高考数学必考直线和圆锥曲线经典题型含详解
高考数学复习考点题型专题讲解 题型29 直线与圆锥曲线(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解题型:之直线与圆锥曲线【高考题型一】：直线与圆锥曲线在简答题中的步骤体现。
『解题策略』：答题规范模板:步骤1：设直线方程：注意设直线的技巧。
①当斜率不存在的直线不满足，斜率为零的直线满足时，一般设为b kx y +=； ②当斜率为零的直线不满足，斜率不存在的直线满足时，一般设为n my x +=；③两类直线均满足或均不满足时，两种设法均可，但两类直线均满足时，注意要对取不到的直线补充验证。
)。
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程。
步骤3：写出根与系数的关系（如果求范围或直线与曲线不是恒有公共点，则写出)0(0≥∆>∆）。
步骤4：转化已知条件，转化为两根的关系。
步骤5：把根与系数的关系代入转化的条件中。
※注：若题目中不涉及根与系数，则．．．．．．．．．．．．．步骤．．4．\．步骤．．5．可省略。
．．．． 弦长公式：弦长：直线与曲线相交中两交点的距离。
弦长公式：直线与曲线联立，若消y ，转化为关于x 的一元二次方程，20,ax bx c ++=则弦长=a ；若消x ，则转化为关于y 的一元二次方程:20,ay by c ++=则弦长。
【题型1】：直线与椭圆的位置关系。
『解题策略』：直线0:=++C By Ax l ，椭圆C :221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠；判定方法：∆法：直线与椭圆方程联立：220,00,10,Ax By c mx ny ∆>⎧++=⎧⎪⇒∆=⎨⎨+=⎩⎪∆<⎩相交相切相离。
1.(高考题)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
【解析】：(1)c=2，设椭圆方程为：142222=-+a y a x ，代入点A 得椭圆方程为2211612x y +=。
高考数学复习考点题型专题讲解22 直线与圆锥曲线
高考数学复习考点题型专题讲解专题22 直线与圆锥曲线高考定位 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.1.(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p ＝( )A.1B.2C.22D.4 答案 B解析 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋112＋（－1）2＝2，解得：p ＝2(p ＝－6舍去).2.(2022·全国甲卷)记双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y ＝2x 与C 无公共点”的e 的一个值________. 答案 2((1，5]内的任意值均可)解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ，若直线y ＝2x 与双曲线C 无公共点，则2≥b a ，∴b 2a 2≤4，∴e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2≤5，又e ＞1，∴e ∈(1，5]， ∴填写(1，5]内的任意值均可.3.(2021·浙江卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0).若过F 1的直线和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________；椭圆的离心率是________. 答案25555解析 设过F 1的直线与圆的切点为M ，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0，则|AM |＝c ，|AF 1|＝32c ，所以|MF 1|＝52c ， 所以该直线的斜率k ＝|AM ||MF 1|＝c 52c ＝255. 因为PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以k ＝255＝b 2a 2c ＝a 2－c 22ac ＝1－e 22e ，解得e ＝55(e ＝－5舍去).4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l 与椭圆x 26＋y 23＝1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴、y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝23，则l 的方程为________. 答案 x ＋2y －22＝0解析 法一 设直线l 的方程为x m ＋yn ＝1(m >0，n >0)，分别令y ＝0，x ＝0，得点M (m ，0)，N (0，n ).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由题意知线段AB 与线段MN 有相同的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝m ＋02，y 1＋y 22＝0＋n 2，即⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m ，y 1＋y 2＝n .因为k AB ＝k MN ， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝0－n m －0＝－n m. 将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）6＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，由题意知x 1＋x 2≠0，x 1≠x 2， 所以y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 即n m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－n m ＝－12， 整理得m 2＝2n 2.① 又|MN |＝23，所以由勾股定理，得m 2＋n 2＝12，② 由①②并结合m >0，n >0， 得⎩⎨⎧m ＝22，n ＝2， 所以直线l 的方程为x 22＋y2＝1，即x ＋2y －22＝0.法二 设直线l 的方程为x m ＋yn＝1(m >0，n >0)，分别令y ＝0，x ＝0，得点M (m ，0)，N (0，n ).由题意知线段AB 与线段MN 有相同的中点，设为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n 2，则k AB ＝0－n m －0＝－nm ，k OQ ＝n2m 2＝n m.由椭圆中点弦的性质知，k AB ·k OQ ＝－b 2a 2＝－12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－n m ·nm＝－12，以下同法一.热点一 中点弦问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为圆锥曲线E 上两点，AB 的中点C (x 0，y 0)，直线AB 的斜率为k .(1)若椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则k ＝－b 2a 2·x 0y 0；(2)若双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则k ＝b 2a 2·x 0y 0；(3)若抛物线E 的方程为y 2＝2px (p >0)，则k ＝py 0.例 1 (1)(2022·宝鸡二模)椭圆x 29＋y 22＝1中以点M (2，1)为中点的弦所在直线方程为( )A.4x ＋9y －17＝0B.4x －9y －17＝0C.7x ＋3y －27－3＝0D.7x －3y －27＋3＝0(2)(2022·广州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，过点F 的直线x －y＋2＝0与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为－12，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 25＋y 23＝1 D.x 26＋y 23＝1 答案 (1)A (2)B解析 (1)设以点M (2，1)为中点弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 212＝1，x 229＋y 222＝1，两式相减得x 21－x 229＋y 21－y 222＝0，因为M (2，1)为中点， 所以x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2（x 1＋x 2）9（y 1＋y 2）＝－49(或直接利用结论k ＝－b 2a 2·x 0y 0＝－29×21＝－49)，所以所求直线方程为y－1＝－49(x－2)，即4x＋9y－17＝0.(2)因为直线x－y＋2＝0过点F(－2，0)，所以c＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1两式相减并化简得－b2a2＝y1＋y2x1＋x2·y1－y2x1－x2，即－b2a2＝⎝⎛⎭⎪⎫－12·1，所以b2a2＝12，所以a2＝2b2＝b2＋c2，所以b＝c＝2，a＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.规律方法 1.处理中点弦问题的常用方法：(1)根与系数的关系，(2)点差法.2.利用点差法需注意保证直线与曲线相交.训练1 已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲线上，且点M(－2，1)为线段PQ的中点，PQ∥BF，双曲线的离心率为e，则e2等于( )A.2＋12B.3＋12C.2＋22D.5＋12答案 A解析法一由题意知F(c，0)，B(0，b)，则k PQ ＝k BF ＝－bc .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）.因为线段PQ 的中点为M (－2，1)， 所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2， 又k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－bc， 所以－b c ＝－4b 22a 2，整理得a 2＝2bc ，所以a 4＝4b 2c 2＝4c 2(c 2－a 2)， 即4e 4－4e 2－1＝0， 得e 2＝2＋12，或e 2＝1－22(舍去). 法二 由题意知F (c ，0)，B (0，b )，则k BF ＝－bc. 设直线PQ 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 即y ＝kx ＋2k ＋1，代入双曲线方程，得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2k (2k ＋1)x －a 2(2k ＋1)2－a 2b 2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4，所以2a 2k （2k ＋1）b 2－a 2k 2＝－4，又k ＝k BF ＝－b c，所以2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＋1＝－4b 2＋4a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c 2.整理得a 2＝2bc ， 所以c 2－b 2－2bc ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2－2cb －1＝0，得c b ＝2＋1，或c b＝1－2(舍去)，则e 2＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c b 2－1＝（2＋1）2（2＋1）2－1＝2＋12.热点二 弦长问题已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k (k ≠0)， 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.例2(2022·青岛模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋1(m ∈R )与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆x 2＋y 2＝a 2相交于C ，D 两点，当|AB |·|CD |2的值为82时，求直线l 的方程.解 (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上，根据椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4＋12＝322，|PF 2|＝22， 所以2a ＝322＋22＝22，即a ＝2，∵c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 2＋2y 2＝2，消去x ， 整理得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， 所以Δ＝8m 2＋8>0，y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 则|AB |＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝1＋m 24m 2（m 2＋2）2＋4m 2＋2＝22（m 2＋1）m 2＋2.设圆x 2＋y 2＝2的圆心O 到直线l 的距离为d ， 则d ＝|－1|（－m ）2＋1，所以|CD |＝22－d 2＝22－1m 2＋1＝22m 2＋1m 2＋1， 则|AB |·|CD |2＝22（m 2＋1）m 2＋2×4×2m 2＋1m 2＋1＝82（2m 2＋1）m 2＋2＝82，解得m ＝±1，经验证m ＝±1符合题意. 故所求直线的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.规律方法 1.设直线方程要注意斜率不存在的情况.若已知直线过(t ，0)，可设直线方程为x ＝my ＋t (m ≠0)；2.联立直线、曲线的方程组消元后，一需要二次项系数不等零，二需要Δ＞0；3.点差法，要检验中点是否在圆锥曲线内部，若中点在曲线内部，可不必检验Δ＞0. 训练2(2022·温州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形. (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，求|AB |. 解 (1)∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b ＝c ， ∵椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，∴1a 2＋12b 2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F (1，0)，设l AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，∵AF →＝2FB →，∴y 1＝－2y 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2m m 2＋2，－2y 22＝－1m 2＋2，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m m 2＋22＝1m 2＋2，∴m 2＝27，∴|AB |＝1＋m 2·|y 1－y 2|＝1＋m 2·4m 2＋4（m 2＋2）m 2＋2＝928.热点三 圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1；双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)在(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2－y 0y b2＝1；抛物线y 2＝2px (p ＞0)在(x 0，y 0)处的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0).例3 (1)已知椭圆E ：x 28＋y 24＝1，点P 是直线l ：x ＝4上的任意一点，过点P 作椭圆E的两条切线，切点分别是A ，B ，则|AB |的最小值是________.(2)(2022·北京石景山区模拟)设A ，B 为抛物线C ：y ＝x 2上两个不同的点，且直线AB过抛物线C 的焦点F ，分别以A ，B 为切点作抛物线C 的切线，两条切线交于点P .则下列结论：①点P 一定在抛物线C 的准线上； ②PF ⊥AB ；③△PAB 的面积有最大值无最小值. 其中，正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 (1)2 2 (2)C解析 (1)设P (4，t )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则切线PA 的方程为x 1x 8＋y 1y 4＝1，切线PB 的方程为x 2x 8＋y 2y 4＝1.因为它们都经过点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 12＋ty 14＝1，x 22＋ty 24＝1，故直线AB 的方程为x 2＋ty4＝1，即x ＝－t2y ＋2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，x ＝－t2y ＋2，消去x 得，(t 2＋8)y 2－8ty －16＝0，所以y 1＋y 2＝8t t 2＋8，y 1y 2＝－16t 2＋8， 所以|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 22（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝4＋t 24⎝ ⎛⎭⎪⎫8t t 2＋82－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－16t 2＋8 ＝42⎝⎛⎭⎪⎫1－4t 2＋8，所以当t ＝0时，|AB |min ＝2 2. (2)由抛物线知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，可设直线AB 方程为y ＝kx ＋14，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线方程得x 2－kx －14＝0，则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－14，y 1＋y 2＝k 2＋12，y 1y 2＝116，切线AP 的方程为y －y 1＝2x 1(x －x 1)，化简得y ＋y 1＝2x 1x ， 同理切线BP 的方程为y ＋y 2＝2x 2x ，⎩⎨⎧y ＋y 1＝2x 1x ，y ＋y 2＝2x 2x ，联立解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k2，－14，故①正确；∴k PF ＝－14－14k 2＝－1k，∴k PF ·k ＝－1，故②正确；S △PAB ＝12|AB |d ＝12·(k 2＋1)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 22＋12k 2＋1＝14（k 2＋1）3，当k ＝0时，S △PAB 有最小值，无最大值，故③错误，故选C.规律方法 1.圆锥曲线在某点处的切线方程可通过求导的方法来解决.2.过圆锥曲线外一点作曲线的两条切线，过两切点的直线方程与曲线在该点处的切线方程相同.例如：过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外一点P (x 0，y 0)作椭圆的两条切线PA ，PB (A ，B 为切点)，则直线AB 的方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.训练3 (1)(2022·石家庄模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点A (x 0，y 0)处的切线l 与圆M ：(x ＋2)2＋y 2＝4相切于另一点B ，则抛物线焦点F 与切点A 距离|AF |的最小值为________.(2)如图，已知点P (x 0，y 0)是双曲线C 1：x 24－y 23＝1上的点，过点P 作椭圆C 2：x 24＋y 23＝1的两条切线，切点为A ，B ，直线AB 交C 1的两渐近线于点E ，F ，O 是坐标原点，则OE →·OF →的值为( )A.34B.1 C.43D.916答案 (1)8 (2)B解析 (1)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点A (x 0，y 0)处的切线l 方程为y 0y ＝p (x 0＋x )， 整理得px －y 0y ＋px 0＝0， 因为切线l 与圆M 相切， 则d ＝|－2p ＋px 0|p 2＋（－y 0）2＝2， 同时平方化简得－4p 2x 0＋p 2x 20＝4y 20，又y 20＝2px 0，∴－4p 2x 0＋p 2x 20＝8px 0，解得x 0＝4＋8p ，即x A ＝4＋8p，此时|AF |＝4＋8p ＋p2≥28p ·p2＋4＝8， 当且仅当8p ＝p2，即p ＝4时取等号，故|AF |的最小值为8.(2)椭圆C 2关于点P (x 0，y 0)的切点弦AB 的方程为x 0x 4＋y 0y 3＝1，即3x 0x ＋4y 0y ＝12，由⎩⎨⎧3x 0x ＋4y 0y ＝12，y ＝32x ，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫433x 0＋2y 0，63x 0＋2y 0，同理F ⎝ ⎛⎭⎪⎫433x 0－2y 0，－63x 0－2y 0，则OE →·OF →＝483x 20－4y 20＋－363x 20－4y 20＝123x 20－4y 20＝1，故选B.热点四 直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程. (2)消元得到关于x 或y 的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.例4 (1)已知直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，与直线x ＝－a ，x ＝a 分别交于点M ，N ，F 为椭圆的左焦点，若以MN 为直径的圆为E ，则F ( ) A.在圆E 上B.在圆E 内C.在圆E 外D.以上三种情况都有可能(2)(2022·长沙模拟)已知椭圆Г：x 24＋y 23＝1，过其左焦点F 1作直线l 交椭圆Г于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B .若G 点为△PAB 的外心，则|PA ||GF 1|＝( ) A.2 B.3C.4D.以上都不对 答案 (1)A (2)C解析 (1)显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，可得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0， 因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)(a 2m 2－a 2b 2)＝0， 故m 2＝a 2k 2＋b 2.易知F (－c ，0)，M (－a ，－ak ＋m )，N (a ，ak ＋m )， 则FM →＝(c －a ，m －ak )，FN →＝(c ＋a ，m ＋ak )，则FM →·FN →＝c 2－a 2＋m 2－a 2k 2＝－b 2＋a 2k 2＋b 2－a 2k 2＝0，故∠MFN ＝90°， 即点F 在圆E 上.(2)根据题意可得F 1(－1，0)，显然直线PA 的斜率存在， 故可设方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1）联立消去y ， 可得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 设P (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)， 故x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝6k3＋4k 2， 故|PA |＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（k 2＋1）3＋4k 2，设PA 的中点为H ，则其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 23＋4k 2，3k 3＋4k 2，显然x 轴垂直平分PB ，故可设G (x 3，0)，又GH 直线方程为： y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2，令y ＝0，解得x ＝－k23＋4k 2，故|GF 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k23＋4k2，故|PA ||GF 1|＝12（k 2＋1）3＋3k 2＝4，故选C. 易错提醒 1.直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.2.直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).训练4 已知F 1，F 2是椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，曲线E 2：y 2＝4x 的焦点恰好也是F 2，O 为坐标原点，过椭圆E 1的左焦点F 1作与x 轴垂直的直线交椭圆于M ，N ，且△MNF 2的面积为3. (1)求椭圆E 1的方程；(2)过F 2作直线l 交E 1于A ，B ，交E 2于C ，D ，且△ABF 1与△OCD 的面积相等，求直线l 的斜率.解 (1)因为曲线E 2：y 2＝4x 的焦点恰好也是F 2，所以椭圆中c ＝1，2c ＝2， 因为△MNF 2的面积为3，所以|MN |＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，2b2a ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝1，b ＝3， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为O 为F 1，F 2的中点，所以O 到直线l 的距离为F 1到l 距离的一半，又因为△ABF 1与△OCD 的面积相等，所以|CD |＝2|AB |， 因为F 2(1，0)，设l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －1），3x 2＋4y 2＝12， 可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，由两点间距离公式可得，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝4－4k 23＋4k 2，联立方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则x 3＋x 4＝2＋4k2，x 3x 4＝1，所以|CD |＝x 3＋x 4＋2＝4＋4k2，因为|CD ||AB |＝4＋4k 24－4k 23＋4k 2＝2，解得k ＝±62， 故直线l 的斜率为±62.一、基本技能练1.椭圆x 216＋y 29＝1中，以点M (－1，2)为中点的弦所在直线斜率为( )A.916B.932C.964D.－932答案 B解析 设以M 为中点的弦为弦AB ，弦AB 的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0，又弦AB 中点为M (－1，2)， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4， 即－2（x 1－x 2）16＋4（y 1－y 2）9＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝932.2.(2022·广州二模)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 在抛物线上.若|AF |＝3，则直线AF 的斜率为( ) A.±2B.±2 2 C.2D.2 2答案 B解析 由题意得F (1，0)，设点A (x 0，y 0)， 则|AF |＝x 0＋1＝3， 故x 0＝2，y 0＝±22，故点A 坐标为(2，22)或(2，－22)， 所以直线AF 的斜率为±2 2.故选B.3.(2022·金华调研)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－4y ＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为( ) A.3B.233C.2D. 2 答案 C解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx ＋ay ＝0， 圆x 2＋y 2－4y ＋2＝0的圆心为(0，2)，半径为2， 可得圆心到直线的距离为 2a a 2＋b 2＝（2）2－12， 整理得4a 2＝a 2＋b 2，即4a 2＝c 2，∴e ＝c a＝2，故选C.4.(2022·福州二模)F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 是椭圆的上顶点，过点F 1作BF 2的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，若3PF 1→＝7F 1Q →，则椭圆C 的离心率是( )A.33或63B.255或55C.217或277D.59或2149答案 B解析 由椭圆C 的方程可得B (0，b )，F 2(c ，0)，F 1(－c ，0)， 所以k BF 2＝－bc，设直线PQ 的方程为y ＝cb (x ＋c )，即x ＝b cy －c ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＝bc y －c ，整理得(b 4＋a 2c 2)y 2－2b 3c 2y －b 4c 2＝0， 可得y 1＋y 2＝2b 3c 2b 4＋a 2c 2，①y 1y 2＝－b 4c 2b 4＋a 2c 2，②因为3PF 1→＝7F 1Q →，则3(－c －x 1，－y 1)＝7(x 2＋c ，y 2)， 可得y 1＝－73y 2代入①可得y 2＝－3b 3c 22（b 4＋a 2c 2）.③将y 1＝－73y 2代入②可得y 22＝3b 4c 27（b 4＋a 2c 2），④③代入④可得9b 6c 44（b 4＋a 2c 2）2＝3b 4c 27（b 4＋a 2c 2）化简，得25c 4－25a 2c 2＋4a 4＝0， 即25e 4－25e 2＋4＝0， 解得e 2＝15或e 2＝45，即e ＝55或e ＝255，故选B. 5.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a >2)，过焦点F 的直线l 与M 交于A ，B 两点，坐标原点O在以AF 为直径的圆上，若|AF |＝2|BF |，则M 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 25＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1 答案 A解析 由题意不妨设F (－c ，0)， 因为原点O 在以AF 为直径的圆上， 所以OA ⊥OF ，可得A 为椭圆M 短轴的端点，则A (0，2)， 因为|AF |＝2|BF |，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32c ，－22代入椭圆M 方程中可得9c 24a 2＋14＝1，即a 2＝3c 2，又c 2＝a 2－2，所以a 2＝3(a 2－2)，解得a 2＝3，所以椭圆M 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.6.(多选)(2022·烟台模拟)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1，F 1，F 2为C 的左、右焦点，则( )A.双曲线x 24＋m －y 25＋m＝1(m >0)和C 的离心率相等B.若P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的周长为6＋214C.若直线y ＝tx －1与C 没有公共点，则t <－62或t >62D.在C 的左、右两支上分别存在点M ，N ，使得4F 1M →＝F 1N →答案 BC解析 选项A ：双曲线C ：x 24－y 25＝1的离心率e ＝32，双曲线x 24＋m －y 25＋m＝1(m >0)的离心率e ＝4＋m ＋5＋m 4＋m ＝9＋2m4＋m，则双曲线x 24＋m －y 25＋m ＝1(m >0)和C 的离心率不一定相等.判断错误；选项B ：P 为C ：x 24－y 25＝1上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则有⎩⎨⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝36，|PF 1|－|PF 2|＝4，整理得|PF 1|＋|PF 2|＝214，则△F 1PF 2的周长为6＋214.选项B 判断正确；选项C ：由⎩⎨⎧x 24－y 25＝1，y ＝tx －1，可得(5－4t 2)x 2＋8tx －24＝0，由题意可知，方程(5－4t 2)x 2＋8tx －24＝0无解.当5－4t 2＝0时，方程(5－4t 2)x 2＋8tx －24＝0有解； 当5－4t 2≠0时，则有⎩⎨⎧5－4t 2≠0，（8t ）2＋96（5－4t 2）<0，解之得t <－62或t >62， 故若直线y ＝tx －1与C 没有公共点，则t <－62或t >62.判断正确；选项D ：根据题意，过双曲线C 的左焦点F 1的直线MN 方程可设为x ＝ty －3， 令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由4F 1M →＝F 1N →，可得y 2＝4y 1，由⎩⎨⎧x 24－y 25＝1，x ＝ty －3，可得(5t 2－4)y 2－30ty ＋25＝0， 则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝30t5t 2－4，y 1y 2＝255t 2－4，则有⎩⎪⎨⎪⎧5y 1＝30t 5t 2－4，4y 21＝255t 2－4，整理得19t 2＋100＝0，显然不成立.当过双曲线C 的左焦点F 1的直线MN 为水平直线时， 方程为y ＝0，则M ＝(－2，0)，N (2，0)，F 1M →＝(1，0)，F 1N →＝(5，0)，即5F 1M →＝F 1N →.综上可知，不存在分别在C 的左、右两支上M ，N 使得4F 1M →＝F 1N →.判断错误. 故选BC.7.(2022·西安模拟)已知直线y ＝kx －1与焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2b ＝1总有公共点，则b 的取值范围是________. 答案 [1，2)解析 由题意直线y ＝kx －1恒过定点N (0，－1)，要使直线y ＝kx －1与焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2b ＝1总有公共点，则只需要点N (0，－1)在椭圆上或椭圆内， 即（－1）2b≤1，解得b ≥1，又焦点在x 轴上，∴b <2.∴1≤b <2.8.已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________. 答案 8解析 因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|， 所以四边形PF 1QF 2为矩形， 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝8， 所以m 2＋2mn ＋n 2＝64，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48， 即m 2＋n 2＝48，所以mn ＝8，即四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1||PF 2|＝mn ＝8，故答案为8.9.(2022·南通、泰州等七市调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是双曲线右支上的两点，x 1＋y 1＝x 2＋y 2＝3.记△PQF 1，△PQF 2的周长分别为C 1，C 2，若C 1－C 2＝8，则双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为________. 答案22解析 根据双曲线的定义，若C 1－C 2＝(|PQ |＋|PF 1|＋|QF 1|)－(|PQ |＋|PF 2|＋|QF 2|)＝4a ＝8，所以a ＝2. 故双曲线右顶点为(2，0)， 因为x 1＋y 1＝x 2＋y 2＝3， 所以P ，Q 在x ＋y ＝3上， 即直线PQ 的方程为x ＋y ＝3，所以双曲线的右顶点到直线PQ 的距离为d ＝22. 10.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线l 与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，∠F 1AF 2＝60°，四边形AF 1BF 2的周长p 与面积S 满足p 2＝12839S ，则该双曲线的离心率为________. 答案72解析 由题知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，四边形AF 1BF 2是平行四边形， |AF 1|＋|AF 2|＝p2，联立解得|AF 1|＝a ＋p 4，|AF 2|＝p4－a ，∵∠F 1AF 2＝60°，四边形AF 1BF 2的面积S ＝32|AF 1||AF 2|＝32⎝⎛⎭⎪⎫p 216－a 2， ∵p 2＝12839S ，∴p 2＝12839×32⎝ ⎛⎭⎪⎫p 216－a 2，即p 2＝64a 2，由|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 60°＝(|AF 1|－|AF 2|)2＋|AF 1||AF 2|， 可得4c 2＝4a 2＋p 216－a 2＝4a 2＋3a 2＝7a 2，即e ＝72，故答案为72. 11.(2022·临汾二模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与x 轴交于点P ，过点P 作直线l 与C 交于A ，B 两点，点D 与点A 关于x 轴对称. (1)证明：直线BD 过点F ； (2)若DF →＝3FB →，求l 的斜率.(1)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，直线l 的斜率为k ，由题可知k 一定存在，直线l 的方程为：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2.由⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，y 2＝2px ，得ky 2－2py ＋kp 2＝0， Δ＝4p 2－4k 2p 2>0，则－1<k <1.y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝p 2，k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 112p（y 22－y 21）＝2py 2－y 1， 故直线BD 的方程为y ＋y 1＝2p y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212p ， 即y ＝2p y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 故直线BD 过点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.(2)解由DF →＝3FB →可得⎩⎨⎧－x 1＋p 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 1＝3y 2，由(1)可知，y 1＋y 2＝4y 2＝2pk ，故y 2＝p2k， 又x 1＋3x 2＝2p ，故y 212p ＋3y 222p ＝2p ，即y 21＋3y 22＝4p 2＝12y 22，故y 22＝p 24k 2＝p 23，所以k 2＝34，满足Δ>0，故k ＝±32. 12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)，若|AM |＝2|MB |，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求△OMN 的面积.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，c a ＝32，（－3）2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由|AM |＝2|MB |，得y 1＝－2y 2，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0. Δ＝－16(m 2－t 2－4)>0，即m 2<t 2＋4.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2， 得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42， 化简得(m 2－4)·(t 2＋4)＝－8t 2m 2，所以原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t2， 又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎨⎧（m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，得21m 4－16m 2－16＝0， 即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ>0，此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±233，0，在Rt△OMN 中，|MN |＝43－47＝42121， 所以S △OMN ＝12×42121×277＝4321.二、创新拓展练13.(2022·丽水调研)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1，0)，B (9，6)，动点C 在线段OB 上，BD ⊥y 轴，CE ⊥y 轴，CF ⊥BD ，垂足分别是D ，E ，F ，OF 与CE 相交于点P .已知点Q 在点P 的轨迹上，且∠OAQ ＝120°，则|AQ |＝( ) A.4 B.2 C.43D.23 答案 A解析设P(x，y)，则y C＝y，∵直线OB为y＝23x，∴C⎝⎛⎭⎪⎫32y，y，E(0，y)，F⎝⎛⎭⎪⎫32y，6，∵FC∥y轴，∴△OPE∽△FPC，∴EPPC＝OEFC，∴x32y－x＝y6－y，即y2＝4x，∴P的轨迹方程为：y2＝4x(0≤x≤9)，故A(1，0)为该抛物线的焦点，设Q(x0，y0)，则y20＝4x0，AQ→＝(x0－1，y0)，AO→＝(－1，0)，∴cos∠OAQ＝AO→·AQ→|AO→||AQ→|＝1－x0（x0－1）2＋y20＝1－x0x＋1＝－12，解得x0＝3，∴|AQ|＝x0＋p2＝3＋1＝4.故选A.14.(多选)(2022·苏北四市调研)已知椭圆C：mx2＋ny2＝1与直线y＝x＋1交于A，B两点，且|AB|＝823，M⎝⎛⎭⎪⎫－23，13为AB的中点，若P是直线AB上的点，则( )A.椭圆C的离心率为2 2B.椭圆C 的短轴长为 3C.OA →·OB →＝－3D.P 到C 的两焦点距离之差的最大值为2 2 答案 ACD解析 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1，则m (x 21－x 22)＋n (y 21－y 22)＝0，则m n ＋y 21－y 22x 21－x 22＝0， 则m n ＋y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，则m n ＋k AB k OM ＝0，所以m n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，所以m n ＝12，则m <n ，1m >1n ，椭圆的标准方程为x 21m ＋y 21n ＝1，所以椭圆C 的焦点在x 轴上，即b 2a 2＝1n 1m＝m n ＝12， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22，A 正确；椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，联立⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2b 2，y ＝x ＋1，消y 可得3x 2＋4x ＋2－2b 2＝0，Δ＝16－12(2－2b 2)＝24b 2－8>0，可得b 2>13，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝2－2b23，∴|AB |＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2169－8－8b 23＝823， 所以b 2＝3，则b ＝3，所以椭圆C 短轴长为2b ＝23，B 错误；OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋1)·(x 2＋1)＝2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝－43×3＋1＝－3，C正确；椭圆C 的方程为x 2＋2y 2＝6，其标准方程为x 26＋y 23＝1，c ＝6－3＝3，椭圆C 的左焦点为F 1(－3，0)，右焦点为F 2(3，0)，如图所示：设点F 1关于直线AB 的对称点为点E (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2＝m －32＋1，n m ＋3＝－1解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝1－3，即点E (－1，1－3)， 易知|PF 1|＝|PE |，则||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PE ||≤|EF 2|＝（3＋1）2＋（1－3）2＝22， 当且仅当点P ，E ，F 2三点共线时，等号成立，D 正确.故选ACD.15.(多选)(2022·重庆诊断)已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过直线x ＝－32上一动点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列恒为定值的是( ) A.|PA |·|PB ||AB | B.|FA |·|FB ||AB |C.PA →·PB →PF →2D.FA →·FB →FP →2答案 BCD解析 根据题意，得x ＝－32为抛物线的准线，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y 0，设过点P 与曲线C 相切的直线方程为：y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32(k ≠0)，由⎩⎨⎧y －y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，y 2＝6x ，得ky 2－6y ＋6y 0＋9k ＝0，由直线与曲线相切得Δ＝36－4k (6y 0＋9k )＝0， 整理得3k 2＋2ky 0－3＝0，设切线PA 的斜率为k 1，切线PB 的斜率为k 2， 则k 1＋k 2＝－2y 03，k 1k 2＝－1，即切线PA 与PB 垂直.由3k 2＋2ky 0－3＝0得y 0＝3－3k22k并代入ky 2－6y ＋6y 0＋9k ＝0，整理得k 2y 2－6ky ＋9＝0，解得y ＝3k，再由y ＝3k ，y 0＝3－3k 22k 代入y －y 0＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，得x ＝32k 2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 21，3k 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 22，3k 2，所以k AB ＝3k 2－3k 132k 22－32k 21＝2k 1k 2k 1＋k 2＝3y 0，k PF ＝y 0－32－32＝－y 03，所以AB ⊥PF ， 因为3k 21＋2k 1y 0－3＝0，k AF ＝3k 132k 21－32＝6k 13－3k 21＝3y 0， 所以A ，B ，F 三点共线(如图)所以△PAB 为直角三角形，PF 为边AB 上的高.对于A ，由等面积法得S △PAB ＝12|PA ||PB |＝12|AB |·|PF |，即|PA ||PB ||AB |＝|PF |， 由于P 为动点，故|PF |不为定值，故A 错误；对于B ，由过焦点弦的性质|FA ||FB ||AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 21＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 22＋3232k 21＋32k 22＋3＝94k 21＋94k 22＋18432k 21＋32k 22＋3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 21＋32k 22＋332k 21＋32k 22＋3＝32(定值)，B 正确； 对于C ，由切线PA 与切线PB 垂直， 故PA →·PB →＝0， 即PA →·PB →PF →2＝0(定值)，C 正确；对于D ，由题知△PBF ∽△APB ， 所以|PF |2＝|AF |·|BF |，所以FA →·FB →FP →2＝|FA →|·|FB →|cos α|FP →|2＝cos α＝cos 180°＝－1(定值)，故D 正确，故选BCD.16.(2022·沈阳模拟)双曲线T ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，圆x 2＋y 2＝c 2与T 及T 的渐近线分别在第一象限交于点M ，N .若M ，N 关于直线y ＝x 对称，则T 的离心率为________. 答案1＋52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，一条渐近线方程为y ＝b ax ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 1，x 2，y 1，y 2>0，联立方程组⎩⎨⎧y ＝b a x ，x 2＋y 2＝c2可得x 2＝a 2， ∴x ＝±a ，即M 的横坐标为x 1＝a .联立方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y2b 2＝1整理得b 2(c 2－y 2)－a 2y 2＝a 2b 2，即y 2＝b 4c 2，解得y ＝±b 2c，即点N 的纵坐标为y 2＝b 2c.因为点M 与点N 关于直线y ＝x 对称可得x 1＝y 2，即a ＝b 2c ，即b 2＝ac ，∴c 2－a 2＝ac ，即e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52， 又∵双曲线离心率e >1，∴e ＝1＋52.17.(2022·丽水质检)在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线C 经过点(1，2).(1)求抛物线C 的方程；(2)已知抛物线C 关于x 轴对称，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线AB 于点P ，交C 的准线于点Q .若|AB |＝|PQ |，求直线AB 的方程. 解 (1)当焦点在x 轴时，设抛物线C ：y 2＝2px (p >0).将点(1，2)代入得p ＝2， 此时抛物线的方程为y 2＝4x . 当焦点在y 轴时，设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)， 将点(1，2)代入得p ＝14，此时抛物线的方程为x 2＝12y .综上，抛物线C 的方程为y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)当抛物线C 的焦点在x 轴时，其方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1，0)，准线方程为x ＝－1.∵当直线AB 的斜率不存在时，|AB |＝4，|PQ |＝2，不符合题意，∴直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x消去y 得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. ∴Δ＝16k 2＋16>0，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k2，线段AB 的中点P 为⎝⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，∴直线PQ 的方程为y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2k 2.令x ＝－1，得y ＝4k ＋2k3，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，4k ＋2k 3，∴|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －2k 32＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋1k2.由|PQ |＝|AB |得， 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 21＋1k 2＝4＋4k2，解得k ＝±33， ∴直线AB 的方程为y ＝33x －33或y ＝－33x ＋33.。
直线与圆锥曲线 高三数学解析几何专项训练(含例题答案) 高三数学解析几何专
心尺引州丑巴孔市中潭学校 直线与圆锥曲线【例题精选】： 例 1 直线y ax b a x y =+≠+=()0122与圆〔1〕 问a,b 满足什么条件，直线与圆有两个公共点？〔2〕 设这两个公共点为M 、N ，且OM 、ON 〔O 为原点〕与x 轴正方向所成角为αβα、，求证：cos(+β)=-+a a 2211分析：第〔1〕问是求直线与圆什么时候有两个公共点，因直线与圆有两个公共点的充要条件是圆心到直线的距离小于圆的半径，或者直线方程与圆的方程联立的方程组有两个实数解，这里我们用后面的条件求解。
第〔2〕问〔如图〕中角αβ、可以看成是OM 、ON 的倾斜角，直接找αβ+较麻烦，但是由圆的性质，取MN 中点P ，连结OP ，可以知道Lxop =+αβ2,只需求出OP 的斜率，也就可以得到tgαβ+2的值，再根据三角公式，就可以计算出cos()αβ+与a 的关系了。
解 : (1) 由方程组y ax b x y y =++=221消去得,(2)、如图，取MN 中点P ， 连结OP ，那么<2βα+=xop例 2椭圆中心为原点O, 焦在坐标轴上,y=x+1与该椭圆相交于Q p 、，434=PQ ，求椭圆方程。
分析: 这个问题中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上没有给定,因此在设此椭圆方程时,可以设为Ax By 221+=, 又这个问题中涉及弦PQ 的长,因为P 、Q 在直线 y x =+1上，因此坐标满足方程y x =+1， 所以假设P 、Q 坐标分别为〔x, y), (x 2, y 2) 的话，可推得PQ x x =+-1112,〔我们称它为弦长公式，一般地为1212+-k x x ).由OP ⊥OQ 我们一方面可以知道OP 与OQ 的斜率乘积为-1(斜率存在的情况下),一方面也可以知道PQ中点到原点O 的距离等于PQ 的一半,因此此题可以得到以下两种一般解法.解法一: 设椭圆方程为Ax By A B 22100+=>>(,)设P (),(,),x y Q x y 1122由Ax By y x y A B x Bx B 22211210+==+⎧⎨⎩+++-=消去得,()解法二: 同解法一, 得（）A B x Bx B +++-=2210,以下同解法一.例 3 求过点A(3,-1)被A 平分的双曲线x y 2244-=的弦所在直线的方程.解法一: 设过A 点的直线方程为y k x +=-13()代入x y 2244-=消去y , 得解法二 : 设直线与双曲线的两交点坐标分别为p x y Q x y (,),(,)1122那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=-444422222121y x y x 两式相减, 得 ()()()()x x x x y y y y 1212121240-+--+=说明: 此题解法二过程简单, 在解题中是一种常用的方法,但是此法实际上是在成认了直线与双曲线存在两个交点的情况下去求解的,题中点A 坐标假设改成'''A A （，）或（，），213212用此法可以得出相应的斜率'=''=-=--=K K x y x y 1234206850或，从而得出直线或它们与双曲线都是设有交点的，因此也是不合题意的。
高考圆锥曲线专题直线及圆锥曲线常考题型
内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
〔2021年全国一卷理科〕19．〔12分〕抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交2点为P．1〕假设|AF|+|BF|=4，求l的方程；uuur uuur2〕假设AP3PB，求|AB|．319．解：设直线l:y x t,Ax1,y1,Bx2,y2．2〔1〕由题设得F 3,0，故|AF||BF|x1x235，由题设可得x1x2．422由y3xt，可得9x212(t1)x4t212(t1) 20，那么x1x2．y23x912(t1)5，得t 7从而92．8所以l的方程为y 37x8．2uuur uuur〔2〕由AP3PB可得y13y2．y3x t22y2t0．由2，可得yy23x所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13．代入C的方程得x13,x21．3故|AB|413．3〔2021年全国二卷理科〕21．〔12分〕点A(-2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-1.记M的轨迹2为曲线C.〔1〕求C的方程，并说明C是什么曲线；2〕过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. i〕证明：△PQG是直角三角形；ii〕求△PQG面积的最大值.21．解：〔1〕由题设得y y 1，化简得x2y21(|x|2)，所以C为中心x2x2242在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点．〔2〕〔i 〕设直线 PQ 的斜率为 k ，那么其方程为ykx(k 0)．y kx222由 x y 得x．112k24 2记u2 ，那么P(u,uk),Q( u, uk),E(u,0)．12k2于是直线QG 的斜率为k ，方程为yk(xu)．22yk(xu),由2得x2y 2412(2 k 2)x 22uk 2x k 2u 2 80．①设G(x G ,y G )，那么u 和x G 是方程①的解，故x Gu(3k 2 2) ，由此得 y Guk 3 ．2 k 22k 2uk 3uk1． 从而直线PG 的斜率为2k 2u(3k 2 k 2 2) uk2所以PQ PG ，即△PQG 是直角三角形．〔ii 〕由〔i 〕得|PQ|2u1k 2 ，|PG|2uk k 2 12 k 2，18k(1 k 2)8( 1k)PQGS|PQk所以△的面积2‖(1 2k 2)(2k2)1．1 k) 22(k设t=k+1，那么由k>0得t ≥2，当且仅当k=1时取等号．k因为S8t 2在[2，+∞〕单调递减，所以当t=2，即k=1时，S 取得最大值，最大值2t 1为16．9因此，△PQG 面积的最大值为16．9〔2021年全国三卷理科〕 21．曲线 C ：y=x 2，D 为直线 y=1上的动点，过D 作C22的两条切线，切点分别为 A ，B.〔1〕证明：直线AB 过定点：〔2〕假设以E(0，5)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形2ADBE 的面积.21．解：〔1〕设Dt,1 , Ax 1,y 1，那么x 12 2y 1.2y 11由于y'x ，所以切线DA 的斜率为x 1 2x 1.，故tx 1整理得2tx 1 2y 1+1=0.设Bx 2,y 2，同理可得2tx 22y 2+1=0.故直线AB 的方程为2tx 2y 1 0.所以直线AB 过定点(0,1).2〔2〕由〔1〕得直线AB的方程为y tx 1 .2y1 tx由2，可得x22tx10.x2y2于是x1x22t, x1x21, y1y2tx1x2 1 2t21，|AB|1t2x1x21t2x1x2221.4x1x22t设d1,d2分别为点D，E到直线AB的距离，那么d1t21,d2t 2. 21因此，四边形ADBE的面积S1|AB|d1d2t23t21.2设M为线段AB的中点，那么M t,t21.2uuuur uuur uuuurt,t22uuurt22t0.由于EM AB，而EM，AB与向量(1,t)平行，所以t解得t=0或t1.当t=0时，S=3；当t1时，S42.因此，四边形ADBE的面积为3或42.〔2021年全国三卷理科〕20.斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．〔1〕证明：；〔2〕设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】〔1〕〔2〕或【解析】分析：〔1〕设而不求，利用点差法进行证明。
高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)
(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。
高考圆锥曲线专题-直线和圆锥曲线常考题型
内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
（2019年全国一卷理科）19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． （2019年全国二卷理科）21．（12分）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.21．解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k =+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖．设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． （2019年全国三卷理科）21．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.21．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()()2222121212||11421AB t x x t x x x x t =+-=+⨯+-=+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则212221,1d t d t =+=+.因此，四边形ADBE 的面积()()22121||312S AB d d t t =+=++. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，42S =. 因此，四边形ADBE 的面积为3或42.（2018年全国三卷理科）20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。
直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型
直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、两条直线 l 1 : yk 1x b 1 ,l 2 : y k 2 x b 2 垂直：则 k 1k 21 ；两条直线垂直， 则直线所在的向量 v 1 v 22、韦达定理：若一元二次方程ax2bx c0(a 0) 有两个不一样的根x 1 , x 2 ，则 x 1 x 2b, x 1x 2 c 。
a a3、中点坐标公式：xx 1 x 2 ,yy 1 y 2，此中 x, y 是点 A( x 1 , y 1)， B( x 2, y 2 ) 的中点坐标。
224、弦长公式：若点 A( x 1 , y 1)， B(x 2 , y 2 ) 在直线 y kxb( k 0) 上，则 y 1kx 1 b ， y 2kx 2 b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB(x x ) 2(yy ) 2(xx )2 (kx kx )2(1 k 2 )(x1x )2(1 k 2 )[( x x )24x x ]1 2121 2 1 22121 2或许 AB(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2(1x 1 1x 2)2 (y 1 y 2)2(112)(y 1y 2)2(112 )[( y 1y 2 ) 2 4 y 1 y 2 ] 。
k kk k题型一：数形联合确立直线和圆锥曲线的地点关系例题 1、已知直线 l : ykx 1与椭圆 C :x 2 y 21 一直有交点，求 m 的取值范围4m解：1 m 且 m 4。
题型二：弦的垂直均分线问题例题 2、过点 T(-1,0) 作直线 l 与曲线 N ：y 2 x 交于 A 、B 两点，在 x 轴上能否存在一点 E( x 0 ,0) ，使得 ABE 是等边三角形 ，若存在，求出x 0 ；若不存在，请说明原因。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。
设直线 l : yk (x 1) ， k0 ， A(x 1, y 1 ) ， B( x 2, y 2 ) 。
【高中数学】高中数学圆锥曲线11大常考题型汇总，附高考真题分析
【高中数学】高中数学圆锥曲线11大常考题型汇总，附高考真题分析题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b 、实数、圆形、三角形、四边形等）例1：例2：例3：例4：例5：例6：刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．例7：答案：解析：刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：例16：解析：刷有所得：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.例17：答案：C解析：例18：答案：C解析：刷有所得：求离心率的值或范围就是找的值或关系。
由想到点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆。