人教A版高中数学必修四课件：2-2-2 向量减法运算及其几何意义3
高中数学人教A版必修4课件：2.2.2 向量减法运算及其几何意义
题型一
题型二
反思满足下列两种形式可以化简: (1)首尾相接且为和;(2)起点相同且为差. 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用及统 一向量起点方法的应用.
题型一
题型二
【变式训练 2】 化简:(1)������������ − ������������ + ������������; (2)������������ + ������������ − ������������ + ������������ ; (3)������������ − ������������ − ������������ . 解 :(1)������������ − ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + (−������������ ) =0. (2)������������ + ������������ − ������������ + ������������ = ������������ − ������������ + ������������ − ������������ = ������������. (3)������������ − ������������ − ������������ = ������������ − ������������ = ������������.
题型一
题型二
【例 3】 如图,在正六边形 ABCDEF 中,与������������ − ������������ + ������������ 相等的向量有 ①������������ ; ②������������ ; ③������������ ; ⑤������������ + ������������; ⑦������������ + ������������ . 解析: ������������ − ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ ; ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ ≠ ������������ ; ������������ − ������������ = ������������ ≠ ������������ ; ������������ + ������������ = ������������ ≠ ������������ . 答案 :① . (填序号) ④������������ ; ⑥������������ − ������������;
高中数学必修四1：2-2-2向量减法运算及其几何意义课件
探究点1 相反向量
1. 相反向量：
记作
a
.
与 a 长度相等，方向相反的向量， 叫做 a 的相反向量 .
探究点1 相反向量
探究点2 向量的减法
向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 和 b 的差 .
即 a b a (b)
思考
(1) (a b)-b ?
答案：(a b )-b a ( b ) （-b） a （ 2b） a 2b
答案：(a b )-b a ( b ) （-b） a （ 2b） a 2b
典例精讲：题型一：向量减法的简单计算
（3）已知向量a，b，如何表示图中用
红线表示的向量？
分 析：
显然 AB BC AC
即b
(a
b)
a
答案：a
b.
C
A
b
?
B
探究点3 向量减法法则:
向量减法法则: 两向量起点相同，则差向量就是连结 两向量终点，指向被减向量终点的向量.
求作向量 a - b, c - d .
b
a
d
c
a-b
B D
A
c-d
C
O
拓展提升：题型二：向量减法法则
如图，平行四边形ABCD中，AD
a,
A
B
b，用
a、b表示向量AC、DB
.
解：AC a b
D
C
DB AB AD ba
A
B
b
课堂练习
思考：向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|与|a|＋|b|、|a|－|b|的大小 关系如何？
求作向量 a - b, c - d .
b
a
d
人教A高中数学必修四课件：2.2.2向量减法运算及其几何意义
2.2.2向量减法运算及其几何意义1•了解相反向量的概念 : 2 •掌握向量的减法运算•并理解其儿何意义 ]3 •理解向量加法与减法的联系•能将向量的减法运算转化为加法=I 运算i重点:向星的减法及具儿何意义 难点:向量减法的简单应用 易错学习导引 知识衔接湿暮提示如果您在观石木"件旳辻 莎中漬吳 用幷右幻灯片.*覇打并 可iEtfiU:・学习目标核心提示1. 向量加法的平行四边形法则:以（）为起点皿』为邻边 作平行四边形（1\CB •则以（）为起点的对角线加即 为a 与的和2. 向量加法的三角形法则:在平面上任取一点A,作习｝=a.BC=b.则向量加即为（I 与D 的和点:作两个向量的差向量时易忽略同•起点这•前提条件==课前自主学习主题向量减法及其几何意义1.实数Q的相反数是-爼,的相反数是a, 0的相反数是0, 若把实数a换成向量a,结论还成立吗？提示:成立•向量a的相反向量是-a, -a的相反向量是a, 0的相反向量是0・2.我们知道,在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?如何理解向量的减法呢？提示:向量的减法有类似的法则，即a-b可理解为向量a 加上向量b的相反向量.3.由于a-b=a+ (-b).因此要作出a与b的差向量a-b,可以转化为作a与-b的和向量.已知向量a, b如图所示,你能利用平行四边形法则作出差向量a-b吗?提示:利用平行四边形法则•在平面内任取一点0,作uuw=a, UUI OA OB =1）作=-b,以为邻迸作uuw uum uuu平行魏形OAEcW^ =a-bUULOE结论：1.相反向量及性质(1)定义与a长度_____ ,方向 ____ 的向量，叫做a的相反向量，记作：相等相反■(2)性质①- (-a)二_・a②如果a, b是互为相反的向量，那么a+b=_0 ®a-b=a+ ( ).④零向量的肅反向量仍是零向量.2.向量的减法及几何意义(1)向量的减法向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差,即a-—=a+ (-b),即为两个向量差的运算. b(2)向量减法的几何意义如图，设uum =a, UUL =b,OA OB则=a-b,即a-buum—魏终点的向量.A勺终点—指向被减向量b BU4UUM. V4UUH V4V4UX U4UUU UM3LB MUUUAB-DC-CB=AB+CEH-BCumu uuu uuiu uuui uuu 童鏈+BC)+CD=AC+CD=AD 口 5^： L4MLB AD2.在四边形ABCD 中, UtMIU ututu*. UUIU —AB —DC —CB 【解析】 umu==课堂合作探究类型一向量的减法运算【典例1】化简下列各式:(1)UU1 UUlt UUL UUUUUl UUUX UUU1AB_AD_DC(2) (AB+MB)+(-OB-MO)【解题指南】(1)通过相反向量，把减法变为加法.(2)有相同起点的向量的减法用三角形法则.UUL uuux UUU UUlt(AB^BO)+(OM+MB)UULUUUX UUUX UULDB — DC=CB【解析］⑴原式= UUJLuuit uum uuu AB+MB+BCHOM UU U U B=AB(2【方法总结】向量减法运算的常用方法运算转化为加法运算运用向量减法的三角形法则，此时、要注意两个向量要有共同的起点‘【拓展延伸】非零向量的差的三角不等式(1)当a, b不共线时，根据三角形边长的不等关系知|a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.⑵当a, b共线且同向时，若|a|>|b|,贝!Ja-b与a,b同向，且|a-b| = |a|-1b| ; 若 | a |〈 | b |,贝！Ja-b与a, b反向，且 | a-b | = | b | -1 a |.⑶当a, b共线且反向时,a-b与a同向，与b反向，且| a-b| 二|a| + |b|・综上所述,对于任意两个非零向量，总有下列向量不等式成立：| | a | -1 b | | W | a-b | W | a | +1 b | •【跟踪训练】下列式子不能化简为_的是AD A.UUL UUUl UULD (AB+CD)+BCD.UUUX UUUL UUL UUUc. (AEH-MB)+(BC+CM)n UUUl UUUl UUUlD・ OC - 0A+CDuum uuui uuuMB+AD-BM()UU1 UUL uum UUUI AB+BC+CNAD+(MB+BC)+CM=AD+(MC+CM)=AD (OC _ OA) ；只有D 无法化简为. uum ucu uum uum +CD=AC+CD=AD UUUL UUL UUU UUUX UUltUUU uum ；对于G 有 uuui uum 【解析］选D ・对于；对于B,有諾 uu mAD【补偿训练】如图，己知向量a, b, c,求作向量a-b-c.【解析】在平面内任取一点0,作向量左=a，，则向量a-b二uum ,再作向量nut二c,则向量uum=a-b-c.BA BC CAB0 a%类型二用已知向量表示其他向量【典例2】如图所示,四边形ACDE 是平行四边形,B是该平行四边形夕卜一点，且=a, =b,二c试UUl UUU UUL用向量a, b胡表示向量AEuum UUL uumCD,BC,BD法几何意义的应用.【解析】因为四边形ACDE 是平行四边形, 所以 二C,=b-a fUUUl UU1 UUL UUUA UU1故 CD 二鵠.a +匹二 AC-ABuum uui uuuiBD = BC + CD【解题指南】【延伸探究】1.本例条件不变，试用向量a, b, c表示叫与皿• BECE 【解析】二c-a, =c-b.UUL UU1 UU1 UUL UUL UUUlBE = AE-AB CE 二AE_AC2.本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？【解析］因为四边形ACDE是平行四边形所以 3 nt€f UUL whra”uiCD = AE BC 二AC-AB=b-a+c<UUIU UUI UUIUBD=BC+CD【方法总结】1.利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1) 一个关键: 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.(2)三点注意:①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系;②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则.2.用已知向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置.(2)寻找相应的平行四边形或三角形.(3)运用法则找关系,化简得结果.【跟踪训练】已知|a| = |b| = |a-b|=18,则|a+b| =【解析】如图，由向量加法■减法的平行四边形法则和三角形法则,可知在平行四边形ABCD中,BUVUU LUJU. LU4U1 ULUHAB = a,AD = b,AC = a + b,DB = a-b因为|a| = |b| = |a-b| = 18,所以三角形ABD是等边三角形■高AO=9 , 所以对角线AC的长度为18 JP|a+b|A8・答案:18 书弟【知识思维导图】进行向量的加减运算时.常用变形⑵运用AB+BA=Q 或花+花二花化简(3)AB=0B^0A"类比”实数的减法运算得出向量的减法运算法则（核心量养'3.运用法则找关系4•化简结果1 •平行四边形法则表示向量加法、减法 平行四边形/BCD 中，AC=AB^-AD, N BD =AD -A T D C2.向量形式的三角不等式||a 卜 |b||W|a ・b|W|a|+| 方 | a 与6方向相同，|a ・61=|| a|- b || a 与b 方向相反,\a-b\=\a\^\b\用已知向量表示其他向量的步骤： 1•观察各向量的位置2•寻找（或作）相应的平行四边形或三角形 课时分层作业 知识深化 、方法总结/点击进入Word版可编辑套题3.运用法则找关系4•化简结果。
人教A版高中数学必修四2-2-2 向量减法运算及其几何意义
规律总结：(1)理解向量的几何意义，且能准确运用向 量的加、减运算．
(2)恰当构造相关图形，且能灵活运用的几何性质求解未 知量．
如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，
→ OA
＝a，
O→B＝b，O→C＝c，求O→D.
[分析] 将要表示的向量放在一个三角形中，利用三角形 法则求解．
[解析] B→C＝O→C－O→B＝c－b， 又A→D＝B→C，∴A→D＝c－b， ∴O→D＝O→A＋A→D＝a＋c－b.
如图所示，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB
于F.
∵AB＝BD＝2，
∴AE＝ED＝12AD＝12.
在△ABE中，
cos∠EAB＝AAEB＝14.
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，∴cos∠CBF＝14.
∴BF＝BCcos∠CBF＝1×14＝14.
∴CF＝
15 4.
∴AF＝AB＋BF＝2＋14＝94. 在Rt△AFC中，AC＝ AF2＋CF2＝ 8116＋1156＝ 6， ∴|a＋b|＝ 6.
成才之路·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
平面向量
第二章
2．2 平面向量的线性运算
第二章
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．在四边形ABCD中，A→B＝D→C，则( ) A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形
建模应用引路
命题方向3 向量的加、减运算及模的综合应用
已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a ＋b|的值．
高中数学必修四课件2-2-2 向量减法运算及其几何意义课件
引申探究 若本例条件不变，则a－b－c如何作？
解 如图， 在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b， 则B→A＝a－b.再作C→A＝c， 则B→C＝a－b－c.
反思
感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量 的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始 点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.
解 (A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B) ＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋O→B) ＝A→C＋B→A－D→C＋D→B ＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→D＋D→B ＝B→C＋C→B＝0.
核心素养之数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN
利用已知向量表示未知向量
典例 如图，已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则O→D＝
__a_－__b_＋__c_.(用 a，b，c 表示)
素养 评析
(1)本题主要考查平面向量的加法、减法运算，利用已知向量表示未知向
量，这正体现了数学运算的核心素养.
(2)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和
提示 根据相反向量的定义可知其正确.
4.两个相等向量之差等于0.( × )
提示 两个相等向量之差等于0.
2 题型探究
PART TWO
题型一 c不共线，求作向量a＋b－c.
题型一 向量减法的几何作图
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
思考 若a，b是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？ 答案 如图所示，
设O→A＝a，O→B＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有O→C＝
高中人教A版数学必修4课件2.2.2向量减法运算及其几何意义ppt版本
b
a
d
c
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
a
d
c
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
b
a
d
c
A
O
讲授新课
例1. 如图，已知向量a、b、c、d，
求作向量a - b, c - d .
练习1.
(2) AB-ACBC_0___
C
A
B
讲授新课
练习1.
(3)
如图，a
//
b,
求作：a
b
.
b
b
a
a
讲授新课
练习1.
(3)
如图，a
//
b,
求作：a
b
.
b
b
b
a
a
讲授新课
练习1.
(3)
如图，a
//
b,
求作：a
b
.
b
b
b
2. 向量的减法： 向量减法法则:
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
两向量起点相同，则差向量就是连结 两向量终点，指向被减向量终点的向量.
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
两向量起点相同，则差向量就是连结 两向量终点，指向被减向量终点的向量.
注 意:
(1)起点相同；
讲授新课
2. 向量的减法： 向量减法法则:
高中数学人教A版必修4课件：2.2.2《向量的减法运算及其几何意义》
B
b a
b
O
ab
a
A
b
C
a (b)
D
3.1.3
(3)向量减法的三角形法则:
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
a b的 作 图 方 法:
b a
B
b
O
ab
1.在 平 面 内 任 取 一 点 O
2.作 O A a ,O B b
A
a
3. 则 向 量 BA a - b
向量减法的几何意义: a b OA OB BA, 表示 从向量 b的终点指向向量 a的终点的向量.
D C
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
b
A
解: AC AB AD a b
DB AB AD a b
a
B
变式训练一：当a ,b 满足什么条件时，
| a | | b |
a +b与a b垂直？_____________
变式训练二：当a ,b满足什么条件时，
|a +b|=|a b|？_____________________ a和 b互 相 垂 直
3.1.3
例5.在 四 边 形 ABCD中 ， 设AB a , AD b , BC c , 试 用a , b , c 表 示 向 量 CD.
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
A
a
b
B
D
c
b a c
C
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
练习1.
如图， 已知 a 、 b， 求作 a b .
a
b
O
b
高中数学人教A版必修4课件：2.2.2向量减法运算及其几何意义
(3)求两个向量的减法可转化为加法来进行，如A→B－B→C＝ A→B＋C→B，即只需把减向量起点字母与终点字母交换顺序，就可 以把减法变成加法．另外注意：b＋x＝a⇔x＝a－b，即向量在 等式中可以移项．
2．非零向量 a，b 的差向量的三角不等式 (1)当 a，b 不共线时， 如图①，作O→A＝a，O→B＝b， 则 a－b＝O→A－O→B＝B→A.
解：∵四边形 ACDE 为平行四边形， ∴C→D＝A→E＝c，B→C＝A→C－A→B＝b－a， B→E＝A→E－A→B＝c－a，C→E＝A→E－A→C＝c－b. ∴B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c.
易错误区系列(十二) 用错向量减法法则而致误
如图所示，已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个 顶点 A、B、C 的向量分别为 r1、r2、r3，则O→D＝________.(用 r1、r2、r3 表示)
(2)方法一：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝ A→B＋D→C＋C→A＋B→D＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A)＝A→D＋D→A＝0.
方法二：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝(O→B －O→A)－(O→D－O→C)－(O→C－O→A)＋(O→D－O→B)＝O→B－O→A－O→D ＋O→C－O→C＋O→A＋O→D－O→B＝0.
【互动探究】
本例中条件不变，求作向量a－b－c. 解：如图所示，D→A＝a－b－c.
向量加、减法运算的综合
化简：(1)A→B－A→D－D→C； (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D)． 思路点拨：利用相反向量及加法交换律、结合律化简．
解：(1)方法一：A→B－A→D－D→C＝D→B－D→C＝C→B. 方法二：A→B－A→D－D→C＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B. 方法三：A→B－A→D－D→C＝A→B＋(D→A＋C→D)＝A→B＋(C→D＋D→A) ＝A→B＋C→A＝C→A＋A→B＝C→B.
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2.透析差向量的作法 (1) =a-b，强调：差向量“箭头”指向被减向量. (2)可以用向量减法的三角形法则作差向量，也可以 BA 用向量减法定义a-b=a+(-b)作差向量. (3)作非零向量a，b的差向量a-b，可以简单记为： “共起点，连终点，指向被减”.
【题型探究】 类型一 向量的减法运算 【典例】1.向量 可以写成：
【总结提升】 1.相反向量的意义 (1)在相反向量的基础上，可以通过向量的加法定义 向量的减法. (2)为向量的“移项”提供依据，如a+b=c+d，可得 a-d=c-b.
2.对相反向量的两点说明 (1)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相 反向量是方向相反，模长相等的两个向量. (2)两个非零向量a，b互为相反向量应具备的条件： 一是长度相等，二是方向相反，两者缺一不可.
2.2.2
向量减法运算及其几何意义
【知识提炼】 1.相反向量
定
如果两个向量长度 _____那么称 相等 _____，而方向 相反
义
这两个向量是相反向量
①对于相反向量有：a+(-a)=0
性
②若a，b互为相反向量，则a=-b，a+b=0
质 ③零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的减法 (1)定义：a-b=_______.减去一个向量就等于加上这个 向量的_____ a+(-b) 相反 _____. (2) 几何意义：a-b表示为从向量b的终点指向 向量 ____________的向量.
向量a的终点
【即时小测】 1.思考下列问题. (1)若a-d=c-b，则a+b=c+d成立吗？ 提示：成立，移项法则对向量等式成立. (2)两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也 为零吗？ 提示：两个相反向量的和是零向量.
2.非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是 ( ) A.m=n B.m=-n C.|m|=|n| D.方向相反 【解析】选A.非零向量m与n是相反向量，则长度相 等，方向相反，则有m=-n，|m|=|n|.
(BA QC) (AB AB) (PC CQ) PQQC ； CQ QP QP PQ； PA AB BQ
PB BQ PQ.
2.化简 的结果是_________． AB DA DB BC CA 【解析】将能够首尾相连的或变号后能首尾相连的 放在一起运算，即 答案： AB DA DB BC CA (AB BD DA) (BC CA) 0 BA AB.
①MO ON；② 其中正确的是_______(填上序号 ). MO ON，③OM ON， 2. 化简： )-( ). ④ON OM. (1)( (2)( )-( )．
MN
AB CD AC OB OA
AC BD DC DO OB
【解题探究】1.典例1中，两起点相同的向量相减， 差向量方向如何确定？ 提示：两起点相同的向量相减，差向量指向被减向 量. 2.典例2中，向量加减混合运算时，应该用向量加法 的交换律和结合律变形出哪些形式？ 提示：变形出两种形式：一是向量相加首尾相接的 形式，二是向量相减共起点的形式.
【变式训练】1.下列四式不能化简为PQ的是( A. B. AB (PA BQ) C. D. (AB PC) (BA QC)
QC CQ QP PA AB BQ
)
【解析】选D.
AB (PA BQ) (AB BQ) AP AQ AP PQ(AB ； PC)
3.在平行四边形ABCD中， =_______. CB 【解析】由于向量 AD 与 互为相反向量，所以 答案：0
ADห้องสมุดไป่ตู้
CB
AD CB 0.
4.化简： AB OA OB 【解析】 答案：0
=______.
AB OA OB AB (OA OB) AB BA 0.
5.四边形ABCD是边长为1的正方形，则| AB AD |=_____. 【解析】| |=| 2 |= 2 AB AD DB 1 1 2. 答案：
2
【知识探究】 知识点1 相反向量 观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：相反向量与方向相反的向量的区别是什么？ 问题2：两个向量互为相反向量应具备哪些条件？有 哪些性质.
AB
类型二 向量减法及其几何意义 【典例】1.如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB， BC，CA的中点，则 等于( )
AF DB
A.FD
B.FC
C.FE
D.BE
2.如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c.
， 所
DC DO OB
AC OB OA DC DO OB AC OB OA CD DO OB AC 2OB CA 2OB.
【方法技巧】 1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆 向应用.
【解析】1.因为 MO ON OM MN 以①，④正确 . ON MN， 答案：①④ 2.(1)( )-( )= =( )= CD AC BD = 0. AB CD)+( AC BD AB (2)( )-( )
AB AC BD CD CB BC AC OB OA
知识点2 向量的减法 观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：作两个向量的差向量的前提是什么？如何求 作a-b？ 问题2：差向量a-b的“箭头”指向有何特点？
【总结提升】 1.向量减法法则的两点说明 (1)向量的减法法则有着丰富的几何背景：当a，b 不共线时，a，b与a-b围成一个三角形；当a，b共 线时，a，b与a-b不能围成一个三角形.(2)向量的 加法与向量的减法互为逆运算，可以灵活转化，减 去一个向量等于加上这个向量的相反向量.