利用导数研究函数的图像及零点问题(基础)6

利用导数研究函数的图像及零点问题

【复习指导】

本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用．

基础梳理

1．确定函数的图像

①．特征点：零点，极值点，顶点，与y轴的交点；

②．特征线：渐近线，对称轴．

2．函数的零点

⑵．求函数的零点的知识提示：

①．判别式；

②．介值定理；

③．单调性．

两个注意

⑴．描绘函数的图像首先确定函数的定义域．

⑵．注意利用函数的图像确定函数的零点．

三个防范

⑴．．

⑵．．

⑶．

常见函数的图像

⑴．函数(0,0)x y ae bx c a b =++><与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++><的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像．

⑵．函数(0,0)x y ae bx c a b =++<>与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++<>的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像．

⑶．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++><与函数2ln (0,0)y ax bx c d x a d =+++><的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的图像．

⑷．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++<>与函数2ln (0,0)y ax bc c d x a d =+++<>的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++<的图像．

双基自测

⑴．画函数1ln y x x =--的图像． ⑵．画函数2x y e x =-的图像．

⑶．画函数x

e y x

=的图像．

⑷．画函数ln x

y x

=

的图像． ⑸．关于x 的方程ln 1x e x =的实根个数是 ．1

初等数学的方法能够解决的函数问题：定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线

初等数学的方法未能彻底解决的函数问题：值域、单调性、零点、极值点

考点一 函数的图像问题

题型⑴．画函数的图像 【例1】画函数1x y e x =--的图像． 【练习1】画函数2x y x e =-的图像．

【例2】[10山东文理]函数22x y x =-的图像大致是___________．

【解】因当2x =或4时，220x x -=，故排除B 、C ；当2x =-时，21

2404

x x -=-<，

故排除D ，故选A ．

【练习2】⑴．画函数212

x y e x x =--的图像；⑵．画函数2ln y x x =-的图像．

【例3】⑴．画函数x y xe =的图像；⑵．画函数ln x

y x

=

的图像． 【练习3】⑴．画函数ln y x x =的图像；⑵．画函数x x

y e

=的图像．

题型⑵．识图 【例4】[12山东]函数cos 622

x x

x

y -=

-的图像大致为___________．

【解】函数为奇函数，故图象关于原点对称，排除A ，令0=y 得06cos =x ，故ππ

k x +=

2

6，ππ

6

12k

x +=

，函数零点有无穷多个，排除C ，且y 轴右侧第一个零点为)0,12

(

π

，又x x y --=22为增函数，当12

0π

<

-=-x x y ，

06cos >x ，故函数02

26cos >-=

-x

x x

y ，排除B ，选D ． 【练习4】[11山东理]函数2sin 2

x

y x =-的图象大致是

【解】函数2sin 2x y x =-为奇函数，且12cos 2y x '=-，令0y '=得1cos 4

x =，由于函数cos y x =为周期函数，而当2x π>时，2sin 02

x y x =->，当2x π<-时，

2sin 02

x

y x =

-<，则答案应选C ． 题型⑶．用图

【例5】南京市2013届高三9月学情调研2012．09

已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln |x |的图象有四个交点，则实

数m 的取值范围为 ．(－∞，－1

2－ln2) 【练习5】已知使函数320()1(0)f x x ax a M =--≤≤存在整数零点的实数a 恰有

3个，则0M 的取值范围是 ．2663[

,)916

考点二 函数的零点问题

题型⑴．判断已知函数的零点所在区间 【例6】[09天津理]设函数1

()l n 3

f x x x =-，则()y f x =的零点个数是______________． 【解】由题得'3

()3x f x x

-=

，令'()0f x >得，3x >；令'()0f x <，得03x <<，令'()0f x =得，3x =，故知函数()y f x =在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,)

+∞为增函数，在点3x =处有极小值1ln 30-<，故有两个零点，分别在(1,)e 和

(3,)+∞上．

【练习6】已知函数4()95f x x x =++，则()y f x =的图像在区间(1,3)-内与x 轴交点的个数为_____________．

【解】'3()49f x x =+，令'()0f x =得，1x =-，故在区间(1,3)-内'()0f x >，即()y f x =在区间(1,3)-上单调递增，故()y f x =的图像在区间(1,3)-内与x 轴

交点的个数为1．

题型⑵．已知函数的零点的情况，求参数的范围 【例7】已知函数()f x kx =，ln ()x

g x x

=

，如果关于x 的方程()()f x g x =在区间1

[,]e e

内有两个实数解，那么实数k 的取值范围是 ． 【法一】方程()()f x g x =在区间1[,]e e 内有两个实数解，即2ln x k x =在区间1

[,]

e e 内有两个实数解，令2ln ()x h x x =，则'3

12ln ()x

h x x

-=，令'()0h x =

得，x =则函数2ln ()x h x x =

在1

[e 上单调递增，

在]e 上单调递减，

故

max 1()2h x h e ==，而21()h e e =-，21()h e e =，要使得方程()()f x g x =在区间1

[,]

e e

内有两个实数解，故k 的取值范围是211

[,)2e e

．

【法二】易知ln ()x g x x =的经过原点的切线为2x y e =，而点1(,)e e -与1

(,)e e

与原

点连线的斜率分别为2e -与21e

，故k 的取值范围是211

[,)2e e ．

【练习7】已知2(),f x ax a R =∈，()2ln g x x =．

⑴．讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；

⑵．若方程()()f x g x =

在区间]e 上有两个不等的实数解，求实数a 的取值范围．

【解】⑴．2

()()()2ln F x f x g x ax x =-=-，则2'

1

()2()ax F x x

-=， ①．当0a ≤时，'()0F x ≤，()F x 在(0,)+∞上单调递减； ②．当0a >

时，'()F x x =，

在(0,

上，'()0F x <，

则()F x

在上单调递减；

，在)+∞上，'()0F x >，则()F x

在)+∞上单调递增；

⑵．【解一】方程()()f x g x =

在区间]e 上由两个不等的实数解，即()0

F x =

在区间]e

上有两个不等的实数解，则0,

()0,0

F F e F e ?≥?

≥????

，解得，11ln 22a e ≤<． 【解二】方程()()f x g x =

在区间]e 上由两个不等的实数解，即2

2ln x

a x =在

区间]e 上有两个不等的实数解，设22ln ()x p x x =

，则'

3

2()(12l n )p x x x

=-，令'()0p x =

得，x =

上，'()0p x >，()p x

在上单调递增；

在)e 上，'()0p x <，则()p x

在)e

上单调递减；故max 1

()p x p e

==，

而1

ln 22

p =，21()p e e =

，故实数a 的取值范围为11[ln 2,)2e

． 【例8】已知2()2ln ,f x x ax x a R =-++∈．

⑴．当2a =时，求函数()y f x =在1x =处的切线方程；

⑵．若函数()()g x f x ax m =-+在区间1[,]e e

上由两个不等的零点，求实数

m 的取值范围．

【解】⑴．当2a =时，2()22ln f x x x x =-++，则'2

()22f x x x

=-++

，则'(1)2f =，(1)2f =，故函数()y f x =在1x =处的切线方程为2y x =； ⑵．【解一】2()2ln g x x m x =-++，

则'2(1)()(1)x

g x x x

+=-，故在1

(,1)e

上，'()0g x >，

故()g x 在区间1

(,1)e

上单调递增，在(1,)e 上，'()0g x <，故()g x 在区间(1,)e 上单调递减，故max ()(1)1g x g m ==-，而211

()2g m e

e

=--

，2()2g e m e =-+，由函数()()g x f x ax m =-+在区间1[,]e e

上由两个不等的零点，则

max ()(1)10g x g m ==->，211

()20g m e e

=--≤，故实数m 的取值范围为

2112m e

<≤+

． 【解二】方程2()2ln 0g x x m x =-++=，即22ln m x x =-，令2()2ln h x x x =-，则

'2()h x x =

? (1)(1)x x +-，令'()0h x =得，1x =，()h x 在区间1

(,1)e

上单调递减，在(1,)e 上单调递增，故min ()(1)1h x h ==，而211

()2h e e

=+，2()2h e e =-，由方程

()()g x f x ax m =-+在区间1[,]e e 上由两个不等的零点得，21

12m e <≤+．

题型⑶．判断函数有零点的条件

【例9】[*]设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()

()f x g x x

=

，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ． 【解】2ln ()2x

g x x ex m x

=-+-

，则'2

1l n ()2()x

g x x e x

-+=

-+

，在(0,)e 上，'()0g x <，()g x 单调递减；在(,)e +∞上，'()0

g x >，()g x 单调递增，故2min 1

()()g x g e m e e ==--，由函数()g x 至少存在一个零点知，2min

1()()0g x g e m e e ==--≤，解得，21

m e e

≤+，即实数m 的取值范围是

21

(,]e e

-∞+． 【练习9】[徐州12一检12．01]已知函数2()()x f x ax x e =+，其中e 是自然数的底数，a R ∈．

⑴．当0a <时，解不等式()0f x >；

⑵．若()y f x =在[1,1]-上是单调增函数，求a 的取值范围；

⑶．当0a =时，求整数k 的所有值，使方程()2f x x =+在[,1]k k +上有解． 【解】⑴．因0x e >，故不等式()0f x >即为20ax x +>，又0a <，故不等式可化为1()0x x a

+<，故不等式()0f x >的解集为1(0,)a

-．

⑵．2()[(21)1]x f x ax a x e '=+++，

①．当0a =时，()(1)x f x x e '=+，()0f x '≥在[11]-，

上恒成立，当且仅当1x =-时取

等号，故0a =符合要求；

②．当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因2410a ?=+>，故()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >，因此()y f x =有极大值又有极小值．若0a >，

因(1)(0)0g g a -?=-<，故()y f x =在(11)-，

内有极值点，故()

f x 在[11]-，

上不单调．若0a <，可知120x x >>，因()y g x =的图象开口向下，要使()y f x =在[11]-，

上单调，因(0)10g =>，必须满足(1)0,

(1)0

g g ≥??-≥?，即320,

a a +≥??

-≥?，故203

a -≤<．综上

可知，a 的取值范围是2[,0]3

-．

⑶．当0a =时，方程即为e 2x x x =+，由于0x e >，故0x =不是方程的解，故原方程等价于

2

10x e x

-

-=，令

2

()1x

h x e x

=

--，因

2

2

()e 0x

h x x '=

+

>，对于

(,0)

(0,x ∈-∞+∞ 恒成立，故()y h x =在(,0)-∞和(0,)+∞内是单调增函数，又

(1)30h e =-<，2(2)20h e =->，31

(3)03h e --=-<，2(2)0h e --=>，故方程()2f x x =+有

且只有两个实数根，且分别在区间[12]，和[32]--，上，故整数k 的所有值为{3,1}-．

题型⑷．讨论含有参数的函数的零点

【例10】讨论方程3320(0)x ax a -+=>的解的个数． 【解】设

3()32

f x x a x =-+，则()3()

f x x a '=+-知，()y f x =在(,-∞上

单调递增，()y f x =在(上单调递减，()y f x =在)+∞上单调递增，

()y f x =的极大值为(22f =，

极小值为22f =-，当极小值

220f =->时，即01a <<，方程仅有一个实数根，当极小值

220f =-≤时，即1a ≥，方程仅有三个实数根，

． 【练习10】已知函数2

()ln 2

x f x kx x =-+(k 为常数)，若函数()y f x =存在极值，

则函数()y f x =的零点个数 ．

【解】易知，当2k >时，()y f x =有极值，因

12

1x k

=

=<<，故

1ln 0

x <，且函数

()

y f x =的极大值为

2211111111(4)

()ln 20222

x x x x f x kx x x -=-+<-=<，因函数()y f x =在1(0,)x 是增函数，

在12(,)x x 是减函数，故当1(0,]x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，即()f x 在1(0,]x 无零点，当2(,)x x ∈+∞时，函数()y f x =是增函数，故函数()y f x =在2(,)x +∞至多有一个零点，另一方面，因(2)ln(2)0f k k =>，2()0f x <，则2()(2)0f x f k <，由零点定理得：函数()y f x =在2(,2)x k 至少有一个零点，故函数()y f x =在2(,)x +∞有且只有一个零点，综上所述，当函数()y f x =存在极值时，函数()y f x =有且只有一个零点．

题型⑸．函数的零点的综合问题

【例11】[10浙江文]已知函数2()()()(,,)f x x a x b a b R a b =--∈<．

⑴．当1a =，2b =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； ⑵．设1x ，2x 是()f x 的两个极值点，3x 是()f x 的一个零点，且31x x ≠，

32x x ≠．证明：存在实数4x ，使得1x ，2x ，3x ，4x 按某种顺序排列后成等差

数列，并求4x ．

【解】⑴．当1a =，2b =时，因'()(1)(35)f x x x =--，故'(2)1f =，(2)0f =，故()y f x =在点(2,0)处的切线方程为2y x =-；

⑵．证：因'2()3()()3a b f x x a x +=--

，由于a b <．故23

a b

a +<．则()y f x =的两个极值点为x a =，23a

b x +=．不妨设1x a =，223

a b

x +=，因31x x ≠，32x x ≠，

且3x 是()y f x =的零点，故3x b =．又222()33

a b a b

a b ++-=-，

4122()233

a b a b

x a ++=

+=，故a ，23a b +，23a b +，b 依次成等差数列，故存在

实数4x 满足题意，且423

a b

x +=．

作业

1．设a b <，函数2()()y x a x b =--的图像可能是

【解】'()(32)y x a x a b =---，由'0y =得，x a =，23

a b

x +=，故当x a =时，y 取极大值0，当23

a b

x +=

时y 取极小值且极小值为负．故选C ．或当x b <时0y <，当x b >时，0y >选C

2．设函数32()(,,,)f x ax bx cx d a b c d R =+++∈，对任意的实数x ，有

3()

2(f x f x ''+- 25215x x =--恒成立，且2)0(=f ．

⑴．求)(x f 的表达式；

⑵．设16)86()(2)(++-+'=m x m x f m x g ，mx x h =)(，若对于任意x ，()y g x =和()y h x =的值至少有一个正数，求实数m 的取值范围．

3．如果对于函数()y f x =的定义域内任意的1x ，2x ，

都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-成立，那么就称函数()y f x =是定义域上的“平缓函数”．

⑴．判断函数x x x f -=2)(，[0,1]x ∈是否是“平缓函数”；

⑵．若函数()y f x =是闭区间[0,1]上的“平缓函数”，且)1()0(f f =．证

明：对于任意的1x ，2[0,1]x ∈，都有2

1|)()(|21≤-x f x f 成立．

⑶．设a 、m 为实常数，0>m ．若x a x f ln )(=是区间[,)m +∞上的“平缓函数”，试估计a 的取值范围（用m 表示，不必证明．．．．

）． 【解】⑴．1x ?，2[0,1]x ∈，

有11121≤-+≤-x x ，1|1|21≤-+x x ．从而12|()()|f x f x -= 22

1122121212|()()||||1|||x x x x x x x x x x ---=-+-≤-．故函数x x x f -=2)(，[0,1]x ∈是“平缓函数”．

⑵．当2

1||21<-x x 时，由已知得2

1|||)()(|2121<-≤-x x x f x f ；当2

1||21≥-x x 时，因

1x ，2[0,1]x ∈，不妨设1021≤<≤x x ，其中2

112≥-x x ，因)1()0(f f =，故

=-|)()(|21x f x f

12121212

|()(0)(1)()||()(0)||(1)()||0||1|f x f f f x f x f f f x x x x x -+-≤-+-≤-+-=-111122+≤-+=．故对于任意的12,[0,1]x x ∈，都有2

1

|)()(|21≤-x f x f 成立．

⑶．结合函数x a x f ln )(=的图象性质及其在点m x =处的切线斜率，估计a 的取值范围是闭区间],[m m -．

4．方程322670x x -+=在(0,2)内根的个数是 ．

【解】设32()267f x x x =-+，则()6(2)f x xx '=-知，()y f x =在(0,2)上单调递减，

(0)7f =，(2)1f =-，故方程322670x x -+=在(0,2)内根的个数是1．

5．已知()y f x =是定义在(,0)(0,-∞+∞ 上的奇函数，当0x >时，()l n f x a x x =-+．若函数()y f x =在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ；1

(0,)e

6．[12湖南文]设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，当[0,]x π∈时，0()1f x <<；当(0,)x π∈且2

x π

≠

时，

()()02

x f x π

'-

>，则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为

【解】当(0,)x π∈且2

x π

≠

时，()()02

x f x π'->，知[0,)2

x π

∈时，()0f x '<，()

f x 为减函数，当(]2

x π

π∈，时，()0f x '>，()f x 为增函数，又[0,]x π∈时，0()1f x <<，

在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出

sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个

数为4个．

7．[2010·福建]函数f (x )＝??

?

x 2＋2x －3，x ≤0

－2＋ln x ，x ＞0

的零点个数为( )．

A ．3

B ．2

C ．7

D ．0

8．已知函数2

()a f x x x

=+，()ln g x x x =+，其中0a >．

⑴．若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值； ⑵．若函数()()()x f x g x ?=-在2[,]e e (e 为自然对数的底数)上存在零点，求实数a 的取值范围．

【解】⑴．因2()2ln a h x x x x =++，其定义域为(0,)+∞，故221

()2a h x x x

=-+．因1

x =是函数()y h x =的极值点，故'(1)0h =，即230a -=．因0a >，故a =验当a =1x =是函数()y h x =的极值点，故a =

⑵．由题意，可知方程2ln a x x

=在区间2

[,]e e 上有根，因2a y x =在2[,]e e 上是单

调减函数，ln y x =在2[,]e e 上是单调增函数，故2

22

1,2a e

a e ?≥????≤??，故]a ∈．

9．设函数()|1|f x x x m =-+，()ln g x x =．

⑴．当1m >时，求函数()y f x =在[0,]m 上的最大值；

⑵．记函数()()()p x f x g x =-，若函数()y p x =有零点，求m 的取值范围．

【解】⑴．当[0,1]x ∈时，211()(1)()24f x x x m x m =-+=--++，故当1

2

x =时，

max 1

()4

f x m =+，当(1,]x m

∈时，()(1)f x x x m =-+＝2211()24x x m x m -+=-+-，因

函数()y f x =在(1,]m 上单调递增，故2max ()()f x f m m ==，由214

m m ≥+

得

2104m m --

≥又1m >m ?≥故当12m ≥时，2max ()f x m =，当1m <<时，max 1

()4

f x m =+．

⑵．函数()y p x =有零点即方程()()|1|ln 0f x g x m x x x -=+--=有解，即

ln |1|m x x x =--有解，令()|1|ln h x x x x =--+，当(0,1]x ∈时，2()ln h x x x x =-+，

因1

'()21h x x x

=+-≥ 10>，故()y h x =在(0,1]上是增函数，故()(1)0h x h ≤=，

当(1,)x ∈+∞时，2()ln h x x x x =-++，因(1)(21)

'(

)0x x h x x

-+=-<，故函数()

y h x =在(1,)+∞上是减函数，故()(1)0h x h <=，故方程|1|ln m x x x =--+有解时0m ≤，即函数()y p x =有零点时0m ≤．

10．已知函数2()()x f x ax x e =+，其中e 是自然数的底数，a R ∈，

⑴．当0a <时，解不等式()0f x >；

⑵．若当[1,1]x ∈-时，不等式()(21)0x f x ax e ++≥恒成立，求a 的取值范围；

⑶．当0a =时，试判断：是否存在整数k ，使得方程()(1)2x f x x e x =++-在[,1]k k +上有解？若存在，请写出所有可能的k 的值；若不存在，说明理由．

【解】⑴．2()0x ax x e +>，因0x e >，故20ax x +>，0a <取根的中间；

()(21)0x f x ax e ++≥，即不等式2(21)10ax a x +++≥恒成立，分类讨论：0a =，

0a ≠且0a ≠时，2410a ?=+>，数形结合：如图：若0a >，

0211

1122a x a a

+=-

=--<-，

若0a <，如图：方程()(1)2x f x x e x =+?+-在[,1]k k +上有解，需判断函数在

[,1]k k +上的单调性，数形结合．

⑵．2()0x ax x e +?>，即20ax x +>，由于0a <，故1()0ax x a

+>，故解集为

1

{|0}x x a

<<-；当[1,1]x ∈-时，即不等式2(21)10ax a x +++≥恒成立，

①若0a =，则10x +≥，该不等式满足在[1,1]x ∈-时恒成立；

②由于2410a ?=+>，故2()(21)1g x ax a x =+++有两个零点，若0a >，则

需满足0,(1)0,21

1

2a g a a

?

?>?-≥??+?-≤-?，即0,0,212a a a a >??

≤??+≥?，此时a 无解；

③若0a <，则需满足0,

(1)0,(1)0a g g

-≥??≥?，即0023a a a ?

?

?

，故203a -≤<，

综上所述，a 的取值范围是2

03

a -≤≤．

⑶．方程即为20x e x +-=，设()2x h x e x =+-，由于x y e =和2y x =-均为增函数，则()y h x =也是增函数，又因(0)10h =-<，(1)10h e =->，故该函数的零点在区间(0,1)上，又由于函数为增函数，故该函数有且仅有一个零点，故

方程20x e x +-=有且仅有一个根，且在(0,1)内，故存在唯一的整数0k =． 11．已知函数12

13

2)(23+--=x x x x f ，R x ∈． ⑴．求函数)(x f 的极大值和极小值；

⑵．已知R x ∈，求函数)(sin x f 的最大值和最小值．

⑶．若函数g()()x f x a =+的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．

【解】⑴．()(1)(21)f x x x '=-+，故()f x 的极大值为131

()2

24

f -=

，)(x f 的极小值为6

1)1(=f ；

⑵．令]1,1[,sin -∈=t t x ，则)(s i n x f =12132)(23++-=

t t t t f ，由⑴知，)(t f 在]2

1

,1[--上单调递增，在]1,21[-上单调递减，因5(1)6f -=，2431)21(=-f ，61

)1(=f ，故

(sin )f x 的最大值为2431，最小值为61

； ⑶．由⑴得，02431)21(<+=-a g 或061)1(>+=a g ，故3124a <-或61

->a ．

12．已知函数321

()()3

f x x x ax a a R =-+-∈．

⑴．当3a =-时，求函数()y f x =的极值；

⑵．若函数()y f x =的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围． 【解】⑴．当3a =-时，321

()333

f x x x x =--+，故'()(3)(1)f x x x =-+

．令'()0f x =，

得121,3x x =-=．当1x <-时，'()0f x >，则()y f x =在(,1)-∞-上单调递增；当

13x -<<时，'()0f x <，则()y f x =在(1,3)-上单调递减；当3x >时，'()0f x >，

()y f x =在(3,)+∞上单调递增．故当1x =-时，()y f x =取得极大值为14

(1)3

f -=

；当3x =时，()y f x =取得极小值为(3)6f =-． ⑵．因'2()2f x x x a =-+，故4(1)a

?=-．①．若1a ≥，则0?≤，故'()0f x ≥在R 上恒成立，故()y f x =在R 上单调递增．因(0)0,(3)20f a f a =-<=>，故当

1a ≥时，函数()y f x =的图象与x 轴有且只有一个交点．②．若1a <，则0?>，

故'()0f x =有两个不相等的实数根，不妨设为1x ，212()x x x <．故122x x +=，

12x x a =．

当x 变化时，'()f x ，()f x 的取值情况如下表：

因21120x x a -+=，故2112a x x =-+．即

323211*********

()(2)[333f x x x ax a x a x x x =

-+-=+-=+ 3(2)]a -．同理22221()[3(2)]3f x x x a =+-．故22

1212121()()[3(2)][3(2)]9f x f x x x x a x a =+-+-

24

(33)9a a a =-+．令12()()0f x f x >，解得0a >．而当01a <<时，(0)0,(3)2f a f a =-<= 0>，故当01a <<时，函数()y f x =的图象与x 轴有且

只有一个交点．综上所述，a 的取值范围是(0,)+∞． 12-13常州中学高三（上）期中（理）

13．已知函数32()()f x ax bx b a x =++-(,a b 是不同时为零的常数)，其导函数为

'()y f x =．

⑴．当13

a =时，若存在[3,1]x ∈--，使得'()0f x >成立，求

b 的取值范围； ⑵．求证：函数'()y f x =在(1,0)-内至少有一个零点；

⑶．若函数()y f x =为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线

230x y +-=，关于x 的方程1()4

f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，

求实数t 的取值范围．

【解】⑴．当13a =时，'221()()3

f x x b b b =+-+-，其对称轴为直线x b =-，当

'

2(3)0b f -≥-??->?解得2615b <，当'2(1)0

b f -<-??->?，无解，故b 的取值范围是26

(,)15-∞． ⑵．因'2()32f x ax bx b a =++-，当0a =时，1

2

x =-适合题意．当0a ≠时，

232(1)0b b x x a a ++-=，令b

t a =，则232(1)0x tx t ++-=，令2()32(1)h x x tx t =++-，

因11()024h -=-<，当1t >时，(0)10h t =->，故()y h x =在1

(,0)2

-内有零点．故

当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点．综上可知，函数'()y f x =在

(1,0)-内至少有一个零点；

法二：'(0)f b a =-，'(1)2f a b =-，'12()33

b a

f --=

．由a ，b 不同时为零，故''1

()(1)03

f f --<，故结论成立；

⑶．因函数32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，故0b =，故3()f x ax ax =-，又()y f x =在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，

故1a =，即3()f x x x =-．因

'()3(f x x x =+

，故()y f x =在(-∞，)+∞上是增函数，在

[上是减函数，由()0f x =解得，0x =，x =，当1t -<≤时，

1()04f t t ≥-≥，即34t t t -≥-，解得，23t -≤≤-

；当03t -<<时，

1()04f t t >-≥，解得，0t <<；当0t =时，显然不成立；当0t <≤

1()04f t t ≤-<，即34t t t -≤-，解得，0t <≤t >时，1()04f t t <-<，

t <，若关于x 的方程()2f x ax =有惟一解，

求a 的值．

【解】记2()()222ln g x f x ax x ax a x =-=--，则'22()()g x x ax a x

=--，若方程

()2f x ax =有惟一解，即()0g x =有惟一解；令'()0g x =，得20x ax a --=．因

0a >，0x >

，故10x =<(舍)

，2x =

．当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，()g x 在2(0,)x 上是单调减函数；当2(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 在

2(,)x +∞上是单调增函数；当2x x =时，'()0g x =，故m in 2()()g x g x =．因()0

g x =有惟一解，故2()0g x =．则2'2()0,()0g x g x =??=?，即2

2222222ln 20,

x a x ax x ax a ?--=??--=??，两式相减得，

22ln 0ax a a x -+=，因0a >，故2212ln 0x x -+=(*)．设函数()12ln h x x x =-+，

因在0x >时，()h x 是增函数，故方程()0h x =至多有一解．因(1)0h =，故方程(*)的解为21x =，从而解得1

2

a =．

15．已知函数2()()x f x x ax a e =+-，其中a 是常数．

⑴．当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

⑵．若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．

【解】⑴．由2()()x f x e x ax a =+-可得，2'()[(2)]x f x e x a x =++．当1a =时，

(1)f e =，'(1)4f e =．故曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4(1)y e e x -=-，

即43y ex e =-．

⑵．令2'()[(2)]0x f x e x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =．当(2)0a

-+≤，即2

a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，故()f x 是[0,)+∞上的增函数．故方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根．当(2)0a -+>，即2a <-时，

'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表