方程x 2﹣4=0的解是．_________ 【答案】x=±1【解析】移项得x 1=4， ∴x=±1． 故答案是：x=±1．18．在Rt △ABC 纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E ，F 落在AB 边上，每个正方形的边长为1，则Rt △ABC 的面积为_____．【答案】494【解析】如图，设AH=x ，GB=y ，利用平行线分线段成比例定理，构建方程组求出x ，y 即可解决问题． 【详解】解：如图，设AH ＝x ，GB ＝y ，∵EH ∥BC ，AH EHAC BC∴=， 135x x y∴=++① ∵FG ∥AC ，FG BGAC BC∴= 135y x y=++②， 由①②可得x ＝12，y ＝2， ∴AC ＝72，BC ＝7， ∴S △ABC ＝494， 故答案为494．【点睛】本题考查图形的相似，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题包括8个小题） 19．抛物线23yax bx a =+-经过A （-1，0）、C （0，-3）两点，与x 轴交于另一点B ．求此抛物线的解析式；已知点D (m,-m-1) 在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D’的坐标;在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使PCB CBD ∠=∠，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2y x 2x 3=--（2）（0，-1） （3）（1,0）（9,0）【解析】（1）将A （−1，0）、C （0，−3）两点坐标代入抛物线y ＝ax 2＋bx−3a 中，列方程组求a 、b 的值即可；（2）将点D （m ，−m−1）代入（1）中的抛物线解析式，求m 的值，再根据对称性求点D 关于直线BC 对称的点D'的坐标；（3）分两种情形①过点C 作CP ∥BD ，交x 轴于P ，则∠PCB ＝∠CBD ，②连接BD′，过点C 作CP′∥BD′，交x 轴于P′，分别求出直线CP 和直线CP′的解析式即可解决问题．【详解】解：（1）将A （−1，0）、C （0，−3）代入抛物线y ＝ax 2＋bx−3a 中，。
河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习题型四图形的折叠与剪拼练习2
例1（2016中考）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6 .将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
例1图
【答案】C.
【解析】
试题分析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。 选项C项不能判定两个三角形相似，故答案选C
考点：相似三角形的判定.
【答案】135
【解析】试题分析：根据题意可得：∠BDA=30°,∠DAC =60°,在Rt△ABD中，因为AB=45m，所以AD= m，所以在Rt△ACD中，CD= AD= × =135m．
考点：解直角三角形的应用．
14．若两个相似三角形的面积比为1∶4，则这两个相似三角形的周长比是__________．
故选B.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）
A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1
【答案】B
【解析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
…
…
…
A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在 轴两侧
C．有两个交点，且它们均在 轴同侧D．无交点
【答案】B
【解析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.
【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上
则该二次函数的图像与 轴有两个交点，且它们分别在 轴两侧
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
2017年中考数学专题复习规律探究问题
规律探究问题【专题点拨】规律探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探究题. 类型有“数字规律”“数式规律”“图形规律”等题型．【解题策略】针对此类专题我们在解题过程中要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论。
当然面对具体问题还需要具体分析，找到切入点进行解答。
【典例解析】类型一：数字规律探究例题1：（2016·辽宁丹东·3分）观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．【解析】规律型：数字的变化类．根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．【解答】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．故答案为：﹣．变式训练1：（2016广西南宁3分）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第层．类型二：代数式排列探究例题2：（2016·山东省滨州市·4分）观察下列式子：1×3+1=22；7×9+1=82； 25×27+1=262； 79×81+1=802； …可猜想第2016个式子为 ．【解析】观察等式两边的数的特点，用n 表示其规律，代入n=2016即可求解． 【解答】解：观察发现，第n 个等式可以表示为：（3n﹣2）×3n+1=（3n﹣1）2， 当n=2016时， （32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2， 故答案为：（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2．【点评】此题主要考查数的规律探索，观察发现等式中的每一个数与序数n 之间的关系是解题的关键．变式训练2：（2016·山东省东营市·4分）在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S ＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S ＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39②，②一①得：3S ―S ＝39－1，即2S ＝39－1， ∴S ＝39―12.得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m （m ≠0且m ≠1），能否求出1＋m ＋m 2＋m 3＋m 4＋…＋m 2016的值？如能求出，其正确答案是___________.类型三：图形规律探究例题3：（2016·湖北荆州·3分）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2017个白色纸片，则n 的值为（ ）A．671 B．672 C．673 D．674【解析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得．【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3张；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3张；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3张；…∴第n个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（张），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B．【点评】本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多3块，从而总结出第n个图形的白色纸片的块数是解题的关键．变式训练3：（2016·重庆市A卷·4分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．64 B．77 C．80 D．85类型四：坐标规律探究例题4：（2016·四川内江）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O ＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是( )A ．(12)2015B ．(12)2016C ．)2016 D ．)2015[答案] D[考点]三角形的相似，推理、猜想。
河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习三角形四边形有关的证明计算练习2
三角形四边形有关的证明计算一、证明题典例精讲例1. 已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．解：（1）证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB =12∠BAC．∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC=CD∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB．∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB．注：证全等也可得到A C=AB∴AB=CD．（2）∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∴∠MPC=∠CDA．∴∠MP F=∠CDM．∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．注：证全等也可得到CE=BE∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM．（6分）注：证全等也可得到CM=BM ∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三线合一）∴∠C ME=∠BME．注：证全等也可得到∠CME=∠BME∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠C M E，∴∠MCD=∠F（三角形内角和）．例2. 如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．FM PE DCBA（1）求证：OD=OE ； （2）求证：四边形AB ＥD 是等腰梯形； （3）若AB=3DE, △DCE 的面积为2, 求四边形ABED 的面积．1）证明：如图，∵△ABC 是等腰三角形，∴AC=BC ， ∴∠BAD ＝∠ABE ， 又∵AB=BA 、∠2＝∠1， ∴△ABD ≌△BAE （ASA ）， ∴BD=AE ，又∵∠１＝∠２，∴OA=OB ， ∴BD-OB=AE-OA ，即：OD=OE ．(2)证明：由（1）知：OD=OE ，∴∠OED ＝∠ODE ， ∴∠OED=180(21-∠DOE ）， 同理：∠1=180(21-∠AOB ）， 又∵∠DOE ＝∠AOB ，∴∠1＝∠OED ，∴DE ∥AB ，∵AD 、BE 是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD 与BE 不平行， ∴四边形ABED 是梯形， 又由（1）知∴△ABD ≌△BAE ，∴AD=BE ∴梯形ABED 是等腰梯形．（3）解：由（2）可知：DE ∥AB ，∴△DCE ∽△ACB ， ∴2)(ABDE ACB DCE =∆∆的面积的面积，即：91)3(22==∆DE DE ACB 的面积，∴△ACB 的面积=18，∴四边形ABED 的面积=△ACB 的面积-△DCE 的面积=18-2=16 ． 针对性训练1.已知：如图①，在ABC △中 ，AB AC =，90BAC ∠=°，D E 、分别是AB AC 、边的中点，将ABC △绕点A 顺时针旋转α角（0180α<<°°），得到AB C ''△（如图②）．（1）探究DB '与EC '的数量关系，并给予证明； （2）当DB AE '∥时，试求旋转角α的度数．2. 如图，ABC △中，AB =BC ，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，45BAD ∠=°，AD 与BE 交于点F ，连接CF . （1）求证：BF =2AE ；（2）若2CD =，求AD 的长.3. 如图，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形.（1）连结BE ，CD ，求证：BE =CD ；（2）如图，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到△AB D ''. ①当旋转角为 度时，边AD '边落在边AE 上；②在①的条件下，延长DD '交CE 于点P ，连接BD '，CD '.当线段AB ，AC 满足什么数量关系时，△BDD ′与△CPD ′全等？并给予证明.参考答案1. 1）DB EC ''=证明：D E ，分别是AB AC ，的中点，1122AD AB AE AC ∴==，． AB AC AD AE =∴=，．B AC ''△是BAC △顺时针旋转得到．EAC DAB AC AC AB AB α''''∴∠=∠====，． ADB AEC DB EC ''''∴∴=△≌△，．（2）DB AE '∥，90B DA DAE '∴∠=∠=°．1190cos 22AE C EA B DA AE AC AC α'''∴∠=∠==∴='°，，． ∴旋转角60α=°．2. （1）证明：∵45AD BC BAD ∠=⊥，°， ∴45ABD BAD ∠=∠=°， ∴AD =BD.∵AD BC BE AC ⊥，⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=°，90CBE ACD ∠+∠=°， ∴CAD CBE ∠=∠.又∵90CDA BDF ∠=∠=°， ∴ADC BDF △≌△， ∴AC =BF .∵AB =BC ，BE AC ⊥， ∴AE =EC ，即AC =2AE . ∴BF =2AE .（2）解：∵ADC BDF △≌△， ∴DF =CD =2.∴在Rt CDF △中，CF =22DF CD +=2. ∵BE AC AE EC =⊥，， ∴AF =FC =2. ∴AD =AF +DF =2+2.3.（1）证明：∵△ACE 、△ABD 都是等边三角形.∴AB ＝AD ，AE ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°， ∴∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE ＋∠DAE ∴∠BAE ＝∠DAC ，∴△BAE ≌△DAC ∴BE ＝CD .（2）①60，②当AC ＝2AB 时，△BDD '与△CPD '全等，证明如下： 由旋转可知AB '与AD 重合，∴AB BD DD AD ''===， ∴四边形ABDD '是菱形， ∴ABD '∠＝DBD '∠＝21∠ABD ＝21×60°＝30°， DP BC ∥. ∵△ACE 是等边三角形，∴ AC ＝AE ，∠ACE ＝60°， ∵AC ＝2AB ，∴AE ＝2AD ′， ∴∠PCD ′＝∠ACD ′＝21∠ACE 1602=⨯°＝30°， .DP BC ∥30ABD DBD BD D ACD PCD PD C ''''''∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=°.∴BD CD ''=， ∴BDD CPD ''△≌△. 二、猜想、探究题 典例精讲例1 如图（1），Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ． （1）求证：CE CF =．将图（1）中的ADE △沿AB 向右平移到A D E '''△的位置，使点E '落在BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE '与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（1）证明：∵AF 平分CAB ∠，∴.CAF EAD ∠=∠∵90ACB ∠=°，∴90.CAF CFA ∠+∠=°又∵CD AB ⊥于D ，∴90EAD AED ∠+∠=°. ∴.CFA AED ∠=∠∵AED CEF ∠=∠，∴.CFA CEF ∠=∠ ∴.CE CF =（2）证明：如图，过点E 作EG AC ⊥于G ． 又∵AF 平分CAB ∠，.ED AB ⊥∴.ED EG =由平移的性质可知：D E DE =′′，∴.D E GE =′′ ∵90ACB ∠=°，∴90.ACD DCB ∠+∠=° ∵CD AB ⊥于D ，∴90.B DCB ∠+∠=° ∴.ACD B ∠=∠在Rt CEG △与Rt BE D △′′中，GCE BCGE BD E GE D E ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩′′′′ ∴CEG BE D △≌△′′.∴CE BE =′. 由（1）可知CE CF =，∴.BE CF =′例2 如图，△ABC 的边BC 在直线m 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ，△DEF 的边FE 也在直线m 上，边DF 与边AC 重合，且DF=EF ．（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB 与AE 所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将△DEF 沿直线m 向左平移到图（2）的位置时，DE 交AC 于点G ，连结AE ，BG ．猜想△BCG 与△ACE 能否通过旋转重合？请证明你的猜想．解：（1）AB=AE , AB ⊥AE（2）将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合），理由如下：∵AC ⊥BC ，DF ⊥EF ，B 、F 、C 、E 共线，∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90° 又∵AC=BC ，DF=EF ，∴∠DFE =∠D =45°，在△CEG 中，∵∠ACE=90°，∴∠CGE=∠DEF=90°， ∴CG=CE ， 在△BCG 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CG ACE ACB AC BC ∴△BCG ≌△ACE （SAS ）∴将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合）例3如图，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=°，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP AQ =时，求证：BPE CQE △≌△；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：BPE CEQ △≌△；并求当BP a = ，92CQ a =时，P 、Q 两点间的距离 （用含a 的代数式表示）．证明：（1）点E 是等腰直角三角形斜边的中点，BE CE B C AB AC ∴=∠=∠=，，，（1分）AP AQ =， BP CQ ∴=， （2分） BPE CQE ∴△≌△；（3分）（2）BEF C CQE BEF DEF BEP ∠=∠+∠∠=∠+∠，，C CQE DEF BEP ∴∠+∠=∠+∠， 45C DEF ∠=∠=°，BEF CQE ∠=∠． （4分）B C ∠=∠，BPE CEQ ∴△∽△；（5分）BP BECE CQ ∴=， （6分）92BP a CQ a BE CE ===，，，BE ∴=，即3BC = （7分） 3sin 45322AB AC BC a PA a QA a ∴===∴==°，，， （8分）∴在Rt PAQ △中52PQ a ===．针对性训练1.（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连结DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连结AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与（1）相同．猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连结AF、BF′．探究AF、BF 与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其它作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．2. 在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB 或其延长线交于点F ．猜想：如图①，当点F 在边AB 上时，线段AF 与DE 的大小关系为__________；探究：如图②，当点F 在边AB 的延长线上时，EF 与边BC 交于点G ．判断线段AF 与DE 的大小关系． 应用：如图②，若AB ＝2，AD ＝5，利用探究得到的结论，求线段BG 的长．F C DE BA GEFCBD A图① 图②3. 已知四边形ABCD 是正方形，等腰直角△AEF 的直角顶点E 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），FM ⊥AD ，交射线AD 于点M.(1)当点E 在边BC 上，点M 在边AD 的延长线上时,如图①，求证：AB+BE=AM ； (提示：延长MF ，交边BC 的延长线于点H.)(2)当点E 在边CB 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图②；当点E 在边BC 的延长 线上，点M 在边AD 上时，如图③.请分别写出线段AB ，BE ，AM 之间的数量关系, 不需要证明；(3)在(1)，(2)的条件下，若BE=3，∠AFM =15°，则AM = .参考答案1. 解（1）发现：AF BD =．（1分）证明：在等边ABC △中，60AC BC ACB =∠=︒，， 在等边DCF △中，60DC FC DCF =∠=︒，，∴ACB ACD DCF ACD ∠-∠=∠-∠，即BCD ACF ∠=∠，(SAS)BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=.（2分） (2)猜测：AF=BD ．（3分） (3)探究：Ⅰ）AF BF AB '+=．（5分）证明：同理可证BCF ACD ACF BCD '△≌△，△≌△． BF AD AF BD '∴==，，AF BF AD BD AB '∴+=+=. Ⅱ）AF BF AB '-=．（6分）证明：同理可证BCF ACD ACF BCD '△≌△，△≌△，,BF AD AF BD '∴==． 又AD AB BD +=，AF BF AB '∴=+，AF BF AB '∴-=.2.AF ＝DE ；AF ＝DE ；23BG =． 【解析】解：（1）猜想：AF ＝DE ； （2）探究：AF ＝DE ，理由如下： ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∴∠AFE＋∠AEF＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，∵AE＝AB，∴AE＝CD，∴△AFE≌△DEC，∴AF＝DE．（3）由（2）得△AFE≌△DEC，∴设DE＝x，∵AD＝5，∴AE＝5－x＝2，∵AB＝2，AB＝AE，∴AE＝5－x＝2，解得x＝3，∴AF＝DE＝3，∴FB＝1，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴FB BG FA AE=，即132BG =，∴23 BG=．3.证明略（2）如图②:AM=AB-BE,如图③:AM=BE-AB.(3)有两种情况，如图②:AM=3-3如图③:AM=3-1【解析】解：（1）证明：∵∠AEB+∠HEF =90°，∠AEB+∠BAE =90°∴∠BAE =∠HEF。
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题型七规律探究
例1（2016河北中考）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边.若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°-7°=83°.
第19题图
当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=_____°.
若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=_______°.
【答案】76°，6°.
【解析】
试题分析：先求∠2=83°，∠AA1A2=180°-83°×2=14°，，进而求∠A=76°；根据题意可得原路返回，那么最后的线垂直于BO，中间的角，从里往外，是7°的2倍，4倍，8倍......，2∠1=180°-14°×n ，在利用外角性质，∠A=∠1-7°=83°-7°×n，当n=11时，∠A=6°。
考点：三角形外角的性质；规律探究题.
例2．（3分）（河北）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．
考点：等腰三角形的性质．
分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B 的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
解答：解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
故答案为：9．
点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
例3（河北）如图，点O，A在数轴上表示的数分别是0，0.1．
将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；
再将线段OM1，分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；
继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2．…，P99．
则点P37所表示的数用科学记数法表示为 3.7×10﹣6．
考点：规律型：图形的变化类；科学记数法—表示较小的数．
分析：由题意可得M1表示的数为0.1×=10﹣3，N1表示的数为0×10﹣3=10﹣5，P1表示的数为10﹣5×=10﹣7，进一步表示出点P37即可．
解答：解：M1表示的数为0.1×=10﹣3，
N1表示的数为0×10﹣3=10﹣5，
P1表示的数为10﹣5×=10﹣7，
P37=37×10﹣7=3.7×10﹣6．
故答案为：3.7×10﹣6．
点评：此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字之间的运算方法，找出规律，解决问题．类型1 数式规律
针对训练：
1．(2016凉山)观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2 016应标在( )
…
A．第504个正方形的左下角 B．第504个正方形的右下角
C ．第505个正方形的左上角
D ．第505个正方形的右下角
2．(2016枣庄)一列数a 1，a 2，a 3，… 满足条件：a 1＝12，a n ＝1
1－a n －1(n≥2，且n 为整数)，则a 2 016
＝_________．
3．(汕尾)若1（2n －1）（2n ＋1）＝a 2n －1 ＋ b
2n ＋1，对任意自然数n 都成立，则a ＝_，b ＝__；计
算：m ＝11×3＋ 13×5＋ 15×7＋ … ＋ 1
19×21
＝________．
4．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了(a ＋b)n
(n ＝1，2，3，4…)的展开式的系数规律(按a 的次数由大到小的顺序)： 请依据上述规律，写出(x －2x
)2 016展开式中含x 2 014
项的系数是_____．
1 1 (a ＋b)2
＝a ＋b
1 2 1 (a ＋b)2
＝a 2
＋2ab ＋b 2
1 3 3 1 (a ＋b)3
＝a 3
＋3a 2
b ＋3ab 2
＋b 3
1 4 6 4 1 (a ＋b)4
＝a 4
＋4a 3
b ＋6a 2b 2
＋4ab 3
＋b 4
5．(2016滨州)观察下列式子： 1×3＋1＝22
； 7×9＋1＝82； 25×27＋1＝262； 79×81＋1＝802； …
可猜想第2 016个式子为_______________________________．
类型2 图形的规律 针对训练：
6．(2016荆州)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n 个图案中有2 017个白色纸片，则n 的值为( )
A ．671
B ．672
C ．673
D ．674
7．(2016宁波)下列图案是由长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案
②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需___根火柴棒．
8．(2016内江)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有____________个小圆．(用含n 的代数式表示)
第1个图 第二个图 第三个图 第四个图
9.(2016内江)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2
016B 2 016C 2 016D 2 016
的边长是( )
A ．(12)2 015
B ．(12)2 016
C ．(33)2 016
D ．(33
)2 015
10．(徐州)如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，第n 个正方形的边长______．
类型3 点的坐标规律
11．(2016梅州)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，…，依次进行下去．若点A(3
2
，0)，B(0，2)，则点B 2 016的坐标为________．
12．(2016菏泽)如图，一段抛物线：y ＝－x(x －2)(0≤x≤2)记为C 1，它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；…，如此进行下去，直至得到C 6，若点P(11，m)在第6段抛物线C 6上，则m=_____．
13．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π
2个单位长度，则第2 017秒时，
点P 的坐标是___________．
答案：1.D 2. -1 3.
21 -21 21
10 4.-2016 5.(20163-2)20163+1=(20163-1)2
6. B
7. 50
8.(2n +n +4)
9.D 10.1)2( n 11.(6048,2) 12. -1 13.(2017, )。