如何用导数探讨函数图像的交点问题第四计
图推中的难点——“交点数”
公务员考试图推中的难点——“交点数”图形推理是历年公职考试的必考题型，前期乐恩教育分享了图形推理的做题思路：图形相同想变幻；图形相似想叠加；图形相异（求同→定性→数数量）。
最让广大考生头疼的就是图形相异中的数数量，而数数量中的交点数更是让很多考生望而生畏。
今天就给大家分享图形推理中的考点——交点数。
根据历年真题的整理和分析得出交点数的考查频率较低，因此数数量时首先考虑的是面，再是线最后才是点（按考频从高到低的思考顺序）。
对于的点考查，广大考生常见的是交点数，其实根据历年真题的分析，交点数也可分为：1、广泛的定义的交点数（线与线的交点）；2、切点（通过切线和曲线相交的点）；3、直曲线交点；4、十字交叉点。
而在这四类中近年常考的是直曲线交点。
【例题】【解析】D。
此题是一个分组分类的题，同样可按照我们的做题思路进行思考。
首先根据6个图形的特征排除相同和相似，6个图形明显相异。
根据图形相异的做题思路思考：6个图形没有相同的要素因此排除求同；再思考定性，第1、3、4、5、6图不可能是对称性图形因此排除对称性，除了6图是多个部分的图形前五个图都是整体性图形排除整体性，同样除了6图没有封闭区域前五个图都有封闭区域因此排除封闭与开放性，6个图形中只有1图是纯曲线图形，而其他都不是因此排除直曲性；最后考虑数量，根据前面封闭性的思考，6图没有封闭区域，因此排除封闭区域的数量，根据前面整体性的思考，只有6图是两个部分，其他都是一个部分因此排除，再是思考线，结合前期直曲性的思考，1图只有一条曲线且一笔画成，而6图是4条线4笔画成，因此排除线的数量，最后考虑点的数量，1、2、6图都是两个交点，而3、4、5图都是四个交点的图形。
因此选择D项。
当然此题考生如果通过观察图形发现图形出现多次线条与线条相交叉的情况，可优先考虑数交点，同样也可选出准确答案。
通过以上的分析，相信广大考生对于“交点”数有一个清晰的认识，希望广大考生在平常练习图形时，将我们图推的做题思路进行巩固，最终在考场上轻松拿下图推，实现公职梦。
中考函数的交点问题汇总
中考函数的交点问题汇总
函数的交点是指两个或多个函数在坐标系内的交点。
具体来说，是指当两个或多个函数的图像在坐标系内相交时，它们的交点所对应的横坐标和纵坐标的值。
2. 如何求解函数的交点？
求解函数的交点需要通过解方程来求出交点的坐标。
具体方法有以下几种：
①将两个函数相减，得到一个方程，然后解方程求出交点坐标。
②将两个函数分别表示为y=f(x)和y=g(x)，然后将两个方程联立，解方程组求出交点坐标。
③可以利用图像来估算交点的大致坐标，然后通过代入方程的
方法来求出精确的坐标。
3. 函数的交点有哪些应用？
函数的交点在实际生活中有很多应用，主要涉及到以下几个方面：
①在数学中，函数的交点是研究函数性质的重要基础之一，如
求函数的极值、拐点等。
②在物理学中，函数的交点可以用来求解物体的速度、加速度
等物理量。
③在经济学中，函数的交点可以用来研究市场供需关系、成本
收益等经济问题。
④在工程学中，函数的交点可以用来研究材料力学、机械运动
等问题。
总之，函数的交点具有广泛的应用价值，是数学研究和实际应用中的重要问题之一。
高考数学解题技巧(每周一计整理版)
高考数学解题技巧（每周一计.整理版） 每周一计第一计——恒成立问题的处理策略恒成立问题一直以来都有是数学中的一个重点、难点，这类问题也没有一个固定的思想方法去处理，各类考试以及高考中都屡见不鲜。
如何更好地简单，准确，快速解决这类问题并更好地认识把握，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一 转化为二次函数，利用分类讨论思想直接处理例1． 已知函数f(x)=x 2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a 的值。
解：由函数f(x)=x 2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a 与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论 1．当a ≥2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时min )(x f = f(2)=4-4a+42≥ 即a 23≤结合a ≥2，所以a 的解集为φ 2．当a 1-≤ 时 f(x)在[-1，2]上是增函数，min )(x f = f(-1)=1+2a+42≥结合a 1-≤ 即123-≤≤-a 3．当-1<a<2时 m i n )(x f = f(a)=a 2-2a 2+4 2≥ 即≤-2a 2≤所以21≤<-a综上1，2，3满足条件的a 的范围为：223≤≤-a 二 确定主元，构造函数，利用单调性简单处理例2．对于满足0≤a ≤4的所有实数a 求使不等式x 2+ax>4x+a-3都成立的x 的取值范围。
解：不等式变形为x 2+(x-1)a-4x+3>0设f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，则其是关于a 的一个一次函数：是单调函数结合题意有⎩⎨⎧>>0)0(0)4(f f 即 得1-<x 或3>x 三 利用不等式性质快速处理例3．若关于x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 恒成立，试求a 的范围解：由题意知只须min )32(++-≤x x a由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a四 构造新函数，利用导数求最值迂回处理。
高中数学教学论文 探究函数图像交点个数问题 新人教版
探究函数x y a =与log a y x =图象的交点个数问题函数xy a =与log a y x = (0,1)a a >≠且互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于a 的取值．在此，笔者以函数与方程的思想为指导，运用导数的知识来探究它们图象的交点个数问题．探究 由log xa y a y x ⎧=⎨=⎩， 得（1）当1a >时①+②，得yxy a a x +=+. 令(),0.xf x a x x =+> 则()()f y f x =,即()()xf a f x =.∵1a >, ∴()f x 为增函数, ∴x a x =. 两边取自然对数,得ln ln xa x =,即ln ln 0x a x -=. 令()ln ln ,0g x x a x x =->. 求导,得1()ln g x a x '=-． 令()0g x '=,得1ln x a=． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：x1(0,)ln a1ln a1(,)ln a+∞ ()g x '— 0 + ()g x↘极小值↗由上表可知,当1ln x a =时,()=g x 极小值()11ln 1ln ln ln a a-=+． ∵()g x 只有一个极值,∴ ()min ()1ln ln g x a =+.(ⅰ) 当()1ln ln 0a +>，即1ea e >时，方程()0g x =无解，此时函数xy a =与log a y x =的图象没有交点；(ⅱ) 当()1ln ln 0a +=，即1ea e =时，方程()0g x =有一解，此时函数xy a =与log a y x =的图象有一个交点；(ⅲ) 当()1ln ln 0a +<，即11ea e <<时，由于()g x 在()0,+∞内连续，且当0x +→时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞，∴方程()0g x =有两解，此时函数x y a =与log a y x=的图象有两个交点．（2）当01a <<时 由①、②，消去y ，得xa ax = ③由于0xa >，且01a <<，故0<xa a 1<,即01x <<．(0,0)x y >>其中 ①②xyy aa x⎧=⎪⎨=⎪⎩对③式两边取自然对数，得ln ln x a a x =，即ln ln xxa a=． 两边取自然对数，得ln ln ln ln xx a a=． 令()ln ()lnln ,0,1ln x h x x a x a =-∈． 求导，得1()ln ln h x a x x'=-． 由()0h x '=，得1ln ln x x a =． 令1()ln ,(0,1)ln x x x x a ϕ=-∈．则()ln 1x x ϕ'=+．由()0x ϕ'=，得1x e =． 当1(0,)x e ∈时，()0x ϕ'<；当1(,1)x e∈时，()0x ϕ'>．∴当1x e =时，min 111()()ln x e e a ϕϕ==--．(ⅰ) 当110ln e a --≥，即1e a e ≥时，()0x ϕ≥恒成立．∴1ln ln x x a ≥，∵01a <<，01x <<，∴1ln 0ln a x x -≤，即()0h x '≤，当且仅当1e a e =，且1x e=时取“＝”号． ∴()h x 在(0,1)内是减函数． 又∵当0x +→时，()h x →+∞；当1x -→时，()h x →-∞，且()h x 在(0,1)内连续，∴方程()0h x =恰有一解，此时函数xy a =与log a y x =的图象有一个交点．(ⅱ) 当110ln e a --<，即10e a e <<时，∵011lim ()lim ()0ln x x x x aϕϕ+-→→==->，且()x ϕ在(0,1)内连续，∴存在11(0,),(,1)m n e e∈∈，使得()()0m n ϕϕ==，∴()()0h m h n ''==.当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：(0,)m(,)m n(,1)n()h x '－ + － ()h x↘↗↘由上表可知，()h x 在(0,)m 内是减函数，在(,)m n 内是增函数，在(,1)n 内是减函数.下面证明,1()0eh a <,1()0h e>.111ln ()ln ln ln eee a h a a a a =-11ln e a a =--,10e a e <<. 令()F a =11ln e a a =--,10e a e <≤.则当10e a e<<时, ()F a '=11111ln e e a a a e a ---⋅111(ln 1)e a a e -=-+>1111(ln 1)e e a e e --+0=.∴()F a 在1(0,)e e 内是增函数, 又∵()F a 在1(0,]e e 上连续, ∴当10e a e<<时, x1()()0e F a F e<=,即1()0e h a <.1ln11()ln ln ln e h a e a e=-1ln(ln )ln a a e =---,10e a e <<. 令()G a 1ln(ln )ln a a e =---,10e a e <≤.易证它为减函数, ∴当10e a e <<时,1()()0e G a G e >=,即1()0h e>.∵10e a e<<, ∴1101e a e <<<, 又∵当0x +→时，()h x →+∞； 当1x -→时，()h x →-∞，且()h x 在(0,1)内连续，结合()h x 的单调性, ∴()h x 在区间1(0,)e a ,11(,)ea e,1(,1)e内各有一个解. ∴此时函数x y a =与log a y x =的图象有三个交点． 综上所述, 函数xy a =与log a y x =(0,1)a a >≠且图象的交点有如下情况： 当1ea e >时，没有交点； 当1e a e =时，有一个交点； 当11e a e <<时，有两个交点；当11e a e≤<时,有一个交点； 当10e a e<<时，有三个交点．。
导数探讨函数图像的交点问题
Hale Waihona Puke 图4图5从上题的解答我们可以看出， 用导数来探讨函数 y=f(x) 的图象与函数 y=g(x) 的图象的交
点问题，有以下几个步骤：①构造函数
(x)= f(x) －g(x) ②求导 1 (x) ③研究函数 (x) 的
单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数 轴的交点情况，列不等式⑤解不等式得解
m 的取值
图1
图2
图3
引申 1：如果（Ⅱ）中“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎 么解答呢？
前面相同，只需把后面改为
( x)极小值 m+6In3-15>0 或 (x)极大值 m-7<0，
即 m>15-6In3 或 m<7时，函数 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象有且只有一个不同的交点 （分析草 图见图 2 和图 3）。
如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的
高考题。 例 1（福建理科第 21 题）已知函数 f(x)= － x 2 +8x,g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求 f(x) 在区间 [t,t+1] 上的最大值 h(t);
（Ⅱ）是否存在实数 m，使得 y=f(x) 的图象与 y=g(x) 的图象有且只有三个不同的交点？
极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际
上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。
试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知
识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。考查了学生综合与灵活 地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。
高中数学 考前归纳总结 导数中的图像关系问题
导数中的图像关系问题一、常见基本题型：（1）已知图像交点个数，求参数的取值范围，例1. 已知3x =是函数2()16ln(1)10f x x x x =++-的一个极值点．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若直线y b =与函数()y f x =的图像有三个交点，求b 的取值范围．解：(1) f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)， 2243()1x x f x x-+'=+. 当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，()0f x '>；当x ∈(1,3)时，()0f x '<.∴()f x 的单调增区间是(－1,1)，(3，＋8)；()f x 的单调减区间是(1,3)，（2）由(1)知()f x 在(－1,1)单调增加，在(1,3)单调减小，在(3，＋∞)上单调增加，且当x ＝1，或x ＝3时，f ′(x )＝0，∴f (x )的极大值为f (1)＝16ln2－9，极小值为f (3)＝32ln2－21.∵f (16)＞162－10×16＞16ln2－9＝f (1)， f (e －2－1)＜－32＋11＝－21＜f (3)，∴在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图像各有一个交点，即f (3)＜b ＜f (1)．∴b 的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9).例2.已知函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=（1）当1=a 时，求函数)(x f 的最值；（2）说明是否存在实数)1(≥a a 使)(x f y =的图象与2ln 85+=y 无公共点. 解：（1）函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=的定义域是（1，+∞）当a=1时，1)23(21112)('--=---=x x x x x x f ， 所以)(x f 在)23,1(为减函数，在),23(+∞为增函数，所以函数)(x f 的最小值为2ln 43)23(+=f .（2）1≥a 时，由（1）知)(x f 在（1，+∞）的最小值为2ln 14)22(2a a a a f -+-=+， 令2ln 14)22()(2a a a a f a g -+-=+=在［1，+∞）上单调递减， 所以2ln 43)1()(max +==g a g ，则,081)2ln 85()(max >=+-a g 因此存在实数)1(≥a a 使)(x f 的最小值大于2ln 85+，故存在实数)1(≥a a 使y=)(x f 的图象与y=2ln 85+无公共点.(2)已知图像的位置关系求参数的取值范围例 3.已知二次函数2()(0)h x ax bx c c =++>，其导函数()y h x '=的图象如图所示，()ln ()f x x h x =-．若函数2ln y x x =-, ([1,4])x ∈的图象总在函数()y f x =的图象的上方，求c 的取值范围．解：由题意可知，2x －ln x >x 2－3x －c ＋ln x 在x ∈[1,4]上恒成立，即当x ∈[1,4]时，c >x 2－5x ＋2ln x 恒成立设g (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，x ∈[1,4]，则c >g (x )max .易知()g x '=＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x =(21)(2)x x x--. 令()0g x '=得，x ＝12或x ＝2. 当x ∈(1,2)时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x ∈(2,4)时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．而g (1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g (4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2，显然g (1)<g (4)，故函数g (x )在[1,4]上的最大值为g (4)＝－4＋4ln 2，故c >－4＋4ln 2. ∴c 的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)．二、针对性练习1．已知函数21()ln 12f x x x =+-.，求证：在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数 32()3g x x =的图象的下方. 证明：令2312()()()ln 123F x f x g x x x x =-=+-- 则2322112(1)(1)'()2x x x x x F x x x x x x+--++=+-== ∵当1x >时'()0F x <，∴函数()F x 在区间(1,)+∞上为减函数∴12()(1)1023F x F <=--< 即在(1,)+∞上，()()f x g x <∴在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方。
导数与函数图象的交点
导数与函数图象的交点（方程根）个数
把方程转化为函数，利用导数研究函数图象与x轴的交点情况，就可以得到方程解的情况，例1 （2015年全国卷工理第21题）
分析与解
解题反思
第(2)题的难点在于分类，第一次分类是要确定h(x)的具体解析式，第二次分类是要判断f(x)的导数的符号，比较而言，利用数形结合更简单一些．
发散训练
~例2 （2015年江苏第19题）w
8分析与解
解题反思
第(2)题解1是把零点问题转化为不等式问题，又转化为方程解的问题，但不是直接解方程，由于通过条件知道方程的解，就转化为验证是否是方程的解，有效回避解高次方程．解2是通过“两边夹”的方法得到c的值，再验证其是唯一满足条件的值，解3利用3/2为重根构造关于a的4次不等式，通过待定系数法求出c，相对简单．
发散训练
例3 （2016年江苏第19题）
分析与解
发散训练。
2-6利用导数研究函数图象交点及零点问题(2)
【知识点6】利用导数研究函数图象交点及零点个数问题1. 思路提示：探讨()0f x =的根的个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，从限制函数()f x 的极值找到问题的充要条件；如果是研究两个函数图像交点的个数，则可以用两个函数作差构造新函数，在转化为方程()0f x =的根的问题求解.例1：设a 为实数，函数3()+3f x x x a =-+.（I ） 求()f x 的极值；（II ） 若方程()0f x =有3个实数根，求a 的取值范围；（III ） 若()0f x =恰好有两个实数根，求a 的值.例2：已知32()+b (,,f x ax x x x R a b =-∈是常数，(0)a ≠，且当1x =和2x =时，函数()f x 取得极值.（I ） 求()f x 的解析式;（II ） 若曲线()y f x =与()3(20)g x x m x =---≤≤有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.例3：已知函数3()f x x x =-.（I ） 求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（II ） 设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的3条切线，证明：()a b f a -<<.例4：已知,a b 为常数，且0a ≠，函数()ln ,()2f x ax b ax x f e =-++= （ 2.71828e =是自然对数的底数）.（I ） 求实数b 的值；（II ）求函数()f x 的单调区间；（III ） 当1a =时，是否同时存在实数m M 和()m M <，使得对每一个．．．[],t m M ∈，直线y t =与曲线1()(,)y f x x e e⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由.例5：已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+（I ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；例6：已知函数(),3x x f =().x x x g +=()I 求函数()()()x g x f x h -=的零点个数，并说明理由；()II 设数列{}()*N n a n ∈满足()()(),,011n n a g a f a a a =>=+证明：存在常数,M 使得对于任意的,*Nn ∈都有.M a n ≤例7：已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-(I)讨论()f x 的单调性；（II ）设0a >，证明：当10x a <<时，11()()f x f x a a+>-； （III ）若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0'()0f x <例8：设函数322()2,()32f x x ax bx a g x x x =+++=-+，其中x R ∈，,a b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点(2,0)处有相同的切线l 。
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每周一计第四计 — 用导数探讨函数图象的交点问题
运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。
如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？
例1 已知函数f(x)=－x 2+8x,g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）略（II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，
∵x>0∴函数 (x)=g(x)－f(x) =2x －8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
∵)('x ϕ=2x －8+ 随x 变化如下表：
∴极大值(1)=1-8+m=m-7，x 极小值= (3)=
∵当x →0+时， (x )→ ，当x 时， (x ) ∴要使 (x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须
⎩⎨⎧<-=>-=,
0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7<m<15－6ln 3. 所以存在实数m ，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为（7，15—6ln 3）. （分析草图见下图1）
引申1：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？
前面相同，只需把后面改为 m+6In3-15>0或 m-7<0，
即m>15-6In3 或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。
引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？ 前面相同，只需把后面改为=极小值)(x ϕm+6In3-15=0或=极大值)(x ϕm-7=0，
y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图
5）
),0()3)(1(268262>--=+-=x x
x x x x x x =极小值)(x ϕ=极大值)(x ϕϕϕ∞-+∞→+∞→
ϕ)(x ϕϕϕ
图4 图5
从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以
下几个步骤：①构造函数 (x)= f(x)－g(x)②求导 ③研究函数ϕ(x )的单调性和极值（必要时要研究函
数图象端点的极限情况）④画出函数ϕ(x )的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式⑤解不等式。
解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。
例2 已知函数f(x)=x 3+3ax-1，g(x)=f ’(x)-ax-5其中)('
x f 是的f(x)的导函数。
（Ⅰ）对满足 的一切a 的值，都有g(x)<0求实数x 的取值范围；
（Ⅱ）设a=-m 2，当实数m 在什么范围内变化时，函数y ＝f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点。
解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）f(x)=x 3+3ax-1，
①当0m =时，f(x)=x 3-1 的图象与直线y=3只有一个公共点
②当0m ≠时，令h(x)= f(x)-3= x 3-3m 2x-4 ，h ’(x) =3x 2+3a =3x 2-3m 2
∴h(x)极小值=h(|m|)=-2m |m|-4<-4
又∵h(x) 在 上单调递增,当x 时，h (x ) ∴当x>|m|时函数y =h(x)的图象与x 轴只有一个公共点。
当x<-|m|时，恒有h(x)≤
由题意得
综上，m 的取值范围是 （分析草图见图6）
当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基本方法没有变化。
例3 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12。
（I ）求f(x)的解析式； （II ）是否存在实数m ，使得方程37()0f x x
+=在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）f(x)=2x 2-10x (过程略)
（II ）方程37()0f x x +
=等价于方程2x 3-10x 2+37=0
设h(x)=2x 3-10x 2+37 则h ’(x)=6x 2-20x=2x(3x-10)
当时，)0,(-∞∈x h ’(x)>0, h(x)是增函数；
当10(0,)3x ∈时，h ’(x)<0, h(x)是减函数； ϕ)('x ϕ11a -≤≤()'2233f x x m =-+∞→+∞
→(),m +∞(
当10(
,)3
x ∈+∞时，h ’(x)>0, h(x)是增函数。
（见图7） 图7 101(3)10,()0,(4)50,327
h h h =>=-<=> h(-2)=-19，h(-1)=25 ∴方程h(x)=0在区间(-2,-1),1010(3,),(,4)33
内分别有惟一实数根，而在区间(0,3)和(4,)+∞内没有实数根， 所以存在惟一的自然数m=3，使得方程37()0f x x +=在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根。