湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析函数三要素的综合考查

湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析3：函数三要素的综合考查一.函数三要素(定义域、值域、对应关系)的求法:（学生做题归纳） 二.高考题热身1.（06湖北卷）设2()lg 2x f x x+=-，则2()()2x f f x+的定义域为_______________解：f （x ）的定义域是（－2，2），故应有－2<2x <2且－2<2x<2解得－4<x <－1或1<x <4故选B2．（06湖南卷）函数y =_______ [4, +∞)3.(07陕西卷)函数f(x)=11+x 2 (x ∈R)的值域是( )A.(0,1) B .(0,1] C.[0,1) D.[0,1]4.（06浙江卷）对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩⎨⎧≥b a b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max {|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是____.解：当x <－1时，|x ＋1|＝－x －1，|x －2|＝2－x ，因为（－x －1）－（2－x ）＝－3<0，所以2－x >－x －1；当－1≤x <0.5时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝2－x ，因为（x ＋1）－（2－x ）＝2x －1<0，x ＋1<2－x ；当0.5≤x <2时，x ＋1≥2－x ；当x ≥2时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝x －2，显然x ＋1>x －2；故2((,1)12([1,))2()11([,2))21([2,))x x x x f x x x x x -∈-∞-⎧⎪⎪-∈-⎪=⎨⎪+∈⎪⎪+∈+∞⎩据此求得最小值为32。

选C5.（07安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______。

解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+。

6.（07山东卷）设f(x)=1232,2,log(1),2,xe xx x-⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f(x)>2的解集为_____（1，2）⋃（10，+∞）解：令12x e->2（x<2），解得1<x<2。

令23log(1)x->2（x≥2）解得x∈（10，+∞）7. （05江苏卷2）函数)(321Rxy x∈+=-的反函数的解析表达式为_______________.32log2-=xy8.已知f(cosx)=cos5x，则f(sinx)=___________.9.(06重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是解析：如图所示，单位圆中»AB的长为x，()f x表示弧»AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当»AB的长小于半圆时，函数y=f(x)的值增加的越来越快，当»AB的长大于半圆时，函数y=f(x)的值增加的越来越慢，所以函数y=f(x)的图像是D.10. （05浙江理3）设f(x)＝2|1|2,||1,1,||11x xxx--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f[f(21)]＝________________ 41312. （04年北京文8）函数f xx x Px x M(),,=∈-∈⎧⎨⎩，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f P y y f x x P(){|(),}==∈，f M y y f x x M(){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M⋂=∅，则f P f M()()⋂=∅②若P M⋂≠∅，则f P f M()()⋂≠∅③若P M R⋃=，则f P f M R()()⋃=④若P M R⋃≠，则f P f M R()()⋃≠其中正确判断有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三.典型例题例1.（上海春） 设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间[-2,6]上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥=Y Y B x f xA .试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明； （3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k=+的图像位于函数f(x)图像的上方.解：（1）(要求列表描点) （2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和[2,5]上单调递减，在[-1,2]和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142,Y Y A . 由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.（3）[解法一] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .)54()3()(2++--+=x x x k x g)53()4(2-+-+=k x k x 436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ，∴>,2k Θ124<-k. 又51≤≤-x ， ① 当1241<-≤-k，即62≤<k时，取24kx -=， min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k. 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k Θ， 则0)(min >x g .② 当124-<-k ，即6>k 时，取1-=x ，min )(x g ＝02>k .由 ①、②可知，当2>k 时，0)(>x g ，]5,1[-∈x .因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方.[解法二] 当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x ， 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ，解得 2=k 或18=k ，在区间[-1,5]上，当2=k 时，)3(2+=x y 的图像与函数f (x )的图像只交于一点)8,1(； 当18=k 时，)3(18+=x y 的图像与函数f(x)的图像没有交点. 如图可知，由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-，当2>k 时，直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此，在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数f (x )图像的上方.例2.（全国卷Ⅱ理17设函数11()2x x f x +--=，求使()f x ≥x 取值范围．解：由于2xy =是增函数，()f x ≥3112x x +--≥① ⑴当1x ≥时，()112x x +--=，∴①式恒成立。

⑵当11x -<<时，112x x x +--=，①式化为322x ≥，即314x ≤<。

⑶当1x ≤-时，112x x +--=-，①式无解。

综上，x 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例3．已知函数b ax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.（1）求函数f (x )的解析式； （2）设k>1，解关于x 的不等式；xkx k x f --+<2)1()(【正确解答】（1）将0124,3221=+-+==x b ax x x x 分别代入方程得).2(2)(,2184169392≠-=⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+x x x x f b a ba ba 所以解得 （2）不等式即为02)1(,2)1(222<-++---+<-x kx k x x k x k x x 可化为即.0))(1)(2(>---k x x x①当).,2(),1(,21+∞⋃∈<<k x k 解集为②当);,2()2,1(0)1()2(,22+∞⋃∈>--=x x x k 解集为不等式为时③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k解集为时当.例 4.（全国II 卷）设R a ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，φ=<<=B A x x B I },31|{，求实数a 的取值范围。

解：由f （x ）为二次函数知0a ≠，令f （x ）＝0解得其两根为1211x x a a =-=+ 由此可知120,0x x <>（i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =<⋃>AB φ⋂≠的充要条件是23x <，即13a 解得67a >（ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<<A B φ⋂≠的充要条件是21x >，即11a>解得2a <-综上，使A B φ⋂=成立的a 的取值范围为6(,2)(,)7-∞-⋃+∞例5.（上海文22）（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分，计18分）对定义域是f D 、g D 的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f gf gf Dx D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(。

（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式；（2）求问题（1）中函数)(x h 的值域； （3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明。

解（3）[解法一]令,2,cos sin )(πα=+=x x x f 则,sin cos )2cos()2sin()()(x x x x x f x g -=+++=+=ππα于是.2cos )sin )(cos sin (cos )()()(x x x x x x f x f x h =-+=+⋅=α[解法二]令πα=+=,sin 21)(x x f ，则,sin 21)sin(21)()(x x x f x g -=++=+=πα于是.2cos sin 21)sin 21)(sin 21()()()(2x x x x x f x f x h =-=-+=+⋅=α例6．设2)(2++=x b ax x f 的值域为[－1，4]，求a 、b 的值.例7：已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈［1,+∞)，(1)当a =0.5时，求函数f (x )的最小值(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围(1)解 当a =21时，f (x )=x +x 21+2∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f 27(2)解法一 在区间［1，+∞)上，f (x )=xax x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)，∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3解法二 f (x )=x +xa+2,x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正； 当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a , 当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力 解题的关健是把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想四.课后练习1．已知f(x n )=lgx(n ∈N *)，则f(2)=_________________.2．已知函数f(x)定义域为R +，且满足条件f(x)=f )1(x ·lgx+1，f(x)=_______3．（04年湖北3）已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式A ．21x x +B ．212x x +-C ．212x x +D ．21x x +-4．（04年湖北7）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a的值为（ ）A ．0.25B ．0.5C ．2D ．45. （04天津12）定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 A. 21-B. 21C. 23-D. 236．（福建卷）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==7. 求函数的值域。